高三数学创新设计
高中数学新课程创新教学设计案例50篇(15)异面直线
15 异面直线教材分析异面直线是立体几何中十分重要的概念．研究空间点、直线和平面之间的各种位置关系必须从异面直线开始．教材首先通过实例让学生弄懂“共面”、“异面”的区别，正确理解“异面”的含义，进而介绍异面直线所成角及异面直线间的距离，这样处理完全符合学生的认知规律．处理好这节内容，可以比较容易地引导学生实现由平面直观到空间想象的过渡．教学重点是异面直线的概念，求异面直线所成的角和异面直线间的距离是这节的难点．教学目标1. 理解异面直线的概念，了解空间中的直线的三种位置关系．2. 理解异面直线所成的角、异面直线间的距离的意义，体会空间问题平面化的基本数学思想方法．3. 通过异面直线的学习，使学生逐步养成在空间考虑问题的习惯，培养学生的空间想象能力．任务分析空间中的两条直线的位置关系，是在平面中两条直线位置关系及平面的基本性质基础上提出来的．学生对此已有一定的感性认识，但是此认识是肤浅的．同时，学生空间想象能力还较薄弱．因此，这节内容课应从简单、直观的图形开始介绍．“直观”是这节内容的宗旨．多给学生思考的时间和空间，以有助于空间想象能力的形成．异面直线所成的角的意义及求法，充分体现了化归的数学思想．要让学生通过基本问题的解决，进一步体会异面直线所成的角、异面直线间的距离的意义及其基本求法．教学设计一、问题情境（１）1. 同一平面内的两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？观察教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在直线的位置或观察天安门广场上旗杆所在直线与长安街所在直线的位置．2. 如图15-1，长方体ABCD—A1B1C1D1中，线段A1B所在直线与线段C1C所在直线的位置关系如何？二、建立模型（１）1. 首先引导学生观察实例或几何模型，进而发现，空间两直线除平行或相交外，还有一种位置关系：存在两条直线既不平行又不相交，即不能共面的两直线，并在此基础上总结出异面直线的定义．2. 在学生讨论归纳异面直线定义的基础上，教师概括：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线．强调：（1）所谓异面，即不共面，所以它们既不平行，也不相交．（2）“不共面”，指不在任何一个平面内，关键是“任何”二字．3. 先让学生总结空间中两条直线的位置关系，然后教师明晰．（1）共面与异面．共面分为平行和相交．（2）有无公共点．有且仅有一个公共点———相交直线，无公共点____________ 平行直线和异面直线．4. 异面直线的画法．先让学生体会下列图形，并让其指出哪些更为直观．显然，图15-2或图15-3较好．因此，当表示异面直线时，以平面衬托可以显示得更清楚．三、问题情境（2）刻画两条平行直线位置通常用距离，两条相交直线通常用角度，那么，如何刻画两条异面直线的相对位置呢？容易想象要用角和距离，如何定义异面直线的角和距离呢？下面探究一个具体的问题：如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，1. 我们知道AB与A1B是共面的，它们成的角是45°，那么异面直线AB与D1C所成的角定义为多少度的角比较合理呢？2. 回忆我们已学过的“距离”概念，发现“距离”具有“最小性”，现在直线AB和D1C上各取一点，这两点必然存在距离，试问在这所有可能的距离中，是否存在两点，这两点间距离最短？进一步思考：如何定义异面直线AB和D1C间的距离？四、建立模型（2）在学生充分讨论、探究的基础上，抽象概括出异面直线所成的角和异面直线间的距离的概念．1. 异面直线a与b所成的角已知两条异面直线a，b．经过空间任一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角（或直角），叫作异面直线a与b所成的角．强调：（1）“空间角”是通过“平面角”来定义的．（2）“空间角”的大小，与空间点O的选取无关，依据是“等角定理”．为简便，点O常取在两条异面直线中的一条上．（3）异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°．（4）异面直线垂直的意义．今后所说的两直线垂直，可能是相交直线，也可能是异面直线．2. 对于问题2，学生讨论，可以发现：线段BC是在异面直线AB和D1C上各任取一点，且两点间的距离为异面直线AB和D1C间的最小值．此时，我们就说BC的长度就是AB和D1C的距离．引导学生观察、分析线段BC与AB，D1C之间的关系，得出公垂线段定义：和两条异面直线都垂直且相交的线段．