河南省洛阳市2020届高三下学期第二次统一考试(4月)数学(理)试题(解析版)

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2020年河南省洛阳市高考数学模拟试卷(二)(4月份)(有答案解析)

，若 f（x）-（m+2）x≥0 恒成立，则实数 m 的取
值范围是______． 16. 设过抛物线 y2=2px（p＞0）上任意一点 P（异于原点 O）的直线与抛物线 y2=8px
（p＞0）交于 A，B 两点，直线 OP 与抛物线 y2=8px（p＞0）的另一个交点为 Q，
则 =______.
三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 若数列{an}是公差为 2 的等差数列，数列{bn}满足 b1=1，b2=2，且 anbn+bn=nbn+1．
D. 6π+12
7. 设 x，y 满足约束条件
，则 z=2x+y 的取值范围是（）
A. [-2，2]
B. [-4，4]
C. [0，4]
D. [0，2]
8. 已知△ABC 中，sinA，sinB，sinC 成等比数列，则
的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.
9. 在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人--宰相宰相西萨•班• 达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第 1 个小格里，赏给我 1 粒麦子，在第 2 个小格里给 2 粒，第 3 小格给 4 粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的 64 格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（）
（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；

2020届河南广东等省高三普通高等学校招生全国统一考试4月联考数学(理)试题-(带答案解析)

