3.2.3反函数
反函数
存在性
概述 一函数f若要是一明确的反函数，它必须是一双射函数，即： 若f为一实变函数，则若f有一明确反函数，它必通过水平线测试，即一放在f图上的水平线必对所有实数k， 通过且只通过一次。 反函数存在定理 定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。 在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。 设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2，当x1<x2时，有y1<y2，则称y=f(x)在D 上严格单调递增；当x1<x2时，有y1>y2，则称y=f(x)在D上严格单调递减。 证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。 而由于f的严格单增性，对D中任一x'<x，都有y'<y；任一x''>x，都有y''>y。总之能使f(x)=y的x只有一个， 根据反函数的定义，f存在反函数f-1。
反函数
数学术语
01 定义
03 性质 05 说明
目录
02 存在性 04 符号
一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y)。反函数x=f -1(y)的定义域、值域分别是函数 y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。
由该定义可以很快得出函数f的定义域D和值域f(D)恰好就是反函数f-1的值域和定义域，并且f-1的反函数就 是f，也就是说，函数f和f-1互为反函数，即：
函数及其反函数的图形关于直线y=x对称 函数及其反函数的图形关于直线y=x对称 反函数与原函数的复合函数等于x，即： 习惯上我们用x来表示自变量，用y来表示因变量，于是函数y=f(x)的反函数通常写成。 例如，函数的反函数是。 相对于反函数y=f-1(x)来说，原来的函数y=f(x)称为直接函数。反函数和直接函数的图象关于直线y=x对称。 这是因为，如果设(a,b)是y=f(x)的图象上任意一点，即b=f(a)。根据反函数的定义，有a=f-1(b)，即点(b,a) 在反函数y=f-1(x)的图象上。而点(a,b)和(b,a)关于直线y=x对称，由(a,b)的任意性可知f和f-1关于y=x对称。
反函数的定义及其性质
反函数的定义及其性质反函数（Inverse Function），又称反映射，是指在数学中，如果一个函数 f 把集合 X 映射到集合 Y 上，且映射是双射（即每一个 Y 的值都对应于唯一的 X 的值），那么就可以定义出一个新函数 g，把 Y 映射回 X 上，这个 g 便称作 f 的反函数。
本文将介绍反函数的定义及其性质，让我们深入了解这一重要概念。
一、反函数的定义设函数 f 的定义域为 X，值域为 Y，如果对于 Y 中的任意元素y ，都只存在一个 X 中的元素 x 使得 f(x)=y，那么 f 是一个双射函数。
此时，可以定义另一个函数 g，将 Y 中的每个元素 y 分别与 f 中的一个元素 x 对应，记为 g(y)=x。
这个函数 g 便是函数 f 的反函数。
通俗来说，就是将 f(x) 的输出结果与 x 对应并得到一组函数值的过程。
二、反函数的性质1. 双射函数的反函数必定存在。
因为双射是存在一一对应，而各个元素“对应着对应的对应”，总是可以找到一个映射使得原函数是双射的，进而反函数一定存在。
2. 反函数是双射函数。
由反函数的定义可知，函数 f 的反函数 g 是把 Y 中的元素 y 映射回 X 的一个函数。
也就是说，反函数将 f 的输出结果逆向映射回其输入值，所以 g 也是一个双射函数。
反函数的存在，其实是描述两个集合之间逆向一一对应的性质，反函数也符合这一性质。
3. 函数的反函数唯一。
反函数的存在，说明原函数是双射函数，而双射函数有一个重要的性质：对于每个元素 y，都只有一个 x 与之对应。
也就是反函数只有一个，这是因为对于 f(x1)=y 和 f(x2)=y 的任意两个 x1 和x2 ，由于 f 是双射函数，所以x1 ≠ x2，所以每个 y 都唯一对应一个 x，在反函数中也就只能有一个 g(y)。
4. 函数和它的反函数互为反函数。
对于由函数 f 得到的反函数 g，其运算定义为 f 和 g 可以互相调用，即 g(f(x))=x ，f(g(y))=y。
