线性代数第一章第二节
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线性代数第一章第二节
四、作业 P35 1(3) 2(4) 4 8(3) 12(1)(3)
思考题[*]
x
已知
1
1
2
1 f x 3 1
3
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
求 x 的系数.
思考题解答
解 含 x 3 的项有两项,即
x 1 f x 3 1
对应于
t
1
1
2
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
2. a14 a21a33 a44不是四阶行列式中的项 ，a12 a43a31a24是四阶 行列式中的项. a12 a43a31a24 a12 a24 a31a43
1t 2413 a12a24 a31a43a 13 a12a24 a31a43 a12a24 a31a43
t(53412) = 0+1+1+3+3=8 定理 2 n个自然数共有n!个n元排列，其中奇偶排 列各占一半。
二、n 阶行列式的定义
三阶行列式定义为
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
123 231 312 132 213 321 t(123)=0 t(231)=2 t(312)=2 t(132)=1 t(213)=1 t(321)=3
例 3 三阶行列式
例4 四阶行列式
1 2 3
12 3
3 4
例5 n 阶行列式
1 2
12 34
1 2
(1)
n( n 1 ) 2
12 n
n
a 11 a 21 an1
a 12 a 22 an 2
... a 1 n ... a 2 n t ( j1 j2 ......jn ) a1 j1 a2 j2 ......anj n (1) ... a nn
线性代数课件 第一章
0 0 0 0 0 0 ≠ ( 0 0 0 0) . 0 0 0
1 0 (5)单位矩阵 单位矩阵 0 1 E = En = L L O 0 0
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵
L 0 O L 0 L L L 1
a11 a 21 A= L a m1
简记为
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
矩阵A的 (m, n)元
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
, , 系数 aij ( i =1,2,L m, j =1,2,L n) , 常数项 bi (i = 1,2,L,n)
全为1 全为
(6)方阵 方阵 主对角线
a11 a12 a21 a22 A= L L 副对角线 an1 an1
简记为
L a1n L a2 n L L L ann
n× n
矩 A 阵 的
( n, n) 元
A = An× n = ( aij )
.
矩阵的转置
a11 a 21 A= L a m1
定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B 定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B， 就称矩阵A与矩阵B等价， 就称矩阵A与矩阵B等价，记作 A ~ B ． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 例如 用矩阵的初等行变换 解线性方程组
1 0 (5)单位矩阵 单位矩阵 0 1 E = En = L L O 0 0
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵
L 0 O L 0 L L L 1
a11 a 21 A= L a m1
简记为
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
矩阵A的 (m, n)元
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
, , 系数 aij ( i =1,2,L m, j =1,2,L n) , 常数项 bi (i = 1,2,L,n)
全为1 全为
(6)方阵 方阵 主对角线
a11 a12 a21 a22 A= L L 副对角线 an1 an1
简记为
L a1n L a2 n L L L ann
n× n
矩 A 阵 的
( n, n) 元
A = An× n = ( aij )
.
矩阵的转置
a11 a 21 A= L a m1
定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B 定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B， 就称矩阵A与矩阵B等价， 就称矩阵A与矩阵B等价，记作 A ~ B ． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 例如 用矩阵的初等行变换 解线性方程组
线性代数第一章行列式第二节全排列及其逆序数
1，2显，然3叫，做百元位素上.可上以述从问1，题2就，是3三：个把数三字个中不任同选的
元一素个排，所 成一以有列，3种共放有法几；种十不位同上的只排能法从？剩下的两个 数字中选一个，所以有2种放法； 而个位上只能放 最后剩下的一个数字，所以只有1种放法. 因此，
二、全排列
对于 n 个不同的元素，也可以提出类似的问 题： 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不同 的排法？ 为此先给出全排列的定义.
