最新2019-2020学年最新上海松江区初三上期末数学试卷(含答案)(2019年一模)(精校版)
上海市松江区2019_2020年九年级数学上学期期末质量监控试卷
1松江区2020年九年级数学上学期期末质量监控（满分150分，完卷时间100分钟）考试注意：1．在试卷和答题卡上认真填写学校和姓名，并将条形码粘贴在答题卡相应位置处． 2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．3．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答． 3．考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果AC=4，BC=3，那么∠A 的正切值为（ ） （A ）43； （B ）34； （C ）53； （D ）54． 2．把抛物线2x y =向右平移1个单位后得到的抛物线是（ ） （A ）12+=x y ； （B ）12-=x y ； （C ）2)1(+=x y ； （D ）2)1(-=x y ．3．下列各组图形一定相似的是（ ）（A ）两个直角三角形； （B ）两个等边三角形； （C ）两个菱形； （D ）两个矩形． 4．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果AD=2，BD=3，那么由下列条件能判断DE ∥BC 的是（ ） （A ）32=BC DE ； （B ）52=BC DE ； C ）32=AC AE ； （D ）52=AC AE ． 5．已知e →为单位向量， 3a e →=-，那么下列结论中错误．．的是（ ） （A ）a ∥e →；（B ）3a =； （C ）a 与e →方向相同；（D ）a 与e →方向相反．6．如图，在△ABC 中，D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，EF ∥CD 交AB 于F ，那么下列比例式中正确的是（ ）（A ）BC DE DF AF = ； （B ）DFAF DB DF =； （C ）BC DE CD EF = ； （D ）ABADBD AF =．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】（第4题图）A D EC（第6题图）F E DCBA27．已知34=b a ，那么bba -=_____． 8．在比例尺为1︰50000的地图上，量得甲、乙两地的距离为12厘米，则甲、乙两地的实 际距离是___________千米.9．在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果2sin 5A =，BC=4，那么AB=________． 10．已知线段AB =2cm ，点C 在线段AB 上，且AC 2=BC ·AB ，则AC 的长___________cm ． 11．已知某二次函数图像的最高点是坐标原点，请写出一个符合要求的函数解析式：_______． 12．如果点()14,A y -、()23,B y -是二次函数22+y x k =（k 是常数）图像上的两点，那么1y _______2y ．（填“>”、“<”或“=”） 13．小明沿坡比为1︰3的山坡向上走了100米．那么他升高了______米．14．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 和B 、D 、F ，如果AC=3，CE=5，DF=4，那么BD=_______．15．如图，已知△ABC ，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且13A D A E AB AC ==．设AB a =，DE b =，那么AC =______________.（用向量、表示）16．如图，已知△ABC ，D 、E 分别是边BA 、CA 延长线上的点，且DE ∥BC ．如果35DE BC =,CE=4，那么AE 的长为_______． 17．如图，已知△ABC ，AB=6，AC=5，D 是边AB 的中点，E 是边AC上一点，∠ADE=∠C ，∠BAC 的平分线分别交DE 、BC 于点F 、G ，那么AFAG的值为_______． 18．如图，在直角坐标平面xoy 中，点A 坐标为（3，2），∠AOB=90°，∠OAB=30°，AB 与x 轴交于点C ，那么AC :BC 的值为______．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）（第18题图）a b cAB C D EFmn（第14题图） （第17题图）G FEDCBA（第16题图）C BA D EA（第15题图）319．（本题满分10分）将二次函数2241y x x =+-的解析式化为()k m x a y ++=2的形式，并指出该函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴．20．（本题满分10分）如图，已知△ABC 中，AB=AC=5，3cos 5A =．求底边BC 的长．21．（本题满分10分）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，DE ∥BC ， 点F 在线段DE 上，过点F 作FG ∥AB 、FH ∥AC 分别交BC 于 点G 、H ，如果BG ︰GH ︰HC=2︰4︰3．求FGHADES S ∆∆的值．22．（本题满分10分）CBA（第20题图）（第21题图）HG FEDBA某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN的长），直线MN 垂直于地面，垂足为点P．在地面A处测得点M的仰角为58°、点N的仰角为45°，在B处测得点M的仰角为31°，AB=5米，且A、B、P三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN的长．（参考数据：sin580.85︒=，cos580.53︒=，tan58 1.60︒=，sin310.52︒=，cos310.86︒=，tan310.60︒=．）23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E是对角线AC上一点，且AC·CE=AD·BC.（1）求证：∠DCA=∠EBC；（2）延长BE交AD于F，求证：AB2=AF·AD.（第22题图）AMN广告牌（第23题图）EDCBA4524.（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）如图，抛物线c bx x y ++-=221经过点A （﹣2，0），点B （0，4）.（1）求这条抛物线的表达式；（2）P 是抛物线对称轴上的点，联结AB 、PB ，如果 ∠PBO=∠BAO ，求点P 的坐标；（3）将抛物线沿y 轴向下平移m 个单位，所得新抛物线与y 轴交于点D ，过点D 作DE ∥x 轴交新抛物线于点E ，射线EO 交新抛物线于点F ，如果EO=2OF ，求m 的值.(第24题图)625．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，D 是边AB 的中点，P 是边AC 上一动点，BP 与CD 相交于点E ．（1）如果BC=6，AC=8，且P 为AC 的中点，求线段BE 的长； （2）联结PD ，如果PD ⊥AB ，且CE=2，ED=3，求cos A 的值； （3）联结PD ，如果222BP CD ，且CE=2，ED=3，求线段PD 的长．（备用图2）ABCD（备用图1）ABCD（第25题图）ABPC D E7参考答案及评分说明一、选择题：1．A ； 2．D ； 3．B ； 4．D ； 5．C ； 6．C ．二、填空题： 7．31； 8．6； 9．10； 10．15-；11．2x y -=等； 12．>；13．50；14．512； 15．3+；16．23； 17．53； 18．332．三、解答题：19．解：()1222-+=x x y ……………………………………………………（1分）()121222--++=x x y ………………………………………………………（1分） ()3122-+=x y …………………………………………………………………（3分）开口方向：向上……………………………………………………………………（1分） 顶点坐标：（-1，-3）……………………………………………………………（2分） 对称轴：直线1-=x ……………………………………………………………（2分）20．解：过点B 作BD ⊥AC ，垂足为点D ………………………………………（1分）在Rt △ABD 中，ABADA =cos …………………………………………………（2分） ∵53cos =A ，AB=5，∴AD=AB ·cos A =5×53=3……………………………（2分）∴BD=4……………………………………………………………………………（2分） ∵AC=5，∴DC=2…………………………………………………………………（1分） ∴BC=52………………………………………………………………………（2分）821．解：∵DE ∥BC ，∴∠ADE =∠B …………………………………………（1分） ∵FG ∥AB ，∴∠FGH =∠B ………………………………………………………（1分） ∴∠ADE =∠FGH …………………………………………………………………（1分） 同理：∠AED =∠FHG ……………………………………………………………（1分） ∴△ADE ∽△FGH ………………………………………………………………（1分）∴2⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆GH DE S S FGH ADE ……………………………………………………………（1分） ∵DE ∥BC ，FG ∥AB ，∴DF =BG ………………………………………………（1分） 同理：FE =HC ……………………………………………………………………（1分） ∵BG ︰GH ︰HC =2︰4︰3，∴设BG =2k ，GH =4k ，HC =3k∴DF =2k ，FE =3k ，∴DE =5k ……………………………………………………（1分）∴1625452=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆k k S S FGH ADE ……………………………………………………（1分）22．（1）在Rt △APN 中，∠NAP =45°，∴PA =PN ………………………………（1分） 在Rt △APM 中，APMPMAP =∠tan ……………………………………………（2分） 设PA =PN =x ，∵∠MAP =58°∴MAP AP MP ∠⋅=tan =1.6x …………………………………………………（1分） 在Rt △BPM 中，BPMPMBP =∠tan ……………………………………………（2分） ∵∠MBP =31°，AB =5 ∴xx+=56.16.0……………………………………………………………………（2分） ∴ x =3………………………………………………………………………………（1分） ∴MN=MP-NP =0.6x =1.8（米）…………………………………………………（1分） 答：广告牌的宽MN 的长为1.8米．23．证明：（1）∵AD ∥BC ，∴∠DAC=∠BCA ………………………………（1分） ∵AC ·CE=AD ·BC ，∴CEADBC AC =……………………………………………（2分） ∴△ACD ∽△CBE ………………………………………………………………（1分）9∴∠DCA=∠EBC …………………………………………………………………（1分） （2）∵AD ∥BC ，∴∠AFB=∠EBC ……………………………………………（1分） ∵∠DCA=∠EBC ，∴∠AFB=∠DCA ……………………………………………（1分） ∵AD ∥BC ，AB=DC∴∠BAD=∠ADC ……………………………（2分） ∴△ABF ∽△DAC ………………（1分） ∴DC AFAD AB =………………………………（1分） ∵AB=DC ，∴AD AF AB ⋅=2…………（1分）24．解：（1）∵抛物线经过点A （﹣2，0），点B （0，4）∴⎩⎨⎧==+--4022c c b …………（1分）， 解得14b c =⎧⎨=⎩………………………（1分）∴抛物线解析式为2142y x x =-++ …………………………………………（1分） （2）()2912142122+--=++-=x x x y ………………………（1分）∴对称轴为直线x =1，过点P 作PG ⊥y 轴，垂足为G ∵∠PBO=∠BAO ，∴tan ∠PBO=tan ∠BAO ， ∴PG BOBG AO=……………………………………………（1分） ∴121BG =，∴12BG =…………………………………（1分）∴72OG =，∴P （1，27）………………………………（1分）（3）设新抛物线的表达式为2142y x x m =-++-…（1分）则()0,4D m -,()2,4E m -，DE =2……………………（1分） 过点F 作FH ⊥y 轴，垂足为H ，∵DE ∥FH ，EO=2OF ∴2=1DE EO DO FH OF OH ==，∴FH=1……………………………………………（1分） ① 点D 在y 轴的正半轴上，则51,2F m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴52OH m =- ∴42512DO m OH m -==-，∴m=3……………………………………………………（1分）F（第23题图）EDCBA10② 点D 在y 轴的负半轴上，则91,2F m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴92OH m =-∴42912DO m OH m -==-，∴m=5……………………………………………………（1分） ∴综上所述m 的值为3或5.25．解：（1）∵P 为AC 的中点，AC =8，∴CP =4……………………………（1分） ∵∠ACB =90°，BC =6，∴BP=1分） ∵D 是边AB 的中点，P 为AC 的中点，∴点E 是△ABC 的重心……………（1分）∴23BE BP ==1分） （2）过点B 作BF ∥CA 交CD 的延长线于点F ………………………………（1分） ∴CABFDC FD DA BD ==………………………………（1分） ∵BD=DA ，∴FD=DC ，BF=AC …………………（1分） ∵CE=2，ED=3，则CD =5，∴EF =8∴4182===EF CE BF CP …………………………（1分） ∴41=CA CP ，∴13CP PA =，设CP=k ，则PA=3k ，∵PD ⊥AB ，D 是边AB 的中点，∴PA=PB=3k∴k BC 22=，∴k AB 62=，∵k AC 4=，∴cos A =…………（1分） （3）∵∠ACB =90°，D 是边AB 的中点，∴12CD BD AB ==∵222BP CD =，∴22BP CD CD BD AB =⋅=⋅……………（1分） ∵∠PBD=∠ABP ，∴△PBD ∽△ABP …………………………（1分） ∴∠BPD=∠A ……………………………………………………（1分） ∵∠A=∠DCA ，∴∠DPE=∠DCP ，∵∠PDE=∠CDP ，△DPE ∽△DCP ，∴DC DE PD ⋅=2…………………………（1分）∵DE=3,DC=5，∴15=PD …………………………………………………（1分）（备用图2）ABCDPE PE （备用图1）AB C DF11。
上海市松江区2019-2020学年度第一学期期末质量监控试卷数学试卷(含答案)
松江区2019学年度第一学期期末质量监控试卷高三数学（满分150分，完卷时间120分钟） 2019．12考生注意：1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。
2．答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。
3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B = ▲ ．2．若角α的终边过点(4,3)P -，则3sin()2πα+= ▲ ． 3．设1i2i 1iz -=++，则z = ▲ ． 4．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为 ▲ ．5．已知椭圆22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上的点P 满足122PF PF =，则1PF = ▲ ．6．若关于,x y 的二元一次方程组{42mx y m x my m+=++=无解，则实数m = ▲ ．7．已知向量(1,2)a =，(,3)b m =-，若向量(2)a b -∥b ，则实数m = ▲ ． 8．已知函数()y f x =存在反函数1()y fx -=，若函数()2xy f x =+的图像经过点(1,6)，则函数12()log y f x x -=+的图像必过点 ▲ ．9．在无穷等比数列{}n a 中，若121lim()3n n a a a →∞+++=，则1a 的取值范围是 ▲ ．10．函数ax by cx d+=+的大致图像如图，若函数图像经过(0,1)-和(4,3)-两点，且1x =-和2y =是其两条渐近线，则:::a b c d = ▲ ．11．若实数,0a b >，满足abc a b c =++，221a b +=，则实数c 的最小值为 ▲ ． 12．记边长为1的正六边形的六个顶点分别为123456,,,,,A A A A A A ，集合{,(,1,2,3,4,5,6,)}i j M a a A A i j i j ===≠，在M 中任取两个元素m 、n ，则0m n ⋅=的概率为 ▲ ．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分．13．已知l 是平面α的一条斜线，直线m α，则(A) 存在唯一的一条直线m ，使得l m ⊥ (B) 存在无限多条直线m ，使得l m ⊥ (C) 存在唯一的一条直线m ，使得l ∥m (D) 存在无限多条直线m ，使得l ∥m 14．设,x y R ∈，则“2x y +>”是“,x y 中至少有一个数大于1”的(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件 15．已知b 、c R ∈，若2||x bx c M ++≤对任意的[0,4]x ∈恒成立，则 (A) M 的最小值为1 (B) M 的最小值为2 (C) M 的最小值为4 (D) M 的最小值为8 16． 已知集合{1,2,3,,10}M =，集合A M ⊆，定义()M A 为A 中元素的最小值，当A 取遍M 的所有非空子集时，对应的()M A 的和记为10S ，则10S =(A) 45 (B) 1012 (C) 2036 (D) 9217三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图，圆锥的底面半径2OA =，高6PO =，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点．（1）求圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线CD 与AB 所成角的大小（结果用反三角函数表示）．A18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知函数2()cos 2sin f x x x x =-．（1）求()f x 的最大值；（2）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()0f A =， b 、a 、c 成等差数列，且2AB AC ⋅=，求边a 的长．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间0t 、人的反应时间1t 、系统反应时间2t 、制动时间3t ，相应的距离分别为0d 、1d 、2d 、3d ．当车速为v （米/秒），且[0,33.3]v ∈时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k 随地面湿滑程度等路面情况而变化，[0.5,0.9]k ∈）．（1）请写出报警距离d （米）与车速v （米/秒）之间的函数关系式()d v ；并求0.9k =时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间．