【创新设计】2013-2014学年高中数学 2-1-1~2位移、速度和力 向量的概念活页训练 北师大版必修4
【创新设计】2013-2014版高中数学(人教A版,选修4-4)【配套ppt课件】1-2
对应关系？
定一点M；反过来，给定平面内一点M，它的极坐标却不是唯 一的．所以极坐标系所在平面内的点与极坐标不能建立一一 对应关系，这是极坐标系与平面直角坐标系的主要区别．
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2.点的极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景：把直角坐标系的原点作
极轴 ，并在 为极点 ____，x轴的正半轴作为_____
2 ＋ y2 x ρ ＝________
2
y tan θ ＝x（x≠0）
在一般情况下，由tan θ确定角时，可根据点M所在的象限
取最小正角．
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名师点睛
1．极坐标系的概念 极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长 度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可． 极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置．
3．联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带 任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与 y 直角坐标的互化公式的纽带． 事实上， 若 ρ>0， sin θ ＝ρ， cos θ x ＝ ，所以 x＝ρcos θ ，y＝ρsin θ ，ρ2＝|OM|2＝x2＋y2，tan θ ρ y ＝x. 教材超级链接 课前自主学习 课堂讲练互动
第二节
【课标要求】
极坐标系
1．理解极坐标系的概念，理解极坐标的多值性． 2．掌握极坐标与直角坐标的互化． 3．掌握极坐标系的简单应用．
【核心扫描】
1．对极坐标系意义和应用的考查是热点． 2．对极坐标和直角坐标互化的考查是热点．
3．能够利用坐标转化解决某些数学问题．(难点)
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【创新设计14-2015学年高中数学 2.3.1 变量之间的相关关系;2.3.2 两个变量的线性相关课件 新人教A版必修3
^
(
)
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为 58.79 kg
答案 D ^ 解析 当 x＝170 时，y ＝0.85×170－85.71＝58.79，
体重的估计值为 58.79 kg.
5．正常情况下，年龄在 18 岁到 38 岁的人，体重 y(kg)对身高 x(cm)的回归方程为y＝0.72x－58.2，张红同学(20 岁)身高 178 cm，她的体重应该在________kg 左右．
跟踪演练1
下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系 ( )
A．正方体的棱长和体积 B．圆半径和圆的面积 C．正n边形的边数和内角度数之和 D．人的年龄和身高 答案 D
解析
A、B、C都是函数关系，对于A，V＝a3；对于B，S＝
πr2；对于C，g(n)＝(n－2)π.而对于年龄确定的不同的人可以 有不同的身高，∴选D.
(2)正相关与负相关：
右上角 的 左下角 到_______ ①正相关：散点图中的点散布在从_______ 区域．
左上角 到_______ 右下角 的 ②负相关：散点图中的点散布在从_______
区域．
2．回归直线的方程 (1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在 一条直线 附近，就称这两个变量之间具有_________ 线性相关 关 _________
^
A．y平均增加1.5个单位
B．y平均增加2个单位
C．y平均减少1.5个单位
答案 解析 C
D．y平均减少2个单位
∵两个变量线性负相关，∴变量x增加一个单位，y
平均减少1.5个单位．
4．(2013· 滨州高一检测)设某大学的女生体重 y(单位：kg)与身高 x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i ＝ 1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y ＝ 0.85x － 85.71，则下列结论中不正确的是 A． y 与 x 具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心(x， y)
【创新设计】2013-2014学年高中数学(人教B版)选修2-1(备课资源)模块检测
模块检测(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知命题p：若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x，y全为0；命题q：若a>b，则1a< 1 b.给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q；③綈p；④綈q.其中真命题的个数是()．A．1 B．2 C．3 D．4解析命题p为真，命题q为假，故p∨q真，綈q真．答案 B2．“α＝π6＋2kπ(k∈Z)”是“cos 2α＝12”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析当α＝π6＋2kπ(k∈Z)时，cos 2α＝cos(4kπ＋π3)＝cosπ3＝12.反之当cos 2α＝12时，有2α＝2kπ＋π3(k∈Z)⇒α＝kπ＋π6(k∈Z)，或2α＝2kπ－π3(k∈Z)⇒α＝kπ－π6(k∈Z)，故应选A.答案 A3．若直线l的方向向量为b，平面α的法向量为n，则可能使l∥α的是()．A．b＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0)B．b＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)C．b＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)D．b＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)解析若l∥α，则b·n＝0.将各选项代入，知D正确．答案 D4．已知A 为椭圆x 216＋y 212＝1的右顶点，P 为椭圆上的点，若∠POA ＝π3，则P 点坐标为( )．A ．(2，3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫455，±4155 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±32D ．(4，±83)解析 由y ＝±3x 及x 216＋y 212＝1(x >0)得解． 答案 B5．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )．A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°解析 ∵|a|＝|b|＝2，∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0.故向量a ＋b 与a －b 的夹 角是90°. 答案 A6．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )．A ．10B ．8C ．6D ．4解析 由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 答案 B7．如图，在长方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )． A.63 B.255 C.155D.105解析 建立如图所示坐标系，得D (0，0，0)，B (2，2，0)，C 1(0，2，1)，B 1(2， 2，1)，D 1(0，0，1)，则DB →＝(2，2，0)，DD 1→＝(0，0，1)，BC 1→＝(－2，0，1)．设平面BD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝2x ＋2y ＝0，n ·DD 1→＝z ＝0，∴取n ＝(1，－1，0)．设BC 1与平面BD 1所成的角为θ，则sin θ＝cos 〈n ，BC 1→〉＝|BC 1→·n ||BC 1→|·|n |＝25·2＝105.答案 D8．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )．A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析 y 2＝ax 的焦点坐标为(a4，0)，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2(x －a 4)，令x ＝0得y ＝－a 2.∴12×|a |4×|a |2＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8. 答案 B9．三棱锥A －BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则AB →·CD →等于( )．A ．－2B ．2C ．－2 3D ．2 3解析 AB→·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos 90°－2×2×cos 60°＝－2. 答案 A10．两个焦点在x 轴上的椭圆C 1：x 24＋y 23＝1和C 2：x 29＋y 2m ＝1，C 1比C 2要扁，则m 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫274，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫332，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫274，9D.⎝ ⎛⎭⎪⎫332，9解析 因椭圆越扁其离心率越大， ∴9－m 9<12，化简得m >274.又∵椭圆C 2焦点在x 轴上， ∴m <9.因此274<m <9. 答案 C11．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )．A. 3B ．2C. 5D. 6解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，因为y ＝x 2＋1与渐近线相切，故x 2＋1±b a x ＝0只有一个实根，∴b 2a 2－4＝0，∴c 2－a 2a ＝4，∴c 2a 2＝5，∴e ＝ 5. 答案 C12．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a >0，m >b >0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形一定是 ( )．A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析 双曲线的离心率e 12＝a 2＋b 2a 2，椭圆的离心率e 22＝m 2－b 2m 2，由已知e 12e 22＝1，即a 2＋b 2a 2×m 2－b 2m 2＝1，化简，得a 2＋b 2＝m 2. 答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知命题p：∀x∈R(x≠0)，x＋1x≥2，则綈p：________．解析首先将量词符号改变，再将x＋1x≥2改为x＋1x<2.答案∃x∈R(x≠0)，x＋1x<214．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为______________．解析连接虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两直角边分别是b，c(b是虚半轴长，c是焦半距)，且一个内角是30°，即得bc＝tan30°，所以c＝3b，a＝2b，离心率e＝ca＝32＝62.答案6 215．