2015年秋新人教版九年级数学上册四清导航单元教学习题课件21.1一元二次方程
数学人教版九年级上册21.1一元二次方程(第一课时)
一元二次方程教学设计【教材分析】本节内容是人民教育出版社义务教育课程标准实验教科书第二十一章第一节一元二次方程，以生活中的实际问题为背景，引出一元二次方程的概念，让学生掌握一元二次方程的特点，归纳出一元二次方程的一般形式，给出一元二次方程的根的概念。
本节内容是在前面所学方程、一元一次方程、整式的基础上进行学习，也是后面学习二次函数的一个基础，起到了承上启下的作用。
此外，二元一次方程在中考中占有一定的比重，而本节这些概念是全章后继内容的基础。
在生活中解决实际问题时一元二次方程也有着广泛的应用，充分体现着数学来源于生活，又服务于生活的基本思想。
【学情分析】从心里特征来看，我所教学的学生是我校初三学生，经过两年的学习，大部分学生知识经验丰富了许多，他们的智力发展已得到了大幅度提升，具备了较强的验算和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。
从认知情况来看，在本节课之前学生已经学习了方程、一元一次方程、一元二次方程、分式方程、整式，在八年级下学期勾股定理一节中接触过一元二次方程，这都为一元二次方程概念和一般式的教学提供了基础；同时学生已有了从实际问题中找等量关系的基本能力，因此在教学中以实际问题引出，通过学生自主探究、合作交流等形式主动建构知识，体验学习数学的成就感。
【设计思想】建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程，因此，应该让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构。
根据课标要求，本课时要让学生体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解方程，并通过用方程表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识。
因此，本课时我主要通过丰富的实例，如“年龄问题”、“如何制作方盒”、“怎样组织排球赛”等问题，建立一元二次方程，让学生通过观察归纳出一元二次方程的有关概念，从中体会方程的模型思想。
人教版九年级数学上册《21.1 一元二次方程》.docx
初中数学试卷桑水出品《21.1 一元二次方程》一．选择题1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x﹣2=0 B．x2﹣4x﹣1=0 C．x2﹣2x﹣3 D．xy+1=02．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．5x+3=0 B．x2﹣x（x+1）=0 C．4x2=9 D．x2﹣x3+4=03．关于x 的方程是一元二次方程，则a的值是（）A．a=±2 B．a=﹣2 C．a=2 D ．4．把一元二次方程2x（x﹣1）=（x﹣3）+4化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（）A．2，﹣3 B．﹣2，﹣3 C．2，﹣3x D．﹣2，﹣3x5．若关于x的一元二次方程x2+5x+m2﹣1=0的常数项为0，则m等于（）A．1 B．2 C．1或﹣1 D．06．把方程2（x2+1）=5x化成一般形式ax2+bx+c=0后，a+b+c的值是（）A．8 B．9 C．﹣2 D．﹣17．已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣28．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a﹣b的值是（）A．2018 B．2008 C．2014 D．2012二．填空题9．关于x的方程（m﹣3）﹣x=5是一元二次方程，则m=______．10．若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程，则k的取值范围是______．11．方程（3x﹣1）（x+1）=5的一次项系数是______．12．一元二次方程3x2+2x﹣5=0的一次项系数是______．13．关于x的一元二次方程3x（x﹣2）=4的一般形式是______．14．方程3x2=5x+2的二次项系数为______，一次项系数为______．15．已知x=﹣1是方程x2+mx+1=0的一个根，则m=______．16．已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为______．17．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4=0的一个根为0，则m值是______．18．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为1，一个根为﹣1，则a+b+c=______，a﹣b+c=______．三．解答题19．若（m+1）x|m|+1+6x﹣2=0是关于x的一元二次方程，求m的值．20．关于x的方程（m2﹣8m+19）x2﹣2mx﹣13=0是否一定是一元二次方程？