强调：（1）“垂直”与“相交”同时成立．（2）公垂线段的长度定义为异面直线间的距离．五、解释应用［例题］1. 如图，点D是△ABC所在平面外一点，求证直线AB与直线CD是异面直线．注：主要考查异面直线的定义，这里可考虑用反证法证明．要让学生体会用反证法的缘由．2. 已知：如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′．（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？（3）哪些棱所在直线与直线AA′垂直？（4）直线BB′与DC间距离是多少？注：主要是理解、巩固有关异面直线的一些基本概念．解题格式要规范，合理．［练习］1. 如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？2. 垂直于同一条直线的两条直线是否平行？3. 与两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是怎样的？4. 已知：如图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2．（1）BC和A′C′所成角是多少度？（2）AA′和BC′所成角是多少度？（3）AA′和BC所成的角和距离是多少？（4）A′B与B′C所成的角是多少？（5）AC′与BD所成的角是多少？四、拓展延伸1. 判断异面直线除了定义之外，还有如下依据：过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线．请给以证明．2. 设点P是直线l外的一定点，过P与l成30°角的异面直线有____________ 条．（无数）3. 已知异面直线a与b成50°角，P为空间任一点，则过点P且与a，b所成的角都是30°的直线有____________ 条．（2）若a与b所成的角是60°，65°和70°呢？点评这篇案例设计思路完整，条理清晰．案例首先通过直观的图形引出定义，这样有利于学生的接受．然后探索了异面直线所成角与异面直线间距离的概念．探索过程有利于激发了学生的学习热情，体验科学思维方法．列举的例题有针对性，对知识的巩固和形成起到了很好的作用．“拓展延伸”中提出的问题旨在开拓学生解题思路，增强学生空间想象能力．。
高中数学新课程创新教学设计案例50篇__44_数列
数列教材分析这一节课主要研究数列的有关定义，运用概念去解决有关问题，其中，对数列概念的理解及应用，是教学的重点，也是教学的难点。
教学目标1、知识与技能：理解数列及数列的通项公式等有关概念，会根据一个数列的有限项写出这个数列的一个通项公式。
2.、过程与方法：了解递推数列，并会由递推公式写出此数列的若干项。
3、情感态度与价值观：进一步培养学生观察、归纳和猜想的能力。
教学设计一、问题情景传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们研究过1，3，6，10，…由于这些数都能够表示成三角形（如图44-1），他们就将其称为三角形数．类似地，1，4，9，16，…能够表示成正方形（如图44-2），他们就将其称为正方形数。
二、建立模型1.引导学生观察、分析数列的顺序要求，设法用自己的语言描述出数列的定义及有穷数列、无穷数列、递增数列、摆动数列等有关概念像1，4，9，16，…等按照一定规律排列的一列数，就叫作数列。
数列的概念： 按一定顺序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项,通常也叫做首项,排在第二位的数称为这个数列的第2项,…,排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。
注: 从数列定义可以看出,数列的数是按一定次序排列的,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么他们就不是同一数列,显然数列和数集有本质的区别。
2.数列的记法数列的一般形式可以写成:,,,,21n a a a ,可简记为}{n a .其中n a 是数列的第n 项。
3.数列的通项公式如果数列}{n a 的第n 项n a 与序号n 之间的关系可以用一个公式)(n f a n =来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
注: (1)一个数列的通项公式有时不唯一。
如 ,0,1,0,1,0,1,0,1, 它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ,也可以是|21cos |π+=n a n 。
