数列中的裂项法求和举例

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数列求和的“裂项相消法”讲解[1]

裂项相消法(1)求和 1111122334(1)n S n n =++++⨯⨯⨯+…解：通项公式：()()()1111111n n n a n n n n n n +-===-+++所以 111111*********n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…1111n n n =-+=+ (2)求和 1111377111115(41)(43)n S n n =++++⨯⨯⨯-+…解：()()()()()()43411111141434414344143n n n a n n n n n n +--⎛⎫===- ⎪-+-+-+⎝⎭ 得1111377111115(41)(43)n S n n =++++⨯⨯⨯-+… 11111111143771111154143n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦… 1114343n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ ()343nn =+(3)求和 1111132435(2)n S n n =++++⨯⨯⨯+…()()()21111122222n n n a n n n n n n +-⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭ ()()()()1111111113243546572112n S n n n n n n =++++++++⨯⨯⨯⨯⨯--++… 1111111111111112132435462112n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦…11111212n n =+--++ （仔细看看上一行里边“抵消”的规律）311212n n =--++ 最后这个题，要多写一些项，多观察，才可能看出抵消的规律来。

倒序相加法如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法.a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……当{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n 项和适用错位相减即{anbn}型 an 为等差bn 为等比。

数列求和——裂项相消法

数列求和
————裂项相消法
2015全国I卷节选：
若an1

2n
1, 令bn

1 an an 1
, 求{bn}的前n项和Tn。
裂项求和法:
将数列的通项分解成两项或多项的差，使
数列中的项出现有规律的抵消项，只剩下首尾若干项。
一般有两种类型：
类型一：an

k f (n) f (n c)

A[ 1 f (n)
1[ 1
1
]
n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 2)(n 1)
(an
(a 1)an b)(an1

b)
(an
an1 an b)(an1

b)
1 (an b)

1 (an1 b)
类型二：
通过有理化、对数的运算法则、公式的变形、阶乘和组合数

2n Sn
, 求证：T1 T2 L
Tn

3 2
练习：步步高P93例3及跟踪训练3
课堂小结：
1、分解与组合思想在数列求和中的应用。 2、裂项相消常用于方式和根式求和。可以用通项裂解，也可以利用首项裂解，甚至可以利用待定系数法去完成裂开通项
(1)应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩多项，后面也剩多项，
(2)再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．
变式：若数列an的前n项和为Sn满足：
Sn

4 3
an

1 3
•
2n1

2 3
(1)求an
(2)设Tn

例析数列求和的裂项相消法

例析数列求和的裂项相消法多数数学问题中都要求求出一个数列的某一个总和，这种推导过程通常是重复加法，涉及到大量的运算时间和工作量，特别是当数列项数很大时，传统的累加法就会遇到非常大的困难。

裂项相消法便是为了解决这一问题而出现的。

它是将正负型数列按照规律因式分解，以减少运算量，从而达到较快求和的目的。

将数列分解为正、负两种类型，正数加上负数可以使其和为0，也就是把问题转化为查找不同正、负数的有效组合。

求和公式：S=a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+...现在引入另一种折叠方法裂项相消法，它是一种数学方法，将一个正数与一个负数相加，让这两个数的和等于0，可以使用更简便的直接求和方法，使时间和空间复杂度更低，从而提高效率。

该方法的实现可以从两个角度进行:1.正数与负数相邻对消，此时正数和负数的组合要满足：两两之和等于0。

2.正数、负数以不等长度分组，此时组内的和相加的和需要等于0。

以上两种方法实现时，关键在于分组和求和的方式，解决方案有很多种，以下将介绍其中一种实现方式。

假设有一个数列S={S1,S2,S3,S4,…,Sn}，其中n为未知数，需要求和。

可以用裂项相消法将这个数列分解成三步：步骤1：先把数列分组，每一组包括两个数：第一个数是数列中正数的和，第二个数是数列中负数的和。

步骤2:每一组数的和缩小为单个数，因为每一组的和的计算，我们可以等价的将每一组的两个数相加，把它们减小到一个数，这个数就是最后的求和结果。

步骤3：最后再将每一个单个数相加，就得到了最终的求和结果。

以上就是裂项相消法的具体操作过程，它主要用于求和数列中正负数的组合，以更快的时间求出该数列的总和。

因此，裂项相消法是一种简便有效的求和方法。

不过，引入裂项相消法也有其局限性，因为它比累加法要慢，而且它只适用于数列的求和，并不能应用于其它的数学问题，而且在求和过程中，如果不正确求出最终的结果，就会影响最终的结果。