反函数知识点总结讲义教案
反函数知识点总结讲义教案一、教学目标1. 理解反函数的概念，掌握反函数的性质和运算法则。
2. 学会求解反函数，并能应用反函数解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学表达能力。
二、教学内容1. 反函数的概念：什么是反函数，反函数的定义和性质。
2. 反函数的求解方法：如何求解一个函数的反函数。
3. 反函数的应用：反函数在实际问题中的应用举例。
4. 反函数的运算法则：反函数的组合和复合。
5. 反函数的局限性：反函数存在的条件和不存在的条件。
三、教学重点与难点1. 教学重点：反函数的概念、性质、求解方法和应用。
2. 教学难点：反函数的求解方法和反函数的运算法则。
四、教学方法与手段1. 教学方法：讲授法、案例分析法、问题驱动法。
2. 教学手段：黑板、PPT、数学软件。
五、教学过程1. 引入：通过一个实际问题引入反函数的概念。
2. 讲解：讲解反函数的定义、性质和求解方法。
3. 案例分析：分析一些实际问题，让学生了解反函数的应用。
4. 练习：让学生做一些练习题，巩固反函数的知识。
5. 总结：总结本节课的主要内容和知识点。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对反函数概念的理解程度。
2. 练习题：布置一些有关反函数的练习题，检查学生掌握反函数性质和求解方法的情况。
3. 小组讨论：让学生分组讨论反函数在实际问题中的应用，评估学生对反函数应用的理解。
七、教学拓展1. 反函数与其他数学概念的联系：例如，反函数与对数函数、反三角函数等的关系。
2. 反函数在科学研究和实际生活中的应用：例如，反函数在优化问题、信号处理等方面的应用。
八、教学反思1. 反思教学内容：检查教学内容是否全面、透彻，是否涵盖了反函数的所有重要知识点。
2. 反思教学方法：评估所采用的教学方法是否有效，是否能够帮助学生理解和掌握反函数知识。
3. 反思学生反馈：根据学生的课堂表现和练习情况，调整教学策略，以便更好地满足学生的学习需求。
九、课后作业1. 完成课后练习题：巩固反函数的基本概念和求解方法。
反函数 交点-概述说明以及解释
反函数交点-概述说明以及解释1.引言1.1 概述反函数是数学中一个重要的概念，它是指在函数的基础上进行逆运算得到的新的函数。
在实际应用中，我们经常会遇到需要求解函数的逆运算的情况，这时就需要用到反函数的概念。
本文将介绍反函数的定义、性质和应用，并探讨反函数与交点的关联。
通过对反函数的深入研究，我们可以更好地理解函数之间的关系，从而更好地应用数学知识解决实际问题。
同时，本文也将展望未来对反函数相关研究的方向，希望能为该领域的进一步发展提供一些思路和启发。
1.2 文章结构文章结构部分的内容：文章的结构分为引言、正文和结论三个部分。
在正文部分中，首先介绍了反函数的定义，其次探讨了反函数的性质，最后分析了反函数的应用。
在结论部分，总结了反函数的重要性并探讨了反函数与交点的关联，最后展望了未来的研究方向。
整篇文章的结构清晰，逻辑严谨，能够完整地展现反函数与交点的相关内容。
"1.3 目的"部分的内容可能包括对该篇长文的写作目的的阐述，以及对读者的期望。
例如：本文的目的是对反函数的概念、性质和应用进行深入探讨，以便读者能够更全面地理解反函数的重要性和实际应用。
通过介绍反函数与交点的关联，我们希望读者能够进一步认识到反函数在数学和其他领域中的实际作用，并对未来可能的研究方向有所启发。
我们希望本文能为读者打开一扇新的数学视角，引发对反函数相关话题的更深入思考，并激发对数学知识的探索与学习热情。
2.正文2.1 反函数的定义反函数是指，对于给定的函数f，如果存在另一个函数g，使得对任意x，都有f(g(x))=x成立，那么函数g就是函数f的反函数，记作g=f^-1。
换句话说，如果对于函数f的定义域内的每一个x，都有f(g(x))=x，同时对于函数g的定义域内的每一个y，都有g(f(y))=y成立，则函数g是函数f的反函数。
考虑一元函数y=f(x)，定义域为X，值域为Y，如果对于X中的每一个x，都有唯一的y与之对应，那么函数f是从X到Y的一个一一对应。
反函数运算法则范文
反函数运算法则范文反函数是指从一个函数的输出值逆推回其输入值的过程。
在数学中，反函数运算法则是一组定理和规则，用于确定反函数的运算方式。