2020届河南广东等省高三普通高等学校招生全国统一考试4月联考数学（理)试题1．设集合{}2230,A x x x x N =--<∈，则集合A 的真子集有（） A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个2．已知i 是虚数单位，则化简202011i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭的结果为（）A ．iB ．i -C ．1-D ．13．若干年前，某教师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（）A ．4500元B ．5000元C ．5500元D ．6000元4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（） A ．27B ．37C ．17D ．3145．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点(M 的直线l 交抛物线于另一点N ，则:NF NM等于（）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:6．在所有棱长都相等的直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别为棱1CC 、AC 的中点，则直线AB 与平面1B DE 所成角的余弦值为（）A B C D7．已知点()4,3A ，点B 为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（）A ．5BCD8．给出下列说法：①定义在[],a b 上的偶函数()()24f x x a x b =-++的最大值为20；②“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件；③命题“()00,x ∃∈+∞，0012x x +≥”的否定形式是“()0,x ∀∈+∞，12x x+<”．其中正确说法的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．39．已知log 30m >， 4log 2a m =，3log 2b m =，0.52c m =，则a 、b 、c 间的大小关系为（） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤15=斤，1斤16=两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（） A ．9两B ．266127两 C ．26663两 D ．250127两 11．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若cos cos 3c a B b A -=，则cos cos cos a Ba Ab B+的最大值为（）AB．2CD12．已知()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()3log 31xf xg x +=+，不等式()()30g x f x t --≥对x ∈R 恒成立，则t 的最大值为（）A ．1B ．332log 2-C ．2D ．33log 212-13．已知向量(2,a =r ，(1,b =r ，则b r 在a r方向上的投影等于__________．14．在ABC V 中，2π3B ∠=，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且12BC AB =，则E 的离心率为__________． 15．已知函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是奇函数，且在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值是__________．16．已知三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，2BC CD ==，AB AD ==，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为__________．17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n n S na a =+-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：32n T <． 18．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF DF ⊥， AF =，45DFE CEF ∠=∠=o ．（1）证明//DC EF ；（2）求二面角D BE C --的平面角的余弦值．19．已知点P 在圆:O 229x y +=上运动，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足4PQ =u u u r u u u r.（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设()()3,0,3,0G H -,过点()1,0F 的动直线l 与曲线 E 交于,A B (不同于,G H )两点.问：直线AG 与BH 的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.20．某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A 、B 、C ．经过引种实验发现，引种树苗A 的自然成活率为0.7，引种树苗B 、C 的自然成活率均为()0.60.8p p ≤≤．（1）任取树苗A 、B 、C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活． ①求一棵B 种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元，该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种B 种树苗多少棵？ 21．已知函数()()1ln f x a x x x =-+的图象在点()()22,A e f e （e 为自然对数的底数）处的切线斜率为4．（1）求实数a 的值；（2）若m Z ∈，且()()11m x f x -<+对任意1x >恒成立，求m 的最大值．22．以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为,22ρθππ⎫⎡⎤=∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎭，直线l 的参数方程为2cos 4sin x t y t αα=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．（1）点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：210x y ++=垂直，求点A 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围． 23．设函数()121f x x x =-++，x ∈R .（1）求不等式()5f x <的解集；（2）若关于x 的不等式()221f x t +<-在实数范围内解集为空集，求实数t 的取值范围．参考答案1．C 【解析】【分析】解出集合A ，确定集合A 中元素的个数，利用真子集个数公式可求得结果. 【详解】由{}{}{}2230,13,0,1,2A x x x x N x x x N =--<∈=-<<∈=，集合A 有3个元素，因此，集合A 的真子集个数为3217-=个. 故选：C ．【点睛】本题考查集合的真子集个数，需要解一元二次不等式，以及需要注意x ∈N ，属简单题． 2．D 【解析】【分析】计算出11ii i+=-，再利用()n i n N *∈的周期性可求得结果. 【详解】()()()21121112i ii i i i i ++===--+Q ，又41i =，()202050520204111i i i i +⎛⎫=== ⎪-⎝⎭.故选：D. 【点睛】本题考查复数指数幂的计算，涉及复数的除法运算以及()ni n N *∈的周期性的应用，考查计算能力，属于基础题. 3．B 【解析】【分析】设目前该教师的退休金为x 元，利用条形图和折线图列出方程，可得结果. 【详解】刚退休时就医费用为：400015%600⨯=元，现在为就医费用占退休金的10%，设目前该教师的退休金为x 元，则由题意得400015%10%100x ⨯-=，解得 5000x = 故选：B ．【点睛】本题通过统计图表考查考生的数据处理能力，属于简单题 4．B 【解析】【分析】分三种情况讨论：①甲指挥交通，乙不指挥交通；②乙指挥交通，甲不指挥交通；③甲、乙都指挥交通.利用分步计数原理求出甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的排法种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】①甲指挥交通，乙不指挥交通，则丙不能指挥交通，故有3510C =种方法；②乙指挥交通，甲不指挥交通，则丙必须指挥交通，故有2510C =种方法； ③甲、乙都指挥交通，则丙不能指挥交通，故有2510C =种方法．所以满足条件的概率为2548337C C =，故选：B ．【点睛】本题考查古典概型以及排列组合的基础知识，属中等题． 5．C 【解析】【分析】求出直线MF 的方程，将该直线的方程与抛物线的方程联立，求出点N 的横坐标，利用抛物线的定义可求得:NF NM的值.【详解】抛物线的焦点为()1,0F，所以31FM k ==-由)241y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得：231030x x -+=， 13x ∴=，213x =，2121113214323px FN MN x x p ++∴===++++，故选：C ．【点睛】本题考查过拋物线焦点的弦，考查方程思想的应用，考查计算能力，属中等题． 6．C 【解析】【分析】设正三棱柱111ABC A B C -的所有边长均为2，取11A C 的中点F ，以点E 为坐标原点，EC 、EB 、EF 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出直线AB 与平面1B DE 所成角的正弦值，进而可得出该角的余弦值. 【详解】设正三棱柱111ABC A B C -的所有边长均为2，取11A C 的中点F ，连接EF ，以点E 为坐标原点，EC 、EB 、EF 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则点()1,0,0A -、()B、()1,0,1D 、()0,0,0E、()12B ，()1,0,1ED =u u u r，()1EB =u u u r，()AB =u u u r ，设平面1B DE 的法向量为(),,n x y z =r，由100n ED n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u v v ，得020x z z +=⎧⎪+=，取z =则x =2y =，2,n ∴=r ，设直线AB 与平面1B DE 所成角为θ，则sin cos ,AB n AB n AB n θ⋅=<>===⋅u u u r ru u u r r u u u r r，则cos θ==故选：C. 【点睛】本题以直三棱柱为材料考查了直线与平面所成的角，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和计算能力，属中等题． 7．C 【解析】【分析】作出不等式组所表示的平面区域，标出点A 的位置，利用图形可观察出使得AB 最小时点B 的位置，利用两点间的距离公式可求得AB 的最小值. 【详解】作出不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如下图所示：联立0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，由图知AB 的最小值即为()4,3A 、()2,2B 两点间的距离，所以AB =故选：C ．【点睛】本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题． 8．D 【解析】【分析】根据偶函数的定义求得a 、b 的值，利用二次函数的基本性质可判断①的正误；解方程tan 1x =，利用充分条件和必要条件的定义可判断②的正误；根据特称命题的否定可判断③的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，二次函数()()24f x x a x b =-++的对称轴为直线42a x +=，该函数为偶函数，则402a +=，得4a =-，且定义域[]4,b -关于原点对称，则4b =，所以，()24f x x =+，定义域为[]4,4-，()()max 420f x f ∴=±=，命题①正确；对于命题②，解方程tan 1x =得()4x k k Z ππ=+∈，所以，tan 14x x π=⇒=，tan 14x x π=⇐=/，则“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件，命题②正确；对于命题③，由特称命题的否定可知③正确. 故选：D. 【点睛】本题以考查命题真假性的形式，考查函数奇偶性、二次函数最值，充分条件与必要条件还有特称命题的否定，考查的知识点较多，能较好地检测考生的逻辑推理能力，属中等题． 9．A【解析】【分析】由题意得出1m >，利用指数函数和对数函数的单调性比较4log 2、3log 2和0.52三个数的大小关系，再由指数函数的单调性可得出a 、b 、c 三个数的大小关系. 【详解】log 30log 1m m >=Q ，所以，对数函数log m y x =为()0,+∞上的增函数，则1m >，0.54331log 2log log 2122==<<<Q ，又指数函数xy m =为R 上的增函数，故0.534log 2log 22m m m <<，即a b c <<. 故选：A ．【点睛】本题考查了指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属中等题． 10．B 【解析】【分析】先计算出银的质量为266两，设分银最少的为a 两，由题意可知7人的分银量构成首项为a ，公比为2的等比数列，利用等比数列的求和公式可求得a 的值. 【详解】共有银161610266⨯+=两，设分银最少的为a 两，则7人的分银量构成首项为a ，公比为2的等比数列，故有()71226612a -=-，所以266127a =，故选：B ．【点睛】本题以元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提出的问题为背景，贴近生活，考查了等比数列的求和问题，本题注重考查考生的阅读理解能力、提取信息能力、数学建模能力以及通过计算解决问题的能力，属中等题． 11．B【解析】【分析】利用边角互化思想结合等式cos cos 3ca Bb A -=可得tan 2tan A B =，利用边角互化思想可得cos 1cos sin cos cos cos sin a B A B a A b B B A=++，利用基本不等式可求得所求代数式的最大值.【详解】cos cos 3ca Bb A -=Q ，()()3sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos A B B A C A B A B B A ∴-==+=+，即tan 2tan A B =，A ∴、B 均为锐角且cos sin cos cos cos sin cos sin cos a B A Ba Ab B A A B B=++1cos sin 2cos sin A BB A====+，故选：B ．【点睛】本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，还需要结合基本不等式求最值，属中等题． 12．B 【解析】【分析】根据函数()y f x =为奇函数，函数()y g x =为偶函数，利用方程组法求出这两个函数的解析式，由()()30gx f x t --≥得出()33231log3x xt +≤，换元30xp =>，利用导数求出函数()321p y p+=的最小值，即可得出实数t 的最大值.【详解】Q 函数()y f x =为奇函数，()y g x =为偶函数，且()()()3log 31x f x g x +=+，①()()()3log 31x f x g x -∴-+-=+，即()()()3log 31x f x g x --+=+，②①-②得：()()()33331312log log 31331x x x xx x f x x --++===++，()2x f x ∴=，()()3log 312x x g x ∴=+-，由()()30gx f x t --≥得()()()()33323133log 312log 3xx xt g x f x x +-=+-=≤，令30xp =>，()321p y p +=，则()()2312p p y p +-'=.当02p <<时，0y '<，此时函数()321p y p+=单调递减；当2p >时，0y '>，此时函数()321p y p+=单调递增.所以，当2p =时，函数()321p y p +=取得最小值，即min 274y =， 3327log 32log 24t ∴≤=-. 故选：B ．【点睛】本题考查函数的奇偶性．恒成立问题，需要结合导数求函数的最值，属于难题． 13．83- 【解析】【分析】设a r 与b r 的夹角θ，利用向量的数量积的坐标运算可求得b r 在a r方向上的投影为cos a b b aθ⋅=r rr r .【详解】设a r 与b r 的夹角θ，则b r 在a r方向上的投影为2108cos 33a b b aθ⋅-===-r rr r ．故答案为：83-. 【点睛】本题通过求一个向量在另一个向量上的投影，考查平面向量的坐标运算，属简单题．14 【解析】【分析】利用余弦定理求出AC ，利用双曲线的定义建立a 与c 的等量关系，进而可求得双曲线的离心率. 【详解】由题意，2AB c =，BC c =，ABC V 中，2π3B ∠=，AC ∴===．2c a -=，得：13c e a ==．.. 