高中数学选修1-1 第三章 3.1.3创新设计题_1571
(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试题(含答案解析)
一、选择题1．函数()()23103f x ax x x =->的图象存在与直线20x y -+=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,+∞C ．(][),11,-∞-+∞ D ．()(),11,-∞-+∞2．点P 在曲线321233y x x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ D ．3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦3．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象关于(0,2)对称，()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，若图象在点0x =处的切线的倾斜角为α，则cos tan()2παπα⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．BCD 4．已知函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2018S 的值为（ ）A ．20152016B ．20162017C ．20172018D ．201820195．已知点P 在直线y ＝2x +1上，点Q 在曲线y ＝x +ln x 上，则P ，Q 两点间距离的最小值为（ ）A ．5B ．5C ．D ．6．已知函数()ln af x x x =+，直线3y x =-+与曲线()y f x =相切，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()23x f x e x f x '=++，()01f =，则不等式()5x f x e <的解集为（ ）A ．()4,1-B ．(1,4)-C ．(,4)(1,)-∞-+∞D ．(,1)(4,)-∞-+∞8．已知函数()ln f x x = ，若f x （） 在1x x = 和()212x x x x =≠ 处切线平行，则（ ）A ．2212512x x +>B ．12128x x <C ．1232x x +<D12> 9．曲线3215()433f x x x =--在点()3,(3)f 处的切线的倾斜角为( )． A ．－135°B ．135°C ．45°D ．45- 10．若直线l 与函数()x f x e =和()ln 2g x x =+的图象都相切，则k =（ ） A ．2或eB ．1或eC ．0或1D ．e11．已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有1条，则实数a 的取值是（ ） A ．0B ．4C ．0或-4D ．0或412．已知函数()f x 的导函数为()()()2,232ln f x f x x xf x ''=-+，则()2f '=（ ） A ．92B ．94C ．174D ．178二、填空题13．曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为_________． 14．已知函数32()(,)f x ax bx x a b =++∈R ，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =+，则(1)f '-=_________. 15．设曲线()1*N n y xn +=∈在点()1,1处的切线与x 轴交点的横坐标为nx ，则20191201922019320192018log log log log x x x x ++++的值为________.16．如果曲线4y x x =-在点P 处的切线垂直于直线13y x =-，那么点P 的坐标为___________．17．已知函数3()2ln f x x x =+，若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线经过圆22:()2C x y a +-=的圆心，则实数a 的值为__________．18．设函数()()2f xg x x =+，曲线()y g x =在点1,1g 处的切线方程为910x y +-=，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为_______.19．设函数()()321f x x a x ax =+-+为奇函数，则曲线()y f x =在点1x =处的切线方程为______________．20．已知直线1l 是曲线ln y x =在1x =处的切线，直线2l 是曲线x y e =的一条切线，且12l l //，则直线2l 的方程是__________.三、解答题21．已知函数()x f x e =，x ∈R ．（Ⅰ）求()f x 的反函数的图象上点（1，0）处的切线方程； （Ⅱ）证明：曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点． 22．