【高中资源】广东省广州市第二中学2015-2016学年高二上学期第一次月考数学理试卷 Word版含答案

广州市第二中学2015-2016学年高二上学期第一次月考试题数 学（理 科） 2015.10一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

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1. 已知集合},01|{R x x xx A ∈≥-=，},12|{R x y y B x ∈+==，则=)(B A C R ( ) A.]1,(-∞ B. )1,(-∞ C. ]1,0( D. ]1,0[ 2．函数)22sin(2x y -=π是( )A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为2π的奇函数 3. 已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( ) （A ）若,,αγβγ⊥⊥则αβ∥ （B ）若,,m n αα⊥⊥则m n ∥ （C ）若,m n αα∥∥，则m n ∥ （D ）若,,m m αβ∥∥则αβ∥ 4. 已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，13213a ,a ,2a 2成等差数列，则=++1081311a a a a ( ) A. 1-B. 3C. 1-或3D. 275. 如图所示的程序框图的运行结果为35S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．5k >B ．6k ≥C ．7≥kD ．7>k6. 已知向量(3,1)=a ，(,2)x =-b ，(0,2)=c ，若()⊥-a b c ，则实数x 的值为( ) A ．43 B ．34 C ．34- D ．43-7. 函数()2sin 1xf x x =+的图象大致为（ ）8. 将一个长方体截掉一个小长方体，所得几何体的俯视图与侧视图如右图所示，则该几何体的正视图为 （ ）A.B.C.D.9. 某工厂对一批新产品的长度（单位：m m ）进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为（ ）（A ）20 （B ）25 （C ）22.5 （D ）22.7510. 函数)sin()(ϕω+=x x f （其中2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到sin y x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有点（ ）（A ）向左平移6π个单位长度 （B ）向右平移12π个单位长度（C ）向左平移12π个单位长度（D ）向右平移6π个单位长度11. 若点(1,0)A 和点(4,0)B 到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条12. 已知函数2|lg |0()10x x f x xx >⎧=⎨-≤⎩，则方程2(2)(0)f x x a a +=>的根的个数不可能为A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

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13. 已知平面向量,a b 的夹角为2,2,13a b π==，则a b += 14. 为了调查城市PM2.5的值，按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数 分别为6、12、18。