高中数学创新教学设计
高中数学创新教学设计一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计以高中数学课程为载体，旨在通过创新的教学方法，引导学生深入理解数学概念，掌握数学方法，并能在实际中灵活运用。
具体任务包括：通过问题驱动的教学策略，激发学生的探究欲望，培养其创新思维和解决问题的能力；结合数学历史，让学生体会数学的演变与发展，理解数学在人类文明中的作用；利用信息技术手段，丰富教学形式，提高学生的学习兴趣和效率。
2、教学对象本教学设计的对象为高中学生，他们已经具备了一定的数学基础知识和逻辑思维能力，但仍需进一步培养独立思考、合作交流和解决问题的能力。
此外，学生个体差异较大，教学中需关注不同层次学生的学习需求，充分调动每个学生的积极性，使他们在数学学习中获得成就感。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握高中数学的基本概念、定理和公式，能够熟练运用解决实际问题。
（2）掌握数学证明方法，具备一定的逻辑推理能力，能够对数学问题进行分析、论证。
（3）培养数学建模能力，能够运用数学知识解决现实生活中的问题。
（4）掌握数学计算方法和技巧，提高运算速度和准确性。
（5）学会使用数学软件和信息技术工具，辅助解决数学问题。
2、过程与方法（1）通过问题驱动的教学策略，培养学生主动探究、合作学习的习惯，提高解决问题的能力。
（2）运用案例分析、讨论交流等教学方法，引导学生从不同角度思考问题，培养其思维的灵活性和创新性。
（3）采用小组合作、角色扮演等教学形式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
（4）结合数学历史，让学生了解数学知识的产生和发展过程，培养其历史观念和学术素养。
（5）运用信息技术手段，如网络资源、数学软件等，丰富教学手段，提高学生的学习兴趣和效率。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学的兴趣，培养其数学学习的自信心和积极性。
（2）引导学生体验数学的优美和严谨，树立正确的数学观，认识到数学在自然科学和社会科学中的地位和价值。
（3）培养学生在面对困难和挫折时，保持积极的心态，勇于克服困难，追求卓越。
高中数学新课程创新教学设计案例50篇__34_诱导公式
诱导公式的应用教材分析这节内容以学生在初中已经学习了锐角的三角函数值为基础，利用单位圆和三角函数的定义，导出三角函数的五组诱导公式，即有关角k·360°＋α，180°＋α，－α，180°－α，360°－α的公式，并通过运用这些公式，把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，从而渗透了把未知问题化归为已知问题的化归思想．这节课的重点是后四组诱导公式以及这五组公式的综合运用．把这五组公式用一句话归纳出来，并切实理解这句话中每一词语的含义，是切实掌握这五组公式的难点所在．准确把握每一组公式的意义及其中符号语言的特征，并且把公式二、三与图形对应起来，是突破上述难点的关键．教学目标1. 在教师的引导下，启发学生探索发现诱导公式及其证明，培养学生勇于探求新知、善于归纳总结的能力．2. 理解并掌握正弦、余弦、正切的诱导公式，并能应用这些公式解决一些求值、化简、证明等问题．3. 让学生体验探索后的成功喜悦，培养学生的自信心．4. 使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途径，进一步树立化归思想．任务分析诱导公式的重要作用之一就是把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值．在五组诱导公式中，关于180°＋α与－α的诱导公式是最基本的，也是最重要的．在推导这两组公式时，应放手让学生独立探索，寻求“180°＋α与角α的终边”及“－α与角α的终边”之间的位置关系，从而完成公式的推导．此外，要把90°～360°范围内的三角函数转化为锐角的三角函数，除了利用第二、四、五个公式外，还可以利用90°＋α，270°±α与α的三角函数值之间的关系．应引导学生在掌握前五组诱导公式的基础上进一步探求新的关系式，从而使学生在头脑中形成完整的三角函数的认知结构．教学设计一、问题情境教师提出系列问题1. 在初中我们学习了求锐角的三角函数值，现在角的概念已经推广到了任意角，能否把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值呢？2. 当α＝390°时，能否求出它的正弦、余弦和正切值？3. 