北京市海淀进修实验学校2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案
2015-2016年北京市清华附中高二(上)期中数学试卷及参考答案(文科)
19． （15 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x2+（y﹣3）2=4 的圆心为 C，过 点 P（1，0）的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 A、B． （1）若|AB|=2 （2）求证： ，求直线 l 的方程； 为定值；
（3）以线段 OA、OB 为边作平行四边形 AOBD，是否存在直线 l，使得直线 OD 与直线 PC 平行？如果存在，求出直线 l 的方程；如果不存在，请说明理由． 20． （15 分）圆 O：x2+y2=16 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，l1，l2 是分别过 A、 B 点的圆 O 的切线， 过此圆上的另一个点 P （P 点是圆上任一不与 A， B 重合的动点）作此圆的切线，分别交 l1、l2 于 C，D 两点，且 AD，BC 两直线交 于点 M． （1）设切点 P 坐标为（x0，y0） ，求证：切线 CD 的方程为 x0x+y0y=16； （2）设点 M 坐标为（m，n） ，试写出 m2 与 n2 的关系表达式（写出详细推理与 计算过程） ； （3）判断是否存在点 Q（a，0） （a＞0） ，使得| 出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由． |的最小值为 ？若存在，求
A．
B．
C．
D．
二、填空题 9． （5 分）直线 y=﹣x+1 的倾斜角是 ． ．
10． （5 分） 将半径为 4 的半圆卷成圆锥的侧面， 则圆锥的轴截面的面积为
11． （5 分）某边长为 1 的正方体展开图如图所示，在原正方体中，△ABC 的面 积为 ．
12． （5 分）若 x，y 满足约束条件
，则 z=x+y 的最大值为
．
13． （5 分）曲线 y=1+ 值范围是 ．
北京市海淀区中关村中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学(文)试题
2016-2017学年度第一学期高二数学期中（文）试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上．） 1．直线2y x =+的倾斜角是（ ）． A ．π6B ．π4C ．2π3D ．3π4【答案】B【解析】设倾斜角为α，直角的斜率为1， 所以：tan 1α=，所以π4α=， 故选B ．2．已知l 、m 、n 是空间中不同的三条直线，则下列结论中正确的是（ ）．A ．若m l ⊥，n l ⊥，则m n ⊥B ．若m l ⊥，n l ⊥，则m n ∥C ．若m l ⊥，n l ∥，则m n ⊥D ．若m l ⊥，n l ∥，则m n ∥【答案】C【解析】若m l ⊥，n l ⊥，则m 与n 相交、平行或异面， 所以A 和B 都错误；若m l ⊥，n l ∥，则m n ⊥， 故C 正确，D 错误． 综上，故选C ．3．如果直线1:260l ax y ++=与直线2:(1)30l x a y +-+=垂直，那么a 等于（ ）．A ．2B ．1-C ．2或1-D ．23【答案】D【解析】∵直线1:260l ax y ++=和直线2:(1)30l x a y +-+=垂直， ∴2(1)0a a +-=， 解得：23a =， 故选D ．4．若一个正三棱锥的正（主）视图如图所示，则其体积等于（ ）．211ABCD．【答案】C【解析】由正视图可知：正三棱锥的底面边长为2，高为2，所以正三棱锥的体积：2112233V Sh ==⨯=故选C ．5．已知两条平行线方程为3250x y --=与6430x y -+=，则它们间距离为（ ）．ABCD【答案】C【解析】将3250x y --=化为64100x y --=，则两平行线间的距离d ==， 故选C ．6．一条光线沿直线220x y -+=照射到y 轴后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）．A ．220x y +-=B ．220x y ++=C ．220x y ++=D ．220x y +-=【答案】A【解析】直线220x y -+=与x ，y 轴分别相交于点(1,0)P -，(0,2)Q ， 点P 关于y 轴的对称点(1,0)P '．∴光线沿直线220x y -+=照射到y 轴后反射， 则反射光线所在的直线即为P Q '所在的直线，直线方程为112x y+=， 即220x y +-=，故选A ．7．在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，点D 、E 分别是棱AB 、1BB 的中点，若1DE EC ⊥，则侧棱1AA 的长为（ ）．D E A B CC 1B 1A 1A ．1B ．2CD．【答案】B【解析】A 1D 1B 1C 1CBA ED取11A B 的中点1D ，连接1DD ，11C D ，1DC ， 设侧棱1AA 的长为2x ，则根据题意可得：22224142x x x ⎛+++=+ ⎝⎭， 解得1x =，22x =， 即12AA =， 故选B ．8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有（ ）．1AA ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】B【解析】设正方体的棱长为3，计算得113PA PC PD ===，1PA PC PB ===PB 1PD =所以P 到各顶点的距离的不同取值有4个，故选B ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸中．） 9．经过点(1,1)A ，且与直线:3210l x y -+=平行的直线方程为__________． 【答案】3210x y --=【解析】设经过点(1,1)A ，且与直线:3210l x y -+=平行的直线方程为320x y c -+=， 把点(1,1)A 代入，得320c -+=， 解得：1c =-，故所求直线方程为：3210x y --=．10．若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为__________．【解析】设圆锥的母线长为l ，∵2ππS r ==底，【注意有文字】∴π2πS rl ==侧，【注意有文字】 ∴2l =，∴圆锥的高h =∴圆锥的体积11π33V S h ==⨯底．【注意有文字】11．已知某三棱锥的三视图是如图所示的三个直角三角形，那么这个三棱锥最小的一个面的面积是__________．俯视图左视图主视图【答案】6【解析】DA B C345由三视图可知，该几何体如图所示，且5AB =，3BC =，4BD =，∴145102ABD S =⨯⨯=△，1357.52ABC S =⨯⨯=△，13462BCD S =⨯⨯=△，且AD，AC 5CD =， ∴ACD BCD S S >△△，故该三棱锥最小的一个面面积是6．12．在三棱台111ABC A B C -中，112A B AB =，点E 、F 分别是棱11B C 、11A B 的中点，则在三棱台的各棱所在的直线中，与平面ACEF 平行的有__________． 【答案】11AC ，1BB【解析】C 1B 1A 1ABCEF∵点E 、F 分别是11B C ，11A B 的中点， ∴11EF A C ∥，又EF ⊂平面ACEF ，11AC ⊄平面ACEF ， ∴11AC ∥平面ACEF ，∵11AB A B ∥，112A B AB =，11112FB A B =， ∴1AB FB ∥，∴四边形1ABB F 是平行四边形，∴1AF BB ∥，又AF ⊂平面ACEF ，1BB ⊄平面ACEF ， ∴1BB ∥平面ACEF ．故在三棱台各棱所在直线中，与平面ACEF 平行的有：11AC ，1BB ．13．当点(3,2)P 到直线120mx y m -+-=的距离最大值时，m 的值为__________． 【答案】1-【解析】直线120mx y m -+-=可化为1(2)y m x -=-， 由点斜式方程可知直线恒过定点(2,1)，且斜率为m ，结合图象可知当PQ 与直线120mx y m -+-=垂直时，点到直线距离最大，此时，21132m -⋅=--， 解得：1m =-．14．若存在实数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对定义域内的任意x 均满足：[][]()()()()0f x k x b g x k x b -+-+≤，且存在1x 使得11()()0f x kx b -+=，存在2x 使得22()()0g x kx b -+=，则称直线:l y kx b =+为函数()f x 和()g x 的“分界线”．在下列说法中正确的是__________（写出所有正确命题的编号）． ①任意两个一次函数最多存在一条“分界线”； ②“分界线”存在的两个函数的图象最多只有两个交点； ③2()2f x x x =-与2()4g x x =-+的“分界线”是2y x =-+；④2()f x x =与2()(1)g x x =--的“分界线”是0y =或12y x =-． 【答案】③【解析】①项，任意两个一次函数相交时，过交点的直线有无数条，故任意两个一次函数存在无数条分界线，故①错误；②项，当()(1)(1)1f x x x x =-++，()(1)(1)1g x x x x =--++时，满足1y =是()f x 和()g x 的分界线，此时()f x 与()g x 有3个交点，故②错误；③项，由2224x x x -=-+得220x x --=，解得：2x =或1x =-，此时，(1,3)A -，(2,0)B ，过AB 的直线为2y x =-+， 则2()2f x x x =-与2()4g x x =-+的“分界线”是2y x =-+， 故③正确；④项，作出()f x ，()g x 和0y =和12y x =-的图象，由图象知12y x =-与()f x 和()g x 没有交点，不满足条件11()()0f x kx b -+=和22()()0g x kx b -+=， 故④错误．