已知函数()1x f x e x =--（1）求()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（2）若存在041,ln 3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，满足10x a e x -++<成立，求a 的取值范围．23．已知函数()sin cos f x x x =-， （1）求()f x 在点,22P f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程； （2）若()2()f x f x '=，其中()f x '是()f x 的导函数,求221sin cos sin 2xx x+-值． 24．已知函数()()ln f x x a x =+．（1）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）当0a >时，若()f x 有极小值，求实数a 的取值范围． 25．已知函数，其中. （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求证: 当时，.26．已知函数()x f x e =，1()ln 22g x x x =-+. （Ⅰ）求过原点O ，且与函数()f x 图象相切的切线方程； （Ⅱ）求证：当(0,)x ∈+∞时，()()f x g x >.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B【分析】求出导函数()'f x ，由()1f x '=有正数解求解即可． 【详解】2()2f x ax x '=-，由题意2()21f x ax x '=-=有正数解，∵0x >，∴211+1222x x a x x +==≥=，当且仅当1x =时等号成立，∴a 的取值范围是[1,)+∞． 故选：B ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查二次方程的根的分布问题，掌握导数的几何意义是解题基础，属于中档题．2．A解析：A 【分析】利用二次函数值域可求得导函数的范围，即切线斜率的范围，根据斜率和倾斜角的关系可求得结果. 【详解】243y x x '=-+，1y '∴≥-，即切线斜率tan 1k α=≥-，30,,24ππαπ⎡⎫⎡⎫∴∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.故选：A . 【点睛】本题考查利用直线斜率求解倾斜角所处范围的问题，关键是能够利用导数几何意义和二次函数值域求得切线斜率所处的范围.3．B解析：B 【分析】首先根据函数()f x 的图象关于点(0,2)对称得到0a =，2c =，即3()2f x x bx =++.利用导数的切线过点(2,7)得到12b =，再求函数()f x 在0x =处的切线倾斜角的正切值和正弦值，代入式子cos()tan()2παπα+-计算即可.【详解】因为函数()f x 的图象关于点(0,2)对称，所以()()4f x f x +-=. 即：32324x ax bx c x ax bx c +++-+-+=，解得0a =，2c =.所以3()2f x x bx =++，(1)3f b =+，切点为(1,3)b +.2()3f x x b '=+，(1)3k f b '==+.切线为：(3)(3)(1)y b b x -+=+-.因为切线过点(2,7)，所以7(3)(3)(21)b b -+=+-，解得12b =. 所以31()22f x x x =++，21()32f x x '=+. 1(0)tan 2f α'==，所以sin α=.所以51cos()tan()sin tan 25210παπααα+-==⨯=. 故选：B【点睛】本题主要考查导数的切线问题，同时考查三角函数的诱导公式，属于中档题.4．D解析：D 【分析】求出原函数的导函数，得到()y f x =在1x =时的导数值，进一步求得m ，可得函数解析式，然后利用裂项相消法可计算出2018S 的值． 【详解】由()2f x x mx =+，得()2f x x m '=+，()12f m '∴=+，因为函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，()123f m '∴=+=，解得1m =，()2f x x x ∴=+，则()()21111111f n n n n n n n ===-+++. 因此，20181111112018112232018201920192019S =-+-++-=-=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．5．B解析：B 【分析】易得当在Q 点处的切线与21y x =+平行,且过Q 作21y x =+的垂线垂足为P 时,P Q 的距离最小,再利用公式求距离即可. 【详解】由题可知, 当在Q 点处的切线与21y x =+平行,且过Q 作21y x =+的垂线垂足为P 时,P Q 的距离最小.此时ln y x x =+的导函数1'1y x=+.设()00,Q x y ,则001121x x +=⇒=,000ln 1y x x =+=,即()1,1Q . 此时,P Q 的距离最小值为()1,1Q 到直线21y x =+即210x y -+=的距离d ===. 故选：B 【点睛】本题主要考查了曲线上与直线上点的最值问题,需要利用导数的几何意义进行求解,属于基础题.6．B解析：B 【分析】设切点为()00,x y ,利用导数的几何意义与()00,x y 在()ln af x x x=+与3y x =-+上联立求解即可. 