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列（也简称排列）.
n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表
示. 由引例 用1的，结2，果3可三知个P数3 =字3可·以2 ·组1 成= 6多. 少个没
有重复数字的三位数？
解 这个问题相当于说，把三个数字分别放在
为了得出计算 Pn 的公式，可以仿照引例 用1，2
进行讨论：
有重复数字的三位
从 n 个元素中任取一个放在第一个位解置上这位与个数
从剩下的 n – 1 个元素中任取一个放在显第然二，百位上
个位置上，有 n – 1 种取法；
一个，所以有3种放
这样继续下去，直到最后只剩下数一字个中元选素一放个，所
在第 n 个位置上，只有 1 种取法. 于最是后剩下的一个数
2. 计算方法
下面来讨论计算排列的逆序数的方法. 不失一般性，不妨设 n 个元素为 1 至 n 这 n 个 自然数， 并规定由小到大为标准次序. 设
p1 p2 pn
为这 n 个自然数的一个排列，考虑元素 pi （i = 1, 2, … , n）， 如果比 pi 大的且排在 pi 前面的元素有 ti 个，就说 pi 这个元素的逆序数是 ti . 全体元素的 逆序数之和
线性代数-第一章第2节-矩阵的运算
四、矩阵的转置
1. 定义
将矩阵 A m×n 的行换成同序数的列，列 换成同序数的行所得的 n×m 矩阵称为 A的转置矩阵，记作 AT 或 A'。
例如： A 1 0 2
4 3 0
则
AT
1 0
4 3
2 0
2）、转置矩阵的运算性质
1 AT T A;
2 A BT AT BT ;
阵,且HH T E.
证明 HT E 2XXT T ET 2 XXT T
E 2XXT H , H是对称矩阵.
HH T H 2 E 2XX T 2 E 4XXT 4 XXT XXT E 4XXT 4X XT X XT
E 4XX T 4XX T E.
1.55 2.1 2.6
C (cik )32, A (aij )32, B (bjk )22
•而
2
cik aijbjk j 1
• （即A的第i行与B的第k列对应相乘再相加）
三、矩阵与矩阵相乘 定义 设 A = ( aij ) m×s , B = ( bij ) s×n ,
则 A 与 B 的乘积 C＝AB = ( cij ) m×n
A
a21
a22
am1
am 2
a1n
a2n
amn
b11 b12
B
b21
b22
bm1 bm2
b1n
b2n
bmn
a11 b11
A
B
a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n
a2n
b2n
amn
bmn
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
四川大学线性代数教材第一章第二节 ppt课件
解: r1 r3
1 2 1 2 5
2
4
3
4 11
0 0 3 1 6
3
6 10 8 28
r2 2r1
1 2 1 2 5
1 2 1 2 5
0
0
1
0
1
r4 3r1
0
0
1
0
1
0 0 3 1 6
0 0 3 1 6
3
6 10 8 2四8川大学线性代数教材第一章第0二 0
当a20, 即a2时，该齐次线 系性 数方 矩程 阵 主元列数 3，等 与于 未知量个 因数 此相 只等 有， 零
而a当 20, 即 a2时 ， 该 齐 次系 线数 性矩 方阵 主 元 列2， 数小 等于 未 知此 量有 个无 数穷 ，多
四川大学线性代数教材第一章第二 节
四川大学线性代数教材第一章第二节
第二节 行化简与阶梯形矩阵 解的存在性与唯一性
四川大学线性代数教材第一章第二 节
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
5 9 3
1 0 0 2
D 0 1 0
1
A、B、C、D都是阶梯矩阵，
其中D是行最简形矩阵。
0 0 1 2
四川大学线性代数教材第一章第二
节
命题 任何一个非零矩阵都可经初等行变换化为阶梯矩 阵，更进一步可化为行最简形。(证明略)
注意：使用不同顺序的初等行变换，化出来的阶梯矩阵 一般是不同的。但是从一个矩阵出发，通过不同顺序的 初等行变换化简，得到的行最简形是唯一的。
线性代数1-2
所以
Dn 1
n1 n 2
2
n!.
思考题
分别用两种方法求排列16352487的逆序数.
思考题解答
解 用方法1
1 6 3 5 2 4 8 7
N 0 31 21 01 0 8
用方法2 由前向后求每个数的逆序数.
N 0 0 1 1 3 2 0 1 8.
