中考培优讲座--解直角三角形
解直角三角形 知识讲解
解直角三角形 知识讲解【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则有： ①三边之间的关系：a 2+b 2=c 2(勾股定理). ②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. ③边角之间的关系：sin ,cos ,tan ,cot a bab A A A Ac c b a ==== sin ,cos ,tan ,cot b aba B B B B c c a b==== ④，h 为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 要点二、解直角三角形的常见类型及解法由由，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算；2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别地：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图；2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解；3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a ＝4； (2)a ＝1，b = 【答案与解析】(1)∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°．由tan bB a =知， 由cos =a B c 知，48cos cos 60a c B ===°．(2)由tan bB a==B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°．∵ 222a b c +=，∴ 2c =．【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)． (1)首先用两锐角互余求锐角∠A ，再利用∠B 的正切、余弦求b 、c 的值；(2)首先用正切求出∠B 的值，再求∠A 的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c 的值． 举一反三：【变式】（1）已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA=23, c=6 ，求a 和b.【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°； （2）a=4；b=2．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，b ＝20，解这个直角三角形．【答案与解析】由∠C ＝90°知，∠A+∠B ＝90°，而∠B ＝30°， ∴ ∠A ＝90°-30°＝60°．又 sin 30b c =°，∴ 1202c=． ∴ c ＝40．由勾股定理知222a cb =-．∴ 2224020a =-，a =．【总结升华】解这个直角三角形就是根据已知∠C ＝90°，∠B ＝30°，b ＝20，求∠A 、a 、c 的过程． 类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．如图所示，BC 是半圆⊙O 的直径，D 是的中点，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，(1)求证：△ABE ∽△DBC ； (2)已知BC ＝52，CDsin ∠AEB 的值； (3)在(2)的条件下，求弦AB 的长．【答案与解析】(1)∵，∴ ∠1＝∠2，又BC 是⊙O 的直径，∴ ∠BAC ＝∠BDC ＝90°． ∴ △ABE ∽△DBC ．(2)由△ABE ∽△DBC ，∴ ∠AEB ＝∠DCB ． 在Rt △BDC 中，BC ＝52，CD＝ ∴ BD= ∴ sin ∠AEB ＝sin ∠DCB＝552BD BC ==． (3)在Rt △BDC 中，BD1＝∠2＝∠3，∠ADE ＝∠BDA ，∴ △AED ∽△BAD ． ∴AD DEDB AD=，∴ 2AD DE DB =． 又∵2CD AD ==，∴ CD 2＝(BO －BE)·BD ，∴BE =在Rt △ABE 中，AB ＝BE ．sin ∠AEB32=．【总结升华】本题综合了三角函数、相似三角形、勾股定理、圆等方面知识，尤其涉及三角函数问题，都是通过找出或构造盲角三角形来解决问题． (1)根据圆周角定理易证△ABE ∽△DBC ．(2)利用(1)的结论，将∠AEB 转化为Rt △BCD 中的DCB ∠．(3)在Rt △ABE 中求AB ．举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，AC=12cm ，AB=16cm ，sinA=13． （1）求AB 边上的高CD ；（2）求△ABC 的面积S ；（3）求tanB ．【答案】（1）CD=4cm ；（2）S=32 cm 2；（3）类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD 的坡度为i =i ＝铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)． 【答案与解析】(1)在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==．(2)在Rt △DEC 中，∵ tan 3DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°． 又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AG AFG FG ∠=55FB =+，解得5 3.66(m)FB ==．答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ． 【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.11.73)．【答案与解析】过点C 作CE ⊥AB 于E ．∵ ∠D ＝90°－60°＝30°，∠ACD ＝90°－30°＝60°，∴ ∠CAD ＝180°－30°－60°＝90°．∵ CD ＝10，∴ AC ＝12CD ＝5． 在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin ∠ACE ＝5×sin 30°＝52，CE ＝AC ·cos ∠ACE ＝5×cos 30 在Rt △BCE 中，∵ ∠BCE ＝45°，∴ 551)22AB AE BE =+=+=≈6.8(米)． ∴ 雕塑AB 的高度约为6.8米．【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角）过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊．。
九年级秋季班-第4讲：解直角三角形
1 / 17解直角三角形是九年级上学期第二章第二节的内容，通过本节的学习，需要掌握直角三角形中，除直角外其余五个元素之间的关系，并熟练运用锐角三角比的意义解直角三角形，以及解直角三角形的相关应用．重点在于理解仰角、俯角、方向角、坡度、坡角等概念，并能利用其解决实际问题；难点在于，若一个三角形不是直角三角形，要有意识把它化归为解直角三角形的问题．1、 解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在t R ABC ∆中，如果=90C ∠︒，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： （1）三边之间的关系：222a b c +=（2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系： sin cos a A B c ==，cos sin bA B c ==tan cot a A B b ==，cot tan b A B a== 解直角三角形内容分析知识结构模块一：解直角三角形知识精讲2 / 17A BO xy ABCDE【例1】 ABC ∆中，90C ∠=︒，已知AB = 6.4，40B ∠=︒，则A ∠=______，AC =______，BC =______．（sin400.64︒≈，sin500.77︒≈，边长精确到0.1）【难度】★ 【答案】 【解析】【例2】 若菱形的周长为8，相邻两内角之比为3 : 1，则菱形的高是______． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例3】 如图，OAB ∆中，OA = OB ，125AOB ∠=︒．已知点A 的坐标是（4，0），则点B的坐标是____________．（用锐角三角比表示）【难度】★★ 【答案】 【解析】【例4】 如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB = AC ，D 为边AC 的中点，DE BC ⊥于点E ，连接BD ，则tan DBC ∠的值为（ ）A ．13B ．21-C ．23-D ．14【难度】★★ 【答案】 【解析】例题解析3/ 17AAB CDEOAB CDAB CAB C 【例5】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是边AD的中点，若AC = 10，DC=5BO=______，EBD∠的度数约为____°____＇（参考数据：1tan2634'2︒≈）．【难度】★★【答案】【解析】【例6】在锐角ABC∆中，AB = 14，BC = 14，84ABCS∆=，求cot C的值．【难度】★★【答案】【解析】【例7】如图，ABC∆中，23AB=AC = 2，边BC上的高3AD求ABCS∆和BAC∠的大小．【难度】★★【答案】【解析】【例8】如图，在锐角ABC∆，4sin5B=，tan2C=，且40ABCS∆=，求BC的长．【难度】★★【答案】【解析】【例9】如图，ABC∆中，30B∠=︒，45C∠=︒，22AB AC-=BC的长．【难度】★★【答案】【解析】【例10】如图，先将斜边AB长6 cm，30A∠=︒的直角三角板ABC绕点C顺时针方向旋转90°至''A B C∆位置，再沿CB向左平移，使点B落在原三角板ABC位置的斜4/ 17CDFABC DAB CDAB CDENM边AB上，则平移的距离为______．【难度】★★【答案】【解析】【例11】如图，正方形ABCD中，E为边BC上一点，将正方形折叠，使A点与E点重合，折痕为MN，若1tan3AEN∠=，DC + CE =10．（1）求ANE∆的面积；（2）求sin ENB∠的值．【难度】★★【答案】【解析】【例12】如图，四边形ABCD中，90A C∠=∠=︒，120B∠=︒，AB = 4，BC = 2，求四边形的面积．【难度】★★★【答案】【解析】【例13】如图，在四边形ABCD中，已知AD = AB = BC，连接AC，且30ACD∠=︒，23tan BAC∠=CD = 3，求AC的长．【难度】★★★【答案】【解析】【例14】小智在学习特殊角的三角比时发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过B点的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，折痕BM．还原后，再沿过点E的直线5 / 17xyO折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，折痕EN ．利用这种方法，可以求出tan67.5︒的21，试证明之．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例15】在平面直角坐标系内，放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示）．点1B 在y 轴上，点1C 、1E 、2E 、2C 、3E 、4E 、3C 在x 轴上．已知正方形1111A B C D 的边长为1，1160B C O ∠=︒，11B C //22B C //33B C ，则点3A 到x 轴的距离是（ ）A 33+ B 31+ C 33+ D 31+【难度】★★★ 【答案】 【解析】6 / 17仰角 视线水平线视线俯角铅垂线北北偏东30°南偏西45° 北偏西70°南偏东50°30° 70° 45° 50°hl1、 仰角与俯角在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．2、 方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角． 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°．3、 坡度（坡比）、坡角在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即h i l=． 坡度通常写成1 : m 的形式，如1:1.5i =． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α．坡度i 与坡角α之间的关系：tan hi lα==．模块二：解直角三角形的应用知识精讲7 / 17ABOC ABDABP 北ABC【例16】如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角ABO ∠为α，则树OA 的高度为（ ）A ．30tan αB ．30sin αC ．30tan αD ．30cos α【难度】★ 【答案】 【解析】【例17】如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A 处．如果海轮沿着正南方向航行到灯塔的正东方向，那么海轮航行的距离AB 的长是（ ）海里A ．2B ．2sin 55°C ．2cos 55°D ．2tan 55°【难度】★ 【答案】 【解析】【例18】如图所示，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18厘米，深为30厘米，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度i = 1 : 5，那么AC 的长度是______厘米．【难度】★ 【答案】 【解析】【例19】如图，斜面AC 的坡度为1 : 2，AC =35米，坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B点与A 点有一条彩带相连，若AB = 10米，则旗杆BC 的高度为（ ）米A ．5B ．6C ．8D ．3+5【难度】★★ 【答案】 【解析】【例20】如图，要在宽为22米的大道AB 两边安装路灯，路灯的灯臂CD 长2米，且例题解析8 / 17ABCDOABCDAC PQ与灯柱BC 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO 与灯臂CD 垂直．当灯罩的轴线DO 通过公路路面中心线时照明效果最佳．此时，路灯的灯柱BC 的高度应该设计为（ ）米A ．1122-B ．1123-C ．11322D ．1134【难度】★★ 【答案】 【解析】【例21】如图，为测得一栋大厦CD 的高度，一人先在附近一楼房的底端A 点观测大厦顶端C 处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B 处观测大厦底部D 处的俯角是30°，已知楼房高AB 约是45 m ，根据以上观测数据可求大厦的高CD 是______m ．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例22】如图，小智在大楼30米高（即PH = 30米）的窗口P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°．已知山坡的坡度为3，点P 、H 、B 、C 、A 在同一平面上，点H 、B 、C 在同一直线上，且PH HC ⊥．则山坡上A 、B 两点间的距离为______．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例23】某单位拟建造地下停车库，设计师提供了车库入口设计示意图（如图），按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，9 / 17AB CDABA ＇B ＇O ＇O为标明限高，请你计算图中CE 的长．