数列中裂项求和的几种常见模型(学习资料)
高中数学复习-数列求和-裂项相消法
裂项相消法求和把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
1、 特别是对于⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n a a c ，其中{}n a 是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即利用1+n n a a c =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+111n na a d c ，其中()n n a a d -=+1 2、 常见拆项：111)1(1+-=+n n n n)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n!)!1(!n n n n -+=⋅)!1(1!1)!1(+-=+n n n n例1 求数列1{}(1)n n +的前n 和n S ．例2 求数列1{}(2)n n +的前n 和n S ．例3 求数列1{}(1)(2)n n n ++的前n 和n S ．例4 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.例5：求数列311⨯，421⨯，531⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S例6、 求和)12)(12()2(534312222+-++⋅+⋅=n n n S n一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
裂项法的常见技巧
…
ｎ 【 ｎ ＋ ｋ Ｊ
一一 ｔ ｆ
： （ 一 ） ， 其中
ｋ ｎ ｎ ＋ ｋ
一
ｃ ｃ 专 ＝
一
‘ 吉 ＜ ＜ ＝
ｎ （ ｎ ＋ １ ） （ ｎ ＋ ２ ） ２ ｎ ｎ ＋ １ ） （ ｎ ＋ １ ） ） （ ｎ ＋ ２ ）
技 法点拨
④
裂项法是高 考数列题 的一 种常见 的解题方 法 ， 学生往往把握不好裂项 的本质 ，在本文 中笔者拟从 裂项的本质入手探讨裂项法 的常见技巧 。 裂项法是将 数列中的每一项 （ 通项） 分解 ， 然 后 重新组合 ，使之能消去一些项 ，最终达 到求 和的 目 的。裂项的实质是将数列 中的每一项裂成一个 函数 的两个 函数值 之差 即％ ｎ ） ｎ ＋ ６ ） ， 从 而达 到
、
分 式 型 裂 项
分式型裂项法 的实质是通分 的逆运算 。分式 型 的裂项 主要 是发 现规律进行构造 的过程 ，很多 时候 裂项 的方式不容易找到 ， 需要 进行适 当的变形 ， 或将 部分进行运算 ， 使其更 容易发现规质是三角 函数公 式 的变形用法 ， 要注意弄清公式的各种 变形 ， 找出能 够达 到裂项相 消的变形 。 常 见类 型 ： （ １ ） 数列｝ ａ ｎ ｝ 是 等差 数列 ， 且 公差 为
２ １ ｍ ３ １ ｍ ｍ ｍ
÷ ［ （ １ ｘ ２ ｘ ３ 一 Ｏ ｘ ｌ ｘ ２ ） ＋ （ ２ ｘ ３ ｘ ４ 一 ｌ ｘ ２ ｘ ３ ） ＋
＋ — （ １ 一 ） （ １ － ） …（ １ 一 一 ｍ）
ｍ！ ， ｎ ｍ ｍ
…＋ｎ （ ｎ ＋ １ ） （ 肼２ ） 一 （ ｎ 一 １ ） ｎ （ ｎ 十 １ ） ） ］ 一 旦 ： ＿ ＝ １［ ＿ｎ
常见裂项技巧
常见裂项技巧一、什么是裂项？在数学中，裂项是指将一个求和式中的每一项拆分成两个或多个部分，然后通过重新排列这些部分以达到简化或变形的目的。
裂项技巧广泛应用于各个数学分支中，尤其在级数求和、极限计算、微积分等领域中常见。
二、为什么要使用裂项技巧？使用裂项技巧可以使原本复杂的求和式或极限计算变得更加简单，从而方便进行后续的推导和计算。
裂项技巧可以改变原始问题的形式，通过引入新的项或变量，将原问题转化为更易处理的形式。
此外，裂项技巧还可以帮助我们发现隐藏的规律和性质，从而得到更深入的数学理解。
三、常见的裂项技巧1. 二项式展开二项式展开是一种常见的裂项技巧，通过利用二项式系数的性质，将一个复杂的幂函数表达式展开成一个求和式。
二项式展开的公式如下：(a+b)n=C0n a n+C1n a n−1b+C2n a n−2b2+...+C n n b n其中，C k n表示第k个二项式系数，可以通过组合数的求解公式计算得到。
通过二项式展开，我们可以求解各种多项式的值，并且在某些情况下可以发现一些隐藏的数学规律。
2. 分数拆项分数拆项是一种常见的裂项技巧，通过将一个分数表达式拆分成两个或多个部分，从而使得求和或计算更为方便。
分数拆项常用的方法有部分分式分解、分子拆项和分母拆项等。
例如，我们可以将一个分数表达式拆分成若干简单的分数之和，然后进行逐项求和。
这样做的好处是将原本复杂的分数拆分成多个简单的分数，从而方便进行计算。
3. 周期性裂项周期性裂项是一种常用的裂项技巧，适用于一些具有周期性性质的数列或函数。
通过将周期性数列或函数拆分成多个部分，并利用其周期性特点，可以简化计算或得出结论。
例如，我们可以将一个周期性数列拆分成若干个重复的子序列，并通过观察子序列的性质得出整个数列的求和或极限等结果。
4. 分段函数裂项分段函数裂项是一种常见的裂项技巧，适用于一些具有分段定义的函数。
通过将分段函数拆分成多个部分，并分别考察每个部分的性质，可以方便地进行计算和推导。
数列中的裂项法求和举例
数列中的裂项法求和举例杨恒运江苏省扬中高级中学 （212200）数列中的求和问题是一个基本问题，应该根据通项公式的形式确定用什么方法求数列的前 n 项和。
