运筹学第8章 网络规划
网络规划与网络计划技术
1 v1v2v3v4
v1 e13 e13
e12 e23
v2
e22 e24 v4 e45
v3
e34
v5
v1 e13 e13
e12 e23
v2
e22 e24 v4 e45
v3
e34
v5
6、连通图 在一个图中，若任意两点之间至少存在一 条链，则该图就称为连通图，否则称为不 连通图。
7、子图、真子图、支撑子图
例 用图表示哥尼斯堡七桥问题。 哥尼斯堡七桥问题的图G表示如下： G =（V，E） 其中：点集V = {v1, v2, v3, v4} 边集E={e14, e14, e42, e42, e13, e43, e23} 边e14 = (v1, v4)，e14 = (v1, v4)，e42 = (v4, v2)，e42 = (v4, v2) e13 = (v1,v3)，e43 = (v4, v3)，e23 = (v2, v3)
最大流问题
最大流问题是网络分析的另一个基本问题。 在现实中，很多系统包含了流量问题，如：交通系 统有车辆流、金融系统有现金流、供水(供气)系统有水 流、控制系统有信息流、通讯系统中电话通话流等等。
最大流问题主要是确定这类系统网络所能承受的 最大流量是多少及如何达到最大流量的问题。
基本概念与定理
基本定理
所谓图就是点和边的集合。图的定义如下：一个图G为一个有 序二元组（V，E），记为 G =（V，E） 其中，V是一个有限非空的集合，其元素称为G的结点或顶点， 简称点，而V成为G的结点集，简称点集，一般表示为V = {v1, v2,…, vn}；E是由V中的无序对（vi,vj）所构成的一个集合，其 元素称为G的边，一般表示为eij=（vi, vj），而E称为G的边 集。
运筹学 填空题 及基础知识
8．若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡= Y﹡b。
9．若X、Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的可行解，则有CX≤Yb。
10．若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡=Y*b。
6．若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的顶点（极点）达到。
7．线性规划问题有可行解，则必有基可行解。
8．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其基可行解_的集合中进行搜索即可得到最优解。
9．满足非负条件的基本解称为基本可行解。
10．在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的松驰数量在目标函数中的系数为零。
14.(单纯形法解基的形成来源共有三 种
15.在大M法中，M表示充分大正数。
七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。
第四章 线性规划的对偶理论
一、填空题
1．线性规划问题具有对偶性，即对于任何一个求最大值的线性规划问题，都有一个求最小值/极小值的线性规划问题与之对应，反之亦然。
5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并强调系统整体优化功能。运筹学研究和解决问题的效果具有连续性。
6．运筹学用系统的观点研究功能之间的关系。
7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，具有典型综合应用特性。
8．运筹学的发展趋势是进一步依赖于_计算机的应用和发展。
9．运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。
第五章 线性规划的灵敏度分析
一、填空题
1、灵敏度分析研究的是线性规划模型的原始、最优解数据变化对产生的影响。