（参考数据：sin180.309︒≈，cos180.951︒≈，tan180.325︒≈，cot18 3.078︒≈，结果精确到0.1 m ）【难度】★★ 【答案】 【解析】【例24】小方在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形．已知吊车吊臂的支点O 距离地面高'2OO =米．当吊臂顶端由点A 抬升至点'A （吊臂长度不变）时，地面B 处的重物（高度不计）被吊至'B 处，紧绷着的吊缆''A B AB =．AB 垂直地面'O B 于点B ，直线''A B 垂直地面'O B 于点C ，吊臂长度'10OA OA ==米，且3cos 5A =，1sin '2A =．（1）求重物在水平方向移动的距离BC ；（2）求重物在竖直方向提升的高度'B C ．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例25】如图，是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB DB ⊥，坡面AC的坡角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC 的坡度为3:3i =．若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角（A 点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈）【难度】★★ 【答案】 【解析】【例26】数学兴趣小组准备利用所学的知识测量公路旁某广告牌的高度．如图所示，先在水平面上点A 处测得对广告牌上沿点C 的仰角为30°，然后沿AH 方向前进10米至点B 处，测得对广告牌下沿点D 的仰角为60°．已知矩形广告牌垂直于地面的AB C D E9 m0.5 m10 / 17ABC DP NMQH A BCD O 北东一边CD 高2米．求广告牌的高度GH （结果保留根号）．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例27】如图，轮船甲位于码头O 的正西方向A 处，轮船乙位于码头O 的正北方向C处，测得45CAO ∠=︒．轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45 km /h 和36 km /h ．经过0.1 h ，轮船甲行驶至B 处，轮船乙行驶至D 处，测得58DBO ∠=︒．此时B 处距离码头O 有多远？（参考数据：sin580.85︒≈，cos580.53︒≈，tan58 1.60︒≈）【难度】★★ 【答案】 【解析】【例28】如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段AB 表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A 到MN 的距离为15米，BA 的延长线与MN 相交于点D ，且30BDN ∠=︒，假设汽车在高架道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．（1）过点A 作MN 的垂线，垂足为H ．如果汽车沿着从M 到N 的方向在MN 上行驶， 当汽车到达点P 处时，噪音开始影响这一排居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q 时，它与这 一排居民楼的距离QC 为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（结果精确到1米，参考数据：3 1.7≈）【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例29】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象部门观测，某沿海城市A 正南方向相距220 km 的B 处有一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心20 km ，风力就会减弱一ABCD G H广告牌ABC D EFN MP JHABC级．现台风中心正以15 km /h 的速度沿北偏东30°方向移动，如图所示．若城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．（1）设台风中心风力不变，该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由． （2）如该城市受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响时的最大风力为几级？【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例30】某水库大坝的横截面积是如图所示的四边形ABCD ，其中AB // CD ．瞭望台PC 正前方水面上有两艘渔船M 、N ，观察员在瞭望台顶端P 处观测渔船M 的俯角31α=︒，观测渔船N 的俯角45β=︒．已知MN 所在直线与PC 所在直线垂直，垂足为E ，PE 长为30米．（1）求两渔船M 、N 之间的距离（结果精确到1米）（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD 的坡度i = 1 : 0.25．为了提高大坝的防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝顶加宽3米，背水坡FH 的坡度为i = 1 : 1.5．施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前20天完成加固任务．施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan310.60︒≈，sin310.52︒≈）【难度】★★★ 【答案】 【解析】A BCDABCDABC DE FG AB CD【习题1】 如图，菱形ABCD 的边长为15，3sin 5BAC ∠=，则对角线AC 的长为______． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题2】 有一个相框的侧面抽象为如图所示的几何图形，已知BC = BD = 15 cm ，40CBD ∠=︒，则点B 到CD 的距离为______cm ．（参考数据：sin200.342︒≈，cos200.940︒≈，sin400.642︒≈，cos400.766︒≈，结果精确到0.1 cm ）【难度】★ 【答案】 【解析】【习题3】 如图，为了测得电视塔的高度AB ，在D 处用高为1米的测角仪CD 测得电视塔顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F 处，又测得电视塔顶端A 的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB 为（ ）A ．503米B ．51米C ．()503+1米D ．101米【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题4】 如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，3sin 5B =．D 是BC 上一点，已知45ADC ∠=︒，DC = 6，求tan BAD ∠的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】随堂检测ABCDABCDEFABC30°45° 【习题5】 如图，ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，AB = 2AD ，已知45BAD ∠=︒，AC与DE 相交于点F ，ABC ∆3【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题6】 如图，在四边形ABCD 中，45A C ∠=∠=︒，105ADB ABC ∠=∠=︒．（1）若AD = 2，求AB ；（2）若232AB CD +=，求AB ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题7】 2015年4月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级地震，震源深度为20千米．中国救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方C 处有生命迹象．在废墟一侧某面上选两探测点A 、B ，点A 、B 相距2米，探测线与该面的夹角分别是30°和45°（如图），试确定生命所在的点C 2 1.414，3 1.732≈）【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题8】 利用几何图形，求sin 18°的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题9】 如图，港口B 位于港口O 正西方向120 km 处，小岛C 位于港口O 北偏西60°方向上．一艘游船从港口O 出发，沿OA 方向（北偏西30°）以v km /h 的速度驶离ABCO北北东ABCA 1B 1C 1港口O ，同时一艘快艇从港口B 出发，沿北偏东30°的方向以60 km /h 的速度驶向小岛C ，在小岛C 用1 h 加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去． （1）快艇从港口B 到小岛C 需要多长时间？（2）若快艇从小岛C 到与游船相遇恰好用时1 h ，求v 的值及相遇处与港口O 的距离． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【习题10】 如图所示，已知边长为2的正三角形ABC 沿直线l 顺时针滚动．（1）当ABC ∆滚动一周到111A B C ∆的位置时，A 点所运动的路程约为______；（精确到0.1）（2）设ABC ∆滚动240°，C 点的位置为'C ，当ABC ∆滚动480°时，A 点的位置再'A ，请你利用正切的两角和公式()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-，求出''CAC CAA ∠+∠的度数．【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCD EFABC北东ABCDEFABCD【作业1】 如图，将正方形ABCD 的边BC 延长到点E ，使得CE = AC ，AE 与CD 相交于点F ，求E ∠的余切值．【难度】★ 【答案】 【解析】【作业2】 如图，在矩形ABCD 中，AB = 8，BC = 12，E 是BC 的中点，连接AE ，将ABE∆沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC ，则sin EFC ∠的值为______．【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业3】 如图，AD 是ABC ∆的中线，1tan 3B =，2cosC =，2AC =．求：（1）BC 的长；（2）sin ADC ∠的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业4】 如图，轮船从B 处以每小时60海里的速度沿南偏东20°的方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东50°方向上．轮船航行40分钟到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东10°方向上，则C 处与灯塔A 的距离是（ ）A ．20海里B ．40海里C ．2033海里D ．4033海里【难度】★★ 【答案】 【解析】课后作业ABCDABCDDABC ABNM 【作业5】 如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，56AB =，D 是BC 上一点，AD = 5，CD = 3，求ADC ∠的度数及AC 的长．【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业6】 如图，点D 在ABC ∆的边BC 上，C BAD DAC ∠+∠=∠，4tan 7BAD ∠=，65AD =，CD = 13，求线段AC 的长．【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业7】 如图，一栋楼房AB 背后有一台阶CD ，台阶每层高0.2米，且AC = 17.2米．设太阳光线与水平地面的夹角为α，当60α=︒时，测得楼房在地面上的影长AE = 10米．现有一只小猫睡在台阶的MN 这层上晒太阳．3 1.73） （1）楼房的高度约为多少米？（2）过了一会儿，当45α=︒时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业8】 如图，CD 是ABC ∆的中线，已知90ACD ∠=︒，3cos 5A =，求tan BCD ∠的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业9】 如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = 4，BC = 6，DAC B AEF ∠=∠=∠，ABCDEF点E 、F 分别在BC 、AC 上（点E 与B 、C 不重合），设BE = x ，AF = y ． （1）求cos B ；（2）求证：ABE ∆∽ECF ∆； （3）求y 关于x 的代数式；（4）当点E 在BC 上移动时，AEF ∆是否有可能是直角三角形？若有可能，请求出BE 的长；若不能，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业10】 如图（a ）所示，已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，E是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ． （1）连接GD ，求证：ADG ∆≌ABE ∆；（2）连接FC ，观察并猜测FCN ∠的度数，并说明理由；（3）如图（b ）所示，将图（a ）中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB = a ，BC = b （a 、b 为常数），E 是线段BC 上一动点（不含端点B 、C ），以AE 为边在直线MN 上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上．判断当点E 由B 向C 运动时，FCN ∠的大小是否总保持不变，若FCN ∠的大小不变，请用含a 、b 的代数式表示tan FCN ∠的值；若FCN ∠的大小改变，请举例说明．【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCD E FNM GA BCDEFNM G图（a ）图（b ）。
初三数学---解直角三角形---培优班