2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;
5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;
4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;
3 2 5 1 4 0 1 0 3 1 于是排列32514的逆序数为
N 32541 0 1 0 3 1 5.
第二节 n 阶行列式
一、排列与逆序
二、n 阶行列式的定义 三、对换
一、排列与逆序
定义1 由自然数 1,2,, n 组成的不重复的每一种有 确定次序的排列, 称为一个 n 级排列（或排列）. 例: 1234和 4213 都是4级排列, 54123和 35142 都是5级排列. 注: n 级排列的总的个数:
2 当 k 为偶数时，排列为偶排列，
k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
二、n 阶行列式的定义
观察三阶行列式
a11 D a 21 a 31
说明
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
解
Dn 1 a1,n1a2 ,n2 an1,1ann
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结第一章 行列式第一节：二阶与三阶行列式把表达式11221221a a a a -称为11122122a a a a 所确定的二阶行列式，并记作11122112a a a a ，即1112112212212122.a a D a a a a a a ==-结果为一个数。
（课本P1） 同理，把表达式112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---称为由数表111213212223313233a a a a a a a a a 所确定的三阶行列式，记作111213212223313233a a a a a a a a a 。
即111213212223313233a a a a a a a a a =112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++--- 二三阶行列式的计算：对角线法则（课本P2，P3） 注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。
利用行列式计算二元方程组和三元方程组：对二元方程组11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩设11122122a a D a a =≠1121222b a D b a =1112212.a b D a b =则1122221111122122b a b a Dx a a D a a ==，1112122211122122.a b a b Dx a a Da a ==（课本P2）对三元方程组111122133121122223323113223333a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，设1112132122233132330a a a D a a a a a a =≠，1121312222333233b a a D b a a b a a =，1111322122331333a b a D a b a a b a =，1112132122231323a ab D a a b a a b =， 则11D x D =，22Dx D =，33D x D=。
线性代数第一章第二节
1.1.3 n阶行列式的定义 定义1.1.4 由n2个元素排成 n行n列,以
a11 a 21 a n1 a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn
记之，称其为 n阶行列式,它代表一个数值. 此数值是取自上式中不同行不同列的n个 元素 a1 j a2 j anj 乘积的代数和，其中
1.1.2 二阶与三阶行列式 本段的目的是叙述行列式这个概念的 形成，这需要从解线性方程组谈起. 设二元一次线性方程组 a11 x1 a12 x 2 b1 , a 21 x1 a 22 x 2 b2 .
（1.1.6）
用消元法去解此方程组.先分别用a22和-a12 去乘（1.1.6）式的一式和二式的两端，然 后再将得到的两式相加，得
定义1.1.2 在一个排列中，若一个较 大的数排在一个较小的数的前面，则称这 两个数构成一个逆序. 一个排列中所有逆 序的总数称为这个排列的逆序数.用 (j1,j2,…,jn)表示排列j1,j2,…,jn的逆序数. 逆序数是偶数的排列称为偶排列，逆序数 是奇数的排列称为奇排列.
对一个n阶排列 j1,j2,…,jn ，如何求它 的逆序数呢？设这个排列中排在j1后面比
i k1 k 2 k s j
（1.1.3）
经过i与j的对换变成
j k1 k 2 k s i （1.1.4） 由排列（1.1.3）变为排列（1.1.4）可以通 过一系列两两相邻的对换来实现.先将i依次 与 k1,k2,…,ks，j经过 s+1次相邻对换后将 （1.1.3）变为
k1 k 2 k s j i
n( n 1) 2
新的排列，这种变换称为排列的一个对换. 如果将排列32514中的2与4对调，则 得到的新排列34512，它的逆序数 ( 34512 )=2+2+2+0=6，为偶排列.这说明， 奇排列32514经过一次对换得到偶排列 34512。一般地，我们有 定理1.1.1 一次对换改变排列奇偶性.
