牛顿运动定律3 能量问题

表明：任何一对作用 力和反作用力所作的总功 具有与参考系选择无关的 不变性质。
r2
A2
O
A1
一对内力的总功只取决于两质点的相对运动；
什么条件下一对内力做功为零?
v
0
m
M
f
s
C
f
v
N
C
s Af Af 0
作用点无相对位移 相互作用力与相对位移垂直
N
AN AN 0
设系统由两个 质点1和2组成，它 们的质量分别为m1 和 m 2。
F1
s1
m1
s2
m2 f12 f 21
F2
分别对m1、 m2 运用质点动能定理：
b1 1 1 2 2 a1 F1 dr1 a1 f12 dr1 2 m1v1b 2 m1v1a b2 b2 1 1 2 2 a2 F2 dr2 a2 f21 dr2 2 m2v2b 2 m2v2a
二．弹性力的功 弹簧劲度系数为k ，一端固定于墙壁，另一端系 一质量为m的物体，置于光滑水平地面。设 a、b 两点 为弹簧伸长后物体的两个位置， xa 和 xb 分别表示物 体在a、b 两点时距 o 点的距离。
O
X X
l0
O xb
x
xa
A xa kx d x 1 2 1 2 A kxa kxb 2 2
ra
O
r
F
m dr

mM d A G0 2 d r r
G0
r
2
cos dr
M
rb
dr
b
A dA r
ra
rb
rb
a
mM G0 2 dr r
1 1 A G0 mM ( ) ra rb
由此可见，万 有引力作功也仅仅 与质点的始末位置
有粘性。 解法一：牛顿运动定律，以棒
为研究对象，在下落的过程中，
受力如图： l
B
x o
棒运动在竖直向下的方向，取
竖直向下建立坐标系。
mg
x
当棒的最下端距水面距离为x时，浮 力大小为：
B xg
此时棒受到的合外力为：
F mg xg g ( l x)
l 利用牛顿第二定律建立运动方程：
A外 A内 Ekb Eka Ek
质点系动能定理：所有外力与所有内力对两质 点做功的代数和等于质点系总动能的增量。
推广:上述结论适用多个质点
由质点系的动能
1 2 Ek Ek i mi vi i i 2
对于第i个质点mi , 所有外力、内力共同做功， 其动能定理为
z
r1

g
所得结果相同，而现在的解法 无疑大为简便。
三．保守力
1. 保守力
势能
功的大小只与物体的始末位置有关，而与所经 历的路径无关，这类力叫做保守力。不具备这种性 质的力叫做非保守力。
a
一．重力作功
c
ha
设质量为m的物 体在重力的作用下从a 点 沿 任 一 曲 线 a-c-b 运动到b点。
b
hb
在元位移 ds 中，重力 G
A保 Ep Ep2 Ep1 Ep1 Ep2


物体在场中某点的势能等于将物体从该点移 到零势点过程中保守力做的功。
A mgha mghb
E p重 mgh
1 2 1 2 A kxa kxb 2 2
E p弹 kx
1 2
2
1 1 Mm A G0 mM r r E p万 G0 r a b
二．动能与动能定理
1. 动能 质点的动能
1 2 Ek mv 2
质点机械运动的量度之一
质点系的动能
1 2 Ek Ek i mi vi i i 2
2. 质点动能定理
出发点：牛顿第二定律
dv Ft mat m dt
A F dr Ft dr Ft ds
力作用点的位移不一定相同
例:系统内力总是成对出现,如图
dA f1 dr1 f 2 dr2 f 2 dr2 dr1 B2 f 2 d r2 r1 B1 dr 2 f2 m2 f1 f 2 dr21 d r1 末 m1 A始末 f 2 d r21 始 r1
b1
将两式相加
F1
s1
m1
s2
m2 f12 f 21
F2
作为系统考虑时，得到：