【详解】设切点为()00,x y ,则()21'af x x x=-,又直线3y x =-+与曲线()y f x =相切故20000000113ln a x x y x ay x x ⎧-=-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+⎪⎩,消去0y 有0000003ln 3ln a a x x x x x x -+=+⇒=-+-,代入第一个式子有 ()0000013ln 2ln 20x x x x x --+-=-⇒+-=.易得01x =.代入20011ax x -=-有2a =. 故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.7．A解析：A 【分析】首先构造函数()()x f x G x e=，利用导函数求出()G x 的解析式，即可求解不等式． 【详解】 令()()x f x G x e =，则()()()23xf x f x G x x e '-'==+，可设2()3G x x x c =++，(0)(0)1G f ==，1c ∴=所以2()()31x f x G x x x e==++ 解不等式()5xf x e <，即()5x f x e<，所以2315x x ++< 解得41x -<<，所以不等式的解集为()4,1- 故选A 【点睛】本题考查利用导函数解不等式，解题的关键是根据问题构造一个新的函数，此题综合性比较强．8．A解析：A 【分析】1211x x =-12=，则116≤，由x 1≠x 2，利用基本不等式求得x 12+x 22＞512． 【详解】 由f （x）=lnx ，得f ′（x）1x=（x ＞0），∴1211x x -=，2112x x x x -=12+=，∴12=≥116≤， ∴x 1x 2≥256， ∵x 1≠x 2，∴x 1x 2＞256．∴2212x x +＞2x 1x 2＝512．故选：A ． 【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．9．B解析：B【解析】 【分析】利用导数求出切线的斜率()3f '，再根据斜率的值求出切线的倾斜角． 【详解】()3215433f x x x =--，()2103f x x x '∴=-，()21033313f '∴=-⨯=-，所以，所求切线的斜率为1-，因此，曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线的倾斜角为135，故选B ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线的倾斜角与斜率之间的关系，利用导数求切线的倾斜角，把握两个基本点；（1）切线的斜率等于导函数在切点处的导数值；（2）当倾斜角不为直角时，直线倾斜角的正切值等于直线的斜率．10．B解析：B 【分析】设出直线l 与两个函数的切点,求得两个函数的导函数,并根据导数的意义求得切线的斜率.由点在曲线上的性质,可得方程组.化简后求得其中一个切点的坐标,即可求得切线的斜率. 【详解】设直线l 与函数()xf x e =的图象相切于点()11,A x y ,直线l 与函数()ln 2g x x =+的图象相切于点()22,B x y ,直线l 的斜率为k . 则1122l 2,n xy e y x ==+因为'()xf x e =,()1'g x x=则121x x k e ==所以11122212122ln 211x x y e y x e x y y x x x ⎧=⎪=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪-⎪⎩,则()12212ln 21x e x x x x -+=- 由121x e x =,可得21ln x x =-,代入上式可得()22222ln 2l 1n 1x x x x x -+=--,化简可得2222ln ln 10x x x x ---=即()()221ln 10x x -+=,解得21,x =或21x e= 代入21k x =可得1k =或k e = 故选:B 【点睛】本题考查了直线与曲线的切线问题,导数的几何意义应用,计算量较为复杂,属于中档题.11．C解析：C 【解析】 【分析】求出导函数，转化求解切线方程，通过方程2000x ax a --=有两个相等的解，推出结果即可． 【详解】设切点为000(,)xx x e ，且函数x y x e =⋅的导数(1)xy x e '=+⋅，所以000|(1)xx x y x e ='=+⋅，则切线方程为00000(1)()x x y x e x e x x -=+⋅-，切线过点(,0)A a ，代入得00000(1)()x x x ex e a x -=+⋅-，所以2001x a x =+，即方程2000x ax a --=有两个相等的解，则有240a a ∆=+=，解得0a =或4a =， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．12．D解析：D 【分析】求导数，将2x =代入导函数解得()2f ' 【详解】()()()()21232ln '432f x x xf x f x x f x''=-+⇒=-+将2x =代入导函数()()()117'2832'228f f f '=-+⇒= 故答案选D 【点睛】本题考查了导数的计算，把握函数里面()2f '是一个常数是解题的关键.