裂项法求数列的和
数列求和——裂项相消法
————裂项相消法
2015全国I卷节选：
若an1
2n
1, 令bn
1 an an 1
, 求{bn}的前n项和Tn。
裂项求和法:
将数列的通项分解成两项或多项的差，使
数列中的项出现有规律的抵消项，只剩下首 尾若干项。
一般有两种类型：
类型一：an
k f (n) f (n c)
A[ 1 f (n)
1[ 1
1
]
n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 2)(n 1)
(an
(a 1)an b)(an1
b)
(an
an1 an b)(an1
b)
1 (an b)
1 (an1 b)
类型二：
通过有理化、对数的运算法则、公式的变形、阶乘和组合数
2n Sn
, 求证：T1 T2 L
Tn
3 2
练习：步步高P93例3及跟踪训练3
课堂小结：
1、分解与组合思想在数列求和中的应用。 2、裂项相消常用于方式和根式求和。 可以用通项裂解，也可以利用首项裂解， 甚至可以利用待定系数法去完成裂开通项
(1)应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一 项，也有可能前面剩多项，后面也剩多项，
(2)再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前 面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通 项公式相等．
变式：若数列an的前n项和为Sn满足：
Sn
4 3
an
1 3
•
2n1
2 3
(1)求an
(2)设Tn
裂项相消法求和
裂项相消法求和利用解析式变形，将一个数列分成若干个可以直接求和的数列，即进行拆项重组，或将通项分裂成几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后剩下有限项的和。
这是一种非常常见的题型，也是高考中的热点考题。
相对于其它题型来说，这种题目的难度大，有一定的思维能力，对于培养学生的思维有常见的拆项公式有： ○1()11111+-=+n n n n○2()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=++2111121211n n n n n n n○3()()⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-1211212112121n n n n○4()ba ba b a --=+11○5()!!1!n n n n -+=⋅○6mn m n m n C C C -=+-11○7()21≥-=-n S S a n n n○8()()112+<<-n n n n n ，()()111112-<<+∴n n n n n ， 即nn n n n 11111112--<<+- 例1、已知数列{}n a 的各项如下：1，211+，3211++，…………，n++++ 3211。
求它的前n 项和n S 。
解析：()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=++++=1112122113211n n n n n n n a n所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++=111413131212112321n n a a a a S n n121112+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n n 例2、已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和n S ，且123=S ,63=a 。
○1求数列{}n a 的通项公式；○2求证：11111321<++++nS S S S解析：○1n a d a d a d a S a n 22212336212611133=⇒⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧==⇒=+=+⇒==○2()()()11111112222642+-=+=⇒+=+=++++=n n n n S n n n n n S n n所以1111111413131212111111321<+-=+-++-+-+-=++++n n n S S S S n 例3、数列{}n a 的通项公式是12-=nn a ，如果数列{}n b 是12++=n n nn a a b ，试求{}n b 的前n项和n S 。
数列之裂项相消求和
=1
3
1(1- )
=39
1-
⇒a1=3,所以 an=3n.
(2)由已知得 bn=log332n+1=2n+1,所以 Tn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),
1
=
=
1
=
1 1
( +2) 2
1 1 1
-
2 1 3
-
1
+2
1
1
1
,所以 ∑ = + + +…+
1
=1
1 1 1
1 1 1
1 1
2 2 4
项和
.
解析 (1)因为 , 9 为函数 () = ( − 2)( − 99) 的两个零点且
(−1)
1+
2
= 2, 9 = 99 .又因为 =
= 3 ，所以数列 {
( − 1) = 2 + 1 .
1
(2)因为
所以
1
(
2
=
=
1
(
2
，所以 9
9×8
1+ 2
< 9 ，所以
× 2 = 99 ，解得
（2n＋1）
1
1
－
1
1
解析∵an＝
＝ 2n－1 2n＋1 ，
（2n－1）
（2n＋1） 2
1
1－
1
1
n
1
1
1 1
1
2n＋1 ＝
∴Sn＝ [(1－ )＋( － )＋…＋(
－
)]＝
.