请证明你的结论．21．一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0化为一般式后为3x2+2x﹣1=0，试求a2+b2﹣c2的值的算术平方根．《21.1 一元二次方程》参考答案与试题解析一．选择题1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x﹣2=0 B．x2﹣4x﹣1=0 C．x2﹣2x﹣3 D．xy+1=0【解答】解：A、本方程未知数x的最高次数是1；故本选项错误；B、本方程符合一元二次方程的定义；故本选项正确；C、x2﹣2x﹣3是代数式，不是等式；故本选项错误；D、本方程中含有两个未知数x和y；故本选项错误；故选B．2．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．5x+3=0 B．x2﹣x（x+1）=0 C．4x2=9 D．x2﹣x3+4=0【解答】解：A、方程5x+3=0未知数的最高次数是1，属于一元一次方程，故本选项错误；B、由原方程，得﹣x=0，属于一元一次方程，故本选项错误；C、符合一元二次方程的定义．故本选项正确；D、未知数x的最高次数是3，故本选项错误；故选：C．3．关于x的方程是一元二次方程，则a的值是（）A．a=±2 B．a=﹣2 C．a=2 D．【解答】解：根据题意得，解得a=2．故选C．4．把一元二次方程2x（x﹣1）=（x﹣3）+4化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（）A．2，﹣3 B．﹣2，﹣3 C．2，﹣3x D．﹣2，﹣3x【解答】解：一元二次方程2x（x﹣1）=（x﹣3）+4，去括号得：2x2﹣2x=x﹣3+4，移项，合并同类项得：2x2﹣3x﹣1=0，其二次项系数与一次项分别是2，﹣3x．故选C．5．若关于x的一元二次方程x2+5x+m2﹣1=0的常数项为0，则m等于（）A．1 B．2 C．1或﹣1 D．0【解答】解：∵x2+5x+m2﹣1=0的常数项为0，∴m2﹣1=0，解得：m=1或﹣1．故选C6．把方程2（x2+1）=5x化成一般形式ax2+bx+c=0后，a+b+c的值是（）A．8 B．9 C．﹣2 D．﹣1【解答】解：2（x2+1）=5x，2x2+2﹣5x=0，2x2﹣5x+2=0，这里a=2，b=﹣5，c=2，即a+b+c=2+（﹣5）+2=﹣1，故选D．7．已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程，即32﹣3k﹣6=0成立，解得k=1．故选：A．8．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a﹣b的值是（）A．2018 B．2008 C．2014 D．2012【解答】解：∵x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根，∴a•12+b•1+5=0，∴a+b=﹣5，∴2013﹣a﹣b=2013﹣（a+b）=2013﹣（﹣5）=2018．故选：A．二．填空题9．关于x的方程（m﹣3）﹣x=5是一元二次方程，则m= ﹣3 ．【解答】解：由一元二次方程的特点得，解得m=﹣3．10．若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程，则k的取值范围是k≠3 ．【解答】解：化为一般形式是（k﹣3）x2+x﹣1=0，根据题意得：k﹣3≠0，解得k≠3．11．方程（3x﹣1）（x+1）=5的一次项系数是 2 ．【解答】解：（3x﹣1）（x+1）=5，去括号得：3x2+3x﹣x﹣1=5，移项、合并同类项得：3x2+2x﹣6=0，即一次项系数是2，故答案为：2．12．一元二次方程3x2+2x﹣5=0的一次项系数是 2 ．【解答】解：一元二次方程3x2+2x﹣5=0的一次项系数是：2．故答案为：2．13．关于x的一元二次方程3x（x﹣2）=4的一般形式是3x2﹣6x﹣4=0 ．【解答】解：方程3x（x﹣2）=4去括号得3x2﹣6x=4，移项得3x2﹣6x﹣4=0，原方程的一般形式是3x2﹣6x﹣4=0．14．方程3x2=5x+2的二次项系数为 3 ，一次项系数为﹣5 ．【解答】解：∵3x2=5x+2的一般形式为3x2﹣5x﹣2=0，∴二次项系数为3，一次项系数为﹣5．15．已知x=﹣1是方程x2+mx+1=0的一个根，则m= 2 ．【解答】解：把x=﹣1代入方程可得：1﹣m+1=0，解得m=2．故填2．16．已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为 1 ．【解答】解：∵x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，∴m+n+1=0，∴m+n=﹣1，∴m2+2mn+n2=（m+n）2=（﹣1）2=1．故答案为：1．17．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4=0的一个根为0，则m值是﹣2 ．