（精确到0.1秒）（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时（精确到1千米/小时）？20． （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分设抛物线:Γ24y x =的焦点为F ，经过x 轴正半轴上点(,0)M m 的直线l 交Γ于不同的两点A 和B ．（1）若3FA =，求A 点的坐标；（2）若2m =，求证：原点O 总在以线段AB 为直径的圆的内部； （3）若FA FM =，且直线1l ∥l ，1l 与Γ有且只有一个公共点E ，问：OAE ∆若存在，求出最小值，并求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知数列{}n a 满足：①n a N ∈()n N *∈；②当2()kn k N *=∈时，2n n a =； 当2()kn k N *≠∈时，1n n a a +<．记数列{}n a 的前n 项和为n S ． （1）求139,,a a a 的值；（2）若2020n S =，求n 的最小值；（3）求证：242n n S S n =-+的充要条件是211()n a n N *+=∈．松江区2019学年度第一学期高三期末考试数学试卷参考答案一、填空题1．{}12， ； 2．45- ； 3．1 ； 4． 40； 5．4； 6．2-；7．32-； 8．(4,3) ；9．112(0,)(,)333； 10．2:1:1:1-；11．-；12． 851；二、选择题13．B 14．A 15．B 16．C 三、解答题17． 解：（1）由题意，得OA ＝2，PO ＝6，∴PA = ………………………2分∴圆锥的侧面积为2S rl ππ==⨯⨯=；……………………4分 体积为221126833V r h πππ==⨯⨯= ；………………6分 （2）取PO 的中点E ，连接DE ，CE ，则∠CDE 或其补角即为所求，如图所示；……………… 8分因AO ⊥EO ，AO ⊥CO ，EOCO=O 知，AO ⊥平面ECO 又//DE AO ，∴DE ⊥平面ECO ，∴DE ⊥EC ，∴DEC ∆是RT ∆ ……………… 10分由112DE OA ==， ……………… 11分CE === ……………… 13分∴CDE ∠=AB 与CD 所成的角为…………14分 18． 解：（1）2()cos 2sin 2cos 212sin(2)16f x x x x x x x π=-=+-=+-……4分∴max ()()2116f x f π==-=……………… 6分此时2262x k πππ+=+，则6x k ππ=+，()k Z ∈，（2） 由 ()0f A = 得1sin(2)62A π+=， ∴2266A k πππ+=+或2266A k ππππ+=-+，()k Z ∈因0A π<< ∴3A π=………………………… 9分由b ，a ，c 成等差数列，得2a ＝b +c ， ………………… 10分 ∵2AB AC ⋅=，∴bc cos A ＝2，∴bc ＝4， ………………… 11分 由余弦定理，得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝（b +c ）2﹣3bc ，…………12分 ∴a 2＝4a 2﹣3×4，∴2a =． ………………………… 14分19． 解：（1）由题意得0123()d v d d d d =+++ ……………………… 1分 ∴21()2020d v v v k=++………………………… 3分 当0.9k =时，2()2018v d v v =++， ……………4分20()1112 3.1183v t v v =++≥+=+⋅=（秒）……………7分 （2）根据题意, 要求对于任意[0.5,0.9]k ∈，()80d v <恒成立，…………9分 即对于任意[0.5,0.9]k ∈， 21208020v v k ++< 即2160120k v v<-恒成立， 由[0.5,0.9]k ∈得 111[,]201810k ∈ ∴2160110v v<- 即2106000v v +-< ………………………12分 解得3020v -<<∴020v ≤<（米/秒）， ………………………13分360020721000⨯=（千米/小时）∴汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/小时………………………14分20． 解：（1）由抛物线方程知，焦点是(1,0)F ，准线方程为1x =-，设A （x 1，y 1），由|F A |=3及抛物线定义知，x 1=2，代入24y x =得y =±所以A 点的坐标(2,A 或(2,A - ………………………4分（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 设直线AB 的方程是：x ＝my +2， 联立224x my y x =+⎧⎨=⎩，消去x 得：y 2﹣4my ﹣8＝0，由韦达定理得121248y y m y y +=⎧⎨=-⎩，………6分 11221212(,)(,)OA OB x y x y x x y y ⋅=⋅=+22212121212()4804416y y y y y y y y =⋅+=+=-<， 故AOB ∠恒为钝角，故原点O 总在以线段AB 为直径的圆的内部． ………………………10分（3）设A （x 1，y 1），则x 1y 1≠0，因为|F A |＝|FM |，则|m ﹣1|＝x 1+1，由m ＞0得m ＝x 1+2，故M （x 1+2，0）．故直线AB 的斜率K AB ＝12y -． 因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为12y y x b =-+，代入抛物线方程 得211880b y y y y +-=，由题意21164320b y y ∆=+=，得12b y =-．……………12分 设E （x E ，y E ），则14E y y =-，21141E x y x ==11111111014111222141OAEy x S x y x y x y ∆==+≥- ………………………14分当且仅当11114y x x y =，即22114y x =时等号成立， 由221121144y x y x ⎧=⎨=⎩ 得21144x x =，解得11x =或10x =（舍），………………15分 所以M 点的坐标为(3,0)M ，min ()2OAE S ∆= ………………………16分 21． 解：（1）因21a =，12a a <，且1a 是自然数，10a ∴=； ………………2分42a =，340a a ≤<，且34,a a 都是自然数；∴30a =或31a =；………………3分168a =，9101608a a a ≤<<<=，且*()i a N i N ∈∈，∴90a =或91a =．……4分（2）122()k k a k N -*=∈，当122k k n -<≤(,)n k N *∈时，1111212223202k k k k k a a a a ----+++≤<<<<=，由于n a N ∈，所以121k m a m -+=-或m ，11,2,3,,2 1.k m -=- ………………………6分∴()64max (01)(12)(1234)(128)(1216)S =+++++++++++++++23458916173233(1232)171422222⨯⨯⨯⨯⨯++++=+++++= ()128max 646571427942S ⨯=+= 7142020279<<，64128n ∴<< ………………………8分 又20207141306-=，123501275130612350511326++++=<<+++++=所以min 6451115n =+= ………………………10分（3）必要性：若242n n S S n =-+则：122422n n n S S +=-+ ①122214(21)2n n n S S +++=-++ ②①-②得：1121222141()n n n a a a n N ++*++++=-∈ ③ ………………………11分由于1121220,1n n a a ++++=⎧⎨=⎩或1121221,2n n a a ++++=⎧⎨=⎩或1121222n n a a ++++=⎧⎨=⎩，且210,n a +=或1 只有当112121221,1,2n n n a a a +++++===同时成立时，等式③才成立211()n a n N *+∴=∈ ………………………13分充分性：若211()n a n N *+=∈，由于1212223212n n n n n a a a a ++++=<<<<=所以2(,,2)n n k a k n N k N k **+=∈∈≤，即211n a +=，222n a +=，233n a +=，…，12121n n a +-=-，又122n n a +=所以对任意的n N *∈，都有2211n n a a -=+…（I ） ………………………14分 另一方面，由2n k a k +=，1222n k a k ++=(,,2)n n N k N k **∈∈≤所以对任意的n N *∈，都有22n n a a =…（II ） ………………………15分21221321242()()n n n n S a a a a a a a a a -∴=+++=+++++++2422232()24()n n a a a n a a a a n =+++-=++++-由于120,1a a ==2124()242n n n S a a a n S n ∴=+++-+=-+ 证毕. ………18分。
上海市松江区届九年级上期末教学质量数学试题有答案(精)
初三上数学期末试卷（满分150分，完卷时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．已知在Rt △ABC 中，∠C =90º，如果BC =2，∠A =α，则AC 的长为（ D ） （A ）αsin 2；（B ）αcos 2；（C ）αtan 2；（D ）αcot 2．2．下列抛物线中，过原点的抛物线是（ C ）（A ）12-=x y ； （B ）()21+=x y ； （C ）x x y +=2； （D ）12--=x x y .3．小明身高1.5米，在某一时刻的影长为2米，同时测得教学大楼的影长为60米，则教学大楼的高度应为（ A ） （A ）45米；（B ）40米；（C ）90米；（D ）80米．4．已知非零向量a ρ，b ρ，c ρ，下列条件中，不能判定a ρ∥b ρ的是（ B ）（A ）a ρ∥c ρ，b ρ∥c ρ； （B=；（C ）a ρ=b ρ2-； （D ）a =c ρ2，b ρ=c ρ．5．如图，在□ABCD 中 ，点E 是边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F .下列各式中，错误的是（ C ）（A ）FC FE AB AE =； （B ）AE AFAB DF =； （C ）AE AF AB BC=； （D ）BC AF BE AE =． 6．如图，已知在△ABC 中，31cos =A ，BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，联结EF ，那么△AEF 和△ABC 的周长比为（ B ） （A ）1︰2；（B ）1︰3； （C ）1︰4；（D ）1︰9．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知34a b =，则2aa b +的值为 76 ． 8．计算：()()n m n m 2213+--=_____n m 421-________．9．已知抛物线()x x k y 312+-=的开口向下，那么k 的取值范围是____1<k _________．10．把抛物线2x y =向右平移4个单位，所得抛物线的解析式为______()24-=x y ___________．11．已知在△ABC 中，∠C =90°，43sin =A ，BC =6，则AB 的长是____8________．（第6题图）12．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、C 、E 和点B 、D 、F ，如果AC ︰CE =3︰5，BF =9，那么DF =___845_______． 13．已知点A （2，y 1）、B （5，y 2）在抛物线12+-=x y 上，那么y 1_>__y 2．（填“﹥”、“=”或“﹤”） 14．已知抛物线c bx ax y ++=2过（-1，1）和（5，1）两点 ，那么该抛物线的对称轴是直线___2=x _____．15．在△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 是△ABC 的中线，AD 与BE 相交于点G ，那么AG 的长为 _____2________．16．在一个距离地面5米高的平台上测得一旗杆底部的俯角为30°，旗杆顶部的仰角为45°，则该旗杆的高度为____355+_________米．（结果保留根号）17．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=°，3BC =，4AC =，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为___67____． 18．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AB =9，32cos =B ，把△ABC 绕着点C 旋转，使点B 与AB 边上的点D 重合，点A 落在点E ，则点A 、E 之间的距离为__54____． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：()︒⋅-︒︒⋅︒+︒30cot 145cos 260cos 30tan 360sin解：原式=312222133323⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯+ 3123⨯-=）（121-=12+= 20．（本题满分10分，每小题各5分）（第17题图）l 1 2（第12题图） A B C DE F如图，已知点D 是△ABC 的边BC 上一点，且CD BD 21=，设=，b BC =. （1）求向量AD （用向量a r 、b r表示）；（2）求作向量在a 、b 方向上的分向量.（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）解：（1） ∵CD BD 21=，∴BC BD 31= ∵b BC =，∴b BD 31=∵BD AB AD +=，且a AB = ∴b a AD 31+=（221．（本题满分10分，每小题各5分）如图，已知AC ∥BD ，AB 和CD 相交于点E ，AC =6,BD =4， F 是BC 上一点，3:2:=∆∆EFC BEF S S .（1）求EF 的长；（2）如果△BEF 的面积为4,求△ABC 的面积.解：（1）∵BD AC ∥，∴DB ACDE CE =∵46==BD AC ，，∴2346==DE CE∵△BEF 和△CEF 同高，且3:2:=∆∆CEF BEF S S ，∴23=BF CF ∴BF CFDE CE =∴BD EF ∥ ∴BC CF BD EF =，∴534=EF ，∴512=EF （2）∵BD AC ∥，BD EF ∥，∴AC EF ∥∴△BEF ∽△ABC∴2⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆BC BF S S ABC BEF ∵32=CF BF ，∴52=BC BF ，∵4=∆BEF S ∴2524⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆ABC S ∴25=∆ABC S（第20题图）ABD22．（本题满分10分，每小题各5分）某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC ，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB 所在的直线与CD 平行），层高AD 为8米，∠ACD =20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头，A 、B 之间必须达到一定的距离.（1）要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时不碰头，那么A 、B 之间的距离至少要多少米？（精确到0.1米）（2）如果自动扶梯改为由AE 、EF 、FC 三段组成（如图中虚线所示），中间段EF 为平台（即EF ∥DC ），AE 段和FC 段的坡度i =1︰2，求平台EF 的长度.（精确到0.1米） （参考数据：34.020sin ≈︒，94.020cos ≈︒，36.020tan ≈︒）解：（1）联结AB ，作BG ⊥AB 交AC 于点G ，则∠ABG =90°∵AB ∥CD ，∴∠BAG =∠ACD =20° 在Rt △ABG 中，ABBGBAG =∠tan ∵BG =2.26，36.020tan ≈︒，∴AB26.236.0= ，∴3.6≈AB 答：A 、B 之间的距离至少要6.3米.（2）方法一:设直线EF 交AD 于点P ，作CQ ⊥EF 于点Q ∵AE 和FC 的坡度为1︰2，∴21==FQ CQ PE AP 设AP =x ，则PE =2x ，PD =8-x ，∵EF ∥DC ，∴CQ =PD =8-x ∴FQ =2（8-x ）=16-2x 在Rt △ACD 中，CDADACD =∠tan ∵AD =8，∠ACD=20°，∴CD ≈22.22∵ PE +EF +FQ =CD ，∴2x +EF +16-2x =22.22，∴EF =6.22≈6.2 答：平台EF 的长度约为6.2米. 方法二:延长AE 交DC 于点M∵AE 和FC 的坡度为1︰2，即AM 和FC 的坡度为1︰2 ∴t an ∠AMD =tan ∠FCD∵∠AMD 和∠FCD 都是锐角，∴∠AMD =∠FCD ，∴AM ∥FC ∵EF ∥DC ，∴四边形EMCF 是平行四边形，∴EF =MC ∵21=DM AD ，AD =8，∴DM =16 （一楼地面） （第22题图）在Rt △ACD 中，CDADACD =∠tan ∵AD =8，∠ACD=20°，∴CD ≈22.22 ∴GC =C D -DG =6.22，∴EF =6.22≈6.2 答：平台EF 的长度约为6.2米. 23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°,D 是斜边AB 上的中点，E 是边BC 上的点，AE 与CD 交于点F ，且CB CE AC ⋅=2. （1）求证：AE ⊥CD ；（2）联结BF ,如果点E 是BC 中点,求证: ∠ EBF=∠EAB .证明：（1）∵CB CE AC ⋅=2，∴ACCB CE AC =，又∵∠ACB =∠ECA =90° ∴△ACB ∽△ECA ∴∠ABC =∠EAC∵点D 是AB 的中点，∴CD =AD ∴∠ACD =∠CAD∵∠CAD +∠ABC =90°，∴∠ACD +∠EAC =90° ∴∠AFC =90°，∴AE ⊥CD（2）∵AE ⊥CD ，∴∠EFC =90°，∴∠ACE =∠EFC 又∵∠AEC =∠CEF ，∴△ECF ∽△EAC ∴ECEFEA EC =∵点E 是BC 的中点，∴CE =BE ，∴BEEFEA BE =∵∠BEF =∠AEB ，∴△BEF ∽△AEB ∴∠EBF =∠EAB24．（本题满分12分，每小题各4分）如图，抛物线c bx x y ++-=2过点B (3，0)，C (0，3)，D 为抛物线的顶点. （1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）点C 关于抛物线c bx x y ++-=2对称轴的对称点为E 点，联结BC ，BE ，求∠CBE 的正切值； （3）点M 是抛物线对称轴上一点，且△DMB 和△BCE 相似，求点M 坐标.