这些法则常用于求解函数的反函数，以及解决与函数的组合、复合、逆运算相关的问题。
反函数的基本概念使用函数关系可以将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
函数的定义域（输入值的集合）和值域（输出值的集合）是两个不同的集合。
反函数是原始函数的一个补充，用于确定如何从输出值逆推回输入值。
一个函数的反函数通常用$f^{-1}(x)$来表示。
原始函数为$f(x)$，则当$f(x_1)=x_2$时，反函数$f^{-1}(x_2)=x_1$。
反函数的存在性一个函数必须具有一对一的性质，即每个输出值必须与唯一一个输入值对应，才能存在反函数。
这被称为函数的可逆性或单射性。
反函数的求解求解函数的反函数的过程通常包括以下几个步骤：1.将函数的输出值表示为未知数（例如，将$f(x)$表示为$y$）。
2.将函数的方程转化为关于未知数的方程（即，将$x$表示为$y$的函数）。
3.将方程解出未知数，并将其表示为反函数的表达式。
反函数的运算法则反函数的运算法则可以帮助我们解决与函数、反函数的组合、复合、逆运算相关的问题。
以下是一些常见的反函数运算法则：1.多项式函数的反函数对于一个多项式函数$y=f(x)$，可以通过交换$x$和$y$，解出$x$并表示反函数为$y=f^{-1}(x)$。
这可以通过求解方程$y=f(x)$得出。
2.指数函数的反函数指数函数是形如$y=a^x$的函数，其中$a$是一个正常数。
这种类型的函数的反函数可以通过将$x$和$y$交换，并解出新的$x$来获得。
3.对数函数的反函数对数函数是指满足关系$y = \log_a(x)$的函数，其中$a$是一个正常数。
反函数可以通过将$x$和$y$交换，并解出新的$x$来获得。
4.反函数的复合假设$f(x)$和$g(x)$是两个函数，且互为反函数，即$g^{-1}(x)=f(x)$。
3.2.3指数函数与对数函数反函数
例 如 :函 数 y 5 x , x R ,得 x
y 5
则 通常自变量用x表示,函数用y表示， y
,y R
x 5 ,x R
称这两个函数互为反函数
当一个函数是一一映射时， y=f(x)定义域D内的每一个x，都有唯一的一个值 反之，对于每一个确定的值y，都有 y和它对应； 唯一确定的值x和它对应.
( x )的定义域
第三步:根据y f ( x )的值域写出y =f
练习：
1,函 数 y x2 2x 1
2
,( x R ,且 x
1 2
)的 反 函 数 _ _ _ _ _ _
2 , 求 函 数 y x 4 x 3， x ( , 2 的 反 函 数
x 2 1,( 0 x 1 ) 3 ,求 函 数 y 的反函数 2 x , ( 1 x 0 )
函 数 y f ( x )的 反 函 数 记 作 ：y f
-1
(x)
2.根据定义求反函数的步骤：
第一步 : 由y f ( x )，反解x =f
-1
( y)
-1
-1
第二步：把x=f
-1
( y )改写y f ( x )
( x )的定义域
第三步:根据y f ( x )的值域写出y =f
已知f ( x )
x 1 x 1
,求f
1
( x 1)
1
3 ,已 知 f ( x 1 )
x1 x1
,求 f
( x 1) f
1
(x)
2 x 1
4 , 如 果 点 ( 1, 2 )既 在 函 数 f ( x ) 又 在 函 数 f ( x )的 反 函 数 f
初中反函数知识点总结
初中反函数知识点总结一、反函数的定义1.1 函数的定义在讨论反函数之前，我们先来了解一下函数的概念。
函数是一个映射关系，它将一个自变量的取值映射到另一个因变量的取值。
函数通常用f(x)来表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
1.2 反函数的定义若对于函数f(x)，存在函数g(y)，使得g(f(x))=x对于函数f(x)的定义域内的每一个x都成立，且f(g(y))=y对于函数f(x)的值域内的每一个y都成立，那么函数g(y)就是函数f(x)的反函数。
反函数通常用f^(-1)(y)来表示。
二、反函数的性质2.1 反函数的存在对于每一个函数f(x)，如果它是一一对应的（即对于不同的x，f(x)的取值也是不同的），那么它必然存在反函数g(y)。
2.2 反函数的图像若函数f(x)的图像是一条曲线或者抛物线，那么它的反函数g(y)的图像通常是一条对称于y=x轴的曲线或者抛物线。