【解答】解：根据题意，得x=0满足关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4=0，∴m2﹣4=0，解得，m=±2；又∵二次项系数m﹣2≠0，即m≠2，∴m=﹣2；故答案为：﹣2．18．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为1，一个根为﹣1，则a+b+c= 0 ，a﹣b+c= 0 ．【解答】解：根据题意，一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根为1，一个根为﹣1，即x=1或﹣1时，ax2+bx+c=0成立，即a+b+c=0或a﹣b+c=0故答案为0，0．三．解答题19．若（m+1）x|m|+1+6x﹣2=0是关于x的一元二次方程，求m的值．【解答】解：因为是关于x的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则（m+1）x|m|+1一定是此二次项．所以得到，解得m=1．20．关于x的方程（m2﹣8m+19）x2﹣2mx﹣13=0是否一定是一元二次方程？请证明你的结论．【解答】解：方程m2﹣8m+19=0中，b2﹣4ac=64﹣19×4=﹣8＜0，方程无解．故关于x的方程（m2﹣8m+19）x2﹣2mx﹣13=0一定是一元二次方程．21．一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0化为一般式后为3x2+2x﹣1=0，试求a2+b2﹣c2的值的算术平方根．【解答】解：整理a（x+1）2+b（x+1）+c=0得ax2+（2a+b）x+（a+b+c）=0，则，解得，∴a2+b2﹣c2=9+16=25，∴a2+b2﹣c2的值的算术平方根是5．。
人教版初中数学课标版九年级上册第二十一章 21.2 解一元二次方程因式分解法(共17张PPT)
还
10x - 4.9x 2 = 0
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其
降 配方法
它
更
次 公式法
简 便
？
的 方
x1=
0
，x2 =
100 49
2.04
法 吗 ？
探究新知
观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？你能根据 它的特点找到更简便的方法吗？
10x - 4.9x2 = 0
左边因式分解
x（10 - 4.9x）= 0
用降次法中的因式分解法解一元二次方程．
复习引入
1、解一元二次方程的基本思路是什么？ 把二次方程转化为一次方程即降次
2、我们学过了用降次法中的哪几种方法来 解一元二次方程？
配方法和公式法
复习引入
3、什么叫因式分解？因式分解有哪几种方 法？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式 分解或分解因式；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.2421.8.2422:38:5422:38:54August 24, 2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月24日星期二下午10时38分54秒22:38:5421.8.24
应用新知
1、用因式分解法解下列方程
（1）3x2+6x=0
（2）y(y-1)=2y-2
解 （1）3x(x+2)=0
：
∴3x=0或x+2=0
∴x1=0,x2=-2
(2)y(y-1)-2(y-1)=0 (y-1)(y-2)=0
∴y-1=0或y-2=0
新人教版九年级数学上册全册ppt课件
1．探究因式分解法
你认为该如何解决这个问题？你想用哪种方法解这 个方程？
10x - 4.9x2 = 0
配方法 降 公式法 次
？
x
1
=
0，x
2
=
100 49
1．探究因式分解法
问题3 观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？ 你能根据它的特点找到更简便的方法吗？
x2 + 6x = -4 x2 + 6x + 9 = -4 + 9 （x + 3）2 = 5
x3 5
移项
两边加 9，左边 配成完全平方式 左边写成完全 平方形式
降次
x 3 5 ，或 x 3 5
解一次方程
x1 3 5， x2 3 5
2．推导求根公式
想一想：以上解法中，为什么在方程③两边加 9？ 加其他数可以吗？如果不可以，说明理由．
• 学习重点： 一元二次方程的概念．
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 1．要设计一座高 2 m 的人体雕像，使它的上部 （腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全 部（全身）的高度比，求雕像的下部应设计为高多少米？
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 2．有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它 的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分 折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒 的底面积为 3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方 形？
