变力做功的求解途径

变力做功的求解途径
变力做功的求解问题是高中物理教学中的重点和难点，不能简单的套用公式
c o s W F S α=，但这类问题对培养学生的思维能力，考查学生应用数学知识解决物
理问题的能力，培养学生的独立思考和创新能力却有着十分重要的作用。

在教学过程中通过笔者的不断归纳，反复实践，对变力做功的求解途径进行了探讨，现总结如下：
一、用图象法求功
例1 力F 随物体的位移S 的变化关系如图1所示，求该物体在发生位移50m 的过程中，力F 做的功是多少？
分析与解答 我们知道在速度—时间图象中面积的物理意义表示位移，那么在力—位移图象中面积的物理意义应该表示功，则： ()51010
101030104252
2
W J
+⨯⨯=
+⨯+
=
二、用功是能量转化的量度求功
功是能量转化的量度的确切含义是“做了多少功就有多少能量发生转化，反之，转化了多少能量就做了多少功”，这就给我们提供了一种从能量转化的角度求功的方法。

例2、如图2所示，n 块厚度为d 的相同的砖块，每块砖的质量为m ，靠在一起平放在水平地面上，现将它们一块一块的向上叠起，至少要做多少功？
分析与解答 将砖叠起后，砖的重力势能增加，根据
功是能量转化的量度，我们知道增加的重力势能就等于所
做的功，则：()12
22
n n m gd
nd d W nm g nm g -=⋅
-⋅
=
图2
三、用动能定理求功
用动能定理求解变力做功，不必考虑运动过程的细节，重点把握运动物体在初态和末态的动能，动能定理是求解变力做功的主要途径之一。

例3 如图3所示，汽车从静止开始由A 点向B 点加速运动，并通过绳、定滑轮从井中吊起质量为m 的物体，开始时定滑轮左侧绳的竖直长度为H ，假定绳的总长不变，当汽车通过水平距离H 到达B 点时，车的速度为V 。

求在车由A 移到B 的过程中，绳的拉力对物体所做的功。

分析与解答 汽车由A 点向B 点做加速运动，绳对物体的拉力是一个变力。

当汽车到达B 点时，物体上升的速度1v 等于V 沿绳方向的分
量，则：0
1cos 45V v V ==
由几何关系知物体上升的高度：
)
1sin 45
H h H H =
-=
对物体应用动能定理：2
1102
W m gh m V -=
-
由以上各式得拉力对物体所做的功为：)
2
114
W m gH m V =
+
四、将变力转化为恒力求功
有一些变力，力的大小随位移的变化而变化。

但它们的变化关系呈线性关系，这种变力称为线性变力，其平均值为()1212
F F F =
+，该变力所做的功
cos W F S α=。

例4 在一个边长为b 的立方体容器中盛有密度为2ρ的某种液体，一个边长为a （a<b ）、密度为1ρ（1ρ<2ρ）的立方体A 浮于液面上，如图4所示，今欲将立方体全部压入液体中，并且假设液体没有溢出，问力F 最少要做多少功？
图3
分析与解答：随着立方体A 不断地被压入水中，A 受到的浮力将逐渐增大，力F 也随之增大，F 是一个变力。

设立方体开始时浸入水中的深度为h ，据平衡条件，有：3212a g a hg ρρ= 得：12
h a ρρ=
立方体全部浸入后水面升高h ∆，由体积关系知：()2
2
b h a
a h ⋅∆=-
得：()
2
3212
2
2
a
a h a h b
b
ρρρ--∆=
=
⋅
设在F 的作用下将立方体再压入x , 则得：()3
2
12F a g a g h x ρρ+=+，由3
2
12a g a hg ρρ= ，得：2
2F a gx ρ=，即：
F 与立方体被压入的深度x 成正比，呈线性关系。

故：
()()2
33
23
12
21210012
2
2
2
a
a h g
F F a g a g
F a g ρρρρρ+-++-=
==
=
⋅-，力F 至
少做的功为： ()()
()()()
4
2
23
2
1212
2
2
2a g b a
a g W F a h h a h h
b ρ
ρρρρ---=--∆=
⋅--∆=
五、用微元分析法求功
微元分析法是一种重要的思维方法，是高等数学中的极限思想在中学物理教学中的体现。

例5 质量为m 的小球以恒定的速率v 沿半径为R 的竖直圆环作圆周运动，且与轨道的动摩擦因素为μ，求小球从最低点运动到最高点的过程中，摩擦力做了多少功？
分析与解答 小球受到重力、支持力和摩擦力的作用，重力或重力沿半径方向的分力与支持力共同提供小球做圆周运动的向心力，摩擦力的变化很复杂。

但注意到运动轨道的对称性，考查小球在与水平直径对称的A 、B 两处在微小
位移下摩擦力所做的功。

如图5所示，设OA 、OB 与水平直径的夹角为α，在A 、B
图 4
两处各取一段对称的足够短的圆弧l ∆，l ∆可看作直线，摩擦力可视为恒力，圆弧所对的圆心角为α∆，有：l R α∆=⋅∆ 根据动力学方程，知：2
1sin v
N mg m
R
α-= 2
2s i n v
N m g m R
α-=
小球在A 、B 两处所取的l ∆上，摩擦力做功之和为：()12W N N l μ∆=-+⋅∆
由以上各式得：2
2
22v
W m
R mv R
μαμα∆=-⋅⋅∆=-⋅∆
即：W ∆与α的大小无关，从最低点到最高点2
π
α∆=∑，摩擦力对小球所做的功
是：()
22
2
2
2222
W W m v m v m v m v π
μα
μαμπμ=
∆=
-⋅∆=-⋅∆=-⋅
=-∑
∑
∑
巩固练习：
1、如图6所示，质量为m 的物体用细绳经过光滑小孔而牵引，且在光滑的水平面上做匀速圆周运动。

拉力为某个值F 时转动半径为2R ，当拉力逐渐增大到6F 时，物体仍做匀速圆周运动，此时半径为R ，求拉力对
物体所做的功为多大？（答案：2FR ）
2、如图7所示，力F=20N 作用在半径R=0.5m 的转盘的边缘上,力F 的大小保持不变,且方向保持任何时刻均与作用点的切线方向一致，拉动后使转盘转动一周，F 做的功是多少？（答案：62.8 J ）
3、将长为d 的铁钉钉入墙中，若铁钉受到墙壁的阻力与钉入的
深度成正比，且比例系数为K ，求将铁钉全部钉入墙中需要做多少功？（答案：2
2
K d W =
）
4、一只盛满水的圆柱形水桶，桶底和壁都很轻很薄，桶的半径为R ，高为h ，桶的上缘处在湖面下深度为H 处，如果用轻绳将它缓慢地向上提，直到桶的底面刚好离
开水面，若不计水的阻力，求上提过程中拉力所做的功是多少？（提示：桶未离开水
F
图7
面时不需做功，答案：22
12
W gR h πρ=
）
5、某物体在力F 的作用下做直线运动，F 随物体的位移S 变化的图象如图8所示，物体在发生位移m S 的过程中，F 对物体做
的功：
（A ）()122
m
F F S W +<
（B ）()122
m
F F S W +>
（C ）()122
m
F F S W +=
（D ）条件不足，无法判断
（答案：（B ））
F F 0
m S
F
图8。