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 15．在平面直角坐标系xOy 中，ABC △的顶点坐标分别为(2,3)A ，(1,3)B -，(3,1)C --． （I ）求BC 边的中线所在直线的方程．（II ）求BC 边的高，并求这条高所在直线的方程． 【答案】见解析【解析】解（I ）由中点坐标公式可知，D 点坐标为(1,2)--， ∴BC 边中线所在的直线方程斜率为：3(2)52(1)3AD k --==--，∴BC 边中线所在直线方程为：52(1)3y x +=+，即5310x y --=．（II ）∵1(3)1312BC k ---==---，∴BC 边的高线所在直线的斜率2k =，∴BC 边的高所在直线方程为：32(2)y x -=-，即210x y --=．∵点(2,3)A 到:250BC x y ++=的距离d = ∴BCBC 边高所在直线方程为：210x y --=．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA AD ⊥．E 和F 分别是CD 和PC 的中点．D A BCEFP求证：（I ）PA ⊥底面ABCD ．（II ）平面BEF ⊥平面PCD ． 【答案】见解析【解析】（I ）证明：∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =， 且PA AD ⊥，PA ⊂平面PAD ， ∴PA ⊥底面ABCD ．（II ）证明：∵AB CD ∥，2CD AB =，E 是CD 的中点，D A BCE F P∴AB DE ∥，∴ABED 为平行四边形， ∴AD BE ∥，又∵AB AD ⊥，∴BE CD ⊥，AD CD ⊥， 由（1）知，PA ⊥底面ABCD ， ∴CD PA ⊥， ∴CD ⊥平面PAD ， ∴CD PD ⊥，∵E ，F 分别是CD 和PC 的中点， ∴PD EF ∥， ∴CD EF ⊥，∴CD ⊥平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面PCD ．17．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，O 为11AC 与11B D 交点，已知11AA AB ==，60BAD ∠=︒． （I ）求证：11AC ⊥平面11B BDD ．（II ）在线段11AC 上是否存在一点P ，使得PA ∥平面1BC D ，如果存在，求11PA PC 的值，如果不存在，请说明理由．（III ）设点M 在1BC D △内（含边界），且11OM B D ⊥，求所有满足条件的点M 构成的图形，并求OM 的最小值．DABCOC 1D 1B 1A 1【答案】见解析【解析】A 1B 1D 1C 1OCBAD（I ）证明：∵1AA ⊥底面ABCD ， ∴1BB ⊥底面1111A B C D ， 又11AC ⊂平面1111A B C D ， ∴111BB AC ⊥， ∵1111A B C D 为菱形， ∴1111AC B D ⊥， 而1111BB B D B = ， ∴11AC ⊥平面11B BDD ．（II ）存在点P ，当P 是11AC 中点，即111PA PC =时，PA ∥平面1BC D ． 证明：连接AC ，交BD 于点E ，连接1C E ，则E 是AC 中点， ∵11AC AC ∥，且O ，E 分别是11AC ，AC 的中点， ∴1AOC E 是平行四边形， ∴1AO C E ∥，又AO ⊄平面1BC D ，1C E ⊂平面1BC D ， ∴AO ∥平面11BC D ，∴当点P 与点O 重合时，PA ∥平面11BC P ， 此时，111PA PC =． （III ）在1BC D △内，满足11OM B D ⊥的点构成的图形是线段1C E ，包括端点， 连接DE ，则BD OE ⊥， ∵11BD B D ∥，∴要使11OM B D ⊥，只需OM BD ⊥，从而需ME BD ⊥，又在1BC D △中，11C D C B =， 又E 为BD 中点， ∴1BD C E ⊥，故M 点一定在线段1C E 上， 当1OM C E ⊥时，OM 取最小值． 在直角三角形1OC E 中，1OE =，1OC =1C E =所以1min 1OC OE OM C E ⋅=。
2015-2016学年北京市海淀区高三(上)期中数学试卷和答案(文科)
2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合P={x|x2﹣x≤0}，M={0，1，3，4}，则集合P∩M中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）下列函数中为偶函数的是（）A．y= B．y=lg|x|C．y=（x﹣1）2 D．y=2x3．（5分）在△ABC中，∠A=60°，||=2，||=1，则•的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣4．（5分）数列{a n}的前n项和S n，若S n﹣S n﹣1=2n﹣1（n≥2），且S2=3，则a1的值为（）A．0 B．1 C．3 D．55．（5分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x，下列结论中错误的是（）A．f（x）=cos2x B．f（x）的最小正周期为πC．f（x）的图象关于直线x=0对称D．f（x）的值域为[﹣，]6．（5分）“x=0”是“sinx=﹣x”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）如图，点O为坐标原点，点A（1，1），若函数y=a x（a＞0，且a≠1）及log b x（b＞0，且b≠1）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足（）A．a＜b＜1 B．b＜a＜1 C．b＞a＞1 D．a＞b＞18．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=ax2﹣x+1，若函数y=f（x）﹣g（x）恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，1）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）函数f（x）=的定义域为．10．（5分）若角α的终边过点（1，﹣2），则cos（α+）=．11．（5分）若等差数列{a n}满足a1=﹣4，a3+a9=a10﹣a8，则a n=．12．（5分）已知向量=（1，0），点A（4，4），点B为直线y=2x上一个动点．若∥，则点B的坐标为．13．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）．若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象重合，则ω的最小值为．14．（5分）对于数列{a n}，若∀m，n∈N*（m≠n），均有（t为常数），则称数列{a n}具有性质P（t）（1）若数列{a n}的通项公式为a n=n2，具有性质P（t），则t的最大值为（2）若数列{a n}的通项公式为a n=n2﹣，具有性质P（7），则实数a的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等比数列{a n}的公比q＞0，且a1=1，4a3=a2a4．（Ⅰ）求公比q和a3的值；（Ⅱ）若{a n}的前n项和为S n，求证＜2．16．（13分）已知函数f（x）=sin（2x﹣）+cos（2x﹣）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．17．（13分）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=，cos∠ADB=．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求△BCD的面积．18．（13分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（0，1）处切线的斜率为﹣3，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，求a的取值范围．19．（14分）已知数列{a n}的各项均不为0，其前n和为S n，且满足a1=a，2S n=a n a n+1．（Ⅰ）求a2的值；（Ⅱ）求{a n}的通项公式；（Ⅲ）若a=﹣9，求S n的最小值．20．（14分）已知x为实数，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.2]=1，[﹣1.2]=2，[1]=1．对于函数f（x），若存在m∈R且m≠Z，使得f（m）=f（[m]），则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x2﹣x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）已知f（x）=x+，请写出a的一个值，使得f（x）为Ω函数，并给出证明；（Ⅲ）设函数f（x）是定义在R上的周期函数，其最小周期为T．若f（x）不是Ω函数，求T的最小值．2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合P={x|x2﹣x≤0}，M={0，1，3，4}，则集合P∩M中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由P中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，解得：0≤x≤1，即P={x|0≤x≤1}，∵M={0，1，3，4}，∴P∩M={0，1}，则集合P∩M中元素的个数为2，故选：B．2．（5分）下列函数中为偶函数的是（）A．y= B．y=lg|x|C．