1．复习配方法，引入公式法
问题2 能否用公式法解决一元二次方程的求根问 题呢？
人教版数学九上课件【四清导航】第二十一章
24．(10分)某水果经销商上月份销售一种新上市的水果，平均售价为10 元/千克，月销售量为1000千克．经市场调查，若将该水果价格调低至x 元/千克，则本月份销售量y(千克)与x(元/千克)之间符合一次函数关系式 y＝kx＋b，当x＝7时，y＝2000；当x＝5时，y＝4000. (1)求y与x之间的函数关系式； (2)已知该种水果上月份的成本价为5元/千克，本月份的成本价为4元/千 克，要使本月份销售该种水果所获利润比上月份增加20%，同时又要让 顾客得到实惠，那么该种水果价格每千克应调低至多少元？(利润＝售 价－成本价)
(1)y＝－1000x＋9000 (2)由题意可得1000(10－5)(1＋20%)＝(－1000x＋9000)(x－4)，整理得 x2－13x＋42＝0，解得x1＝6，x2＝7(舍去)，所以该种水果价格每千克 应调低至6元
25．(10分)如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动 点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着 AC方向以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t(s)．
6．已知关于x的方程kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是() C A．当k＝0时，方程无解 B．当k＝1时，方程有一个实数解 C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解 D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解
7．下列方程，适合用因式分解法解的是() C
A．x2－4 2x＋1＝0
B．2x2＝x－3
(1) Δ＝4－4(2k－4)＝20－8k，∵方程有两个不等的实根，
【最新】新人教版九年级数学上册四清导航同步习题精讲课件22.3.1二次函数与图形面积
5．(4分)用一定长度的绳子围成一个矩形，若矩形的一边长 x(m)与面积y(m2)满足关系式y＝－(x－12)2＋144(0＜x＜24)， 144 ，此时x＝____ 12 ． 则该矩形面积的最大值为____
6．(4分)某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用长 为16 m的旧墙，其余各面用木材围成栅栏，栅栏的总长为24 m， 设每间羊圈与墙垂直的一边长为x(m)，三间羊圈的总面积为 S(m2)，则S与x的函数关系式为 S＝－4x2＋24x ，x的取值范围 3 2≤x＜6 ，当x＝____ 是 时，面积S最大， 36m2 最大面积为____ ．
2
8．(8分)手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝， 这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积 S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而 变化．
(1)请直接写出S与x之间的函数解析式(不要求写出自变量 x的取值范围)；
(2)当x是多少时，菱形风筝的面积S最大？最大面积是多 少？
11．如图所示，已知正方形 ABCD 的边长为 1，E，F，G，H 分别为各边上的点，且 AE＝BF＝CG＝DH，设小正方形 EFGH 的面 2 积为 S，AE 为 x，则 S 关于 x 的函数解析式为 S＝2x －2x＋1 ， 1 当 x＝____ 2 时，S 的值最小．
三、解答题(共 42 分) 12．(12 分)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分 是长方体，抽屉底面周长为 180 cm，高为 20 cm，请通过计算说明， 当底面的宽 x 为何值时， 抽屉的体积 y 最大？最大为多少？(材质及其 厚度等暂忽略不计)
1 1 2 解：(1)S＝ ·x(60－x)＝－ x ＋30x 2 2
1 2 1 b (2)∵S＝－ x ＋30x， a＝－ ＜0， ∴S 有最大值， ∴当 x＝－ ＝ 2 2 2a 1 2 4 ×（－ ）× 0 － 30 2 4ac－b 2 30 － ＝30 时， S 有最大值为 ＝ ＝ 1 4a 1 2×（－ ） 4×（－ ） 2 2 450.∴当 x 为 30 cm 时，菱形风筝的的面积最大，为 450 cm2
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程学案1(新版)新人教版