（第24题图）C AD F BE （第23题图）解：（1）∵抛物线c bx x y ++-=2经过点B （3,0）和点C （0,3）∴⎩⎨⎧==++-3039c c b解得⎩⎨⎧==32c b ∴抛物线解析式为322++-=x x y由()413222+--=++-=x x x y 得抛物线顶点D （1,4）（2）由（1）可知抛物线对称轴为直线1=x ，∵点E 与点C （0,3）关于直线1=x 对称，∴点E （2，3） 过点E 作EH ⊥BC 于点H ，由OC =OB =3得BC =23 ∵OC CE EH BC S BCE ⋅=⋅=∆2121 且CE =2， ∴3223⨯=⋅EH 得2=EH∵∠ECH =∠CBO =45°，∴CH =2=EH ，∴22=BH ∴在Rt △BEH 中，21222tan ===∠BH EH CBE (3) 当点M 在点D 的下方时设M （1，m ），对称轴交x 轴于点P ，则P （1，0），∴BP =2，DP =4 ∴21tan =∠BDP ，∵21tan =∠CBE ，∠CBE 、∠BDP 均为锐角 ∴∠CBE =∠BDP ∵△DMB ∽△BEC∴BC BE DB DM =或BE BC DB DM =① BCBE DB DM =，∵DM =4-m ，52=DB ，23=BC ，10=BE ∴2310524=-m ，解得32=m ，∴点M （1，32） ②BE BC DB DM =，则1023524=-m ，解得2-=m ∴点M （1，2-）当点M 在点D 的上方时，根据题意知点M 不存在. 综上所述，点M 的坐标为（1，32）或（1，2-）25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知四边形ABCD 是矩形，43cot =∠ADB ，AB =16．点E 在射线BC 上，点F 在线段BD 上，且∠DEF =∠ADB ．（1）求线段BD 的长；（2）设BE =x ，△DEF 的面积为y ，求y 关于 x 的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当△DEF 为等腰三角形时，求线段BE 的长． 解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =90° 在Rt △BAD 中，43cot ==∠AB AD ADB ，AB =16，∴AD =12 ∴2022=+=AB AD BD（2）∵AD ∥BC ，∴DBC ADB ∠=∠，∵ADB DEF ∠=∠ ∴DBC DEF ∠=∠，∵BDE EDF ∠=∠，∴△EDF ∽△BDE∴2⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆BD DE S S BDE DEF ∵BC =AD =12，BE =x ，∴CE =12-x ，∵CD =AB =16 ∴在Rt △CDE 中，()400241216222+-=-+=x x x DE∵x x CD BE S BDE8162121=⋅⋅=⨯⨯=∆，∴2220400248⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x y ∴504002423xx x y +-=定义域240≤<x（3）∵△EDF ∽△BDE ，∴当△DEF 是等腰三角形时，△BDE 也是等腰三角形 ⅰ）当BE =BD 时 ∵BD =20，∴BE =20 ⅱ）当DE =DB 时∵DC ⊥BE ，∴BC =CE =12 ∴BE=24 ⅲ）当EB =ED 时作EH ⊥BD 于H ，则BH =1021=BD ADB HBE ∠=∠cos cos ，即BEBHBD AD = ∴BE 102012=，∴350=BE 综上所述，当△DEF 时等腰三角形时，线段BE 的长为20或24或350.。
《试卷3份集锦》上海市松江区2019-2020年九年级上学期期末适应性数学试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠BAC＝55°，则∠BOC的度数为（）A．100°B．110°C．125°D．130°【答案】B【分析】由点A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC＝40°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BOC的度数．【详解】解：∵∠BAC＝55°，∴∠BOC＝2∠BAC＝110°．（圆周角定理）故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半2．如图，△ABC中，∠B＝70°，则∠BAC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．当点B的对应点D恰好落在AC上时，∠CAE的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】C【解析】由三角形内角和定理可得∠ACB=80°，由旋转的性质可得AC=CE，∠ACE=∠ACB=80°，由等腰的性质可得∠CAE=∠AEC=50°．【详解】∵∠B＝70°，∠BAC＝30°∴∠ACB＝80°∵将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．∴AC＝CE，∠ACE＝∠ACB＝80°∴∠CAE＝∠AEC＝50°故选C．本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．3．如图，在平面直角坐标系中，点()2,5P 、(),Q a b ()2a >在函数k y x=()0x >的图象上，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为A 、B ；过点Q 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为C 、D ．QD 交PA 于点E ，随着a 的增大，四边形ACQE 的面积（ ）A ．增大B ．减小C ．先减小后增大D ．先增大后减小【答案】A 【分析】首先利用a 和b 表示出AC 和CQ 的长，则四边形ACQE 的面积即可利用a 、b 表示，然后根据函数的性质判断．【详解】解：AC ＝a−2，CQ ＝b ，则S 四边形ACQE ＝AC•CQ ＝（a−2）b ＝ab−2b ．∵()2,5P 、(),Q a b 在函数k y x =()0x >的图象上， ∴ab 25=⨯＝k ＝10（常数）．∴S 四边形ACQE ＝AC•CQ ＝10−2b ，∵当a ＞2时，b 随a 的增大而减小， ∴S 四边形ACQE ＝10−2b 随a 的增大而增大．故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及矩形的面积的计算，利用b 表示出四边形ACQE 的面积是关键. 4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，则cosB 的值为（ ）A ．513B ．1213C ．135D ．512【答案】B【分析】根据勾股定理求出AB ，根据余弦的定义计算即可．【详解】由勾股定理得，222251213AB AC BC +=+=， 则1213BC cosB AB ==， 故选：B ．本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦是解题的关键． 5．已知3x ＝4y ，则x y＝( ) A ．43 B ．34 C ．34- D ．以上都不对【答案】A【分析】根据3x ＝4y 得出x ＝43y ，再代入要求的式子进行计算即可． 【详解】∵3x ＝4y ，∴x ＝43y ， ∴x y ＝43y y ＝43； 故选：A ．【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质即两内项之积等于两外项之积是解题的关键．6．一个凸多边形共有 20 条对角线，它是（ ）边形A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】C 【分析】根据多边形的对角线的条数公式(3)2n n -列式进行计算即可求解． 【详解】解：设该多边形的边数为n ，由题意得：(3)202n n -=， 解得：128,5n n ==-（舍去）故选：C ．【点睛】本题主要考查了多边形的对角线公式，熟记公式是解题的关键．7．下列各点在抛物线244y x x =-+上的是（ ）A ．()0,4B ．()3,1-C ．()2,3--D ．17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【答案】A【分析】确定点是否在抛物线上，分别把x=0 , 3，-2，12-代入244y x x =-+中计算出对应的函数值，再进行判断即可.【详解】解：当0x =时，204044y =-⨯+=,当3x =时,234341y =-⨯+= ,当2x =-时，()()2242416y =--⨯-+=, 当12x =-时，2112344224y x ⎛⎫⎛⎫=--⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以点()0, 4在抛物线244y x x =-+上． 故选:A ．8．在反比例函数1k y x -=的图象的每一个分支上，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞1B ．k ＞0C ．k≥1D ．k ＜1 【答案】A【分析】根据反比例函数的性质，当反比例函数的系数大于0时，在每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，可得k ﹣1＞0，解可得k 的取值范围． 【详解】解：根据题意，在反比例函数1k y x -=图象的每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小， 即可得k ﹣1＞0，解得k ＞1．故选A ．【点评】本题考查了反比例函数的性质：①当k ＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k ＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k ＞0时，在同一个象限内，y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，在同一个象限，y 随x 的增大而增大．9．下列说法正确的是（ ）A ．三角形的外心一定在三角形的外部B ．三角形的内心到三个顶点的距离相等C ．外心和内心重合的三角形一定是等边三角形D ．直角三角形内心到两锐角顶点连线的夹角为125° 【答案】C【分析】分别利用三角形内心以及三角形外心的性质判断得出即可．【详解】A. 因为只有钝角三角形的外心才在三角形的外部，锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边上，该选项错误；B. 三角形的内心到三角形的三边距离相等，该选项错误；C. 若三角形的外心与内心重合，则这个三角形一定是等边三角形，该选项正确；D. 如图，∠C=90︒，∠BAC+∠ABC 18090=︒-︒，AD BE 、分别是角∠BAC 、∠ABC 的平分线，∴∠OAB+∠OBA 190452=⨯︒=︒，∴∠AOB ()180********OAB OBA ∠∠=︒-+=︒-︒=︒，该选项错误．故选：C【点睛】本题考查三角形的外接圆和外心及三角形的内切圆与内心，正确把握它们的区别是解题的关键. 10．小马虎在计算16-13x 时，不慎将“-”看成了“+”，计算的结果是17，那么正确的计算结果应该是（） A ．15 B ．13 C ．7 D ．1-【答案】A【详解】试题分析：由错误的结果求出x 的值，代入原式计算即可得到正确结果．解：根据题意得：16+13x=17，解得：x=3，则原式=16﹣13x=16﹣1=15，故选A考点：解一元一次方程．11．在下面的计算程序中，若输入x 的值为1，则输出结果为（ ）．A ．2B ．6C ．42D ．12【答案】C【分析】根据程序框图，计算(1)x x +，直至计算结果大于等于10即可．【详解】当1x =时，(1)122x x +=⨯=，继续运行程序，当2x =时，(1)236x x +=⨯=，继续运行程序，当6x =时，(1)6742x x +=⨯=，输出结果为42，故选C ．【点睛】本题考查利用程序框图计算代数式的值，按照程序运算的规则进行计算是解题的关键．12．抛物线2y ax x =+的对称轴是（ ）A ．1x a =B ．1x a =-C ．12x a =D ．12x a=- 【答案】D【解析】根据二次函数的对称轴公式2b x a=-计算即可，其中a 为二次项系数，b 为一次项系数． 【详解】由二次函数的对称轴公式得：122b x a a =-=- 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的对称轴公式，熟记公式是解题关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．已知线段a ＝4，b ＝16，则a ，b 的比例中项线段的长是_______．【答案】1【分析】设线段a ，b 的比例中项为c ，根据比例中项的定义可得c 2＝ab ，代入数据可直接求出c 的值，注意两条线段的比例中项为正数．【详解】解：设线段a ，b 的比例中项为c ，∵c 是长度分别为4、16的两条线段的比例中项，∴c 2＝ab ＝4×16，∴c 2＝64，∴c ＝1或-1（负数舍去），∴a 、b 的比例中项为1；故答案为：1．【点睛】本题主要考查了比例线段．掌握比例中项的定义，是解题的关键．14．如图所示，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于E 点，对角线BD 交AG 于F 点．已知FG ＝2，则线段AE 的长度为_____．【答案】2【解析】根据正方形的性质可得出AB ∥CD ，进而可得出△ABF ∽△GDF ，根据相似三角形的性质可得出AF AB GF GD==2，结合FG=2可求出AF 、AG 的长度，由CG ∥AB 、AB=2CG 可得出CG 为△EAB 的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE 的长度，此题得解．【详解】∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=CD ，AB ∥CD ，∴∠ABF=∠GDF ，∠BAF=∠DGF ，∴△ABF ∽△GDF ，∴AF ABGF GD==2，∴AF=2GF=4，∴AG=1．∵CG∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE=2AG=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．15．如图，⊙O过正方形网格中的格点A，B，C，D，点E也为格点，连结BE交⊙O于点F，P为CD上的任一点，则tanP=_____．【答案】1【分析】根据题意，连接DF，得出∠P=∠BDF，由圆的性质，进而证明出∠BDF=∠BED，利用正方形网格图形，结合锐角三角函数值求出tan∠P即可．【详解】解：连接DF，如图，则∠P=∠BDF，∵BD为直径，∴∠BFD=90°，∵∠DBF+∠BDF=90°，∠EBD+∠BED=90°，∴∠BDF=∠BED，∴∠P=∠BED，∵tan∠BED=BDDE=1，∴tan∠P=1．故答案为1．【点睛】本题考查了圆的基本性质，圆周角定理，同角的余角相等，锐角三角函数值应用，掌握圆的基本性质和相关知识点是解题的关键．16．cos30°+22sin45°+tan60°＝_____．33+1【分析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的化简进行计算，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后求得计算结果．【详解】cos30°+22sin45°+tan60°=3223 222+⨯+3312+33+133+1【点睛】解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．17．已知点P是正方形ABCD内部一点，且△PAB是正三角形，则∠CPD＝_____度．【答案】1【解析】如图，先求出∠DAP＝∠CBP＝30°，由AP＝AD＝BP＝BC，就可以求出∠PDC＝∠PCD＝15°，进而得出∠CPD的度数．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，∵△ABP是等边三角形，∴AP ＝BP ＝AB ，∠PAB ＝∠PBA ＝60°，∴AP ＝AD ＝BP ＝BC ，∠DAP ＝∠CBP ＝30°．∴∠BCP ＝∠BPC ＝∠APD ＝∠ADP ＝75°，∴∠PDC ＝∠PCD ＝15°，∴∠CPD ＝180°﹣∠PDC ﹣∠PCD ＝180°﹣15°﹣15°＝1°．故答案为1．【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，等边三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时运用三角形内角和定理是关键．18．如图，在O 中若40A ∠=，AO OC =，则ABO ∠=__________，AOB ∠=__________．【答案】40° 100°【分析】根据等边对等角可得40ABO A ∠=∠=︒，根据三角形的内角和定理可得AOB ∠的度数．【详解】解：∵AO OC =，∴40ABO A ∠=∠=︒，∴180100AOB A ABO ∠=︒-∠-∠=︒，故答案为：40°，100°．【点睛】本题考查等边对等角及三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面AB 宽10cm ，水最深3cm ，求输水管的半径．【答案】173cm【分析】设圆形切面的半径为r，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，由垂径定理可求出BD的长，再根据最深地方的高度是3cm得出OD的长，根据勾股定理即可求出OB的长．【详解】解：设圆形切面的半径为r，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，则AD＝BD＝12AB＝12×10＝5cm，∵最深地方的高度是3cm，∴OD＝r﹣3，在Rt△OBD中，OB2＝BD2+OD2，即2r＝52+（r﹣3）2，解得r＝173（cm），∴输水管的半径为173cm．【点睛】本题考查了垂径定理，构造圆中的直角三角形，灵活利用垂径定理是解题的关键.20．改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为1122m，则小路的宽应为多少？【答案】小路的宽应为1m．【解析】设小路的宽应为x米，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16-2x），（9-x）；那么根据题意得出方程，解方程即可．【详解】解：设小路的宽应为x 米，根据题意得：(162)(9)112x x --=，解得：11x =，216x =．∵169>，∴16x =不符合题意，舍去，∴1x =．答：小路的宽应为1米．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．21．如图，在ABC ∆中，10,12AB AC BC ===，点D 是BC 边上的动点（不与,B C 重合），点E 在AC 边上，并且满足ADE C ∠=∠.（1）求证：ABD DCE ∆∆；（2）若BD 的长为x ，请用含x 的代数式表示AE 的长；（3）当（2）中的AE 最短时，求ADE ∆的面积.【答案】（1）见解析；（2）21610105AE x x =-+；（3）38425【分析】（1）由等腰三角形的性质可得B C ∠=∠，然后根据三角形的外角性质可得BAD CDE ∠=∠，进而可证得结论；（2）根据相似三角形的对应边成比例可得CE 与x 的关系，进一步即可得出结果；（3）根据（2）题的结果，利用二次函数的性质可得AE 最短时x 的值，即BD 的长，进而可得AD 的长和△ADC 的面积，进一步利用所求三角形的面积与△ADC 的面积之比等于AE 与AC 之比即得答案.【详解】解：（1）∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∵ADE C ∠=∠，∴ADE B ∠=∠，∵ADC ADE EDC B BAD ∠=∠+∠=∠+∠，∴BAD CDE ∠=∠，∴ABD DCE ∆∆；（2）∵ABDDCE ∆∆，∴BD AB CE DC =，∴1012x EC x =-， ∴216105CE x x =-+， ∴21610105AE x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭21610105x x =-+； （3）∵()216 6.410AE x =-+，∴6x =时，AE 的值最小为6.4，此时6BD CD ==， ∵AB AC =，∴AD BC ⊥，∴221068AD =-=， ∴1242ADC S AD CD ∆=⨯⨯=， ∵ADE ADC S AE S AC ∆∆=，即 6.416241025ADE S ∆==， ∴16384242525ADE S ∆=⨯=. 