运筹学思考练习题答案
运筹学思考练习题答案第⼀章 L.P 及单纯形法练习题答案⼀、判断下列说法是否正确1. 线性规划模型中增加⼀个约束条件，可⾏域的范围⼀般将缩⼩，减少⼀个约束条件，可⾏域的范围⼀般将扩⼤。
(?)2. 线性规划问题的每⼀个基解对应可⾏域的⼀个顶点。
(?)3. 如线性规划问题存在某个最优解，则该最优解⼀定对应可⾏域边界上的⼀个点。
(?)4. 单纯形法计算中，如不按最⼩⽐值原则选取换出变量，则在下⼀个基可⾏解中⾄少有⼀个基变量的值为负。
(?)5. ⼀旦⼀个⼈⼯变量在迭代中变为⾮基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，⽽不影响计算结果。
(?)6. 若1X 、2X 分别是某⼀线性规划问题的最优解，则1212X X X λλ=+也是该线性规划问题的最优解，其中1λ、2λ为正的实数。
(?)7. 线性规划⽤两阶段法求解时，第⼀阶段的⽬标函数通常写为ai iMinZ x =∑(x ai 为⼈⼯变量)，但也可写为i ai iMinZ k x =∑，只要所有k i 均为⼤于零的常数。
(?)8. 对⼀个有n 个变量、m 个约束的标准型的线性规划问题，其可⾏域的顶点恰好为m n C 个。
(?)9. 线性规划问题的可⾏解如为最优解，则该可⾏解⼀定是基可⾏解。
(?)10. 若线性规划问题具有可⾏解，且其可⾏域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解。
(?)⼆、求得L.P 问题121231425j MaxZ 2x 3x x 2x x 84x x 164x x 12x 0;j 1,2,,5=+++=??+=??+=?≥=的解如下： X ⑴=(0,3,2,16,0)T ;X ⑵=(4,3,-2,0,0)T ;X ⑶=(3.5,2,0.5,2,4)T ;X ⑷=(8,0,0,-16,12)T ; =(4.5,2,-0.5,-2,4)T ; X ⑹=(3,2,1,4,4)T ;X ⑺=(4,2,0,0,4)T 。
要求：分别指出其中的基解、可⾏解、基可⾏解、⾮基可⾏解。
运 筹 学 课 件
12/3 4
z
1 2
x4
x5 42
x3
2 3
x4
1 3
x5
4
新典式
主元化 为1，主 元所在
x2
1 2
x4
6
列的其 余元素
x1
2 3
x4
1 3
x5
4
化为0
观察最后一个典式，所有检验数均为非负， 故其对应的基本可行解为最优解，即
X * 4,6,6,0,0T z* 42
去掉引入变量，得原问题的最优解为：
运筹学课件
目录
运筹学概论 第一章 线性规划基础 第二章 单纯形法 第三章 LP对偶理论 第四章 灵敏度分析 第五章 运输问题 第六章 整数规划 第七章 动态规划 第八章 网络分析
第二章 单纯形法
(SM-Simplex Method)
1947年，美国运筹学家Dantzig提出，原理是 代数迭代。
单纯形法中的单纯形的这个术语，与该方法毫 无关系，它源于求解方法的早期阶段所研究的一 个特殊问题，并延用下来。
CB B1b B1b
z
CB B1N CN X N X B B1NX N
CB B1b B1b
上述方程组的矩阵形式为
10
0 I
CB
B1N B1N
CN
z XB XN
CB B1b B1b
上式的系数增广阵称为对应于基B的单纯形表：
T(B)
CB B1b B1b
0 I
CB
B1N B1N
CN
形式的LP问题，必须解决三个问题： ⑴初始基本可行解的确定； ⑵解的最优性检验； ⑶基本可行解的转移规则。 这里先放一下⑴，研究⑵和⑶，为此，
运筹学必考知识点总结
运筹学必考知识点总结在运筹学中，有一些必考的知识点是非常重要的。
这些知识点涵盖了运筹学的基本概念、方法和模型，对于考生来说，掌握这些知识点是至关重要的。
本文将对运筹学的一些必考知识点进行总结，帮助考生更好地备考。
1. 线性规划线性规划是运筹学中的重要方法之一，它通过建立数学模型来解决各种决策问题。