总之，裂项相消法是一种较为简单灵活的求和方法，可以在计算算式上带动效率，减少时间和空间复杂度。

数列之裂项相消求和

=1
3
1(1- )
=39
1-
⇒a1=3,所以 an=3n.
(2)由已知得 bn=log332n+1=2n+1,所以 Tn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),
1
=
=
1
=
1 1
( +2) 2
1 1 1
-
2 1 3
-
1
+2
1
1
1
,所以 ∑ = + + +…+
1
=1
1 1 1
1 1 1
1 1
2 2 4
项和

.
解析 (1)因为 , 9 为函数 () = ( − 2)( − 99) 的两个零点且
(−1)
1+
2
= 2, 9 = 99 .又因为 =
= 3 ，所以数列 {
( − 1) = 2 + 1 .
1
(2)因为
所以
1
(
2

=
=
1
(
2
，所以 9
9×8
1+ 2
< 9 ，所以
× 2 = 99 ，解得
（2n＋1）
1
1
－
1
1
解析∵an＝
＝ 2n－1 2n＋1 ，
（2n－1）
（2n＋1） 2
1
1－
1
1
n
1
1
1 1
1
2n＋1 ＝
∴Sn＝ [(1－ )＋( － )＋…＋(
－
)]＝
.
2

裂项相消法公式大全

裂项相消法公式大全
裂项相消法是一种数学方法，用于解决等差数列、等比数列以及无理数列的求和问题。

该方法的基本思想是将等差数列、等比数列以及无理数列的每一项分别裂项，然后将裂项相消，从而得到等差数列、等比数列以及无理数列的和。

以下是裂项相消法的一些公式:
1. 等差数列求和公式:
Sn = n * (a1 + an) / 2
其中，n 是数列的长度，a1 是数列的首项，an 是数列的最后一项。

2. 等比数列求和公式:
Sn = (n/2) * (a1 * an) / (an + a1)
其中，n 是数列的长度，a1 是数列的首项，an 是数列的最后一项。

3. 无理数列求和公式:
对于无理数列，可以将每一项裂项，然后相消。

例如，对于无理数列π*(n+1)/n，可以将π*(n+1)/n 裂项为π/n 和 (n+1)*π/n，然后将两项相消。

4. 等差数列裂项公式:
a[n+1] - a[n] = (n+1-n)*a1
其中，a[n+1] 是数列的第 n+1 项，a[n] 是数列的第 n 项，n 是数列的长度。

5. 等比数列裂项公式:
a[n+1]/a[n] = (a[n]/a[n-1])*(a[n-1]/a[n])
其中，a[n+1] 是数列的第 n+1 项，a[n] 是数列的第 n 项，n 是数列的长度。

6. 无理数列裂项公式:
π*(n+1)/n - π/n = (n+1-n)*π
其中，π*(n+1)/n 是数列的第 n+1 项，π/n 是数列的第 n 项，n 是数列的长度。

以上是裂项相消法的一些公式，可以根据实际需要选择合适的公式进行求解。

数列求和裂项相消法

数列求和裂项相消法数列求和裂项相消法是一种利用数列中相邻项之差的特殊性质，通过对数列元素进行分解和化简，最终得到数列的和的公式的方法。

具体步骤如下：1. 找出数列中相邻项的差，通过将相邻项进行相减，得到一个新的数列。

2. 对新数列进行合并。

如果新数列中对应的项之间存在相消的情况，可以将它们合并为一个式子。

3. 将合并后的式子进行分解，找出一些特定的公式或规律。

4. 将分解后的公式和规律代入到原数列的求和公式中，得到数列的和的公式。

下面以一个简单的例子来说明这种方法：例子：求数列1+3+5+7+9+...+99的和。

分析：这个数列中相邻项的差为2，所以我们可以将它分解为：1 + (3-2) + (5-2*2) + (7-3*2) + (9-4*2) + ... + (99-49*2)在对每一项进行合并时，可以发现有些项之间存在相消的情况，比如：3-2和2*1可以相消；7-3*2和2*2可以相消；11-4*2和2*3可以相消；... ...因此，我们可以将这些相消的项合并起来，得到下面的式子：1 + 2(1-2) + 2(2-3) + 2(3-4) + ... + 2(49-50)接下来，我们可以将每一项进行拆分，得到如下的式子：1 + 2(-1) + 2(-1) + 2(-1) + ... + 2(-1)或者简写为：1 -2 + 2 - 2 + 2 - ... + 2 - 2这是一个等差数列，公差为-2，首项为1，共有50项。

