北师大版 工程问题_c9fbaf56-7f1a-4d45-9679-474cf673f309
工程问题讲义：分对象、分段、循环周期工程问题——适合北师大版五年级第二学期、备战小升初
工程问题讲义（一）教学目的：1、 掌握工程问题中工作总量、工作时间、工作效率的基本关系式。
2、 掌握复杂工程问题“分段”、“分对象”的解题思路、方法。
3、 掌握循环周期类工程问题的解题思路，注意最后不满一个周期部分的工作量要做单独分析。
教学重难点：1、分段2、分对象3、循环周期1、了解工程问题中：工作总量、工作时间、工作效率的概念，能熟练的进行三者之间的换算。
理解合作的含义，会进行总效率与个人效率之间的换算，能解决有合作的简单工程问题。
工程问题：完成一项总量固定的任务（三只小猪盖房子、唐僧师徒吃西瓜、老师批改作业）。
与行程问题的“路程”相比，工作总量大多是①未知，②不可求出 ，故一般先设工作总量为单位“1”。
2、在掌握简单工程问题的基础上，对于工作过程的变化（例如总效率）有明显界限的复杂工程问题，能够进行合理的分段与组合，从而转化成简单的工程问题进行求解。
生活中实际工作比较复杂，有人会中途过来帮忙，有人会中途开溜跑掉，所以把工程按时间分段，每段都是简单的工程问题。
分段要分在效率有变化的地方，简单说就是：“效率变化，就分段！”3、在掌握简单工程问题的基础上，对于工作过程的变化没明显界限的复杂工程问题，能够分别对各工作对象进行计算，从而转化成简单工程问题进行求解。
4、在掌握简单工程问题的基础上，对于工作过程为周期性的复杂工程问题，理解完整周期的意义，能够对完成情况进行讨论和判断，从而转化成简单工程问题进行求解。
先算出完整周期，再计算完整周期后剩下的工作需要多少时间（千万注意表示周期数量的带分数，只有整数部分是有用的）如果工作对象交换工作顺序，完整周期部分不受影响，余下的部分需重新计算一、简单工程问题例题1汤姆和杰瑞打扫房间，汤姆单独打扫要6小时，杰瑞单独打扫要12小时，那么他们一起打扫要多少小时？ 汤姆效率 1/6 杰瑞效率 1/12 合作的工作效率 1/6+1/12=1/4工作时间 1÷1/4=4（小时）训练1功夫熊猫7小时完成1项任务，他的工作效率是多少？灰太狼1天可以盖1座城堡的8分之1，他需要多少天完成？加菲猫1分钟可以吃1块蛋糕的7分之1，3分钟可以吃多少蛋糕？二、分段工程问题例题2灰太狼盖城堡单独需30天，红太狼单独盖需20天，“一个好汉三个帮”，灰太狼单独盖10天后，红太狼过来帮忙，他们还要一起盖多久才能完成？灰太狼效率 1/30 红太狼效率 1/20 灰太狼盖10天 1/30×10 = 1/3剩余工程 1 – 1/3= 2/3 合作效率 1/30+1/20=1/12 还要一起盖 2/3÷1/12=8（天）训练2一块蛋糕喜羊羊单独吃要40分钟，懒羊羊单独吃要20分钟，一起吃10分钟后，懒羊羊开始偷懒了，效率变的和喜羊羊一样了，还要多久才能吃完？例题3一项工程，甲单干则工作30天完成，乙单干则工作45天完成，丙单干则工作20天完成。
【小升初专题复习】最新北师大版小学六年级下册数学-第九讲工程问题综合
第九讲工程问题综合一、知识点1、一般地，把工作总量看作单位“1”2、基本公式工作总量＝工作时间X工作效率工作时间＝工作总量÷工作效率工作效率＝工作总量÷工作时间3、同时工作合作时间＝工作总量÷工作效率之和4、不同时工作效率变化，分段考虑5、中途离开或加入问题按人划分二、学习目标1.熟练找准题目中的单位“1”。
2.我能够解决工程问题中的合作型、请假型、分工合做、交替周期型等，知道分工时的工作效率是多少，合作时的工作效率是多少。
三、课前练习1.一项工作，甲队独做10天完成，乙队独做15天完成，那么：（1）甲、乙两队合作，共需要多少天完成？（2）甲、乙合做4天后，剩下的工作乙单独做需要多长时间完成？2.有一批零件，张师傅单独加工需要6小时，李师傅单独加工需要3小时，现在张师傅先加工4小时，剩下的交给李师傅来加工。
完成这批零件一共需要小时。
四、典型例题例题1一条公路，甲队单独去修需要20天完成，乙队单独去修需要30天完成。