y=（x﹣1）2 D．y=2x【解答】解：根据奇偶函数的定义，可得A是奇函数，B是偶函数，C，D非奇非偶．故选：B．3．（5分）在△ABC中，∠A=60°，||=2，||=1，则•的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣【解答】解：∠A=60°，||=2，||=1，则•=||•||COS60°=2×1×=1故选：A．4．（5分）数列{a n}的前n项和S n，若S n﹣S n﹣1=2n﹣1（n≥2），且S2=3，则a1的值为（）A．0 B．1 C．3 D．5=2n﹣1（n≥2），【解答】解：∵S n﹣S n﹣1∴S2﹣S1=22﹣1=3，又S2=3，∴S1=0，则a1=0．故选：A．5．（5分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x，下列结论中错误的是（）A．f（x）=cos2x B．f（x）的最小正周期为πC．f（x）的图象关于直线x=0对称D．f（x）的值域为[﹣，]【解答】解：由f（x）=cos4x﹣sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）=cos2x，故A 正确；由周期公式可得f（x）的最小正周期为：T=，故B正确；由利用余弦函数的图象可知f（x）=cos2x为偶函数，故C正确；由余弦函数的性质可得f（x）=cos2x的值域为[﹣1，1]，故D错误；故选：D．6．（5分）“x=0”是“sinx=﹣x”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：x=0时：sinx=sin0=0，是充分条件，而由sinx=﹣x，即函数y=sinx和y=﹣x，在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=﹣x的草图，由图得交点（0，0）推出x=0，是必要条件，故选：C．7．（5分）如图，点O为坐标原点，点A（1，1），若函数y=a x（a＞0，且a≠1）及log b x（b＞0，且b≠1）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足（）A．a＜b＜1 B．b＜a＜1 C．b＞a＞1 D．a＞b＞1【解答】解：由图象可知，函数均为减函数，所以0＜a＜1，0＜b＜1，因为点O为坐标原点，点A（1，1），所以直线OA为y=x，因为y=a x经过点M，则它的反函数y=log a x也经过点M，又因为log b x（b＞0，且b≠1）的图象经过点N，根据对数函数的图象和性质，∴a＜b，∴a＜b＜1故选：A．8．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=ax2﹣x+1，若函数y=f（x）﹣g（x）恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，1）【解答】解：∵f（x）﹣（ax2﹣x+1）=0，∴f（x）+x﹣1=ax2，而f（x）+x﹣1=，作函数y=f（x）+x﹣1与函数y=ax2的图象如下，，结合选项可知，实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1），故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）函数f（x）=的定义域为[1，+∞）．【解答】解：∵函数f（x）=，∴2x﹣2≥0，即2x≥2；解得x≥1，∴f（x）的定义域为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．10．（5分）若角α的终边过点（1，﹣2），则cos（α+）=．【解答】解：角α的终边过点（1，﹣2），则cos（α+）=﹣sinα=﹣=，故答案为：．11．（5分）若等差数列{a n}满足a1=﹣4，a3+a9=a10﹣a8，则a n=n﹣5．【解答】解：设等差数列{a n}公差为d，∵a3+a9=a10﹣a8，∴﹣4+2d﹣4+8d=﹣4+9d﹣（﹣4+7d），解得d=1∴a n=﹣4+n﹣1=n﹣5故答案为：n﹣512．（5分）已知向量=（1，0），点A（4，4），点B为直线y=2x上一个动点．若∥，则点B的坐标为（2，4）．【解答】解：设B（x，2x），=（x﹣4，2x﹣4）．∵∥，∴0﹣（2x﹣4）=0，解得x=2，∴B（2，4），故答案为：（2，4）．13．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）．若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象重合，则ω的最小值为6．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），∵把f（x）的图象向左平移个单位所得的图象为y=sin[ω（x+）+φ]=sin （ωx++φ），∴φ=++φ+2kπ．即ω=﹣6k，k∈z，∵ω＞0，∴ω的最小值为：6故答案为：614．（5分）对于数列{a n}，若∀m，n∈N*（m≠n），均有（t为常数），则称数列{a n}具有性质P（t）（1）若数列{a n}的通项公式为a n=n2，具有性质P（t），则t的最大值为3（2）若数列{a n}的通项公式为a n=n2﹣，具有性质P（7），则实数a的取值范围是a≥8．【解答】解：（1）若数列{a n}的通项公式为a n=n2，具有性质P（t），则==m+n，由得m+n≥t，∵∀m，n∈N*（m≠n），∴当m+n=1+2时，t≤3，则t的最大值为3．（2）若数列{a n}的通项公式为a n=n2﹣，具有性质P（7），则≥7恒成立，即==m+n+≥7，即当m=1，n=2时，=m+n+=1+2+≥7，即≥4则a≥8．故答案为：3，a≥8三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等比数列{a n}的公比q＞0，且a1=1，4a3=a2a4．（Ⅰ）求公比q和a3的值；（Ⅱ）若{a n}的前n项和为S n，求证＜2．【解答】（I）解：∵等比数列{a n}的公比q＞0，且a1=1，4a3=a2a4．∴4q2=q4，解得q=2．∴a3=4．（II）证明：a n=2n﹣1，S n==2n﹣1，∴﹣2=﹣2=2﹣﹣2＜0，∴＜2．16．（13分）已知函数f（x）=sin（2x﹣）+cos（2x﹣）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=sin（2x﹣）+cos（2x﹣）．所以f（）=sin（2×﹣）+cos（2×﹣）===﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）因为f（x）=sin（2x﹣）+cos（2x﹣）．所以f（x）=2（sin（2x﹣）+cos（2x﹣））=2sin（2x﹣+）=2sin2x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）所以周期T==π．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）令，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）解得，k∈Z．所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）17．（13分）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=，cos∠ADB=．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求△BCD的面积．【解答】解：（Ⅰ）在△ABD中，因为cos∠ADB=，∠ADB∈（0，π），所以sin∠ADB=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）根据正弦定理，有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）代入AB=8，∠A=．解得BD=7．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（Ⅱ）在△BCD中，根据余弦定理cos∠C=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）代入BC=3，CD=5，得cos∠C=﹣，∠C∈（0，π）所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）所以=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）18．（13分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（0，1）处切线的斜率为﹣3，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为f（0）=1，所以曲线y=f（x）经过点（0，1），又f′（x）=x2+2x+a，曲线y=f（x）在点（0，1）处切线的斜率为﹣3，所以f′（0）=a=﹣3，所以f′（x）=x2+2x﹣3．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：所以函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣3），（1，+∞），单调递减区间为（﹣3，1）；（Ⅱ）因为函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，所以f′（x）≥0对x∈[﹣2，a]成立，只要f′（x）=x2+2x+a在[﹣2，a]上的最小值大于等于0即可．因为函数f′（x）=x2+2x+a≥0的对称轴为x=﹣1，当﹣2≤a≤﹣1时，f′（x）在[﹣2，a]上的最小值为f′（a），解f′（a）=a2+3a≥0，得a≥0或a≤﹣3，所以此种情形不成立；当a＞﹣1时，f′（x）在[﹣2，a]上的最小值为f′（﹣1），解f′（﹣1）=1﹣2+a≥0得a≥1，所以a≥1，综上，实数a的取值范围是a≥1．