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质、二次函数的性质、勾股定理、等腰三角形的性质和三角形的面积等知识，属于中档题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质与二次函数的性质是解题的关键.22．先化简，再求值：22231()111a a a a --÷+-+，其中1012cos30()(3)2a π-=︒+-- 3 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用特殊锐角的三角函数值、负整数指数幂与零指数幂得到a 的值，继而将a 的值代入计算可得．【详解】原式=[2223(1)(1)(1)(1)a a a a a a ---+-+-]•（a+1） =1(1)(1)a a +-•（a+1） =11a -， 当a=2cos30°+（12）-1-（π-3）0=2×323+1时，原式=3==33+1-13．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及特殊锐角的三角函数值、负整数指数幂与零指数幂．23．学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如表所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数.购买件数销售价格不超过30件单价40元超过30件每多买1件，购买的所有物品单价将降低0.5元，但单价不得低于30元【答案】王老师购买该奖品的件数为40件．【解析】试题分析：根据题意首先表示出每件商品的价格，进而得出购买商品的总钱数，进而得出等式求出答案．试题解析：∵30×40=1200＜1400，∴奖品数超过了30件，设总数为x件，则每件商品的价格为：[40﹣（x﹣30）×0.5]元，根据题意可得：x[40﹣（x﹣30）×0.5]=1400，解得：x1=40，x2=70，∵x=70时，40﹣（70﹣30）×0.5=20＜30，∴x=70不合题意舍去，答：王老师购买该奖品的件数为40件．考点：一元二次方程的应用．24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90º，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E．(1)求证:AE=CE ．(2)若EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，且CD=CF=2cm，求⊙O的直径．(3)若EF 与⊙O 相切于点E ，点C 在线段FD 上，且CF:CD=2:1，求sin ∠CAB ．【答案】（1）见解析；（2）23cm ；（3）12【分析】（1）连接DE ，根据90ABC ∠=︒可知：AE 是O 直径，可得90ADE ∠=︒，结合点D 是AC的中点，可得出ED 是AC 的中垂线，从而可证得结论； （2）根据ADE AEF ∽，可将AE 解出，即求出⊙O 的直径；（3）根据等角代换得出CAB DEA ∠=∠，然后根据CF:CD=2:1，可得AC=CF ，继而根据斜边中线等于斜边一半得出2AE CE AC CF CD ====，在RT ADE 中，求出sin ∠CAB 即可． 【详解】证明：（1）连接DE ，90ABC ∠=︒ ，90ABE ∴∠=︒ ，∴AE 是O 直径∴90ADE ∠=︒，即DE AC ⊥，又∵D 是AC 的中点，∴DE 是AC 的垂直平分线，∴AE CE =；（2）在ADE 和EFA △中，90ADE AEF DAE EAF ∠∠︒⎧⎨∠∠⎩＝＝＝， 故可得ADE AEF ∽，从而AE AD AF AE = ，即26AE AE=， 解得：3cm ；即⊙O 的直径为3cm ．（3）9090CAB ACB DEA DAE DAE ACB ∠+∠=︒∠+∠=︒∠=∠，，，CAB DEA ∴∠=∠，21CF CD =：：，D 是AC 的中点，22CF CD AC CD∴==，，2AE CE AC CF CD ∴====，在RT ADE中，122AD CDsin DEAAE CD∠===．故可得12 sin CAB sin DEA∠=∠=．【点睛】本题主要考查圆周角定理、切线的性质及相似三角形的性质和应用，属于圆的综合题目，难度较大，解答本题的关键是熟悉各个基础知识的内容，并能准确应用．25．如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝4，AC＝1．（1）求CD的长；（2）求证：△ABE∽△ACB．【答案】（1）152；（2）见解析【分析】（1）由线段的和差关系可求出CE的长，由AB//CD可证明△CDE∽△ABE，根据相似三角形的性质即可求出CD的长；（2）根据AB、AE、AC的长可得AE ABAB AC=，由∠A为公共角，根据两组对应边成比例，且对应的夹角相等即可证明△ABE∽△ACB．【详解】（1）∵AE＝4，AC＝1 ∴CE=AC-AE＝1-4＝5∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE，∴CD CE AB AE=，∴651542AB CECDAE．（2）∵4263AEAB，6293ABAC∴AE AB AB AC=∵∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.26．如图，四边形OABC 为平行四边形，B 、C 在⊙O 上，A 在⊙O 外，sin ∠OCB=2．（1）求证：AB 与⊙O 相切；（2）若BC=10cm ，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析（2）25252π-. 【分析】连接OB ，由sin ∠2求出∠OCB=45︒，再根据OB=OC 及三角形的内角和求出 ∠BOC=90︒，再由四边形OABC 为平行四边形，得出∠ABO=90︒即OB ⊥AB ，由此切线得到证明； （2）先求出半径52OC ==BOC S S 阴影扇形-S △BOC 即可求出阴影部分的面积.【详解】连接OB ，∵sin ∠OCB=22， ∴∠OCB=45︒，∵OB=OC ，∴∠OBC=∠OCB=45︒，∴∠BOC=90︒，∵四边形OABC 为平行四边形，∴OC ∥AB ，∴∠ABO=90︒,即OB ⊥AB ，∴AB 与⊙O 相切；（2）在Rt△OBC 中，BC=10，sin∠OCB=22， ∴52OC =∴=BOC S S 阴影扇形-S △BOC =2290(52)125(52)2536022ππ⨯-⨯=-.【点睛】此题考查圆的切线的判定定理、圆中阴影面积的求法，切线的判定口诀：有交点，连半径，证垂直；无交点，作垂直，证半径，熟记口诀并熟练用于解题是关键.在求阴影面积时，直线放在三角形或多边形中，弧线放在扇形中，再根据面积加减的关系求得.27．如图，已知反比例函数y＝kx的图象经过点A(4，m)，AB⊥x轴，且△AOB的面积为2.(1)求k和m的值；(2)若点C(x，y)也在反比例函数y＝kx的图象上，当－3≤x≤－1时，求函数值y的取值范围．【答案】 (1) k＝4， m＝1；(2)当－3≤x≤－1时，y的取值范围为－4≤y≤－43.【详解】试题分析：（1）根据反比例函数系数k的几何意义先得到k的值，然后把点A的坐标代入反比例函数解析式，可求出k的值；（2）先分别求出x=﹣3和﹣1时y的值，再根据反比例函数的性质求解．试题解析：（1）∵△AOB的面积为2，∴k=4，∴反比例函数解析式为4yx=，∵A（4，m），∴m=44=1；（2）∵当x=﹣3时，y=﹣43；当x=﹣1时，y=﹣4，又∵反比例函数4yx=在x＜0时，y随x的增大而减小，∴当﹣3≤x≤﹣1时，y的取值范围为﹣4≤y≤﹣43．考点：反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．点P（﹣1，2）关于原点对称的点Q的坐标为（）A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1．﹣2）D．（﹣1，﹣2）【答案】C【分析】根据关于原点对称两个点坐标关系：横、纵坐标均互为相反数可得答案．【详解】解：点P（﹣1，2）关于原点对称的点Q的坐标为（1，﹣2），故选：C．【点睛】此题考查的是求一个点关于原点对称的对称点，掌握关于原点对称两个点坐标关系：横、纵坐标均互为相反数是解决此题的关键．2．如图，等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上，若a∥b，∠1=30°，则∠2的度数为（）A．30°B．15°C．10°D．20°【答案】B【解析】分析：由等腰直角三角形的性质和平行线的性质求出∠ACD=60°，即可得出∠2的度数．详解：如图所示：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=90°，∠ACB=45°，∴∠1+∠BAC=30°+90°=120°，∵a∥b，∴∠ACD=180°-120°=60°，∴∠2=∠ACD-∠ACB=60°-45°=15°；故选B．点睛：本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，由平行线的性质求出∠ACD的度数是解决问题的关键．3．已知坐标平面上有一直线L，其方程式为y+2=0，且L与二次函数y=3x2+a的图形相交于A，B两点：与二次函数y=﹣2x2+b的图形相交于C，D两点，其中a、b为整数．若AB=2，CD=1．则a+b之值为何？（ ）A ．1B ．9C ．16D ．21【答案】A【解析】分析：判断出A 、C 两点坐标，利用待定系数法求出a 、b 即可；详解：如图，由题意知：A （1，﹣2），C （2，﹣2），分别代入y=3x 2+a ，y=﹣2x 2+b 可得a=﹣5，b=6，∴a+b=1，故选A ．点睛：本题考查二次函数图形上点的坐标特征，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，判断出A 、C 两点坐标是解决问题的关键．4．二次函数215322y x x =++化为()2y x h k =-+的形式，结果正确的是（ ） A ．()21322y x =+- B ．()21322y x =-+ C ．()21322y x =-- D ．()21322y x =++ 【答案】A【分析】将选项展开后与原式对比即可；【详解】A ：()21322y x =+-221915=x +3x+-2=x +3x+2222，故正确； B ：()21322y x =-+2219113=x -3x++2=x -3x+2222，故错误； C ：()21322y x =--221915=x -3x+-2=x -3x+2222，故错误； D ：()21322y x =++2219113=x +3x++2=x +3x+2222，故错误； 故选A.【点睛】本题主要考查了二次函数的三种形式，掌握二次函数的三种形式是解题的关键.5．把方程2310x x +-=的左边配方后可得方程（ ）A ．2313()24x +=B ．235 ()24x +=C ．2313 ()24x -=D ．235 ()24x -= 【答案】A 【分析】首先把常数项1-移项后，再在左右两边同时加上一次项系数3的一半的平方，继而可求得答案. 【详解】2310x x +-=，∴231x x +=， ∴29931+44x x ++=， ∴231324x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 故选：A .【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程的知识，此题比较简单，注意掌握配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.6．下列函数中，y 关于x 的二次函数是( )A ．y ＝ax 2+bx+cB ．y ＝x(x ﹣1)C ．y=21x D ．y ＝(x ﹣1)2﹣x 2 【答案】B【分析】判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是.【详解】A.当a=0时， y=ax 2+bx+c= bx+c ，不是二次函数，故不符合题意；B. y=x （x ﹣1）=x 2-x ，是二次函数，故符合题意；C. 21y x= 的自变量在分母中，不是二次函数，故不符合题意； D. y=（x ﹣1）2﹣x 2=-2x+1，不是二次函数，故不符合题意；故选B.【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，据此求解即可.7．如图，向量OA 与OB 均为单位向量，且OA ⊥OB ，令n =OA +OB ，则||n =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2 【答案】B 【解析】根据向量的运算法则可得: n =()222OA OB +=,故选B.8．已知2x=3y(y≠0)，则下面结论成立的是（ ）A ．32x y =B ．23x y= C ．23x y = D ．23x y = 【答案】A【解析】试题解析：A 、两边都除以2y ，得32x y =，故A 符合题意； B 、两边除以不同的整式，故B 不符合题意；C 、两边都除以2y ，得32x y =，故C 不符合题意； D 、两边除以不同的整式，故D 不符合题意；故选A ．9．上蔡县是古蔡国所在地，有着悠久的历史，拥有很多重点古迹．某中学九年级历史爱好者小组成员小华和小玲两人计划在寒假期间从“蔡国故城、白圭庙、伏羲画卦亭”三个古迹景点随机选择其中一个去 参观，两人恰好选择同一古迹 景点的概率是（ ）A ．13B ．23C ．19D ．29【答案】A【分析】直接利用树状图法列举出所有的可能，进而利用概率公式求出答案．；【详解】解：(1)设蔡国故城为“A ”, 白圭庙为“B ”, 伏羲画卦亭为“C ”,画树状图如下：由树形图可知所以可能的结果为AA，AB，AC，BA，BB，BC，CA，CB，CC；选择同一古迹景点的结果为AA，BB，CC．∴两人恰好选择同一古迹景点的概率是: 31 93 =．故选A．【点睛】本题涉及列表法和树状图法以及相关概率知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．10．已知点E在半径为5的⊙O上运动，AB是⊙O的一条弦且AB=8，则使△ABE的面积为8的点E共有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据△ABC的面积可将高求出，即⊙O上的点到AB的距离为高长的点都符合题意．【详解】过圆心向弦AB作垂线，再连接半径.设△ABE的高为h，由182ABES AB h=⨯⨯=可求2h=.由圆的对称性可知，有两个点符合要求；又弦心距3=.∵3+2=5，故将弦心距AB延长与⊙O相交，交点也符合要求，故符合要求的点有3个．故选C．考点：（1）垂径定理；（2）勾股定理．11．已知二次函数y=x2+2x-m与x轴没有交点，则m的取值范围是（）A．m＜-1 B．m＞-1 C．m＜-1且m≠0 D．m＞-1且m≠0【答案】A【分析】函数y=x2+2x-m的图象与x轴没有交点，用根的判别式：△＜0，即可求解．【详解】令y＝0，即：x2+2x-m＝0，△＝b2−4ac＝4+4m＜0，即：m＜-1，故选：A．【点睛】本题考查的是二次函数图象与x轴的交点，此类题目均是利用△＝b2−4ac和零之间的关系来确定图象与x 轴交点的数目，即：当△＞0时，函数与x轴有2个交点，当△＝0时，函数与x轴有1个交点，当△＜0时，函数与x轴无交点．12．如图，在▱ABCD中，F为BC的中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连接FF交DC于点G，则DG：CG＝（）A ．1：2B ．2：3C ．3：4D ．2：5【答案】B 【分析】由平行四边形的性质可得AD ＝BC ，AD ∥BC ，可证△DEG ∽△CFG ，可得DG DE CG CF =＝23． 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∵F 为BC 的中点，∴CF ＝BF ＝12BC ＝12AD ， ∵DE ：AD ＝1：3，∴DE ：CF ＝2：3，∵AD ∥BC ，∴△DEG ∽△CFG ， ∴DG DE CG CF =＝23． 故选：B ．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质.二、填空题（本题包括8个小题）13．已知方程x 2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是______．【答案】1【解析】试题分析：设方程的另一个解是a ，则1×a=1，解得：a=1．故答案是：1．考点：根与系数的关系．14．已知1x m =+和2x =时，多项式246x x ++的值相等，则m 的值等于 ______ ．【答案】7-或1【分析】根据1x m =+和2x =时，多项式246x x ++的值相等，得出()2(1)416m m ++++ 22426=+⨯+，解方程即可．【详解】解：1x m =+和2x =时，多项式246x x ++的值相等，()22(1)4162426m m ∴++++=+⨯+，化简整理，得()2(1)41120m m +++-=， ()()16120m m +++-=，解得7m =-或1．故答案为7-或1．【点睛】本题考查多项式以及代数式求值，正确理解题意是解题的关键．15．在平面直角坐标系中，点P （4，1）关于点（2，0）中心对称的点的坐标是_______.【答案】（0，-1）【分析】在平面直角坐标系中画出图形，根据已知条件列出方程并求解，从而确定点()4,1P 关于点()2,0中心对称的点的坐标．【详解】解：连接PA 并延长到点P '，使P A PA '=，设(),P x y '，过P 作PE x ⊥轴于点E ，如图：在P OA '△和PEA 中P OA PEA P AO PAE P A PA ∠=∠⎧⎪∠=='∠'⎨'⎪⎩∴()P OA PEA AAS '≌∴AO AE =，P O PE '=∵()4,1P ，()2,0A∴422x -=-，01y -=∴0x =，1y =-∴()0,1P '-故答案是：()0,1-【点睛】本题考查了一个点关于某个点对称的点的坐标，关键在于掌握点的坐标的变化规律．16．若23a b =，则a b b +＝_____． 【答案】53【解析】2,3a b = a b b +∴=2511b 33a +=+=. 17．如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，BC DC =，60A ∠=︒，点E 为AD 边上一点，连接BD .CE ，CE 与BD 交于点F ，且CE AB ∥，若8AB =，6CE =，则BC 的长为_______________.【答案】27【解析】由AB AD =，BC DC =知点A,C 都在BD 的垂直平分线上，因此，可连接AC 交BD 于点O ，易证ABD △是等边三角形，EDF 是等边三角形，根据等边三角形的性质对三角形中的线段进行等量转换即可求出OB,OC 的长度，应用勾股定理可求解.【详解】解：如图，连接AC 交BD 于点O∵AB AD =，BC DC =，60A ∠=︒，∴AC 垂直平分BD ，ABD △是等边三角形∴30BAO DAO ∠=∠=︒，8AB AD BD ===，4BO OD ==∵CE AB ∥∴30BAO ACE ∠=∠=︒，60CED BAD ∠=∠=︒∴30DAO ACE ∠=∠=︒∴6AE CE ==∴2DE AD AE =-=∵60CED ADB ∠=∠=︒∴EDF 是等边三角形∴2DE EF DF ===∴4CF CE EF =-=，2OF OD DF =-= ∴2223OC CF OF =-=∴2227BC BO OC =+=【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理，综合运用等边三角形的判定与性质进行线段间等量关系的转换是解题的关键.18．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的面积为20，顶点A 在y 轴上，顶点C 在x 轴上，顶点D在双曲线(0)k y x x =>的图象上，边CD 交y 轴于点E ，若CE ED =，则k 的值为______.【答案】4【分析】过D 作DF ⊥x 轴并延长FD ，过A 作AG ⊥DF 于点G ，利用正方形的性质易证△ADG ≌△DCF ，得到AG=DF ，设D 点横坐标为m ，则OF=AG=DF=m ，易得OE 为△CDF 的中位线，进而得到OF=OC ，然后利用勾股定理建立方程求出2m =4，进而求出k.【详解】如图，过D 作DF ⊥x 轴并延长FD ，过A 作AG ⊥DF 于点G ，∵四边形ABCD 为正方形，∴CD=AD ，∠ADC=90°∴∠ADG+∠CDF=90°又∵∠DCF+∠CDF=90°∴∠ADG=∠DCF在△ADG 和△DCF 中，∵∠AGD=∠DFC=90°，∠ADG=∠DCF ，AD=CD∴△ADG ≌△DCF （AAS ）∴AG=DF设D 点横坐标为m ，则OF=AG=DF=m ，∴D 点坐标为(m,m)∵OE ∥DF ，CE=ED∴OE 为△CDF 的中位线，∴OF=OC∴CF=2m在Rt △CDF 中，222CF DF =CD +∴224m m =20+解得2m =4又∵D 点坐标为(m,m)∴2k=m =4故答案为：4.【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合问题，需要熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质以及勾股定理，解题的关键是作出辅助线，利用全等三角形推出点D 的横纵坐标相等.三、解答题（本题包括8个小题）19．元旦游园活动中，小文，小美，小红三位同学正在搬各自的椅子准备进行“抢凳子”游戏，看见李老师来了，小文立即邀请李老师参加，游戏规则如下：将三位同学的椅子背靠背放在教室中央，四人围着椅子绕圈行走，在行走过程中裁判员随机喊停，听到“停”后四人迅速抢坐在一张椅子上，没有抢坐到椅子的人淘汰，不能进入下一轮游戏.（1）下列事件是必然事件的是 .A ．李老师被淘汰B ．小文抢坐到自己带来的椅子C ．小红抢坐到小亮带来的椅子D ．有两位同学可以进入下一轮游戏（2）如果李老师没有抢坐到任何一张椅子，三位同学都抢坐到了椅子但都没有抢坐到自己带来的椅子（记为事件A ），求出事件A 的概率，请用树状图法或列表法加以说明.【答案】（1）D ；（2）图见解析，13【分析】（1）根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义求解可得；（2）根据题意画出树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【详解】解：（1）A 、王老师被淘汰是随机事件；B 、小明抢坐到自己带来的椅子是随机事件；。