因此，它的和可以通过等差数列求和公式来计算：S = (a1 + an) * n / 2其中，a1是首项，an是最后一项，n是项数。

将这些值代入到求和公式中，得到：S = (1 - 99) * 50 / 2 = -2450因此，数列1+3+5+7+9+...+99的和为-2450。

总之，数列求和裂项相消法是一种快速求解数列和的方法，尤其适用于一些具有相邻项之差规律的数列。

高中数学拉档提分全攻略——数列分册 ,裂项求和常见32种类型

+
1] 2n +1
Sn
=
1 11
+ +
1 3 1
− −
1 3 1
− −
1 5 1
+ +
1 5 1
+ +
1 7 1
− −
1 7 1
− −
1 9 1
+ +
1 3 3 5 5 7 7 9
(19)
+（ 1 + 1 ）= 1+ 1 , n = 2k +1
2n −1 2n +1
2n +1
−（ 1 + 1 ）= 1− 1 , n = 2k
an−1 = (3n − 5)2n−1 = (3n − 8)2n − (3n −11)2n−1
an = (3n − 2)2n = (3n − 5)2n+1 − (3n − 8)2n
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
n
ak =(3n − 5)2n+1 + 5 21
1
(28) an = n2 2n
=
1 (2n +1) 2n−1
−
(2n
1 + 3)
2n
Sn
=
1 3
−
(2n
1 + 3) 2n
(21)
Sn
=
n k =1
k 2k + 2 (k + 1)(k + 2)
ak
=
k 2k + 2 (k +1)(k + 2)
=
(k
k 2k +1)(k + 2)