二、填空题13．【分析】求导求出切线斜率用点斜式写出直线方程化简即可【详解】曲线在点处的切线方程为即故答案为： 解析：20x y π+-=【分析】求导，求出切线斜率，用点斜式写出直线方程，化简即可. 【详解】cos 2sin ,22y x x f π''⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为22y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即20x y π+-=．故答案为：20x y π+-=14．【分析】求出函数的导函数及再求出可得到ab 的方程解出可得到答案【详解】得①又由切点在即②由①②得所以则故答案为：-11【点睛】本题考查导数的几何意义求曲线的切线要注意过点P 的切线与在点P 处的切线的差 解析：11-【分析】求出函数()f x 的导函数及(1)f '，再求出(1)f 可得到a 、b 的方程，解出可得到答案. 【详解】2()321f x ax bx '=++，(1)3211k f a b ∴==++='，得320a b +=①又(1)1f a b =++，由切点)1,1(a b ++在1y x =+，即111a b ++=+②，由①②得32b a =⎧⎨=-⎩，所以2()661f x x x '=-++，则(1)66111f '-=--+=-.故答案为：-11. 【点睛】本题考查导数的几何意义，求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.15．【分析】求得函数的导数可得切线的斜率由点斜式方程可得切线方程可令求得再由对数的运算性质可得所求值【详解】的导数为在点处的切线方程为可令可得可得故答案为：【点睛】本题主要考查导数的运用考查切线方程的求 解析：1-【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，可令0y =，求得n x ，再由对数的运算性质可得所求值． 【详解】1(*)n y x n N +=∈的导数为(1)n y n x '=+， 在点(1,1)处的切线方程为1(1)(1)y n x -=+-， 可令0y =，可得1n nx n =+， 可得20191201922019320192018log log log log x x x x +++⋯⋯+2019122018201920191220181log ()log ()log 12320192019x x x =⋯=⋅⋅⋅==-． 故答案为：1-． 【点睛】本题主要考查导数的运用，考查切线方程的求法，考查对数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．16．(10)【分析】先根据题意求出切线的斜率再求出函数的导数设利用导数和斜率求出将求出的代入求出【详解】解:曲线在点P 处的切线垂直于直线曲线在点P 处的切线的斜率函数的导数为设解得【点睛】本题主要考查了如解析：(1,0) 【分析】先根据题意求出切线的斜率k ,再求出函数4y x x =-的导数,设()00,P x y ,利用导数和斜率k 求出0x ,将求出的0x 代入4y x x =-,求出0y .【详解】 解:曲线4y x x =-在点P 处的切线垂直于直线13y x =-, ∴曲线4y x x =-在点P 处的切线的斜率3k =,函数4y x x =-的导数为341y x '=-,设()00,P x y ,30413x ∴-=,解得01x =, 40000y x x ∴=-=,(1,0)P ∴【点睛】本题主要考查了如何求切点的坐标，关键是对导数的几何意义的熟练掌握，属于基础题.17．【解析】【分析】利用导数求出切线斜率根据点斜式求得切线方程将圆心坐标代入切线方程进而可得结果【详解】因为切线的斜率所以切线方程为即因为圆的圆心为所以所以实数的值为-4故答案为-4【点睛】本题主要考查 解析：4-【解析】 【分析】利用导数求出切线斜率，根据点斜式求得切线方程，将圆心坐标代入切线方程，进而可得结果. 【详解】因为(1)12ln11f =+=，22()3f x x x'=+， 切线的斜率(1)325k f '==+=，所以切线方程为15(1)y x -=-，即540x y --=. 因为圆22:()2C x y a +-=的圆心为()0,a ，所以40a --=，所以实数a 的值为-4,故答案为-4. 【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在P 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'000()()y y f x x x -=⋅-.18．【分析】由切线方程求出即可得然后求出后可得切线方程【详解】由题意∴∴所求切线方程为即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义函数的图象在处的切线方程是 解析：70x y +=【分析】由切线方程求出(1)g ，即可得(1)f ，然后求出(1)f '后可得切线方程． 【详解】由题意9(1)10g +-=，(1)8g =-，∴2(1)(1)17f g =+=-，(1)9g '=-，()()2f x g x x ''=+，∴(1)(1)27f g ''=+=-，所求切线方程为77(1)y x +=--，即70x y +=． 故答案为：70x y +=． 