2.3 反函数的性质反函数的性质有以下几点：（1）f(x)和f^(-1)(x)是一一对应的；（2）f^(-1)(f(x))=x，f(f^(-1)(x))=x；（3）f(x)和f^(-1)(x)的定义域和值域互换。
三、反函数的求解3.1 求解反函数的方法对于给定的函数f(x)，求解它的反函数g(y)的方法通常有两种：（1）利用代数方法，将y=f(x)转化成x=f^(-1)(y)，然后解出f^(-1)(x)；（2）利用图像，将函数f(x)的图像与y=x进行对称，然后求解出反函数g(y)的图像。
3.2 求解反函数的实例例如，对于函数f(x)=2x+3，我们要求解它的反函数。
首先，我们将y=2x+3转化成x=1/2(y-3)，然后我们得到f^(-1)(x)=1/2(x-3)。
这样，我们就求解出了函数f(x)的反函数f^(-1)(x)。
四、反函数的应用4.1 反函数的应用范围反函数在代数、几何和物理中有着广泛的应用。
反函数基本公式大全
反函数基本公式大全反函数是指对于一个函数f(x)，如果存在另一个函数g(x)，使得f(g(x)) = x，且g(f(x)) = x成立，那么g(x)就是f(x)的反函数。
在数学中，反函数是一个非常重要的概念，它在解方程、求导、积分等数学问题中都有着重要的应用。
因此，了解反函数的基本公式是十分必要的。
1. 一次函数的反函数。
对于一次函数y = kx + b，它的反函数可以通过以下公式来求解：x = ky + b。
y = (x b) / k。
其中k为一次函数的斜率，b为截距。
通过这个公式，我们可以很容易地求出一次函数的反函数。
2. 二次函数的反函数。
对于二次函数y = ax^2 + bx + c，它的反函数的求解就稍微复杂一些。
我们可以通过以下步骤来求解二次函数的反函数：首先，将y = ax^2 + bx + c中的y替换为x，然后解出关于x的二次方程；接着，将得到的解中的x和y互换位置，得到的表达式就是二次函数的反函数。
3. 对数函数的反函数。
对数函数y = loga(x)的反函数是指数函数y = a^x。
其中，a为对数函数的底数。
这两个函数是互为反函数的关系，它们的图像关于y=x对称。
4. 指数函数的反函数。
指数函数y = a^x的反函数是对数函数y = loga(x)。
同样地，这两个函数也是互为反函数的关系，它们的图像关于y=x对称。
5. 三角函数的反函数。
对于三角函数y = sin(x)、y = cos(x)、y = tan(x)等，它们的反函数分别是反正弦函数y = arcsin(x)、反余弦函数y = arccos(x)、反正切函数y = arctan(x)等。
这些反函数在三角函数的求解中具有重要的作用。
6. 复合函数的反函数。
对于复合函数f(g(x))，它的反函数可以通过以下公式来求解：g(f(x)) = x。
f(g(x)) = x。
通过这些公式，我们可以求解复合函数的反函数，从而在数学问题中得到更加简洁的表达式。
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3.12反函数一、选择题1．函数y ＝x ＋2，x ∈R 的反函数为( )A ．x ＝2－yB ．x ＝y －2C ．y ＝2－x ，x ∈RD ．y ＝x －2，x ∈R [答案] D[解析] 由y ＝x ＋2得，x ＝y －2，∴y ＝x －2.∵x ∈R ，∴y ＝x ＋2∈R ，∴函数y ＝x ＋2，x ∈R 的反函数为y ＝x －2，x ∈R .2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x (x ≤0)log 2x (x >0)，则f [f (12)]＝( ) A ．－1B ．log 2 3 C. 3D ．13[答案] D[解析] f [f (12)]＝f [log 212]＝f (－1)＝3－1＝13. 3．已知函数y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数，函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，若g (a )＝1，则实数a 的值为( )A ．－eB ．－1eC ．1eD ．