ABE F QP 初三数学 解三角形1.（2007•宁波）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m ，塔影长DE=18 m ，小明和小华的身高都是，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，那么塔高AB 为 米.2． 如图，大海中有A 和B 两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ 上点E 处测得∠AEP ＝74°，∠BEQ ＝30°；在点F 处测得∠AFP ＝60°，∠BF Q ＝60°，EF ＝1km ． （1）判断ABAE 的数量关系，并说明理由；（2）求两个岛屿A 和B 之间的距离（结果精确到）．（参考数据：3≈，sin74°≈，cos74°≈，tan74°≈，sin76°≈，cos76°≈）3. (2010年兰州市)如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米. （1）求新传送带AC 的长度；（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到米，参考数据：2≈，3≈，5≈，6≈4.（2007台州）一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度CD ．已知她的眼睛与地面的距离为米，小迪在B 处测量时，测角器中的60AOP ∠=°（量角器零度线AC 和铅垂线OP 的夹角，如图）；然后她向小山走50米到达点F 处（点B F D ，，在同一直线上），这时测角器中的45EO P ''∠=°，那么小山的高度CD 约为 米. （注：数据3 1.732≈，2 1.414≈供计算时选用）5. （2010楚雄）如图，河流的两岸PQ ，MN 互相平行，河岸PQ 上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD ＝50米，某人在河岸MN 的A 处测的∠DAN ＝35°，然后沿河岸走了120米到达B 处，测的∠CBN ＝70°，求河流的宽度CE （结果保留两个有效数字）． （参考数据：si n 35°≈，co s35°≈，t an 35°≈Si n 70°≈，co s70°≈，t an 70°≈）6. （2010扬州）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD ．小明在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D 的仰角为60°，沿山坡向上走到B 处测得宣传牌顶部C 的仰角为45°．已知山坡AB 的坡度i ＝1:3，AB ＝10米，AE ＝15米，求这块宣传牌CD 的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米．参考数据：2≈，3≈）7. (2010年绍兴市)如图,小敏、小亮从A ,B 两地观测空中C 处一个气球,分别测得仰角为30°和60°,A ,B 两地相距100 m.当气球沿与BA 平行地飘移10秒后到达C ′处时,在A 处测得气球的仰角为45°.（1）求气球的高度（结果精确到ｍ）；（2）求气球飘移的平均速度（结果保留3个有效数字）. 8．（2009年铁岭市）某旅游区有一个景观奇异的望天洞，D 点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭A 处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB 返回山脚下的B 处．在DCN︒35︒70A B CDE 45°60°同一平面内，若测得斜坡BD 的长为100米，坡角10DBC ∠=°，在B 处测得A 的仰角40ABC ∠=°，在D 处测得A 的仰角85ADF ∠=°，过D 点作地面BE 的垂线，垂足为C ． （1）求ADB ∠的度数； （2）求索道AB 的长．（结果保留根号）9.（苏州）某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为米，现要做一个不锈钢的扶手AB 及两根与FG 垂直且长为l 米的不锈钢架杆AD 和BC(杆子的底端分别为D ，C)，且∠DAB=66. 5°． (1)求点D 与点C 的高度差DH ；(2)求所用不锈钢材料的总长度l (即AD+AB+BC ，结果精确到米)．(参考数据：°≈，°≈，°≈10.（2007山东威海）如图，一条小船从港口A 出发，沿北偏东40方向航行20海里后到达B 处，然后又沿北偏西30方向航行10海里后到达C 处．问此时小船距港口A 多少海里（结果精确到1海里）友情提示：以下数据可以选用：sin 400.6428≈，cos 400.7660≈，tan 400.8391≈，3 1.732≈．11.（2009年江苏省）如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点A 到航线l 的距离为2km ，点B 位于点A 北偏东60°方向且与A 相距10km 处．现有一艘轮船从位于点B 南偏西76°方向的C 处，正沿该航线自西向东航行，5min 后该轮船行至点A 的正北方向的D 处． （1）求观测点B 到航线l 的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到h ）．（参考数据：3 1.73≈，sin760.97°≈，cos760.24°≈，tan76 4.01°≈）CQ BA P北 40 30 AC DE FB 北东C DBE60°76°O12.（2010株洲市）如图，直角ABC ∆中，90C ∠=︒，25AB =，5sin 5B =，点P 为边BC 上一动点，PD ∥AB ，PD 交AC 于点D ，连结AP ． （1）求AC 、BC 的长；（2）设PC 的长为x ，ADP ∆的面积为y ．当x 为何值时，y 最大，并求出最大值．13.（2009年泸州）在某段限速公路BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米／时(即350米／秒)，并在离该公路100米处设置了一个监测点A ．在如图8所示的直角坐标系中，点A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在A 的北偏西60°方向上，点C 在A 的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y 轴上，AO 为其中的一段．(1)求点B 和点C 的坐标；(2)一辆汽车从点B 匀速行驶到点C 所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速(参考数据：7.13≈)(3)若一辆大货车在限速路上由C 处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A 处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少14.(2009年黄冈市)如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记为点M ）位于海滨城市（记作点A ）的南偏西15°，距离为612千米，且位于临海市（记作点B ）正西方向603千米处．台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60°的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭． （1）滨海市．临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由．（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？DCBA15．（2010义乌）如图1，已知∠ABC ＝90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），连结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连结QE 并延长交射线BC 于点F .（1）如图2，当BP ＝BA 时，∠EBF ＝ °，猜想∠QFC ＝ °；（2）如图1，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明； （3）已知线段AB ＝32，设BP ＝x ，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式．图2ABEQPFC图1ACBEQF。
解直角三角形(5种题型)(解析版)
解直角三角形（5种题型）【知识梳理】一．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sin A=∠A的对边斜边=ac，cos A=∠A的邻边斜边=bc，tan A=∠A的对边∠A的邻边=ab．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）二．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角；五．解直角三角形的应用-方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．【考点剖析】一．解直角三角形1．（2022春•闵行区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在边AC上，且AD ＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余弦值．【分析】（1）根据题意，AC＝BC＝6，AD＝2CD，可得AD的长度，根据等腰直角三角形的性质可得AB=√2AC，由AE＝sin45°•AD的长度，则BE＝AB﹣AE，计算即可得出答案；（2）过点E作EF⊥BC，垂足为F，如图，根据等腰直角三角形的性质可得，EF＝BF＝sin45°•BE，则CF＝BC﹣BF，根据勾股定理可得CE=√EF2+CF2，在Rt△ECF中，由cos∠ECB=CFCE 计算即可得出答案．【解答】解：（1）∵AC＝BC＝6，AD＝2CD，∴AD＝4，∵∠ACB＝90°，∴AB=√2AC=6√2，∴∠DAE＝45°，DE⊥AB，∴AE＝sin45°•AD=√22×4=2√2，∴BE＝AB﹣AE＝6√2−2√2=4√2；（2）过点E作EF⊥BC，垂足为F，如图，∵∠B＝45°，∴EF＝BF＝sin45°•BE=√22×4√2=4，∴CF＝BC﹣BF＝2，∴CE=√EF2+CF2=√42+22=2√5，在Rt△ECF中，cos∠ECB=CFCE =2√5=√55．【点评】本题主要考查了解直角三角形及等腰直角三角形形的性质，应用等腰直角三角形性质进行计算是解决本题的关键．2．（2022春•浦东新区校级期中）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，AE是BC边上的中线，已知AD＝8，BD＝4，cos∠ABC=45．（1）求高CD的长；（2）求tan∠EAB的值．【分析】（1）在Rt△BCD中，由已知条件cos∠ABC=BDBC =45，即可算出BC的长，根据勾股定理即可得出答案；（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图，可得CD∥EF，由E为BC的中点，可得EF是△BCD的中位线，即可算出EF=12CD，DF的长度，即可算出AF＝AD+DF的长度，在Rt△AEF中，根据tan∠EAB=EFAF即可得出答案．【解答】解：（1）在Rt△BCD中，∵cos∠ABC=BDBC =45，∴4BC =45，∴BC＝5，∴CD=√BC2−BD2=√52−42=3；（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图，∵EF⊥BD，∴CD∥EF，∵E为BC的中点，∴EF是△BCD的中位线，∴EF=12CD=12×3=32，DF=12BD=12×4=2，∴AF＝AD+DF＝8+2＝10，在Rt△AEF中，∴tan∠EAB=EFAF =3210=15．【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．3．（2022•黄浦区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC=13，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．（1）求AD 的长； （2）求∠EBC 的正切值．【分析】（1）过C 点作CH ⊥AD 于H ，如图，利用等腰三角形的性质得到AH ＝DH ，再证明∠ACH ＝∠ABC ，则sin ∠ACH ＝sin ∠ABC =13，然后利用正弦的定义求出AH ，从而得到AD 的长；（2）在Rt △ABC 中先求出AB ＝9，则BD ＝7，再证明∠HCD ＝∠EBD ，则sin ∠EBD =DE BD =13，利用正弦的定义求出DE =73，接着利用勾股定理计算出BE ，然后根据正切的定义求解．【解答】解：（1）过C 点作CH ⊥AD 于H ，如图， ∵CD ＝CA ， ∴AH ＝DH ，∵∠ABC+∠BCH ＝90°，∠ACH+∠BCH ＝90°， ∴∠ACH ＝∠ABC ， ∴sin ∠ACH ＝sin ∠ABC =13， 在Rt △ACH 中，sin ∠ACH =AH AC =13，∴AD ＝2AH ＝2；（2）在Rt △ABC 中，sin ∠ABC =AC AB=13，∴AB ＝3AC ＝9，∴BD ＝AB ﹣AD ＝9﹣2＝7， ∵∠E ＝90°， 而∠EDB ＝∠HDC ， ∴∠HCD ＝∠EBD ， ∴sin ∠EBD =DE BD =13，∴DE =13BD =73，∴BE =√72−(73)2=14√23，在Rt △EBC 中，tan ∠EBC =EC EB=3+7314√23=4√27．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质． 二．解直角三角形的应用4．（2022•长宁区二模）冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°（参考数据：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55）（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）【分析】（1）延长光线交CD 于点F ，过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，根据题意可得∠AFG ＝29°，GF ＝BC ＝20米，GB ＝FC ，然后在Rt △AGF 中，利用锐角三角函数的定义求出AG ，从而求出GB 的长，进行比较，即可解答；（2）延长光线交直线BC 于点E ，根据题意可得∠AEB ＝29°，然后在Rt △ABE 中，利用锐角三角函数的定义求出BE 的长，即可解答．【解答】解：（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响，理由：延长光线交CD于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，则∠AFG＝29°，GF＝BC＝20米，GB＝FC，在Rt△AGF中，AG＝FG•tan29°≈20×0.55＝11（米），∵AB＝25米，∴GB＝AB﹣AG＝25﹣11＝14（米），∴FC＝GB＝14米，∵14米＞6米，∴冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响；（2）延长光线交直线BC于点E，则∠AEB＝29°，在Rt△ABE中，AB＝25米，∴BE=ABtan29°≈250.55≈45（米），∴若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距45米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（2022•徐汇区二模）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33°到40°之间时（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．（1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）（2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可得AB＝AC，当∠BAC＝33°时，当∠BAC＝40°时，利用锐角三角函数即可解决问题；（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可知：AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，当∠BAC＝33°时，∠BAD＝∠CAD＝16.5°，在△ABD中，BD＝AD×tan16.5°≈3.5×0.30＝1.05（m），∴BC＝2BD＝2.10（m），当∠BAC＝40°时，∠BAD＝∠CAD＝20°，在△ABD中，BD＝AD×tan20°≈3.5×0.36＝1.26（m），∴BC＝2BD＝2.52m，答：小佳家要选择电视屏幕宽为2.10m﹣2.52m之间的激光电视就能享受黄金观看体验；（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意可得：＝，解得：x＝16000，经检验x＝16000是原方程的解，符合题意，答：今年这款激光电视每台的售价是16000元．