19．（14分）已知数列{a n}的各项均不为0，其前n和为S n，且满足a1=a，2S n=a n a n+1．（Ⅰ）求a2的值；（Ⅱ）求{a n}的通项公式；（Ⅲ）若a=﹣9，求S n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵2S n=a n a n+1，∴2S1=a1a2，即2a1=a1a2，∵a1=a≠0，∴a2=2．（Ⅱ）∵2S n=a n a n+1，∴当n≥2时，2S n﹣1=a n﹣1a n，两式相减得到：2a n=a n（a n+1﹣a n﹣1），∵a n≠0，∴a n+1﹣a n﹣1=2，∴数列{a2k﹣1}，{a2k}都是公差为2的等差数列，当n=2k﹣1时，a n=a1+2（k﹣1）=a+2k﹣2=a+n﹣1，当n=2k时，a n=2+2（k﹣1）=2k=n，∴a n=．（Ⅲ）当a=﹣9时，a n=，∵2S n=a n a n+1，∴S n=，∴当n为奇数时，S n的最小值为S5=﹣15；当n为偶数时，S n的最小值为S4=﹣10，所以当n=5时，S n取得最小值为﹣15．20．（14分）已知x为实数，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.2]=1，[﹣1.2]=2，[1]=1．对于函数f（x），若存在m∈R且m≠Z，使得f（m）=f（[m]），则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x2﹣x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）已知f（x）=x+，请写出a的一个值，使得f（x）为Ω函数，并给出证明；（Ⅲ）设函数f（x）是定义在R上的周期函数，其最小周期为T．若f（x）不是Ω函数，求T的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=x2﹣x是Ω函数，g（x）=sinπx不是Ω函数；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）法一：取k=1，a=∈（1，2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）则令[m]=1，m==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）此时f（）=f（[]）=f（1）所以f（x）是Ω函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）法二：取k=1，a=∈（0，1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）则令[m]=﹣1，m=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）此时f（﹣）=f（[﹣]）=f（﹣1），所以f（x）是Ω函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（说明：这里实际上有两种方案：方案一：设k∈N•，取a∈（k2，k2+k），令[m]=k，m=，则一定有m﹣[m]=﹣k=∈（0，1），且f（m）=f（[m]），所以f（x）是Ω函数．）方案二：设k∈N•，取a∈（k2﹣k，k2），令[m]=﹣k，m=﹣，则一定有m﹣[m]=﹣﹣（﹣k）=﹣∈（0，1），且f（x）=f（[m]），所以f（x）是Ω函数．）（Ⅲ）T的最小值为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）因为f（x）是以T为最小正周期的周期函数，所以f（T）=f（0）．假设T＜1，则[T]=0，所以f（[T]）=f（0），矛盾．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）所以必有T≥1，而函数l（x）=x﹣[x]的周期为1，且显然不是Ω函数，综上，T的最小值为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）。
北京市海淀区2015-2016高二年级第一学期期末练习数学(文科)试题带答案
海淀区高二年级第一学期期末练习数学（文科） 2016.1本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共10小题, 每小题4分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知圆22(1)=2x y ++，则其圆心和半径分别为( )A ．（1,0),2B ．（-1,0),2 C．（D．（2.抛物线24x y =的焦点到其准线的距离是（）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 43.双曲线2214x y -=的离心率为（） ABC4.圆x 2＋y 2－2x =0与圆x 2＋y 2＋4y =0的位置关系是（） A.相离B.外切C.相交D.内切5.已知直线,m n 和平面α，且n α⊂，则“m n ⊥”是“m α⊥”的（） A ．充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知直线l 的方程为20x my +-=，则直线l ( )A ．恒过点(2,0)-且不垂直x 轴B ．恒过点(2,0)-且不垂直y 轴C ．恒过点(2,0)且不垂直x 轴D ．恒过点(2,0)且不垂直y 轴7.已知直线10x ay +-=和直线420ax y ++=互相平行，则a 的取值是（） A ．2B ．2±C ．2-D ．08.已知O 为坐标原点，直线2y =与2240x y Dx y ++-=交于两点,M N ，则MON ∠=（） A ．30o B ．45o C ．60o D ．90o9.已知两平面α,β，两直线m,n ，下列命题中正确的是( )A ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥βD ．若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n10.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在正方体表面上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则点1B 和点P 构成的图形是（）A.三角形B.四边形C.曲边形D.五边形1二、填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.11.已知命题p ：“R x ∀∈，20x ≥”，则p ⌝：___________________________________.12.已知111222:,:l y k x b l y k x b =+=+，命题p ：“若12l l ⊥，则121k k =-”的逆否命题是_____________________，原命题p 为____________命题.（填“真”或“假”）13.双曲线2214x y -=的实轴长为__________，渐近线的方程为________________.14.已知12,F F 为椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，若3(1,)2P 在椭圆上，且满足12||||4PF PF +=，则椭圆C 的方程为________________.15.已知点(5,0)A ，若抛物线24y x =上的点(,)P m n 到直线1x =-的距离与到点A 的距离相等，则m =_______________.16.已知四棱锥的三视图（如图所示），则该四棱锥的体积为__________，在该四棱锥的四个侧面中，面积最小的侧面面积是________.三、解答题:本大题共3小题,共36分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.（本小题共10分）已知圆M :222()(4)(>0)x a y r r -+-=过点(0,0),(6,0)O A ． （Ⅰ）求,a r 的值；（Ⅱ）若圆M 截直线430x y m ++=所得弦的弦长为6，求m 的值.18.（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，2AC CB ==，且AC CB ⊥，1AA ⊥底面ABC ，E 为AB 中点. （Ⅰ）求证：BC ⊥1A C ；（Ⅱ）求证：1BC //平面1A CE ；（Ⅲ）若13AA =，BP a =，且AP ⊥1A C ，写出a 的值（不需写过程）.19.（本小题共12分）已知直线:l y x n =+与椭圆:G 22(3)(3)m x my m m -+=-交于两点,B C . （Ⅰ）若椭圆G 的焦点在y 轴上，求m 的取值范围；（Ⅱ）若(0,1)A 在椭圆上，且以BC 为直径的圆过点A ，求直线l 的方程.1A()主正视图俯视图()侧左视图海淀区高二年级第一学期期末练习参考答案数学（文科）2016.1本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共10小题, 每小题4分，共40分.DBACB DADCB二、填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.11.x ∃∈R ，20x <12.若121k k ≠-,则1l 与2l 不垂直真 13.4 20x y ±=14.22143x y +=15.3 16.2 1（说明：一题两空的题目，每空2分）三、解答题:本大题共3小题,共36分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (说明：对于不同与答案的解法，对照答案相应步骤给分即可)17.解：（Ⅰ）由已知可得222216,(6)16,a r a r ⎧+=⎨-+=⎩-----------------------------------------------------2分 解得3,5a r ==.