在线性规划中，目标是最大化或最小化一个线性函数，同时满足一系列线性约束条件。
考生需要掌握线性规划的基本理论，包括线性规划模型的建立、单纯形法和对偶理论等内容。
2. 整数规划整数规划是线性规划的扩展，它要求决策变量取整数值。
整数规划在实际应用中有着广泛的用途，因此对于考生来说，掌握整数规划的基本理论和解题方法是必不可少的。
3. 动态规划动态规划是一种用于求解多阶段决策问题的优化方法。
在动态规划中，问题被分解为多个子问题，并且这些子问题之间存在重叠。
考生需要了解动态规划的基本原理、状态转移方程的建立以及动态规划算法的实现。
4. 网络流问题网络流问题是运筹学中的一个重要领域，它涉及到图论和优化算法等多个方面的知识。
在网络流问题中，主要考察最大流、最小割、最短路等问题的求解方法。
5. 效用理论效用理论是运筹学中的一个重要分支，它研究人们在做出决策时的偏好和选择。
效用函数、期望效用、风险偏好等概念是考试中的热点内容。
6. 排队论排队论是研究排队系统的运作规律和性能指标的数学理论。
在排队论中，考生需要了解排队系统的稳定性条件、平衡方程、性能指标的计算方法等。
7. 多目标决策多目标决策是指在考虑多个目标时的决策问题。
在多目标决策中，往往需要考虑到多个目标之间的矛盾和权衡，因此考生需要掌握多目标规划的基本原理和解题方法。
8. 随机规划随机规划是考虑到不确定因素的决策问题。
在随机规划中，目标函数、约束条件等参数都是随机变量，因此需要考虑到风险和概率的因素。
以上是一些运筹学中的必考知识点，考生在备考过程中需要重点关注这些知识点。
运筹学课程章节
对照教学大纲
第1章 线性规划 章
• 线性规划基本理论：模型形式，解的概念， 线性规划基本理论：模型形式，解的概念， 解的性质等 • 线性规划应用：6类问题建模 线性规划应用： 类问题建模 类问题建模* • 图解法 图解法* • 单纯形法：基本单纯形法 ，大M法，两阶 单纯形法：基本单纯形法*， 法 段法， 段法，前者重要
第2章 线性规划的对偶理论
• • • • • 对偶问题的构建：对偶规划 对偶问题的构建：对偶规划* 对偶问题的性质 运用对偶性质进行线性规划求解* 运用对偶性质进行线性规划求解* 影子价格理解* 影子价格理解 灵敏度分析*和参数分析 灵敏度分析 和参数分析
第4章 目标规划
• 目标规划建模* 目标规划建模 • 图解法
第5章 运输问题和指派问题
• 运输问题表示：语言描述，表格表示，数 运输问题表示：语言描述，表格表示， 学模型表示， 学模型表示，几何图形表示 • 标准运输问题的表上作业法 标准运输问题的表上作业法* • 表格建模 ：应用，建立运输问题的供需平 表格建模*：应用， 衡与单位运价表， 衡与单位各位同学的选择 • 祝各位同学 考试顺利通过并取得好成绩
• 指派问题表示：语言描述，表格表示，数 指派问题表示：语言描述，表格表示， 学模型表示， 学模型表示，几何图形表示 • 表格建模：应用，指派问题的指派平衡与 表格建模：应用， 单位效率表 • 指派问题的匈牙利算法
第6章 网络模型
• 最优生成树问题 ：最小树，最大树 最优生成树问题*：最小树， • 最短路问题*：三种算法，有向图法，无向 最短路问题*：三种算法，有向图法， 图法， 图法，表格法 • 最大流问题 ：可行流法，增广链法 最大流问题*：可行流法，
运筹学复习要点
运筹学复习要点运筹学复习要点第二章线性规划与单纯形法一、标准型：规定具有下述条件的线性规划问题为标准型式的线性规划问题：1、目标函数为求最大；2、约束条件为等式约束；3、决策变量为非负。
二、线性规划问题具有的特征：1、每一问题都用一组决策变量（x1, x2, . . . ,xn）表示某一方案；2这组决策变量的值就代表一个具体方案，一般这些变量值是非负的；3、存在一定的约束条件，它们可用线性等式或不等式表示；4、都有一个要求达到的目标，它们可用决策变量的线性函数表示，称目标函数。
根据问题不同，要求目标函数实现最大化或最小化。