由2你能否得出一般性的结论？试说明理由．二、建立模型1. 分析1在教师的指导下，学生独立推出公式（一），即2. 应用1在公式的应用中让学生体会公式的作用，即把任意角的三角函数值转化为0°～360°范围内的角的三角函数值．练习：求下列各三角函数值．（1）cosπ．（2）tan405°．3. 分析2如果能够把90°～360°范围内的角的三角函数值转化为锐角的三角函数值，即可实现“把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值”的目标．例如，能否将120°，240°，300°角与我们熟悉的锐角建立某种联系，进而求出其余弦值？引导学生利用三角函数的定义并借助图形，得到如下结果：cos120°＝cos（180°－60°）＝－cos60°＝－，cos240°＝cos（180°＋60°）＝－cos60°＝－，cos300°＝cos（360°＋60°）＝cos60°＝．4. 分析3一般地，cos（180°＋α），cos（180°－α），cos（360°－α）与cosα的关系如何？你能证明自己的结论吗？由学生独立完成下述推导：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y）．由于角180°＋α的终边就是角α的终边的反向延长线，则角180°＋α的终边与单位圆的交点P′与点P关于原点O对称．由此可知，点P′的坐标是（－x，－y）．又∵单位圆的半径r＝1，∴cosα＝x，sinα＝y，tanα＝，cos（180°＋α）＝－x，sin （180°＋α）＝－y，tan（180°＋α）＝．从而得到：5. 分析4在推导公式三时，学生会遇到如下困难，即：若α为任意角，180°－α与角α的终边的位置关系不容易判断．这时，教师可引导学生借助公式二，把180°－α看成180°＋（－α），即：先把180°－α的三角函数值转化为－α的三角函数值，然后通过寻找－α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系，使原问题得到解决．由学生独立完成如下推导：如图，设任意角α的终边与单位圆相交于P（x，y），角－α的终边与单位圆相交于点P′．∵这两个角的终边关于ｘ轴对称，∴点P′的坐标是（x，－y）．又∵r＝1，∴cos（－α）＝x，sin（－α）＝－y，tan（－α）＝从而得到：进而推出：注：在问题的解决过程中，教师要注意让学生充分体验成功的快乐．6. 教师归纳公式（一）、（二）、（三）、（四）、（五）都叫作诱导公式，利用它们可以把k·360°＋α，180°±α，－α，360°－α的三角函数转化为α的三角函数．那么，在转化过程中，发生了哪些变化？这种变化是否存在着某种规律？引导学生进行如下概括：α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．为了便于记忆，还可编成一句口诀“函数名不变，符号看象限”．三、解释应用［例题］1. 求下列各三角函数值．通过应用，让学生体会诱导公式的作用：①把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，其一般步骤为评注：本题中，若代入cosα·cot3α形式，就须先求得cosα的值．由于不能确定角α所在象限，解题过程将变得烦锁．以此提醒学生注意选取合理形式解决问题．四、拓展延伸教师出示问题：前面我们利用三角函数的定义及对称性研究了角α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函数与角α的三角函数之间的关系，这些角有一个共同点，即：均为180°的整数倍加、减α．但是，在解题过程中，还会遇到另外的情况，如前面遇到的120°角，它既可以写成180°－60°，也可以写成90°＋30°，那么90°＋α的三角函数与α的三角函数有着怎样的关系呢？学生探究：经过独立探求后，有学生可能会得到如下结果：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），角90°＋α的终边与单位圆交于点P′（x′，y′）（如图），则cosα＝x，sinα＝y，cos（90°＋α）＝x′，sin（90°＋α）＝y′．过P作PM⊥x轴，垂足为M，过P′作P′M′⊥y轴，垂足为M′，则△OPM≌△OP′M′，∴OM＝OM′，MP＝M′P′，即x＝y′，y＝x′．进而得到cos（90°＋α）＝sinα，sin（90°＋α）＝cosα．对此结论和方法，教师不宜作任何评论，而应放手让学生展开辩论和交流，最后得到正确结果：由于OM与OM′，MP与M′P′仅是长度相等，而当点P在第一象限时，P′在第二象限，∴x′＜0，y′＞0，又∵x＞0，y＞0，∴x′＝－y，y′＝x．