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T
下面证明 ( AB ) T = B T A T
证明： 矩阵， 证明：设 A 是 s × n 矩阵， B 是 n × m 矩阵 , 则 AB 是 s × m 矩阵， AB ) T 是 m × s 矩阵 ; 矩阵， (
B T 为 m × n 矩阵 , A T 为 n × s 矩阵，故 B T A T 为 矩阵， m × s 矩阵 ;
称为反对称矩阵. 那么 A 称为反对称矩阵. 如
1 反对称矩阵的主要特点是: 对称矩阵的主要特点是: 1 5 −2 主对角线上的元素为0,其余 主对角线上的元素为0,其余 0, 的元素关于主对角线 主对角线互为相 −2 −5 0 1 的元素关于主对角线互为相 反数. 反数. −1 2 −1 0 0 2
T
T T
)
= E − 2 ( XX
T
T T
)
= E − 2 XX T = H ,
∴ H 是对称矩阵. 是对称矩阵.
又 HH = H = (E − 2 XX
T
2
T 2
= E − 4 XX T + 4( XX T )( XX T ) = E − 4 XXT + 4 X ( X T X )X T
= E − 4 XXT + 4 XXT = E .
a j1 a j2 = = ( b 1 i , b 2 i , L , b ni ) M a jn =
∑b
k =1
n
ki
a
jk
∑a
k =1
n
jk
b ki , ( i = 1 , 2 ,..., m ; j = 1 , 2 ,..., s )
于是： ( 于是： AB ) T = B T A T
则 bkk > 0, 于是 B = AA ≠ 0.
T
例3 设列矩阵 X = ( x1 , x 2 ,L , x n ) ，满足 X T X = 1,
T
E 为 n 阶单位矩阵，且 H = E − 2 XX T ，证明 H 是对 阶单位矩阵，
称矩阵， 称矩阵，且 HH T = E . 证明
Q H = (E − 2 XX
)
例4 证明任一 n 阶矩阵 A 都可表示成对称阵与 反对称阵之和. 反对称阵之和. 证明
C = A + AT 设
T
则 C = A+ A
B = A − AT , 设
(
T
)=A
T
T
+ A = C,
所以C为对称矩阵. 所以C为对称矩阵. 则 B = A− A
T
(
T
)
T
= AT − A = − B ,
所以B为反对称矩阵. 所以B为反对称矩阵.
−1 0
两个同阶的反对称矩阵的和还是反对称矩阵, 特别 两个同阶的反对称矩阵的和还是反对称矩阵, 反对称矩阵的数乘也是反对称矩阵. 反对称矩阵的数乘也是反对称矩阵.但两个反对称矩 阵的乘积不一定是反对称矩阵. 阵的乘积不一定是反对称矩阵.
阶实矩阵， 例2.设 A = ( a ij ) 3 为一个 3阶实矩阵，若 A ≠ 0. 证明： 证明： AA T 为对称矩阵且 AA T ≠ 0.
1 0 2 3, B = 2 例1 已知 A = 4 4 5 1 0 2 2 3 2 1 = 16 解 AB = 4 3 4 5 28
T
1 求( AB )T , BT AT . , 3
证明 : ( AA T ) T = ( A T ) T A T = AA T , 故 AA T 为对称 矩阵； 矩阵；设
a11 B = AAT = a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a11 a 23 a12 a 33 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 , a 33
T
2、运算规律 A 假定所有运算合法， 是矩阵， （假定所有运算合法， B 是矩阵，λ ∈ R ） （ 1） A
( )
T
T
=A
T
( A + B )T = AT + BT （ 2）
（4） ( AB ) = B A
T T T
（ 3） ( λ A ) = λ A
T
A1 A2 L An−1 An ) = AnT An−1T L A2T A1T 推广 (
1 11 19
2 16 28 所以 （AB = ） 1 11 19
2 4 1 2 4 2 16 28 而且 B A = 0 3 5 = 1 11 19 1 3
T T
显然
Байду номын сангаас
( AB ) = B A
T T
T
对称矩阵 定义 阶方阵， 设 A 为 n 阶方阵，若 AT = A，即 aij = a ji ，
称为对称矩阵 对称矩阵. 那么 A 称为对称矩阵. 如
1 0 1 −1 0 − 1 3 1 1 3 2 2 − 1 1 2 0
对称矩阵的特点是： 对称矩阵的特点是： 它的元素以主对角线 它的元素以主对角线 为对称轴对应相等. 为对称轴对应相等.