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，视点，视角和盲区，解决本题的关键是根据题意找到等量关系准确列出方程．6．（2022•崇明区二模）为解决群众“健身去哪儿”问题，某区2021年新建、改建90个市民益智健身苑点，图1是某益智健身苑点中的“侧摆器”．锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰部发力带动下肢做左右摆式运动．（1）如图2是侧摆器的抽象图，已知摆臂OA的长度为80厘米，在侧摆运动过程中，点A为踏板中心在侧摆运动过程中的最低点位置，点B为踏板中心在侧摆运动过程中的最高点位置，∠BOA＝25°，求踏板中心（精确到0.1厘米）（sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466）点在最高位置与最低位置时的高度差．（2）小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗400大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗比原计划增加了100大卡，结果比原计划提早12分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小时？【分析】（1）过点B作BD⊥OA垂足为D，由题意得：OB＝OA＝80cm，然后在Rt△BOD中，利用锐角三角函数的定义求出OD的长，进行计算即可解答；（2）先设小杰原计划x小时完成锻炼，然后根据实际每小时的能量消耗﹣原计划每小时的能量消耗＝100，列出方程进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点B作BD⊥OA垂足为D，由题意得：OB＝OA＝80cm，在Rt△BOD中，∠BOA＝25°，∴OD＝BO•cos25°≈80×0.906＝72.48（cm），∴AD＝OA﹣OD＝80﹣72.48≈7.5（cm），∴踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差约为7.5厘米；（2）设小杰原计划x小时完成锻炼，由题意得：，解得：，经检验：都是原方程的根，但不符合题意，舍去，答：小杰原计划锻炼1小时完成．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．7．（2022•宝山区二模）某超市大门口的台阶通道侧面如图所示，共有4级台阶，每级台阶高度都是0.25米．根据部分顾客的需要，超市计划做一个扶手AD，AB、DC是两根与地平线MN都垂直的支撑杆（支撑杆底端分别为点B、C）．（1）求点B与点C离地面的高度差BH的长度；（2）如果支撑杆AB、DC的长度相等，且∠DAB＝66°．求扶手AD的长度．（参考数据：sin66°≈0.9，cos66°≈0.4，tan66°≈2.25，cot66°≈0.44）【分析】（1）根据每级台阶高度都是0.25米，然后计算出3个台阶的总高度，即可解答；（2）连接BC，根据题意可得：AB＝DC，AB∥DC，从而可得四边形ABCD是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，从而求出∠CBH＝66°，最后在Rt△CBH中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵每级台阶高度都是0.25米，∴BH＝3×0.25＝0.75（米），∴点B与点C离地面的高度差BH的长度为0.75米；（2）连接BC，由题意得：AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAB＝∠CBH＝66°，在Rt△CBH中，BH＝0.75米，∴BC＝≈＝1.875（米），∴扶手AD的长度约为1.875米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题8．（2021秋•闵行区期末）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB 的坡度为．【分析】根据坡度的概念计算，得到答案．【解答】解：斜面AB的坡度为20：30＝1：1.5，故答案为：1：1.5．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．9．（2022春•浦东新区校级期中）工厂的传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，那么物体所经过的路程为米．【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．【解答】解：∵传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，∴BCAC =12.4，即5AC=12.4，解得，AC＝12，由勾股定理得，AB=√AC2+BC2=√122+52=13（米），故答案为：13．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．10．（2022•黄浦区二模）某传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，如果它把物体从地面送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为米．【分析】根据坡度的概念求出水平距离，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：∵传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，它把物体从地面送到离地面10米高，∴水平距离为：2.4×10＝24，∴物体所经过的路程为：√102+242=26（米），故答案为：26．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．11．（2022•浦东新区二模）如图，一个高BE为√3米的长方体木箱沿坡比为1：√3的斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝3米，则木箱端点E距地面AC的高度EF为米．【分析】根据坡度的概念求出∠DAF＝30°，根据正弦的定义求出DE，进而求出BD，得到答案．【解答】解：设AB、EF交于点D，∵斜坡的坡比为1：√3，∴tan∠DAF=√3=√33，∴∠DAF＝30°，∴∠ADF＝90°﹣30°＝60°，∴∠BDE＝60°，在Rt△BDE中，sin∠BDE=BEDE，∴√3DE =√32，解得，DE＝2（米），∴BD＝1m，∴AD＝AB﹣BD＝2（米），在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，∴DF=12AD＝1（米），∴EF＝DE+DF＝3（米），故答案为：3．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题12．（2021秋•浦东新区期末）在离旗杆20米处的地方，用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为（）米．A．20cotαB．20tanαC．1.5+20tanαD．1.5+20cotα【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了已知角的邻边求对边，用正切值计算即可．【解答】解：根据题意可得：旗杆比仪器高20tanα，测角仪高为1.5米，故旗杆的高为（1.5+20tanα）米．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．13．（2022•徐汇区二模）如图，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮板底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为α，已知tanα的值为0.3，则点D到地面的距离CD的长为米．【分析】根据题意可得AE＝BC＝5米，EC＝AB＝1.7米，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：AE＝BC＝5米，EC＝AB＝1.7米，在Rt△ADE中，tanα＝0.3，∴DE＝AE•tanα＝5×0.3＝1.5（米），∴DC＝DE+EC＝1.5+1.7＝3.2（米），∴点D到地面的距离CD的长为3.2米，故答案为：3.2．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．14．（2022•青浦区二模）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在A点测得古树顶的仰角为α，向前走了100米到B点，测得古树顶的仰角为β，则古树的高度为米．【分析】设CD＝x米，用含x的代数式表示出AD和BD的长，再根据AD﹣BD＝100可得x的值．【解答】解：设CD＝x米，在Rt△ACD中，tanα=CDAD，∴AD=xtanα，在Rt△BCD中，tanβ=CDBD，∴BD=xtanβ，∵AD﹣BD＝100，∴xtanα−xtanβ=100，解得x=100⋅tanβ⋅tanαtanβ−tanα，故答案为：100⋅tanβ⋅tanαtanβ−tanα．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．五．解直角三角形的应用-方向角问题15．（2021秋•黄浦区期末）如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在距码头西端M的正西方向58千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西37°方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有一艘轮船开始航行驶向港口MN．经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处．（1）求AB两地的距离；（结果保留根号）（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头MN靠岸？请说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37≈0.75．）【分析】（1）过点A作AC⊥OB于点C．可知△ABC为直角三角形．根据勾股定理解答．（2）延长AB交l于D，比较OD与OM+MN的大小即可得出结论．【解答】解：（1）过点A作AC⊥OB于点C．由题意，得OA＝60千米，OB＝30千米，∠AOC＝37°．∴AC＝OAsin37°≈60×0.60＝36（千米）．在Rt△AOC中，OC＝OA•cos∠AOC≈60×0.8＝48（千米）．∴BC＝OC﹣OB＝48﹣30＝18（千米）．在Rt△ABC中，AB＝．（2）如果该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸．理由：延长AB交l于点D．∵∠ABC＝∠OBD，∠ACB＝∠BOD＝90°．∴△ABC∽△DBO，∴，∴，∴OD＝60（千米）．∵60＞58+1，∴该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力．计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．16．（2021秋•嘉定区期末）如图，在航线l的两侧分别有两个灯塔A和B，灯塔A到航线l的距离为AC＝3千米，灯塔B到航线l的距离为BD＝4千米，灯塔B位于灯塔A南偏东60°方向．现有一艘轮船从位于灯塔B北偏西53°方向的N（在航线l上）处，正沿该航线自东向西航行，10分钟后该轮船行至灯塔A正南方向的点C（在航线l上）处．（1）求两个灯塔A和B之间的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．（参考数据：，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【分析】（1）根据特殊角三角函数即可解决问题；（2）根据三角函数定义可得CN的长，进而可以求该轮船航行的速度．【解答】解：（1）由题意，得∠ACM＝∠BDM＝90°，AC＝3，BD＝4，∠CAM＝∠DBM＝60°，在Rt△ACM中，，∴cos60°＝，∴AM＝6，在Rt△BDM中，，∴cos60°＝，∴BM＝8，∴AB＝AM+BM＝14千米．答：两个灯塔A和B之间的距离为14千米．（2）在Rt△ACM中，，∴，∴，在Rt△BDM中，，∴， ∴， ∴，在Rt △BDN 中，，由题意，得∠DBN ＝53°∴， ∴DN ＝4tan53°，∴，设该轮船航行的速度是V 千米/小时，由题意，得，∴V ≈40.7（千米/小时 ），答：该轮船航行的速度是40.7千米/小时． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题、矩形的判定与性质等知识；掌握仰角俯角定义是解题的关键．【过关检测】一、单选题 九年级假期作业）已知在ABC 中，【答案】B 【分析】过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，根据60A ∠=︒，得出30ACD ∠=︒,进而求得CD ，由已知条件得出CD BD =，进而得出45BCD ∠=︒，即可求解．【详解】解：如图所示，过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，在Rt ADC 中，60A ∠=︒，∴30ACD ∠=︒, ∴sin ,cos CD AD A A AC AC ==sin 602CD =︒∴⨯=11BD AB AD ∴=−=∴CD BD =，在Rt BCD 中，CD BD =45BCD ∴∠=︒75ACB ACD BCD ∴∠=∠+∠=︒故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．【答案】D【分析】在直线y=2x 上任取一点P (a ，2a)，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点B ，则可求得α的正余弦、正余切值，从而可得答案．【详解】如图，在直线y=2x 上任取一点P (a ，2a)，过点P作x 轴的垂线，垂足为点B则OB=|a|，PB=2|a| 由勾股定理得：|OPa ==在直角△POB 中，sin 5PB OP α==，cos 5OB OP α===， 2tan =2a PB OB a α==，1cot =22a OB PB a α==故选项D 正确故选：D【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，锐角三角函数，关键是画出图形，并在直线任取一点，作x 轴的垂线得到直角三角形．【答案】D【分析】先求出120°的补角为60°，然后再把60°放在直角三角形中，所以过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，在Rt△ACD中可求出AD与CD的长，最后在Rt△BDC中利用勾股定理求出BC即可解答．【详解】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，∵∠BAC=120°，∴∠CAD=180°-∠BAC=60°，在Rt△ACD中，AC=2，∴AD=ACcos60°=2×12=1，CD=ACsin60°=2×∵AB=4，∴BD=AB+AD=4+1=5，∴tanB=CD BD=， 故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 4．（2023·上海·九年级假期作业）如图，45ACB ∠=︒，125PRQ ∠=︒，ABC 底边BC 上的高为1h ，PQR 底边QR 上的高为2h ，则有（ ）A ．12h h =B ．12h h <C ．12h h >D ．以上都有可能【答案】B 【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案．