-----------------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）结论可知圆M 的方程为22(3)(4)25x y -+-=.--------------------5分 圆心到直线430x y m ++=的距离为|24|5m +,--------------------------------7分所以|24|5m +，----------------------------------------------------------9分 所以4m =-或44m =-.-------------------------------------------------------------10分18.证明：（Ⅰ）因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA CB ⊥.-----------------------------------2分 因为AC CB ⊥，所以CB ⊥平面11AA C C .------------------------4分 所以1CB AC ⊥.------------------------------------5分（Ⅱ）连接1AC 与1A C 交于点F ，连接EF ，---7分由三棱柱性质可得四边形11AA C C 是平行四边形， 所以点F 是1AC 的中点. 因为E 为AB 中点，1A所以在1AC B ∆中1//EF C B .-----------------------------------------------------------8分 因为EF ⊂平面1ACE ,1BC ⊄平面1ACE ,-----------------------------------------10分 所以1BC //平面1A CE .----------------------------------------------------------------11分 （Ⅲ）43a =. ---------------------------------------------------------------------------14分 19.解：（Ⅰ）由椭圆:G 22(3)(3)m x my m m -+=-可得2213x y m m +=-，由椭圆的焦点在y 轴上，可得0,30,3.m m m m >⎧⎪->⎨⎪<-⎩------------------------3分 解得302m <<,所以m 的取值范围是302m <<.-------------------------4分（Ⅱ）因为(0,1)A 在椭圆:G 22(3)(3)m x my m m -+=-上，所以(3)m m m =-， 所以2m =或0m =（舍），所以椭圆:G 2222x y +=.---------------------------------------------------------5分 设1122(,),(,)B x y C x y ，由22,22,y x n x y =+⎧⎨+=⎩消y 并化简整理得2234220x nx n ++-=， 21212422,33n n x x x x --+==，----------------------------------------------------6分 因为以BC 为直径的圆过点A ，所以AB AC ⊥,------------------------------------------------------------------------7分所以AB AC ⋅=u u u r u u u r0.因为AB AC ⋅=u u u r u u u r11221212(,1)(,1)(1)(1)x y x y x x x n x n -⋅-=++-+-212122(1)()(1)x x n x x n =+-++-22444(1)(1)033n n n n --=-+-=，---------------------------------------------9分所以13n =-或1n =.----------------------------------------------------------------10分经检验，13n =-或1n =都满足0∆>，----------------------------------------11分所以所求直线l 的方程为13y x =-或1y x =+.-------------------------------12分。
北京市海淀区进修学校高二上学期期中 数学理试题.pdf
2012—2013学年度第一学期期中练习 高二数学 (理科) 考生须 知1、本试卷共6页，包括三个大题，20小题，满分为100分。
附加一道选做题,满分10分(不计入总分).考试时间120分钟. 2、答题前，考生应认真在密封线外填写班级、姓名和学号 3、考试结束后,上交机读卡和答题卷选择题：本大题共8小题, 每小题4分,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.在等比数列中，若，，则的值为 （ ） A． B． C． D． 2. 已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差是 （ ） A． B．1 C．2 D．3 3 .已知△ABC中，,,,那么角A等于 （ ）A.135°B.90°C.45°D.30° 4.若，则 （ ） A． B． C． D． 5. 顶点为原点，焦点为的抛物线方程是 （ ） A. B. C. D. 6. 双曲线的焦点坐标是 （ ） A． B． C． D．7.在椭圆中, 为其左、右焦点，以为直径的圆与椭圆交于四个点，若,恰好为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率为 ( ) A. B. C. D. 8．已知数列的通项公式为，那么满足的整数（ ）A.有3个B.有2个C.有1个D.不存在 二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上. 9．抛物线上横坐标为2的点到其焦点的距离为________ 10.在中，，则= 11.渐近线为且过点的双曲线的标准方程是_______ ____ 12. 已知递增的等差数列满足，则 13. 已知数列对任意的满足且,那么 . 14.观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是 ，其通项公式为. 三.解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本题满分7分) 在中，角A，B，C的对边分别为. （1）求的值； （2）求的面积. 16. (本题满分7分)等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列 （1）求{}的公比； （2）求－＝3，求 17．的前项和为,且（）． （1）证明:数列是等比数列； （2）若数列满足，且，求数列的通项公式． 18. (本题满分7分)已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点. (1) 求线段的长；(2)求的面积. 19. (本题满分7分)已知物线C： x 2=2py (p>0)的焦点F在直线上. （1）求物线C的方程； （2）设直线l经过点A（-1，-2），且与物线C有且只有一个公共点，求直线l的方程. 20. (本题满分8分)给出下面的数表序列： 其中表有行，第1行的个数是，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。
北京市海淀进修实验学校2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题
2015—2016学年度第一学期期中练习高二数学 2015.11一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，把答案填在答题纸上的表格内．1．下列说法正确的是（ ）A ．三点确定一个平面B ．梯形一定是平面图形C ．四边形一定是平面图形D ．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 2.已知命题:p “0a ∀>，有e 1a≥成立”，则p ⌝为（ ）A.0a ∃>，有e 1a<成立 B. 0a ∃≤，有e 1a≥成立 C. 0a ∃≤，有e 1a ≤成立 D. 0a ∃>，有e 1a≤成立3.在正方体1111ABCD A B C D -的棱所在的直线中，与直线AB 垂直的异面直线共有（ ）A ．1条B ．2条C ．4条D ．8条4. 命题p ：22,0x x ax a ∀∈++≥R ；命题q ：若一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ．()p q ⌝∨ D ．()()p q ⌝∧⌝ 5．已知m ，n 表示两条不同直线，α 表示平面．下列说法正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nC ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α6.设直线l ，m ,n 均为直线，其中m ,n 在平面α内, 则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设,,,A B C D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．的是（ ） 班级 姓名 学号 装订线ABCD（第3题图）A 11C 1D 1俯视图侧（左）视图正（主）视图A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若,AB AC DB DC ==，则AD BC ⊥ D ．若,AB AC DB DC ==，则AD BC =8．