2019-2020学年上海市松江区届九年级上册期末教学质量数学试题有答案【优质版】
松江区2019学年度第一学期期末质量抽测初三数学（满分150分，完卷时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．已知在Rt △ABC 中，∠C=90o ，如果BC =2，∠A=，则AC 的长为（ D ）（A ）sin 2；（B ）cos 2；（C ）tan 2；（D ）cot 2．2．下列抛物线中，过原点的抛物线是（ C ）（A ）12x y；（B ）21x y ；（C ）x x y 2；（D ）12x x y . 3．小明身高 1.5米，在某一时刻的影长为2米，同时测得教学大楼的影长为60米，则教学大楼的高度应为（A ）（A ）45米；（B ）40米；（C ）90米；（D ）80米．4．已知非零向量a ，b ，c ，下列条件中，不能判定a ∥b 的是（ B ）（A ）a ∥c ，b ∥c ；（B ）b a 2；（C ）a =b 2；（D ）a =c 2，b =c ．5．如图，在□ABCD 中，点E 是边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F.下列各式中，错误的是（ C ）（A ）FC FE ABAE；（B ）AE AF AB DF ；（C ）AEAF AB BC ；（D ）BC AF BEAE ．6．如图，已知在△ABC 中，31cos A ，BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，联结EF ，那么△AEF 和△ABC 的周长比为（ B ）（A ）1︰2；（B ）1︰3；（C ）1︰4；（D ）1︰9．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知34ab ，则2aab 的值为76．8．计算：n mn m 2213=_____n m 421________．9．已知抛物线x x k y 312的开口向下，那么k 的取值范围是____1k _________．10．把抛物线2x y 向右平移4个单位，所得抛物线的解析式为______24x y ___________．C D EF B A （第5题图）（第6题图）A E CF B11．已知在△ABC 中，∠C=90°，43sin A ，BC=6，则AB 的长是____8________．12．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、C 、E 和点B 、D 、F ，如果AC ︰CE=3︰5，BF=9，那么DF =___845_______．13．已知点A （2，y 1）、B （5，y 2）在抛物线12x y 上，那么y 1_>__y 2．（填“﹥”、“=”或“﹤”）14．已知抛物线c bx ax y 2过（-1，1）和（5，1）两点，那么该抛物线的对称轴是直线___2x _____．15．在△ABC 中，AB=AC=5，BC=8，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 是△ABC 的中线，AD 与BE 相交于点G ，那么AG 的长为_____2________．16．在一个距离地面5米高的平台上测得一旗杆底部的俯角为30°，旗杆顶部的仰角为45°，则该旗杆的高度为____355_________米．（结果保留根号）17．如图，在Rt △ABC 中，90ACB°，3BC ，4AC ，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为___67____．18．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=9，32cosB ，把△ABC 绕着点C 旋转，使点B 与AB 边上的点D 重合，点A 落在点E ，则点A 、E 之间的距离为__54____．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：30cot 145cos 260cos 30tan 360sin 解：原式=3122221333233123）（1211220．（本题满分10分，每小题各5分） AD BE C （第17题图） D B C E A （第18题图）l 1l 2（第12题图）A BC DEF如图，已知点D 是△ABC 的边BC 上一点，且CD BD 21，设a AB ，b BC .（1）求向量AD （用向量a 、b 表示）；（2）求作向量AC 在a 、b 方向上的分向量.（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）解：（1）∵CD BD 21，∴BCBD 31∵b BC ，∴b BD 31∵BD AB AD ，且aAB ∴ba AD 31（2）解：所以，向量AB 、AE 即为所求的分向量21．（本题满分10分，每小题各5分）如图，已知AC ∥BD ，AB 和CD 相交于点E ，AC=6,BD=4，F 是BC 上一点，3:2:EFC BEF S S .（1）求EF 的长；（2）如果△BEF 的面积为4,求△ABC 的面积.解：（1）∵BD AC ∥，∴DBACDE CE ∵46BD AC ，，∴2346DE CE ∵△BEF 和△CEF 同高，且3:2:CEF BEF S S ，∴23BF CF ∴BFCFDE CE ∴BDEF ∥∴BC CFBD EF ，∴534EF ，∴512EF （2）∵BD AC ∥，BD EF ∥，∴ACEF ∥∴△BEF ∽△ABC∴2BCBF S S ABC BEF ∵32CF BF ，∴52BC BF ，∵4BEF S ∴2524ABC S ∴25ABC S （第20题图）A BC D （第21题图）C F ED B A EA B CD22．（本题满分10分，每小题各5分）某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC ，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB 所在的直线与CD 平行），层高AD 为8米，∠ACD =20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头，A 、B 之间必须达到一定的距离.（1）要使身高 2.26米的姚明乘坐自动扶梯时不碰头，那么A 、B 之间的距离至少要多少米？（精确到0.1米）（2）如果自动扶梯改为由AE 、EF 、FC 三段组成（如图中虚线所示），中间段EF 为平台（即EF ∥DC ），AE 段和FC 段的坡度i=1︰2，求平台EF 的长度.（精确到0.1米）（参考数据：34.020sin ，94.020cos ，36.020tan ）解：（1）联结AB ，作BG ⊥AB 交AC 于点G ，则∠ABG=90°∵AB ∥CD ，∴∠BAG=∠ACD=20°在Rt △ABG 中，ABBGBAG tan ∵BG=2.26，36.020tan ，∴AB 26.236.0，∴3.6AB 答：A 、B 之间的距离至少要6.3米.（2）方法一:设直线EF 交AD 于点P ，作CQ ⊥EF 于点Q∵AE 和FC 的坡度为1︰2，∴21FQ CQ PE AP设AP=x ，则PE=2x ，PD =8-x ，∵EF ∥DC ，∴CQ=PD=8-x∴FQ=2（8-x ）=16-2x在Rt △ACD 中，CDADACD tan ∵AD=8，∠ACD=20°，∴CD ≈22.22∵ PE+EF +FQ =CD ，∴2x+EF+16-2x=22.22，∴EF =6.22≈6.2答：平台EF 的长度约为 6.2米.方法二:延长AE 交DC 于点M∵AE 和FC 的坡度为1︰2，即AM 和FC 的坡度为1︰2∴tan ∠AMD =tan ∠FCD∵∠AMD 和∠FCD 都是锐角，∴∠AMD =∠FCD ，∴AM ∥FC∵EF ∥DC ，∴四边形EMCF 是平行四边形，∴EF =MC（一楼地面）（第22题图）8A D EF C（二楼地面）B 小心碰头∵21DM AD，AD =8，∴DM =16在Rt △ACD 中，CDADACD tan ∵AD=8，∠ACD=20°，∴CD ≈22.22∴GC=CD -DG =6.22，∴EF=6.22≈6.2答：平台EF 的长度约为 6.2米.23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°,D 是斜边AB 上的中点，E 是边BC 上的点，AE 与CD 交于点F ，且CB CE AC 2. （1）求证：AE ⊥CD ；（2）联结BF,如果点E 是BC 中点,求证:∠ EBF=∠EAB.证明：（1）∵CB CE AC 2，∴AC CB CE AC ，又∵∠ACB=∠ECA=90°∴△ACB ∽△ECA∴∠ABC=∠EAC∵点D 是AB 的中点，∴CD=AD∴∠ACD=∠CAD∵∠CAD+∠ABC=90°，∴∠ACD +∠EAC=90°∴∠AFC =90°，∴AE ⊥CD（2）∵AE ⊥CD ，∴∠EFC =90°，∴∠ACE=∠EFC又∵∠AEC=∠CEF ，∴△ECF ∽△EAC∴ECEF EA EC∵点E 是BC 的中点，∴CE=BE ，∴BEEF EA BE ∵∠BEF =∠AEB ，∴△BEF ∽△AEB∴∠EBF =∠EAB 24．（本题满分12分，每小题各4分）如图，抛物线c bx x y 2过点B(3，0)，C(0，3)，D 为抛物线的顶点.（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）点C 关于抛物线c bx x y 2对称轴的对称点为E 点，联结BC ，BE ，求∠CBE 的正切值；（3）点M 是抛物线对称轴上一点，且△DMB 和△BCE 相似，求点M 坐标. DC AB yxO C ADFBE （第23题图）解：（1）∵抛物线c bx x y2经过点B （3,0）和点C （0,3）∴3039ccb 解得32c b ∴抛物线解析式为322x x y 由413222x x x y 得抛物线顶点D （1,4）（2）由（1）可知抛物线对称轴为直线1x ，∵点E 与点C （0,3）关于直线1x 对称，∴点E （2，3）过点E 作EH ⊥BC 于点H ，由OC=OB=3得BC=23∵OC CE EHBC S BCE 2121且CE=2，∴3223EH 得2EH ∵∠ECH =∠CBO=45°，∴CH=2EH，∴22BH ∴在Rt △BEH 中，21222tan BH EHCBE (3) 当点M 在点D 的下方时设M （1，m ），对称轴交x 轴于点P ，则P （1，0），∴BP=2，DP=4 ∴21tan BDP ，∵21tan CBE ，∠CBE 、∠BDP 均为锐角∴∠CBE=∠BDP∵△DMB ∽△BEC∴BC BE DBDM 或BE BC DB DM ①BC BE DB DM ，∵DM =4-m ，52DB ，23BC，10BE ∴2310524m，解得32m ，∴点M （1，32）②BE BCDB DM，则1023524m，解得2m ∴点M （1，2）当点M 在点D 的上方时，根据题意知点M 不存在.综上所述，点M 的坐标为（1，32）或（1，2）25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知四边形ABCD 是矩形，43cot ADB ，AB=16．点E 在射线BC 上，点F 在线段BD上，且∠DEF =∠ADB ．（1）求线段BD 的长；（2）设BE=x ，△DEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当△DEF 为等腰三角形时，求线段BE 的长．解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=90°在Rt △BAD 中，43cot AB AD ADB ，AB=16，∴AD =12 ∴2022AB AD BD （2）∵AD ∥BC ，∴DBC ADB，∵ADB DEF ∴DBC DEF ，∵BDE EDF ，∴△EDF ∽△BDE ∴2BD DES S BDEDEF ∵BC=AD=12，BE=x ，∴CE=12x ，∵CD =AB=16 ∴在Rt △CDE 中，400241216222x x x DE∵x x CDBE S BDE 8162121，∴2220400248x x x y ∴504002423x x x y定义域240x （3）∵△EDF ∽△BDE ，∴当△DEF 是等腰三角形时，△BDE 也是等腰三角形ⅰ）当BE=BD 时∵BD =20，∴BE=20ⅱ）当DE =DB 时∵DC ⊥BE ，∴BC=CE=12∴BE=24ⅲ）当EB=ED 时作EH ⊥BD 于H ，则BH =1021BDADB HBEcos cos ，即BE BH BD AD∴BE 102012，∴350BE 综上所述，当△DEF 时等腰三角形时，线段BE 的长为20或24或350.（第25题图）A F E DCB。
∥3套精选试卷∥2019年上海市松江区九年级上学期数学期末学业水平测试试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意） 1．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．【详解】解：A 、不是轴对称图形，故此选项错误； B 、不是轴对称图形，故此选项错误； C 、是轴对称图形，故此选项正确； D 、不是轴对称图形，故此选项错误． 故选C ． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．关于x 的一元二次方程()2a 1x 2x 30--+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．－1【答案】C【分析】根据一元二次方程的根的判别式可得答案.【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()2a 1x 2x 30--+=有实数根，∴()a 1a 10{{4412a 10a 3≠-≠⇒∆=--≥≤.即a 的取值范围是4a 3≤且a 1≠. ∴整数a 的最大值为0. 故选C. 【点睛】本题考查了一元二次方程，熟练掌握根的判别式与根的关系是解题关键. 3．下表是一组二次函数235y x x =+-的自变量x 与函数值y 的对应值：11.11.21.31.4-1-0.490.040.591.16那么方程2350x x +-=的一个近似根是( ) A ．1 B ．1.1C ．1.2D ．1.3【答案】C【详解】解：观察表格得：方程x 2+3x ﹣5=0的一个近似根为1.2， 故选C考点：图象法求一元二次方程的近似根．4．在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为1.5米的人的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是（ ）. A ．18米 B ．16米 C ．20米D ．15米【答案】A【解析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【详解】根据题意解：标杆的高：标杆的影长=旗杆的高：旗杆的影长， 即1.5：2.5=旗杆的高：30， ∴旗杆的高=1.5302.5⨯=18米． 故选：A ． 【点睛】考查了相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，求解即可得出旗杆的高．5．正六边形的边心距与半径之比为（ ） A ．3B 3C 32D ．23【答案】C【分析】我们可设正六边形的边长为2，欲求半径、边心距之比，我们画出图形，通过构造直角三角形，解直角三角形即可得出．【详解】如右图所示，边长AB ＝2； 又该多边形为正六边形， 故∠OBA ＝60°，在Rt △BOG 中，BG ＝1，OG 3 所以AB ＝2，即半径、边心距之比为3:2．故选：C ．【点睛】此题主要考查正多边形边长的计算问题，要求学生熟练掌握应用．6．在一个布袋里放有1个红球，2个白球和3个黑球，它们除了颜色外其余都相同，从布袋中任意摸出一个球是白球的概率（ ）A ．12B ．25 C ．13D ．16【答案】C【分析】根据概率公式，求摸到白球的概率，即用白球除以小球总个数即可得出得到黑球的概率． 【详解】∵在一个布袋里放有1个红球，2个白球和3个黑球，它们除了颜色外其余都相同， ∴从布袋中任意摸出一个球是白球的概率为：21=1+2+33．故选：C ． 【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，由已知求出小球总个数再利用概率公式求出是解决问题的关键． 7．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列说法中不正确．．．的是( )A ．12DE BC =B ．AD AEAB AC= C ．△ADE ∽△ABCD ．:1:2ADEABCSS=【答案】D【解析】∵在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点， ∴DE ∥BC ，DE=12BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，AD AEAB AC=， ∴21()4ADE ABCS DE SBC ==. 由此可知：A 、B 、C 三个选项中的结论正确，D 选项中结论错误.故选D.8．一组数据1，2，3，3，4，1．若添加一个数据3，则下列统计量中，发生变化的是（ ） A ．平均数 B ．众数C ．中位数D ．方差【答案】D【解析】A. ∵原平均数是：(1+2+3+3+4+1) ÷6=3; 添加一个数据3后的平均数是：(1+2+3+3+4+1+3) ÷7=3; ∴平均数不发生变化. B. ∵原众数是：3；添加一个数据3后的众数是：3； ∴众数不发生变化； C. ∵原中位数是：3；添加一个数据3后的中位数是：3； ∴中位数不发生变化；D. ∵原方差是：()()()()()22222313233234355=63-+-+-⨯+-+-； 添加一个数据3后的方差是：()()()()()222223132333343510=77-+-+-⨯+-+-；∴方差发生了变化. 