等比数列之裂项求和-技巧

等比数列求和之裂项法——杰少，2020年2月27日一、什么是等比数列？等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(q ≠0).例如:①2，4，8，16，…；②13，132，133，…像这样的数列就是等比数列.二、等比数列如何求和？一般对于等比数列求和通常采用【错位相减】的方法. 下面我们来看一种特殊情况的等比数列之和. 【例如】计算:2＋22＋23＋…＋210【解析】显然易得这是公比为2的等比数列之和，则我们一般是令S ＝2＋22＋23＋…＋210 ①，然后在①式两边同乘公比2，并错位书写可得， 2S ＝ 22＋23＋…＋210＋211 ②，再利用②式减去①式，把相同的项抵消，可得2S －S ＝211－2，从而S ＝2048－2＝2046，即:原式＝2046.继续研究错位相减，②－①:2S －S ＝(22＋23＋…＋210＋211)－( 2＋22＋23＋…＋210)， ∴2＋22＋23＋…＋210＝(211－210)＋(210－29)＋…＋(22－2)，即:()1010111222nn n n n +===-∑∑，也就是说，此题我们完全可以采用【裂项相消】求解此题.三、一般等比数列之和如何裂项？我们来研究一下一般情况: 求a ＋a 2＋a 3＋…＋a n (a ≠1)的值.【解析】我们先采用【错位相减】法，寻找裂项的灵感！令 S ＝a ＋a 2＋a 3＋…＋a n ①， ∴aS ＝ a 2＋a 3＋…＋a n ＋a n ＋1 ②，②－①得:(a －1)S ＝(a n ＋1－a n )＋ (a n －a n －1)＋…＋(a 2－a )， ∴()()111nk k k a S aa +=-=-∑，∴()1111nk k k S aa a +==--∑，即:()11111nnkk k k k a aa a +===--∑∑.因此，基于【错位相减】法的灵感，我们找到了直接裂项的方法:()()111111·111nnnkk k k k k k aa a aa a a +====-=---∑∑∑至此，我们就找到了一般情况的等比数列之和的【裂项相消】法.例如:()()()20202020202012021111111331333333122kk k k k k k +====-=-=--∑∑∑ 四、自我挑战例1.计算:【解析】202020202020111202020201111211111112222222n n n n n n n --===-⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭∑∑∑例2.计算:100425nn =⨯∑【解析】202020202020111202020201111211111112222222n n n n n n n --===-⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭∑∑∑例3.计算:1nkk aq=∑，其中aq ≠0，q ≠1.【解析】()()()11111·1111n nnnk k k k k k k a q q a aaq q q q q q q q ++===-=-=-=---∑∑∑.五、拓展延伸形如:()1nk k akb c =+∑，其中ac ≠0，c ≠1，这样的等差×等比之和，我们又如何采用【裂项相消】求解呢？与前面裂项类似，我们希望每一项的裂项都是相邻两项的差值，即如果能出现()()11k k x k y cxk y c +++-+⎡⎤⎣⎦这样的结构，那我们就可以裂项求和，因此，我们可以通过待定系数把x ，y 求解出来. 令()()()11kk kak b c x k y c xk y c ++=++-+⎡⎤⎣⎦， ∴()()()()()111kk k k ak b cx k c yc c xk y c x c k xc y c c +=++-+=-++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，匹配系数可得，()()11x c a xc y c b -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得()2111a x c b ac y c c ⎧=⎪-⎪⎨⎪=--⎪-⎩， ∴()()(){}1111nnkk k k k akb c x k y cxk y c +==+=++-+⎡⎤⎣⎦∑∑＝()()11n x n y cxn y c +++-+⎡⎤⎣⎦，其中()2111a x c b ac y c c ⎧=⎪-⎪⎨⎪=--⎪-⎩.六、自我超越例1.计算:112nk k k =-∑【解析】()111121111122222nnnk kk k n k k k k k k kk n -===-+-++⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭∑∑∑例2.计算:1213nk k k =-∑【解析】()1111312111133333nnnkkk k n k k k k k k k k n -===-+-++⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭∑∑∑例3.计算:12nkk k =⋅∑【解析】令()(){}1112122n nkk k k k k x k y xk y +==⋅=++-+⎡⎤⎣⎦∑∑∴()()1112212222nnnkkkk k k k x k y xk y xk x y ===⋅=++--=++⎡⎤⎣⎦∑∑∑匹配系数可得，120x x y =⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，∴()(){}111212222nnkk k k k k k k +==⋅=+---⎡⎤⎣⎦∑∑＝()()11122122n n ++---⨯⎡⎤⎣⎦＝()1122n n +-+例4.计算:()1213nk k k=+∑【解析】令()()(){}111213133n nkk k k k k x k y xk y +==+=++-+⎡⎤⎣⎦∑∑，∴()()()11121331332323nnnkkkk k k k x k y xk y xk x y ===+=++--=++⎡⎤⎣⎦∑∑∑，令22321x x y =⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩， ∴()()(){}11121311313nnkk k k k k k k +==+=+---⎡⎤⎣⎦∑∑＝()()11113113n n ++---⎡⎤⎣⎦＝13n n +⋅例5.计算:1326nk k k =-∑【解析】()111613237155666nnnkkkk k k k k k ===-+-=-∑∑∑＝11131761525666nnk k kk k k k -==+-⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑∑＝1111317115256666nnk k k k k k k k --==+⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑＝3117115125166n nn +⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝86158256n nn ⨯--⨯说明:本题也可以采用待定系数法求解，方法与例1和例2类似，求出待定系数x 、y 即可，这里不再赘述.。

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数列中的裂项法求和举例
杨恒运
江苏省扬中高级中学（212200）
数列中的求和问题是一个基本问题，应该根据通项公式的形式确定用什么方法求数列的前 n 项和。

