数学建模之机理模型建立的平衡原理
第5章机理分析建模法
1第四章 机理分析建模法机理分析方法立足于揭示事物内在规律机理分析是根据对现实对象特性的认识, 分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律.的认识来源对现实对象 *与问题相关的物理、化学、经济等方面的知识.*通过对数据和现象的分析对事物内在规律做出的猜想(模型假设). 模型特点：有明确的物理或现实意义8.1 微分方程的建立实际问题需寻求某个变量y 随另一变量 t 的变化规律：y=y(t).建立关于未知变量、未知变量的导数以及自变量的方程建立变量能满足的微分方程23在工程实际问题中““改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词提示我们注意什么量在变化.关键词“速率”、“增长” “衰变” ，“边际的” ，常涉及到导数.建立方法常用微分方程运用已知物理定律 利用平衡与增长式 运用微元法应用分析法机理分析法一.运用已知物理定律建立微分方程模型时应用已知物理定律，可事半功倍例8.1.1 一个较热的物体置于室温为180c的房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后降到500c .想知道它的温度降到300c 需要多少时间？10分钟以后它的温度是多少？牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体放入处于常温 m的介质中时，T的变化速率正与周围介质的温度差..比于T与周围介质的温度差45分析：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡分布均衡,,保持为保持为mm ，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似。
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T (t )，t ≥0，“T 的变化速率正比于T 与周围介质的温度差” 翻译为成正比与m T dtdT −数学语言6⎪⎩⎪⎨⎧=−−=.60)0(),(T m T k dt dT 建立微分方程其中参数k >0，m =18. 求得一般解为ln(T －m )=－k t+c ,代入条件，求得c=42 ，k=－ , 最后得2116ln 31,0,≥+=−t ce m T kt 或7最后得 T (t )=18+42 , t ≥0. t e2116ln 31结果 ：T(10)=18+42 =25.87℃，102116ln 31×e该物体温度降至300c 需要8.17分钟.二. 利用平衡与增长式许多研究对象在数量上常常表现出某种不变的特性，如封闭区域内的能量、货币量等.利用变量间的平衡与增长特性，可分析和 利用变量间的平衡与增长特性，可分析和建立有关变量间的相互关系建立有关变量间的相互关系..例8.1.2人口增长模型对某地区时刻t t的人口总数P(t)，除考虑个对某地区时刻体的出生、死亡，再进一步考虑迁入与迁出的影响影响..89 在很短的时间段Δt 内，关于P(t)变化的一个最简单的模型是：{Δt 时间内的人口增长量}={Δt 内出生人口数}－{Δt 内死亡人口数}+ {Δt 内迁入人口数}－{Δt 内迁出人口数}{Δt 时间内的净改变量}={Δt 时间内输入量}－{Δt 时间内输出量时间内输出量}}般化更一基本模型不同的输入、输出情况对应不同的差分或微分方程.输入量：含系统外部输入及系统内部产生的量；输出量：含流出系统及在系统内部消亡的量.此类建模方法的关键是分析并正确描述基本模型的右端，使平衡式成立10例8.1.28.1.2 战斗模型两方军队交战，希望为这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到如下目的：预测哪一方将获胜？1.1. 预测哪一方将获胜？估计获胜的一方最后剩下多少士兵？2.2. 估计获胜的一方最后剩下多少士兵？3. 计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能赢得这场战斗？兵才能赢得这场战斗？