若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数 为15. 若x ，y 满足约束条件0,0,1,3412,x y y x x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩则x y +的最大值为_______．16. 在三棱锥BCD A -中，底面BCD 为边长为2的正三角形，顶点A 在底面BCD 上的射 影为BCD ∆的中心， 若E 为BC 的中点，且直线AE 与底面BCD 所成角的正切值为，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为 ________．三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本题满分10分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示.已知甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的平均数都为10.（1）分别求出m ，n 的值；（2）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差2s 甲和2s 乙，并由此分析两组技工的加工水平；注：方差2222121=[()()()]n s x x x x x x n-+-+-+ (其中x 为数据12,,,n x x x 的平均数.)18．(本小题满分12分)设函数π()4cos sin()3f x x x =-+，x ∈R . （Ⅰ）当π[0,]2x ∈时，求函数()f x 的值域；（Ⅱ）已知函数()y f x =的图象与直线1y =有交点，求相邻两个交点间的最短距离.19.（本题满分12分）在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点,O EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 的中点.(1)求证：//DE 平面ACF ；(2)若AB =，在线段EO 上是否存在点G ，使CG ⊥平面BDE ？若存在，求出EGEO的值；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分12分）已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．21.（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a =，1n n S n a ++=，*n ∈N ． （Ⅰ) 求证：数列{1}n a +是等比数列；（Ⅱ) 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，11b =，点1(,)n n T T +在直线112x y n n -=+上，若不等式1212911122n n nb b b m a a a a +++≥-++++ 对于*n ∈N 恒成立，求实数m 的最大值．22. （本题满分12分）已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的,x y R ∈都满足：()()()f x y x f y y f x=+. (Ⅰ)判断函数()f x 的奇偶性，并写出证明过程；(Ⅱ) 已知(2)2f =，设n a =(2)nf （n ∈N*），求数列{n a }的通项公式.；(Ⅲ) 若211n nn b n a +=⋅+，数列{}n b 的前n 项和为n S .求证：1n S <.2015-2016学年高二上学期第一次月考（理科数学）参考答案7.A 函数()f x 定义域为R ,又()()()()22sin sin 11x xf x f x x x --==-=-+-+ ,∴函数()f x 为奇函数.其图像关于原点对称.故排除C 、D ，又当0πx <<时，sin 0x >,所以()0f x >可排除B ，故A 正确. 10.D 由图可知74123T T πππ=-⇒= 则22πωπ== ，又sin(2)03πϕ⨯+=，结合2||πϕ<可知3πϕ=，即()s i n3(2)f x x π=+，为了得到sin 2y x =的图象，只需把()s i n (2)s i 3n 26y f x x x ππ⎡⎤⎛⎫==+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象上所有点向右平移6π个单位长度.二、填空题．三、解答题． 17．（本小题满分10分）详细分析：（1）根据题意可得：10)10121087(51=+++++=m x甲，∴3=m ， 10)1211109(51=++++=n x乙，∴8=n；（2）根据题意可得：2222221[(710)(810)(1010)(1210)(1310)] 5.25s =-+-+-+-+-=甲，2222221[(810)(910)(1010)(1110)(1210)]25s =-+-+-+-+-=乙，∵乙甲x x =，22乙甲s s <，∴甲乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些； 18. （本小题满分12分）详细分析：（Ⅰ）解：因为1()4cos (sin )2f x x x x =-+2π2sin cos cos sin 2cos 22sin(2)3x x x x x x =-+=-=-因为π02x ≤≤， 所以ππ2π2333x --≤≤. 所以sin(π2)123x --≤， 即()2f x ≤，其中当5π12x =时，()f x 取到最大值2；当0x =时，()f x 取到最小值所以函数()f x 的值域为[. （Ⅱ）依题意，得π2sin(2)13x -=，π1sin(2)32x -=， 所以ππ22π36x k -=+ 或 π5π22π36x k -=+， 所以ππ4x k =+ 或 7ππ12x k =+()k ∈Z ，所以函数()y f x =的图象与直线1y =的两个相邻交点间的最短距离为π3.19．（本小题满分12分） 详细分析：（1）证明：连接OF由四边形ABCD 是正方形可知，点O 为BD 的中点 又F 为BE 的中点，所以//OF DE又OF ⊂平面ACF ，DE ⊄平面ACF .所以//DE 平面ACF (2)解法一：若CG ⊥平面BDE ，则必有CG OE ⊥ 于是作CG OE ⊥于点G由EC ⊥底面ABCD ，所以BD EC ⊥，又底面ABCD 是正方形 所以BD AC ⊥，又EC AC C ⋂=，所以BD ⊥平面ACE而CG ⊂平面ACE ，所以CG BD ⊥,又OE BD O ⊥=，所以CG ⊥平面BDE又AB =，所以CO AB CE ==.所以G 为EO 的中点，所以12EG EO = 解法二：取EO 的中点G ，连接CG ，在四棱锥E ABCD -中AB =，CO AB CE ==，所以CG EO ⊥ 又由EC ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以EC BD ⊥ 由四边形ABCD 是正方形可知，AC BD ⊥又AC EC C ⋂=.所以BD ⊥平面ACE , 而BD ⊂平面BDE 所以，平面ACE ⊥平面BDE ，且平面ACE ⋂平面BDE EO =因为CG EO ⊥，CG ⊂平面ACE ，所以CG ⊥平面BDE 故在线段EO 上存在点G ，使CG ⊥平面BDE .由G 为EO 的中点，得12EG EO =20．（本小题满分12分）解 (1)如图所示，|AB |＝43，将圆C 方程化为标准方程为 (x ＋2)2＋(y －6)2＝16，∴圆C 的圆心坐标为(－2,6)，半径r ＝4，设D 是线段AB 的中点，则CD ⊥AB ， ∴|AD |＝23，|AC |＝4.C 点坐标为(－2,6)． 在Rt △ACD 中，可得|CD |＝2.设所求直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为：y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0. 由点C 到直线AB 的距离公式：|－2k －6＋5|k 2＋(－1)2＝2，得k ＝34.故直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.又直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0. ∴所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0. (2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D (x ，y )， 则CD ⊥PD ，即·＝0，∴(x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，化简得轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.21. （本小题满分12分） 详细分析：（Ⅰ)由1n n S n a ++=， 得11(2)n n S n a n -+-=≥ ，两式相减得121n n a a +=+， 所以112(1)n n a a ++=+ （2n ≥)， 因为10a =，所以111a +=，2111a a =+=，2112(1)a a +=+ 所以{1}n a +是以1为首项，公比为2的等比数列 （Ⅱ)由（Ⅰ)得121n n a -=-，因为点1(,)n n T T +在直线112x y n n -=+上，所以1112n n T T n n +-=+， 故{}n T n是以111T =为首项，12为公差的等差数列，则11(1)2n T n n =+-，所以(1)2n n n T +=， 当2n ≥时，1(1)(1)22n n n n n n n b T T n -+-=-=-=， 因为11b =满足该式，所以n b n =所以不等式1212911122n n nb b b m a a a a +++≥-++++ ， 即为2123912222n n n m -+++≥- ， 令21231222n n n R -=+++ ，则23112322222n n nR =+++ ，两式相减得231111112(1)122222222n n n n n n R -+-=++++-=- ，所以1242n n n R -+=-由92n n R m ≥-恒成立，即2542nn m --≥恒成立， 又11232527(4)(4)222n n n n n n ++------=，故当3n ≤时，25{4}2n n --单调递减；当3n =时，323531428⨯--=； 当4n ≥时，25{4}2n n --单调递增；当4n =时，4245614216⨯--=； 则2542nn --的最小值为6116，所以实数m的最大值是6116 22. （本小题满分12分）解：(Ⅰ)f （x ）是奇函数,证明如下： f （1）=f （1·1）=1·f （1）+1·f （1），得f （1）=0.因为f （1）=f ［（－1）2］=－f （－1）－f （－1）=0 所以f （－1）=0∴f （－x ）=f （－1·x ）=－f （x ）+xf （－1）=－f （x ）.因此，f （x ）为奇函数 ……4分 (Ⅱ) 1(2)2,a f == 且()()()f xy xf y yf x =+ 令12,2n x y -==1111(2)(22)2(2)2(2)2(2)2n n n n n n f f f f f ----∴=⋅=+=+即122(2),n n n a a n -=+≥111222n n n n n n a a a --⎧⎫∴=+∴⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列， 1(1)2nn a n n ∴=+-=，即2n n a n =⋅ ……8分 (Ⅲ)因为n n 1212112[]1n(n 1)22(n 1)2n n n n n b n a n +++=⋅==-+++， ……10分 所以 122311111112[()()...()]122222322(1)2n n n S n n +=-+-++-⋅⋅⋅⋅⋅+⋅ 1112[]12(1)2n n +=-<+⋅ …………12分。