如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别是BC 1、BD 的中点，则至少过正方体3个顶点的截面中与EF 平行的截面个数为（ ）A.2B.3C.4D.5二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分 9．高为2的圆柱侧面积为4π，此圆柱的体积为 .10.已知直线b ∥平面α，平面α∥平面β，则直线b 与β的位置关系为 . 11. 命题“如果直线l 垂直于平面α内的两条相交直线，则直线l 垂直于平面α”的否命题是 ;该否命题是 命题．(填“真”或“假”) 12.给定下列命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直； ③垂直于同一直线的两条直线互相平行；④若两个平面互相垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中为真命题的序号是 .13.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥四个面的面积中最大值是 .14.如图，在四棱锥S ABCD -中，SB ⊥底面ABCD ．底面ABCD 为梯形，AB AD ⊥，AB ∥CD ,1,3AB AD ==，2CD =．若点E 是线段ADSABCDEFA 1B 1C 1D 1上的动点，则满足90SEC ∠=︒的点E 的个数是个．三、解答题：本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知命题:p 2230m m +-≤成立.命题q ：方程2210x mx -+=有实数根.若p ⌝为假命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围．16.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 、Q 分别是棱DD 1、 CC 1的中点.（1）画出面D 1BQ 与面ABCD 的交线，简述画法及确定交线的依据. （2）求证：平面D 1BQ ∥平面P AO17.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 是菱形，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求证：//BC 平面11AB C ； （2）求证：1B C ⊥1AC ；CBC 1B 11A班级 姓名 学号 装订线18.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，又AD ∥BC ，AD DC ⊥， 且33PD BC AD ===.（1）在下列网格中画出四棱锥P ABCD -的正视图； （2）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；（3）求证：棱PB 上存在一点E ，使得AE ∥平面PCD ，并求PEEB的值.DCBAP2015—2016学年度第一学期期中练习 答题纸高二数学一、 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9. ； 10. ；11. ， ；12. ； 13. ；14. .三、解答题：本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知命题:p 2230m m +-≤成立.命题2:210q x mx -+=方程有实数根.若p ⌝为假命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围．班级 姓名 学号 装订线16.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 、Q 分别是棱DD 1、 CC 1的中点.（1）画出面D 1BQ 与面ABCD 的交线，简述画法及确定交线的依据. （2）求证：平面D 1BQ ∥平面P AO17.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 是菱形，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求证：//BC 平面11AB C ； （2）求证：1B C ⊥1AC ；CBC 1B 1A 1A18.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，又AD ∥BC ，AD DC ⊥， 且33PD BC AD ===.（1）在下列网格中画出四棱锥P ABCD -的正视图；（2）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；（3）求证：棱PB 上存在一点E ，使得AE ∥平面PCD ，并求PEEB的值.班级 姓 学号装订线DCBAP2015—2016学年度第一学期期中练习 参考答案高二数学一、 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项三、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9. 2π ; 10. b ∥β或 b ⊂β；11. 否命题：如果直线l 不垂直于平面α内的两条相交直线，则直线l 不垂直于平面α；真 12.②和④； 13. ； 14.2.三、解答题：本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（9分）已知命题:p 2230m m +-≤成立. 命题q ：方程2210x mx -+=有实数根.若p⌝号 装订线为假命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围． 解：由p ⌝为假命题，p q ∧为假命题可知，命题p 为真命题，命题q 为假命题………………………………………………2分命题p ：2230m m +-≤可得[3,1]m ∈- ，…………………………………5分命题2:210q x mx -+=方程有实数根，可得(,1][1,)m ∈-∞⋃+∞…………7分 由于q 为假，则(1,1)m ∈-综上，(1,1)m ∈-…………………………………………………………………9分16.（10分）如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 、Q 分别是棱DD 1、 CC 1的中点.（1）画出面D 1BQ 与面ABCD 的交线，简述画法及确定交线的依据. （2）求证：平面D 1BQ ∥平面P AO（1）解：作法：延长D 1Q 与DC ，交于点M ，连接BM.得BM 即为面 面D 1BQ 与面ABCD 的交线……………………………………2分 理由如下：由作法可知，1M D Q ∈直线 又1D Q ⊂ 直线面D 1BQM ∴∈面D 1BQ同理可证M ∈面ABCD则M 在面D 1BQ 与面ABCD 的交线上， 又因为B ∈ 面D 1BQ 且B ∈面ABCD,则B 也在面D 1BQ 与面ABCD 的交线上，………………………………4分且面D 1BQ 与面ABCD 有且只有一条交线，则BM 即为所求交线. …………………………………………………5分（2）连接PQ 、BD ，易证四边形P ABQ 为平行四边形AP ∴∥BQ AP ⊂ 面AOPBQ ⊄面AOPBQ ∴∥面AOP …………………………………………8分同理可证1D B ∥面AOP又1=BQ D B B ⋂ ，BQ ⊂面1BQD ，1BD ⊂面1BQDM∴ 面1BQD ∥面AOP …………………………………10分17.（共11分）证明：（Ⅰ）在菱形11BB C C 中，BC ∥11B C . 因为 BC Ë平面11AB C ，11B C Ì平面11AB C ，所以 //BC 平面11AB C . ………………3分 （Ⅱ）连接1BC .在正方形11ABB A 中，1AB BB^. 因为 平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B 平面111BB C C BB =，AB Ì平面11ABB A ， 所以 AB ^平面11BB C C . …………………6分 因为 1B C Ì平面11BB C C ， 所以 1AB B C ^. ………………………………7分 在菱形11BB C C 中，11BC B C ^.因为 1BC Ì平面1ABC ，AB Ì平面1ABC ，1BC AB B =， 所以 1B C ^平面1ABC . ………………………9分 因为 1AC Ì平面1ABC ，所以 1B C ⊥1AC . ………………11分 18.（共14分）解：四棱准P ABCD -的正视图如图所示.（Ⅰ）OEDCBAPCBC 1B 1A 1A………………3分（Ⅱ）证明：因为 PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以 PD AD ⊥. ………………5分 因为 AD DC ⊥，PD CD D = ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AD ⊥平面PCD . ………………7分 因为 AD ⊂平面PAD ，所以 平面PAD ⊥平面PCD . ………………8分（Ⅲ）分别延长,CD BA 交于点O ，连接PO ，在棱PB 上取一点E ，使得12PE EB =.下证//AE 平面PCD .………………10分因为 //AD BC ，3BC AD =，所以 13OA AD OB BC ==，即12OA AB =. 所以OA PE AB EB =. 所以 //AE OP . ………………12分因为OP ⊂平面PCD ，AE ⊄平面PCD ，所以 //AE 平面PCD . ………………14分。
北京市海淀区教师进修学校附属实验中学高二数学上学期期中试题 理 新人教A版