给出下列结论：①若命题p：∃x∈R，tan x＝1；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p∧綈q”是假命题；②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是a b＝－3；③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为________(把你认为正确的结论的序号都填上)．解析对于①，命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧綈q为假命题，故①正确；对于②，当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；易知③正确．所以正确结论的序号为①③.答案①③16．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x225＋y29＝1的左、右焦点分别是F1、F2，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为______．解析∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，由椭圆方程知a＝5，b＝3，∴c＝4，∴⎩⎨⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2＝64|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10， 解得|PF 1||PF 2|＝18.∴△PF 1F 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×18＝9. 答案 9三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知命题p ：方程x 22m ＋y 29－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线y 25－x 2m ＝1的离心率e ∈(62，2)，若命题p 、q 中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围． 解 若p 真，则有9－m >2m >0， 即0<m <3.若q 真，则有m >0，且e 2＝1＋b 2a 2＝1＋m 5∈(32，2)，即52<m <5.若p 、q 中有且只有一个为真命题， 则p 、q 一真一假． ①若p 真、q 假，则0<m <3，且m ≥5或m ≤52，即0<m ≤52； ②若p 假、q 真，则m ≥3或m ≤0，且52<m <5， 即3≤m <5.故所求范围为：0<m ≤52或3≤m <5.18．(12分)求以(1，－1)为中点的抛物线 y 2＝8x 的弦所在的直线方程． 解 设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 12＝8x 1， ①y 22＝8x 2， ②由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝－1，得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2， ③y 1＋y 2＝－2. ④又∵k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1.⑤由②－①，得(y 2＋y 1)(y 2－y 1)＝8(x 2－x 1)， ∴y 2－y 1x 2－x 1＝8y 2＋y 1， 将④⑤代入上式可得k AB ＝－4.故弦所在的直线方程为y ＋1＝－4(x －1)，即4x ＋y －3＝0. 19．(12分)已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A 、B 两点． (1)求a 的取值范围；(2)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值． 解 (1)由⎩⎨⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1消去y ，得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.依题意得⎩⎨⎧3－a 2≠0，Δ>0，即－6<a <6且a ≠±3.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a3－a 2，x 1x 2＝－23－a 2.∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB ， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0， 即(a 2＋1)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0. ∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a3－a2＋1＝0，∴a ＝±1，满足(1)所求的取值范围． 故a ＝±1.20．(12分)如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD . (1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (2)证明平面AMD ⊥平面CDE ； (3)求二面角A -CD -E 的余弦值．解 如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，2，0)，E (0，1，1)，F (0，0， 1)，M (12，1，12)．(1)BF→＝(－1，0，1)，DE →＝(0，－1，1)， 于是cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|＝0＋0＋12×2＝12.所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°. (2)证明 由AM→＝(12，1，12)，CE →＝(－1，0，1)，AD→＝(0，2，0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝0.