11问题分析设x(t) ) ——t时刻X方存活的士兵数；y(t) ) ——t时刻Y方存活的士兵数；假设：1) 双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗，x(t)与y(t)都是连续变量.2) Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死X 方军队a 名士兵；3) X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y方军队b名士兵；1213即有 Δx =－a y Δt ,同理 Δy =－b x Δt ,令Δt 0, 得到微分方程组：0,>−=a ay dtdx 0,>−=b bx dtdy {Δt 时间内X 军队减少的士兵数 }= {Δt 时间内Y 军队消灭对方的士兵数}平衡式14三. 微元法基本思想： 通过分析研究对象的有关变量在一个很短时间内的变化情况.例8.1.3 一个高为2米的球体容器里盛了一半的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面积为积为11平方厘米平方厘米. . . 试求放空容器所需要的时间试求放空容器所需要的时间试求放空容器所需要的时间..152米对孔口的流速做两条假设 ： 1．t 时刻的流速v 依赖于此刻容器内水的高度h (t ).2 ．整个放水过程无能量损失。
数学建模讲座机理分析方法及例子1
不稳定，轨道{xn}趋向稳定点
■ 当3<a<1+61/2时， xn 绕着两个数 x3*，x4*振动,
例 a =3.2
x2k-1 →0.799455
x2k →o.513045
这两个数满足
x f 2 ( x), x f ( x)
也称为周期2点,对应轨道称周期2轨道.(原来周期
n = 0,1,2,…
● 数值迭代（ a 逐渐增加，迭代会有何结果）
1．倍周期分叉现象
■ 当0<a <1时，由于0<xn<axn+1
xn →0
物种逐渐灭亡
■ 当1<a<3时，任何(0,1)中初始值的轨道趋于
x*=1-1/a 其中x*是方程f(x)=x的解，为映射f 的不动点
（周期1点)例：a =1.5时 xn → 1/3.
~总和生育率
f
(t )
(t) r2 r1
h(r , t )k
(r,
t)
p(r , t )dr
人口发展方程和生育率
f
(t)
(t) r2 r1
h(r , t )k
(r,t)
p(r,
t)dr
(t) ~总和生育率——控制生育的多少
h(r, t ) ~生育模式——控制生育的早晚和疏密
p(r,t)
p0
约35年增加一倍，与1700－1961年世界人 统口计结果一致
与近年统计结果有误差，由a >1,xn趋向无穷， 模型在人口长期预测方面必定是失效的.
● Logistic模型
.
生存资源是重要的因素，修改模型为：
xn+1 － xn= r xn－ b xn2 － b xn2为竞争(约束)项，r、b 称生命系数,则
机理模型
假设 1. 2. 3 同上 假设4. 兔子在三个月 假设 兔子在三个月 后生完一对幼兔就离开 群体。 群体。 参量、 参量、变量 成兔: 老兔: 月份: 幼兔: 月份 n, 幼兔 a0(n), 成兔 a1(n), 老兔 a2(n) 平衡关系 本月初的幼兔是上月成兔老兔繁殖的后代。 本月初的幼兔是上月成兔老兔繁殖的后代。 本月初的成兔是上月幼兔发育的结果。 本月初的成兔是上月幼兔发育的结果。 本月初的老兔是上月成兔发育的结果。 本月初的老兔是上月成兔发育的结果。
关于平衡关系 1.平衡关系是数学模型的核心，建 模的关键。 2.有些平衡关系是明显的。 有些平衡关系隐藏在问题的背后 需要在化简之后逐渐明确出来。 3.有些平衡关系本身就直接构成了 模型。 有些平衡关系还需要经过数学上 的加工整理才能得到理想的模型。
三. 模型举例
买房贷款： 例1 买房贷款：银行可以向购房人提供个人住房 贷款的业务。 贷款的业务。 偿还贷款时要求借款人在借款期间内每月以相 偿还贷款时要求借款人在借款期间内每月以相 等的月均还款额偿还银行贷款本金和利息。 等的月均还款额偿还银行贷款本金和利息。 试组建计算月均还款额的数学模型。 试组建计算月均还款额的数学模型。 假设: 假设: 每月月底还款； 1. 每月月底还款； 每月还款金额相等； 2. 每月还款金额相等； 按月计算利息； 3. 按月计算利息； 到期欠款全部还清。 4. 到期欠款全部还清。
模型 a0(n+1)=a1(n)+a2(n) a1(n+1)=a0(n) a2(n+1)=a1(n) 令 a(n) = (a0(n), a1(n), a2(n))’, 则 a(n) = A a(n-1) 其中
0 A = 1 0 1 0 1 1 0 0
数学建模(微积分)一
数学建模讲座
(1) 机理分析法
常用的建模方法有机理分析法、测试分析法等。 机理分析法是立足于事物内在规律的一种常见建 模方法，主要是依对现实对象的特性有较为清楚 的了解与认识，通过分析其因果关系，找出反映 其内部机理的规律性而建立其模型的一种方法.