故选D.点睛：本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数的，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键． 9．如图，OA 交⊙O 于点B ，AD 切⊙O 于点D ，点C 在⊙O 上．若∠A ＝40°，则∠C 为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°【答案】B【分析】根据切线的性质得到∠ODA ＝90°，根据直角三角形的性质求出∠DOA ，根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵AD 切O 于点D∴OD AD ⊥ ∴90ODA =∠°∵40A ∠=︒∴904050DOA ∠=︒-︒=︒ ∴1252BCD DOA ∠=∠=︒ 故选：B 【点睛】本题考查了切线的性质：圆心与切点的连线垂直切线、圆周角定理以及直角三角形两锐角互余的性质，结合图形认真推导即可得解．10．如图，等边ABC 的边长为 8,AD 是 BC 边上的中线，点E 是 AC 边上的中点. 如果点P 是 AD 上的动点，那么 EP CP +的最 小值为（ ）A ．4B ．23C ．33D ．43【答案】D【分析】要求EP+CP 的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP ，CP 的值，从而找出其最小值求解 【详解】连接BE ，与AD 交于点G ．∵△ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的中线， ∴AD ⊥BC ，∴AD 是BC 的垂直平分线， ∴点C 关于AD 的对称点为点B ， ∴BE 就是EP+CP 的最小值．∴G 点就是所求点，即点G 与点P 重合， ∵等边△ABC 的边长为8，E 为AC 的中点， ∴CE=4，BE ⊥AC ，在直角△BEC 中，==，∴EP+CP 的最小值为 故选D. 【点睛】此题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的对称性、三线合一的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.11．若抛物线y=x 2-2x-1与x 轴的一个交点坐标为（m ，0），则代数式2m 2-4m+2017的值为（ ） A ．2019 B ．2018C ．2017D ．2015【答案】A【分析】将()0m ，代入抛物线的解析式中，可得2210m m --=，变形为2242m m -=然后代入原式即可求出答案．【详解】将()0m ，代入221y x x =--， ∴2210m m --=， 变形得：2242m m -=，∴2242017220172019m m -+=+=， 故选：A ． 【点睛】本题考查抛物线的与x 轴的交点，解题的关键是根据题意得出2242m m -=，本题属于基础题型． 12．已知x=1是方程x 2+px+1=0的一个实数根，则p 的值是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．﹣2【答案】D【分析】把x=1代入x 2+px+1=0，即可求得p 的值. 【详解】把x=1代入把x=1代入x 2+px+1=0，得 1+p+1=0， ∴p=-2. 故选D. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解得定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键. 二、填空题（本题包括8个小题）13．若弧长为4π的扇形的圆心角为直角，则该扇形的半径为 ．【答案】1．【分析】根据扇形的弧长公式计算即可， 【详解】∵扇形的圆心角为90°，弧长为4π，∴rl 180n π=， 即4π=90?180r π，则扇形的半径r=1． 故答案为1考点：弧长的计算．14．已知一个几何体的主视图与俯视图如图所示，则该几何体可能是__________.【答案】三棱柱【分析】根据主视图和俯视图的特征判断即可.【详解】解：根据主视图可知：此几何体前表面应为长方形 根据俯视图可知，此几何体的上表面为三角形 ∴该几何体可能是三棱柱. 故答案为：三棱柱. 【点睛】此题考查的是根据主视图和俯视图判断几何体的形状，掌握常见几何体的三视图是解决此题的关键. 15．某养鱼专业户为了估计鱼塘中鱼的总条数，他先从鱼塘中捞出100条，将每条鱼作了记号后放回水中，当它们完全混合于鱼群后，再从鱼塘中捞出100条鱼，发现其中带记号的鱼有10条，估计该鱼塘里约有________ 条鱼. 【答案】1000【解析】试题考查知识点：统计初步知识抽样调查思路分析：第二次捞出来的100条鱼中有10条带记号的，说明带记号的鱼约占整个池塘鱼的总数的十分之一． 具体解答过程：第二次捞出来的100条鱼中有10条带记号的，说明带记号的鱼约占整个池塘鱼的总数的比例为：∵先从鱼塘中捞出后作完记号又放回水中的鱼有100条 ∴该鱼塘里总条数约为：（条）试题点评：16．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y=x 2﹣2x+2上运动．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连结BD ，则对角线BD 的最小值为_______．【答案】1【分析】根据矩形的性质得到BD=AC ，所以求BD 的最小值就是求AC 的最小值，当点A 在抛物线顶点的时候AC 是最小的．【详解】解：∵()222211y x x x =-+=-+， ∴抛物线的顶点坐标为（1，1）， ∵四边形ABCD 为矩形， ∴BD=AC ， 而AC ⊥x 轴，∴AC 的长等于点A 的纵坐标，当点A 在抛物线的顶点时，点A 到x 轴的距离最小，最小值为1， ∴对角线BD 的最小值为1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查矩形的性质和二次函数图象的性质，解题的关键是通过矩形的性质将要求的BD 转化成可以求最小值的AC ．17．计算211a a a ---的结果是_______.【答案】11a - 【分析】根据分式的加减运算法则，先通分，再加减.【详解】解：原式=()211a a a -+-=()()21111a a a a a -+---=2211a a a -+-=11a -. 故答案为：11a -. 【点睛】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序.18．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x 2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为_____． 【答案】13【分析】利用因式分解法解方程，得到14x =，29x =，再利用三角形的三边关系进行判断，然后计算三角形的周长即可.【详解】解：∵213360x x -+=， ∴(4)(9)0x x --=， ∴14x =，29x =， ∵369+=，∴29x =不符合题意，舍去； ∴三角形的周长为：36413++=； 故答案为：13. 【点睛】本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系的应用，解题的关键是正确求出第三边的长度，以及掌握三角形的三边关系.三、解答题（本题包括8个小题）19．某旅馆一共有客房30间，在国庆期间，老板通过观察记录发现，当所有房间都有旅客入住时，每间客房净赚600元，客房价格每提高50元，则会少租出去1个房间．同时没有旅客入住的房间，需要花费50元来进行卫生打理．（1）求出每天利润w 的最大值，并求出利润最大时，有多少间客房入住了旅客．（2）若老板希望每天的利润不低于19500元，且租出去的客房数量最少，求出此时每间客房的利润． 【答案】（1）21600元，8或9间；（2）15间，1元【分析】（1）设每个房间价格提高50x 元，可列利润w ＝（30﹣x ）（600+50x ）﹣50x ，将此函数配方为顶点式，即可得到答案；（2）将（1）中关系式﹣50x 2+850x+18000＝19500，求出x 的值，由租出去的客房数量最少即（30﹣x ）最小，得到x 取最大值15，再代入利润关系式求得每间客房的利润即可.【详解】解：（1）设每个房间价格提高50x元，则租出去的房间数量为（30﹣x）间，由题意得，利润w＝（30﹣x）（600+50x）﹣50x＝﹣50x2+850x+18000＝﹣50（x﹣8.5）2+21612.5因为x为正整数所以当x＝8或9时，利润w有最大值，w max＝21600；（2）当w＝19500时，﹣50x2+850x+18000＝19500解得x1＝2，x2＝15，∵要租出去的房间最少∴x＝15，此时每个房间的利润为600+50×15＝1．【点睛】此题考查二次函数的实际应用，正确理解题意列得函数关系式是解题的关键，注意（1）x应为正整数，故而x应为对称轴x=8.5两侧的整数8或9.20．如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x1-x-1顶点D的坐标为(, -).（1）△ABC是直角三角形，理由见解析；（3）.【解析】（1）把点A坐标代入抛物线即可得解析式，从而求得顶点坐标；（1）分别计算出三条边的长度，符合勾股定理可知其是直角三角形；（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，1），OC′=1，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小．【详解】解：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x1 +bx-1上∴× (-1 )1 +b× (-1) –1 = 0解得b =∴抛物线的解析式为y=x1-x-1.y=x1-x-1 =(x1 -3x- 4 ) =(x-)1-,∴顶点D的坐标为(, -).（1）当x = 0时y = -1,∴C（0，-1），OC = 1．当y = 0时，x1-x-1 = 0，∴x1 = -1, x1 = 4∴B (4,0)∴OA =1, OB = 4, AB = 5.∵AB1 = 15, AC1 =OA1 +OC1 = 5, BC1 =OC1 +OB1 = 10,∴AC1 +BC1 =AB1.∴△ABC是直角三角形.（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，1），OC′=1，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC +MD的值最小．解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E.∵ED∥y轴, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM∴△C′OM∽△DEM.∴∴，∴m=．解法二：设直线C′D的解析式为y =kx +n ,则，解得n = 1，.∴.∴当y = 0时，，∴.21．如图，点A、点B的坐标分别为（4，0）、（0，3），将线段BA绕点A沿顺时针旋转90°，设点B旋转后的对应点是点B1，求点B1的坐标．【答案】B1点的坐标为（7，4）【分析】如图，作B1C⊥x轴于C，证明△ABO≌△B1AC得到AC=OB=3，B1C=OA=4，然后写出B1点的坐标．【详解】如图，作B1C⊥x轴于C．∵A（4，0）、B（0，3），∵OA＝4，OB＝3，∵线段BA绕点A沿顺时针旋转90°得A B1，∴BA＝A B1，且∠BA B1＝90°，∴∠BAO+∠B1AC＝90°而∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠B1AC，∴△ABO≌△B1AC，∴AC＝OB＝3，B1C＝OA＝4，∴OC＝OA+AC＝7，∴B1点的坐标为（7，4）．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．22．如图1是小区常见的漫步机，从侧面看如图2，踏板静止时，踏板连杆与立柱DE 上的线段AB 重合，BE 长为0.2米，当踏板连杆绕着点A 旋转到AC 处时，测得37CAB ∠=，此时点C 距离地面的高度CF 为0.44米．求：（1）踏板连杆AB 的长．（2）此时点C 到立柱DE 的距离．（参考数据：sin 370.60≈，cos370.80≈，tan 370.75≈）【答案】（1）1.2米 （2）0.72米【解析】（1）过点C 作CG ⊥AB 于G ，得到四边形CFEG 是矩形，根据矩形的性质得到EG ＝CF ＝0.44，故BG=0.24设AG ＝x ，求得AB ＝x+0.24，AC ＝AB ＝x+0.24，根据余弦的定义列方程即可求出x ，即可求出AB 的长；（2）利用正弦即可求出CG 的长.【详解】（1）过点C 作CG ⊥AB 于G ，则四边形CFEG 是矩形，∴EG ＝CF ＝0.44，故BG=0.24设AG ＝x ，∴AB ＝x+0.24，AC ＝AB ＝x+0.24，在Rt △ACG 中，∠AGC ＝90°，∠CAG ＝37°，cos ∠CAG ＝0.24AG x AC x =+＝0.8， 解得：x ＝0.96，经检验，x=0.96符合题意，∴AB ＝x+0.24=1.2（米），（2）点C 到立柱DE 的距离为CG ，故CG=ACsin37°=1.2×0.6=0.72（米）【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．23．某游乐场试营业期间，每天运营成本为1000元.经统计发现，每天售出的门票张数y （张）与门票售价x （元/张）之间满足一次函数4200y x =-+，设游乐场每天的利润为w （元）.（利润=票房收入－运营成本）（1）试求w 与x 之间的函数表达式.（2）游乐场将门票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？【答案】（1）w=242001000x x -+-;（2）游乐场将门票售价定为25元/张时，每天获利最大，最大利润是1500元【分析】（1）根据4200y x =-+及利润=票房收入－运营成本即可得出(4200)1000w x x =-+-化简即可.（2）根据二次函数的性质及对称轴公式即可得最大值，及x 的值.【详解】（1）根据题意，得2(4200)100042001000w x x x x =-+-=-+-.（2）∵242001000w x x =-+-中，40-<，∴w 有最大值. 当200252(4)x =-=⨯-时，w 最大，最大值为1500. 答：游乐场将门票售价定为25元/张时，每天获利最大，最大利润是1500元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，结合二次函数的性质即可得到最大值.24．已知关于x 的方程x 2-（m+3）x+m+1＝1．（1）求证：不论m 为何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）若方程一根为4，以此时方程两根为等腰三角形两边长，求此三角形的周长．【答案】（1）见解析；（2）263【分析】（1）根据判别式即可求出答案．（2）将x ＝4代入原方程可求出m 的值，求出m 的值后代入原方程即可求出x 的值．【详解】解：（1）由题意可知：△＝（m+3）2﹣4（m+1）＝m 2+2m+5＝m 2+2m+1+4＝（m+1）2+4，∵（m+1）2+4>1，∴△＞1，∴不论m 为何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）当x ＝4代入x 2﹣（m+3）x+m+1＝1得164(3)10m m -+++=解得m ＝53， 将m ＝53代入x 2﹣（m+3）x+m+1＝1得2148033x x -+= ∴原方程化为：3x 2﹣14x+8＝1，解得x ＝4或x ＝23腰长为23时，2244333+=<，构不成三角形； 腰长为4时， 该等腰三角形的周长为4+4+23＝263所以此三角形的周长为263. 【点睛】本题考查了一元二次方程，熟练的掌握一元二次方程的解法是解题的关键.25．计算：（11011)2-⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （2）332392y y x y x x ⎛⎫÷⋅- ⎪⎝⎭【答案】（1）1+；（2）6y -【分析】（1）分别根据二次根式的性质、0指数幂的意义和负整数指数幂的运算法则计算各项，再合并即可；（2）根据分式的乘方和分式的乘除混合运算法则解答即可．【详解】解：（1）原式=12+=1+； （2）原式3233293x y x y y x ⎛⎫=⨯⋅- ⎪⎝⎭6y =-． 【点睛】本题考查了二次根式的性质、0指数幂、负整数指数幂以及分式的乘方和分式的乘除混合运算等知识，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键．26．将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG ．（1）如图，当点E在BD上时．求证：FD＝CD；（2）当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．【答案】(1)见解析;(2)见解析.【分析】（1）先运用SAS判定△AED≌△FDE，可得DF=AE，再根据AE=AB=CD，即可得出CD=DF；（2）当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG=60°，即可得到旋转角α的度数．【详解】（1）由旋转可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，∴∠AEB＝∠ABE，又∵∠ABE+∠EDA＝90°＝∠AEB+∠DEF，∴∠EDA＝∠DEF，又∵DE＝ED，∴△AED≌△FDE（SAS），∴DF＝AE，又∵AE＝AB＝CD，∴CD＝DF；（2）如图，当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论：①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，∵GC＝GB，∴GH⊥BC，∴四边形ABHM是矩形，∴AM＝BH＝12AD＝12AG，∴GM垂直平分AD，∴GD＝GA＝DA，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋转角α＝60°；②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋转角α＝360°﹣60°＝300°．【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定（SAS）与性质的运用，解题关键是掌握旋转的性质、全等三角形的判定（SAS）与性质的运用．27．在一个不透明的布袋中，有三个除颜色外其它均相同的小球，其中两个黑色，一个红色.(1)请用表格或树状图求出：一次随机取出2个小球，颜色不同的概率.(2)如果老师在布袋中加入若干个红色小球.然后小明通过做实验的方式猜测加入的小球数，小明每次換出一个小球记录下慎色并放回，实验数据如下表：实验次数100 200 300 400 500 1000摸出红球78 147 228 304 373 752请你帮小明算出老师放入了多少个红色小球.【答案】（1）P=23；（2）加入了5个红球【分析】（1）利用列表法表示出所有可能，进而得出结论即可；（2）根据概率列出相应的方程，求解即可.【详解】（1）列表如图，黑1 黑2 红黑1 / （黑1，黑2）（黑1，红）黑2 （黑2，黑1）/ （黑2，红）红（红，黑1）（红，黑2）/一共有6种等可能事件，其中颜色不同的等可能事件有4种，∴颜色不同的概率为P=3（2）由图表可得摸到红球概率为3 4设加入了x个红球1x 3x ++=34解得x=5经检验x=5是原方程的解答：加入了5个红球。