裂项法求和的是数列求和中一种常用方法，应用非常广泛,下面就举例说明之。
1. 求通项公式例1 已知数列｛n a ｝满足：121321,,n n a a a a a a a ---- 是首项为1公比为13的等比数列，求通项n a由于121321n n n a a a a a a a a -+-+-++-= 很容易求出通项113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭2. 求等差数列前 n 项和例2 在数列{}n a 中,若21n n a n n s =+，求前项和 学生在求和中，数列中的基本元素及求和公式都会搞错，若用裂项法就很容易求出其前n 项和 略解:显然22(1)n a n n =+-12222222221 (21)(32)(1) (1)12(1)n nn s a a a n n n n na a n d=+++=-+-+++-=+-=+=+- 则一般地，若等差数列()()1 1221211()3(21)22d 3 = n+12231122 =na (1)2n n a dn a d d n a dn a d d s n a d n nn d=+-=++-⎛⎫⎡⎤-+- ⎪⎣⎦⎝⎭⎛⎫⎡⎤∴=+-+- ⎪⎣⎦⎝⎭+-则3．求等比数列前n 项和对于等比数列前n 项和的推导及记忆应用都是一个难点，若用裂项法的思想，就可以化繁为简例3 在数列{}n a 中,若2n nn a n s =，求前项和{}()111n 111n 102111121122222a (1)a a =()q-11(1) (1)11n n n n n n n n nn n n n n n n a s a a q q q q as a a a q q q q q q q a a q q q q++---==-∴=-=≠-∴=++=-+-+---=-=-- 略解：一般地在等比数列中 若则 4．求通项是等差数列与等比数列对应项乘积的数列的前n 项和 对这种数列的前n 项和问题更是一个难点，求和的方法是错位相减法，即使学生记得此方法，但运算正确的也很少，若用裂项法，则运算很简捷。
裂项求和法的知识点总结
裂项求和法的知识点总结一、裂项求和法的基本思想裂项求和法的基本思想是将原来的级数拆分成若干个部分，然后分别求解这些部分的和。
最后将这些部分的和相加得到原级数的和。
这种方法在求解级数时非常有效，可以将复杂的级数变成简单的级数来求解。
二、裂项求和法的常用技巧裂项求和法的常用技巧包括：拆项、分组求和、 Telescoping 等。
1. 拆项：拆项是裂项求和法中常用的一种技巧。
它可以将原级数中的每一项拆分成两个或多个部分，然后再进行求和。
拆项的目的是为了将原级数转化为一个更易求解的级数。
拆项的具体操作可以根据级数的特点来灵活运用。
2. 分组求和：分组求和是裂项求和法中常用的一种技巧。
它可以将原级数分成若干个相互独立的部分，然后分别求解这些部分的和。
最后将这些部分的和相加得到原级数的和。
分组求和的具体操作可以根据级数的特点和要求来选择合适的分组方法。
3. Telescoping：Telescoping 是裂项求和法中常用的一种技巧。
它可以将原级数中相邻的两项进行变形，从而使得这些项之间的差分项能够互相抵消，最终得到一个简单的级数。
Telescoping 的具体操作包括变形、抵消、整理等。
三、裂项求和法的应用范围裂项求和法在数学中有着广泛的应用范围，包括但不限于如下几个方面：1. 求解收敛级数：裂项求和法可以帮助我们求解各种类型的收敛级数，包括数值级数、幂级数、级数和等。
通过拆项、分组求和、 Telescoping 等技巧，可以将复杂的级数转化为简单的级数来求解。
2. 求解发散级数：裂项求和法也可以帮助我们对发散级数进行求解。
虽然发散级数本身没有定义和，但是通过一些技巧，可以使其在某种意义下有意义，从而得到发散级数的和。
3. 实际应用：裂项求和法在实际应用中也有着广泛的应用。
例如在物理、工程、经济等领域，经常需要求解各种级数，裂项求和法可以帮助我们快速、准确地求解这些级数，为实际问题的解决提供有力的支持。
四、裂项求和法的注意事项在使用裂项求和法时需要注意以下几个方面：1. 根据级数的特点选择合适的技巧：在使用裂项求和法时，需要根据级数的特点和要求来选择合适的技巧。
数列常见裂项公式
数列常见裂项公式数列，这玩意儿在数学里可是个相当重要的角色。
咱们今儿个就来好好唠唠数列里常见的裂项公式。
先说说为啥要研究裂项公式哈。
就拿我之前批改学生作业的时候遇到的事儿来说。
有一道题是这样的：求数列 1/（1×2） + 1/（2×3） + 1/（3×4） + ...... + 1/（n×(n + 1)）的前 n 项和。
好多同学瞅着这题就懵了，完全不知道从哪儿下手。
其实呢，要是掌握了裂项公式，这题就能轻松搞定。
那常见的裂项公式都有啥呢？比如说，1/[n×(n + 1)] = 1/n - 1/(n + 1) 。
这个公式特别常用，咱们来仔细瞅瞅。
把 1/[n×(n + 1)] 裂成 1/n - 1/(n + 1) 之后，咱们再去求和，就会发现神奇的事儿。
就拿刚才那道题来说，第一项 1/（1×2）可以写成 1/1 -1/2 ，第二项 1/（2×3）可以写成 1/2 - 1/3 ，第三项 1/（3×4）可以写成 1/3 - 1/4 ，以此类推，一直到第 n 项 1/[n×(n + 1)] 可以写成 1/n - 1/(n + 1) 。
然后把这些式子加起来，你会发现中间的那些项都能消掉。