从而得到：教师进一步引导：（1）推导上面的公式时，利用了点P在第一象限的条件．当点Ｐ不在第一象限时，是否仍有上面的结论？（通过多媒体演示角α的终边在不同象限的情景，使学生理解公式六中的角α可以为任意角）（2）推导公式六时，采用了初中的平面几何知识．是否也能像推导前五组公式那样采用对称变换的方式呢？学生探究：学生先针对α为锐角时的情况进行探索，再推广到α为任意角的情形．设角α的终边与单位圆交点为P（x，y），＋α的终边与单位圆的交点为P′（x′，y′）（如图）．由于角α的终边经过下述变换：2（－α）＋2a＝，即可得到＋α的终边．这是两次对称变换，即先作P关于直线y＝x的对称点M（y，x），再作点M关于y轴的对称点P′（－y，－x），∴x′＝－y，y′＝x．由此，可进一步得到：教师归纳：公式六、七、八、九也称作诱导公式，利用它们可以把90°±α，270°±α的三角函数转化为α的三角函数．引导学生总结出：90°±α，270°±α的三角函数值等于α的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．两套公式合起来，可统一概括为对于k·90°±α（k∈Z）的各三角函数值，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的余名函数值．然后，均在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．为了便于记忆，也可编成口诀：“奇变偶不变，符号看象限”．点评这篇案例从学生的实际出发，充分尊重学生的思维特点，通过创设问题情境，引发认知冲突，较好地调动了学生的积极性和主动性，符合新课程理念的精神．在教学设计中，教师以学生活动为主，注意师生互动，体现学生的自主学习．实际的课堂教学表明，在教学过程中，教师对每名同学的发言都给以充分地鼓励，即使他的解法不完美，甚至不正确．这对保护学生大胆尝试、认真思考的积极性至关重要．只有这样，才能将教学效果落实到学生个体的学习行为上，进而实现预期的教学目标．总之，这篇案例的突出特点就是，注意通过问题驱动的方式，激发学生主动探究的热情，完成五组诱导公式的推导．缺陷是，在关注五组诱导公式推导的“一气呵成”的同时，巩固、强化工作显得单薄．这是一对棘手的矛盾！。
2024高三创新方案数学课后
2024高三创新方案数学课后针对2024年高三学生的数学课后创新方案，旨在帮助学生们巩固课堂所学知识，提高解题能力，培养创新思维。
以下是一些建议性的方案内容。
一、课后复习与巩固1.制定个性化复习计划：根据自身学习情况，将数学知识点进行梳理，制定切实可行的复习计划。
2.深入理解概念：课后复习时，加强对数学概念、公式、定理的理解，避免死记硬背。
3.做题巩固：针对不同类型的题目，进行有针对性的练习，提高解题速度和正确率。
4.错题整理：将课后练习中出现的错误进行整理，分析错误原因，避免重复犯错。
二、拓展与创新1.研究性学习：结合教材内容，选择合适的研究课题，进行小组合作研究，培养探究能力和团队合作精神。
2.数学竞赛：积极参加数学竞赛，提高自己的数学素养和竞技水平。
3.数学建模：学习数学建模方法，解决实际问题，培养应用数学知识解决实际问题的能力。
4.创新思维训练：通过参加数学讲座、阅读数学文章等方式，拓宽知识面，激发创新思维。
三、课后辅导与交流1.主动请教：在学习过程中遇到问题，主动向老师、同学请教，及时解决问题。
2.组织学习小组：与同学组成学习小组，共同讨论、共同进步。
3.利用网络资源：合理利用网络资源，观看教学视频，参加在线讨论，提高学习效果。
4.定期总结与反思：定期对学习情况进行总结，反思学习方法和策略，不断调整和完善。
四、课后实践活动1.数学实践活动：参加学校组织的数学实践活动，如数学文化节、数学知识竞赛等。
2.社会实践：结合所学数学知识，参与社会实践活动，如统计调查、数据分析等。
3.亲子活动：与家长一起参与数学亲子活动，增进亲子关系，提高数学学习兴趣。
4.数学志愿服务：参加数学志愿服务活动，帮助他人解决问题，提升自身价值。
高中数学创新设计教案
高中数学创新设计教案
年级：高中
课时：1课时
教学目标：
1.了解数学的创新设计概念及意义；
2.通过实例探讨数学的创新设计方法；
3.培养学生的创新思维和解决问题的能力。
教学内容：
1.数学创新设计的概念和意义；
2.案例分析及讨论。
教学准备：
1.课件或教材相关内容资料；
2.纸笔等教学工具。
教学步骤与内容：
一、导入（5分钟）
通过视频、图片或故事等引入数学创新设计的概念，让学生了解数学也可以通过创新设计来解决现实问题。
二、教学内容（15分钟）