22．1 一元二次方程一、学习目标1、正确理解一元二次方程的意义,并能判断一个方程是否是一元二次方程；2、知道一元二次方程的一般形式是20(ax bx c a b c ++=、、是常数,0a ≠） ,能说出二次项及其系数,一次项及其系数和常数项；3、理解并会用一元二次方程一般形式中a ≠0这一条件；4、通过问题情境,进一步体会学习和探究一元二次方程的必要性,体会数学知识来源于生活,又能为生活服务,从而激发学习热情,提高学习兴趣。
重难点关键1．•重点:一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2．难点关键:通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型,•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．二、知识准备1、只含有_____个未知数,且未知数的最高次数是_______的整式方程叫一元一次方程2、方程2（x+1）=3的解是____________3、方程3x+2x=0.44含有____个未知数,含有未知数项的最高次数是_____,它____ （填“是”或“不是”）一元一次方程。
三、学习过程1、 根据题意列方程:⑴正方形桌面的面积是2㎡,求它的边长。
设正方形桌面的边长是x m,根据题意,得方程_______________,这个方程含有_____个未知 数,未知数的最高次数是_____。
⑵如图4-1,矩形花园一面靠墙,另外三面所围的栅栏的总长度是19m,如果花园的面积是24㎡, 求花园的长和宽。
设花园的宽是x m,则花园的长是（19－2x ）m,根据题意,得:x (19－2x )=24,去括号, 得:______________这个方程含有____________个未知数,含有未知数项的最高次数是 ________。
⑶如图,长5m 的梯子斜靠在墙上,梯子的底端与墙的距离是3m 。
若梯子底端向右滑动的距离与 梯子顶端向下滑动的距离相等,求梯子滑动的距离。
设梯子滑动的距离是x m,根据勾股定理,滑动之前梯子的顶端离地面4m,则滑动后梯子的 顶端离地面（4－x ）m,梯子的底端与墙的距离是（3＋x ）m 。
【最新】新人教版九年级数学上册四清导航同步习题22.1.1二次函数(含答案)
22．1 二次函数的图象和性质22．1.1 二次函数1．设一个正方形的边长为x ，则该正方形的面积y ＝__x 2___，其中变量是__x ，y___，__y___是__x___的函数．2．一般地，形如y ＝ax 2＋bx ＋c(__a ，b ，c 为常数且a ≠0___)的函数，叫做二次函数，其中x 是自变量，a ，b ，c 分别为二次项系数、一次项系数、常数项．知识点1：二次函数的定义1．下列函数是二次函数的是( C )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝x 2＋2D ．y ＝0.5x －22．下列说法中，正确的是( B )A ．二次函数中，自变量的取值范围是非零实数B ．在圆的面积公式S ＝πr 2中，S 是r 的二次函数C ．y ＝12(x －1)(x ＋4)不是二次函数 D ．在y ＝1－2x 2中，一次项系数为13．若y ＝(a ＋3)x 2－3x ＋2是二次函数，则a 的取值范围是__a ≠－3___．4．已知二次函数y ＝1－3x ＋2x 2，则二次项系数a ＝__2___，一次项系数b ＝__－3___，常数项c ＝__1___．5．已知两个变量x ，y 之间的关系式为y ＝(a －2)x 2＋(b ＋2)x －3.(1)当__a ≠2___时，x ，y 之间是二次函数关系；(2)当__a ＝2且b ≠－2___时，x ，y 之间是一次函数关系．6．已知两个变量x ，y 之间的关系为y ＝(m －2)xm 2－2＋x －1，若x ，y 之间是二次函数关系，求m 的值．解：根据题意，得m 2－2＝2，且m －2≠0，解得m ＝－2知识点2：实际问题中的二次函数的解析式7．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价．若每件商品售价为x 元，则可卖出(350－10x)件商品，那么商品所赚钱数y 元与售价x 元的函数关系式为( B )A ．y ＝－10x 2－560x ＋7350B ．y ＝－10x 2＋560x －7350C ．y ＝－10x 2＋350x ＋7350D ．y ＝－10x 2＋350x －73508．某车的刹车距离y(m )与开始刹车时的速度x(m /s )之间满足二次函数y ＝120x 2(x ＞0)，若该车某次的刹车距离为5 m ，则开始刹车时的速度为( C )A ．40 m /sB ．20 m /sC ．10 m /sD ．5 m /s9．(2014·安徽)某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x 的函数关系式为y ＝__a(1＋x)2___．10．多边形的对角线条数d 与边数n 之间的关系式为__d ＝12n 2－32n___，自变量n 的取值范围是__n ≥3且为整数___；当d ＝35时，多边形的边数n ＝__10___．11．