2013—2014学年度第一学期期中练习 高二数学(理科)A 卷考 生 须 知1、本卷共8 页，包括三个大题， 19小题，满分为100分.练习时间90分钟2、答题前，考生应认真在密封线外填写班级、姓名和学号3、必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液4、不按以上要求作答的答案无效一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则CB BA CD +-uu r uu r uu u r等于( ） A ．DB uu u rB ．AD uuu rC ．DA uu u rD ．AC uuu r2．下列每对向量具有垂直关系的是（ ）A ．(3,2,3),(1,1,1)-B ．(2,1,3),(6,5,7)--C ．(3,4,0),(0,0,5)D ．(4,0,3),(8,0,6)3．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知AB uu u r ＝a ，AD uuu r＝b ， 1AA uuu r ＝c ，则用向量a ，b ，c 可表示向量1BD uuu r等于 ( )A ．a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b －cD ．－a ＋b ＋c4．已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.05．圆柱的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，从A 绕柱面到另一端C 最矩距离是 ( ) A ．42+π B ．4 C ．122+π D ．226．正方体的外接球与内切球的球面面积分别为S 1和S 2则( )A ．S 1＝2S 2B ．S 1＝3S 2C ．S 1＝4S 2D ．S 1＝23S 27．设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列结论正确的是( ) A ．若l ∥α，l ∥β，则//αβ B ．若//l α，l ⊥β，则α⊥β C ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥β D ．若α⊥β, //l α，则l ⊥β8．如图，点O 为正方体1111ABCD A B C D -的中心，点E 为面11B BCC 的中心，点F 为11B C 的中点，班级 姓名 学号 装订线则空间四边形1D OEF 在该正方体的面上的正投影可能是( )A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③9．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示， 则这个三棱柱的左视图的面积为( ) A ．36 B ．8 C ．38 D ．1210．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的面对角 线1A B 上存在一点P 使得1AP D P +最短， 则1AP D P +的最小值为( ) A ．22+B ． 26+C ． 2D ．13+二、填空题:本大题共5小题,每小题4分，满分20分11．已知向量(0,2,1),(0,4,2)a b ==--r r 则向量,a b r r的关系为_____________.12．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示,已知''''3,2AC B C ==,则AB边上的中线的实际长度为 .13．若空间向量,,a b c r u r r 满足 ||1,||2,||3a b c ===r u r u r ， 0a b b c c a ⋅+⋅+⋅=r r r r r r ，则||a b c ++u r r r= .14．若两点的坐标是(3cos ,3sin ,1),(2cos ,2sin ,1)A B αααα，则AB 的取值范围是_________. 15．如图，在透明材料制成的长方体容器ABCD —A 1B 1C 1D 1内灌注一些水，固定容器底面一边BC 于桌面上，再将容器倾斜根据倾斜度的不同，有下列命题： （1）水的部分始终呈棱柱形；（2）水面四边形EFGH 的面积不会改变；（3）棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行； （4）当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值。
北京市高二上学期期中数学试卷含答案(共3套)
北京师大附中高中二年级上学期期中考试数学试卷本试卷满分100分。
考试时间为120分钟。
第一部分：学考数学（共76分）一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分）1. 某超市有三类食品，其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有20种、15种和10种，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本进行安全检测，若果蔬类抽取4种，则n 为（ ） A. 3B. 2C. 5D. 92. 从2件正品、2件次品中随机抽取出两件，则恰好是1件正品、1件次品的概率是（ ） A. 3／4B. 1／4C. 1／2D. 2／33. 口袋中装有大小、材质都相同的6个小球，其中有3个红球、2个黄球和1个白球，从中随机摸出1个球，那么摸到红球或白球的概率是（ ）A.61B.31 C.21 D.32 4. 有5个大小相同的球，上面分别标有1，2，3，4，5，现任取两个球，两个球序号相邻的概率是（ ） A. 2／5B. 3／5C. 4／5D. 3／105. 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个，则互斥但不对立的两个事件是（ ） A. 至少一个白球与都是白球B. 至少一个白球与至少一个红球C. 恰有一个白球与恰有2个白球D. 至少一个白球与都是红球6. 从装有1个白球、2个黑球的盒子中任取两球，则取到的两球均为黑球的概率是（ ） A. 1／4B. 1／2C. 1／3D. 2／37. 下图是500名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，分数区间为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，则这500名学生中测试成绩在区间[90，100]中的学生人数是（ ）sA. 60B. 55C. 45D. 508. 某学校为了调查高一年级的200名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行抽查；第二种由教务处对该年级的学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查，则这两种抽样的方法依次是（ ） A. 分层抽样，简单随机抽样 B. 简单随机抽样，分层抽样 C. 分层抽样，系统抽样D. 简单随机抽样，系统抽样9. 如下图，长方形的面积为2，将1000颗豆子随机地撒在长方形内，其中恰好有600颗豆子落在阴影部分内，则可以估计图中阴影部分的面积约为A.32 B.54 C.56 D.34 10. 已知由数字1、2、3组成无重复数字的三位数，则该数为偶数的概率为（ ） A. 2／3 B. 1／4 C. 1／3 D. 1／2二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11. 从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量分别为（单位：克）125、124、122、123、126，则该样本方差=2s ________12. 袋中有大小相同的黑球和白球各1个，每次从袋中抽取1个，有放回地随机抽取3次，则至少抽到1个黑球的概率是________13. 在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率为__________14. 调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程为321.0254.0+=∧x y ，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015—2016学年度第一学期期中练习高二数学 2015.11一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，把答案填在答题纸上的表格内．1．下列说法正确的是（ ）A ．三点确定一个平面B ．梯形一定是平面图形C ．四边形一定是平面图形D ．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 2.已知命题:p “0a ∀>，有e 1a≥成立”，则p ⌝为（ ）A.0a ∃>，有e 1a<成立 B. 0a ∃≤，有e 1a≥成立 C. 0a ∃≤，有e 1a ≤成立 D. 0a ∃>，有e 1a≤成立3.在正方体1111ABCD A B C D -的棱所在的直线中，与直线AB 垂直的异面直线共有（ ）A ．1条B ．2条C ．4条D ．8条4. 命题p ：22,0x x ax a ∀∈++≥R ；命题q ：若一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ．()p q ⌝∨ D ．()()p q ⌝∧⌝ 5．已知m ，n 表示两条不同直线，α 表示平面．下列说法正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nC ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α6.设直线l ，m ,n 均为直线，其中m ,n 在平面α内, 则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设,,,A B C D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．