【点睛】本题考查双曲线的离心率问题，涉及余弦定理与双曲线定义的应用，属中等题． 15．2 【解析】【分析】先根据函数()y f x =为奇函数结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值，化简可得()sin f x x ω=-，由,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求得,64x πωπωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得出,,6422πωπωππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，进而得出关于ω的不等式组，由此可得出实数ω的最大值. 【详解】Q 函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是奇函数，则()0cos 0f ϕ==，0ϕπ≤≤Q ，2πϕ∴=，()cos sin 2f x x x πωω⎛⎫∴=+=- ⎪⎝⎭.,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦Q ，,64x πωπωω⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦. Q 函数()y f x =在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则,,6422πωπωππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 62420πωππωπω⎧-≥-⎪⎪⎪∴≤⎨⎪>⎪⎪⎩，解得02ω<≤，因此，ω的最大值是2. 故答案为：2. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，主要考查利用奇偶性与单调性求参数，考查计算能力，属中等题． 16．92π 【解析】【分析】作出图形，求BD 的中点为E ，连接AE ，确定外接球球心在线段AE 上，设外接球的半径为R ，可得出2OE R =-，然后在Rt ODE △中利用勾股定理可求得R 的值，最后利用球体体积公式可求得结果. 【详解】Q 平面ABD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，取BD 的中点为E ，连接AE ，BCD V 的外接圆圆心为点E ，则外接球的球心O 在AE 上，且BD =，ED =2AE ==，设外接球半径为R ，则2OE R =-，在Rt ODE △中，222OD OE DE =+，即()2222R R =+-，得32R =，因此，三棱锥A BCD -的外接球的体积为3344393322V R πππ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭．故答案为：92π. 【点睛】本题考查外接球体积的计算，解答时要分析几何体的结构，确定球心的位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 17．（1）()*1n a n n N =+∈．（2）见解析【解析】【分析】（1）令1n =求得1a 的值，令2n ≥，由112n n n S na a =+-得出()1111112n n n S n a a ---=-+-，两式相减得出11n n a a n n -=+，由此可得出数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，进而可求得数列{}n a 的通项公式；（2）利用放缩法得出()()2222211221n a n n n n n =<=-+++，再利用不等式的基本性质和裂项求和法可证得所证不成立成立. 【详解】（1）当1n =时，111112S a a =+-，即12a =，当2n ≥时，112n n n S na a =+-①， ()1111112n n n S n a a ---=-+-②， ①-②，得：()112122n n n n n a na n a a a --=--+-，即()11n n na n a -=+，11n n a a n n-∴=+，且112a=，∴数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以每一项均为1的常数列，则11n a n =+，即()*1n a n n N =+∈；（2）由（1）得1n a n =+，()()2222211221n a n n n n n ∴=<=-+++， 11111111113113243522122n T n n n n ∴<-+-+-++-=+--<+++L .【点睛】本题第（1）问通过给出数列的项n a 与其前n 项和n S 的关系，求n a 的递推关系式，进一步求数列{}n a 的前n 项和，第（2）问考查了用裂项相消法求和，主要考查考生的基础知识和基本技能是否扎实，属中等题．18．（1）见解析；（2. 【解析】【分析】（1）证明出//AB 平面EFDC ，然后利用线面平行的性质定理可证明出//DC AB ，再利用空间平行线的传递性可得出结论；（2）证明出平面ABEF ⊥平面EFDC ，然后作DG EF ⊥，垂足为G ，可得出DG ⊥平面ABEF ，由此以点G 为坐标原点，GF uuu r 的方向为x 轴正方向，GD u u u r的方向为z 轴正方向，GF u u u r为单位长建立空间直角坐标系，利用空间向量法能求出二面角D BE C --的平面角的余弦值.【详解】（1）Q 四边形ABEF 为正方形，//AB FE ∴，AB ⊄Q 平面EFDC ，FE ⊂平面EFDC ，//AB ∴平面EFDC ，AB ⊂Q 平面ABCD ，平面ABCD I 平面EFDC DC =，//DC AB ∴，因此，//DC EF ；（2）AFEF ⊥Q ，AF DF ⊥，EF DF F =I ，AF ∴⊥平面EFDC ，AF ⊂Q 平面ABEF ，∴平面ABEF ⊥平面EFDC ，作DG EF ⊥，垂足为G ，DG ⊂Q 平面EFDC ，平面ABEF I 平面EFDC EF =，DG ∴⊥平面ABEF ，以点G 为坐标原点，GF uuu r 方向为x 轴正方向，GD u u u r为z 轴正方向，GF u u u r 为单位长，如图建立空间直角坐标系，则45DFG CEF ∠=∠=o ，()0,0,1D ∴，()3,0,0E -，()2,0,1C -，()3,4,0B -． ()3,4,1BD ∴=-u u u r ，()3,0,1ED =u u u r，设平面DBE 的法向量为()111,,m x y z =u r，则00m BD m ED ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即1111134030x y z x z -+=⎧⎨+=⎩，取13z =，则11x =-，10y =，所以， ()1,0,3m =-u r ，又()1,4,1BC =-u u u r ，()1,0,1EC =u u u r，设平面BEC 的法向量为()222,,n x y z =r，则00n BC n EC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即22222400x y z x z -+=⎧⎨+=⎩，令21z =，则21x =-，20y =，()1,0,1n ∴=-r ，设二面角D BE C --的平面角为θ，cos m n m nθ⋅∴===⋅u r r u r r即二面角D BE C --．【点睛】本题第（1）问考查了空间中直线、平面平行的判定定理和性质定理，第（2）问求二面角，考查空间向量坐标运算，属中等题．19．(1) 22198x y +=;(2)是定值为12.【解析】【分析】(1)设()()00,,,M x y P x y ,根据4PQ =u u u r u u u r ,用,x y 表示00,x y ,代入229x y +=即可求出轨迹E 的方程.(2)设出直线方程,与轨迹E 的方程联立,由韦达定理求出交点坐标的关系,对斜率之比进行化简即可判断. 【详解】(1)解:设()()00,,,M x y P x y ,则()0,0Q x .()()000,,,PQ y MQ x x y ∴=-=--u u u r u u u u r. 4PQ =u u u r u u u r Q)0004x x y ⎧=-⎪∴⎨-=-⎪⎩解得004x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩()00,P x y Q 在229x y +=上,229x ∴+=⎝⎭,整理得22198x y +=故动点M 的轨迹E 的方程为22198x y +=.(2)解:由题意知, l 的斜率不为0,则设:1l x my =+,()()1122,,,A x y B x y ,与曲线 E 方程联立得221198x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ,整理得()228916640m y my ++-=则1212221664,8989m y y y y m m +=-=-++ ()12124my y y y ∴=+ 直线AG 的斜率1113y k x =+,直线BH 的斜率2223y k x =- 此时()()()()121211211212212112212232244213444442y x y my k my y y y y y k y x y my my y y y y y ---+-=====+++++所以直线AG 与BH 的斜率之比是定值,为12. 【点睛】本题考查了轨迹方程,考查了直线与椭圆的位置关系.对于过定点的直线问题,一般在设的时候,如果可以确定斜率存在,则可用点斜式;若可以确定斜率不为0,但不确定斜率存在与否,则可设直线方程为x ay b =+.本题难点是,有韦达定理找出()12124my y y y =+. 20．（1）分布列见解析，()20.7E X p =+；（2）①0.92；②277棵. 【解析】【分析】（1）根据题意得出随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可求得随机变量X 的数学期望；（2）①由（1）知当0.8p =时，()E X 最大，然后分一棵B 种树苗自然成活和非自然成活两种情况，可求得所求事件的概率；②记Y 为n 棵树苗的成活棵数，由题意可知(),0.92Y B n ~，利用二项分布的期望公式得出()0.92E Y n =，根据题意得出关于n 的不等式，解出n 的取值范围即可得解.【详解】（1）依题意，X 的所有可能值为0、1、2、3，则()()2200.310.30.60.3P X p p p ==-=-+，()()()2210.710.3210.10.80.7P X p p p p p ==-+⨯-=-+，()()22220.710.3 1.1 1.4P X p p p p p ==⨯-+=-+， ()230.7P X p ==.所以，随机变量X 的分布列为：()()()22210.10.80.72 1.1 1.430.720.7E X p p p p p p ∴=⨯-++⨯-++⨯=+；（2）由（1）知当0.8p =时，()E X 取得最大值．①一棵B 种树苗最终成活的概率为：()0.810.80.750.80.92+-⨯⨯=， ②记Y 为n 棵树苗的成活棵数，则(),0.92Y B n ~，()0.92E Y n =，()0.924000.0880100000n ∴⨯-⨯≥，100000276.55361.6n ≈≥．所以该农户至少要种植277棵树苗，才可获利不低于10万元．【点睛】本题通过“果树种植”的例子，第（1）问考查了随机变量及其分布列，数学期望等基础知识点，第（2）问考查了考生数学建模的能力，即把实际问题转化为数学问题，再运算求解的能力，对于考生的综合分析能力提出较高要求，属中等题． 21．（1）2a =；（2）m 的最大值为3．【解析】【分析】（1）由题意得出()24f e'=，进而可求得实数a 的值；（2）求得()ln f x x x x =+，由参变量分离法得出ln 11x x x m x ++<-，构造函数()ln 11x x x g x x ++=-，利用导数求出函数()y g x =在区间()1,+∞上的最小值，进而可得出整数m 的最大值. 【详解】（1）()()1ln f x a x x x =-+Q ，()ln f x x a ∴'=+，Q 函数()()1ln f x a x x x =-+的图象在2x e =处的切线斜率为4，()24f e ∴'=，即2ln 4a e +=，因此，2a =；（2）由（1）知()ln f x x x x =+．()()1m x f x -<Q 对任意1x >恒成立，()1ln 111f x x x x m x x +++∴<=--对任意1x >恒成立，令()ln 11x x x g x x ++=-，则()()()()()()22ln 21ln 1ln 311x x x x x x x g x x x +--++--==--'，令()ln 3u x x x =--，则()11u x x'=-， 1x >Q ，()0u x ∴'>，()ln 3u x x x ∴=--在()1,+∞为增函数，()41ln 40u =-<Q ，()52ln50u =->，∴存在()04,5x ∈，使()000ln 30u x x x =--=，当()01,x x ∈时，()0g x '<，函数()y g x =单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，函数()y g x =单调递增.()()()00000000min 0031ln 1111x x x x x x g x g x x x x +-+++∴====---，故有01m x <-对1x >恒成立．()04,5x ∈Q ，()013,4x ∴-∈，因此，m 的最大值为3．【点睛】本题第（1）问考查切线问题，较基础；第（2）问考查恒成立问题，使用适当的变换，可以归结为函数的最值问题．需要注意的是，这里需要用到设而不求的未知数的技巧，主要考查了转化与化归思想的使用，数形结合能力和运算求解能力，对考生的要求较高，属难题． 22．（1）点A的坐标为,55⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭；（2）{}44122⎛-+ ⎝⎦U . 【解析】【分析】（1）求出曲线C 的普通方程，根据题意求出直线OA 的方程，再将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，即可求得点A 的坐标；（2）设直线l 的方程为()24y k x =-+（其中k 为直线l 的斜率），求出直线l 与半圆C 相切时直线l 的斜率k 的值，设点(B，(0,D ，()2,4P --，求出直线PB 、PD 的斜率，利用数形结合思想可求得直线l 的斜率的取值范围.【详解】（1）由,22ππρθ⎫⎡⎤=∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎭，所以，曲线C 的直角坐标方程为：()2220x y x +=≥， Q 点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：210x y ++=垂直，∴直线OA 与直线：210x y ++=平行，∴直线OA 的斜率12-，即OA 的方程为12y x =-，由222120x y y x x ⎧+=⎪⎪=-⎨⎪≥⎪⎩，得：5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即点A的坐标为,55⎛- ⎝⎭；（2）将直线l 化为普通方程：()24y k x =-+（k 为直线l 的斜率），当直线l 与半圆()2220x y x +=≥=2870k k ∴-+=，1k ∴=或7k =，设点(B，(0,D ，()2,4P --，则PB k =，PC k =．由图象知，当直线l 与半圆C 相切时，则PD k k <，此时1k =.因此，当直线l 与半圆C 有且只有一个公共点时，直线l的斜率的取值范围是{}44122⎛-+⋃ ⎝⎦．【点睛】本题第（1）问考查极坐标与直角坐标的转化，圆的切线问题；第（2）问考查利用直线与圆位置关系求参数，考查数形结合思想的应用，属中等题．23．（1）42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）将函数()y f x =表示为分段函数的形式，然后分1x <-、11x -≤≤、1x >三段解不等式()5f x <，综合可得出该不等式的解集；（2）由题意可知关于x 的不等式()212f x t ≥--恒成立，进而得出()min 212f x t ≥--，求出函数()y f x =的最小值，然后解不等式()min 212f x t ≥--即可求得实数t 的取值范围.【详解】（1）函数()y f x =可化为()31,13,1131,1x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩．当1x <-时，由()5f x <，可得315x --<，解得2x >-，此时21x -<<-；当11x -≤≤时，由()5f x <，可得35x +<，解得2x <，此时11x -≤≤；当1x >时，由()5f x <，得315x +<，解得43x <，此时413x <<. 综上所述，不等式()5f x <的解集为42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）关于x 的不等式()221f x t +<-在实数范围内解集为空集，则关于x 的不等式()212f x t ≥--恒成立，所以，()min 212f x t ≥--.当1x <-时，()31f x x =--，此时，函数()y f x =单调递减，则()()12f x f >-=；当11x -≤≤时，()3f x x =+，此时，函数()y f x =单调递增，则()()()11f f x f -≤≤，即()24f x ≤≤；当1x >时，()31f x x =+，此时函数()y f x =单调递增，则()()14f x f >=. 综上所述，()()min 12f x f =-=.2122t ∴--≤，即4214t -≤-≤，解得3522t -≤≤. 因此，实数t 的取值范围是35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题第（1）问是求解含绝对值的不等式，是基础问题；第（2）问以“不等式无解”的方式提出问题，其实可以转化为恒成立问题，最终转化为最值问题，属中等题．。

