三角形内角和定理的证明1
三角形内角和三种证明
三角形内角和三种证明
三角形内角和是指三角形内部所有角的度数之和。
为了方便计算和分析，人们一般都将三角形内角和定义为180度。
三角形内角和有三种不同的证明方法。
第一种证明方法是基于平行线相交定理。
这个定理告诉我们，如果一条直线与两条平行线相交，那么相交两侧的对应角相等。
我们可以将三角形的一条边延长，再在延长线上画一条平行线，使其与另一边相交。
这样，我们就得到了两个相等的内角，它们的和是180度。
我们再用同样的方法证明另外两个内角的和也是180度，这样就得到了整个三角形内角和为180度的结论。
第二种证明方法是基于三角形的外角和定理。
这个定理告诉我们，三角形的一个外角等于其对应内角的补角。
也就是说，三角形的三个外角的和等于360度。
然后我们就可以用180度减去一个内角的补角，得到了这个内角的度数。
我们对三个内角分别做这样的计算，再把它们相加，就得到了三角形内角和为180度的结论。
第三种证明方法是基于等腰三角形的性质。
如果一个三角形两边相等，那么它的两个内角也相等。
我们可以把一个三角形分成两个等腰三角形，然后分别计算它们的内角和。
由于它们的内角相等，所以它们的和也相等。
最后把这两个和相加，就得到了整个三角形内角和为180度的结论。
- 1 -。
三角形的内角和证明
三角形的内角和证明
定理:三角形内三个角的和等于180度。
证明:
1. 先取一个平面内的任意直线l,在该直线上取一点P。
2. 在直线l的同侧作一条射线q,使其与直线l的夹角为A。
3. 令q绕点P作旋转,使之与初始位置重合。
4. 在此过程中,q转过了一个平面角。
我们知道,平面角的大小等于360度。
5. 当q旋转时,它与直线l所成的夹角不断变化,从A变为A+B,再变为A+B+C,最后又变回A。
6. 因此,A + B + C = 360度。
7. 由于三角形的三个内角分别为A,B,C,所以三角形的内角和为180度。
结论:任意三角形的内角和都等于180度。
人们常以这种方式来证明三角形内角和等于180度的定理。
该证明基于射线的旋转和平面角的性质,并利用了代数计算。
这种证明不仅清晰简洁,而且富有几何意味,是一种经典的证明方法。
三角形内角和定理的证明
随堂练习
☞
2、已知：如图在△ABC中， 已知：如图在△ABC中 DE∥BC,∠A=600, ∠C=700. 求证： 求证： ∠ADE=500
证明： DE∥BC（已知） 证明：∵ DE∥BC（已知） ∴∠AED=∠C ∴∠AED=∠C D E 两直线平行，同位角相等） （两直线平行，同位角相等） C B ∵∠C=70 已知） ∵∠C=700（已知） （第2题） 题 ∴∠AED=70 等量代换） ∴∠AED=700（等量代换） ∵∠A+∠AED+∠ADE=180 ∵∠A+∠AED+∠ADE=1800 三角形的内角和定理） （三角形的内角和定理） 已知） ∠A=600（已知） ∴∠ADE=180 等量代换） ∴∠ADE=1800-600-700=500（等量代换） 即∠ADE=500
1 2
1 2 B D
图5
3
C
C
图6
D
…………
回顾与思考 ☞
言必有“据”
我们知道三角形三个内角的和等于1800.你还记得这个 结论的探索过程吗? A (1)如图,当时我们是 1 把∠A移到了∠1的位 置,∠B移到了∠2的位 置.如果不实际移动 3 1 2 ∠A和∠B,那么你还有 B 2 C D 其它方法可以 达到同 样的效果? (2)根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一 结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出这一证明 过程吗?与同伴交流. 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.
三角形内角和定理---三角形内角和定理---三角形三个内角的和等于180 三角形三个内角的和等于1800
在证明三角形内角和定理时, 在证明三角形内角和定理时,小明的想法是 把三个角“ 他过点A 把三个角“凑”到A处,他过点A作直线 PQ∥BC(如图),他的想法可以吗 如图),他的想法可以吗? PQ∥BC(如图),他的想法可以吗? P A Q 1 3 2 证明：过点A作 ∥ ， 证明：过点 作PQ∥BC，则 两直线平行,内错角 ∠1=∠B(两直线平行 内错角 B ∠ 两直线平行 C ∠ 两直线平行,内错角相等 两直线平行 内错角相等 相等) 相等 ∠2=∠C(两直线平行 内错角相等) ∵∠1+∠ ∠3 ∠3=1800 (平角的定义 平角的定义) 又∵∠ ∠2+∠3 平角的定义 ∠C=1800 (等量代换 等量代换). ∴ ∠BAC+∠B+∠C ∠ ∠C 等量代换
三角形内角和定理的证明
谢谢大家！
B
C
∠B+∠C=1800-∠A.
∠A+∠C=1800-∠B.
这里的结论,以后可以直接运用.
随堂练习
我是最棒的
直角三角形的两锐角之和是多少度?