的是（ ） 班级 姓名 学号 装订线ABCD（第3题图）A 11C 1D 1俯视图侧（左）视图正（主）视图A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若,AB AC DB DC ==，则AD BC ⊥ D ．若,AB AC DB DC ==，则AD BC =8．如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别是BC 1、BD 的中点，则至少过正方体3个顶点的截面中与EF 平行的截面个数为（ ）A.2B.3C.4D.5二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分 9．高为2的圆柱侧面积为4π，此圆柱的体积为 .10.已知直线b ∥平面α，平面α∥平面β，则直线b 与β的位置关系为 . 11. 命题“如果直线l 垂直于平面α内的两条相交直线，则直线l 垂直于平面α”的否命题是 ;该否命题是 命题．(填“真”或“假”) 12.给定下列命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直； ③垂直于同一直线的两条直线互相平行；④若两个平面互相垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中为真命题的序号是 .13.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥四个面的面积中最大值是 .14.如图，在四棱锥S ABCD -中，SB ⊥底面ABCD ．底面ABCD 为梯形，AB AD ⊥，AB ∥CD ,1,3AB AD ==，2CD =．若点E 是线段ADBCDESA ABCDEFA 1B 1C 1D 1上的动点，则满足90SEC ∠=︒的点E 的个数是个．三、解答题：本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知命题:p 2230m m +-≤成立.命题q ：方程2210x mx -+=有实数根.若p ⌝为假命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围．16.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 、Q 分别是棱DD 1、 CC 1的中点.（1）画出面D 1BQ 与面ABCD 的交线，简述画法及确定交线的依据. （2）求证：平面D 1BQ ∥平面P AO17.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 是菱形，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求证：//BC 平面11AB C ； （2）求证：1B C ⊥1AC ；CBC 1B 11A班级 姓名 学号 装订线18.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，又AD ∥BC ，AD DC ⊥， 且33PD BC AD ===.（1）在下列网格中画出四棱锥P ABCD -的正视图； （2）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；（3）求证：棱PB 上存在一点E ，使得AE ∥平面PCD ，并求PEEB的值.DCBAP2015—2016学年度第一学期期中练习 答题纸高二数学一、 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9. ； 10. ；11. ， ；12. ； 13. ；14. .三、解答题：本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知命题:p 2230m m +-≤成立.命题2:210q x mx -+=方程有实数根.若p ⌝为假命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围．班级 姓名 学号 装订线16.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 、Q 分别是棱DD 1、 CC 1的中点.（1）画出面D 1BQ 与面ABCD 的交线，简述画法及确定交线的依据. （2）求证：平面D 1BQ ∥平面P AO17.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 是菱形，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求证：//BC 平面11AB C ； （2）求证：1B C ⊥1AC ；CBC 1B 1A 1A18.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，又AD ∥BC ，AD DC ⊥， 且33PD BC AD ===.（1）在下列网格中画出四棱锥P ABCD -的正视图；（2）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；（3）求证：棱PB 上存在一点E ，使得AE ∥平面PCD ，并求PEEB的值.班级 姓 学号装订线DCBAP2015—2016学年度第一学期期中练习 参考答案高二数学一、 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项三、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9. 2π ; 10. b ∥β或 b ⊂β；11. 否命题：如果直线l 不垂直于平面α内的两条相交直线，则直线l 不垂直于平面α；真 12.②和④； 13. ； 14.2.三、解答题：本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（9分）已知命题:p 2230m m +-≤成立. 命题q ：方程2210x mx -+=有实数根.若p⌝号 装订线 学为假命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围． 解：由p ⌝为假命题，p q ∧为假命题可知，命题p 为真命题，命题q 为假命题………………………………………………2分命题p ：2230m m +-≤可得[3,1]m ∈- ，…………………………………5分命题2:210q x mx -+=方程有实数根，可得(,1][1,)m ∈-∞⋃+∞…………7分 由于q 为假，则(1,1)m ∈-综上，(1,1)m ∈-…………………………………………………………………9分16.（10分）如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 、Q 分别是棱DD 1、 CC 1的中点.（1）画出面D 1BQ 与面ABCD 的交线，简述画法及确定交线的依据. （2）求证：平面D 1BQ ∥平面P AO（1）解：作法：延长D 1Q 与DC ，交于点M ，连接BM.得BM 即为面 面D 1BQ 与面ABCD 的交线……………………………………2分 理由如下：由作法可知，1M D Q ∈直线 又1D Q ⊂ 直线面D 1BQM ∴∈面D 1BQ同理可证M ∈面ABCD则M 在面D 1BQ 与面ABCD 的交线上， 又因为B ∈ 面D 1BQ 且B ∈面ABCD,则B 也在面D 1BQ 与面ABCD 的交线上，………………………………4分且面D 1BQ 与面ABCD 有且只有一条交线，则BM 即为所求交线. …………………………………………………5分（2）连接PQ 、BD ，易证四边形P ABQ 为平行四边形AP ∴∥BQ AP ⊂ 面AOPBQ ⊄面AOPBQ ∴∥面AOP …………………………………………8分同理可证1D B ∥面AOP又1=BQ D B B ⋂ ，BQ ⊂面1BQD ，1BD ⊂面1BQDM∴ 面1BQD ∥面AOP …………………………………10分17.（共11分）证明：（Ⅰ）在菱形11BB C C 中，BC ∥11B C . 因为 BC Ë平面11AB C ，11B C Ì平面11AB C ，所以 //BC 平面11AB C . ………………3分 （Ⅱ）连接1BC .在正方形11ABB A 中，1AB BB^. 因为 平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B 平面111BB C C BB =，AB Ì平面11ABB A ， 所以 AB ^平面11BB C C . …………………6分 因为 1B C Ì平面11BB C C ， 所以 1AB B C ^. ………………………………7分 在菱形11BB C C 中，11BC B C ^.因为 1BC Ì平面1ABC ，AB Ì平面1ABC ，1BC AB B =， 所以 1B C ^平面1ABC . ………………………9分 因为 1AC Ì平面1ABC ，所以 1B C ⊥1AC . ………………11分 18.（共14分）解：四棱准P ABCD -的正视图如图所示.（Ⅰ）OEDCBAPCBC 1B 1A 1A………………3分（Ⅱ）证明：因为 PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以 PD AD ⊥. ………………5分 因为 AD DC ⊥，PD CD D = ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AD ⊥平面PCD . ………………7分 因为 AD ⊂平面PAD ，所以 平面PAD ⊥平面PCD . ………………8分（Ⅲ）分别延长,CD BA 交于点O ，连接PO ，在棱PB 上取一点E ，使得12PE EB =.下证//AE 平面PCD .………………10分因为 //AD BC ，3BC AD =，所以 13OA AD OB BC ==，即12OA AB =. 所以OA PE AB EB =. 所以 //AE OP . ………………12分因为OP ⊂平面PCD ，AE ⊄平面PCD ，所以 //AE 平面PCD . ………………14分。