2020届河南省普通高中高三第二次质量检测数学(理)试卷及解析

2020届河南省普通高中高三第二次质量检测数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)注意事项：1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置.2.全部答案在答题卡完成,答在本试题上无效.3.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.参考公式:锥体的体积公式:13V Sh =（其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高）. 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ,集合{}2|log 1A x x =<,{}2|0B x x x =->,则A B =（）A. {|12x x <<}B. {|2x x <}C. {|12x x ≤≤}D. {|14x x ≤<}【答案】A【解析】求出不等式2log 1x <和20x x ->的解,然后根据集合的交集运算,即可得到本题答案.【详解】由2log 1x <,得02x <<,故{|02}A x x =<<,由20x x ->,得1x >或0x <,故{|1B x x =>或0}x <,所以,{|12}A B x x =<<.故选：A2.已知复数z 满足21i z i-=+,则z =（）A. 132i +B. 132i -C. 32i +D. 32i - 【答案】B【解析】利用复数的除法运算,即可得答案.【详解】∵2(2)(1)131(1)(1)2i i i i z i i i ----===++-. 故选：B.3.由我国引领的5G 时代已经到来,5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展,进而对GDP 增长产生直接贡献,并通过产业间的关联效应和波及效应,间接带动国民经济各行业的发展,创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据,对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合下图,下列说法正确的是（）A. 5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B. 设备制造商的经济产出前期增长较快,后期放缓C. 设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D. 信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势【答案】ABD【解析】本题结合图形即可得出结果．【详解】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位,而后期是信息服务商处于领先地位,故C 项表达错误．故选：ABD ．4.411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（） A. 10B. 24C. 32D. 56。

【理数】2020年4月河南省洛阳市2019-2020学年高中三年级第二次统一考试理科数学试卷含答案

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设/从甲生产线生产的产品中任取一件且为合格品0为事件"#事件" 发生的概率
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甲生产线乙生产线合计
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河南省洛阳市第四中学2020年高三数学理联考试卷含解析