等边三角形的一个内角是多少度?
请说明你的结论.
A A
C
B
B
C
结论: 直角三角形的两个锐角互余. 以后可以直接运用.
动脑筋：
1 三角形中最大的角是 70 ，那么这个三角形
又 ∵∠2+∠1+∠BAC=180°
∴∠B+∠C+∠BAC=180° E
A
21
F
B
C
开启
智慧
你还有其他方法来证明三 角形内角和定理吗？
添加辅助线思路：1、构造平角2、构造同旁内角
A
A
E
A
S
N
F
E
Q
P R
B
CB
D
图1
SN P
Q
A R
M
E 图2 A 12 3
B T
CB
D
… …图4… …
图5
CB
M
T
C
F 4
∵ CE∥BA
∴ ∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°
A
E
1
2
B
CD
三角形的内角和等于1800.
证法3：过A作EF∥BA，
∵ EF∥BA
∴∠B=∠2(两直线平行,内错角相等)
三角形内角和定理的证明
2、在证明的过程中,你又是如何实现一 个角的转移的呢?
• 已知：△ABC • 求证：∠A+∠B+∠C=180゜
A E
分析：可作BC的延长线CD ，过点C 作射线CE∥AB，得∠1、∠2， 由于CE∥AB，可得∠A＝∠1， ∠B＝∠2，这样就相当于把∠A 移到了∠1的位置，∠B移到了 ∠2的位置。 B
●在刚才的实验中,说明三角形内角和定理的核心思想是什 么?它又给我们的证明带来怎样的启示呢? 其核心思想是转化思想，即把三角形的内角和转化为一个平角.
启示:在证明中我们可以把其中的两个角移到第三个角的顶点
处,使它们组成一个平角,从而得以证明.
●请同学们思考以下两个问题,然后 分组讨论怎样证明: 1、在证明的过程中,你是如何在第三个角的 顶点处构造平角的呢?
∴ ∠BAC+∠B+∠C=1800 (等量代换).
你有没有其他的证法？
随堂练习
☞
A
我是最棒的
1.直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形 A 的一个内角是多少度?请证明你的结论.
B D C (1) A B C B (2) C E
结论: 直角三角形的两个锐角互余.以后可 以直接运用. 2.已知:如图在△ABC中，DE∥BC,∠A=600, ∠C=700. 求证： ∠ADE=500.
小结
拓展
回味无穷
• 三角形内角和定理. • 结论: 直角三角形的两个锐角互余. • 仔细体会“转化”的数学思想(如把三角形的 内角和转化为一个平角). • 探索证明思路的方法: 由“因”导“果”, 执“果”索“因”.
A
1 2 C
E
D
1
2 D
• 证明:作BC的延长线CD,过点C作射线CE∥AB， ∵CE∥AB（作图） ∴ （两直线平行，内错角相等） ∠1＝∠A ∠2＝∠B（两直线平行，同位角相等 ） 又∵∠ACB+∠1+∠2=180゜（平角定义） ∴∠A+∠B+∠C=180゜（等量代换）
三角形内角和定理的推论
8.如图，AB∥CD，直线 ⊥MN 如图， ∥ ，直线HE⊥ 如图 交MN于E，∠1=130， 于 ， ， 等于（ 则∠2等于（ ）． 等于 A．50 B．40 ． ． C．30 D．60 H ． ．
2 M பைடு நூலகம் E D
A
C
1
N
已知：如图， ∥ ，求证： 已知：如图，AB∥ED，求证： ∠ABC+∠CDE=∠BCD。 ∠ ∠ 。
∠1=∠2，DE∥BC，则 ∠ ， ∥ ， ∠3=______,∠4=______. ∠
A
D
4
3 2
E
1
B
C
5.如图所示，△ABC中，∠B=∠C，E是 如图所示， 如图所示 中 ∠ ， 是 AC上一点，ED⊥BC，DF⊥AB，垂足分别 上一点， ⊥ ， ⊥ ， 上一点 为D、F，若∠AED=140，则∠C= 、 ， ， . ∠A= ∠BDF=
A
D C
B
分析:要证明AD∥BC,只需要证明 “同位角相等”, “内错角相等” 或“同旁内角互补”.
已知:如图 如图6-14,在△ABC中, ∠1是 例2 已知 如图 在 中 是 它的一个外角, 为边 上一点,延长 为边AC上一点 它的一个外角 E为边 上一点 延长 D BC到D,连接 连接DE. 到 连接 2 求证: 求证 ∠1>∠2. ∠ C
已知:如图所示,在△ABC中,外角 A ∠DCA=100°,∠A=45°. 求:∠B和∠ACB的大小.