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初三数学 第1页 共10页松江区2019学年度第一学期期末质量监控试卷初三数学（满分150分，完卷时间100分钟）2020.01考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1．已知二次函数c bx ax y ++=2（A ）＞0，＞0，＞0； （B ）＜0，＜0，＜0； a b c a b c （C ）＜0，＞0，＞0；（D ）＜0，＜0，＞0．a b c a b c 2．如果点A （1，3）、B （m ，3）是抛物线上两个不同的点，2(2)y a x h =-+ 那么m 的值为（▲）（A ）2;（B ）3;（C ）4;（D ）5.3．在以O 为坐标原点的直角坐标平面内,有一点A （3，4），射线OA 与x 轴正半轴的夹角为，那么的值为（ ▲ ）ααcos （A ）;（B ）;（C ）;（D ）.354345344．下列两个三角形不一定相似的是（▲）（A ）两条直角边的比都是2:3的两个直角三角形;（B ）腰与底的比都是2:3的两个等腰三角形;（C ）有一个内角为50°的两个直角三角形；（D ）有一个内角是50°的两个等腰三角形.5．如果，，且，下列结论正确的是 (▲)a b c += 3a b c -=（A ）；（B ）；=a b +20a b =（C ）a 与b方向相同；（D ）a 与b方向相反．（第1题图）初三数学 第2页 共10页6．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角，它们重叠部α分（图中阴影部分）的面积是1.5,那么的值为（▲）sin α（A ）;（B ）;（C ）;（D ）.34122332二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知：，那么= ▲ ． 23x y =2x yx y-+8．已知线段a 是线段b 、c 的比例中项，如果a =2，b =3，那么c = ▲ ． 9．如果两个相似三角形的面积比为3∶4，那么它们的相似比为 ▲ ． 10．已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP >BP ），若AP =2，则BP = ▲ ． 11．已知Rt △ABC 中，若∠C =90°，AC =3，BC =2，则∠A 的余切值为 ▲ ． 12．已知二次函数图像的对称轴为直线x =4，则 ▲ .（填()212f x x bx c =++()1f ()3f “>”或“<”）13．在直角坐标平面中，将抛物线先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，22(1)y x =+那么平移后的抛物线表达式是 ▲ .14．如图，已知D 是△ABC 的边AC 上一点，且.如果，，那么2AD DC =a AB =AC b =向量关于、的分解式是 ▲ .BDa b 15．如图, 在正方形网格中，点A ,B ,C 是小正方形的顶点，那么tan∠BAC 的值为 ▲ .16．如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米,宽度为30厘米.那么斜面AB 的坡度为 ▲ .18．如图，矩形ABCD 中，AD =1,AB =k .将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转90°得到矩形A ′BC ′D ′.联结A D ′,分别交边CD ,A ′B 于E 、F .如果,那么k = ▲.'AE F =(第15题图)CBA(第14题图)ACBD(第16题图)(第18题图)F ED C BAC′A′D′初三数学 第3页 共10页三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：223(2cos 45)3tan 302sin 60cos 60cot 30︒︒︒︒︒-+--20．（本题满分10分,第（1）小题4分，第（2）小题6分）已知二次函数.241y x x =--（1）将函数的解析式化为的形式，并指出该函数图像顶241y x x =--()k m x a y ++=2点B 坐标.（2）在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线与y 轴交点为C ，抛物线的对称241y x x =--轴与x 轴交点为A .求四边形OABC 的面积.21．（本题满分10分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,∠C =90°,AD=AB=13,BD=24.求边DC 的长.22．（本题满分10分）如图，小岛A 在港口P 的南偏西45°方向上，一艘船从港口P ，沿着正南方向，以每小时12海里的速度航行，1小时30分钟后到达B 处，在B 处测得小岛A 在它的南偏西60°的方向上.小岛A 离港口P 有多少海里?(第22题图)东CA DB(第21题图)23．（本题满分12分,第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，点D 、F 在△ABC 边AC 上，点E在边BC 上，且DE ∥AB ，.2CD CF CA =⋅（1）求证：EF ∥BD ；（2）如果，求证：.AC CF BC CE ⋅=⋅2BD DE BA =⋅24．（本题满分12分,第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A (3,0)，点B （0,3）.点M （m ，0）在线段OA 上（与点A ，O 不重合），过点M 作x 轴的垂线与线段AB 交于点P ，与抛物线交于点Q ，联结BQ ．（1）求抛物线表达式；（2）联结OP ，当∠BOP =∠PBQ 时，求PQ 的长度；（3）当△PBQ 25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）已知tan ∠MON =2，矩形 ABCD 的边AB 在射线OM 上，AD =2，AB =m ，CF ⊥ON ，垂足为点F.（1）如图（1），作AE ⊥ON ，垂足为点E.当m =2时,求线段EF 的长度；（2）如图（2），联结OC ，当m =2,且CD 平分∠FCO 第25题图（1）（第24题备用图）F CBADE (第23题图)第25题图（2）（第24题图）初三数学 第5页 共10页2019学年第一学期松江区初三数学期末质量监控试卷参考答案一、选择题：1.C ;2.B ;3.A ;4.D ;5.D ;6.C .二、填空题：7.; 8.;;;11.; 12.>;15431-3213.; 14.; 15.2; 16..22+1y x =23a b →→-+31:21+三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.解：原式…………………（5分）……（2分）……（1分）=……（2分）20．解:(1)……………（3分）2241(2)5y x x x =--=--顶点坐标为B (2,-5)……………（1分）(2)点A （2，0）、点B （2，-5），点C （0，-1）……………（2分）……………（4分）1(15)262OABC S =+⨯=21.解：作AE ⊥BD ，垂足为E ……………（1分）∵AD =AB ∴BE =DE初三数学 第6页 共10页∵BD =24∴DE =12……………………………（1分）∴AE =5……………………………（1分）∴…………………（2分）5sin 13ADB ∠=∵AD ∥BC∴…………………（1分）ADB CBD ∠=∠∴…………………（1分）5sin 13CBD ∠=∴……（2分）5sin 2413CD CD CBD BD ∠===∴……………………………（1分）12013CD =22.解:作AC ⊥PB ，垂足为C ……………（1分）…………………（1分）12 1.518PB =⨯=令BC =x ……………………………（1分）在Rt △ABC 中，∵∠ABC =60°∴…………（1分）AC =在Rt △APC 中，∵∠APC =45°∴…………（1分）AC PC ==…………（1分）18x =+解得…………（1分）9x =+∴PC =…………（1分）27∴（1分）AP ==+答:小岛A离港口P 有海里.………（1分）+(第21题图)东初三数学 第7页 共10页23．证明：（1）∵DE ∥AB∴………（1分）CD CECA CB=∵2CD CF CA=⋅∴………（1分）CD CFCA CD =∴………（2分）CE CF CB CD=∴EF ∥BD ………（1分）(2)∵AC CF BC CE ⋅=⋅∴CA CECB CF=∵∠C =∠C∴△CAB ∽△CEF ………（1分）∴∠CAB =∠CEF ………（1分）∵EF ∥BD∴∠CBD =∠CEF ………（1分）∴∠CBD =∠CAB ………（1分）∵DE ∥AB ，∴∠BDE =∠DBA ………（1分）∴△BDE ∽△ABD ………（1分）∴BD ABDE BD=∴………（1分）2BD DE BA =⋅24.解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A (3,0)，点B （0,3）.∴………………………………（1分）3,930.c b c =⎧⎨-++=⎩∴b =2，c =3………（1分）∴抛物线表达式为y ＝﹣x 2+2x +3………（1分）A(第23题图)A(第23题图)（第24题图）初三数学 第8页 共（2）∵PM ⊥x 轴∴PM ∥y 轴∴∠OBP =∠BPQ ∵∠BOP =∠PBQ∴△OBP ∽△BPQ ………………（1分）∴OB BPBP PQ=∴………（1分）2BP OB PQ =⋅∴22)3(2+3+3)m m m =-+-即222-39m m m =+解得(m =0舍去)………（1分）95m =………（1分）5425PQ =(3)当QP =QP 时点Q (2,3)此时m =2………（1分）当BQ =BP 时，点Q （1,4）此时m =1………（2分）当PB =PQ 时2233m m m =-++-+（2分）3m =25．解：（1）过点D 作DP ⊥CF 于点P ，交AE 于点Q 则∠PDC =∠DAQ =∠MON ……（1分）∵在Rt △CDP 中DC =2,tan ∠PDC =2可得,……（1分）PD =第25题图（1）初三数学 第9页 共10页在Rt △ADQ 中AD =2,tan ∠DAQ =2可得,……（1分）QD =∴……（1分）QP =∴（1分）EF =(2)∵CD 平分∠FCO 时∴∠FOD =∠OCD ∵CD ∥OM ∴∠COM =∠OCD∴……（1分）21tan 2CB COM OB OB ∠===∴OB =4……（1分）∴（1分）OC =延长CD 交ON 于K,过点K 作KQ ⊥OM ，垂足为Q KQ=2,OQ=1,CK=3（1分）CF =……（1分）3sin 5COF ∠=(3)由题意可知∠CDF =∠ADF=135°……（1分）当∠FCD =∠FAD 时△FCD ≌△FADCD =AD =2,即m =2……（1分）当∠FCD =∠AFD ∵△CDF ∽△FDA初三数学 第10页 共10页∴DC DFDF DA=∴……（1分）2DF DC DA =⋅令HF =t ,则DH =t 1tan FCD +m 2t t ∠==t =mDF ==∴……（1分）2)2m =∴m =1(m =0舍去)……（1分）。
〖汇总3套试卷〗上海市松江区2019年九年级上学期期末调研数学试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点为A(1，0)，对称轴是直线x＝－1，则ax2＋bx＋c ＝0的解是( )A．x1＝－3，x2＝1 B．x1＝3，x2＝1 C．x＝－3 D．x＝－2【答案】A【解析】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点为A(1，0)，对称轴是直线x＝－1，由此可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3,0），所以方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝－3，x2＝1，故选A.2．如图，在33的正方形网格中，有三个小正方形已经涂成灰色，若再任意涂灰2个白色小正方形（每个白色小正方形被涂成灰色的可能性相同），使新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是（）A．16B．15C．415D．13【答案】C【分析】根据题目意思我们可以得出总共有15种可能，而能构成轴对称图形的可能有4种，然后根据概率公式可计算出新构成的黑色部分的图形是轴对称图形的概率．【详解】解：如图所示可以涂成黑色的组合有：1，2；1，3；1，4；1，5；1，6；2，3；2，4；2，5；2，6；3，4；3，5；3，6；4，5；4，6；5，6；一共有15种可能构成黑色部分的图形是轴对称图形的：1，4；3，6；2，3；4，5；∴构成黑色部分的图形是轴对称图形的概率：4 15故选：C．【点睛】此题主要考查的是利用轴对称设计图案，正确得出所有组合是解题的关键．3．若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m≥1B ．m≤1C ．m ＞1D ．m ＜1 【答案】D【解析】分析：根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围．详解：∵方程2x 2x m 0-+=有两个不相同的实数根，∴()2240m =-->，解得：m ＜1．故选D ．点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 4．若方程x 2+3x+c ＝0有实数根，则c 的取值范围是（ ）A ．c≤94B ．c≤49C ．c≥49D ．c≥94【答案】A【分析】由方程x 2+3x+c=0有实数解，根据根的判别式的意义得到△≥0，即32-4×1×c≥0，解不等式即可得到c 的取值范围．【详解】解：∵方程x 2+3x+c ＝0有实数根，∴△＝b 2﹣4ac ＝32﹣4×1×c≥0，解得：c≤94， 故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式，需要熟记：当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根.5．方程2x （x ﹣5）＝6（x ﹣5）的根是（ ）A ．x ＝5B ．x ＝﹣5C ．1x ＝﹣5，2x ＝3D ． 1x ＝5，2x ＝3【答案】D【分析】利用因式分解法求解可得．【详解】解：∵2x （x ﹣5）＝6（x ﹣5）2x （x ﹣5）﹣6（x ﹣5）＝0，∴（x ﹣5）（2x ﹣6）＝0，则x ﹣5＝0或2x ﹣6＝0，解得x ＝5或x ＝3，【点睛】本题考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．6．下列事件中，是随机事件的是( )A ．任意画两个直角三角形，这两个三角形相似B ．相似三角形的对应角相等C ．⊙O 的半径为5，OP ＝3，点P 在⊙O 外D ．直径所对的圆周角为直角【答案】A【分析】根据相似三角形的判定定理、相似三角形的性质定理、点与圆的位置关系、圆周角定理判断即可.【详解】解：A 、任意画两个直角三角形，这两个三角形相似是随机事件，符合题意；B 、相似三角形的对应角相等是必然事件，故不符合题意；C 、⊙O 的半径为5，OP ＝3，点P 在⊙O 外是不可能事件，故不符合题意；D 、直径所对的圆周角为直角是必然事件，故不符合题意；故选：A.【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．也考查了相似三角形的判定与性质，点与圆的位置关系，圆周角定理等知识.7．如果23x y ，那么x y的值为（ ） A ．23 B ．25 C ．32 D ．53【答案】C【分析】由已知条件2x=3y ，根据比例的性质，即可求得答案．【详解】解：∵2x=3y ， ∴x y =32. 故选C.【点睛】本题考查比例的性质，本题考查比较简单，解题的关键是注意比例变形与比例的性质．8．下列说法正确的是（ ）A ．等弧所对的圆心角相等B ．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等C ．经过三点可以作一个圆D ．相等的圆心角所对的弧相等【解析】试题分析：A ．等弧所对的圆心角相等，所以A 选项正确；B ．三角形的外心到这个三角形的三个顶点的距离相等，所以B 选项错误；C ．经过不共线的三点可以作一个圆，所以C 选项错误；D ．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以D 选项错误．故选C ．考点：1．确定圆的条件；2．圆心角、弧、弦的关系；3．三角形的外接圆与外心．9．已知△ABC ≌△DEF ，∠A =60°，∠E =40°，则∠F 的度数为（ ）A ．40B ．60C ．80D ．100【答案】C【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠E=40°，∠F=∠C ，然后利用三角形内角和定理计算出∠C 的度数，进而可得答案．【详解】解：∵△ABC ≌△DEF ，∴∠B=∠E=40°，∠F=∠C ，∵∠A=60°，∴∠C=180°-60°-40°=80°，∴∠F=80°，故选：C ．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．10．一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程2560x x -+=的根，则这个三角形的周长为（ ） A ．10B ．11C ．10或11D ．不能确定 【答案】B【分析】直接利用因式分解法解方程，进而利用三角形三边关系得出答案．【详解】∵2560x x -+=，∴()()320x x --=，解得：1232x x ==，，∵一个三角形的两边长为3和5，∴第三边长的取值范围是：5353x -<<+，即28x <<，则第三边长为：3，∴这个三角形的周长为：53311++=．故选：B ．本题主要考查了因式分解法解方程以及三角形三边关系，正确掌握三角形三边关系是解题关键． 11．已知O 的半径为5，点O 的坐标为()0,0，点P 的坐标为()3,4，则点P 与O 的位置关系是（ ） A ．点P 在O 外 B ．点P 在O 上 C ．点P 在O 内 D ．不能确定 【答案】B【分析】根据题意先由勾股定理求得点P 到圆心O 的距离，再根据点与圆心的距离与半径的大小关系，来判断出点P 与⊙O 的位置关系．【详解】解：∵点P 的坐标为（3，4），点O 的坐标为()0,0，∴由勾股定理得，点P 到圆心O 的距离= 22345+=，∴点P 在⊙O 上.故选：B ．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，根据题意求出点到圆心的距离是解决本题的关键．12．如图，菱形ABCD 的边AB=20，面积为320，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切，AO=10，则⊙O 的半径长等于（ ）A ．5B ．6C ．2D ．3【答案】C 【详解】试题解析：如图作DH ⊥AB 于H ，连接BD ，延长AO 交BD 于E ．∵菱形ABCD 的边AB=20，面积为320，∴AB•DH=32O ，∴DH=16，在Rt △ADH 中，22AD DH -，∴HB=AB ﹣AH=8，在Rt △BDH 中，BD=2285+=DH BH ，设⊙O 与AB 相切于F ，连接AF ．∵AD=AB ，OA 平分∠DAB ，∴AE ⊥BD ，∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°，∴∠OAF=∠BDH ，∵∠AFO=∠DHB=90°，∴△AOF ∽△DBH ，∴=OA OF BD BH ， ∴0885=F ， ∴OF=25．故选C ．考点：1.切线的性质；2.菱形的性质．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，在平面直角坐标系中，直线l ∥x 轴，且直线l 分别与反比例函数y=6x （x ＞0）和y=﹣8x（x ＜0）的图象交于点P 、Q ，连结PO 、QO ，则△POQ 的面积为 ．【答案】1【分析】根据反比例函数比例系数k 的几何意义得到S △OQM =4，S △OPM =3，然后利用S △POQ =S △OQM +S △OPM 进行计算．【详解】解：如图，∵直线l ∥x 轴，∴S △OQM =12×|﹣8|=4，S △OPM =12×|6|=3， ∴S △POQ =S △OQM +S △OPM =1．故答案为1．考点：反比例函数系数k 的几何意义．14．设1x 、2x 是一元二次方程2510x x --=的两实数根，则2212x x +的值为_________【答案】27【详解】解：根据一元二次方程根与系数的关系，可知1x +2x =5，1x ·2x =-1，因此可知2212x x +=212()x x +-212x x =25+2=27.故答案为27.