那么两队一起修共需要多少天完成？练习1有一堆蟠桃，悟空单独吃需要10分钟，八戒单独吃只需要2分钟。
如果两人一起互不影响地吃这堆蟠桃，需要分钟吃完。
例题2一项工作，甲队独做10天完成，乙队独做15天完成。
如果甲、乙两队合做若干天之后，乙队停工休息，而甲队继续做了5天才做完，那么乙队一共做了多少天？练习2有一项零件，林师傅单独加工需要8天，王师傅单独加工12天完成。
如果林师傅和王师傅合做若干天之后，林师傅停工休息，而王师傅继续做了2天才做完，那么王师傅一共做了多少天？例题3甲、乙两人合作某项工程需要12天。
在合作中，甲因事请假5天，因此共用15天才完工。
如果全部工程由甲单独去干，需要多少天才能完成？练习3思琪和漫漫单独打扫运动场分别需要10分钟、15分钟。
有一次她们一起来打扫，但是开始几分钟之后漫漫有事先走了，思琪共用了8分钟才完成任务。
则漫漫打扫了分钟。
例题4一项工程，甲、乙、丙三人合做8天完成。
工程问题-北京版六年级数学上册教案
工程问题-北京版六年级数学上册教案一、教学目标1.能够理解并解决工程问题，如计算建筑物面积、容积等。
2.能够在实际生活中应用所学知识，掌握数学解决实际问题的方法。
二、教学重点1.工程问题的概念及解决方法；2.数学运算在工程问题中的应用。
三、教学难点1.工程问题的综合应用；2.学生如何将所学知识应用到实践中去。
四、教学内容及学法建议1. 教学内容(1) 工程问题的概念•工程问题的定义：指与建筑、工程、装修等相关的数学问题；•工程问题的分类：可分为求建筑物面积、体积等多种类型。
(2) 工程问题的解决方法•计算建筑物面积的方法：将建筑物分为多个图形分别计算，再将它们拼接起来得到整个建筑物的面积；•计算建筑物体积的方法：将建筑物分为多个立方体分别计算，再将它们加起来得到整个建筑物的体积。
2. 学法建议(1) 实物教学法在教学中，可引导学生实地观察建筑物，并让他们绘制这些建筑物的平面图，进一步加深对建筑物的面积和体积计算方法的理解。
(2) 问答交互式教学法在讲解完重要概念后，可询问学生相关问题，如建筑物面积的计算方法等，以检验学生的掌握程度，并指导他们进行思考和独立分析。
五、教学过程设计1. 教前准备•确定教学目标并分析学生的知识背景；•准备教学用具，如三角尺等；•准备实地考察建筑物；2. 教学步骤(1) 导入环节引导学生回忆已经学过的内容，并安排简单的热身练习，了解学生对面积、体积、角度等概念的掌握程度，让学生更好地投入到课程中。
(2) 讲解工程问题的概念及解决方法•讲解工程问题的定义及其分类；•讲解计算建筑物面积的方法；•讲解计算建筑物体积的方法。
(3) 学生练习将学生分为若干小组，发放相关练习题目，在团队中互相交流，解决问题。
(4) 学生答疑对学生在练习中出现的问题进行解答。
(5) 实地讲解带领学生到实地进行考察，并讲解相关建筑物的面积、体积的计算方法。
(6) 总结简要总结本节课学习的重点及难点，强调工程问题的应用及其在生活中的实际意义。
六年级上册数学教案 工程问题 北京版
六年级上册数学教案-工程问题-北京版教学目标1.能够理解并运用工程问题解决实际情况中的数学问题。
2.能够准确的运用比例关系计算，解决工程实际问题，包括设计图案的放大、缩小比例，计算材料的用量等等。
3.能够了解直线图的基本知识，并能够绘制简单的直线图。
教学重点1.掌握工程问题的方法。
2.熟练运用比例计算法解决实际问题。
3.熟练运用直线图的制作方法。
教学难点1.了解和掌握工程问题解决策略。
2.熟练应用比例计算法解决实际问题。
教学内容与步骤第一课：工程问题教学内容1.解决工程问题的方法。
2.工程问题中的关键知识点。
#### 教学步骤3.引导学生回忆日常生活中遇到的简单工程问题。
4.给出一些例子，让学生通过实践运用比例计算法解决。
5.讲解工程问题解决方法，包括剖析情景，找到关键数据，然后通过比例计算法解决。
6.教师在黑板上讲解一些实际工程问题，鼓励学生自己发现关键数据和比例计算公式。
第二课：工程问题综合应用教学内容1.工程问题的综合应用。
