北师大版 一元二次方程 复习课

2
因式分解法：
1.用因式分解法的条件是:方程左边能 够分解为两个因式的积,而右边等于0的 方程; 2.形如:ax2+bx=o(即常数C=0).
一移-----方程的右边=0;
因式分解法的一 般步骤:
二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;
第22章复习 ┃ 知识归类
4．一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为 x1、x2，则两根与
b － a 方程系数之间有如下关系：x1＋x2＝
c ，x1· x2＝ a
.
[注意] 它成立的条件：①二次项系数不能为 0；②方程根的判 别式大于或等于 0.
第二关
基础题目轮一轮
未知数．
2．一元二次方程的解法
第22章复习 ┃ 知识归类
一元二次方程有四种解法：
公式
直接开平方
法、
降次
配方
法、
法和
因式分解
法．其基本思想是
.
[注意] 公式法其实质是配方法，只不过省去了配方的过程， 但用公式时应注意： (1) 将一元二次方程化为一般形式，即先确
定a、b、c的值；(2)牢记使用公式的前提是b2－4ac≥0.
2
一元二次方程
一般形式
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
3x² =1
2y(y-3)= -4
3x²-1=0
2y2-6y+4=0
3 2
0
-6
-1 4
2 m 2 x m 2x 2 0 是关于x的一元二次 1、若
方程则m ≠－ 2
。
m2 2
2、若方程 (m 2) x
明辨是非
注意：一元二次方程的 三个要素
判断下列方程是不是一元二次方程，若不是一元二 次方程，请说明理由？ 1、(x－1)２＝４ √ × × ２、x2－2x=8 ４、x２＝y+１ 6、ax2 + bx + c＝１ √ × ×
1 3、x2+ ＝１ x
5、x３－２x２＝１
一元二次方程的一般式
ax bx c 0 （a≠0）
一元二次方程 复习
第一关
知识要点说一说
方程两边都是整式 一元二次方程的定义 只含有一个未知数 ax²+bx+c=0（a0） 未知数的最高次数是2
2 化成 x m m 0 x m 直接开平方法
一 因 式分解 法 化成A B 0 A 0或B 0 元 二 方 法 二次项系数为1，而一次项系数为偶数 次 一元二次方程的解法 配 方 程
x 2 x 2
5、将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加一条竖线记成
a b a b , 定义 ad bc，这个式子叫做2阶行列式。 c d c d 若 x+1 x-1 1-x x+1 =6则x=
2
已知m为非负整数，且关于x的一元二次方程 ：
( m 2 ) x 2 ( 2 m 3) x m 2 0
1. 移项，使方程的右边为0。
2. 利用提取公因式法，平方差公式，完全平方公式，十字 相乘法对左边进行因式分解
3. 令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程。
4. 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
2 (2x 1)
2
9 0
直接开平方法：
1.用开平方法的条件是:缺少一次项的 一元二次方程，用开平方法比较方便; 2.形如:ax2+c=o (即没有一次项).