2
裂项相消法求和
姓名： _______________ 班级： _____________________________数列求和（二）一一 裂项相消法目标：1理解裂项相消法思想。
2使用裂项相消法解决特殊数列求和问题。
3在自学与探究中体验数学方法的形成过程。
一、复习巩固1公式求和法 适用于求 的和。
2 分组求和法 适用于求 的和。
3 错位相减法适用于求的和。
1 1(1 -)(-,、2 2 33 4nn 1二、自学讨论学习以下例题，完成填空。
（限时8分钟）思考与讨论：什么数列可用裂项相消法求和？ 如何裂项？你有好的方法吗？如何相消？你能发现其中的规律吗？ 利用裂项相消法求和的一般步骤是什么？例一：已知a n解：a nn(n 1) n n裂项:①你能证明 ②猜想:S na 1 a 2a 3a n 1结论: (n 1)n n(n 1)1吗?n(n 1) n n 1n n 2 11 n n :1n(n 2)③一般地;1) 相消：怎么消？ 哪些项是不能消去的?a n验证:变式训练：已知a n(2)已知a n （1）三、增效练习（限时 10分钟）5、已知数列 a n 的各项如下:求它的前 n 项和 S n = _______________四、能力提升五、课堂小结 裂项相消法求和: 对于通项公式可拆成两项的数列，我们通常采用裂项相消法逐项消去前后项求数列的和。
裂项相消法求和的一般步骤：求通项一一裂项一一相消一一求和。
六、作业（背面）1 1 123 55 72n 1 2n 33、1 1 11（只需把消完后的项列出，3 54 65 7n(n 2)*34已知a n6n 5 n N ，b n，求T nbi b 2b na n a n 1无需化简）1、已知a n1(2n 1)(2n 1)，S若a n 是等差数列，则a n 1a n d ，所以 a *a n 11a n (a n d)进而，S n1a 2 a 31a n 1a n，若前n 项和为10,则项数为( n + n +1B . 99 D . 121112123123412.已知数列｛a n ｝ = ｛2, § + 2 4 + 4+ 4, 5+ 2 + 3+5 …｝，那么数列｛b n ｝ = ｛爲二｝前 n 项 的和为（ ）1 1 1A. 4（1 -帶）B .屿-帚）1D.2 —3.在数列｛a n ｝中，a 1 = 2, na n +1= （n + 1）a n + 2（n € N *），贝U a 10等于（）A . 34B . 36C . 38D . 401 1 14•等差数列｛a n ｝中，a 1= 3，公差d = 2, S 为前n 项和，求§ +至+…+5.等差数列｛a n ｝的各项均为正数，a 1 = 3,前n 项和为S n ,｛b n ｝为等比数列，b 1= 1,且b 2S 2=64 , b 3S 3= 960.(1)求 a n 与 b n ；1 1 1⑵求和：S 1+ S 2+…+ £1数列｛a n ｝的通项公式是A . 11 C . 120C .6设正数数列的前n项和S n满足S n 1a n 14C求数列a n的通项公式；②设b n1，记数列b n的前n项和T n。
《数列求和裂项》课件
实例二：分式数列的求和
分式数列
(frac{1}{1} + frac{1}{2} + frac{1}{3} + ... + frac{1}{n})
裂项求和
利用分数的性质，将每一项拆分成更小的部分，然后进行求和。
具体操作
(frac{1}{1} + frac{1}{2} + frac{1}{3} + ... + frac{1}{n} = (1 - frac{1}{2} + frac{1}{2} - frac{1}{3} + ... + frac{1}{n - 1} - frac{1}{n}) + frac{1}{n})
裂项求和法的总结
裂项求和法是一种常用的数列求和方法，通过将数列的每一项拆分成易于求和的形式，简化求和过程 。
裂项求和法适用于多种类型的数列，如等差数列、等比数列等，能够有效地解决一些复杂的数列求和问 题。
在应用裂项求和法时，需要仔细分析数列的结构和特点，选择合适的拆分方式，以达到简化求和的目的 。
分式形式的裂项公式在处理具有分式规律的 数列时非常有效，可以大大简化计算过程，
提高解题效率。
几何级数的裂项公式
几何级数的裂项公式是指将数列中的每一项表示为几何级数的形式，然后通过化 简或分解因式，将原数列的求和问题转化为新数列的求和问题。例如，对于数列 $1, 2, 4, 8, ldots$，其裂项公式为$2^{n-1}$。
差分形式的裂项公式在解决数列求和问题中非常常见，尤其在处理等差数列、等比数列等具有明显规 律的数列时，可以大大简化计算过程。
指数形式的裂项公式
指数形式的裂项公式是指将数列中的每一项表示为指数形式，然后通过因式分解或化简，将原数列的求和问题转化为新数列 的求和问题。例如，对于数列$1, 2^2, 3^3, ldots, n^n$，其裂项公式为$frac{1}{2} times (1 + n^n)$。