【点睛】本题考查导数的几何意义，函数()f x 的图象在00(,())x f x 处的切线方程是000()()()y f x f x x x '-=-．19．【分析】首先根据函数是奇函数求的值再利用导数的几何意义求切线方程【详解】是奇函数即即所以函数在处的切线方程为即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义函数的性质重点考查计算能力属于基础题型 解析：420x y --=【分析】首先根据函数是奇函数，求a 的值，再利用导数的几何意义求切线方程. 【详解】()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，即()()()()()323211x a x a x x a x ax -+--+-=----， 即1a =，()3f x x x ∴=+，()231f x x ='+ ()12f ∴=，()14f '=，所以函数在1x =处的切线方程为()241y x -=-， 即420x y --=. 故答案为：420x y --= 【点睛】本题考查导数的几何意义，函数的性质，重点考查计算能力，属于基础题型.20．【分析】求出直线的斜率得直线的斜率再求出直线的切点坐标得方程【详解】的导数为时即的导数为设切点为则∴直线的方程为故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义求切线方程未知切点时可设切点坐标由其他条件求出 解析：1y x =+【分析】求出直线1l 的斜率，得直线2l 的斜率，再求出直线2l 的切点坐标，得方程． 【详解】ln y x =的导数为1y x'=,1x =时，1y '=，即1k =， x y e =的导数为e x y '=，设切点为11(,)x y ，则11x e =，10x =，011y e ==，∴直线2l 的方程为1y x =+． 故答案为：1y x =+． 【点睛】本题考查导数的几何意义．求切线方程未知切点时，可设切点坐标，由其他条件求出切点坐标，得切线方程．三、解答题21．（1）1y x =-（2）见解析 【解析】试题分析：()1先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可()2法一：等价函数()2112x x e x x ϕ=---零点的个数，由()00ϕ=，求导()1x x e x ϕ='--，再次求导()1x h x e '=-，判定出单调性，()x ϕ在R 上是单调递增故()x ϕ在R 上有唯一的零点 法二：等价于曲线2112xx x y e ++=与1y =的公共点的个数，当0x =时，两曲线有公共点，求导得函数单调性进行判定（Ⅰ）()f x 的反函数为()ln g x x =，设所求切线的斜率为k ． ∵()1g x x'=，∴()11k g ='=，于是在点（1，0）处的切线方程为1y x =-（Ⅱ）证法一：曲线()xf x e =与曲线2112y x x =++公共点的个数等于函数()2112x x e x x ϕ=---零点的个数∵()0110ϕ=-=，∴()x ϕ存在零点0x =…又()1xx e x ϕ='--，令()()1xh x x e x ϕ==--'，则()1xh x e '=-． 当0x <时，()0h x '<，∴()x ϕ'在(),0-∞上单调递减；当0x >时，()0h x '>，∴()x ϕ'在()0,+∞上单调递增，∴()x ϕ'在0x =处有唯一的极小值()00ϕ'=即()x ϕ'在R 上的最小值为()00ϕ'=． ∴()0x ϕ'≥（当且仅当0x =时等号成立），∴()x ϕ在R 上是单调递增的，∴()x ϕ在R 上有唯一的零点，故曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点 证法二：∵0x e >，21102x x ++>， ∴曲线xy e =与曲线2112y x x =++公共点的个数等于曲线2112xx x y e ++=与1y =的公共点的个数设()2112xx x x e ϕ++=，则()01ϕ=，即当0x =时，两曲线有公共点．又()()2221111220x x x xx e x x e x x e e ϕ⎛⎫+-++-⎪⎝⎭='=≤（当且仅当0x =时等号成立），∴()x ϕ在R 上单调递减，∴()x ϕ与1y =有唯一的公共点，故曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点 点睛：本题考查了运用导数求两函数交点问题，在解析中给了两种方法，一种构造新函数解决函数零点问题，另一种转化为函数与直线的交点个数问题，在计算过程中注意二阶导数的应用。
【创新设计】高中数学(人教版选修1-1)配套练习：1.3简单的逻辑联结词(含答案解析)