求方程中的待定系数
7、如果－1是方程
2x x m 0
2
-3 。 的一个根，则另一个根是___ｍ=____
（还有其他解法吗？)
8、已知关于X的方程mx2-(2m-1)x+m-2=0(m﹥0) (1)此方程有实数根吗？ （2）如果这个方程的两个实数根分别为x1，x2，且 （x1-3)(x2-3)=５m，求m的值。
7 16 或t t 2 3
B
Q C
第四关
反败为胜选一选
1.已知方程x2+kx = - 3 则k=
的一个根是-1，
4 , 另一根为______ x=-3
2.构造一个一元二次方程，要求： （1）常数项为零（2）有一根为2。
3、解方程：
y 2
2
3 y 1
2
4、解方程： 3x
求 根 公式法
化成一般形式ax2 bx c 0
当b 4ac 0时,x
2
a 0
b
一元二次方程的应用
b 2 4ac 2a
第22章复习 ┃ 知识归类
┃知识归纳┃
1．一元二次方程的概念 只含有 一 个未知数 ( 一元 ) ，并且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程． [注意] 一元二次方程判定的条件是： (1)必须是整式方程； (2)二次项系数不为零；(3)未知数的最高次数是2，且只含有一个
(m 1) x 2 0
是关于x的一元二次方程，则m的值为
3.若x=2是方程x2+ax-8=0的解，则a= 2 ;
2
。
4、写出一个根为2，另一个根为5的一元二次方 程 。
1、已知一元二次方程(x+1)(2x－1)=0的解是（ D ） （A）-1 （B）1/2 （C）-1或-2 （D）-1或1/2
3．一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac (1)Δ>0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有 (2)Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有
两个不相等 两个相等
的实数根； 的实数根；
第22章复习 ┃ 知识归类
(3)Δ<0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
没有
实数根．
[注意] (1)根的判别式是在一元二次方程的一般形式下得出 的，因此使用根的判别式之前，必须把一元二次方程化成一般 形式； (2) 如果说一元二次方程有实根，应该包括有两个相等的 实数根与两个不相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，不能 丢掉等号； (3) 在利用根的判别式确定方程中字母系数的取值范 围时，如果二次项系数含有字母，要加上二次项系数不为零这 个限制条件．
12
且m 2
已知两个数的和与积，求两数 6、已知两个数的和是1，积是-2，则两 2和-1 。 个数是 解法(一):设两数分别为x,y则: 解得: { x=2 或 y=－1
{
x y 1
ｘ＝－1 { y=2
x y 2
解法(二):设两数分别为一个一元二次方程 2 的两根则: a a 2 0 求得 a1 2, a2 1 ∴两数为2,－１
0 0 0
两不相等实根 两相等实根 无实根
判别式的应用: 1、不解方程，判别方程的根的情况 例1：不解方程，判别下列方程的根的情况
2 x 3x 4 0
2
解： =
b 4 ac 3 4 2 4 41 0
2 2
所以，原方程有两个不相等的实根。 说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出△， 然后对△进行计算，使△的符号明朗化，进而说明△的符号情 况，得出结论。
一元二次方程的应用：
营销类 应用题
传播问题类 应用题
面积类应用题： 1. 如图，利用一面墙（墙的长度不超过 45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地． ⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2? ⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为 什么?
墙
D C
A
B
增长率类应用题：
2. 2008年爆发的世界金融危机，是自上世 纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机。 受金融危机的影响，某商品原价为200元， 连续两次降价a％后售价为148元，下面所列 方程正确的是( B ) A.200(1+a％)2=148; B.200(1-a％)2=148; C.200(1-2a％)=148; D.200(1+a2％)=148;
2、已知一元二次方程x2=2x 的解是（ D ）
（A）0 （B）2 （C）0或-2 （D）0或2
第三关
典型例题显一显
用适当的方法解下列方程
1 x
2
3x 0
2 (2x 1)
2
9 0
3 x
2
4x 1
4 x
2
3x 1 0
1 x 3x 0
二移----把常数项移到方程的右边; 三配----把方程的左边配成一个完全平方式; 四开----利用开平方法求出原方程的两个解.
★一除、二移、三配、四开、五解.
4 x
2
3x 1 0
公式法：
用公式法的条件是:适应于任何一个
一元二次方程，先将方程化为一般形式， 再求出b2-4ac的值， b2-4ac≥0则方程有 实数根， b2-4ac<0则方程无实数根;
a(x+m)2=k
3 x
2
4x 1
配方法：
用配方法的条件是:适应于任何一个
一元二次方程，但是在没有特别要求的 情况下，除了形如x2+2kx+c=0 用配方 法外，一般不用;(即二次项系数为1，
一次项系数是偶数。）
一除----把二次项系数化为1(方程的两边同
时除以二次项系数a)
配方法的一般步 骤:
一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax 2
bx c 0 a 0 根的判式是:
b 4 ac
2
一元二次方程
判别式的情况
ax bx c 0 a 0
2
根的情况
定理与逆定理
b 2 4 ac 0 两个不相等实根 b 2 4 ac 0 两个相等实根 b 2 4 ac 0 无实根(无解)