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四、模型建立
我们以1天为时间单位，那么每天基础代谢的能量消 耗为B=24b（焦耳/日）。由于人的活动不可能是全天 进行的，所以假设每天人体活动h小时，则一天消耗的 能量应为R=rh（焦耳/日） ； 按照假设3，我们可以在任何一个时间段内考虑由 于能量的摄入与消耗引起人的体重的变化。 按照能量平衡原理，任何时间段内由于体重的改变 所引起的人体内能量变化应等于这段时间内摄入的能 量与消耗的能量之差。
从以上两个方面来看，咳嗽时气管收缩（在一定范围内） 有助于咳嗽，它促进气管内空气的流动，从而使气管中 的脏物能尽快地被清除掉
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减肥模型
一、问题的提出 随着社会的进步和发展，人们的生活水平在不断 提高，由于饮食营养摄入量的不断改善和提高，“肥 胖”已经成为社会关注的一个重要问题，无论从健康 的角度还是从审美的角度，人们越来越重视自己的形 体的健美。从面就导致目前社会上出现了各种各样的 减肥食品（或营养素）和名目繁多的健美中心。 如何对待减肥的问题，我们也可以通过组建模型， 从数学的角度对有关规律作进一步的探讨和分析
实例十一、群体遗传模型
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一、数学建模的总体介绍
1．数学建模中常用的书籍
2．数学建模基本过程
数学建模的原理
数学建模的原理
数学建模是一种以数学方法和工具为基础，对现实问题进行抽象和表达的过程。
其原理可以简单概括为以下几个步骤。
1. 问题抽象：将现实问题转化为数学模型。
在这一步骤中，需要明确问题的目标、限制条件和相关因素，并对它们进行数学化的描述。
2. 假设建立：基于对问题的理解和分析，提出相关的假设并建立相应的数学关系。
这些数学关系可以是方程、函数、概率模型等，用来表达问题中的变量间的关系。
3. 模型求解：利用数学方法，对所建立的数学模型进行求解。
这包括求解方程组、优化问题、概率分布等。
通常需要运用数学分析、优化方法、概率统计等工具以及计算机编程进行模型求解。
4. 模型评价：对得到的解进行评价，检验模型的有效性和可行性。
这可以通过与现实数据对比、敏感性分析、误差分析等方式来进行。
5. 结果分析：根据模型的求解结果，对问题的解释和分析。
分析模型的局限性、推断模型的适用范围，探究问题的深层次原因等。
6. 结论表达：将建模过程和结果进行总结和表达。
可以通过报告、论文、演示等形式对建模过程和结果进行系统化的呈现。
在数学建模过程中，需要深入理解问题本质和实际应用背景，结合数学理论和方法，进行抽象和简化，以符合现实问题的特点和需求。
同时，建模者需要具备良好的数学基础、逻辑思维能力、计算机编程技能等，并注重模型的可靠性、有效性和实用性。
机理模型
平衡原理与机理模型
数学建模 池中盐水的改变量 V(t+∆t)-V(t) t + ∆t 流入盐水量 r (τ ) dτ 流出盐水量
∫ ∫
t
I
t +∆t
t
rO (τ )dτ
池中盐的改变量 p(t+ ∆ t)V(t+ ∆ t)-p(t)V(t) t+∆ t 流入盐量 pI (τ)rI (τ)dτ
∫
t
流出盐量
平衡原理与机理模型
假设1. 人群个体同质。 假设2. 群体规模大。 假设3. 群体封闭，只考虑生育和死 亡对人口的影响。 假设4. 从大群体的平均效应考虑生 育和死亡对人口的影响。（生育率 和死亡率） 假设5. 群体增长恒定。 假设6. 个体增长独立。
模型的讨论 1. 作为人口自然增长，模型与实 际是不同的。许多国家、地区人口 增长不符合这个模型。 2. 只考虑增长和衰减时，模型是 正确的。 3. 模型是可以改进的。
平衡原理与机理模型