三、图解法的结论：1、可行域一定是凸集，即该区域内任意两点间连线上的点仍在该区域内；2、线性规划最优解不可能在凸集内的点上实现；3、线性规划问题有可能存在无穷多最优解；4、如果可行域无界，则最优解可能是无界解；5、如果不存在可行域，则没有可行解，也一定不存在最优解；6图解法只适用于两个决策变量的情况。
四、单纯形法：其基本思路是首先确定一个初始基可行解，然后判断该基可行解是否为最优解。
如果是最优解，则求解过程结束；如果不是最优解，则在此基础上变换找出另一个基可行解，该基可行解的目标函数值应该优于原基可行解。
再判断新的基可行解是否为最优解，如果是最优解，则求解过程结束；如果不是最优解，则在此基础上变换再找出另一个新基可行解，如此进行下去，直到找到最优解为止。
五、最优性检验与解的形式：最优解的判别定理，若X(0) = (b′1, b′2, ……… ,b′m, 0, …… , 0)T为对应于基B的一个基可行解，且对于一切j = m + 1, …… , n，有σj6 0，则X(0)为最优解，称σj为检验数。
无穷最多解判别定理，若X(0) = (b′1, b′2, …… , b′m, 0, …… , 0)T为对应于基B的一个基可行解，且对于一切j = m + 1, …… , n，有σj6 0，又存在某个非基变量的检验数σm+k= 0，则线性规划问题有无穷多最优解。
运筹学的主要内容及如何学好运筹学
兰天 sky 收集整理 davidluocq@
第一章 概述
运筹学是一门研究如何有效地组织和管理人机系统的科学。由于它同 管理科学的紧密联系，研究解决实际问题时的系统优化思想，以及从提出 问题、分析建模、求解到方案实施的一整套严密科学方法，使它在培养提 高管理人才的素质上起到重要作用。运筹学已成为经济管理类专业普遍外 设的一门重要专业基础课。随着国内运筹学教学形势的发展，对教学内容 的要求也在不断提高。我们认为，应当根据我国社会主义市场经济的需要， 将运筹学的最新理论相应用成果及时充实到教材守去，并进一步研究如何 满足 21 世纪运筹学教学的要求。
克。现有五种饲料，搭配使用，饲料成分如下表：
例题 2 建模
设抓取饲料 I x1kg;饲料 II x2kg;饲料 III x3kg……
目标函数：最省钱 minZ=2x1+7x2+4x3+9x4+5x5
约束条件：3x2+2x2+x3+6x4+18x5 ≥700
营养要求： x1+0.5x2+0.2x3+2x4+0.5x5 ≥30 0.5x1+x2+0.2x3+2x4+0.8x5 =200
在认真听课的同时，学习或复习时要掌握以下三个重要环节： (1)、认真阅读教材和参考资料，以指定教材为主，同时参考其他有关书 籍。一般每一本运筹学教材都有自己的特点，但是基本原理、概念都是一 致的。注意主从，参考资料会帮助你开阔思路，使学习深入。但是，把时 间过多放在参考资料上，会导致思路分散，不利于学好。 (2)、要在理解了基本概念和理论的基础上研究例题。注意例题是为了帮 助你理解概念、理论的。作业练习的主要作用也是这样，它同时还有让你 自己检查自己学习的作用。因此，做题要有信心，要独立完成，不要怕出 错。因为，整个课程是一个整体，各节内容有内在联系，只要学到一定程 度，知识融会贯通起来，你做题的正 确性自己就有判断。 (3)、要学会做学习小结。每一节或一章学完后，必须学会用精炼的语言 来概括该书所学内容。这样，你才能够从 较高的角度来看问题，更深刻 的理解有关知识和内容，这就称为“把书读薄"。若能够结合自己参考大量 文献后的深入理解，把相关知识从更深入、广泛的角度进行论述，则称之 为"把书读厚"。
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e2 (v1) e1 e4 e3 赵 (v2)钱 孙(v3) 李(v4) 周(v5)
图8-2
1 2
2
最短路 11 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 5 4 1 2 3 5