如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度a 为10米)围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米．(1)求S 与x 的函数关系式；(2)如果要围成面积为45平方米的花圃，AB 的长为多少米？解：(1)S ＝x(24－3x)，即S ＝－3x 2＋24x (2)当S ＝45时，－3x 2＋24x ＝45，解得x 1＝3，x 2＝5，当x ＝3时，24－3x ＝15＞10，不合题意，舍去；当x ＝5时，24－3x ＝9＜10，符合题意，故AB 的长为5米12．已知二次函数y＝x2－2x－2，当x＝2时，y＝__－2___；当x＝__3或－1___时，函数值为1.13．边长为4 m的正方形中间挖去一个边长为x(m)(x＜4)的小正方形，剩余的四方框的面积为y(m2)，则y与x之间的函数关系式为__y＝16－x2(0＜x＜4)___，它是__二次___函数．14．设y＝y1－y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是( C) A．正比例函数B．一次函数C．二次函数D．以上都不正确15．(2014·河北)某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x厘米，当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为( A)A．6厘米B．12厘米C．24厘米D．36厘米16．某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面周长为180 cm，高为20 cm.设底面的宽为x，抽屉的体积为y时，求y与x之间的函数关系式．(材质及其厚度等暂忽略不计)解：根据题意得y＝20x(90－x)，整理得y＝－20x2＋1800x17．某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时，平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围．解：降低x元后，所销售的件数是(500＋100x)，则y＝(13.5－2.5－x)(500＋100x)，即y＝－100x2＋600x＋5500(0＜x≤11)18．一块矩形的草坪，长为8 m，宽为6 m，若将长和宽都增加x m，设增加的面积为y m2.(1)求y与x的函数关系式；(2)若使草坪的面积增加32 m2，求长和宽都增加多少米？解：(1)y＝x2＋14x(x≥0)(2)当y＝32时，x2＋14x＝32，x1＝2，x2＝－16(舍去)，即长和宽都增加2 m19．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12 mm ，BC ＝24 mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2 mm /s 的速度移动(不与点B 重合)，动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4 mm /s 的速度移动(不与点C 重合)．如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，设运动的时间为x s ，四边形APQC 的面积为y mm 2.(1)求y 与x 之间函数关系式；(2)求自变量x 的取值范围；(3)四边形APQC 的面积能否等于172 mm 2？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．解：(1)由运动可知，AP ＝2x ，BQ ＝4x ，则y ＝12BC·AB －12BQ·BP ＝12×24×12－12×4x(12－2x)，即y ＝4x 2－24x ＋144(2)0＜x ＜6 (3)当x ＝172时，4x 2－24x ＋144＝172，解得x 1＝7，x 2＝－1.又∵0＜x ＜6，∴四边形APQC 的面积不能等于172 mm 2。
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解：∵k2－101k＋1＝0，∴k2－100k＝k－1，k2＋1＝ 2 k ＋1 1 101k 101k，原式＝k－1＋ ＝ －1＝ －1＝100 k k k
12．若关于x的一元二次方程为ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的一个解是x＝ 1，则2015－a－b的值是( A) A．2020 B．2010 C．2016 D．2014
13．若方程(m－2)x2＋ mx＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围 m≥0且m≠2 是________________ ．
9．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式． (1)正方体的表面积为54，求正方体的边长x；
解：6x2＝54，一般形式为6x2－54＝0
(2)x个球队参加篮球赛 ，参赛的每两个队之间都要比赛一场 ，一 共进行了30场比赛，求参赛的篮球队数x.