由于R(t,∆t,N)|t=0=0，将R(t,∆ t,N) 关于∆t展开
dR R(t, ∆t, N) = ∆t + o(∆t) = r(t, N)∆t + o(∆t) d∆t ∆t =0
令 Δt→0 取极限可得
dN = r (t , N ) N dt
假设5. 群体增长恒定. 则 r(t, N) = r( N)
但到了下午3点28分，电视里传来了 振奋人心的消息：大江截流成功！ 小明后来想明白了，他估算的方法 不好。 现在请你根据上面的数据设计一种 合理的估算方法（建立一种合理的 数学模型）进行估算，使你的计算 结果更切合实际。
K − N0 K N (t ) = , C= − rt参数。
数学建模之机理模型建立的平衡原理
数学建模之机理模型建立的平衡原理机理模型建立的平衡原理是指根据物理、化学、生物等领域的基本原理与规律，通过建立数学方程组或动力学方程，描述系统内部各个因素之间的相互作用和调控机制，以达到系统的平衡状态。
机理模型建立的平衡原理涉及到许多重要的概念和方法，在此我将着重介绍以下几个方面：1.平衡状态的定义：在机理模型建立中，平衡状态是指系统的各个因素之间达到相对稳定的状态，即系统处于一个无明显变化的状态。
平衡状态可以是静态平衡，即系统中各个因素之间的变化速度为零；也可以是动态平衡，即系统中各个因素之间的变化速度相互抵消，使得系统整体保持相对稳定。
2.平衡原理的表达：平衡原理可以通过一系列的数学方程或动力学方程来表示，这些方程描述了系统内部各个因素之间的相互作用和调控关系。
常用的数学工具包括微分方程、偏微分方程、差分方程等。
通过对这些方程的求解，可以推导出系统平衡时各个因素之间的关系，从而揭示系统的机理。
3.平衡条件的确定：机理模型的建立需要确定系统平衡的条件。
一般来说，平衡条件可以通过平衡态的守恒方程来确定，守恒方程描述了系统中一些物质或能量的产生、消耗和传递过程。
在平衡状态下，守恒方程达到平衡时，系统处于相对稳定的状态。
4. 稳定性分析：在机理模型建立过程中，需要对系统的稳定性进行分析。
稳定性分析一般包括线性稳定性和非线性稳定性两方面。
线性稳定性分析主要是通过线性化的方法，将系统的非线性方程线性化，从而判断系统平衡时的稳定性。
非线性稳定性分析则需要对系统的非线性方程进行分析，例如通过构造Lyapunov函数，判断系统在平衡状态附近的稳定性。
5.参数估计与模拟：机理模型的建立需要通过实验或观测数据对模型中的参数进行估计，以获得最合理的模型描述。
参数估计可以通过最小二乘法、极大似然估计等方法进行。
同时，通过对模型的数值模拟，可以验证模型的合理性，并对系统的动态行为进行预测和分析。
总之，机理模型建立的平衡原理是数学建模中的重要环节之一、通过建立数学方程组或动力学方程，描述系统内部各个因素之间的相互作用和调控机制，可以揭示系统的平衡状态和稳定性，为实际问题的研究和解决提供指导和依据。
数学模型方法论
1.4 数学建模的特点
（1）数学建模不一定有唯一正确的答案．事实上，对于一个实际问题，不同 的人、不同的建模目的、不同的建模方法、不同的时间场合、不同的分析、不同 的假设等都可能导致完全不同的结果．因此，数学建模的结果无所谓对与错，但 有优与劣的区别，实践检验是评价一个模型优劣的唯一标准．
（2）数学建模没有统一的方法．对于同一个问题，不同的人采取的数学建模 方法可以不同，每个人可根据自己的特长和偏好采取适合自己的方法．我们建模 的目的是解决实际问题，使用近代数学方法建立的模型并不一定比采用初等数学 方法建立的模型好．
1.3 模型分析与检验
对求解结果进行数学上的分析，如误差分析、统计分析、模型对数据的灵敏度 分析、模型对假设的强健性分析等，再将结果与实际的现象、数据进行比较，检 验模型的适应性和合理性．如果结果与实际不符，通常是模型假设出了问题，应 对其进行补充修改，再重新建模、求解、检验，如此反复，直至检验结果达到要 求．