31
最短路长 0 3 1 0 0 1
各点间的最短距离
(k ) dij 从点i走2k 1 步到达点j的最短距离 (i, j 1, 2, , n) (k ) ( k 1) ( k 1) dij min{dis d sj }(i, j 1, 2, , n) 1 s n
33
直接距离矩阵
D1 W
D2 =D1 D1
3 4 6 7 10 3 0 7 6 5 6 9 4 7 0 2 3 6 8 6 6 2 0 1 2 5 7 5 3 1 0 1 3 10 6 6 2 1 0 2 9 8 5 3 2 0 0 3 4 6 7 8 10 3 0 7 6 5 6 8 4 7 0 2 3 4 6 6 6 2 0 1 2 4 7 5 3 1 0 1 3 8 6 4 2 1 0 2 10 8 6 4 3 2 0 0
e5 吴(v6) 陈(v7)
4
•
结（端）点：vi, vj 关联边，e3 点相邻(同一条边), v1,v3
•
•
•
边相邻(同一个端点), e1,e3
环，e2
图8-2 次：结点的关联边数目 d(v3)=4，偶点 d(v4)=3，奇点 d(v2)=5
多重边, e3, e4
简单图：无环无多重边
d(v6)=0，孤立点
(v1) 赵 a1 (v2)钱 a7 (v4) 李
a2
a3 a4 (v3)孙 a6 a14 a15
a8
a9
a5 (v5) 周
a10
a12 a11 (v6)吴
7
(v7)陈
a13
图8-3
连通图：若任何两个不同的点之间，至少存在一条链，则
G为连通图。
G (V , E), G' (V ' , E ' )
* d1 5 2 0 d2 2 2 2 3 0 d3 1 2 d4 1 2
1 2
2
2 2 0 0 0 0
最短路 1 2 3 5 235 35 4235 55
29
最短路长 1 2 2 0 0
某点至各点的最短路
求和取小 l ( k ) 从点r走k 步到达点j的最短距离 ( j 1, 2,, n) rj
图G中找出一个支撑树，并使得这个支撑树的所有边的权数之和 为最小。
(a)
图8-5
(b)
(c)
14
树的基本性质
1.
任意两点间有且仅有一条链 不相邻两点间添加一条边，有且仅有一个圈 任意去掉一条边，得不连通图 存在悬挂点 边数+1=结点数
2.
3.
4.
5.
15
最小树的基本性质
定理8-1：任意结点i的最小关联边（i, k）必在最小树中。
无向图是有向图的基础图G(D)
路：弧（边）的方向与链的方向一致。
回路：若路的第一个点和最后一个点相同，则该路为回路。
开路
赋权图：对一个图的每一条边（弧）(vi,vj)，相应地有一个数wij， 则称图G为赋权图，wij称为边(vi,vj)上的权。 网络：赋权连通图
9
例8-3：柯尼斯堡七桥问题
Dk d
(k ) ij
Dk 1 Dk 1 , (k 2,3,, p)
D1 W
lg(n 1) 迭代次数 p 1 p lg 2
Dk Dk 1, (k 2,3,, p)
32
例8-9 （求各村间的最短距离）
p
lg(7 1) 2.6 lg 2
3 0 7 5 4 0 2 6 6 7 2 0 1 5 5 1 0 1 4 6 5 1 0 2 4 2 0 0 3 4 6
(k ) dir min{wij d (jrk 1) }(i 1, 2,, n) 1 j n
dk W dk 1 , (k 2,3,, n)
dk dk 1 , (k 2,3,, n 1) dn dn1
28
例8-8（各点至5的最短路）
从\至 1 2 3 4 5 1 0 3 2 2 3 0 3 4 4 0 4 0 1 5 5 0
21
1、狄氏标号法（Dijkstra）
适用于：每条弧（边）的赋权数wij ≥0
优点：能够求出某点至各点的最短路
基本思想：
P(j)——从始点s到j点的最短路长，称为固定标号；
T(j)——从始点s到j点的最短路长上界，称为临时标号。
基本步骤
22
例8-6
23
例8-7
设备更新问题。某厂拟于明年购置一台设备，以后