两个同阶的对称矩阵的和还是对称矩阵, 特别 两个同阶的对称矩阵的和还是对称矩阵, 对称 数乘也是对称矩阵 乘积不 矩阵的数乘也是对称矩阵.但两个对称矩阵的乘积 矩阵的数乘也是对称矩阵.但两个对称矩阵的乘积不 一定是对称矩阵. 一定是对称矩阵.
反对称矩阵
T 阶方阵， 设 A 为 n 阶方阵，若 A = − A ，即 aij = − a ji ， 定义
第二节
矩阵的转置
1、定义 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩 AΤ .or . A′ . 转置矩阵， 阵，叫做 A 的转置矩阵，记作
例
1 4 1 2 2 2 5. T A= , A = 4 5 8 2 8
B = ( 9 6) ,
9 B = . 6
则bij = a i 1a j 1 + a i 2 a j 2 + a i 3 a j 3 ( i , j = 1,2,3)
特别地， 特别地， B 的对角元素 bii 是实数的平方和 , 即： bii = a i21 + a i22 + a i23 ≥ 0 ( i = 1,2,3), 再由题设 A ≠ 0知， A 至少有一个元素 akl ≠ 0,
A + AT A − AT C B = + , A= + 2 2 2 2
命题得证. 命题得证.
( AB ) T 与 B T A T 是同型矩阵，而且 是同型矩阵，
( AB ) T 的 i 行 j 列元素 = ( AB )的 j 行 i 列元素 ( ＝（ A 的 j 行） B 的 i 列） =
T T T
∑a
k =1
n
jk
b ki
B A 的 i行 j列元素 = ( B 的 i行 )( AT 的 j列 ) = ( B 的 i列 )T ( A 的 j行 ) T
下面证明 ( AB ) T = B T A T
证明： 矩阵， 证明：设 A 是 s × n 矩阵， B 是 n × m 矩阵 , 则 AB 是 s × m 矩阵， AB ) T 是 m × s 矩阵 ; 矩阵， (
B T 为 m × n 矩阵 , A T 为 n × s 矩阵，故 B T A T 为 矩阵， m × s 矩阵 ;
称为反对称矩阵. 那么 A 称为反对称矩阵. 如
1 反对称矩阵的主要特点是: 对称矩阵的主要特点是: 1 5 −2 主对角线上的元素为0,其余 主对角线上的元素为0,其余 0, 的元素关于主对角线 主对角线互为相 −2 −5 0 1 的元素关于主对角线互为相 反数. 反数. −1 2 −1 0 0 2
T
T T
)
= E − 2 ( XX
T
T T
)
= E − 2 XX T = H ,
∴ H 是对称矩阵. 是对称矩阵.
又 HH = H = (E − 2 XX
T
2
T 2
= E − 4 XX T + 4( XX T )( XX T ) = E − 4 XXT + 4 X ( X T X )X T
= E − 4 XXT + 4 XXT = E .
a j1 a j2 = = ( b 1 i , b 2 i , L , b ni ) M a jn =
∑b
k =1
n
ki
a
jk
∑a
k =1
n
jk
b ki , ( i = 1 , 2 ,..., m ; j = 1 , 2 ,..., s )
于是： ( 于是： AB ) T = B T A T
则 bkk > 0, 于是 B = AA ≠ 0.
T
例3 设列矩阵 X = ( x1 , x 2 ,L , x n ) ，满足 X T X = 1,
T
E 为 n 阶单位矩阵，且 H = E − 2 XX T ，证明 H 是对 阶单位矩阵，
称矩阵， 称矩阵，且 HH T = E . 证明
Q H = (E − 2 XX
)
例4 证明任一 n 阶矩阵 A 都可表示成对称阵与 反对称阵之和. 反对称阵之和. 证明
C = A + AT 设
T
则 C = A+ A
B = A − AT , 设
(
T
)=A
T
T
+ A = C,
所以C为对称矩阵. 所以C为对称矩阵. 则 B = A− A
T
(
T
)
T
= AT − A = − B ,
所以B为反对称矩阵. 所以B为反对称矩阵.