【详解】解：如图，分别作出两三角形的高12,h h∵45,5ACB AC ∠=︒=∴1sin 455sin 45h AC =⨯︒=︒ ∵125,5PRQ PR ∠=︒=∴()2sin 1801255sin55h PR =︒−︒=︒ ∵sin 55sin 45︒︒＞∴21h h ＞ 故选：B ．【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键．5．（2023·上海·九年级假期作业）小杰在一个高为h 的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰【答案】C 【分析】过A 作AE BC ⊥于E ，在Rt ACE △中，已知了CE 的长，可利用俯角CAE ∠的正切函数求出AE 的值；进而在Rt ABE △中，利用仰角BAE ∠的正切函数求出BE 的长；从而可得答案．【详解】解：如图，过A 作AE BC ⊥于E ，则四边形ADCE 是矩形，CE AD h ==．∵在Rt ACE △中，CE h =，60CAE ∠=︒，∴tan 60CE AE ==︒，∵在Rt ABE △中，30BAE ∠=︒，∴1tan 303BE AE h =︒==，∴1433BC BE CE h h h =+=+=． 即旗杆的高度为43h ．故选C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，是中考常见题型，解题的关键是作出高线构造直角三角形．6．（2021·上海·九年级专题练习）如图，把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角α，则重叠部分的面积是（ ）【答案】C【分析】根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形ABCD，由已知得∠ABE=α，过A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求BE、AB、BC的长度，根据菱形的面积公式即可求出所填答案．【详解】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE＝α，过A作AE⊥BC于E，则AE＝1，设BE＝x，∵∠ABE＝α，∴AB＝1sin sinAEαα=，∴BC＝AB＝1sinα，∴重叠部分的面积是：1sinα×1＝1sinα．故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，菱形的面积公式等知识点，把实际问题转化成数学问题，利用所学的知识进行计算是解此题的关键．二、填空题7．（2023·上海·九年级假期作业）小球沿着坡度为1:1.5i=的坡面滚动了13m，则在这期间小球滚动的水平距离是___________m．【答案】【分析】设高度为x ，根据坡度比可得水平距离为1.5x ，根据勾股定理列方程即可得到答案；【详解】解：设高度为x ，∵坡度为1:1.5i =，∴水平距离为1.5x ，由勾股定理可得，222(1.5)13x x +=，解得：x =∴水平距离为1.5⨯=故答案为：【点睛】本题考查坡度比及勾股定理，解题的关键是根据坡度比得到高度与水平距离的关系．【答案】13【分析】根据斜坡AB 的坡度1i =AB 的值先求出AH ，再根据斜坡AC 的坡度21:2.4i =，求得AC ，即可求解．【详解】解：∵1i =∴tan 3ABH ∠==， ∴30ABH ∠=︒，∴152AH AB ==, ∵21:2.4i =，∴1tan 2.4AH ACB CH ∠==，∵5AH =，∴12=CH ，在Rt ACH 中，13AC ==,故答案为：13．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，坡度问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．【答案】10【分析】作BH AC ⊥于H ．由四边形ABCD 是矩形，推出OA OC OD OB ===，设5OA OC OD OB a ====，由余切函数，可得4BH a =，3OH a =，由题意：12104402a a ⨯⨯⨯=，求出a 即可解决问题．【详解】解：如图，作BH AC ⊥于H ．∵四边形ABCD 是矩形，∴OA OC OD OB ===，设5OA OC OD OB a ====，则10AC a =．∵根据题意得：3cot 4OH BOH BH ∠==， ∴4BH a =，3OH a =，由题意：12104402a a ⨯⨯⨯=，∴1a =，∴10AC =．故答案为10．【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 10．（2023·上海·九年级假期作业）已知：在ABC 中，60A ∠=︒，45B ∠=︒，8AB =．则ABC 的面积为____（结果可保留根号）．【答案】48−【分析】过C 作CD AB ⊥于D ，利用直角三角形的性质求得CD 的长．已知AB 的长，根据三角形的面积公式即可求得其面积．【详解】解：过C 作CD AB ⊥于D ，在Rt ADC 中，90CDA ∠=︒Q ，∴tan tan 60CD DAC AD =∠=︒=即AD 在Rt BDC 中，45B ∠=︒， 45BCD ∴∠=︒， CD BD ∴=．8AB DB DA CD =+==，12CD ∴=−．118(124822ABC S AB CD ∴=⨯=⨯⨯−=−故答案为：48−【点睛】本题考查解直角三角形，直角三角形的性质及三角形的面积公式，熟练掌握通过作三角形的高，构造直角三角形是解题的关键．分别在DEF 的边，ABE 沿直线 【答案】67【分析】根据题意和翻折的性质可得ABCABE 是等腰直角三角形，ABC 是等腰直角三角形，所以AC BE ∥，得23DA AC DE HE ==，设2AC AE x ==，则3HE x =，4AD x =，所以7FE x =，6DE x =，然后根据锐角三角函数即可解决问题．【详解】解：如图所示：90DEF ∠=︒，45EBA ∠=︒，ABE ∴是等腰直角三角形，AE BE ∴=，ABE 沿直线AB 翻折，翻折后的点E 落在DEF 内部的点C ，ABC ∴是等腰直角三角形，∴∥AC BE ，∴23DA AC DE HE ==，FH AD =，设2AC AE x ==，则3HE x =，4AD x =，7FE x ∴=，6DE x =， ∴67DE FE =，6cot 7DE D FE ∴==． 故答案为：67．【点睛】本题考查了翻折变换，解直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 统考二模）在ABC 中，，那么ABC 的重心到【答案】4【详解】解：如下图所示，设点D 为BC 的中点，点E 为三角形的重心，∵AB AC =，∴AD BC ⊥，∵152BD BC ==，5cos 13B =，cos BD B AB = ∴13AB =，∴12AD ==，∵点E 为三角形的重心，∴21AE ED =， ∴4ED =，∵AD BC ⊥，∴ABC 的重心到底边的距离为4，故答案为：4．【点睛】本题考查解直角三角形、三角形重心的性质和勾股定理，解题的关键是熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1． 13．（2023·上海·一模）平面直角坐标系内有一点()1,2P ，那么OP 与x 轴正半轴的夹角为α，tan α=________．【答案】2【分析】过点P 作PA x ⊥轴于点A ，由P 点的坐标得PA 、OA 的长，根据正切函数的定义得结论．【详解】解：过点P 作PA x ⊥轴于点A ，如图：∵点PA x ⊥，∴2PA =，1OA =，∴2an 21t PA OA α===．故答案为：2．【点睛】本题考查了点在平面直角坐标系里的意义及解直角三角形．解决本题的关键是构造直角三角形． 一模）如图，已知在ABC 中， 【答案】95【分析】如图，设AP m =．证明AP MQ m ==，根据3cos cos 5A CMQ =∠=，构建方程求解．。
中考培优讲座--解直角三角形
a
B
α
β
C
A
β ┌
α
C
D
转化思想和方程思想
【化斜为直】，【善于转化】
四个解直角三角形的典型变式图形
DC
D
C
A
E F
B
A
F
E
B
DC
D
C
A
B
E F
A
B
F
E
如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰 1 角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角 2 1 为45°，已知OA=100米，山坡坡度为 ，（即 2 tan∠PAB= ）且O、A、B在同一条直线上。求电 视塔OC的高度以及所在位置点P的铅直高度.（仪 器的高度忽略不计，结果保留根号形式）
3 2
先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A• 坐 与 标系的原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴 上（如图2），• 将此矩形在坐标平面内按逆时 再 针方向绕原点旋转30°（如图3），若AB=4， BC=3，则图（2）和图（3）中点B的坐标为___， 点C的坐标为____．
答案：图（2）中：B（4，0），图（3）中：B（2 ，2）； 4 3 3 3 3 4 图（2）中：C（4，3），图（3）中：C（ ）E B 水平地面
已知：如图，在山脚的A处测得山顶D的仰角为 45°，沿着坡度为30°的斜坡前进400米到B处 （即∠BAC=30°，AB=400米），测得D的仰角为 60°，求山的高度CD．
解：如图，作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，在 Rt△CDF中∠DCF=30°，CD=400米， 1 ∴DF=CD· sin30°= ×400=200（米）．
俯角 视线
水平线
九年级秋季班-第5讲：解直角三角形
1 / 26解直角三角形是九年级上学期第二章第二节的内容，通过本节的学习，需要掌握直角三角形中，除直角外其余五个元素之间的关系，并熟练运用锐角三角比的意义解直角三角形，以及解直角三角形的相关应用．重点在于理解仰角、俯角、方向角、坡度、坡角等概念，并能利用其解决实际问题；难点在于，若一个三角形不是直角三角形，要有意识把它化归为解直角三角形的问题．1、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在t R ABC ∆中，如果=90C ∠︒，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： （1）三边之间的关系：222a b c +=（2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系： sin cos a A B c ==，cos sin bA B c ==tan cot a A B b ==，cot tan bA B a==解直角三角形内容分析知识结构模块一：解直角三角形知识精讲2 / 26【例1】若菱形的周长为8，相邻两内角之比为3 : 1，则菱形的高是______． 【难度】★ 【答案】2．【解析】菱形周长为8，则其边长为2，相邻两内角之比为3 : 1，则较小内角为1180454︒⨯=︒，则菱形高为2sin 452︒=．【总结】考查菱形性质和相关锐角三角比的应用．【例2】如图，OAB ∆中，OA = OB ，125AOB ∠=︒．已知点A 的坐标是（4，0），则点B的坐标是____________．（用锐角三角比表示）【难度】★★【答案】()4cos554sin55−︒︒，．【解析】过点B 作BM x ⊥轴交x 轴于点M ， 则有18055BOM AOB ∠=︒−∠=︒， 由4BO AO ==，可得cos55MO BO =⋅︒，sin 55BM BO =⋅︒，点B 在第二象限，可知其坐标即为()4cos554sin55−︒︒，．【总结】考查平面直角坐标系中点坐标与线段长度的转换，结合锐角三角比相关知识解题．【例3】如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB = AC ，D 为边AC 的中点，DE BC ⊥于点E ， 连接BD ，则tan DBC ∠的值为（ ）A ．13B ．21−C ．23−D ．14【难度】★★ 【答案】A【解析】设AB AC a ==，90BAC ∠=︒，可得2BC a =，45C ∠=︒，D 为AC 中点，则有1122CD AC a ==， DE BC ⊥，可得2sin 4DE CE CD C a ==⋅=，则324BE BC CE a =−=，214tan 3324aDE DBC BE a ∠===． 【总结】考查等腰直角三角形中的锐角三角比的应用．例题解析AB CDEA BO xyM3 / 26ABC DEO【例4】如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是边AD 的中点，若AC =10，DC =25，则BO =______，EBD ∠的度数约为____°____＇（参考数据：1tan 2634'2︒≈）． 【难度】★★ 【答案】5，18，26．【解析】根据矩形性质，10BD AC ==，152BO BD ==， 根据勾股定理，2245AB BD AB =−=，E 是AD 中点， 则25AE AB ==，251tan 245AB ADB AD ∠===，则有2634'ADB ∠=︒，45AEB ∠=︒，即得：452634'1826'EBD AEB ADB ∠=∠−∠=︒−︒=︒．【总结】本题一方面考查矩形性质，另一方面考查锐角三角比的应用．【例5】在锐角ABC ∆中，AB = 14，BC = 14，84ABC S ∆=，求cot C 的值． 【难度】★★【答案】7136−．【解析】作AD BC ⊥交BC 于D ，则有12ABC S AD BC ∆=⋅，得：22841214ABC S AD BC ∆⨯===，根据勾股定理可得22213BD AB AD =−=，则14213713cot 126CD C AD −−===． 【总结】解三角形，通过作高把线段放到直角三角形中即可．【例6】如图，ABC ∆中，23AB =，AC = 2，边BC 上的高3AD =，求ABC S ∆和BAC ∠的大小．【难度】★★【答案】23ABC S ∆=，90BAC ∠=︒．【解析】AD BC ⊥，根据锐角三角比的定义，则有31sin 223AD B AB ===，3sin 2AD C AC ==，可得：30B ∠=︒，60C ∠=︒，可知90BAC ∠=︒，所以1232ABC S AB AC ∆=⋅=． 【总结】解直角三角形的应用，直接采用特殊角锐角三角比，也可直接用勾股定理解题．ABCD4 / 26【例7】如图，在锐角ABC ∆，4sin 5B =，tan 2C =，且40ABC S ∆=，求BC 的长． 【难度】★★ 【答案】10【解析】作AD BC ⊥交BC 于点D ，由4sin 5B =，可设4AD a =，则有5AB a =，根据勾股定理得：223BD AB AD a =−=，因为tan 2C =，则2CD a =，5BC BD CD a =+=，11454022ABC S AD BC a a ∆=⋅=⋅⋅=，即24a =，解得：2a =，即得：510BC a ==．【总结】考查锐角三角比的应用，通过作高把线段放到直角三角形中即可．【例8】如图，ABC ∆中，30B ∠=︒，45C ∠=︒，22AB AC −=−，求BC 的长． 【难度】★★ 【答案】31+．【解析】过点A 作AD BC ⊥交BC 于D ，设AD a =，由30B ∠=︒，45C ∠=︒，可得：2AB a =，3BD a =，CD a =，2AC a =．∵22AB AC −=−，∴2222a a −=−，解得：1a =，由此可得331BC BD CD a a =+=+=+．【总结】考查锐角三角比的应用，通过作高把线段放到直角三角形中，把题目中的线段用一条线段表示出来即可．【例9】如图，先将斜边AB 长6 cm ，30A ∠=︒的直角三角板ABC 绕点C 顺时针方向旋转 90°至''A B C ∆位置，再沿CB 向左平移，使点B 落在原三角板ABC 位置的斜边AB 上，则平移的距离为______．【难度】★★【答案】()33cm −． ''B 【解析】30A ∠=︒，得'sin303BC AB cm B C =⋅︒==，cos3033AC AB cm =⋅︒=，则有'333AB =−，得()()'''3tan 333333B B AB A cm =⋅=−⨯=−． 【总结】考查锐角三角比的应用，通过作高把线段放到直角三角形中，把题目中的已知线段用一条线段表示出来即可．