2.让学生自主发现综合应用中的关键数据。
#### 教学步骤3.让学生回忆自己做过的工程题，回忆求解过程。
4.教师在黑板上给出一道工程问题，让学生一起讨论解决方法和关键数据，然后自行计算答案。
5.让学生自己设计一个工程问题并马上解决它。
称该任务为一种小比赛，以激发学生学习的积极性。
第三课：制作直线图教学内容1.直线图的基本知识。
2.直线图的制作方法。
#### 教学步骤3.讲解直线图的基本知识和作用。
4.举例说明直线图的制作方法。
5.学生分组制作直线图。
要求：学生分小组自行选出几组数据，运用所学知识和技巧制作直线图。
第四课：直线图应用教学内容1.利用直线图解决实际问题的能力。
2.直线图的综合应用。
#### 教学步骤3.让学生回顾直线图的制作方法。
4.给出几组新的数据，让学生自己制作直线图。
5.让学生运用制作的直线图解决实际问题，以检验其对直线图的理解。
6.利用实际数据进行综合应用，让学生运用所学知识制作直线图，解决实际问题。
北师大版-数学-七年级上册-工程问题 重难点突破
工程问题重难点突破一、理解工程类问题的含义，正确列出方程突破建议：1．对于工作效率、工作时间和工作量的含义，特别是工作量没有具体指明时用单位“1”表示时，工作效率的表示方法，教师要结合具体的情景和问题进行分析和讲解，让以前接触过的知识有新的、更准确的理解．教学时可以补充如下问题：一项工作甲单独做5天完成，乙单独做10天完成，那么甲每天的工作效率是，乙每天的工作效率是，两人合作3天完成的工作量是，此时剩余的工作量是．一项工作甲单独做天完成，乙单独做天完成，那么甲每天的工作效率是，乙每天的工作效率是，两人合作3天完成的工作量是，此时剩余的工作量是．)学习过程中，应该尽可能地让学生尝试独立解决问题，教师再根据学生掌握的情况予以点拨和概括，切忌教师包办代替．2．在寻找工程问题中等量关系时应明确，当一件工作完成了，此时总的工作量是“1”；只完成了其中一部分，其工作量可以由工作时间与工作效率给出．3．对多人合作完成的工作效率表示，要防止学生对“合作”的数学符号表达产生错误．例如：一项工作甲单独做天完成，乙单独做天完成，则甲、乙合作的工作效率应是，而不是．例1有一批零件加工任务，甲单独做40h完成，乙单独做30h完成，甲做了几小时后另有紧急任务离开，剩下的任务由乙单独完成，乙比甲多做了2h．求甲做了几小时．解析：本题考查列一元一次方程解决“工程问题”．设甲做了h．此时题目中相关的信息整理如下表：甲乙工作时间(h)工作效率工作量由题意，得，解得．答：甲做了16小时．例2为筹备学校数学文化节，七年级⑴班承担了制作标志小旗的任务，原计划该班一半的同学参加制作，每天制作40面．而实际上，在完成了三分之一任务后，全班同学一起参与了余下的标志小旗的制作，结果比原计划提前一天半完成任务．假设每人制作标志小旗的工作效率相同，问该班一共需要制作多少面标志小旗？解析：本题考查列一元一次方程解决“工程问题”．法1(直接设元)．设该班一共需要制作面标志小旗，依题意得，解得．法2(间接设元)．设七年级⑴班原计划天完成任务，则该班一共需要制作标志小旗面，依题意得，解得，所以．答：该班一共需要制作标志小旗180面．二、列一元一次方程解决实际问题的基本步骤列一元一次方程解决实际问题的基本思路可以简述为：问题方程解答．一般地，可以归纳成“审、设、列、解、验、答”几个步骤．1．“审”是指读懂题目，弄清题意，明确题目中哪些是已知量，哪些是未知量，以及已知量与未知量之间的关系，寻找等量关系；2．“设”是指设未知数，一般地，题目要求什么量就设什么量为未知数，但有时也可以间接地设未知数；3．“列”是指列方程，即用式子表示相等关系中的各个量，再列出方程，注意方程两边应是同一类量，单位要统一；4．“解”是指解方程，求出未知数的值；5．“验”是指检验方程的解是否符合题目的实际意义．当求得的解不符合题目的实际意义时，需明确指出原因并舍去；6.“答”是指写出答案，要注意书写单位．例3一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲水管6小时可注满水池，单独开乙水管8小时可注满水池，单独开丙水管9小时可将满池的水排空．若先将甲、乙两个水管同时开放2小时，然后打开丙水管，问打开丙水管几小时后仍然可以注满水池?解析：本题考查列方程解决“工程问题”．由题意知，本题中相等的数量关系为“甲、乙水管开放2h的进水量+甲、乙、丙水管同时开放若干小时的进水量=1”．设打开丙水管小时后仍可注满水池．依题意得．解得．答：打开丙水管小时后仍可注满水池．。