数列中裂项求和的几种常见模型
数列中裂项求和的几种常见模型模型一：数列{}n a 是以d 为公差的等差数列,且),3,2,1(0,0 =≠≠n a d n ,则)11(1111++-=n n n n a a d a a 例1已知二次函数()y f x =＝3x 2－2x ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上.（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ）设11n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n mT <对所有n N *∈都成立的最小正整数m; (2006年湖北省数学高考理科试题)解：（Ⅰ）因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n 2－2n.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5,当n ≥2时, a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n ）－[])1(2)132---n n （＝6n －5。
（n=1也符合） 所以，a n ＝6n －5 （n N *∈) （Ⅱ）分析：恒成立问题.求m 则m 为参数，n 为变量由（Ⅰ）得知13+=n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)161561(21+--n n ,故T n ＝∑=ni i b 1＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ). 因此,要使21(1－161+n ）〈20m （n N *∈）成立的m,必须且仅须满足21≤20m ，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10..例2在xoy 平面上有一系列点),,(111y x P ),(222y x P ，…，),(n n n y x P ，…，（n ∈N ＊），点P n 在函数)0(2≥=x x y 的图象上，以点P n 为圆心的圆P n 与x 轴都相切,且圆P n 与圆P n +1又彼此外切。
裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法求数列的前n项和
分裂项相消法是指对某个数列进行分裂，使其合并后形成一个可求得前n项和的数列，而后再进行逆运算，来求出数列的前n项和。
它主要应用在求等差数列前n项和的问题上，其基本思想是把等差数列分解成容易相加的形式，在其中可以特定某些项，然后再将它们重新组合，从而使得每一次所做的加法更简单，最后可得到累加的结果。
这种分裂项相消法的实现过程中，首先需要把数列分解成容易相加的表达式，而后再根据相关公式来求解。
例如某一等差数列的前n项和问题，可以把数列分解成2(a1+an)，再通过公式a1+an=(n+1)d/2（d为数列的公差），根据前面的和来求得等差数列前n项和，最终可求得所求答案。
分裂项相消法也可以用在其他无法明确表达的问题上，比如多项式的前n项和求解。
在这种情况下，首先需要把多项式分解成有限个同类项的形式，设置两个变量，一个是粗变项，一个是细变项，进行分解项的求解，然后运用合并项法，最终可以得到多项式前n项和的结果。
总体而言，分裂项相消法是一种较为复杂的求解数列前n项和的方法，它可以起到节省计算时间和错误概率，特别适用于求解较复杂的数列前n项和问题。
数列中裂项求和的几种常见模型
数列中裂项求和的几种常见模型数列问题是高考的一大热点，而且综合性较强，既注重基础知识的掌握，又注重数学思想与方法的运用。
而此类问题大多涉及数列求和，所以数列求和方法是学生必须掌握的，主要的求和方法有：公式法、拆项重组法、并项求和法，裂项相消法、错位相加法、倒序相加法等等，而裂项相消法是其中较为基础、较为灵活的一种，也是出现频率最高，形式最多的一种。
下面就例举几种裂项求和的常见模型，以供参考。
模型一：数列{}n a 是以d 为公差的等差数列，且),3,2,1(0,0 =≠≠n a d n ，则)11(1111++-=n n n n a a d a a 例1已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()nn S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n mT <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ；（2006年湖北省数学高考理科试题）解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2－2x. 