1.介绍数学创新设计的概念和意义，让学生明白数学不仅仅是一种死板的知识，更可以通过创新设计来应用到生活中。
2.通过案例分析不同领域的数学创新设计，引导学生思考数学在实际生活中的应用。
三、案例演练（25分钟）
分组让学生选择一个实际问题，并运用数学知识进行创新设计，提出解决方案，并展示给全班进行讨论。
四、总结（5分钟）
总结本节课的内容，并鼓励学生在日常生活中多尝试数学创新设计。
五、课后作业
让学生在实际生活中观察并提出可以运用数学创新设计的问题，并进行思考和解决。
教学反思：
此教案旨在通过实例分析和案例演练，培养学生的创新思维和解决问题的能力，同时也引导学生发现数学在实际生活中的应用价值。
通过多角度的教学，激发学生的学习兴趣，提高他们的学习主动性和创造力。
创新设计高中数学教案
创新设计高中数学教案
教学目标：
1.了解数学在日常生活中的应用领域。
2.掌握利用数学解决日常生活中问题的方法。
3.培养学生发现和解决问题的能力。
教学重点：
1.理解数学在日常生活中的应用。
2.掌握利用数学工具解决实际问题的方法。
教学难点：
1.将抽象的数学理论应用到实际问题中。
2.培养学生自主解决问题的能力。
教学内容：
1.数学的日常应用领域：
- 购物结账时的计算
- 餐厅账单的分摊
- 公交车的时刻表
2.利用数学解决实际问题的方法：
- 利用代数方程式解决实际问题
- 利用几何图形计算面积和体积
- 利用统计学方法分析数据
教学过程：
1.介绍数学在日常生活中的应用领域，并让学生分享自己的经验。
2.通过小组讨论或实际情境演练，让学生体验利用数学解决实际问题的过程。
3.引导学生分析问题，提出解决方法，并进行实际计算。
4.总结学习内容，强调数学在日常生活中的重要性和应用价值。
教学评估：
1.观察学生在讨论和实际应用中的表现。
2.布置作业或小测验，考察学生对数学在日常生活中的应用能力。
拓展延伸：
1.邀请相关行业人士或专家进行讲座，分享数学在其领域的应用实践。
2.组织数学实践活动，让学生深入体验数学在日常生活中的创新应用。
教学反思：
1.反馈学生在课堂应用中的表现，及时调整教学策略。
2.激发学生对数学的兴趣和学习热情，促进其对数学的深入思考和探索。
高中数学新课程创新教学设计案例50篇__30_几何概型
30 几何概型教材分析和古典概型一样，在特定情形下，我们可以用几何概型来计算事件发生的概率．它也是一种等可能概型．教材首先通过实例对比概念给予描述，然后通过均匀随机数随机模拟的方法的介绍，给出了几何概型的一种常用计算方法．与本课开始介绍的P（A）的公式计算方法前后对应，使几何概型这一知识板块更加系统和完整．这节内容中的例题既通俗易懂，又具有代表性，有利于我们的教与学生的学．教学重点是几何概型的计算方法，尤其是设计模型运用随机模拟方法估计未知量；教学难点是突出用样本估计总体的统计思想，把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题．教学目标1. 通过这节内容学习，让学生了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用．2. 通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法，设计估计未知量的方案，培养学生的实际操作能力．3. 通过学习，让学生体会试验结果的随机性与规律性，培养学生的科学思维方法，提高学生对自然界的认知水平．任务分析在这节内容中，介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，因此，教学重点是随机模拟部分．这节内容的教学需要一些实物模型作为教具，如教科书中的转盘模型、例2中的随机撒豆子的模型等．教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果．随机模拟的教学中要充分使用信息技术，让学生亲自动手产生随机数，进行模拟活动．有条件的学校可以让学生用一种统计软件统计模拟的结果．教学设计一、问题情境如图，有两个转盘．甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向Ｂ区域时，甲获胜，否则乙获胜．问题：在下列两种情况下分别求甲获胜的概率．二、建立模型1. 提出问题首先引导学生分析几何图形和甲获胜是否有关系，若有关系，和几何体图形的什么表面特征有关系？学生凭直觉，可能会指出甲获胜的概率与扇形弧长或面积有关．即：字母B 所在扇形弧长（或面积）与整个圆弧长（或面积）的比．接着提出这样的问题：变换图中B 与N的顺序，结果是否发生变化？（教师还可做出其他变换后的图形，以示决定几何概率的因素的确定性）．