因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .(3)设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧u ·CE→＝0，u ·DE →＝0.于是⎩⎨⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0.令x ＝1，可得u ＝(1，1，1)．又由题设，平面ACD 的一个法向量为v ＝(0，0，1)． 所以，cos 〈u ，v 〉＝u·v |u|·|v |＝0＋0＋13×1＝33. 因为二面角A -CD -E 为锐角，所以其余弦值为33.21．(12分)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M (355，455)，F (5，0)，且P 为L 上动点，求||MP |－|FP ||的最大 值及此时点P 的坐标．解 (1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r . 圆(x ＋5)2＋y 2＝4的圆心为F 1(－5，0)，半径为2， 圆(x －5)2＋y 2＝4的圆心为F (5，0)，半径为2. 由题意得⎩⎨⎧|CF 1|＝r ＋2，|CF |＝r －2或⎩⎨⎧|CF 1|＝r －2，|CF |＝r ＋2，∴||CF 1|－|CF ||＝4. ∵|F 1F |＝25>4，∴圆C 的圆心轨迹是以F 1(－5，0)，F (5，0)为焦点的双曲线，其方程为 x 24－y 2＝1.(2)由图知，||MP |－|FP ||≤|MF |，∴当M ，P ，F 三点共线，且点P 在MF 延长线上时，|MP |－|FP |取得最大值 |MF |，且|MF |＝（355－5）2＋（455－0）2＝2.直线MF 的方程为y ＝－2x ＋25，与双曲线方程联立得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋25，x 24－y 2＝1，整理得15x 2－325x ＋84＝0. 解得x 1＝14515(舍去)，x 2＝655. 此时y ＝－255.∴当||MP |－|FP ||取得最大值2时，点P 的坐标为(655，－255)．22．(12分)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1⊥F 1F 2，|PF 1|＝43，|PF 2|＝143. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 过圆x 2＋y 2＋4x －2y ＝0的圆心M 交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 关于点M 对称，求直线l 的方程．解 (1)因为点P 在椭圆C 上，所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝6，a ＝3. 在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝|PF 2|2－|PF 1|2＝25， 故椭圆的半焦距c ＝5，从而b 2＝a 2－c 2＝4， 所以椭圆C 的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．因圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5，所以圆心M 的坐标为(－2，1)． 从而可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入椭圆C 的方程得(4＋9k 2)x 2＋(36k 2＋18k )x ＋36k 2＋36k －27＝0. 因为A ，B 关于点M 对称．所以x 1＋x 22＝－18k 2＋9k 4＋9k 2＝－2.解得k ＝89. 所以直线l 的方程为y ＝89(x ＋2)＋1， 即8x －9y ＋25＝0(经检验，符合题意)．。
【创新设计】2014届高考数学 3-2-2~3直线的两点式方程直线的一般式方程配套课件 新人教A版必修2
(2)法一
设直线 l 的斜率为 k.(3 分)
∵直线 l 与直线 2x＋y－10＝0 垂直， 1 ∴k· (－2)＝－1，∴k＝ . 2 又∵l 经过点 A(2,1)，(8 分) 1 ∴所求直线 l 的方程为 y－1＝2(x－2)，即 x－2y＝0.(12 分) 法二 设与直线 2x＋y－10＝0 垂直的直线方程为 x－2y＋m＝
直线的平行与垂直问题
【例 4】 (1)求与直线 3x＋4y＋1＝0 平行且过点(1,2)的直线 l 的方程； (2)求经过点 A(2,1)，且与直线 2x＋y－10＝0 垂直的直线 l 的方 程． 审题指导
[规范解答] 法一 设直线 l 的斜率为 k，(3 分) ∵l 与直线 3x＋4y＋1＝0 平行， 3 ∴k＝－4.(8 分) 又∵l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为 3 y－2＝－4(x－1)，即 3x＋4y－11＝0.(12 分) 法二 设与直线 3x＋4y＋1＝0 平行的直线 l 的方程为 3x＋4y ＋m＝0.(3 分) ∵l 经过点(1,2) ∴3×1＋4×2＋m＝0，解得 m＝－11.(8 分) ∴所求直线方程为 3x＋4y－11＝0.(12 分)
ab≠0
x y x y 想一想： 方程 － ＝1 和 ＋ ＝－1 都是直线的截距式方程吗？ 2 3 2 3 提示 都不是截距式方程．截距式方程的特点有两个：一是中
间必须用“＋”号连接；二是等号右边为 1.
2．线段的中点坐标公式 若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，设 P(x，y)是线段 x＝ P1P2 的中点，则 y＝ x1＋x2 ， 2 y1＋y2 2 .
法二
由题意可知直线 l 的斜率存在．
设过点 A(2,1)的直线方程为 y－1＝k(x－2)(k≠0)． 令 x＝0，则 y＝1－2k； 1 令 y＝0，则 x＝2－ k. 1 由已知条件，得 1－2k＝2－k， 1 解得 k＝－1 或 k＝2. ∴所求直线的方程为 x＋y－3＝0 或 x－2y＝0.
