数列中多种形态的裂项求和
高考数学必杀技系列之数列7：数列求和（裂项相消法）
高考数学必杀技系列之数列7：数列求和（裂项相消法）
数列
专题七：数列求和（裂项相消法）
裂项相消法的实质是将数列中的每一项（通项）分解，然后再重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此规律拆成两项之差，在求和时一些正负相消，适用于类似这种形式，用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法，是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，高考中常见以下几种类型。
一、必备秘籍
1．裂项相消法
(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。
(2)常见的裂项技巧:
二、例题讲解
感悟升华（核心秘籍）本例是裂项相消法的简单应
用，注意裂项，是裂通项，
裂项的过程中注意前面的系
数不要忽略了。
感悟升华（核心秘籍）本例是含有根式型裂项，注
意分母有理化计算。
能完全记忆类型⑤的公式，建
议裂项完后通分检验是否正
确。
数列之裂项相消求和
=1
3
1(1- )
=39
1-
⇒a1=3,所以 an=3n.
(2)由已知得 bn=log332n+1=2n+1,所以 Tn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),
1
=
=
1
=
1 1
( +2) 2
1 1 1
-
2 1 3
-
1
+2
1
1
1
,所以 ∑ = + + +…+
1
=1
1 1 1
1 1 1
1 1
2 2 4
项和
.
解析 (1)因为 , 9 为函数 () = ( − 2)( − 99) 的两个零点且
(−1)
1+
2
= 2, 9 = 99 .又因为 =
= 3 ，所以数列 {
( − 1) = 2 + 1 .
1
(2)因为
所以
1
(
2
=
=
1
(
2
，所以 9
9×8
1+ 2
< 9 ，所以
× 2 = 99 ，解得
（2n＋1）
1
1
－
1
1
解析∵an＝
＝ 2n－1 2n＋1 ，
（2n－1）
（2n＋1） 2
1
1－
1
1
n
1
1
1 1
1
2n＋1 ＝
∴Sn＝ [(1－ )＋( － )＋…＋(
－
)]＝
.
2
数列中裂项求和的几种常见模型(学习资料)
数列中裂项求和的几种常见模型数列问题是高考的一大热点，而且综合性较强，既注重基础知识的掌握，又注重数学思想与方法的运用。
而此类问题大多涉及数列求和，所以数列求和方法是学生必须掌握的，主要的求和方法有：公式法、拆项重组法、并项求和法，裂项相消法、错位相加法、倒序相加法等等，而裂项相消法是其中较为基础、较为灵活的一种，也是出现频率最高，形式最多的一种。
下面就例举几种裂项求和的常见模型，以供参考。
模型一：数列{}n a 是以d 为公差的等差数列，且),3,2,1(0,0 n a d n ，则)11(1111 n n n n a a d a a 例1已知二次函数()y f x的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N 均在函数()y f x的图像上。
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n mT 对所有n N都成立的最小正整数m ；（2006年湖北省数学高考理科试题）解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2－2x. 又因为点(,)()n n S n N 均在函数()y f x的图像上，所以n S ＝3n2－2n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－ )1(2)132 n n （＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N ）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知13n n n a a b ＝ 5)1(6)56(3n n ＝)161561(21 n n ， 故T n ＝ ni i b 1＝21)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161 n ）. 因此，要使21（1－161n ）<20m （n N ）成立的m,必须且仅须满足21≤20m ，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m为10..例2在xoy 平面上有一系列点),,(111y x P),(222y x P ，…，),(n n n y x P ，…，（n ∈N *），点P n 在函数)0(2 x x y 的图象上，以点P n 为圆心的圆P n 与x 轴都相切，且圆P n 与圆P n +1又彼此外切. 若n n x x x 11,1且. （I ）求数列}{n x 的通项公式； （II ）设圆P n 的面积为123,,:n n n n S T S S S TL 求证解：（I ）圆P n 与P n+1彼此外切，令r n 为圆P n 的半径， ,)()(,||1212111 n n n n n n n n n n y y y y x x r r P P 即 两边平方并化简得,4)(121 n n n n y y x x由题意得，圆P n 的半径,4)(,212212 n n n n n n n x x x x x y r),(211,2,01111N n x x x x x x x x nn n n n n n n 即11}1{1 x x n 是以数列为首项，以2为公差的等差数列， 所以121,122)1(11 n x n n x n n 即（II ）4422)12(n x y r S n n n n，])12(1311[2221n S S S T n n 因为 ))12)(32(15.313.111(n n。
