数列中裂项求和的几种常见模型

数列中裂项求和的几种常见模型数列中裂项求和的几种常见模型数列问题是高考的一大热点，而且综合性较强，既注重基础知识的掌握，又注重数学思想与方法的运用。

而此类问题大多涉及数列求和，所以数列求和方法是学生必须掌握的，主要的求和方法有：公式法、拆项重组法、并项求和法，裂项相消法、错位相加法、倒序相加法等等，而裂项相消法是其中较为基础、较为灵活的一种，也是出现频率最高，形式最多的一种。

下面就例举几种裂项求和的常见模型，以供参考。

模型一：数列{}n a 是以d 为公差的等差数列，且),3,2,1(0,0 =≠≠n a d n ，则)11(1111++-=n n n n a a d a a 例1已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n mT <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ；（2006年湖北省数学高考理科试题）解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2－2x. 又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n2－2n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[])1(2)132---n n （＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N *∈） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知13+=n n na ab ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)161561(21+--n n ，故T n ＝∑=ni i b 1＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ）. 因此，要使21（1－161+n ）<20m （n N *∈）成立的m,必须且仅须满足21≤20m ，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10..例2在xoy 平面上有一系列点),,(111y x P),(222y x P ，…，),(n n n y x P ，…，（n ∈N *），点P n在函数)0(2≥=x x y 的图象上，以点P n 为圆心的圆P n 与x 轴都相切，且圆P n 与圆P n +1又彼此外切. 若n n x x x <=+11,1且. （I ）求数列}{n x 的通项公式； （II ）设圆P n 的面积为123,,:2n n n n S T S S S T π=+++<求证解：（I ）圆P n 与P n+1彼此外切，令r n 为圆P n 的半径， ,)()(,||1212111++++++=-+-+=∴n n n n n n n n n n y y y y x x r r P P 即 两边平方并化简得,4)(121++=-n n n n y y x x由题意得，圆P n 的半径,4)(,212212++=-==n n n n n n n x x x x x y r),(211,2,01111*++++∈=-=-∴>>N n x x x x x x x x nn n n n n n n 即11}1{1=∴x x n 是以数列为首项，以2为公差的等差数列， 所以121,122)1(11-=-=⨯-+=n x n n x n n 即（II ）4422)12(-====n x y r S n n n n ππππ，])12(1311[2221-+++=+++=n S S S T n n π因为 ))12)(32(15.313.111(--++++≤n n π .23)12(223)]1211(211[)]}121321()5131()311[(211{πππππ<--=--+=---++-+-+=n n n n所以，.23π<nT∴2006200612(21)1)221Nn =-<<<⋅-, ∴不超过1Nn =的最大整数为200722-。

模型三：2n(2n+1－1)(2n－1) = 12n －1 － 12n+1－1例5设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，n=1,2,3,…. （Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2nn nT S =，n=1,2,3,…，证明：132ni i T =<∑（2006年全国数学高考理科试题）. 解: (Ⅰ)由 S n =43a n －13×2n+1+23, n=1,2,3，… , ① 得 a 1=S 1= 43a 1－13×4+23所以a 1=2. 再由①有 S n －1=43a n －1－13×2n +23, n=2,3，4,…将①和②相减得: a n =S n －S n －1= 43(a n －a n －1)－13×(2n+1－2n),n=2,3, …整理得: a n +2n=4(a n －1+2n －1),n=2,3, … , 因而数列{ a n +2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列, 即a n +2n=4×4n －1= 4n , n=1,2,3, …, 因而a n =4n －2n, n=1,2,3, …,(Ⅱ)将a n =4n－2n代入①得 S n = 43×(4n －2n )－13×2n+1+ 23 = 13×(2n+1－1)(2n+1－2)= 23×(2n+1－1)(2n－1)T n = 2n S n = 32×2n(2n+1－1)(2n－1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1) 所以, 1ni i T =∑= 321(n i =∑12i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 12i+1－1) < 32模型四：kk a a a n n n )(1+=+，且),3,2,1(0 =≠n a n ，则1111+-=+n n n a a a k例6设函数321()3g x x ax =+的图象在1x =处的切线平行于直线20x y -=.记()g x 的导函数为()f x .数列{}n a 满足：112a =,1()n n a f a +=. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式;(Ⅱ)试判断数列{}n a 的增减性,并给出证明; (Ⅲ)当2,*N n n ≥∈时,证明:1211112111na a a <+++<+++. 解：（Ⅰ）∵函数321()3g x x ax =+的导函数为2()2f x x ax =+，由于在1x =处的切线平行于20x y -=，∴1+22a =⇒12a =，∴2()f x x x =+(Ⅱ)∵1()n n a f a +=,∴2211n n n n n n a a a a a a ++=+⇒-=,∵112a =,故0n a >,所以10n n a a +->,所以{}n a 是单调递增.(Ⅲ) ∵1(1)n n n a a a +=+,∴111(1)n n n a a a +=+=11_1n na a +,∴11111n n n a a a +=-+∴1121111a a a =-+,2231111a a a =-+,3341111a a a =-+…11111n n n a a a +=-+令n S =12231111111122n n a a a a a a ++-+-+⋅⋅⋅-=-< 当2n ≥时,n S = 1212111112426111113721n a a a a a +++≥+=+=+++++1> ∴1211112111na a a <+++<+++例7已知数列}{n a 满足n a a a n n 2,111+==+)3,2,1( =n ，}{n b 满足,11=bn b b b n n n 21+=+)3,2,1( =n ，证明： 1121111<--+≤∑=++n k k k k k kb ka b a 。

(2006年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试题)证明：记 ∑=++--+=nk k k k k n kb ka b a I 1111，则 n I I I <<<= 2121。

而∑=++-=nk k k n k b a I 11))(1(1∑∑==++⋅-≤nk k nk k kb a 111111。

因为n a a a n n 2,111+==+，所以)1(11+=-+k k a k 。

从而有 1111)1(111111<+-=+=-∑∑==+n k k a nk nk k 。

（1）又因为kk b b k b b b k k k k k )(21+=+=+，所以k b b k b b k b k k k k k +-=+=+11)(11，即1111+-=+k k k b b k b 。

从而有 111111111=≤-=++=∑b b b kb n nk k 。

（2） 由（1）和（2）即得 1<n I 。

综合得到 121<≤n I 。

左边不等式的等号成立当且仅当 n=1时成立。

以上我们通过几个典型问题的解析，总结了四类裂项求和的常见模型，可以让我们更清楚的认识到裂项相消的来龙去脉，而这些模型是近几年高考中普遍采用的，要求我们注重培养学生的化归、转化的能力。