e [答案] C[解析] ∵函数y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数，∴f (x )＝ln x ，又∵函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称，∴g (x )＝－ln x ，∴g (a )＝－ln a ＝1，∴ln a ＝－1，∴a ＝1e. 4．函数y ＝f (x )的图象过点(1,3)，则它的反函数的图象过点( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,3)D ．(3,1) [答案] D[解析] ∵互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称，∴点(1,3)关于直线y ＝x 的对称点为(3,1)，故选D.5．函数y ＝1－x －1(x ≥2)的反函数为( )A ．y ＝(x －1)2＋1(x ≥1)B ．y ＝(x －1)2－1(x ≥0)C ．y ＝(x －1)2＋1(x ≤1)D ．y ＝(x －1)2＋1(x ≤0)[答案] D[解析] ∵y ＝1－x －1，∴x －1＝1－y ，∴x －1＝(1－y )2，∴y ＝(1－x )2＋1＝(x －1)2＋1.又∵x ≥2，∴x －1≥1，∴x －1≥1， ∴－x －1≤－1，∴1－x －1≤0.∴函数y ＝1－x －1(x ≥2)的反函数为y ＝(x －1)2＋1(x ≤0)．6．若f (10x )＝x ，则f (5)＝( )A ．log 510B ．lg5C ．105D ．510 [答案] B[解析] 解法一：令u ＝10x ，则x ＝lg u ，∴f (u )＝lg u ，∴f (5)＝lg5.解法二：令10x ＝5，∴x ＝lg5，∴f (5)＝lg5.7．若函数y ＝ax 1＋x的图象关于直线y ＝x 对称，则a 的值为( ) A ．1B ．－1C ．±1D ．任意实数 [答案] B[解析] 因为函数图象本身关于直线y ＝x 对称，故可知原函数与反函数是同一函数，所以先求反函数，再与原函数作比较即可得出答案；或利用反函数的性质求解，依题意，知(1，a 2)与(a 2，1)皆在原函数图象上，故可得a ＝－1. 8．函数y ＝10x 2－1(0<x ≤1)的反函数是( )A ．y ＝－1＋lg x (x >110) B ．y ＝1＋lg x (x >110) C ．y ＝－1＋lg x (110<x ≤1) D ．y ＝1＋lg x (110<x ≤1) [答案] D[解析] 由y ＝10 x2－1 (0<x ≤1)，得x 2－1＝lg y ，即x ＝lg y ＋1.又∵0<x ≤1，即－1<x 2－1≤0，∴110<10 x 2－1≤1，即原函数的值域为(110，1]． ∴原函数的反函数为y ＝lg x ＋1(110<x ≤1)． 9．已知函数f (x )＝log a (x －k )的图象过点(4,0)，而且其反函数f －1(x )的图象过点(1,7)，则f (x )是( )A ．增函数B ．减函数C ．奇函数D ．偶函数[答案] A [解析] ∵函数f (x )＝log a (x －k )的图象过点(4,0)，∴log a (4－k )＝0，∴k ＝3.∴f (x )＝log a (x －3)，又反函数f －1(x )的图象过点(1,7)， ∴f (x )过点(7,1)．∴log a 4＝1，∴a ＝4，∴f (x )为增函数．二、填空题10．函数y ＝π－x 的反函数为________． [答案] y ＝－log πx (x >0)[解析] 由y ＝π－x ，得－x ＝log πy ，∴y ＝－log πx . ∵π－x >0， ∴函数y ＝π－x 的反函数为y ＝－log πx (x >0)． 11．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x (x ≤1)log 81x (x >1)，则满足f (x )＝14的x 值为__________． [答案] 3[解析] 由f (x )＝14，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤12－x ＝14或⎩⎪⎨⎪⎧ x >1log 81x ＝14， ∴x ＝3.12．若点(1,2)既在y ＝ax ＋b 的图象上，又在其反函数的图象上，则a ＝________，b ＝________.