直线参数方程-知识讲解

直线的参数方程
【学习目标】
1．能选择适当的参数写出直线的参数方程．
2. 会运用直线的参数方程解决有关问题。

【要点梳理】
要点一、直线的参数方程的标准形式
1. 直线参数方程的标准形式：
经过定点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为：
00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩
（t 为参数）； 我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式。

2. 参数t 的几何意义：
参数t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任意一点M(x,y)为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即0||||M M t =，||t 表示直线上任一点M 到定点0M 的距离。

当点M 在0M 上方时，0t >；
当点M 在0M 下方时，0t <；
当点M 与0M 重合时，0t =；
要点注释：若直线l 的倾角0α=时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=0
0y y t x x .
要点二、直线的参数方程的一般形式
过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=a b 的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bt
y y at x x 00(t 为参数) 在一般式中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义。

若a 2+b 2=1,则为标准式，此时，｜t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2≠1，则动点P 到定点P 0的距离是22b a +｜t ｜.
要点三、化直线参数方程的一般式为标准式
一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程的一般式为，.
⎩
⎨⎧+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数）， 斜率为a b tg k ==α (1) 当2
2b a +＝1时，则t 的几何意义是有向线段M M 0的数量.
(2) 当22b a +≠1时，则t 不具有上述的几何意义.
⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00可化为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+++=+++=)()(2222022220t b a b a b y y t b a b a a x x 令t '=t b a 22+ 则可得到标准式⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧'++='++=t b a b y y t b a a x x 220220 t '的几何意义是有向线段M M 0的数量. 要点四、直线参数方程的应用
1. 直线参数方程中参数的几何意义几种常见用法：
设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是
⎩⎨⎧+=+=a
t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数）
若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则
（1）P 1、P 2两点的坐标分别是：(x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α)，(x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)；
(2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;
(3) 线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则t=2
21t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜
2
21t t +｜ (4) 若P 0为线段P 1P 2的中点，则t 1+t 2=0. 2. 用直线参数方程解直线与圆锥曲线相交的几种题型：
（1）有关弦长最值题型
过定点的直线标准参数方程，当直线与曲线交于A 、B 两点。

则A 、B 两点分别用参变量t1、t2表示。

一般情况A 、B 都在定点两侧，t1，t2符号相反，故|AB|=| t1- t2|，即可作分公式。

且因正、余弦函数式最大（小）值较容易得出，因此类型题用直线标准参数方程来解，思路固定、解法步骤定型，计算量不大而受大家的青睐。

(2)有关相交弦中点、中点轨迹的题型
直线标准参数方程和曲线两交点A(t1)、B(t2)的中点坐标相应的参数12=2
t t t +中；若定点恰为AB 为中点，则t1+t2=0 . 这些参数值都很容易由韦达定理求出。

因此有关直线与曲线相交，且与中点坐标有关的问题，用直线标准参数方程解决较为容易得出结果。

（3）有关两线段长的乘积（或比值）的题型
若F 为定点，P 、Q 为直线与曲线两交点，且对应的参数分别为t1、t2. 则|FP|·|FQ|=| t1·t2|， 由韦达定理极为容易得出其值。

因此有关直线与曲线相交线段积（或商）的问题，用直线的标准参数方程
解决为好
【典型例题】
类型一、直线的参数方程
例1. （2016春 福州校级期中）直线-cos 203sin 20x t y t =︒⎧⎨=+︒⎩
（t 为参数）的倾斜角是（ ） A ． 20° B. 70° C. 110° D. 160°
举一反三：
【变式1】 已知直线l
的参数方程为22x y t
⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），求直线l 的倾斜角． 【变式2】求直线34()45x t t y t =+⎧⎨=-⎩
为参数的斜率。

【变式3】α为锐角，直线31cos()232sin()2
x t y t απαπ⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩的倾斜角（ ）。

A 、α
B 、2π-α
C 、2π+α
D 、π+α2
3 【变式4】 已知直线1l 的参数方程为1214x t y t =-+⎧⎨=-+⎩，2l 的参数方程为1252
x t y t =+⎧⎪⎨=--⎪⎩．试判断1l 与2l 的位置关系．
例2．设直线的参数方程为53104x t y t =+⎧⎨=-⎩
． （1）求直线的直角坐标方程；
（2）化参数方程为标准形式．
【变式1】写出经过点M 0（－2，3），倾斜角为
43π的直线l 的标准参数方程，并且求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标.
【变式2】直线的参数方程⎩
⎨
⎧+=+= t 331y t x 能否化为标准形式？
【变式3】化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意义,说明∣t ∣的 几何意义.
类型二、直线的标准参数方程的初步应用
例3． 设直线1l 过点A （2，－4），倾斜角为56π．
（1）求1l 的参数方程；
（2）设直线2:10l x y -+=，2l 与1l 的交点为B ，求点B 与点A 的距离．
举一反三：
【变式1】已知直线113:()24x t l t y t
=+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ， 则AB =_______________。

【变式2】已知直线l 1过点P (2，0)，斜率为
3
4． (1)求直线l 1的参数方程；
(2)若直线l 2的方程为x ＋y ＋5＝0，且满足l 1∩l 2＝Q ，求|PQ |的值．
【变式3】求点A （−1，−2）关于直线l ：2x −3y +1 =0的对称点A ' 的坐标。

【变式4】 已知直线l 过点P （3，2），且与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，求|PA|·|PB|的值为最小时的直线l 的方程．
类型三、直线参数方程在圆锥曲线中的应用
例4. 经过点33,2A ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
，倾斜角为α的直线l 与圆x 2+y 2=25相交于B 、C 两点． （1）求弦BC 的长；
（2）当A 恰为BC 的中点时，求直线BC 的方程；
（3）当|BC|=8时，求直线BC 的方程；
（4）当α变化时，求动弦BC 的中点M 的轨迹方程．
举一反三：
【变式1
】直线112()x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为
（ ） A ．(3,3)- B
．( C
．3)- D
．(3,
【变式2
】求直线2x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）被双曲线221x y -=截得的弦长。

【变式3】过点P （－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线1,()1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
为参数相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．
例5（2016 鞍山一模）直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的方程为ρ=4cosθ，直线l 的方程为（t 为参数），直线l 与曲线C 的公共点为T ．
（1）求点T 的极坐标；
（2）过点T 作直线l 1，若l 1被曲线C 截得的线段长为2，求直线l 1的极坐标方程．
举一反三：
【变式1】已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=
，
（1）写出直线l 的参数方程。

（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积。

【变式2】（2016 杭锦后旗校级二模）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数）．在极坐标系 （与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=4cosθ．
（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为（2，1），求|PA|+|PB|．。