又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n2－2n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[])1(2)132---n n （＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N *∈） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知13+=n n na ab ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)161561(21+--n n ，故T n ＝∑=ni i b 1＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ）. 因此，要使21（1－161+n ）<20m （n N *∈）成立的m,必须且仅须满足21≤20m ，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m为10..例2在xoy 平面上有一系列点),,(111y x P),(222y x P ，…，),(n n n y x P ，…，（n ∈N *），点P n 在函数)0(2≥=x x y 的图象上，以点P n 为圆心的圆P n 与x 轴都相切，且圆P n 与圆P n +1又彼此外切. 若n n x x x <=+11,1且. （I ）求数列}{n x 的通项公式； （II ）设圆P n的面积为,,:2n n n n S T S T =+<求证解：（I ）圆P n 与P n+1彼此外切，令r n 为圆P n 的半径， ,)()(,||1212111++++++=-+-+=∴n n n n n n n n n n y y y y x x r r P P 即 两边平方并化简得,4)(121++=-n n n n y y x x由题意得，圆P n 的半径,4)(,212212++=-==n n n n n n n x x x x x y r),(211,2,01111*++++∈=-=-∴>>N n x x x x x x x x nn n n n n n n 即11}1{1=∴x x n 是以数列为首项，以2为公差的等差数列， 所以121,122)1(11-=-=⨯-+=n x n n x n n 即（II ）4422)12(-====n x y r S n n n n ππππ，])12(1311[2221-+++=+++=n S S S T n n π因为 ))12)(32(15.313.111(--++++≤n n π .23)12(223)]1211(211[)]}121321()5131()311[(211{πππππ<--=--+=---++-+-+=nn n n所以，.23π<nT模型二：分母有理化，如：n n n n -+=++111例3已知)2(41)(2-<-=x x x f ，)(x f 的反函数为)(x g ，点)1,(1+-n n a a A 在曲线)(x g y =上)(*∈N n ，且11=a(I)证明数列{21na }为等差数列；(Ⅱ)设1111++=n n n a a b ,记n n b b b S +++= 21，求n S解(I)∵点A n (11,+-n n a a )在曲线y =g (x )上(n ∈N +)，∴点(n n a a ,11+-)在曲线y =f (x )上(n ∈N +)4)1(12--=nna a ,并且a n >021141nn a a +=∴+，),1(411221N n n a a nn ∈≥=-∴+，∴数列{21na }为等差数列 (Ⅱ)∵数列{21na }为等差数列，并且首项为211a =1，公差为4，∴21na =1+4（n —1），∴3412-=n a n ，∵a n >0，∴341-=n a n ，b n ＝1111++n n a a =4341414341--+=++-n n n n ,∴S n ＝b 1＋b 2+…＋b n =43414.......459415--+++-+-n n =4114-+n 例4设40122N =，则不超过1Nn =的最大整数为 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
裂项法求数列的和
【内容提要】笔者在多年的教学中遇到裂项法求和的题型,加以总结,供师生们参考.裂项相消法是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即)()1(n f n f a n -+=，然后累加时抵消中间的许多项。
【关键词】裂项法 求数列的和 等差数列
1等差数列积的倒数和
已知等差数列{}n a 首项1a ，公差d 。
求和：=n s ++322111a a a a …+11+n n a a 解：11+n n a a =n n a a -+11（111+-n n a a ）=d