(k ) ( k 1) lrj min{lri wij }( j 1, 2, , n) 1i n
T T lk lk 1 W , (k 2,3, , n 1) T T lk lk 1 , (k 2,3, , n 1)
30
例8-8（1至各点的最短路）
24
解：
将问题转化为最短路问题，如下图： 用vi表示“第i年年初购进一台新设备”,弧（vi,vj）表
示第i年年初购进的设备一直使用到第j年年初。
v1
v2
v3
v4
v5
v6
1
1 2 3 4 5
2
9
3
12 10
4
18 13 12
5
29 19 15 15
6
49 30 21 18 20
25
把权数赋到图中，再用Dijkstra算法求最短路。
34
D3 =D2 D2
网络中心（r点）
d (i) max(dij ), (1 1, 2, , n)
1 j n
d (r ) min d (i)
1i n
网络重心（r点）
h( j ) gi dij , ( j 1, 2, , n)
从\至
T l1 =(0 3 4 )
1 0 3 2
2 3 0
3 4 4 0
4 0 1
5 5 0
1 2 3 4 5
T l2 =(0 3 1 3 2 ) T l3 (0 3 1 0 1) T l4 (0 3 1 0 1)
(v1) 赵 e1 (v2)钱 (v5) 周 e2 e3 (v3)孙
e4
(v4) 李 e5 (v6)吴
图8-1
(v7)陈
G = (V, E) 点集 V= {v1,v2,v3,...,vm}={1,2,3,…,m} 边集 E= {eij=(vi,vj)}= {eij=(i, j)}
3
当然图论不仅仅是要描述对象之间关系，还要研究特定关
边不同，简单链：v3 v1 v2 v3 v4 v5
边不同且结点不同，初等链：v1 v2 v3 v4 v5
圈：初等闭链，且至少有3个不同结点，v1 v2 v3 v1
图8-2
6
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识”
的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图8-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
d(v5)=1，悬挂边
5
链：
vi 0 , e j1, vi1, e j 2 ,, e jk , vik
vi 0 , vi1,, vik vi 0 vi1 vik
vi 0 vik 闭链：v1 v2 v3 v1 vi 0 vik 开链：v1 v2 v3
定理8-2：点集V的非空子集 （i, k）必在最小树中。
V S S ,连结两子集的最小边
16
1、破圈算法 步骤：
（1）在给定的赋权的连通图上任找一个圈。
（2）在所找的圈中去掉一个权数最大的边（如果有两条或
两条以上的边都是权数最大的边，则任意去掉其中一条）。
（3）如果所余下的图已不包含圈，则计算结束，所余下的 图即为最小树，否则返回第1步。
13
给了一个无向图G=(V,E)，我们保留G的所有点，而删掉部
分G的边或者说保留一部分G的边，所获得的图G，称之为G的支 撑(生成)图。在图8-4中，(b)和(c)都是(a)的支撑图。
如果图G的一个支撑图还是一个树，则称这个支撑图为支撑
（生成）树，在图8-5中，(c)就是(a)的支撑树。
最小支撑（生成）树问题就是指在一个赋权的连通的无向
12
8.2
最小树问题
v1 v2 v8
树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
v1 v2 v6 v5 v7 v6 v8 v9 v3 v4 v2 v4 v1 v3 v5 v8
v3 v4 v5 v7 v6 v9
(a)
(b)
图8-4
v7
(c)
图8-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不 是树， (c)因为不连通所以也不是树。