裂项求和法公式
裂项求和法公式裂项求和法是数学中一种非常实用的求和方法，特别是在数列求和问题中经常能大展身手。
咱们先来说说什么是裂项求和法。
简单来讲，就是把一个数列的每一项拆分成两项的差，然后在求和的时候，很多项可以相互抵消，从而让求和变得简单。
比如说，对于数列 1/(1×2) + 1/(2×3) + 1/(3×4) +... ，咱们可以把每一项 1/(n×(n + 1)) 拆分成 1/n - 1/(n + 1) ，这样在求和的时候，中间的很多项就可以相互抵消啦。
我还记得之前给学生们讲这部分内容的时候，有个小同学瞪着大眼睛一脸懵地问我：“老师，这咋拆呀，拆完咋就能求和啦？”我笑着跟他说：“别着急，咱们一步步来。
”然后我就拿了一堆纸条，标上数字，给他演示。
比如说 1/2 - 1/3 ，我把一张纸条平均分成两份，取一份，再把另一张纸条平均分成三份，取两份，让他直观地看到这两个的差就是 1/6 ，也就是 1/(2×3) 。
咱们再深入点，常见的裂项求和公式有很多呢。
像 1/(n(n + k)) = 1/k × (1/n - 1/(n + k)) ，还有1/(√n + √(n + 1)) = √(n + 1) - √n 。
那裂项求和法有啥用呢？用处可大啦！比如说，遇到那种通项公式是分式形式，而且分子是常数，分母是两个连续整数乘积的数列，用裂项求和法简直不要太轻松。
我给大家举个例子哈。
求数列 1/(3×5) + 1/(5×7) + 1/(7×9) +... 的前 n 项和。
咱们按照裂项求和的方法，把每一项 1/((2n + 1)(2n + 3)) 拆分成1/2 × (1/(2n + 1) - 1/(2n + 3)) 。
然后求和的时候，你就会发现，第一项的后半部分和第二项的前半部分抵消了，第二项的后半部分和第三项的前半部分又抵消了，以此类推，最后剩下的就是第一项的前半部分和最后一项的后半部分。
高中数学拉档提分全攻略——数列分册 ,裂项求和常见32种类型
+
1] 2n +1
Sn
=
1 11
+ +
1 3 1
− −
1 3 1
− −
1 5 1
+ +
1 5 1
+ +
1 7 1
− −
1 7 1
− −
1 9 1
+ +
1 3 3 5 5 7 7 9
(19)
+（ 1 + 1 ）= 1+ 1 , n = 2k +1
2n −1 2n +1
2n +1
−（ 1 + 1 ）= 1− 1 , n = 2k
an−1 = (3n − 5)2n−1 = (3n − 8)2n − (3n −11)2n−1
an = (3n − 2)2n = (3n − 5)2n+1 − (3n − 8)2n
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
n
ak =(3n − 5)2n+1 + 5 21
1
(28) an = n2 2n
=
1 (2n +1) 2n−1
−
(2n
1 + 3)
2n
Sn
=
1 3
−
(2n
1 + 3) 2n
(21)
Sn
=
n k =1
k 2k + 2 (k + 1)(k + 2)
ak
=
k 2k + 2 (k +1)(k + 2)
=
(k
k 2k +1)(k + 2)
数列中多种形态的裂项求和
Ｎｏ ． ０ ８ ． ２ ０ Ｉ ３
Ｙ ｕ Ｓ ｈ ｕ Ｗｌ ａ ｉ Ｘ ｕ ｅ Ｘ ｉ
２ ０ １ ３年第 ８期
数 列 中 多种 形 态 的裂 项 求 和
甘 向秀 （ 新 建县第二 中学 ， 江西 南 昌 ３ ３ ０ １ ０ ０ ）
摘 要： 在 求数 列前 ／ ７ ， 和的的方 法 中， 裂项方 法是 常 用Ｏ－ －种 重要 方法 。 本文对 裂项 求和的 问题 的各种 类型和解 法进 行 了归纳 总结。 关键 词 ： 高 中数 学； 数列 ； 求和 问题 中 图分类 号 ： Ｃ ， ６ ３ ３ 文献 标识 码 ： Ａ 文章 编号 ： １ ０ ０ ５— ６ ３ ５ １ （ ２ ０ １ ３ ） 一 Ｏ ８一 ｏ ０ ２ ７一 Ｏ １
２ 口
ｂｂ
２ ３
Ⅱ ｌ Ｉ
＋ｌ
式可裂 项 为 ：
一
一
与 等差 联 系的 裂项 求和 般 形 式为 ： 如果数列 ｛ ） 为等差数列 ， 公差为 ｄ ， 求 ＝
、
１ 竺 二 ！ 一 生！ 二 ！
ｂ ｂ ＋ “
ｎ
～ｂ ｂ ＋ 。 ｎ ’ ６ Ⅱ
：
一
ｂ ＋ Ｊ “
， ｌ＋２
去＋ 去＋ … ＋ １， 其 中 通 项 公 式 可 裂 项 为 ＝ 寺 （ 亡 一 ） ｏ
＋ Ｚ Ｊ 、 ＋ Ｚ ） ， ，
ｎ Ｉ Ｉ ，
＝ １ 【 一 １ 一 ＝ 『 ＝ １
所 以 ＝ 南 一 ＋ 一 一・ ＋ 一
Ｉ 】
一
１
ｓ ＝ １ Ｉ 丁 １ 一 了 １ ＋ １ 一 １ ＋ 了 １ 一 了 １ ＋ ． ． ・ ＋ １ 一 １ ）
数列裂项相消法的八大类型
数列裂项相消法的八大类型
裂项相消法的八大类型：等差型、无理行、指数型、对数型、三角函数型、阶乘和组合数公式型、抽象型、混合型。