题中甲获胜的概率只与图中几何因素有关，我们就说它是几何概型．注意：（1）这里“只”非常重要，如果没有“只”字，那么就意味着几何概型的概率可能还与其他因素有关，这是错误的．（2）正确理解“几何因素”，一般说来指区域长度（或面积或体积）．2. 引导学生讨论归纳几何概型定义，教师明晰———抽象概括如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：3. 再次提出问题，并组织学生讨论（1）情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少？（2）在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率．（3）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10min的概率．通过以上问题的研讨，进一步明确几何概型的意义及基本计算方法．三、解释应用［例题］1. 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少．分析：我们有两种方法计算事件的概率．（1）利用几何概型的公式．（2）利用随机模拟的方法．解法1：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间，纵坐标表示父亲离开家去工作的时间．假设随机试验落在方形内任一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A 发生，所以解法2：设X，Y是0～1之间的均匀随机数．X＋6.5表示送报人送到报纸的时间，Y ＋7表示父亲离开家去工作的时间．如果Y＋7＞X＋6.5，即Y＞X－0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸．用计算机做多次试验，即可得到P（A）．教师引导学生独立解答，充分调动学生自主设计随机模拟方法，并组织学生展示自己的解答过程，要求学生说明解答的依据．教师总结，并明晰用计算机（或计算器）产生随机数的模拟试验．强调：这里采用随机数模拟方法，是用频率去估计概率，因此，试验次数越多，频率越接近概率．2. 如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率的值．解：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即假设正方形的边长为2，则由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以这样就得到了π的近似值．另外，我们也可以用计算器或计算机模拟，步骤如下：（1）产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；（2）经平移和伸缩变换，a＝（a1－0.5）*2，b＝（b1－0.5）*2；（3）数出落在圆内a2＋b2＜1的豆子数N1，计算（N代表落在正方形中的豆子数）．可以发现，随着试验次数的增加，得到π的近似值的精度会越来越高．本例启发我们，利用几何概型，并通过随机模拟法可以近似计算不规则图形的面积．［练习］1. 如图30-4，如果你向靶子上射200镖，你期望多少镖落在黑色区域．2. 利用随机模拟方法计算图30-5中阴影部分（y＝1和y＝x2围成的部分）的面积．3. 画一椭圆，让学生设计方案，求此椭圆的面积．四、拓展延伸1. “概率为数…0‟的事件是不可能事件，概率为1的事件是必然事件”，这句话从几何概型的角度还能成立吗？2. 你能说一说古典概型和几何概型的区别与联系吗？3. 你能说说频率和概率的关系吗？点评这篇案例设计完整，整体上按知识难易逐渐深入，同时充分调动了学生的积极性，以学生之间互动为主，教师引导为辅．例题既有深化所学知识的，又有应用所学知识的．“拓展延伸”既培养了学生的思维能力，又有利于学生从总体上把握这节课所学的知识．。
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本卷说明：该试卷综合性较强且不分考生高考地区，凡是掌握了高中数学必备知识的同学都可以尝试，本
卷难度大于一般年份的全国卷，注重考查的是学生的基础知识的掌握情况以及创新与变通能力！ 本卷大体上分为两个部分：①填空题 ②选择题[注：本卷没有选择题！]，分为六道填空题与六道解答题，每道填空题为5分，第一道大题10分，剩余五道大题每道12分。
合计100分。
答题时间：150分钟
一．填空题
1.已知锐角α的终边上有一点P ()︒︒+40sin 40cos 1，，则α=____.