ABCAB CDABCD5 / 26【例10】如图，正方形ABCD 中，E 为边BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点重合，折痕为MN ，若1tan 3AEN ∠=，DC + CE =10．（1）求ANE ∆的面积；（2）求sin ENB ∠的值．【难度】★★ 【答案】（1）103；（2）35． 【解析】（1）设正方形边长为a ，由1tan 3AEN ∠=，可得：13BE a =， 则有23CE a =，CD a =，DC + CE =10，即2103a a +=，解得：6a =，则123BE a ==，设AN m =，根据翻折的性质，则有EN AN m ==，6BN m =−，在Rt BNE ∆中用勾股定理，则有222BN BE NE +=，即()22262m m −+=，解得：103m =，11102223ANE S BE AN m ∆=⋅=⨯=； （2）由（1）可得2BE =，103NE =，则23sin 1053BE ENB NE ∠===． 【总结】解直角三角形的应用，注意充分利用翻折的性质和其中的相关等量关系．【例11】如图，四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，120B ∠=︒，AB = 4，BC = 2，求四边形的面积．【难度】★★★【答案】2633．【解析】延长AB 、DC 交于点E ，90A C ∠=∠=︒，120B ∠=︒，60D CBE ∴∠=∠=︒．由BC = 2，得tan 602324CE BC BE BC =︒⋅===，． 由AB = 4，即得8AE AB BE =+=，则有83cot 603AD AE =⋅︒=． 即得：1118312638223222323ABCD ADE BCES S S AD AE BC CE ∆∆=−=⋅−⋅=⨯⨯−⨯⨯=． 【总结】利用割补法求面积，关键在于对特殊角的利用，不能把特殊角分开，延长即可．A BCD ENMABCDE6 / 26【例12】如图，在四边形ABCD 中，已知AD = AB = BC ，连接AC ，且30ACD ∠=︒，23tan 3BAC ∠=，CD = 3，求AC 的长． 【难度】★★★【答案】635或63．【解析】过点B 作BE AC ⊥交AC 于E ，过点D 作DF AC ⊥交AC 于F ，则有12AE CE AC ==，设AE a =，由23tan 3BAC ∠=， 可得：233BE a =，根据勾股定理即可得22213AB BE AE a BC AD =+===，由30ACD ∠=︒，CD = 3，可得3sin 302DF CD =⋅︒=，33cos302CF CD =⋅︒=，在Rt ADF ∆中用勾股定理，则有222AF DF AD +=，即222333212223a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 整理，得：25183270a a −+=，解得：1335a =，233a =，均符合题意， 即得6325AC a ==或63AC =． 【总结】考查锐角三角比的应用，通过作高把线段放到直角三角形中，把题目中的线段用一条线段表示出来即可．【例13】小智在学习特殊角的三角比时发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过B 点的直 线折叠，使点A 落在BC 上的点E 处，折痕BM ．还原后，再沿过点E 的直线折叠，使 点A 落在BC 上的点F 处，折痕EN ．利用这种方法，可以求出tan 67.5︒的值是21+，试证明之．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】证明：第一次折叠，由翻折的性质，得：AB BE =，有45AEB ∠=︒，第二次折叠，由翻折的性质，得：AE EF =，有2AEB AFB ∠=∠， 则有22.5AFB ∠=︒，67.5FAB ∠=︒，设AB a =，则有BE a =，2AE a EF ==，则有()21BF a =+，()21tan 67.5tan 21a BF FAB ABa+︒=∠===+．【总结】考查翻折性质与特殊角锐角三角比的结合运用，注意线段长度的合理转换． 【例14】在平面直角坐标系内，放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示）．点1B 在y 轴A BCDEFN MABCDE F7 / 26仰角 视线水平线视线俯角铅垂线上，点1C 、1E 、2E 、2C 、3E 、4E 、3C 在x 轴上．已知正方形1111A B C D 的边长为1， 1160B C O ∠=︒，11B C //22B C //33B C ，则点3A 到x 轴的距离是（ ）A ．3318+ B ．3118+ C ．336+ D ．316+ 【难度】★★★ 【答案】D【解析】由1160B C O ∠=︒，11B C //22B C //33B C ，可得：22233460B C E B C E ∠=∠=︒，由11122290B C D B C D ∠=∠=︒，得：11122360C D E C D E ∠=∠=︒，1111221cos602D E C D B E =⋅︒==则2222223sin 603B E BC CD ===︒，2322343cos606D E C D B E =⋅︒==，由此可得3A 到x 轴的距离即为()3433311cot 601366B E ⎛⎫+⋅+︒=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选D ． 【总结】考查特殊角锐角三角比的应用，注意进行边角转化．1、仰角与俯角在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．2、方向角模块二：解直角三角形的应用知识精讲xyO8 / 26北北偏东30°南偏西45°北偏西70°南偏东50°30° 70° 45° 50°h l指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角． 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°．3、坡度（坡比）、坡角在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即h i l=． 坡度通常写成1 : m 的形式，如1:1.5i =． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α．坡度i 与坡角α之间的关系：tan hi l α==．【例15】如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测 得树顶A 的仰角ABO ∠为α，则树OA 的高度为（ ）A ．30tan αB ．30sin αC ．30tan αD ．30cos α【难度】★ 【答案】C【解析】转化为直角三角形中求长度的问题，根据锐角三角比定义可得tan OAOB α=，即得30tan OA α=，故选C ．【总结】考查锐角三角比在实际问题中的应用．【例16】如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A 处．如果例题解析A BO9 / 26海轮沿着正南方向航行到灯塔的正东方向，那么海轮航行的距离AB 的长是（ ）海 里A ．2B ．2sin 55°C ．2cos 55°D ．2tan 55°【难度】★ 【答案】C【解析】转化为直角三角形中求长度的问题，根据锐角三角比定义可得cos ABPAB PA ∠=，即得2cos55OA =︒，故选C ．【总结】考查锐角三角比在实际问题中的应用．【例17】如图所示，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18厘米，深为30厘米， 为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度i = 1 : 5，那么AC 的长度是______厘米．【难度】★ 【答案】210【解析】依题意可得31854BD =⨯=， 23060AD =⨯=，根据坡度的含义，可得：270BDCD i==，由此可得210AC CD AD cm =−=．【总结】考查坡度的实际应用和理解．【例18】如图，斜面AC 的坡度为1 : 2，AC =35米，坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与 A 点有一条彩带相连，若AB = 10米，则旗杆BC 的高度为（ ）米A ．5B ．6C ．8D ．3+5【难度】★★ 【答案】A【解析】斜坡坡度为1 : 2，即12CD AD =，设CD a =，则有2AD a =， 根据勾股定理可得535AC a ==，解得3a =，即得：3CD =， 6AD =，根据勾股定理可得228BD AB AD =−=，则5BC BD CD m =−=．【总结】考查坡度的实际应用和理解，结合勾股定理进行实际计算．【例19】如图，要在宽为22米的大道AB 两边安装路灯，路灯的灯臂CD 长2米，且与灯C ABDABP 北ABC DE10 / 26柱BC 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO 与灯臂CD 垂直．当灯罩的 轴线DO 通过公路路面中心线时照明效果最佳．此时，路灯的灯柱BC 的高度应该设计 为（ ）米 A ．1122− B ．1123−C ．11322−D ．1134−【难度】★★ 【答案】D【解析】延长OD 、DC 交于点E ．90B ODC ∠=∠=︒，120BCD ∠=︒，60DOB DCE ∴∠=∠=︒，由BC = 2，tan 602324DE DC CE DC ∴=︒⋅===，．依题意可知：O B =11，即得：tan 60113BE OB =⋅︒=， 则()1134BC BE CE m =−=−．【总结】考查利用锐角三角比求线段长度，关键在于对特殊角的利用，不能把特殊角分开，延长即可．【例20】如图，为测得一栋大厦CD 的高度，一人先在附近一楼房的底端A 点观测大厦顶 端C 处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B 处观测大厦底部D 处的俯角是30°，已知楼房高AB 约是45 m ，根据以上观测数据可求大厦的高CD 是______m ．【难度】★★ 【答案】135．【解析】90BAD ADC ∠=∠=︒，30ADB ∠=︒，60CAD ∠=︒，则有tan 60453AD AB =⋅︒=，tan 60135CD AD m =⋅︒=．【总结】考查俯角仰角与特殊角锐角三角比的结合应用．ABCD【例21】如图，小智在大楼30米高（即PH = 30米）的窗口P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°．已知山坡的坡度为1:3，点P 、H 、B 、C 、 A 在同一平面上，点H 、B 、C 在同一直线上，且PH HC ⊥．则山坡上A 、B 两点间的距离为______．【难度】★★ 【答案】203m ．【解析】依题意有60PBH ∠=︒，15QPA ∠=︒， 山坡坡度为1:3，则有30ABC ∠=︒，由此可得:9030BPH PBH ∠=︒−∠=︒，90ABP ∠=︒， 9045APB BPH QPA ∠=︒−∠−∠=︒，则有203sin 60PHBP ==︒，203AB PB m ==．【总结】考查俯角仰角与特殊角锐角三角比的结合应用．【例22】某单位拟建造地下停车库，设计师提供了车库入口设计示意图（如图），按规定， 地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限 高，请你计算图中CE 的长．（参考数据：sin180.309︒≈，cos180.951︒≈，tan180.325︒≈，cot18 3.078︒≈，结果精确到0.1 m ）【难度】★★ 【答案】2.3m ．【解析】依题意得18BAD ∠=︒，tan 9tan18BD AB BAD =⋅∠=︒， 9tan180.5CD BD BD =−=︒−， 9072BDA BAD ∠=︒−∠=︒，则有9018DCE BDA ∠=︒−∠=︒，由此可得()cos 9tan180.5cos189sin180.5cos18CE CD DCE =⋅∠=︒−⨯︒=︒−︒ 由上述数据，即可得90.3090.50.951 2.3055 2.3CE m ≈⨯−⨯=≈．【总结】考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用，注意题目要求，考虑需要涉及到哪些相关的锐角三角比．【例23】小方在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形．已知吊车ABC D E9 m0.5 m18°QHCPBA吊臂的支点O 距离地面高'2OO =米．当吊臂顶端由点A 抬升至点'A （吊臂长度不变） 时，地面B 处的重物（高度不计）被吊至'B 处，紧绷着的吊缆''A B AB =．AB 垂直地面'O B 于点B ，直线''A B 垂直地面'O B 于点C ，吊臂长度'10OA OA ==米，且3cos 5A =，1sin '2A =．（1）求重物在水平方向移动的距离BC ；（2）求重物在竖直方向提升的高度'B C ．【难度】★★【答案】（1）3m ；（2）()536m −． 【解析】（1）如图，则有4sin 1085OD OA A m =⋅=⨯=， ''1sin 1052OF OA A m =⋅=⨯=，则3BC FD OD OF m ==−=； （2）由（1）可得：cos 6AD OA A m =⋅=，则'''8AB AD DB AD OO m A B =+=+==， ''2253A F OA OF m =−=，则()''''5328536B C A F FC A B m =+−=+−=−． 【总结】考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用，注意题目要求，考虑需要涉及到哪些相关的锐角三角比，注意看清楚题目提供的条件．【例24】如图，是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB DB ⊥，坡面AC 的坡 角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC 的坡度为3:3i =．若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角（A 点处）10米的建筑物是 否需要拆除？（参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈） 【难度】★★ 【答案】需要拆除．【解析】依题意有45CAB ∠=︒， 则10AB BC ==，DC 的坡度为3:3i =，即得：103CDBD i==， 由此可得：10310AD BD AB =−=−，则点A 距人行道外侧距离至少为103103103710.3210−+=−≈>，由此可知建筑物需要拆除．【总结】考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用．AB CD【例25】数学兴趣小组准备利用所学的知识测量公路旁某广告牌的高度．如图所示，先在 水平面上点A 处测得对广告牌上沿点C 的仰角为30°，然后沿AH 方向前进10米至点 B 处，测得对广告牌下沿点D 的仰角为60°．已知矩形广告牌垂直于地面的一边CD高2米．求广告牌的高度GH （结果保留根号）．【难度】★★ 【答案】()531m −．【解析】作DE BH ⊥交BH 于E ， 设BE a =，则有tan 3DE BE DBE a =⋅∠=，32CE CD DE a =+=+，由30CAE ∠=︒，得332310AE CE a AB BE a ==+=+=+，解得：53a =−，由此可得()()323532531GH CE a m ==+=⨯−+=−．【总结】考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用，注意线段长度的转化和等量关系．【例26】如图，轮船甲位于码头O 的正西方向A 处，轮船乙位于码头O 的正北方向C 处， 测得45CAO ∠=︒．轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们 的速度分别为45 km /h 和36 km /h ．经过0.1 h ，轮船甲行驶至B 处，轮船乙行驶至D 处， 测得58DBO ∠=︒．此时B 处距离码头O 有多远？