裂项相消法是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。
比如1/[n(n+1)]=（1/n）-[1/(n+1)]、1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]。
裂项相消法是分解与组合思想在序列求和中的具体应用。
它是将序列中的每一个项（总项）进行分解，然后重新组合，使之剔除一些项，最终达到求和的目的。
一般项分解的倍数关系（分项）。
通常用于代数、分数，有时也用于整数。
这种变形的特点是，原数列的每一项被拆成两项后，中间的大部分项目会相互抵消。
只剩下几项了。
2019届高中数学数列求和：裂项相消法的八种类型(无答案)
裂项相消法的八种类型一、 等差型:设等差数列｛a n ｝的各项不为零，公差为ｄ，则 1an ∙a n+1=1d (1a n−1an+1)常见题型如下：1.11×2+12×3+⋯+1n×(n+1)=1−12+12−13+⋯+1n −1n+1=1−1n+1 2.1１×３＋1３×５＋⋯++1（２ｎ－１）（+２ｎ＋１）+=12(1−13)+12(13−15)+⋯+12(12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)3.+1１×4＋14×7++＋⋯++＋+1（3ｎ－１）（+3ｎ＋2）+=13(1−14)+13(14−17)+⋯+13(13n−1−13n+2)=13(1−13n+2)4.+11×3+12×4+⋯+1n×(n+2)=12(1−13)+12(12−14)+⋯+12(1n −1n+2)=12(1+12−1n+1−1n+2)5.(−1)n 4n(2n−1)(2n+1)=(−1)n (12n−1+12n+1)该类型的特点是分母为两个根式之和，这两个根式的平方差为常数，然后通过分母有理化来达到消项的目的√n +√n +1=√n +1−√n√2n+1+√2n−1=12(√2n +1−√2n −1)3.()n k n kkn n -+=++11练习：求{(n+1)√n+n √n+1}的前n 项和解：a n =(n+1)√n+n √n+1=(n+1)√n−n √n+1(n+1)2n−n 2(n+1)=√n−√n+1.得 S n =+(1−√2)+(√2−√3)⋯+(√n−√n+1)=1−√n+1.三、指数型：根据指数的运算方法（a-1）a n ＝a n+1−a n ，因 此 一 般 地 有(a−1)a n(a n +b )(a n+1+b)=1a n +b −1a n+1+b1. 4n (4n －1)(4n ＋1－1)＝13⎪⎭⎫⎝⎛---+1411411n n2.2n22n+1−3×2n +1=2n(2n+1−1)(2n −1)=12n −1−12n+1−1利用对数的运算法则log a MN =log M −log N ，+log aa n+1a n=log a a n+1−log a a n例1.各项都是正数的等比数列{}n a 满足a n ≠1(n ∈N ∗)，当n ≥2时，证明：1lg a 1lg a 2+1lg a2lg a 3+⋯1lg an−1lg a n=n−1lg a1lg a n.分析设等比数列{}n a 的公比为q （q 0>），由a na n+1=q ，得q a a n n lg lg lg 1=--，从而，1lg a n−1lg a n=1lg q (1lg a n−1−1lg a n)，因此， 左边==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+--)lg 1lg 1()lg 1lg 1()lg 1lg 1(lg 113221n n a a a a a a q =-=-⋅=-⋅=-111121lg lg 1lg lg lg )1(lg 1lg lg lg lg lg 1)lg 1lg 1(lg 1a a n a a q n a a a a a q a a q n n n n n 例2：lgn+1n=lg (n +1)−lgn五、等差数列和指数混合型、等差数列和等差数列(裂项难度较大)1.n+2n(n+1)⋅12n=2(n+1)−nn(n+1)⋅12n=1n⋅2n−1−1(n+1)2n 2.1n(n+1)(n+2)=12[1n(n+1)−1(n+1)(n+2)]3.+(2n)2(2n−1)(2n+1)=1+12(12n−1−12n+1)例1.已知数列{a n}的通项公式为a n=3n−4n(n+1)(n+2)，求它的前n项和S n。
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数列中多种形态的裂项求和
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
数列中多种形态的裂项求和-中学数学论文
数列中多种形态的裂项求和
甘向秀
（新建县第二中学，江西南昌330100）
摘要：在求数列前n和的的方法中，裂项方法是常用的一种重要方法。
本文对裂项求和的问题的各种类型和解法进行了归纳总结。
关键词：高中数学；数列；求和问题
中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-08-0027-01 一、与等差联系的裂项求和
可见，能通过裂项抵消求和的基本形式是多样的，其主要特征为：项的形式结构多半是分式状态，且分母为连续因式为积，只有含根式时，分母可能呈现和的关系。