北师大版-数学-七年级上册-工程问题 教材分析
初中-数学-打印版
工程问题教材分析
本节课主要内容是应用一元一次方程的解法解决的“工程问题”，这是又一个典型的一元一次方程应用问题．
和例1一样，教材直接呈现了例2．在随后的分析中，教材按题目叙述的顺序将总工作量等数量逐个表示了出来，并指出列方程的等量关系．为了让学生更好的掌握此类问题的解决方法，教材中用“tips卡片”对工程类问题的特点和思路进行了总结．教材最后用框图的形式对用一元一次方程解决实际问题的基本过程进行了归纳．
虽然本节课内容不多，但学生可能仍会觉得有困难（特别是当整个工作量没有具体指明用单位“1”表示时）．教师要根据学情以多种形式带领学生复习回忆小学学过的内容，搭建台阶，做好铺垫，为本节课学习打好基础．同时，可适当的补充不同背景的变式题目，结合利用表格或图例等帮助学生理解，鼓励学生动口动手，掌握好本节内容．教材101页练习2为本课时的配套同步练习．
本节课的教学重点是：建立工程问题的方程模型；教学难点是：准确挖掘并表示工程问题中相关的数量关系、等量关系，正确地列出方程．
初中-数学-打印版。
北师大版六年级上册数学工程问题1
工程问题（一）例1 一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做6天完成，丙单独做15天完成，三人合做一天，剩下的由乙一个人完成，还需要多少天？例2 一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，只能完成工程，乙队单独完成全部工程需要几天？的730例3 一件工作，甲单独做要20天完成，乙单独做要12天完成，如果这件工作先由甲队做若干天，再由乙队做完，两个队共用了14天，甲队做了几天？例4 甲管注水速度是乙管注水速度的1.5倍，同时开放甲、乙两个水管向游泳池注水，12小时可注满．现在先开甲管向游泳池注水若干小时，剩下的由乙管注9小时可将游泳池注满，问：甲管注水时间是多长？例5 加工一批零件，甲单独做20天完成，乙单独做每天完成这批零件的125．现在两人合做完成这批零件的加工任务，甲中途休息了3天，乙也休息了若干天，这样用了15天才完成任务，求乙休息的天数？例6 已知甲单独完成一项工程需30天，乙单独完成需45天，丙单独完成需90天，现由甲、乙、丙三人合作完成此项工程，在工作的过程中，甲休息了2天，乙休息了3天，丙没有休息，最后把工程完成了。
问这项工程从开始算起是第几天完成的？例7搬运Ａ仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。
有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库，丙在两个仓库帮忙，三人同时开始搬运，最后两个仓库同时搬完，问丙帮助甲、乙各多长时间？例8 一项工程,如果甲、乙合作，12天可以完成；如果乙、丙合作，15天可以完成；如果丙、甲合作，20天可以完成．那么甲、乙、丙三人合作几天可以完成？例9 一项工程，如果由Ａ、Ｂ、Ｃ三队合干需12天完成，由Ａ、Ｃ、Ｅ三队合干需7天完成，由Ｂ、Ｄ、Ｅ三队合干需8天完成，由Ａ、Ｃ、Ｄ三队合干需42天完成，那么五队合干需多少天完成？。
小学数学《工程问题》(说题)(2021年小学数学北师大版)
有关《工程问题》的例题
考点：
工程问题主要研究工作总量、工作效率和工作时间三者之间关系。
它是小升初各类考试中的必考题，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。
