《线性代数》客观题100题

《线性代数》练习题
一．填空题
1．设,,αβγ为3维列向量，已知3阶行列式|4,2,2|40--=γαβγα，则行列式|,,|=αβγ_________.
2．设A 是m 阶方阵，B 是n 阶方阵，且, , =a b ⎛⎫== ⎪⎝⎭
O A A B C B O ，则=C ____. 3．设12
3443
21||1012
5116
=--A ，则41424344432A A A A +++=______. 4．设向量(1,2)=α，(2,1)=β，矩阵T
=A αβ，则n =A ____________. 5．设矩阵1100110000200022⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
A ，则n =A ____________________. 6. 设A ，
B 均为n 阶矩阵，2,3==-A B ，则*12-=A B
______. 7．设矩阵A 的逆矩阵11011-⎛⎫=
⎪⎝⎭A ，则T 1()-=A _________，1()*-=A _________. 8．设矩阵A 满足24+-=A A E O ，则1()--=A E ____________.
9．若矩阵12304412a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭
的秩为2，则=a ______.
10．已知34⨯矩阵A 的秩()2R =A ，而102030405⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
B ，则()R =AB ______.
11．当=a ______时, 齐次方程组12312312
332023020x x x x x x x x ax ++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩有非零解.
12．线性方程组123450x x x x x ++++=的基础解系含有______个解向量.
13．设向量组(1,1,1)，(1,2,3)，(2,3,)a 线性相关，则a =______.
14．已知矩阵1234523456357911⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
A ，则秩()R =A ______，齐次线性方程组=Ax 0的解空间的维数等于______.
15．已知向量(1,1,1)=α与(1,2,)a =β正交，则=a ______.
16．若2阶方阵A 满足2
56-+=A A E O ，且A 的两个特征值不相等, 则||=A ____.
17．设3阶方阵A 的特征值为1，2，3，则|6|-=E A ______.
18．设A ，B 都是3阶矩阵，且2E,B 4,A -==-1 则=AB ______. 二．选择题
1. 设123211212,014021302-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
A B ,()i j c ==C AB ，则23c =( ).
(A) 2-; (B) 6; (C) 3-; (D) 2.
2. 设,A B 为n 阶方阵，则必有( ).
(A) =AB BA ; (B) 222
()=AB A B ;
(C) 22()()-=+-A B A B A B ; (D) ||||=AB BA .
3. 设n 阶方阵,A B 满足关系式=AB O , 则必有( ).
(A) =A O 或=B O ; (B) +=A B O ;
(C) ||0=A 或||0=B ; (D) ||||0+=A B .
4．设C B,A,均为二阶方阵，AC AB =，则当( )时，可以推出C B =．
;A )(;A )(⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0011B 1111A
.A )(;A )(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110D 2222C 5．设三阶方阵12[,,]=A ααα，12[,,]=B βαα，其中12,,,αααβ为3 维列向量, 且||5=A ,
||1=-B , 则||+=A B ( ).
(A) 4; (B) 6; (C) 16; (D) 24.
6．设A 为可逆矩阵，则1()
*-=A ( ). (A) 1||A A ; (B) ||A A ; (C) 11||
-A A ; (D) 1||-A A . 7．设,,A B C 均为n 阶方阵，且ABC E =，则必有( ).
(A) BCA E =; (B) BAC E =; (C) CBA E =; (D) ACB E =.
8．设A 是n m ⨯矩阵，若线性方程组=0Ax 仅有零解，则必有( ).
(A) ()R m =A ; (B) ()R m <A ; (C) ()R n =A ; (D) ()R n <A .
9．若向量组,,αβγ线性无关，,,αβδ线性相关. 则( ).
(A) α必可由,,βγδ线性表示; (B) β必不可由,,αγδ线性表示;
(C) δ必可由,,αβγ线性表示; (D) δ必不可由,,αβγ线性表示.
10．设向量组 123,,ααα线性无关，向量1β可由 123,,ααα线性表示，而向量2β不可由 123,,ααα线性表示，则对任常数k ，必有( ).
(A) 123,,ααα，12k +ββ线性无关； (B) 123,,ααα，12k +ββ线性相关；
(C) 123,,ααα，12k +ββ线性无关； (D) 123,,ααα，12k +ββ线性相关.
11．已知向量组1234,,,αααα线性无关，则向量组( ).
(A) 12233441,,,++++αααααααα线性无关；
(B) 12233441,,,----αααααααα线性无关；
(C) 12233441,,,+++-αααααααα线性无关；
(D) 12233441,,,++--αααααααα线性无关.
12．设2λ=是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵2113-()A 有一个特征值为( ). (A) 43; (B) 34; (C) 12; (D) 14
. 13．设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为12,αα，则1α，12()+A αα线性无关的充分必要条件是( ).
(A) 01≠λ； (B) 02≠λ； (C) 01=λ； (D) 02=λ.
14．已知矩阵223012x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭有一个特征向量53-⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则x =( ).
(A) 180-; (B) 16-; (C) 14-; (D) 12-.
15.设A 为3阶方阵，*
A 为A 的伴随矩阵，且2
1A =，则=--*15A (2A)（ ） (A) 16- (B) 9- (C) 4- (D) 6
16.设n 维向量组12345,,,,αααααr r r r r 的秩为3，且满足135230,ααα+-=r r r r 242αα=r r , 则该向量组的最大线性无关组是 ( )
(A) 245,,αααr r r (B) 124,,αααr r r
(C) 123,,αααr r r (D) 135,,αααr r r
2.计算行列式
2112
4014
1210
4212
D
--
-
=
-
--
.
3.
2112 4014 1210 4212
--
-
-
--
.
4.设301110014⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
A ,且2=+A
B A B ,求B .
5．设12312323k k k -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
A ,问k 为何值,可使 (1)()1R =A ;(2)()2R =A ;(3)()3R =A .
6.设12341314(,,,)431010561114⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
αααα, 求向量组1234,,,αααα的秩和一个最大无关组, 再把其余向量用该最大无关组线性表示.
7.求方程组123412341
23432434537761171513x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+-=⎨⎪-+-=⎩的通解.
8.求方程组
1234
1234
1234
20, 51050, 714370;
x x x x
x x x x
x x x x
++-=
⎧
⎪
++-=
⎨
⎪++-=
⎩
的通解.
9.确定a的值使线性方程组
1234
1234
1234
21
242
7411
x x x x
x x x x
x x x x a
-++=
⎧
⎪
+-+=
⎨
⎪+-+=
⎩
有解,并求其解.
10．求下列矩阵的特征值和特征向量.
(1)
563 101 121
-
⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
;
(2)
222 254 245
-
⎛⎫ ⎪
-
⎪ ⎪--
⎝⎭
.。