河南省洛阳市第四中学2020年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. i是虚数单位，复数的共轭复数是（）4+4i 3+3i 3+4iD解：由=．所以其共轭复数为3﹣4i．故选D．2. 已知，，，则、、大小关系是A．<< B．<< C．<< D．<<参考答案：D，，3. 设为虚数单位，则=（）A. B. C.D.参考答案：C4. 已知cosα=k，k∈R，α∈（，π），则sin（π+α）=( )A．﹣B．C．±D．﹣k参考答案：A考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα，从而由诱导公式即可得解．解答：解：∵cosα=k，k∈R，α∈（，π），∴sinα==，∴sin（π+α）=﹣sinα=﹣．故选：A．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查．5. 已知m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列命题：①②③④（其中正确命题的序号是A. ①④ B．②③C．②④ D.①③参考答案：B6. 下列程序表示的算法是 ( ）A．交换m与n的位置B．辗转相除法C．更相减损术D．秦九韶算法参考答案：B7. 如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：【答案】B【解析】【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】通过向量的表示求出向量对应的复数，利用复数的除法运算，求出复数对应的点的象限即可．【解答】解：由题意可知z1=﹣2﹣i，z2=i．∴===﹣1+2i，复数对应的点位于第二象限．故选B．【点评】本题考查复数的基本运算，复数与向量的对应关系，复数的几何意义．8. 若a=ln2，，的大小关系为（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a参考答案：A【考点】定积分．【分析】利用对数函数的性质，判断a＞，b＜，利用定积分的性质求得c=，即可判断a、b和c的大小．【解答】解：a=ln2＞ln=， =＜， =sinx|=∴a＞c＞b，故选：A9. 圆上的点到直线的距离的最大值是（）A．B． C． D．0参考答案：A略10. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．参考答案：C试题分析：，又因为即，所以，解之得，故选C.考点：1.集合的表示；2.集合的运算.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 两封信随机投入三个空邮箱，则邮箱的信件数的数学期望．参考答案：答案：解析：ξ的取值有0，1，2，，所以Eξ=12. 若函数的值域是，则实数的取值范围是___________．参考答案：试题分析：当时，，又因为函数的值域为，所以当时，能取遍的所有实数，由得，所以应填.考点：1.分段函数的表示；2.指数函数与对数函数的性质.【名师点睛】本题考查分段函数的表示方法与指、对数函数的图象与性质，属中档题；本题的难点是值域为，即与时两部分的值域的并集为全体实数，解决这个问题关键在于正确的转化，把当时，能取遍的所有实数转化为，考查学生的理解能力，体现子数学的化归与转化思想.13. 已知向量＝(3，－4)，＝(0，－3)，＝(5－m，－3－m)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是________．参考答案：14. 在中，，的面积为，则__________。

【精品解析】河南省洛阳市示范高中2020届高三数学联考试题解析理 (学生版)

精品解析：洛阳市示范高中2020届高三联考数学（理）试题解析（学生版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、复数212m z -=+ii （m R ∈，i 是虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列函数中，在(1, 1)-内有零点且单调递增的是( )A ．12log y x = B ．21xy =-C ．212y x =-D ． 3y x =- 3．阅读右侧的算法框图，输出结果S 的值为 A ．1 B ．3C. 12 D ．324．先后连掷两次骰子分别得到点数m ，n ，则向量（m ，n ）与向量（-1，1）的夹角90θ>︒ 的概率是（）A ．12B ．13C ．712D ．5125．已知tan 2α=，则2cos 2(sin cos )ααα-的值为（）A ．3-B ．3C ．2-D ．27．.由曲线32,x y x y ==围成的封闭图形的面积为A.121 B.41C. 31D.1278．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++的值是A ．24B ．19C ．36D ．409已知抛物线222222(0)1x y y px p a b=>-=与双曲线)0,0(>>b a 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF⊥x 轴，则双曲线的离心率为（）A ．215+ B ．12+ C ．13+D ．2122+10．三棱锥ABC S -的顶点都在同一球面上，且4,22=====SC BC SB AC SA ，则该球的体积为 A ．π3256B ．π332 C ．π16 D ．π64第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥-+301,094y y x y x ，则x －3y 的最大值是 _______ .14．函数()sin cos ()f x x x x R =+∈的图象向左平移m ()m R +∈个单位后，得到函数()y f x '=的图象，则m 的最小值为____ ___15．若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是16．下表是某数学老师及他的爷爷、父亲和儿子的身高数据：父亲身高x （cm ） 173 170 176 儿子身高y （cm ） 170176182因为儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高求sin A 的值；（II ）求三角函数式1tan 12cos 2++-CC的取值范围．18．（本小题满分12分）某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。

河南省洛阳市2020届高三数学第二次统一考试(3月)试题文(含解析)