1/1 -1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + ...... + 1/n - 1/(n + 1) ，除了开头的 1/1 和最后的 - 1/(n + 1) ，其他的都消掉啦，结果就等于 1 - 1/(n + 1) = n/(n + 1) 。
是不是很神奇？再比如，1/[n×(n + k)] = 1/k × [1/n - 1/(n + k)] ，这个公式在一些稍微复杂点的题目里也经常出现。
还有1/(√n + √(n + 1)) = √(n + 1) - √n ，这个也得记住。
有一次上课，我给学生们出了一道用裂项公式求解的题目，大多数同学都一脸茫然。
数列的求和(裂项相消法)
数列的求和（裂项相消法）对于⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n a a c ，其中{}n a 是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即利用1+n n a a c =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+111n n a a d c ， 常见拆项：111)1(1+-=+n n n n)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n1k==1、已知数列的的通项，求数列的前n 项和： （1） )1(1+=n n a n （2）)2(1+=n n b n2、求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.3、在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.4、等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{}的前n项和．5、正项数列{an }满足﹣（2n﹣1）an﹣2n=0．（1）求数列{an }的通项公式an；（2）令bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．6、已知等差数列{an }满足：a3=7，a5+a7=26．{an}的前n项和为Sn．（1）求an 及Sn；（2）令（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．7. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点),(n s n n 在直线21121+=x y 上，数列{}n b 满足0212=+-++n n n b b b ，()*N n ∈，113=b，且其前9项和为153.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设)12)(112(3--=n n n b a c ，求数列{}n c 前n 项的和n T .8、已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足5,053-==S S (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．9、S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，(Ⅰ)求{a n }的通项公式： (Ⅱ)设 ，求数列}的前n 项和10、已知公差不为零的等差数列{}n a 中，37a =，且1413,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令211n n b a =-（n N *∈），求数列{}n b 的前n 项和n S ．11、已知各项均为正数的等比数列{}n a 的首项12a =，n S 为其前n 项和，且312253S S S =+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2log n n b a =，11n n n c b b +=，记数列{}n c 的前n 项和n T ，求4n Tn +的最大值.12. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，(1,2,3)n =⋅⋅⋅；数列{}n b 中，11,b = 点1(,)n n P b b +在直线20x y -+=上．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设数列12n b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 和为n S ，求12111nS S S +++；答案：1（1）1n n +（2）3111-)4212n n +++（21-；3、81n n +；4、（1）13n n a =（2）21n n S n =-+；5、（1）2n a n =（2）21n n T n =+（）;6、（1）2+1n a n =22n S n n =+（2）1n n T n =+4（）；7、（1）5;32n n a n b n =+=+（2）21n n T n =+；8、（1）2-n a n =（2）1-2n nT n=；9、（1）2+1n a n =（2）323)n n T n =+（10、（1）2+1n a n =（2）1)n n S n =+4（;11、、（1）2nn a =（2）1n n T n =+，最大值为19;12、（1）2nn a =；21n b n =-（2）21n nT n =+，。