B C D
已知:如图所示 已知 如图所示. 如图所示 求证:(1)∠BDC>∠A; 求证 ∠ ∠ (2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C. ∠ ∠ ∠
B D E C A
已知:国旗上的正五角星形如图所示 已知 国旗上的正五角星形如图所示. 国旗上的正五角星形如图所示 的度数. 求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数 ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ 的度数
数学课件-3三角形内角和定理的证明
认识推理
❖ 所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理。 归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这 类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（ 简称归纳）。归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理 ，归纳推理善于发现结论。
❖ 例如:在一个平面内，直角三角形内角和是180度；锐角三角 形内角和是180度；钝角三角形内角和是180度；直角三角形 ，锐角三角形和钝角三角形是全部的三角形；所以，平面内 的一切三角形内角和都是180度。
证法二
已知:如图△ABC. 求证:∠A+∠B+∠C=1800.
A
E
1
B
32
C
D
证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,则 ∠1=∠A(两直线平行,内错角相等), ∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等).
这里的 CD,CE称为 辅助线,辅助 线通常画成
虚线.
又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换).
∴ ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB= 180 °1 2 3 4 （等量代换）
D
B
C
试一试
根据下面的图形,写出相应的证明.
A
Q
R
B
P
C(1)SQPNA
S
Q
PN
R
BM T C
(2)
A
R
MT
B
C
(3)
你还能想出其它证法吗?
三角形内角和定理
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.
△ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.
三角形内角和证明方法
三角形内角和证明方法三角形内角和是指三角形的三个内角的度数之和，它是三角形最基本的性质之一。
在本文中，我们将介绍一些关于三角形内角和的证明方法。
1.我们可以使用三角形内角和定理来证明三角形内角和的性质。
根据该定理，三角形的内角和等于180度。
证明方法：假设ABC是一个三角形，我们可以作三角形的外接圆O。
连接AO，BO，CO，以及连接AO与BC的垂线OD。
根据外接圆的性质，AO的长度等于半径R，而R为定值。
又因为AO与OD相交，所以AO的垂足D到外接圆的距离等于OD的长度。
由于OD与BC垂直，并且是BC的中线，所以OD的长度等于BC的一半，即OD=BC/2。
根据三角形ABC的内角和定理，∠A+∠B+∠C=180度，而∠A和∠B是三角形的两个锐角，它们可以理解为AO和BO在三角形内角A和B上的倒影，所以∠A和∠B的和等于AO和BO的倒影两个角之和，即∠A+∠B=∠DOA+∠DOB。
同理，∠B+∠C=∠BOC+∠BOA，∠C+∠A=∠COA+∠COD。
因为∠DOA+∠DOB+∠BOC+∠BOA+∠COA+∠COD=360度，而∠A+∠B+∠C=180度，所以∠DOA+∠DOB+∠BOC+∠BOA+∠COA+∠COD-∠A-∠B-∠C=360度-180度=180度。
同理∠DOA+∠COA=180度-∠A-∠C，∠DOB+∠BOA=180度-∠A-∠B，∠BOC+∠COD=180度-∠B-∠C。
将上述等式代入∠A+∠B+∠C=180度，得到：(180度-∠A-∠C)+(180度-∠A-∠B)+(180度-∠B-∠C)=180度。
化简上述等式，可以得到3*180度-2*(∠A+∠B+∠C)=180度，即3*180度=2*(∠A+∠B+∠C)，进一步化简为∠A+∠B+∠C=180度。
证明完毕。
2.另一种证明三角形内角和的方法是使用拓扑学中的欧拉公式。
根据欧拉公式，一个简单多边形的顶点数、边数和面数之间存在着一个关系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1、掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单 应用。 2、对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验 和符号化的理性作用。 3、通过一题多解、一题多变等，初步体会思 维的多向性，引导学生的个性化发展。
重点：
掌握“三角形内角和定理”。
难点：
三角形内角和定理的证明。
三角形的内角和等于180°，你还记得这个结论的 探索过程吗？ 1、如图1，当时，我们是把∠A移到了∠1的位置， 如果不实际移动∠A，那么你还有什么方法达到同 样的效果？ A 2、根据前面要给出的公理和定理，你能用 自己的语言说说这一结论的证明思路吗？ 你能用比较简洁的语言写出这一证明过程 吗？与同伴交流。
P A Q
B
C
图3
随堂练习: 1、直角三角形的两锐角之和是多少度？等边三角形的 一个内角是多少度？请证明你的结论。 2、已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，∠A= 60°， ∠C=70° ，求证：∠ADE= 50° 。 A
作业
P120，习题6.6 第1,2，3题。
D B
E C
证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA， 则 A
E 1 2
B
∠1= ∠A(两直线平行，内错角相等)， ∠2= ∠B(两直线平行，同位角相等)。
C
图2
D
∵ ∠1+ ∠2+ ∠ACB= 180° (平角的定义)， ∴ ∠A+ ∠B+ ∠ACB= 180° (等量代换)。
议一：
在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角 “凑”到A处，他过点A作直线PQ∥BC(如图3) 他的想法可行吗？
B 图1
1 C
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。
已知：如图2，△ABC。 求证：∠A+ ∠B+ ∠C=180°。 延长BC到D，过点C作射线CE∥BA，这样 就相当于把∠A移到了∠1的位置，把∠B移到了 ∠2的位置。
A
E 1 2 B C D 图2
这里的CD，CE 称为辅助线，辅助线 通常画成虚线。