1（111+-n n a a ） =n s d 1（+-+-32211111a a a a …+111+-n n a a ）=d
1（1111+-n a a ） 其中nd a a n +=+11
求和：（1）=n s +⋅+⋅3
21211…+)1(1+⋅n n (2) =
n s +⋅+⋅741411…+)13()23(1+⋅-n n 2．含二次根式的数列和
已知正项等差数列{}n a 首项1a ，公差d 。
求和：211
a a s n +=+321a a ++…+1
1
++n n a a 。
解：1
1++n n a a =))((111n n n n n
n a a a a a a -+-+++=d 1（n n a a -+1）。
=n s d 1(+-+-2312…+n n a a -+1)=d 1()11-+n a
其中nd a a n +=+11
求和：=n s ++++321
211
…+11
++n n
3．含对数的数列和
已知正项数列{}n a ,求和:=n s ++2312log log a a a a a a
…+n n a a a 1log +(0>a 且1≠a ) 解: n n a
a a 1log +=n a n a a a log log 1-+ =n s +-+-2312log log log log a a a a a a a a …+n a n a a a log log 1-+=11log log a a a n a -+ 求和：=n s ++23
lg 12
lg …+n n 1
lg +
4.含三角函数的数列和
(1)求和：=n s ++x x 2sin sin …+nx sin 解：)]
2cos()2[cos(2
sin 212sin 2sin sin sin x nx x nx x x x
nx nx --+-== =-2
sin 21x [x n x n 21
2cos 212cos --+]
=n s -2
sin 21x [cos 2cos 23x x -+x x 23cos 25cos -+…+x n x n 212cos 212cos --+] =-2
sin 21x [2cos 212cos x
x n -+]
(2)求和：=n s x x x x 3tan 2tan 2tan tan ++…+x n nx )1tan(tan + 解:x tan ==-+])1tan[(nx x n nx x n nx
x n tan )1tan(1tan )1tan(+--+
x nx
x n nx x n tan tan )1tan(1tan )1tan(-+-=+
=n s 1-x x x x x x tan 2tan 3tan 1tan tan 2tan --+-+…+1-x nx x n tan tan )1tan(-+=x x
n x n tan )1tan(tan +-+=x x
n n tan )1tan(1+-+
5含排列组合种数求和
(1) =n s !22!11⋅+⋅+ …+!n n ⋅
解: !n n ⋅=!)!1(n n -+ =n s +-+-!2!3!1!2…!)!1(n n -+=1)!1(-+n
(2) =n s ++!32
!21
…+)!1(+n n
解：)!1(+n n =)!1(1!1)!
1(1)1(+-=+-+n n n n =
n s +-+-!31!21!21!11…+)!1(1!1+-n n =1-)!1(1+n (3) =n s ++2322c c 24c +…+2n c
解：由组合性质3312k k k c c c -=+，得=n s 3435333422c c c c c -+-++…+331n n c c -+=31+n c
6含指数的数列求和
求和：=n s )1)(1()1)(1(3222+++++a a a a a a +…+)
1)(1(1+++n n n
a a a （,0>a 且1≠a ） 解：)1)(1(1+++n n n
a a a =)1
111(111+-+-+n n a a a =n s 1
1111111(11322+-+++-+-a a a a a +…+11111+-++n n a a ） =)1111(111+-+-+n a a a 求和：=n s )12)(12(2)12)(12(23222++++++…+)
12)(12(21+++n n n
7.等差数列的和
已知:12+=n a n 求：n s
解：22)1(n n a n -+= n s =22222312-+-+…+1)1(2-+n =n n 22+
8.等比数列的和
已知:n n a 2=求:n s
解:n n n a 221-=+ n s =2322222-+-+…+n n 221-+=221-+n
9.等差数列乘等比数列的和(主要用错位相减法)
已知:n n n a 5
54-= 求:n s 解:n n n n n n n a 5515541--=-=- n s =+-+-25251510…+n n n n 5511---=n n 5-.。