高中数学拉档提分全攻略——数列分册 ,裂项求和常见32种类型
+
1] 2n +1
Sn
=
1 11
+ +
1 3 1
− −
1 3 1
− −
1 5 1
+ +
1 5 1
+ +
1 7 1
− −
1 7 1
− −
1 9 1
+ +
1 3 3 5 5 7 7 9
(19)
+（ 1 + 1 ）= 1+ 1 , n = 2k +1
2n −1 2n +1
2n +1
−（ 1 + 1 ）= 1− 1 , n = 2k
an−1 = (3n − 5)2n−1 = (3n − 8)2n − (3n −11)2n−1
an = (3n − 2)2n = (3n − 5)2n+1 − (3n − 8)2n
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
n
ak =(3n − 5)2n+1 + 5 21
1
(28) an = n2 2n
=
1 (2n +1) 2n−1
−
(2n
1 + 3)
2n
Sn
=
1 3
−
(2n
1 + 3) 2n
(21)
Sn
=
n k =1
k 2k + 2 (k + 1)(k + 2)
ak
=
k 2k + 2 (k +1)(k + 2)
=
(k
k 2k +1)(k + 2)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数列中裂项求和的几种常见模型
数列问题是高考的一大热点，而且综合性较强，既注重基础知识的掌握，又注重数学思想与方法的运用。
而此类问题大多涉及数列求和，所以数列求和方法是学生必须掌握的，主要的求和方法有：公式法、拆项重组法、并项求和法，裂项相消法、错位相加法、倒序相加法等等，而裂项相消法是其中较为基础、较为灵活的一种，也是出现频率最高，形式最多的一种。
下面就例举几种裂项求和的常见模型，以供参考。
模型一：数列{}n a 是以d 为公差的等差数列，且),3,2,1(0,0 n a d n ，则
)1
1(111
1 n n n n a a d a a 例1已知二次函数()y f x
的图像经过坐标原点，其导函数为
'()62f x x ，数列{}n a 的前
n 项和为n S ，点(,)()n n S n N 均在函数()y f x
的
图像上。
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1
1
n n n b a a
，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20
n m
T 对所有n N
都成立的最小
正
整
数
m ；
（2006年湖北省数学高考理科试题）
解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2
+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2
－2x. 又因为点(,)()n n S n N 均在函数()y f x
的图像上，所以n S ＝3n
2
－2n.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－ )1(2)132 n n （
＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12
－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N ）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知13
n n n a a b ＝ 5)1(6)56(3
n n ＝)1
61561(21 n n ， 故T n ＝ n
i i b 1＝21
)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161 n ）. 因此，要使2
1（1－
161
n ）<20
m （n N ）成立的m,必须且仅须满足2
1
≤20
m ，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m
为10..
例2在xoy 平面上有一系列点),,(111y x P
),(222y x P ，…，),(n n n y x P ，…，（n ∈N *），点P n 在
函数)0(2 x x y 的图象上，以点P n 为圆心的圆P n 与x 轴都相切，且圆P n 与圆P n +1又彼此外切. 若n n x x x 11,1且. （I ）求数列}{n x 的通项公式； （II ）设圆P n 的面积为123,,:n n n n S T S S S T
L 求证
解：（I ）圆P n 与P n+1彼此外切，令r n 为圆P n 的半径， ,)()(,||1212111 n n n n n n n n n n y y y y x x r r P P 即 两边平方并化简得,4)(121 n n n n y y x x
由题意得，圆P n 的半径,4)(,212212 n n n n n n n x x x x x y r
),(211,2,01
111
N n x x x x x x x x n
n n n n n n n 即
11
}1{
1 x x n 是以数列为首项，以2为公差的等差数列， 所以1
21,122)1(11 n x n n x n n 即
（II ）4
4
22)12(
n x y r S n n n n
，
])
12(1
311[2221
n S S S T n n 因为 ))
12)(32(1
5.313.111(
n n。