（参考数据：sin 580.85︒≈，cos580.53︒≈，tan 58 1.60︒≈）【难度】★★ 【答案】13.5km ．【解析】依题意可得：450.1 4.5AB km =⨯=， 360.1 3.6CD km =⨯=，由45CAO ∠=︒，可知 4.5AO CO BO ==+，8.1DO CO CD BO =+=+，58DBO ∠=︒，得tan tan 58DODBO BO∠==︒，即8.11.60BO BO +≈，解得：13.5BO km =． 【总结】考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用，注意线段长度的转化和等量关系．【例27】如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段AB 表示高架道路旁的一排居民楼．已A BCD O北东广告牌GHCDBA知点A 到MN 的距离为15米，BA 的延长线与MN 相交于点D ，且30BDN ∠=︒，假设汽车在高架道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．（1）过点A 作MN 的垂线，垂足为H ．如果汽车沿着从M 到N 的方向在MN 上行驶， 当汽车到达点P 处时，噪音开始影响这一排居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q 时，它与这一排 居民楼的距离QC 为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（结果精确到1米，参考数据：3 1.7≈）【难度】★★★【答案】（1）36；（2）89．【解析】（1）39AP =，根据勾股定理可得：2222391536PH AP AH m =−=−=；（2）30BDN ∠=︒，得278DQ QC m ==， cot 30153DH AH m =⋅︒=，由此可得隔音板长度：361537811415389PQ PH DH DQ m =−+=−+=−≈．【总结】考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用，注意将题目中的语言转化为数学符号语言．【例28】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风 暴，有极强的破坏力．据气象部门观测，某沿海城市A 正南方向相距220 km 的B 处有 一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心20 km ，风力就会减弱一级．现 台风中心正以15 km /h 的速度沿北偏东30°方向移动，如图所示．若城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．（1）设台风中心风力不变，该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由． （2）如该城市受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ （3）该城市受到台风影响时的最大风力为几级？ 【难度】★★★【答案】（1）会受影响；（2）415h ；（3）6.5级． 【解析】（1）作AD BC ⊥交BC 于D ， 则有sin 110AD AB B km =⋅=，不受台风影响的最小距离为()12420160km −⨯=，因为110160<，故该城市会受到台风影响；（2）设在E 点处该城市开始受到台风影响，则有160AE km =，AB CDP NMQH AB CD E根据勾股定理可得：223015DE AE AD =−=，则受影响时间为2301515415h ⨯÷=；（3）台风中心到达D 点处距该城市最近，受到最大风力影响， 受到的最大风力即为1211020 6.5−÷=级．【总结】考查锐角三角比在解决实际问题中的具体应用，关键是找准题目要求的临界位置结合题意进行求解．【例29】某水库大坝的横截面积是如图所示的四边形ABCD ，其中AB // CD ．瞭望台PC 正 前方水面上有两艘渔船M 、N ，观察员在瞭望台顶端P 处观测渔船M 的俯角31α=︒， 观测渔船N 的俯角45β=︒．已知MN 所在直线与PC 所在直线垂直，垂足为E ，PE 长为30米．（1）求两渔船M 、N 之间的距离（结果精确到1米）（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD 的坡度i = 1 : 0.25．为了提高大坝的防洪能 力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝顶加宽3米，背水坡FH 的坡 度为i = 1 : 1.5．施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效 率提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前20天完成加固任务．施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan 310.60︒≈，sin 310.52︒≈）【难度】★★★ 【答案】（1）20m ；（2）600．【解析】（1）3050tan 0.60PE ME m α=≈=，30tan PE NE m β==，由此可得：20MN ME NE m =−=；（2）作DG AB ⊥交AB 于G ，作 FQ BH ⊥交BH 于Q ．依题意有：24DG FQ ==， AD 坡度i = 1 : 0.25，即得：16DG AG i ==， FH 坡度i = 1 : 1.5，即得：236FQHQ i ==， 由此可得336633AH GQ HQ AG =+−=+−=，则填筑土石方总量为()()11005024333432002DG DF AH ⋅+⨯=⨯⨯+=方，设原计划每天填筑x 方，可列方程4320012 1.5122043200x x x ⎛⎫+−−=⎪⎝⎭， 解得：600x =，经检验，600x =是原方程的根，即原计划每天填筑土石方600立方米．【总结】考查实际问题的应用，主要是对题目要求进行准确分析．ABC D EF NM P JHG QABC DE FG【习题1】如图，菱形ABCD 的边长为15，3sin 5BAC ∠=，则对角线AC 的长为______． 【难度】★ 【答案】24．【解析】连结BD 交AC 于点O ，则有AC BD ⊥，2AC AO =，由3sin 5BAC ∠=，即35BO AB =，得9BO =，勾股定理得2212AO AO BO =−=，则224AC AO ==． 【总结】考查菱形的性质结合锐角三角比基础知识的应用．【习题2】有一个相框的侧面抽象为如图所示的几何图形，已知BC = BD = 15 cm ， 40CBD ∠=︒，则点B 到CD 的距离为______cm ．（参考数据：sin 200.342︒≈，cos 200.940︒≈，sin 400.642︒≈，cos 400.766︒≈，结果精确到0.1 cm ）【难度】★ 【答案】14.1．【解析】作BE CD ⊥，则有1202CBE CBD ∠=∠=︒，故B 到CD 的距离cos 150.94014.1BE BC CBE cm =⋅∠≈⨯=． 【总结】考查锐角三角比和等腰三角形性质的结合应用．【习题3】如图，为了测得电视塔的高度AB ，在D 处用高为1米的测角仪CD 测得电视塔 顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F 处，又测得电视塔顶端A 的 仰角为60°，则这个电视塔的高度AB 为（ ）A ．503米B ．51米C ．()503+1米D ．101米【难度】★★ 【答案】C【解析】60AEG ∠=︒，得：tan 603AG EG EG =⋅︒=，30ACG ∠=︒，则有cot 3033CG AG AG EG =⋅︒==，则有2100CE CG EG EG =−==，得：50EG =，3503AG EG ==，()5031AB AG BG m =+=+．故选C ． 【总结】考查特殊角锐角三角比的实际应用，相应线段长度转化．随堂检测A B CDOABC DE【习题4】如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，3sin 5B =．D 是BC 上一点，已知45ADC ∠=︒，DC = 6，求tan BAD ∠的值．【难度】★★【答案】17．【解析】过点D 作DE AB ⊥交AB 于点E ．由90C ∠=︒，3sin 5B =，可设3AC a =，则5AB a =，根据勾股定理可得224BC AB AC a =−=，由45ADC ∠=︒，可得3CD AC a ==， 则BD BC CD a =−=，由90C DEB B B ∠=∠=︒∠=∠，，即得ACB ∆∽DEB ∆，则有55AC BC AB a DE BE BD a ====，由此可得35DE a =，45BE a =，则215AE AB BE a =−=， 即得315tan 2175aDE BAD AE a ∠===．【总结】解直角三角形，通过作高把线段放到直角三角形中再通过相应的线段比例关系把三角形中的相关线段表示出来即可．【习题5】如图，ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，AB = 2AD ，已知45BAD ∠=︒，AC 与DE 相交于点F ，ABC ∆的面积为3，求阴影部分的面积． 【难度】★★【答案】334−【解析】作CG AB ⊥交AB 于点G ，作FH AE ⊥交AE 于点H ， 则有6045E B EAF BAD ∠=∠=︒∠=∠=︒，．设ABC ∆边长为a ，则有1322BG a CG a ==，，1133222ABC S CG AB a a ∆=⋅=⋅⋅=，即得24a =，解得：2a =，即22AB AD ==，得ADE ∆边长为1，则有1AE =，设FH h =，则有3cot 603EH EF h =⋅︒=，AH FH h ==，即得3113AE AH FH h ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得332h −=，13324S AE FH −=⋅=阴． 【总结】考查特殊角的锐角三角比与特殊图形的结合应用．A BCD EA B CDE FG H【习题6】如图，在四边形ABCD 中，45A C ∠=∠=︒，105ADB ABC ∠=∠=︒． （1）若AD = 2，求AB ；（2）若232AB CD +=+，求AB ．【难度】★★【答案】（1）62+；（2）31+． 【解析】（1）作DE AB ⊥交AB 于点E ， 由45A ∠=︒，可得：cos 452AE AD DE =⋅︒==，由105ADB ∠=︒，可得：30ABD ∠=︒，即得cot 306BE DE =⋅︒=，则62AB =+；（2）作BF CD ⊥交CD 于点F ，由（1）可得()31AB DE =+，设DE a =，则有2BD a =，由45A C ∠=∠=︒，105ADB ABC ∠=∠=︒，可得60BDC ∠=︒，则有cos60DF BD a =⋅︒=，3BF a CF ==，即得()31CD a AB =+=，由232AB CD +=+，即可得31AB =+． 【总结】考查特殊角锐角三角比的应用，通过作高解直角三角形即可．【习题7】2015年4月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级地震，震源深度为20千米．中 国救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方C 处有生命迹象．在废墟一侧 某面上选两探测点A 、B ，点A 、B 相距2米，探测线与该面的夹角分别是30°和45°（如图），试确定生命所在的点C 与探测面的距离（参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈）【难度】★★ 【答案】2.732m ．【解析】作CD AB ⊥交直线AB 于点D ． 由题意可得：30CAD ∠=︒，45CBD ∠=︒， 则有cot 303AD CD CD =⋅︒=，BD CD =， 即()312AB AD BD CD =−=−=，解得：31 2.732CD m =+≈【总结】考查特殊角锐角三角比的应用，通过作高解直角三角形即可．AB CDEFABC30°45° DEDCB A【习题8】利用几何图形，求sin 18°的值． 【难度】★★★【答案】514−．【解析】如图，ABC ∆为“黄金三角形”，AD 、BE 分别为其顶角和一底角角平分线，则有18BAD ∠=︒，12BD BC =，根据相似可证得“黄金三角形中”512BC AC −=， 则有51sin184BD AC −︒==． 【总结】考查“黄金三角形”的性质的应用．【习题9】如图，港口B 位于港口O 正西方向120 km 处，小岛C 位于港口O 北偏西60° 方向上．一艘游船从港口O 出发，沿OA 方向（北偏西30°）以v km /h 的速度驶离港 口O ，同时一艘快艇从港口B 出发，沿北偏东30°的方向以60 km /h 的速度驶向小岛C ，在小岛C 用1 h 加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去．（1）快艇从港口B 到小岛C 需要多长时间？（2）若快艇从小岛C 到与游船相遇恰好用时1 h ，求v 的值及相遇处与港口O 的距离． 【难度】★★【答案】（1）1h ；（2）40v =，相遇处与港口O 的距离120km ． 【解析】（1）依题意可得60CBO ∠=︒，30BOC ∠=︒， 则有90ACB ∠=︒，此时sin 60BC OB BOC km =⋅∠=，则快艇到小岛的时间为60601h ÷=；（2）延长BC 交AO 于点D ． 由题意可知60CD BC ==，则有AB BO =， 由30AOC ∠=︒，可得60BOD ∠=︒， 即BOD ∆为等边三角形，相遇点D 与港口距离120OD OB km ==，船速()12011140/v km h =÷++=．【总结】考查方位角的应用，计算速度时注意不要遗漏时间．A BCO北 北东D【习题10】如图所示，已知边长为2的正三角形ABC 沿直线l 顺时针滚动．（1）当ABC ∆滚动一周到111A B C ∆的位置时，A 点所运动的路程约为______；（精确到0.1） （2）设ABC ∆滚动240°，C 点的位置为'C ，当ABC ∆滚动480°时，A 点的位置再'A ，请你利用正切的两角和公式()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=−，求出''CAC CAA ∠+∠的度数．【难度】★★★【答案】（1）8.4；（2）30︒． 【解析】（1）A 点转过的圆心角度数 为1202240︒⨯=︒，由此可得运动路程为：240288 3.148.418033ππ⨯⨯=≈≈； （2）作'C D AC ⊥交直线AC 于点D ，作'A E AC ⊥交直线AC 于点E ． 则有''2sin 603C D A E ==︒=，2215AD =⨯+=，4219AE =⨯+=，则有''3tan 5C D CAC AD ∠==，''3tan 9A E CAA AE ∠==，根据上述公式，代值计算，则有()''''''33tan tan 359tan 1tan tan 333159CAC CAA CAC CAA CAC CAA +∠+∠∠+∠===−∠⋅∠−⨯， 即得''30CAC CAA ∠+∠=︒．【总结】阅读题，抓住题目中的运动过程，准确分析即可进行解题应用．ABCA 1B 1C 1DE【作业1】如图，将正方形ABCD 的边BC 延长到点E ，使得CE = AC ，AE 与CD 相交于点F ，求E ∠的余切值．【难度】★ 【答案】21+．【解析】设正方形边长为a ，则有2AC a CE ==， ()21BE BC CE a =+=+，()21cot 21aBEE ABa+===+．【总结】考查根据一些特殊角锐角三角比计算一些相关锐角三角比的思想方法．【作业2】如图，在矩形ABCD 中，AB = 8，BC = 12，E 是BC 的中点，连接AE ，将ABE ∆沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC ，则sin EFC ∠的值为______．【难度】★★【答案】45．【解析】连结BF ， 根据翻折的性质，可得BE EF FC ==，可证得BFC ∆为直 角三角形，AE BF ⊥，即得//AE CF ，所以EFC AEF AEB ∠=∠=∠． 由8AB =，6BE =， 勾股定理得：2210AE AB BE =+=，则84sin sin 105AB EFC AEB AE ∠=∠===． 