b1
a1
b2 b1 b1 F1 dr1 F2 dr2 f12 dr1 f 21 dr2
a2 a1 a1
1 1 1 1 2 2 2 2 ( m1v1b m2v2b ) ( m1v1a m2v2 a) 2 2 2 2
合力对质点所作的功等于质点动能的增量
几点注意： （1）合力做正功时，质点动能增大；
反之，质点动能减小。
（2）功和动能的量值与参考系有关。 （3）功是一个过程量，而动能是一个状态量，
它们之间仅仅是一个等量关系。 （4）动能定理只适用于惯性系。
3. 质点系动能定理
多个质点组成的质点系，既要考虑外力，
又要考虑质点间的相互作用力（内力）。
所做的元功是
dA G cos ds mg cos ds
mgdh
A dA
a

G
ha hb
mg dh
mgha mghb
c
dh
ha
b
hb
A mgha mghb
设物体沿任一闭合 路径 acbda 运动一周，
由此可见，重力作功
仅仅与物体的始末位置
§2－3 功与能
中学：恒力作功
能量守恒定律
F
F
一．功（力的空间积累）
A F S cos F S
扩展： 1.变力的功； 2.保守力的功。

s
1.变力的功(功的定义) 元功：
d ri b
dA F dr F dr cos
Fds cos 直角坐标系： F Fx i Fy j Fz k
E p mgh
h=0
弹性势能
万有引力势能
Ep
2 1 kx 2
x=0
r=∞
Mm E p G0 r
势能：质点在保守力场中与位置相关的能量。
它是一种潜在的能量，不同于动能。 保守力与相关势能的关系： 1）凡保守力都有其相关势能,势能属于物
体系,保守力为该势能系统的内力。
2）保守力的功等于其相关势能增量的负值。
五．机械能守恒定律 (1)当过程满足 A外 A非保内 0 系统初、末态机械能相等。
(2) 当各微元过程都满足 dA外 dA非保内 0 时，
时，E1 E2
dE 0
E 恒量，系统机械能守恒。
注意： ①非保守内力做功，总是与机械运动和其它
运动形式相互转换相联系的；非保守内力的
a
ra
O
r
M
F
m dr

有关，与具体路径
无关。
rb
dr
b
保守力的普遍定义：在任意的参考
系中，成对保守力的功只取决于相互作
用质点的始末相对位置，而与各质点的
运动路径无关。
A F dr 0
否则为非保守力（耗散力）
2. 势能
几种常见的势能： 重力势能 势能零点
注意： （1）势能取决于系统内物体之间相互作用
和相对位置. 势能属于物体系统。
（2）物体系统在两个不同位置的势能差具
有一定的量值，它可用成对保守力作的功来衡量。
（3）势能差有绝对意义，而势能只有相对 意义。势能零点可根据问题的需要来选择。
四．功能原理
质点系的动能定理
A外 A内 EK
A外 A保内 A非保内 EK
1 F d r1
a F1
dr
i Fi
元功：
dA F dr Fx dx Fy dy Fz dz
dr dxi dyj dzk
总功： A dA F cos ds F dr
a a a
b
b
b
由此可见，弹性力作功也仅仅与质点的始末 位置有关，与具体路径无关。
xb
l0
O xb
x
xa
X
三．万有引力的功
两个物体的质量分别 为 M 和 m ，它们之间有万 有引力作用。 M 静止，以 M 为原点 O 建立坐标系， 研究m 相对M 的运动。 a
M
F
O
m
r
d A F d r mM G0 2 cos d r r mM
B
x o
dv m g ( l x) dt
mg
x
要求出速度与位置的关系式，利用速度定 义式消去时间：
lv d v g ( l x) d x
积分得到
2 lv 2 gl gl 2 2
v
2 gl gl

解法二：动能定理，如图所示，细 棒下落过程中，合外力对它作的功 为
A

l
0 l
(mg B)dx ( l x) gdx
2
B
l x o
0
1 2 l g l g 2
度v可求 得如下：
1 1 1 2 2 2 l g l g mv lv 2 2 2