【点睛】 此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题时灵活运用根与系数的关系：12b x x a +=-，12c x x a⋅=，确定系数a ，b ，c 的值代入求解，然后再通过完全平方式变形解答即可. 15．如图，以正六边形ADHGFE 的一边AD 为边向外作正方形ABCD ，则∠BED=_______°．【答案】45°【详解】∵正六边形ADHGFE 的内角为120°，正方形ABCD 的内角为90°，∴∠BAE =360°-90°-120°=150°，∵AB =AE ，∴∠BEA =（180°-150°）÷2=15°，∵∠DAE =120°，AD =AE ，∴∠AED =（180°-120°）÷2=30°，∴∠BED=15°+30°=45°．16．抛物线286y x x =++的顶点坐标为______.【答案】()4,10-- 【分析】直接利用公式法求解即可，横坐标为：2b a -，纵坐标为：244ac b a-. 【详解】解：由题目得出：抛物线顶点的横坐标为：84221b a -=-=-⨯； 抛物线顶点的纵坐标为：22441682464104414ac b a -⨯⨯--===-⨯ 抛物线顶点的坐标为：(-4,-10).故答案为：（-4，-10）.本题考查二次函数的知识，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.17．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交，若∠BCD ＝24°，则∠ABD 的度数为___度．【答案】66【解析】连接AD ，根据圆周角定理可求∠ADB=90°，由同弧所对圆周角相等可得∠DCB=∠DAB ，即可求∠ABD 的度数．【详解】解：连接AD ，∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°，∵∠BCD ＝24°，∴∠BAD ＝∠BCD ＝24°，∴∠ABD ＝66°，故答案为：66【点睛】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理可求∠ADB=90°是本题的关键．18．抛物线2y ax bx c =++（a>0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，则a 的取值范围是____．【答案】0＜a ＜3.【解析】试题解析：∵二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与坐标轴分别交于点(0,−3)、(−1,0)， ∴c=−3，a−b+c=0，即b=a−3，∵顶点在第四象限， 240,024b ac b a a-∴-><， 又∵a>0，∴b=a−3<0，即a<3，故0 3.a <<故答案为0 3.a <<点睛：二次函数()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为：24,.24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行302km 至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C 港，C 港在A 港北偏东20°方向.求：（1）∠C 的度数；（2）A ，C 两港之间的距离为多少km.【答案】（1）∠C=60°（2）AC=(30103)km +【分析】（1）根据方位角的概念确定∠ACB=40°+20°=60；（2）2 ，过B 作BE ⊥AC 于E ，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（1）如图，在点C 处建立方向标根据题意得，AF∥CM∥BD∴∠ACM=∠FAC, ∠BCM=∠DBC∴∠ACB=∠ACM+∠BCM=40°+20°=60°，（2）∵2 ，过B 作BE ⊥AC 于E ，∴∠AEB=∠CEB=90°，在Rt △ABE 中，∵∠ABE=45°，2，∴AE=BE=22AB=30km ， 在Rt △CBE 中，∵∠ACB=60°，∴CE=33BE=103km，∴AC=AE+CE=30+103，∴A，C两港之间的距离为（30+103）km，【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单．20．计划开设以下课外活动项目：A 一版画、B 一机器人、C 一航模、D 一园艺种植．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查（每位学生必须选且只能选一个项目），并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有人；扇形统计图中，选“D一园艺种植”的学生人数所占圆心角的度数是°；（2）请你将条形统计图补充完整；（3）若该校学生总数为1500 人，试估计该校学生中最喜欢“机器人”和最喜欢“航模”项目的总人数【答案】（1）200；72（2）60（人），图见解析（3）1050人．【分析】（1）由A类有20人，所占扇形的圆心角为36°，即可求得这次被调查的学生数，再用360°乘以D人数占总人数的比例可得；（2）首先求得C项目对应人数，即可补全统计图；（3）总人数乘以样本中B、C人数所占比例可得．【详解】（1）∵A类有20人，所占扇形的圆心角为36°，∴这次被调查的学生共有：20÷36360＝200（人）；选“D一园艺种植”的学生人数所占圆心角的度数是360°×40200＝72°，故答案为：200、72；（2）C项目对应人数为：200−20−80−40＝60（人）；补充如图．（3）1500×8060200＝1050（人），答：估计该校学生中最喜欢“机器人”和最喜欢“航模”项目的总人数为1050人．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．（1）（问题发现）如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．填空：①线段CF与DG的数量关系为；②直线CF与DG所夹锐角的度数为．（2）（拓展探究）如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．（3（解决问题）如图③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O为AC的中点．若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为（直接写出结果）．【答案】（1）①CF2DG；②45°；（2）成立，证明详见解析；（32．【分析】（1）【问题发现】连接AF ．易证A ，F ，C 三点共线．易知AF ＝2AG ．AC ＝2AD ，推出CF ＝AC ﹣AF ＝2（AD ﹣AG ）＝2DG ．（2）【拓展探究】连接AC ，AF ，延长CF 交DG 的延长线于点K ，AG 交FK 于点O ．证明△CAF ∽△DAG 即可解决问题．（3）【解决问题】证明△BAD ≌△CAE ，推出∠ACE ＝∠ABC ＝45°，可得∠BCE ＝90°，推出点E 的运动轨迹是在射线OCE 上，当OE ⊥CE 时，OE 的长最短． 【详解】解：（1）【问题发现】如图①中，①线段CF 与DG 的数量关系为CF ＝2DG ；②直线CF 与DG 所夹锐角的度数为45°．理由：如图①中，连接AF ．易证A ，F ，C 三点共线．∵AF ＝2AG ．AC ＝2AD ，∴CF ＝AC ﹣AF ＝2（AD ﹣AG ）＝2DG ．故答案为CF ＝2DG ，45°．（2）【拓展探究】结论不变．理由：连接AC ，AF ，延长CF 交DG 的延长线于点K ，AG 交FK 于点O ．∵∠CAD ＝∠FAG ＝45°，∴∠CAF ＝∠DAG ，∵AC 2AD ，AF 2AG ，∴2AC AF AD AG== ∴△CAF ∽△DAG ， ∴2CF AC DG AD ==AFC ＝∠AGD ，∴CF ＝2DG ，∠AFO ＝∠OGK ，∵∠AOF ＝∠GOK ，∴∠K ＝∠FAO ＝45°．（3）【解决问题】如图3中，连接EC ．∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAE ，∠B ＝∠ACB ＝45°，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴∠ACE ＝∠ABC ＝45°，∴∠BCE ＝90°，∴点E 的运动轨迹是在射线CE 上，当OE ⊥CE 时，OE 的长最短，易知OE 的最小值为2，故答案为2.【点睛】本题考查的知识点是正方形的旋转问题，主要是利用相似三角形性质和全等三角形的性质来求证线段间的等量关系，弄清题意，作出合适的辅助线是解题的关键.22．如图，ABC ∆内接于O ，直径AD 交BC 于点E ，延长AD 至点F ，使2DF OD =，且2DE OE =，连接FC 并延长交过点A 的切线于点G ，且满足//AG BC ，连接OC ．(1)求证：COD BAC ∠=∠；(2)求证：CF 是O 的切线．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．【分析】（1）根据切线的性质得到∠GAF=90°，根据平行线的性质得到AE ⊥BC ，根据圆周角定理即可得到结论；（2）由DF=2OD ，得到OF=3OD=3OC ，由2DE OE =得到OC=OD=3OE ，推出△COE ∽△FOC ，根据相似三角形的性质得到∠OCF=∠OEC=90°，于是得到CF 是⊙O 的切线．【详解】解：(1) AG 是O 的切线，AD 是O 的直径，90GAF ∴∠=，//AG BC ，AE BC ∴⊥，CE BE ∴=，2BAC EAC ∴∠=∠，2COE CAE ∠=∠，COD BAC ∴∠=∠；(2) 2DF OD =，2DE OE =33OF OD OC ∴==，3OD OE OC == 13OE OC OC OF ∴==， COE FOC ∠=∠，COE FOC ∴∆∆，90OCF OEC ∴∠=∠=，CF ∴是O 的切线．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，根据切线的判定和性质去分析所缺条件是解题的关键．23．如图，在平面直角坐标系中，己知点()0,4C，点A B 、在x 轴上，并且4OA OC OB ==，动点P 在过、、A B C 三点的拋物线上．（1）求抛物线的解析式．（2）作垂直x 轴的直线，在第一象限交直线AC 于点D ，交抛物线于点P ，求当线段PD 的长有最大值时P 的坐标．并求出PD 最大值是多少．（3）在x 轴上是否存在点Q ，使得△ACQ 是等腰三角形?若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）234y x x =-++；（2）存在，PD 最大值为4，此时P 的坐标为()2,6；（3）存在，()0,0或()4,0-或()442,0+或()442,0-【分析】（1）先确定A （4，0），B （-1，0），再设交点式y=a （x+1）（x-4），然后把C 点坐标代入求出a 即可；（2）作PE ⊥x 轴，交AC 于D ，垂足为E ，如图，易得直线AC 的解析式为y=-x+4，设P （x ，-x 2+3x+4）（0＜x ＜4），则D （x ，-x+4），再用x 表示出PD ，然后根据二次函数的性质解决问题；（3）先计算出AC=42，再分类讨论：当QA=QC 时，易得Q （0，0）；当CQ=CA 时，利用点Q 与点A 关于y 轴对称得到Q 点坐标；当AQ=AC=42时可直接写出Q 点的坐标．【详解】（1）∵C （0，4），∴OC=4，∵OA=OC=4OB ，∴OA=4，OB=1，∴A （4，0），B （-1，0），设抛物线解析式为y=a （x+1）（x-4），把C （0，4）代入得a×1×（-4）=4，解得a=-1，∴抛物线解析式为y=-（x+1）（x-4），即y=-x 2+3x+4；（2）作PE⊥x 轴，交AC 于D ，垂足为E ，如图，设直线AC 的解析式为：y=kx+b ，∵A （4，0），C （0，4）∴404k b b +=⎧⎨=⎩解得，14k b =-⎧⎨=⎩ ∴直线AC 的解析式为y=-x+4，设P （x ，-x 2+3x+4）（0＜x ＜4），则D （x ，-x+4），∴PD=-x 2+3x+4-（-x+4）=-x 2+4x =-（x-2）2+4，当x=2时，PD 有最大值，最大值为4，此时P 点坐标为（2，6）；（3）存在．∵OA=OC=4，∴AC=42， ∴当QA=QC 时，Q 点在原点，即Q （0，0）；当CQ=CA 时，点Q 与点A 关于y 轴对称，则Q （-4，0）；当AQ=AC=42时，Q 点的坐标（4+42，0）或（4-42，0），综上所述，Q 点的坐标为（0，0）或（-4，0）或（4+42，0）或（4-42，0）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图形上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．24．如图，边长为3正方形OACD 的顶点O 与原点重合，点,D A 在x 轴，y 轴上。
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松江区2019-2020学年第一学期九年级质量调研考试
数 学 试 卷
（考试时间100分钟，满分150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．已知
13
a b =，那么
a
a b +的值为（ ） （A ）13
； （B ）23； （C ）14；（D ）3
4．
2．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
（A ）3y x =-； （B ）22(1)y x x =-+；（C ）(1)1y x x =--； （D ）2
1
y x =． 3．已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A 的俯角为α，那么这时飞机
与目标A 的距离为（ ）
（A ）
5sin α； （B ）5sin α； （C ）5
cos α
； （D ）5cos α． 4．已知非零向量、、a b c
r r r ，在下列条件中，不能判定∥a b r r
的是（ ） （A ）,∥∥a c b c r r r r ； （B ）2,3a c b c ==r r r r ；（C ）5a b =-r r ； （D ）2a b =r r ．
5．在△ABC 中，边BC =6，高AD =4，正方形EFGH 的顶点E 、F 在边BC 上，顶点H 、G 分别在边AB 和AC 上，那么这个正方形的边长等于
（A ）3； （B ）2.5； （C ）2.4； （D ）2．
6．如图，已知在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，AD ：BD =2:1，点F 在AC 上，AF ：FC =1:2，联结BF ，交DE 于点G ，那么DG ：GE 等于．
（A ）1:2； （B ）1:3； （C ）2:3； （D ）2:5．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．已知线段a ＝4，b =1，如果线段c 是线段a 、b 的比例中项，那么c = ▲ ．
8．在比例尺是1:15000000的地图上，测得甲乙两地的距离是2厘米，那么甲乙两地的实际距离是 ▲ 千米． 9．如果抛物线2(2)1y a x x =++-的开口向下，那么a 的取值范围是 ▲ ．
10．如果一个斜坡的坡度i =，那么该斜坡的坡角为 ▲ 度．
11．已知线段AB =10，P 是AB 的黄金分割点，且AP >BP ，那么AP = ▲ ． 12．已知等腰△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，G 是△ABC 的重心，那么AG = ▲ ．
13．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 和B 、D 、F ，如果AC =4，CE =6，BD =3，那么BF = ▲ ．
14．已知平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，点P 的坐标为（5,12），那么OP 与x 轴正半轴所夹角的余弦值为 ▲ ．
15．已知抛物线y =f (x )开口向下，对称轴是直线x =1，那么f (2)▲ f (4)．（填“>”或“<”）
16．把抛物线2y x =向下平移，如果平移后的抛物线经过点A （2,3），那么平移后的抛物线的表达式是 ▲ ．
17．我们定义：关于x 的函数22与y ax bx y bx ax =+=+（其中a ≠b ）叫做互为交换函数．如
223443与y x x y x x =+=+是互为交换函数．如果函数22y x bx =+与它的交换函数图像顶点关于x 轴对称，那么b =▲．
18．如图，△ABC 中，∠C =90°，AC =BC =4，将△ABC 翻折，使得点A 落在BC 的中点A '处，折痕分别交边AB 、AC 于点D 、点E ，那么AD :AE 的值为 ▲ ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分，每题各5分）
2y x bx c =++的图像
如图在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，二次函数
经过点A （3,0）、点B （0,3），顶点为M ． （1）求该二次函数的解析式； （2）求∠OBM 的正切值.
20．（本题满分10分，每小题5分）
如图，已知△ABC 中，D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 上的点，且EF ∥AB ，
2CF AD
FA DB
==． （1）设，AB a AC b ==uu u r r uuu r r ．试用、a b r r 表示AE u u u r
；
（2）如果△ABC 的面积是9，求四边形ADEF 的面积．
21．（本题满分10分，每小题5分）
如图，已知△ABC 中，AB =AC =BC =4．线段AB 的垂直平分线DF 分别交边AB 、AC 、BC 所在的直线于
点D 、E 、F ．
（1）求线段BF 的长； （2）求AE ：EC 的值．
22．（本题满分10分）
某条道路上通行车辆的限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么
车辆通过AB 1.7 1.4
≈）．
23．（本题满分12分，每小题6分）
已知四边形ABCD中，∠BAD=∠BDC=90°，2
=⋅．
BD AD BC
（1）求证：AD∥BC；
（2）过点A作AE∥CD交BC于点E．请完善图形并求证：2
=⋅．
CD BE BC
24．（本题满分12分，每小题4分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线x =1，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且AB =4，又P 是抛物线上位于第一象限的点，直线AP 与y 轴交于点D ，与对称轴交于点E ，设点P 的横坐标为t ．
（1）求点A 的坐标和抛物线的表达式； （2）当AE :EP =1:2时，求点E 的坐标；
（3）记抛物线的顶点为M ，与y 轴的交点为C ，当四边形CDEM 是等腰梯形时，求
t 的值．
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）
如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，AC =1，BC =2，CD 平分∠ACB 交边AB 与点D ,P 是射线CD 上一点，联结AP ．
（1）求线段CD 的长；
（2）当点P 在CD 的延长线上，且∠P AB =45°时，求CP 的长；
（3）记点M 为边AB 的中点，联结CM 、PM ，若△CMP 是等腰三角形，求CP 的长．
参考答案：
1、C ；
2、C ；
3、A ；
4、D ；
5、C ；
6、B ；
7、2；
8、300；
9、a <-2；
10、30；11、5；12、83；13、152；14、513；15、>；16、21y x =-；17、-2；18。
19、（1）243y x x =-+；（2）12；20、（1）21
33
AE a b =+；（2）4；21、（1）5；（2）5;22、8.1秒超速；23、
略；24、（1）223y x x =--；（2）E （1,4）；（3）t =4；25、（1）CD =（2）CP （3）CP。