洛阳市2020学年高中三年级第二次统一考试数学试卷(文)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符台题目要求的．1. 设复数满足（为虚数单位），则复数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，复数，所以，故选A.考点：复数的概念及复数的运算.2. 已知集合，，且，则实数不同取值个数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：因为，所以或，解得：或或，所以实数的不同取值个数为，故选B．考点：1、集合间的关系；2、一元二次方程．3. 已知，均为非零向量，，，则，的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，因为所以，即，所以向量和的夹角为,又，所以，故选A.考点：向量的夹角公式及向量的数量积的运算.4. 已知等差数列的公差和首项都不等于，且，，成等比数列，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，设等差数列的首项为，公差为，因为构成等比数列，所以，解得，所以，故选D.考点：等差数列的通项公式.5. 设，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三角恒等变换的公式，可得，，因为函数为单调递增函数，所以，所以，故选D.考点：三角函数的化简求值；比较大小.6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积（）A. B. C. D.【答案】C7. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，，，，，…．该数列的特点是：前两个数都是，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成数列称为“斐波那契数列”，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，根据斐波那契数列可知，，所以根据计算的规律可得，当为偶数时，，当为奇数时，，所以，故选B.考点：归纳推理.8. 如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框图，表示估计的结果，则图中空白框内应填入（）A. B. C. D.【答案】C9. 已知直线与圆交于不同的两点，．是坐标原点．且有，那么的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：设的中点为，则，因为，所以，所以，因为，所以，因为直线与圆交于不同的两点，所以，所以，即，解得，故选C．考点：直线与圆的位置关系；向量的应用．10. 一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：(1)三角形；(2)四边形；(3)五边形；(4)六边形．其中正确的结论是（）A. (1)(3)B. (2)(4)C. (2)(3)(4)D. (1)(2)(3)(4)【答案】B【解析】因为正方体容器中盛有一半容积的水，为了怎样转动，其水面总是正方体的中心，于是过正方体的一条棱和中心可作一截面，截面形状可以是长方形或矩形，所以（2）是正确的；过正方体的一个面相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正六边形，所以（4）是正确；同时过正方体的中心的平面截正方体的表面得到的截面不可能是三角形和五边形，故选B.考点：空间几何体的结构特征.11. 已知直线与抛物线相交于，两点，为的焦点，若，则点到抛物线的准线的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，设抛物线的准线方程为，直线恒过定点，如图过分别作于，于，连接，由，则，点为的中点，因为点是的中点，则，所以，所以点的横坐标为1，所以点的坐标为，同理可得点，所以点到抛物线准线的距离为，故选A.点睛：本题考查了抛物线的标准方程及抛物线的定义的应用，着重考查了抛物线的定义的应用，抛物线上的点到焦点的距离等于抛物线上的点到准线的距离，考查了转化与化归的思想方法，把抛物线上的到焦点的距离转化为到抛物线的准线的距离是抛物线问题中常考查的一种形式，平时应注意总结.12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：①当时，；②函数有个零点；③的解集为；④，，都有．其中正确命题的个数是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，当，则，因为函数是定义在上的奇函数，所以，所以①是正确的；令，可解得，当时，可解得，又函数是定义在上的奇函数，所以有，故函数的零点有2个，所以②是正确的；因为当时，由，解得，当时，由，解得，故的解集为，所以③是不正确的；因为当时，由，图象过点，又，可知当时，，当时，，所以函数处取得极大值，且当时，函数值趋向于，当时，函数值趋向于，由奇函数的图象关于原点对称可作函数的图象，可得函数，所以成立，综上所述正确的个数为3个，故选B.考点：函数性质的综合应用.点睛：本题主要考查了函数的性质的综合应用问题，其中解答中涉及到函数的奇偶性的应用，函数解析式的求解，函数单调性的应用，函数的图象即函数的零点等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题解答中正确把握函数的基本性质和正确作出函数的图象是解答问题的关键.第Ⅰ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本题共4个小题．每小题5分，共20分．13. 中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为_____．【答案】【解析】试题分析：因为中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，所以，即，所以.考点：双曲线的几何性质；14. 设，，若是与的等比中项，则的最小值为_____．【答案】【解析】由题意得，因为是与的等比中项，所以，又因为，所以，当且仅当是等号是成立的，所以的最小值为.15. 已知，，函数存在零点．若：“且”为真命题，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】由题意得，因为，即当时，取得最小值，此时取得最大值，最大值为，所以；设，则，要是的在存在零点，则，解得，所以实数的取值范围是.点睛：本题主要考查了含有量词命题的真假判定及应用，其中解答中涉及到不等式的恒成立问题的求解，一元二次函数的图象与性质等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中分离参数求解不等式恒成立问题和熟记二次函数的图象与性质是解答的关键.16. 已知，，，，动点满足且，则点到点的距离大于的概率为______．【答案】【解析】由题意得，因为，所以动点满足且，所以，则点到点的距离为，作出不等式组对应的平面区域，如图所示，因为点到点的距离大于，所以，则对应的部分为阴影部分，由，即点，则,所以正方形的面积为，则阴影部分的面积为，所以根据几何概型的概率公式可知所求的概率为.点睛：本题主要考查了几何概型及其概率的计算问题，其中解答中涉及到向量的数量积的运算，二元一次不等式组所表示的平面区域，简单的线性规划的应用，几何概型及其概率的计算公式等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中利用向量的数量积的运算，转化为简单的线性规划求解是解答的关键.三、解答题：本文题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知的最小正周期为．(1)求的值；(2)在中，角，，所对的边分别是为，，，若，求角的大小以及的取值范围．【答案】(1);(2) ,.【解析】试题分析：（1）根据三角恒等变换的公式，得，根据周期，得，即，即可求解的值；（2）根据正弦定理和三角恒等变换的公式，化简，可得，可得，进而求得，即可求解的取值范围.试题解析：(1)∵，由函数的最小正周期为，即，得，∴，∴．（2）∵，∴由正弦定理可得，∴．∵，∴．∵，．∵，∴，∴，∴，∴．18. 某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如下茎叶图所示：其中一个数字被污损．(1)求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率．(2)随着节目的播出，极大激发了观众对成语知识的学习积累的热情，从中获益匪浅．现从观看该节目的观众中随机统计了位观众的周均学习成语知识的时间(单位：小时)与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）年龄x（岁）周均学习成语知识时间y（小时）由表中数据，试求线性回归方程，并预测年龄为岁观众周均学习成语知识时间．参考公式：，．【答案】(1);(2)详见解析.【解析】试题分析：（1）设被污损的数字为，则的所有可能取值共种等可能结果，根据题设条件可得，则满足“东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的”的取值共个，即可利用古典概型的概率公式求解概率.（2）根据最小二乘法的公式，求解，得出回归直线方程，即可预测结果.试题解析：(1)设被污损的数字为，则的所有可能取值为：，，，，，，，，，共种等可能结果，令，解得，则满足“东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的”的取值有，，，，，，，共个，所以其概率为．(2)由表中数据得，，，，∴，．线性回归方程为．可预测年龄为观众周均学习成语知识时间为小时．19. 如图，在四棱锥中中，底面是菱形，且，，为的中点，平面平面．(1)求证：；(2)若，，求点到平面的距离．【答案】(1)详见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，得出，进而证得得出平面平面，进而得出平面，从而证得平面，即可得出；（2）利用等体积法和棱锥的体积公式，即可求解点到的距离.试题解析：(1)证明：取中点，连接，，．底面是菱形，∴．，分别是，的中点，∴，∴．∵，∴．平面平面，平面平面，∴平面，∴，，∴平面，平面，∴．(2)，，，∴，，，在直角和中，∴，在等边中，，∴．．设三棱锥高为，则由得：，∴，点到平面的距离为．20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点的椭圆上的点．(1)求椭圆的标准的方程；(2)若为椭圆上异于顶点的任意一点，、分别是椭圆的上顶点和右顶点，直线交轴于，直线交轴于，证明为定值．【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）由已知且，，利用椭圆的定义可求得，进而求得，即可得到椭圆的标准方程；（2）设，得直线的方程求得和，进而得,即可证明为定值.试题解析：(1)由已知且，∴，∴，从而，故椭圆的方程为．(2)设，其中，且，∴，，，∴直线的方程为，令得，直线的方程，令得，则，，∴,即恒等于．点睛：本题主要考查了椭圆的标准方程的求解和椭圆的几何性质的综合应用，其中解答中涉及到椭圆的定义和标准方程，直线与椭圆的位置关系等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中设出，根据直线和椭圆的方程，化简得到是解答的关键.21. 已知函数，．(1)若，，求的单凋区间；(2)若函数是函数的图象的切线，求的最小值．【答案】(1)详见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）由，可得，得出，利用，即可求解函数的单调区间；（2）设起点坐标为，得出，设，利用导数求解函数的单调性与最值，即可得到的最小值. 试题解析：(1)时，，，，解得，解得，∴的单调增区间为，单调减区间为区间为．(2)设切点坐标为设切点坐标为，，切线斜率，又，∴，∴,令，，解得，解得，∴在上递减，在上递增．∴，∴的最小值为．点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数求解函数在某点处的切线，利用导数求解函数的单调性及其应用，利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中，根据题意设出切点，得出，进而设出函数，利用导数研究函数的性质是解答的关键.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题计分，做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑22. 选修：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线的极坐标方程为．(1)写出的普通方程和的直角坐标方程；(2)设点在上，点在上，求的最小值及此时点的直角坐标．【答案】(1) :;:;(2) , .【解析】(1)的普通方程为，的直角坐标方程为．(2)由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离.当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为．23. 选修4—5：不等式选讲已知关于的不等式的解集为．(1)求的最大值；(2)已知，，，且，求的最小值及此时，，的值．【答案】(1);(2);，，.【解析】(1)因为.当或时取等号，令所以或．解得或∴的最大值为．(2)∵．由柯西不等式，,∴，等号当且仅当，且时成立．即当且仅当，，时，2的最小值为．。

2020年河南洛阳高三二模数学试卷(理科)