【总结】考查翻折性质的应用，通过等角转化求角的锐角三角比．课后作业AB C D EFAB CDEF【作业3】如图，AD 是ABC ∆的中线，1tan 3B =，2cos 2C =，2AC =．求：（1）BC 的长；（2）sin ADC ∠的值．【难度】★★【答案】（1）4；（2）22． 【解析】（1）作AE BC ⊥交BC 于点E ， 则cos 1CE AC C AE =⋅==，由1tan 3AE B BE ==，即得：3BE =，则4BC CE CE =+=；（2）因为AD 是ABC ∆中线，则有2BD CD ==，即得：1DE CD CE =−=，由勾股定理，得：222AD AE DE =+=，则有12sin 22AE ADC AD ∠===． 【总结】解三角形，通过作高把边转化到直角三角形中即可．【作业4】如图，轮船从B 处以每小时60海里的速度沿南偏东20°的方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东50°方向上．轮船航行40分钟到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东10°方向上，则C 处与灯塔A 的距离是（ ）A ．20海里B ．40海里C ．2033海里D ．4033海里【难度】★★ 【答案】D ．【解析】依题意可得：30ABC ACB ∠=∠=︒，则有AB AC =，作AD BC ⊥交BC 于D ，轮船行程即260403BC =⨯=，则有1202BD CD BC ===，403cos 3CD AC ACB ==∠． 【总结】考查方位角知识的应用，本题重点在于准确分析相关角度的大小再利用特殊角的锐角三角比解决问题．ABCD EABC北东D【作业5】如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，562AB =，D 是BC 上一点，AD = 5，CD = 3，求ADC ∠的度数及AC 的长．【难度】★★【答案】60ADC ∠=︒，19AC =．【解析】作AE BC ⊥交BC 于点E ，则有56253sin 222AE AB B =⋅=⨯=， 3sin 2AE ADE AD ∠==，即得sin 60ADE ∠=︒， 则1522DE AD ==，则12CE CD DE =−=，勾股定理得2219AC AE CE =+=．【总结】考查特殊角锐角三角比的应用，作高把线段放到直角三角形中即可．【作业6】如图，点D 在ABC ∆的边BC 上，C BAD DAC ∠+∠=∠，4tan 7BAD ∠=，65AD =， CD = 13，求线段AC 的长．【难度】★★ 【答案】265．【解析】作DE AB ⊥交AB 于点E ，作AF BC ⊥交BC 于点F ， 作DAG BAD ∠=∠交CD 于点G ，作DH AG ⊥交AG 于点H ．∵4tan 7DE BAD AE ∠==，勾股定理得22265AE DE AD +==，∴4DE =，7AE =．∵AD 为角平分线，根据角平分线性质有4DH DE ==，7AH AE ==， C BAD DAC ∠+∠=∠，即C BAD DAH GAC ∠+∠=∠+∠，即得：C GAC ∠=∠．∴AG CG =，设AG a =，则有7GH a =−，13DG a =−，在Rt DGH ∆中，∵222DH HG DG +=，∴()()2224713a a +−=−，解得：263a =， 即263AG GC ==，此时13133DG a =−=． 在ADG ∆中用面积法，则有DH AG AF DG ⋅=⋅，即2613433AF ⨯=⋅， 即得8AF =，Rt ADF ∆勾股定理，得()22226581DF AD AF =−=−=，则12CF CD DF =−=，由此可得2222812413AC AF CF =+=+=．【总结】本题综合性较强，综合应用了锐角三角比、角平分线的性质、面积法等解三角形常用的方法，主要是根据题目条件进行变化得出最终结果．D ABCEH F EGAB CD【作业7】如图，一栋楼房AB 背后有一台阶CD ，台阶每层高0.2米，且AC = 17.2米．设太阳光线与水平地面的夹角为α，当60α=︒时，测得楼房在地面上的影长AE = 10米．现 有一只小猫睡在台阶的MN 这层上晒太阳．（参考数据：3 1.73≈） （1）楼房的高度约为多少米？（2）过了一会儿，当45α=︒时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由． 【难度】★★【答案】（1）17.3m ；（2）能．【解析】（1）根据锐角三角比的含义，tan ABAEα=，则有tan 10317.3AB AE m α=⋅=≈；（2）45α=︒时，影长即为tan 17.3AB m α⋅=， 17.317.20.10.2m m −=<，即影子的落点正在在台阶侧面CM 上，此时小猫还是可以晒到太阳的．【总结】考查利用锐角三角比解决实际问题，化为实际三角形模型即可．【作业8】如图，CD 是ABC ∆的中线，已知90ACD ∠=︒，3cos 5A =，求tan BCD ∠的值． 【难度】★★★【答案】38．【解析】由90ACD ∠=︒，3cos 5AC A AD ==， 可设3AC a =，则5AD a =，根据勾股定理，可得：224CD AD AC a =−=． 延长CD 到E ，使DE CD =，连结AE ．由AD BD =，CDB ADE ∠=∠，可证CDB EDA ∆≅∆，则有BCD E ∠=∠，由此可得：33tan tan 248AC a BCD E CE a ∠=∠===⨯． 【总结】考查“倍长中线法”在解三角形中的应用，可进行等角转化，将不便计算的角放到直角三角形中即可．ABCDENM ABCDE【作业9】如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = 4，BC = 6，DAC B AEF ∠=∠=∠，点E 、F 分别在BC 、AC 上（点E 与B 、C 不重合），设BE = x ，AF = y ．（1）求cos B ；（2）求证：ABE ∆∽ECF ∆； （3）求y 关于x 的代数式；（4）当点E 在BC 上移动时，AEF ∆是否有可能是直角三角形？若有可能，请求出BE 的长；若不能，请说明理由．【难度】★★★【答案】（1）34；（2）略；（3）26164x x y −+=；（4）23BE =或3BE =． 【解析】（1）作AG BC ⊥交BC 于点G ， //AD BC ， DAC ACB ∴∠=∠． DAC B ∠=∠， B ACB ∴∠=∠．AB AC ∴=， 132BG CG BC ∴===．3cos 4BG B AB ∴==．（2）证明：AEC B BAE AEF FEC ∠=∠+∠=∠+∠，又B AEF ∠=∠， BAE FEC ∴∠=∠，B ACB ∠=∠，∴ABE ∆∽ECF ∆．（3）由ABE ∆∽ECF ∆，则有AB BEEC CF=，即464x x y =−−，整理得：26164x x y −+=； （4）①90AEF B ∠=∠<︒，即AEF ∠不可能为直角；②90EAF ∠=︒，则有3cos cos 4AC ACE B EC ∠===，4AC AB ==，则有163EC =， 则162633BE BC EC =−=−=；③90AFE ∠=︒，此时则有90AEB EFC ∠=∠=︒，此时点E 与点G 重合，即为BC 中点，此时3BE =；综上所述，23BE =或3BE =．【总结】考查“一线三等角”证相似的基本模型，同时对直角三角形的存在性问题可转化为固定角的锐角三角比不变的问题．ABCDE FG。
解直角三角形ppt课件
在经济学中，经常需要进行复利计算。虽然复利计算本身与解直角三角形没有直接关系， 但是可以通过构造类似直角三角形的数学模型并求解，得到复利计算的精确结果。
06
解直角三角形的拓展与延伸
斜三角形的解法探讨
斜三角形的定义与性质
斜三角形是指一个三角形中不包含直角的情况。其性质包 括三角形的内角和为180度，以及三边关系等。
工程问题中的解直角三角形
土木工程中的坡度计算
在土木工程中，经常需要计算坡度，即斜坡的倾斜程度。 通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的坡度值。
机械工程中的力学分析
在机械工程中，经常需要对物体进行力学分析。通过构造 直角三角形并利用三角函数求解，可以得到物体受到的力 的大小和方向。
电气工程中的相位差计算
在电气工程中，经常需要计算两个交流信号之间的相位差 。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的相位差值 。
其他实际问题中的解直角三角形
航海问题中的航向和航程计算
在航海问题中，经常需要计算航向和航程。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的 航向和航程值。
物理学中的矢量合成与分解
在物理学中，经常需要对矢量进行合成与分解。通过构造直角三角形并利用三角函数求解 ，可以得到合成或分解后的矢量的大小和方向。
在直角三角形中，已知任意两边长，可以利用勾股定理求出 第三边长。
已知角度和一边求另一边
在直角三角形中，已知一个锐角和一条边长，可以利用三角 函数和勾股定理求出另一条边长。
勾股定理在实际问题中的应用
测量问题
在测量问题中，可以利用 勾股定理解决距离、高度 等测量问题。
工程问题
在工程问题中，可以利用 勾股定理解决角度、长度 等计算问题。
解直角三角形(优质课)课件pptx
练习题：请完成以下解直角三角形的练习题，巩固本节课所学的知识。
已知直角三角形的一个锐角为30度，斜边长为10cm，求这个三角形的面积。
一艘船在海上航行，测得前方两个灯塔之间的夹角为60度，且这两个灯塔与船的距离分别为10海里和15海里。求这艘船相对于两个灯塔的位置。
有效数字运算规则回顾
四舍五入法、进一法、去尾法等。
近似计算方法
在保证精度的前提下，尽量简化计算过程，减少计算量。例如，利用近似公式、近似数表等。
技巧
近似计算方法和技巧
06
总结回顾与拓展延伸
03
实际应用中的解直角三角形问题
如测量问题、航海问题、物理问题等，需要将实际问题转化为数学问题，通过建立直角三角形模型进行求解。
一个物体从斜面上滑下，已知斜面的倾角为45度，物体与斜面间的动摩擦因数为0.5。求物体下滑的加速度大小。
01
02
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04
05
思考题与练习题
THANKS
在直角三角形中，当角度为30°、45°、60°时，可以通过简单的几何关系计算出对应的正弦、余弦、正切值。
特殊角的三角函数关系
掌握特殊角度的三角函数值之间的关系，如 sin(90°-θ) = cosθ，cos(90°-θ) = sinθ 等。
特殊角度三角函数值计算
利用三角函数求未知边长或角度
三边成比例
两个角相等
相似三角形判定定理回顾
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通过相似比求解未知边长或角度
构建相似三角形，利用相似比求解未知量
利用相似三角形的性质，通过已知边长和角度求解未知边长或角度
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3 2
先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A 先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐 ABCD置于直角坐标系中 标系的原点重合， AB、AD分别落在 分别落在x 标系的原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴 上（如图2），再将此矩形在坐标平面内按逆时 如图2 针方向绕原点旋转30 30° 如图3），若AB=4， 针方向绕原点旋转30°（如图3），若AB=4， BC=3，则图（ 和图（ 中点B的坐标为___ ___， BC=3，则图（2）和图（3）中点B的坐标为___， 的坐标为____ ____． 点C的坐标为____．
B c a A ┏ b C
∠A + ∠B = 900 锐角之间的关系： 锐角之间的关系：
边角之间的关系： 边角之间的关系：
a b a b sin A = , cos A = , tan A = , cot A = ; c c b a
相关定理： 相关定理： （1）30°角所对的边等于斜边的一半 30° （2）斜边上的中线等于斜边的一半 （3）弦高公式： ab=ch 弦高公式：
45° 45° B
北
30° 30°
A
东
南
两个模型， 两个模型，一个思想方法
A
模型1 如图, 模型1 如图,根据图中已 知数据, ABC其余各边 知数据,求△ABC其余各边 的长,各角的度数和△ 的长,各角的度数和△ABC 的面积. 的面积.
a α β
B
C
A
模型2 如图, 模型2 如图,根据图中已 知数据, 知数据,求AD.
C
45° P ° 60° °
O
A
E B 水平地面
已知：如图，在山脚的A处测得山顶D 已知：如图，在山脚的A处测得山顶D的仰角为 45° 沿着坡度为30 的斜坡前进400米到B 30° 400米到 45°，沿着坡度为30°的斜坡前进400米到B处 BAC=30° AB=400米），测得 测得D （即∠BAC=30°，AB=400米），测得D的仰角为 60° 求山的高度CD CD． 60°，求山的高度CD．
α
β ┌
B a
C
D
转化思想和方程思想
【化斜为直】，【善于转化】 化斜为直】 善于转化】
四个解直角三角形的典型变式图形
DC
D
C
A
E F
B
A
F
E
B
DC
D
C
A
B
E F
A
B
F
E
如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C 如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰 1 角为60 60° 沿山坡向上走到P处再测得点C 角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角 2 1 OA=100 为45°，已知OA=100米，山坡坡度为 ，（即 45° 已知OA=100米 ，（即 2 在同一条直线上。 tan∠PAB= ）且O、A、B在同一条直线上。求电 视塔OC的高度以及所在位置点P的铅直高度. OC的高度以及所在位置点 视塔OC的高度以及所在位置点P的铅直高度.（仪 器的高度忽略不计，结果保留根号形式） 器的高度忽略不计，结果保留根号形式）
培优讲座
解直角三角形
特殊角的三角函数值表
三角函 正弦 余弦 正切 余切 数 sinα cosα tanα cotα 锐角α 锐角α 300 450 600
1 2
2 2 3 2
3 2 2 2 1 2ຫໍສະໝຸດ 3 313
3
1 3 3
解直角三角形的依据 三边之间的关系： 三边之间的关系： a + b = c
2 2 2
2．坡度(坡比)、坡角 坡度(坡比) (1)坡度用 (1)坡度用i表示
h i= l h： 坡面的铅直高度 l： 对应水平宽度
α
(2)坡角：坡面与水平面的夹角. (2)坡角：坡面与水平面的夹角. 坡角 (3)坡度与坡角的关系
i=tanα=
h l
3.方位角 3.方位角
OA表示北偏东30° OA表示北偏东30° 表示北偏东30 OB表示西南方向 OB表示西南方向 西 O
答案： 答案：图（2）中：B（4，0），图（3）中：B（2 ，2）； ），图 4 3 −3 3 3 + 4 ），图 图（2）中：C（4，3），图（3）中：C（ ）． , 2 2
解：如图，作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，在 Rt△CDF中∠DCF=30°，CD=400米， 1 ∴DF=CD·sin30°= ×400=200（米）．
2
3 CF=CD·cos30°= ×400=200 （米）． 在Rt△ADE中，∠ADE=60°，设DE=x米， ∴AE=tan60°·x= 3 x（米） 在矩形DEBF中，BE=DF=200米 在Rt△ACB中，∠ACB=45° ∴AB=BC， 即 3 x+200=200 3 +x．
几个常用的概念
1.仰角和俯角 1.仰角和俯角 在进行测量时， 在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角 仰角； 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角 俯角. 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 视线 铅 直 线 仰角 水平线 俯角 视线