1 1 2 1 解： x(x－1)＝30，一般形式为 x － x－30＝0 2 2 2
≠±2 3．已知关于x的方程(m2－4)x2＋(m－2)x＋3m＝0.当m________ 时， 它是一元二次方程；当m________ 时 ＝－ 2 ，它是一元一次方程．
知识点2：一元二次方程的一般形式 4．方程3x2＝5x－1化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数 、一次项系数、常数项分别是( B ) A．3，5，－1 B．3，－5，1 C．3，－5，－1 D．3，5，1
10．下列是方程3x2＋5x－2＝0的解的是( ) C A．x＝－1 B．x＝1 C．x＝－2 D．x＝2 11．已知实数a，b满足a2－3a＋1＝0，b2－3b＋1＝0，则关于一元 二次方程x2－3x＋1＝0的根的说法中正确的是( D ) A．x＝a，x＝b都不是该方程的解 B．x＝a是该方程的解，x＝b不是该方程的解 C．x＝b是该方程的解，x＝a不是该方程的解 D．x＝a，x＝n＋2，则n2＋(n＋2)2＝130，2n2 ＋4n－126＝0
18．关于x的方程(a－3)x|a|－1＋x－5＝0是一元二次方程，求a的值．
|a|－1＝2， 解：由定义可得 解得a＝－3 a － 3 ≠ 0 ，
19．已知k是方程x2－201x＋1＝0的一个不为0的根，不解方程， 你能求出k2－20k＋的值吗？如果能，请写出解答过程；如果不能， 请说明理由．(用方程根的定义解答)
5．将一元二次方程2y2－1＝ 5 y化为一般形式，并写出它的二次项系 数、一次项系数和常数项．
解：一般形式为2y2－ 5 y－1＝0，其中二次项系数是2，一次项系 数是－ 5，常数项是－1
知识点3：一元二次方程的解(根) 6．下列关于x的方程中，一定有实数根－1的是( C ) A．x2－x＋2＝0 B．x2＋x－2＝0 C．x2－x－2＝0 D．x2＋1＝0 7 ． (2014·长沙 ) 已知关于x 的一元二次方程 2x2 －3kx ＋ 4 ＝0 的一个 根是1，则k＝_____ 2 ． 知识点4：用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系 8 ． 用 10 米 长 的 铝 材 制 成 一 个 矩 形 窗 框 ， 使 它 的 面 积 为 6 平 方 米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( B ) A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6 C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6
14．小明用30厘米的铁丝围成一斜边长等于13厘米的直角三角形， (17－x) 厘米，列方程 设该直角三角形的一边长x厘米，则另一边长________ x2＋(17－x)2＝132 得____________________ ．
15．(2014·兰州)如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上， 要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条 边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．设道路宽 x(2x－8)＝24 ． 为x米，根据题意可列出的方程为____________________
16．分别根据下列条件，写出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 的一般形式． (1)a＝5，b＝－4，c＝－1； (2)二次项系数为3，一次项系数为－7，常数项为2. 解：(1)5x2－4x－1＝0 (2)3x2－7x＋2＝0
17．根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一般形式． (1)一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里其他好友 发送一条信息，这样共有756条消息； (2)两个连续奇数的平方和为130，求这两个奇数． 解：(1)x(x－1)＝756，x2－x－756＝0
知识点1：一元二次方程的概念 1．下列方程是一元二次方程的是( D ) A．ax2＋bx＋c＝0 B．3x2－2x＝3(x2－2) C．x3－2x－4＝0 D．(x－1)2－1＝0 2．关于x的一元二次方程(a－3)x2＋x＋a2－9＝0，其中a的取值 范围为( C ) A．a＞3 B．a≥3 C．a≠3 D．a＜3
21.1 一元二次方程
2 1．只含有一个未知数且未知数的最高次数为________ 的整式方程 叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式为____________________. ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
3．使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方 程的________ ，也叫做一元二次方程的________ 解 根