2020年河南洛阳高三二模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合，，则（）．A. B.C. D.2.已知复数满足，其中为虚数单位，则（）．A. B. C. D.3.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（）．A. B. C. D.4.下图是我国第届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（）．金牌（块）银牌（块）铜牌（块）奖牌总数第届第届第届第届第届第届第届第届奥运会中国代表团奖牌总数统计图A.中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C.第届与第届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数．铜牌数都有所下降D.统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是5.抛物线：的焦点为，点是上一点，，则（）．A.B.C.D.6.执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则框图中①处可以填（）．开始，输出结束是否A.？B.？C.？D.？7.下列函数中，既是奇函数，又在上是增函数的是（）．A.B.C.D.8.在中，，，，点分别在线段，上，且，，则（）．A.B.C.D.9.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成的角的正弦值为（）．A.B.C.D.10.已知双曲线的左焦点为，直线经过点且与双曲线的一条渐近线垂直，直线与双曲线的左支交于不同的两点，，若，则该双曲线的离心率为（）．A.B.C.D.11.已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（）．A.B.C.或D. 或12.已知三棱锥中，为的中点，平面，，，则有下列四个结论：①若为的外心，则；②若为等边三角形，则；③当时，与平面所成的角的范围为；④当时，为平面内一动点．若平面，则在内轨迹的长度为．其中正确的个数是（）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，则展开式中的系数为．14.从名医生和名护士中选出名去武汉抗击疫情，医生中的甲和乙不能同时参加，护士中的丙与丁至少有一名参加，则不同的选法种数为．（用数字作答）15.已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是．16.在中，角的平分线交于，，，则面积的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17.已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列．（1）（2）求数列和的通项公式．求数列的前项和．（1）（2）18.如图，在等腰梯形中，，，，，，分别为、、的中点．以为折痕将折起．使点到达点位置（平面）．若为直线上任意一点，证明：平面．若直线与直线所成角为，求二面角的余弦值．（1）（2）19.某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的效果，先从两条生产线生产的大量产品中各抽取了件产品作为样本．检测一项质量指标值，该项指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品．乙生产线样本的频数分布表质量指标合计频数质量指标值频率组距甲生产线样本的频率分布直方图根据甲生产线样本的频率分布直方图，以从样本中任意抽取一件产品且为合格品的频率近似代替从甲生产线生产的产品中任意抽取一件产品且为合格品的概率，估计从甲生产线生产的产品中任取件恰有件为合格品的概率．现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线．根据上述图表所提供的数据，完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关．若有的把握，请从合格率的角度分析保留哪条生产线较好．甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计附：，．（1）（2）20.设函数．若，时，在上单调递减，求的取值范围．若，，，求证：当时，．（1）（2）21.已知点，分别在轴，轴上运动，，．求点的轨迹的方程．过点且斜率存在的直线与曲线交于，两点，，求的取值范围．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，点．求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程．若直线与曲线交于点，曲线与曲线交于点，求的面积．（1）（2）23.已知函数．若不等式有解，求实数的取值范围．函数的最小值为，若正实数，，满足，证明：．【答案】解析:根据题意，，则，．故选．解析:由，可得，所以，所以．故选．解析:∵终边上点，∴ ，，∴故选．解析:抛物线：的准线方程，点在上，，可得：，解得：．故选．解析:第一次循环：，不满足条件，；D 1.A 2.B 3.B 4.C 5.C 6.第二次循环：，不满足条件，；第三次循环：，不满足条件，；第四次循环：，不满足条件，；第五次循环：，不满足条件，；第六次循环：，不满足条件，；第七次循环：，满足条件，输出的值为．所以判断框中的条件可填写“”．故选．解析:根据题意，，则，在中，又由，则，则，则，则．故选．解析:如图，B 7.B 8.，，C 9.∵，，，，∴．又，，∴，∴异面直线与所成角的正弦值为．故选．解析:如图，不妨设直线的斜率为，∴直线的方程为，联立，得，∴．由题意，方程得的两根异号，则，此时，，则，即，∴，∴，即．A 10.故选．解析:令，则可得：，当时，恒有，即，所以在上单调递减，又，则，即为偶函数，根据偶函数的对称性可知，在上单调递增，距离对称轴越远，函数值越小，由，可得，，故，解可得，，故选．解析:为的外心，可得，平面，可得，即有，①正确；若为等边三角形，若，又，可得平面，即，由可得，矛盾，故②错误；若时，设与平面所成角为，可得，，设到平面的距离为，B 11.C 12.由，可得，即有，当且仅当取得等号，可得的最大值为，，即有的范围为，③正确；取的中点，的中点，连接，，，由中位线定理可得，，可得平面平面，可得在线段上，而，可得④正确．故选：．13.解析:∵，∴，二项式展开式通项为，，，所以的展开式中的系数为．14.解析:①设甲参加，乙不参加，由护士中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为，②设乙参加，甲不参加，由护士中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为，③设甲，乙都不参加，由护士中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为，综合①②②得：不同的选法种数为．15.解析:因为，（1）所以，即解集为，因为在区间上恒成立，所以，所以，且两个等号不同时成立，所以．故答案为．解析:∵角的平分线交于，又，，∴，不妨设，，∴，∴，∴的面积为，则时，取得最大值为．故答案为：．解析:，∴，，，∴，16.（1）；（2）；．17.（2）（1）（2）∴，∴．∵，∴．解析:连接，∵，，分别为、、的中点，∴，又∵平面，平面．∴平面，同理，平面．∵平面，平面，．∴平面平面．∵平面．∴平面．连接，在和中，由余弦定理可得，，由与互补，，，可解得，于是，∴，，∵，直线与直线所成角为，∴，又，（1）证明见解析．（2）．18.∴，即，∴平面，∴平面平面，∵为中点，，∴平面，如图所示，分别以、、为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量为，∴即，令，则，，可得平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为，∴，∴二面角的余弦值为．解析:（1）．（2）甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关．保留乙生产线较好．19.（1）（2）（1）根据甲生产线样本的频率分布直方图，样本中任取一件产品为合格品的频率为：．设“从甲生产线生产的产品中任取一件且为合格品”为事件，事件发生的概率为，则由样本可估计．那么“从甲生产线生产的产品中任取件，恰有件为合格品”就相当于进行次独立重复试验，事件恰好发生次，其概率为：．列联表：甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计的观测值，∵，，∴有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关．由知甲生产线的合格率为，乙生产线的合格率为，∵，∴保留乙生产线较好．解析:，时，，，∵在上单调递减，∴，，令,,时，；时，，∴在上为减函数，在上为增函数，∴，（1）．（2）证明见解析．20.（2）（1）∴，∴的取值范围为．若，，时，，，令，显然在上为增函数，又，，∴有唯一零点，且，时，，；时，，，∴在上为增函数，在上为减函数，∴，又，∴，，，∴，（），∴当时，．解析:设，，则，设，由得，，又由于，化简得的轨迹的方程为．（1）．（2）的取值范围为．21.（2）设直线的方程为，与的方程联立，消去得，，设，，则，，由已知，，则，故直线，，令，则，由于，，，所以，的取值范围为．22.（1）极坐标方程为，直角坐标方程为．（2）．（1）（2）（1）（2）解析:曲线，即.∴．曲线的极坐标方程为．直线的极坐标方程为，即，∴直线的直角坐标方程为．设，，∴，解得，又，∴（舍去），∴，点到直线的距离为，∴的面积为．解析:设，∴在单调递减，在单调递增，故，∵有解，∴，即的取值范围为．，当且仅当时等号成立，∴，即，∵，当且仅当，，时等号成立，∴，即成立．（1）的取值范围为．（2）证明见解析．23.。

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2019-2020学年河南省洛阳市高三年级二练试卷+解析【理数】一、选择题：本小题共12题，每小题5分，共60分．每小题只有一个正确选项． 1．设集合{}|0A x x =>，{}2log 32)2B x x =-<（，则（） A ． 5(0,)3A B ⋂=B ．10,3A B ⎛⎤⋂= ⎥⎝⎦C ． 1(,)3A B ⋃=+∞ D ．(0,)A B ⋃=+∞【答案】D【考点】集合的基本运算，函数定义域以及对数不等式。

【解析】根据题意，{}2log 32)2B x x =-<（，1533B x x ⎧⎫∴=<<⎨⎬⎩⎭，则(0,)A B ⋃=+∞,15,33A B ⎛⎤⋂= ⎥⎝⎦;【复习建议】该题属于基础题，主要考察集合的运算，一定要严格要求自己做满分.2．已知复数z 满足()12z i -=，其中i 为虚数单位，则1z -=（） A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i -【答案】A【考点】复代数形式的乘积运算化简复数，再进行代数运算。

【解析】由()12z i -=知：22(1)=11(1)(11)i z i i i +==+--+，111z i i ∴-=+-=. 【复习建议】本题是基础题，考察复数化简，需要保证计算准确无误．3．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 的非负半轴重合，终边上有一点()3,4p -.则sin 2α=（）A ．1225-B ．2425- C ．1625D ．85【答案】B【考点】利用任意角的三角函数定义求的sin cos αα、的值，再利用二倍角的正弦公式求得sin 2α的值。