综上分析，我们给出数学模型与数学建模较为严格的定义：对于现实世界的一个 特定对象，为了一个特定目的，根据对象特有的内在规律，在做出问题分析和一些 必要、合理的简化假设后，运用适当的数学工具得到的数学结构，就称为该特定对 象的数学模型，根据上述基本步骤建立数学模型的全过程称为数学建模．
1.1 问题分析与模型假设
1.4 数学建模的特点
（3）模型的可行性．尽管人们总是希望模型可以逼近研究对象，但是一个 非常逼近实际的模型在数学上通常是很难处理的，这达不到通过建模解决实际 问题的目的．因此，建模时不必追求完美无缺，模型只要符合实际问题的基本 要求即可．
（4）模型的渐进性．对于稍微复杂的一些实际问题，其建模通常不能一次 成功，往往需要反复几次，一般是由简到繁，再由繁到简，逐渐变成符合要求 的模型，这也符合人们认识问题的规律性．
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例1：池水的含盐量
池子中有一定体积的盐水，从池的一端向池中注入一定浓度的盐水，混合 的盐水将在池子的另一端流出。建模描述池中盐水的浓度变化。（类似的 有河水污染问题等）
理想化假设：为简化问题，我们假设注入的盐水迅速与池中盐水均匀混合。
n
成活
1.109 105 2
0.84
x ek 3 E4 3
2
1.109 105 x4ke 3 E4
x k 1 1
1.22 1011 n
/(1.22 1011
ri ( )d t
ro ( )d
即
dV dt
ri (t) ro (t)
例2：烟雾的扩散与消失
问题：当一颗炮弹爆炸时，天空升腾起以爆炸点为中心的烟雾并向四周迅 速扩散，形成一个近于圆形的不透光区域。这个区域逐渐扩大，后来它的 边界变得明亮起来，不透光区域逐渐缩小，最后完全消失。
建立数学模型描述这一过程。
r3 x3 t 1
dx4 dt
r4
x4 E4 r4 x4
x4
0t 2/3 2/3t 1
计算得到
x1 (t )
x e0 r1t 1
x2(t)
x e0 r2t 2
x3(t)
0 ( r3 0.42E4 )t
x e3
x
0 3
e
0.84 3
E
0.84 3
E4
r3 3
1
3
4
0
2 3
E4
r4 3
4
过了年后，鱼增加一龄，因此，第k年初和第k+1 年初各龄鱼的关系为
x k 1 2
x1k e0.8
x k 1 3
x2k e 0.8
0.84 0.8
x k 1 4
x3k e
3
E4 3
下面考虑。它是一年后4个月的新生鱼成活数量。 根据题意，3，4龄鱼共产卵
建模方法：利用物质平衡原理，在 [t,t t]上，池子中的盐的改变量等于 该时间段注入和流出的盐的数量差，池子中的盐水的体积改变量等于注入 的盐水体积和流出体积的差。
模型变量：ri (t), pi (t)表示盐水注入的速度和浓度，ro (t), po (t)表示盐水流出的速 度和浓度，V(t)是池中盐水体积，p(t)是池中盐水的浓度。
模型假设：
（1）炮弹的爆炸看作在空中某一点向四周等强度的瞬时释放烟雾，烟雾 在无穷空间扩散，不记风力和大地影响。
（2）烟雾的传播服从扩散定律，即单位时间通过单位法向面积的流量与 它的浓度梯度成正比。
（3）光线穿过烟雾时其强度由于烟雾的吸收而减少，单位距离上光强的 相对减少量与烟雾浓度成正比，没有烟雾的大气对光线的吸收作用忽略不 计。
由盐的数量守恒得到
t t
t t
p(t t)V (t t) p(t)V (t) t
pi ( )ri ( )d t
po ( )ro ( )d
等式两端同除以△t取极限得到
d dt
p(t)V (t)
pi (t)ri (t)
po (t)ro (t)
由体积守恒得到
t t
t t
V (t t) V (t) t
4
e
r3
(
t
2 3
)
0 t 2/3 2/3 t 1