创新设计2013-2014学年高中数学人教B版必修2配套课件：归纳整合2 (7125252)
知识网络
网络构建
专题归纳
解读高考
要点归纳 1．直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角与斜率从“形”和“数”两方面刻画了直线的倾斜 程度，但倾斜角α是角度(α∈[0° ，180° ))，是倾斜度的直接体现； 斜率k是实数(k∈(－∞，＋∞))，是倾斜程度的间接反映．在解题 的过程中，用斜率往往比用倾斜角更方便． (2)倾斜角与斜率的对应关系：当α＝90° 时，直线的斜率不存 在；当α≠90° 时，斜率k＝tan α，且经过两点 A(x1，y1)，B(x2，
解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式 和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴 垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一 般式虽然可以表示任何直线，但要注意A2＋B2≠0，必要时要对 特殊情况进行讨论．
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3．两直线平行与垂直的条件
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专题归纳
解读高考
5．直线系方程
直线系方程是解析几何中直线方程的基本内容之一，它把
具有某一共同性质的直线族表示成一个含参数的方程，然后根 据直线所满足的其他条件确定出参数的值，进而求出直线方 程．直线系方程的常见类型有： (1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参 数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点 斜式方程；
3x－2y＋C＝0. 又P(1，－1)在直线l上， ∴3×1－2×(－1)＋C＝0，∴C＝－5. ∴所求直线方程为3x－2y－5＝0.
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【例4】 求通过两条直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，
中一条直线上任一点关于点 P 对称的点在另一条直线上，并且
《创新设计》2015-2016学年高中数学(苏教版选修2-1)课件第3章空间向量与立体几何2.1
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3.若a＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为 平面γ的法向量的是___②_____. ①(0,1,2) ②(3,6,9) ③(－1，－2,3) ④(3,6,8) 解析 向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线.
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4.若直线 l∥α，且 l 的方向向量为(2，m,1)，平面 α 的法向
[预习导引] 1.直线的方向向量 直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的 方向向量 . 2.平面的法向量 如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那 么称向量n 垂直于平面α，记作 n⊥α ，此时，我们把向量n 叫做平面α的 法向量.
要点一 直线的方向向量及其应用 例1 设直线l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，直线l2的方向向 量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m＝____2____. 解析 由题意，得a⊥b， 所以a·b＝(1,2，－2)·(－2,3，m)＝－2＋6－2m＝4－2m＝0， 所以m＝2.
设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 n·A→B＝(x，y，z)·(－a，b,0)＝－ax＋by＝0， n·A→C＝(x，y，z)·(－a,0，c)＝－ax＋cz＝0. 于是得 y＝abx，z＝acx. 不妨令x＝bc，则y＝ac，z＝ab. 因此，可取n＝(bc，ac，ab)为平面ABC的一个法向量.
规律方法 平面的法向量有无数条，一般用待定系数法求 解，解一个三元一次方程组，求得其中一条即可，构造方 程组时，注意所选平面内的两向量是不共线的，赋值时保 证所求法向量非零，本题中法向量的设法值得借鉴.
跟踪演练2 如图，ABCD是直角梯形，∠ABC＝ 90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝ 12，求平面SCD与平面SBA的法向量. 解 ∵AD、AB、AS是三条两两垂直的线段， ∴以 A 为原点，以A→D、A→B、A→S的方向为 x 轴，
《创新设计》2014-2015学年高中数学同步系列(湘教版,必修二)：4.4向量的分解与坐标表示
第 4章
向量
4.4 向量的分解与坐标表示
预习导学
• [学习目标] • 1 ．理解向量的线性组合及其意义，会用基表示 向量． • 2．掌握向量的坐标表示及其坐标运算． • 3．掌握向量平行的坐标表示及其应用． • 4．理解并掌握平面向量基本定理．
预习导学
[知识链接] 1．如图所示，e1，e2是两个不共线的向量，试用e1，e2表示向量 → ，CD → ，EF → ，GH → ，HG → ，a. AB
•规律方法 (1)用基底表示平面向量，要充分利 用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形 法则结合数乘定义，解题时要注意解题途径的 优化与组合． •(2) 将向量 c 用 a ， b 表示，常采用待定系数法， 其基本思路是设 c ＝ xa ＋ yb ，其中 x ， y∈R ，然 后得到关于x，y的方程组求解．
课堂讲义
要点一 向量的坐标运算 例1 已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)．求：
1 1 (1)3a＋4b；(2)a－3b；(3) a－ b. 2 4 解 (1)3a＋4b＝3(2,1)＋4(－3,4)＝(6,3)＋(－12,16)＝(－
6,19)． (2)a－3b＝(2,1)－3(－3,4)＝(2,1)－(－9,12)＝(11，－11)．
课堂讲义
跟踪演练5 如图，在△OAB中，延长BA到C，使AB＝AC，D是 → → → 将 OB 分成2∶1的一个分点，DC和OA交于点E，设 OA ＝a， OB ＝b.