−1 0
两个同阶的反对称矩阵的和还是反对称矩阵, 特别 两个同阶的反对称矩阵的和还是反对称矩阵, 反对称矩阵的数乘也是反对称矩阵. 反对称矩阵的数乘也是反对称矩阵.但两个反对称矩 阵的乘积不一定是反对称矩阵. 阵的乘积不一定是反对称矩阵.
阶实矩阵， 例2.设 A = ( a ij ) 3 为一个 3阶实矩阵，若 A ≠ 0. 证明： 证明： AA T 为对称矩阵且 AA T ≠ 0.
1 0 2 3, B = 2 例1 已知 A = 4 4 5 1 0 2 2 3 2 1 = 16 解 AB = 4 3 4 5 28
T
1 求( AB )T , BT AT . , 3
证明 : ( AA T ) T = ( A T ) T A T = AA T , 故 AA T 为对称 矩阵； 矩阵；设
a11 B = AAT = a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a11 a 23 a12 a 33 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 , a 33
T
2、运算规律 A 假定所有运算合法， 是矩阵， （假定所有运算合法， B 是矩阵，λ ∈ R ） （ 1） A
( )
T
T
=A
T
( A + B )T = AT + BT （ 2）
（4） ( AB ) = B A
T T T
（ 3） ( λ A ) = λ A
T
A1 A2 L An−1 An ) = AnT An−1T L A2T A1T 推广 (
1 11 19
2 16 28 所以 （AB = ） 1 11 19
2 4 1 2 4 2 16 28 而且 B A = 0 3 5 = 1 11 19 1 3
T T
显然
Байду номын сангаас
( AB ) = B A
T T
T
对称矩阵 定义 阶方阵， 设 A 为 n 阶方阵，若 AT = A，即 aij = a ji ，
称为对称矩阵 对称矩阵. 那么 A 称为对称矩阵. 如
1 0 1 −1 0 − 1 3 1 1 3 2 2 − 1 1 2 0
对称矩阵的特点是： 对称矩阵的特点是： 它的元素以主对角线 它的元素以主对角线 为对称轴对应相等. 为对称轴对应相等.
两个同阶的对称矩阵的和还是对称矩阵, 特别 两个同阶的对称矩阵的和还是对称矩阵, 对称 数乘也是对称矩阵 乘积不 矩阵的数乘也是对称矩阵.但两个对称矩阵的乘积 矩阵的数乘也是对称矩阵.但两个对称矩阵的乘积不 一定是对称矩阵. 一定是对称矩阵.
反对称矩阵
T 阶方阵， 设 A 为 n 阶方阵，若 A = − A ，即 aij = − a ji ， 定义
第二节
矩阵的转置
1、定义 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩 AΤ .or . A′ . 转置矩阵， 阵，叫做 A 的转置矩阵，记作
例
1 4 1 2 2 2 5. T A= , A = 4 5 8 2 8
B = ( 9 6) ,
9 B = . 6
则bij = a i 1a j 1 + a i 2 a j 2 + a i 3 a j 3 ( i , j = 1,2,3)
特别地， 特别地， B 的对角元素 bii 是实数的平方和 , 即： bii = a i21 + a i22 + a i23 ≥ 0 ( i = 1,2,3), 再由题设 A ≠ 0知， A 至少有一个元素 akl ≠ 0,
A + AT A − AT C B = + , A= + 2 2 2 2
命题得证. 命题得证.
( AB ) T 与 B T A T 是同型矩阵，而且 是同型矩阵，
( AB ) T 的 i 行 j 列元素 = ( AB )的 j 行 i 列元素 ( ＝（ A 的 j 行） B 的 i 列） =
T T T
∑a
k =1
n
jk
b ki
B A 的 i行 j列元素 = ( B 的 i行 )( AT 的 j列 ) = ( B 的 i列 )T ( A 的 j行 ) T