2.辗转相除法是研究古典数学的杰出方法，则当n 为非负整数时，
()21
34++=n n n f 可以取到的不同整数的个
数为____. 3.椭圆14
22
=+y x 的一条切线是l ，若其左焦点，原点，右焦点到l 的距离成等比数列，则l 的方程为____.
4.正项数列{}{}{}n n n n n n b a c c b a =中，,,，它们的前n 项和分别为n n n C B A ,,函数
()n n n B x C x A x f ++=22有零点，则其值域为____.
5.已知椭圆()012222＞＞b a b y a x =+，其离心率2
3=e ，在一个充分长的矩形足球场上，已知其宽2a ，球门宽2b ，球门在中心。
一球员站在球场边缘射球门，若球员的视角最大范围总是120°，设球员射门的概率满足几何概型，则其射门的概率最大值为____.
6.一条直线上顺次排列有A,B,C 三点，另一点D 在该直线上的投影在C 的右侧。
则
BD AC CD AB BC AD ⋅=⋅+⋅是D 在直线上的
①充要条件 ②充分不必要条件 ③必要不充分条件 ④既不必要也不充分条件
请填写正确的序号____.
二．解答题
7. △ABC 中，AT 是∠A 的角平分线，在AB 与AC 上取两点M,N 使得BM=CN 。
（1）证明：AC AB AT +=
（2）设BC 的中点为K ，MN 上有一点L ，使得λ=， ①尝试用含AC AB ,，λ的式子表示 ②当a =其中a 为正数时，求λ
8. 设抛物线()0,1,42F x y =，过F 的直线交抛物线于AB ，设A,B 关于该抛物线的切线的交点为P
（1）求PB PA ⋅的值
（2）设GP=3，且GP ⊥面ABP ，线段GF 上有一动点K ，探究2
22
2KA GB KB GA ++是否为定值
9.
已知函数()1121+-+⋯+=n n n a x a x a x f ，其中1a ≠0，()1,2,1+⋯=∈n i R a i ，若任意的复数R b a bi a z ∈+=,，满足()0=z f ，则称它为该函数的一个零点。
已知任何一个()x f 都恰有n 个零点（这些零点可以相同也可以不同）
（1）证明：若bi a z +=是()x f 的一个零点，则bi a z -=也是它的一个零点；
（2）证明：若n 为奇数，则
()x f 的值域为R ； （3）证明：若n 为偶数，则
()x f 的值域不为R
10. 椭圆M 的短轴长为2，其上一点P 到其右焦点1F 的最短距离为
2-3。
（1）若矩形CDFE 内接于M ，试求CDFE S 的取值范围； （2）设（1）中的矩形取最大值，CD 在EF 的下方，A 是椭圆的上顶点。
G 在M 上一点且在CD 的下方，GE,GF 交AC,AD 于H,I 。
G 关于CD 的对称点为U 。
证明：UI UH
k k -是定值。
其中k 表示斜率。
（3）在（2）的条件下，求线段
HI 的取值范围。
11. 现有一个西瓜被均匀切成10块，可供小明一家三口来吃，西瓜每隔一天坏掉的概率会增倍，已知第二天西瓜坏掉的概率为0P ，每人每天吃一块就会饱。
（1）若210=P ，
求小明家恰能把西瓜吃完的概率； （2）若第一天小明家没有坏掉西瓜，设第二天小明家吃完后坏掉n 片，求n 的分布列和期望。
并讨论当0P 大于多少时，小明家把第二天剩下的西瓜分给邻居家一部分是比较合适的。
【注：恰能把西瓜吃完是指没有西瓜坏掉，把西瓜分给邻居家吃亦是保证把西瓜坏掉的情况降到最低，每天只有吃完瓜才会开始有坏瓜】
12. [本题可选择放弃]
设
()()1ln 1-=-=x x x g x x x f e ，， （1）当x ＞1时，求()()()x g x f x h =的取值范围
（2）设()10≠∞∈a a 且，，证明：()1,0∈a 时，
()a f a e f a ＜＜⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1，当()∞∈,1a 时，
()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛-12e e a f a a f ＜＜ （3）求()x f 在其定义域上的值域。