→ ，DC →； (1)用a，b表示向量OC → → (2)若OE＝λOA，求实数λ的值．
课堂讲义
解
(1)∵A为BC中点，
→ 1 → → → ∴OA＝2(OB＋OC)，OC＝2a－b. 2 5 → → → → 2→ DC＝OC－OD＝OC－3OB＝2a－b－3b＝2a－3b.
【创新设计】2014-2015学年高中数学 1.1.2 第3课时 循环结构、程序框图的画法课件 新人教A版必修3
跟踪演练2 解
求使1＋2＋3＋4＋5＋…＋n>100成立的最小自然
数n的值，只画出程序框图． 设累加变量为S， 程序框图如图：
要点三 循环结构程序框图的识别与解读
例3 (1)(2013· 安徽高考)如图所示，程序框图(算法流程图)的
输出结果是
(
)
1 A. 6
25 B. 24
3 C. 4
11 D. 12
2．程序框图中的任何结构内的每一部分都有机会被执行 到，也就是说对每一个框来说都应当有一条从入口到出 口的路径.
2.如图所示是一个循环结构的算法， 下列说法不正确的是 就要开始 B．②为循环体 ( ) A．①是循环变量初始化，循环
C．③是判断是否继续循环的终
止条件 D．①可以省略不写 答案 D
3．直到型循环结构对应的框图为
(
)
答案
B
4．(2013· 广东高考)执行如图所示的程序框图，若输入n的值 为3，则输出s的值是 ( )
A．1 答案 解析 C
B．2
C．4
D．7
当i＝1时，s＝1＋1－1＝1；
当i＝2时，s＝1＋2－1＝2；
当i＝3时，s＝2＋3－1＝4； 当i＝4时，退出循环，输出s＝4；故选C.
5．如下程序框图，当输入x的值为5时，则其输出的结果是 ________．
答案 解析
2 x＝5，x>0，∴x＝5－3＝2，x>0.
S2＋1 2 (2)当 i＝0，S＝1 时，执行 S＝ 后得 S＝ ，i＝i＋1＝1； 3 2S＋1 S2＋1 2 13 当 i＝1，S＝ 时，执行 S＝ 后得 S＝ ，i＝i＋1＝2； 3 21 2S＋1 13 由于此时 i≥2 是成立的，因此输出 S＝ . 21
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解析 向量 A B ∥C D 包含 A B 所在的直线平行于 C D 所在的直线和 A B 所在的直线与 C D 所 在的直线重合两种情况；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量也称为平 行向量，它们可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以 A、B、 D 均错． 答案 C → → → 8．设 O 为△ABC 的外心，则AO、BO、CO是( A．相等向量 C．模相等的向量 解析 ∵O 为△ABC 的外心，∴OA＝OB＝OC， )． B．平行向量 D．起点相同的向量
→
的中点，则与向量 E F 共线的向量． 解析 ∵E、F 分别为△ABC 对应边的中点，∴EF∥BC，
→ → → →
→
→
∴符合条件的向量为 F E ，B C ，C B . 答案 F E ，B C ，C B 6．一架飞机从 A 点向西北飞行 200 km 到达 B 点，再从 B 点向东飞行 100 2 km 到达 C 点， 再从 C 点向南偏东 60°飞行了 50 2 km 到达 D 点，求飞机从 D 点飞回 A 点的位移． 解 如图所示，由|BC|＝100 2知 C 在
解析 因为所有的零向量都是相等的向量，故只有 C 正确． 答案 C 4 ．把平面上一切单位向量归结到共同的始点 O ，那么这些向量的终点所组成的图形是 ________． 解析 如图，单位向量的长度是一个单位，方向任意，若单位向量有共同的始点 O，则其终 点构成一个单位圆．
答案 以 O 为圆心的单位圆 5．如图所示，E、F 分别为△ABC 边 AB、AC
A 的正北，又由|CD|＝50 2，∠ACD＝60°，
→ 知∠CDA＝90°，即∠DAC＝30°，故DA的 方向为南偏西 30°，长度为 50 6 km. 综合提高 限时 25 分钟 7．下列说法正确的是( )．
→ → → → A．向量 A B ∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量 C．零向量长度等于 0 D．共线向量是在一条直线上的向量
3
→ → → 12．(创新拓展)如图，已知AA′＝BB′＝CC′.求证： (1)△ABC≌△A′B′C′； → → → → (2)AB＝A′B′，AC＝A′C′. → → 证明 (1)∵AA′＝BB′， → → ∴|AA′|＝|BB′|， → 又∵A 不在BB′上，∴AA′∥BB′. ∴四边形 AA′B′B 是平行四边形． → → ∴|AB|＝|A′B′|. → → → → 同理|AC|＝|A′C′|，|BC|＝|B′C′|. ∴△ABC≌△A′B′C′. (2)∵四边形 AA′B′B 是平行四边形， → → → → ∴AB∥A′B′，且|AB|＝|A′B′|.