x4 (t )
x e0 (r4 E4 )t 4
x40
e
2 3
E4
e
r4
(
t
2 3
)
0 t 2/3 2/3 t 1
不考虑新生鱼，年末和年初鱼群数量的关系为
x x e x x e x11 x10er1
1 2
0 r2 1
2
3
x x e 0
数学模型第三讲
机理模型建立的平衡原理
平衡原理
运动和静止的事物、事物之间的内在联系往往可以利用一组方程（代数方 程、微分方程和差分方程等）描述。方程描述一种量的平衡关系。
通过量的平衡关系建立数学模型是利用机理分析建模的基本方法之一。也 常常是我们是否能够得到结构简明、刻画深刻的模型的重要方法。这样的 模型的建立的好坏取决于我们对问题的洞察能力。
1.22 1011 /(1.22 1011 n)
渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进 行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次 数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条 数成正比，比例系数不妨称捕捞强度系数。通常使用13mm 网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其捕捞强度系 数之比为0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。
（4）在烟雾扩散过程中，不穿过烟雾直接进入观测仪器的标准光强 I0 保 持不变，对于穿过烟雾进入仪器的光强I，观测结果只有亮、暗之分，仅 当 I / I0 1 时观测结果为亮。
模型的建立： 1、烟雾浓度的变化规律
最优捕鱼策略
为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业 资源）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持 续收获的前提下，追求最大产量或最大效益。 考虑对某种鱼的最优捕涝策略： 假设这种鱼分成4个年龄组：1龄鱼， …，4龄鱼。各年龄组的每 条鱼平均重量分别为5.07g，11.55g，17.86g，22.99g；各年龄组 鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖， 平均每条4龄鱼的产卵量为1.109105个，三龄鱼的产卵量为4龄鱼 的一半，二龄鱼和一龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4 个月：卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数和产卵总数n 之比）为
问题分析：问题包括两个部分：（1）系统的稳定性；（2）在稳定系 统的前提下，求捕捞强度，使得稳定收获最大。 （1）状态参数：时刻t各龄鱼的数量，。 （2）控制参数：4龄鱼的捕捞强度E4。由条件，在一年中
dx1 dt
r1 x1
dx2 dt
r2 x2
xi (0) xi0 0 t 1
dx3 dt
（1）建立数学模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕 捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到 最高年收获量（捕捞总重量）
（2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后 鱼群的生产能力不能受到太大的破坏。已知承包时各年龄组 鱼群的数量分别为：122，29.7，10.1，3.29（条）如果仍利 用固定努力量的捕捞方式，该公司应采用怎样的策略才能使 总收获量最高。