[答案] －3 7[解析] 由题意可知点(1,2)和点(2,1)都在y ＝ax ＋b 的图象上，∴⎩⎨⎧ 2＝a ＋b 1＝2a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝7. 13．已知函数f (x )＝e2(x －1)，y ＝f －1(x )为y ＝f (x )的反函数，若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0f －1(x )，x >0，则g [g (－1)]＝________. [答案] 1 [解析] 由题意，得g (－1)＝－1＋2＝1，g [g (－1)]＝g (1)＝f －1(1)． 设f －1(1)＝t ，则有f (t )＝1， 即e 2(t －1)＝1，∴t ＝1，∴g [g (－1)]＝1.三、解答题14．已知f (x )＝1－3x 1＋3x，求f －1(45)的值． [解析] 令y ＝1－3x1＋3x， ∴y ＋y ·3x ＝1－3x ，∴3x ＝1－y 1＋y， ∴x ＝log 31－y 1＋y ，∴y ＝log 31－x 1＋x， ∴f －1(x )＝log 31－x 1＋x. ∴f －1(45)＝log 31－451＋45＝log 319＝－2. 故f －1(45)的值为－2. 15．求下列函数的反函数．(1)f (x )＝12x ＋1； (2)f (x )＝1－1－x 2(－1≤x <0)；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，0≤x ≤1x 2.－1≤x <0. [解析] (1)设y ＝f (x )＝12x ＋1. ∵x ≠－12，∴y ≠0. 由y ＝12x ＋1，解得x ＝1－y 2y . ∴f －1(x )＝1－x 2x(x ≠0)． (2)设y ＝f (x )＝1－1－x 2.∵－1≤x <0，∴0<y ≤1.由y ＝1－1－x 2，解得x ＝－2y －y 2.∴f －1(x )＝－2x －x 2(0<x ≤1)． (3)设y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，0≤x ≤1x 2.－1≤x <0， 当0≤x ≤1时，－1≤y ≤0，由y ＝x 2－1，得x ＝1＋y ；当－1≤x <0时，0<y ≤1，由y ＝x 2，得x ＝－y .∴f －1(x )＝⎩⎨⎧1＋x ，－1≤x ≤0－x .0<x ≤1. 16．已知函数f (x )＝log a (2－x )(a >1)．(1)求函数f (x )的定义域、值域；(2)求函数f (x )的反函数f －1(x )； (3)判断f －1(x )的单调性． [解析] (1)要使函数f (x )有意义，需满足2－x >0，即x <2，故原函数的定义域为(－∞，2)，值域为R .(2)由y ＝log a (2－x )得，2－x ＝a y ，即x ＝2－a y .∴f －1(x )＝2－a x (x ∈R )． (3)f －1(x )在R 上是减函数． 证明如下：任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，∵f －1(x 2)－f －1(x 1)＝2－ax 2－2＋ax 1＝ax 1－ax 2， ∵a >1，x 1<x 2，∴ax 1<ax 2即ax 1－ax 2<0，∴f －1(x 2)<f －1(x 1)， ∴y ＝f －1(x )在R 上是减函数． 17．设方程2x ＋x －3＝0的根为a ，方程log 2x ＋x －3＝0的根为b ，求a ＋b 的值．[分析] 解答本题可先根据两个方程的形式特点，观察出从正面难以入手，可变换方程形式，用数形结合的方法解决．[解析] 将方程整理得2x ＝－x ＋3，log 2x ＝－x ＋3.如图可知，a 是指数函数y ＝2x 的图象与直线y ＝－x ＋3交点A 的横坐标，b 是对数函数y ＝log 2x 的图象与直线y ＝－x ＋3交点B 的横坐标．由于函数y ＝2x 与y ＝log 2x 互为反函数，所以它们的图象关于直线y ＝x 对称，由题意可得出A 、B 两点也关于直线y ＝x 对称，于是A 、B 两点的坐标为A (a ，b )，B (b ，a )．而A 、B 都在直线y ＝－x ＋3上，∴b ＝－a ＋3(A 点坐标代入)，a ＝－b ＋3(B 点坐标代入)．故a ＋b ＝3.。