裂项法求和的是数列求和中一种常用方法，应用非常广泛,下面就举例说明之。

1. 求通项公式
例1 已知数列｛n a ｝满足：
12132
1,,n n a a a a a a a ---- 是首项为1公比为1
3
的等比数列，求通项n a
由于121321n n n a a a a a a a a -+-+-++-=很容易求出通项1
13n n a -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
2. 求等差数列前 n 项和
例2 在数列{}n a 中,若21
n n a n n s =+，求前项和学生在求和中，数列中的基本元素及求和公式都会搞错，若
用裂项法就很容易求出其前n 项和
略解:显然22
(1)n a n n =+-
12222222
2
2
1 (21)(32)(1) (1)12(1)n n
n s a a a n n n n n
a a n d
=++
+=-+-+++-=+-=+=+-则一般地，若等差数列
()()1 1221211()
3
(21)22d 3 = n+12231122 =na (1)2
n n a dn a d d n a d
n a d d s n a d n n
n d
=+-=++-⎛
⎫⎡⎤-+- ⎪
⎣⎦⎝⎭
⎛⎫
⎡⎤∴=+-+- ⎪⎣⎦⎝
⎭+-则
3．求等比数列前n 项和
对于等比数列前n 项和的推导及记忆应用都是一个难点，若用裂项法的思想，就可以化繁为简
例3 在数列{}n a 中,若2n n
n a n s =，求前项和
{}()
111n 111n 102111121122222
a (1)a a =
()q-1
1(1) (1)11n n n n n n n n n
n n n n n n n
a s a a q q q q a
s a a a q q q q q q q a a q q q q
++---==-∴=-=≠-∴=++=-+-+
---=-=
--略解：一般地在等比数列中若则
4．求通项是等差数列与等比数列对应项乘积的数列的前n 项和对这种数列的前n 项和问题更是一个难点，求和的方法是错位相减法，即使学生记得此方法，但运算正确的也很少，若用裂项法，则运算很简捷。

例4 在数列{}n a 中,若23
3n n
n a -=
，求数列前n 项和。

()13331 33n n
n n n n
a n n
---=-=
-略解：
3n n
n
s ∴=-
例5 在数列{}n a 中,若
23
4n n
n a -= ，求数列前n 项和 ()123
4214433 42111 3443411121441
34314
n n n
n
n n n n n n a n n n n n s --=
---=-⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎛⎫
- ⎪⎛⎫⎝⎭∴=--
⎪⎝⎭-
116494n n n ⎛⎫--= ⎪⎝⎭
()1111a 11 =
q-11n
n n
n n a aq q n n b an b q q q q n n aq
b q q q q ---++⎡⎤⎣
⎦+--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++ ⎪ ⎪⎪
-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
一般地:
由此很容易求出此数列的前n 项和。

5．求有关二项式系数的和例6 化简
2222
234n c c c c +++
+
若利用组合数性质，则有2331k k k c c c +=-
∴原式=2333
2131n n c c c c +++-=
6．求通项是分式形式的数列前n 项和例7 在数列{}n a 中，若1n
a n =+ 设正项数列{}n
b 满足
111,n n n b b b a +==
求证：
)
123
111
121n
b b b b ++++
>
证明：当1n =时不等式显然成立。

当2n ≥时
111n n n
n n n b b a b b a +--== 两式相减得：
()1111
12111
1
1
1
2,1
n n n n n n b b b b b b a b b b b +-+--=∴=-====又
则原式左边=
()()()()314253111
1
n n b b b b b b b b b +-+-+-+-++-
12111
n n b b b b b +=--++
)
1
2221
n n
b b
+
=-++>-+=
所以不等式成立。

7．通项是多项式形式的数列的求和
例8 求数列()
{}1
n n+的前n项和
()
()()()()
()()()() ()()
()()()()()()()() ()()()
()()
3
1211
1
3
1
12302341231211
3
1
=12
3
1
12123112
4
1
123
4
11
n
n
n
n
n
n n n n n n
a n n
s n n n n n n
n n n
a n n n n n n n n n n n
s n n n n
a n n n n n
++--+
=+=
=⋅⋅-+⋅⋅-⋅⋅++++--+
⎡⎤
⎣⎦
++
=++=+++--++
⎡⎤
⎣⎦=+++
==-++
解：
因此
相似地
由上式不难得到()()()
()1
1
112
42
n
n n
s n n n n
+
=-+++
⎡⎤
⎣⎦
类比可求得()()
1
n
a n n n k
=++的前n项和
8．求通项是三角形式的数列前n项和
例9 在数列｛
n
a｝中sin
n
a nx
=,求前n项和
n
s
sin sin
2
sin
sin
2
1
cos cos
222
sin
2
12121
cos cos
22
2sin
2
121
cos cos
22
2sin
2
n
n
x
nx
a nx
x
x x
nx nx
x
n n
x x
x
n x
s x
x
==
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫
-+--
⎪ ⎪
⎢⎥
⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
=
+-
⎡⎤
=--
⎢⎥
⎣⎦
+
⎡⎤
∴=--
⎢⎥
⎣⎦
解：
裂项法在其它形式的数列求和中均有广泛应用，在此不一一举例。

裂项法求和关键在于拆项、消项。

因而具有较强的技巧。

在平时的解题训练中不应生搬硬套，过于追求巧，而应灵活应用。