解答工程问题，必须熟练掌握工程问题的三个基本数量关系，熟悉各类工程问题的变形题。
把工作总量看作单位“1”也是解决工程问题的一个基本方法。
例：李师傅做一批零件，如果他平均每天做24个，将比计划推迟一天完成；如果他平均每天做40个，将比计划提前一天完成。
为了按计划完成，他平均每天要做多少个零件？
解：设按计划 x 天完成。
24×（x+1）=40×（x-1）
24x+24=40x-40
16x=64
x=4
平均每天要做：24×（4+1）÷4=30（个）
答：为了按计划完成，他平均每天要做30个零件。
方法与技巧：
解题时，要抓准题目中的“不变量”和工程问题的基本关系式：
工作总量=工作效率×工作时间。
个人简介：白亚香，女，1990年出生，是义乌市小学数学骨干教师，是义乌复旦实验学校五年级数学教研组长。
“5C模型：小学高段数学审辨思维培养路径的实践研究”审辨课题组成员。
学生是接受知识的小主人，时刻鼓励、引导孩子们全身心投入并参与到课堂之中。
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1
÷（
1 6
+
31）
= 2（次）
答：两辆车一起运，2次能运完这批货物。
一条水渠长3.3米，甲单独修要5小时完成，乙单独修要6小 时完成。两人合作，要几小时完成
3.3
÷(
1 5
+
1 6
)
× =
3.3
÷
11 30
= 9（小时）
答：需要9小时完成。
错解分析：
水渠全长是已知的3.3米。甲乙两人的
工效应该是3.3÷5和3.3÷6，而不是
和
1 6
。反之，用
1 5
和
1 6
表示甲
1 5
乙工效时，所对应的工作总量应
该是“1”。
错解改正：
3.3÷(3.3÷5+3.3÷6)
=
3.3 ÷
100 120
= 1310（小时）
1
÷（
1 5
+
1 6
）
= 1 ÷ 11
30
= 1310（小时）
答：需要
30 11
小时完成。
分数工程问题
几分之一
单位“1”
工作时间 × 工作效率 = 工作总量
工程问题
主讲：胡老师
分数工程问题
解题方法相同
整数工程问题
工作时间 × 工作效率 = 工作总量 工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率 工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间
分数工程问题
解题方法相同
整数工程问题
单位“1”
工作时间 × 工作效率 = 工作总量
几分之一
一队工作时间：12天 二队工作时间：18天
（未知的）
Байду номын сангаас
工作总量 ÷ 工作效率和 = 合作时间
注意：工作总量要和工作效率要统一。
+ 一队工效 二队工效
1÷12= 112（km）
1÷18= 118（km）
1÷
5 36
=
7
1 5
（天）
1 12
+
1 18
=
5 36
（km）
1
÷(
1 12
+
1 18
)=
7
1 5
（天）
如果两辆车一起运，多少次能运完这批货物？
单位“1” 工作总量 ÷ 工作效率和 = 工作时间
（这批货物） 蓝色车： 红色车：
未知的
求：两队合修这条路，多少天能修完？
如果两队合修，多少天能修完？
求：两队合修这条路，多少天能修完？
工作总量 ÷ 工作效率和 = 工作时间
预设1：18
+ 一队工效 二队工效
18÷12=
3 2
（km）
18÷18=1（km）
3 2
+1=
5 2
（km）
18 ÷
5 2
=7
1 5
（天）
求：两队合修这条路，多少天能修完？
工作总量 ÷ 工作效率和 = 工作时间
预设2：30km
+ 一队工效 二队工效
30÷12=
5 2
（km）
30÷18=
5 3
（km）
3 2
+
5 3
=
265（km）
30
÷
25 6
=
7
1 5
（天）
求：两队合修这条路，多少天能修完？
单位1“8 1÷”25
=7
1 5
（天）
30
÷
25 6
=
7
1 5
（天）
工作总量 ÷ 工作效率和 = 工作时间