【解析】Q 点(3,4)p -是角α终边上的一点，224sin 5(3)4α∴==-+，223cos 5(3)4α∴==--+，则24sin 22sin cos 25ααα==-.【复习建议】熟记三角函数有关的公式，比如诱导公式、和差角公式、辅助角公式、倍半角公式等。

4. 下图是我国第24~30届奥运会奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图。

根据表和统计图，以下描述正确的是：（）金牌（块）银牌（块）铜牌（块）奖牌总数 24 5 11 12 28 25 16 22 16 54 26 16 22 12 50 27 28 16 15 59 28 32 17 14 63 29 51 21 28 100 3038272388A. 中国代表团的奥运会奖牌总数一直保持上升趋势A. 折线统计图中六条线段只是为了便于观察图像所反映的变化，不具有实际意义B. 第30届与第29届北京奥运会相比，奥运会金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降C. 统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运金牌总数的中位数是54.5 【答案】 B【考点】根据图表给出的数据和折线统计图的描绘，对每一项进行分析即可.【解析】A 、中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势, 29 届最多，故本选项错误。

B 、折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化,不表示某种意思，正确。

C 、30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降,银牌数有所上升，故本选项错误。

D 、中位数计算出来为56.5,故本选项错误;【复习建议】能够识别图表，并进行有用信息提取。

5. 抛物线:2(p 0)C y px =>的焦点为F, 点0(6,y )A 是C 上一点，2AP P =，则p=（）A ．1 B.2 C.4 D.8【答案】C【考点】抛物线性质【解析】抛物线上一点A 到焦点F 的距离等于焦点A 到准线的距离，622PAP P =+=，解的P=4 【复习建议】熟练掌握抛物线的标准方程和准线方程6. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填A.7?S ≥B.21?S ≥C.28?S ≥D.36?S ≥【答案】C【考点】程序框图中判断框的确定。

【解析】第一次循环:S=1,不满足条件,i=2; 第二次循环:S=3,不满足条件, i=3;第三次循环:S=6,不满足条件, i=4; 第四次循环:S= 10,不满足条件,i=5; 第五次循环:S= 15,不满足条件,i=6; 第六次循环:S= 21,不满足条件,i=7; 第七次循环:S= 28,满足条件,i=8; 以判断框中的条件可填写“S≥28?".【复习建议】掌握程序框图的基本知识，会熟练进行运算。

7. 下列函数中，既是奇函数，又在（0, 1)上是增函数的是（）A. ()ln f x x x = B f(x)=x x e e -- C. ()()sin 2f x x = ()3. D f x x x -＝【答案】B【考点】函数奇偶性和单调性【解析】A.定义域不关于原点对称，非奇非偶函数B ．f(x)= -f(x)奇函数，求导，导函数恒大于0，即在（0, 1)上是增函数C ．f(x)= -f(x) 奇函数，正弦函数sin2x 周期为Π，作图可知在（0, 1)上先增后减D ．f(x)= -f(x) 奇函数，求导可知f(x)在（0, 1)上先减后增【复习建议】熟练掌握三角函数图像，能进行函数求导判断单调性。

8. 在∆ABC 中，AB =3，AC =2，60BAC ∠=o ，点D 、E 分别在线段AB 、CD 上，且BD=2AD,CE=2ED ，则BE AB =u u u r u u u rg （）A.-3B.-6C.4D.9【答案】B【考点】平面向量数量积【解析】21()33BE AB BD BC AB=+u u u r u u u ru u ur u u u r u u u r g g 2221[()()]33317()3917391172333296AB AC AB AB AC AB AB AC AB AB AB =⨯-+-=-=-=⨯⨯⨯-⨯=-u u ur u u u r u u u r u u u r g u u ur u u u r u u u r g u u ur u u u r u u u r u u u r g g 【复习建议】利用平面向量共线性质求数量积，解题时要数形结合9. 已知直三棱柱111ABC A B C -中，1120,2,1,o ABC AB BC CC ∠====则异面直线11AB BC 与所成夹角的正弦值为（）A.5B.2.5C3D【答案】C【考点】异面直线夹角、余弦定理【解析】设M 、N 、P 分别为11111,AB BB B C AB BC 、、的中点，则夹角为MN 和NP 夹角或补角。

易得1111=22MN AB NP BC =作BC 中点Q ，则三角形PQM 为直角三角形112PQ QM AC ==Q ，在三角形ABC 中，由余弦定理得2222cos 7AC AB BC AB BC ABC =+-∠=g gAC QM ∴==在直角三角形PQM 中2MP ==在三角形PMN 中，由余弦定理得222cos =25MN NP PM MNP MH NP +-∠=-g g由异面直线夹角取值范围得1,AB BC所成夹角的余弦值为由同角关系式的1,AB BC【复习建议】高考题很多时候考查多个知识点，注意知识点是综合应用10.已知双曲线222210,0)x y a b a b -=>>（的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同的两点A,B ，若2AF FB =u u u r u u u r,则该双曲线的离心率为（）A.B.C【答案】A【考点】双曲线与直线交点、渐近线【解析】不妨设直线l 的斜率为a b-则直线方程为()ay x c b=-+ 联立22221()x y a b a y x c b ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得2222324()20b a c y ab cy a b -++=32222()()ab a b y b a c ±∴=-- 由韦达定理得方程2222324()20b a c y ab cy a b -++=两根异号所以a b >,此时32222()()A ab a b y b a c +∴=--32222()()B ab a b y b a c -∴=-- 则32232222222()()()()ab a b ab a b b a c b a c +-=-----2222221103,,99c a b b a c a b a e a ∴=∴==+=∴==【复习建议】思路清晰的情况下保证计算正确11．已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数()'f x ，当0x ≥时，恒有()()'03xf x f x +>，则不等式()()()3312120x f x x f x -++<的解集为A ． {31}x x -<<- B ．1{1}3x x -<<-C ． {3x x <-或1}x >-D ．{1x x <-或1}3x >-【答案】D【考点】构造函数解抽象函数不等式问题。

【解析】根据题意，不妨设()()3g x x f x =，则当0x >时，()()()2'3[']03xg x x f x f x =+<，则()g x 在()0,+∞上单调递减，又()()3g x x f x =为偶函数，则()()g x g x =。

()()()3312120x f x x f x -++<，可知()()12g x g x <+，则12x x >+，即可得出答案为1{1}3x x x <->-或【复习建议】该题属于中等题，主要考察函数的构造，需要考生熟记常见构造函数题型.12．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，090ABC ∠=，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC ∆的外心，则2PC =；②ABC ∆若为等边三角形，则AP BC ⊥;③当=90ACB ∠时，PC 与平面PAB 所成角的范围为0]4π（，；④当=4PC 时，M 为平面PBC 内一动点，若//OM 平面PAC ，则M 在PBC ∆内的轨迹的长度为2，其中正确的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【考点】立体几何平行、垂直、线面角等核心知识点考查。

【解析】①若O 为ABC ∆的外心，因为PO ⊥平面ABC ，易知PA PB PC ==，可知①正确。

②ABC ∆若为等边三角形，可知CO ⊥平面PAB ，CO ⊥AP ，易知AP BC ⊥，则②错误。

③当0=90ACB ∠时，可以结合点C 在AB 为直径的圆周上，当点C 靠近雨A(B)时，PC 与平面PAB 所成角趋近于0，当点C 在AB 的中垂线于圆周交点处，PC 与平面PAB 所成角为2π。