π 2
11．如右图，四边形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边形． → (1)写出与向量ED相等的向量； → → (2)若|AB|＝3，求向量EC的模． 解 (1)∵四边形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边形， → → → → ∴AB 綉 ED，AB 綉 DC，从而AB＝ED，AB＝DC， → → ∴ED＝DC. → → → 故与向量ED相等的向量是AB、DC. → → (2)由(1)可知ED＝DC. → → ∴ED与DC方向相同，从而 E、D、C 三点共线． → → → → ∴|EC|＝|ED|＋|DC|＝2|AB|＝6.
C 是圆周上的一点，∠BAC＝ ，CD⊥AB 于 D， →
这时|C D |＝________. 解析 如右图，因为圆 O 的周长是 2π ，所以直径 AB＝2.又因为 C 是圆周上的一点，所以△
π 6
ACB 是直角三角形，∠ACB＝ .
π 再由∠BAC＝ ， 6 1 1 得 BC＝ AB＝ ×2＝1. 2 2 π 3 3 所以 CD＝BCsin ＝1× ＝ . 3 2 2 答案 3 2
→
答案 C
→
→
即|A O |＝|B O |＝|C O |.
9．如图是 3×4 的格点图(每个小方格都是单位正方形)， → 若起点和终点都在方格的顶点处，则与AB平行且模为 2
2
的向量共有________个． → 解析 与AB平行且模为 2的向量即为小正方形的对角线，共有 12 条对角线，即向量为 24 个． 答案 24 10．圆 O 的周长是 2π ，AB 是圆 O 的直径，
→ → → → ∴A B ＝A′B′.同理可证AC＝A′C′.
4
【创新设计】2013-2014 学年高中数学 2-1-1~2 位移、速度和力 向 量的概念活页训练 北师大版必修 4
双基达标 限时 20 分钟 1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功．其中不是向 量的有( A．1 个 )． B．2 个 C．3 个 D．4 个
解析 本题主要考查向量的概念， 看一个量是不是向量， 就是看它是否具备向量的两个要素： 大小和方向，∵②、③、④是既有大小，又有方向的量，∴它们是向量；而①、⑤、⑥、⑦ 只有大小而没有方向，∴不是向量，故选 D. 答案 D 2．下列说法正确的是( A．若|a|＞|b|，则 a＞b B．若|a|＝|b|，则 a＝b C．若 a＝b，则 a 与 b 共线 D．若 a≠b，则 a 一定不与 b 共线 解析 A 中，向量的模可以比较大小，因为向量的模是非负实数，虽然|a|＞|b|，但 a 与 b 的方向不确定，不能说 a＞b.A 不正确；同理 B 错误；D 中，a≠b，a 可与 b 共线．故选 C. 答案 C 3．若向量 a 与 b 不相等，则 a 与 b 一定( A．有不相等的模 C．不可能都是零向量 B．不共线 D．不可能都是单位向量 )． )．