§1.3简单的逻辑联络词课时目标 1.认识逻辑联络词“或”、“且”、“非”的含义 .2.会用逻辑联络词联络两个命题或改写某些数学命题，并能判断命题的真假．1．用逻辑联络词组成新命题(1)用联络词“且”把命题 p 和命题 q 联络起来，就获得一个新命题，记作__________，读作 __________ ．(2)用联络词“或”把命题 p 和命题 q 联络起来，就获得一个新命题，记作________，读作__________ ．(3) 对一个命题p 通盘否认，就获得一个新命题，记作________，读作________ 或____________ ．2．含有逻辑联络词的命题的真假判断p q p∨ q p∧q綈 p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真一、选择题1．已知 p： 2＋2＝ 5； q： 3>2 ，则以下判断错误的选项是()A．“p∨ q”为真，“綈 q”为假B．“p∧ q”为假，“綈 p”为真C．“p∧ q”为假，“綈 p”为假D．“p∨ q”为真，“綈 p”为真2．已知 p：? {0} ，q： {2} ∈ {1,2,3} ．由它们组成的新命题“綈p”，“綈q”，“p∧ q”，“p ∨ q”中，真命题有 ()A．1个B．2 个C．3个D．4 个3．以下命题：①2010 年 2 月 14 日既是春节，又是情人节；② 10 的倍数必定是 5 的倍数；③梯形不是矩形．此中使用逻辑联络词的命题有()A．0个B．1 个C．2 个D．3 个4．设p、 q 是两个命题，则新命题“綈 (p∨ q)为假，p∧ q 为假”的充要条件是()A． p、 q 中起码有一个为真B． p、 q 中起码有一个为假C． p、 q 中有且只有一个为假D． p 为真， q 为假5．命题 p：在△ ABC 中，∠ C>∠ B 是 sin C>sin B 的充足不用要条件；命题q： a>b 是ac2 >bc2的充足不用要条件．则()A． p 假 q 真 B ． p 真 q 假C． p∨ q 为假D． p∧ q 为真6．以下命题中既是p∧ q 形式的命题，又是真命题的是 ()A．10 或 15 是 5 的倍数B．方程 x2－3x－ 4＝ 0 的两根是－ 4 和 1C．方程 x2＋1＝ 0 没有实数根D．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形题号123456答案二、填空题7．“ 2≤中3”的逻辑联络词是 ________，它是 ________(填“真”，“假”)命题．8．若“x∈ [2,5] 或 x∈ {x|x<1或 x>4} ”是假命题，则x 的范围是 ____________．9．已知 a、 b∈R，设 p： |a|＋ |b|>|a＋ b|， q：函数 y＝ x2－ x＋ 1在 (0，＋∞)上是增函数，那么命题： p∨ q、 p∧ q、綈 p 中的真命题是 ________．三、解答题10．写出由以下各组命题组成的“p或 q”、“p且 q”、“綈 p”形式的复合命题，并判断真假．(1)p： 1 是质数； q：1 是方程 x2＋2x － 3＝ 0 的根；(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线相互垂直；(3)p： 0∈ ?； q： {x|x 2－ 3x－ 5<0} ? R；(4)p： 5≤5； q： 27 不是质数．11．已知 p：方程 x2＋ mx＋ 1＝ 0 有两个不等的负根；q：方程 4x2＋ 4(m－ 2)x ＋ 1＝0 无实根，若p 或 q 为真， p 且 q 为假，求m 的取值范围．能力提高12．命题 p：若 a，b∈ R，则 |a|＋ |b|>1 是 |a＋ b|>1 的充足而不用要条件；命题q：函数 y ＝|x－1|－ 2 的定义域是 (－∞，－ 1]∪[3 ，＋∞)，则 ()A．“p或 q”为假B．“p且 q”为真C． p 真 q 假 D ． p 假 q 真13．设有两个命题．命题 p：不等式 x2－ (a＋ 1)x＋ 1≤0的解集是 ?；命题 q：函数 f(x) ＝(a＋1)x 在定义域内是增函数．假如p∧ q 为假命题， p∨ q 为真命题，求 a 的取值范围．1．从会合的角度理解“且”“或”“非”．设命题 p： x∈ A. 命题 q： x∈B. 则 p∧ q? x∈ A 且 x∈B ? x∈ A∩B ；p∨ q? x∈A 或 x∈ B ? x∈A ∪B ；綈 p? x?A ? x∈ ?U A.2．对有逻辑联络词的命题真假性的判断当 p、q 都为真， p∧ q 才为真；当 p、 q 有一个为真， p∨ q 即为真；綈 p 与 p 的真假性相反且必定有一个为真．3．含有逻辑联络词的命题否认“或”“且”联络词的否认形式：“p或 q”的否认形式“綈 p 且綈 q”，“p且 q”的否认形式是“綈U UA)∩(?UU(A∩B)＝(?UA) ∪(?U B)”．p 或綈 q”，它近似于会合中的“?(A ∪B) ＝ (?B) ，?§ 1.3 简单的逻辑联络词答案知识梳理1． (1)p∧ q “p且 q” (2)p ∨q“p或 q”(3)綈 p“非 p” “p的否认”作业设计1． C[p 假 q 真，依据真值表判断“p∧ q”为假，“綈 p”为真． ]2． B[ ∵ p 真， q 假，∴綈 q 真， p∨ q 真． ]3． C[ ①③命题使用逻辑联络词，此中，①使用“且”，③使用“非”．]4．C[因为命题“綈 (p∨ q) ”为假命题，所以 p∨ q 为真命题．所以 p、q 一真一假或都是真命题．又因为 p∧ q 为假，所以 p、q 一真一假或都是假命题，所以 p、q 中有且只有一个为假． ] 5． C[ 命题 p、 q 均为假命题，∴ p∨ q 为假． ]6．D[A 中的命题是 p∨ q 型命题， B 中的命题是假命题， C 中的命题是綈p 的形式，D 中的命题为p∧ q 型，且为真命题．]7．或真8． [1,2)分析x∈ [2,5] 或 x∈( －∞， 1)∪ (4，＋∞)，即 x∈(－∞， 1)∪ [2，＋∞)，因为命题是假命题，所以 1≤x<2，即 x∈ [1,2) ．9．綈 p分析关于 p，当 a>0， b>0 时， |a|＋ |b|＝ |a＋ b|，故 p 假，綈 p 为真；关于q，抛物线 y＝x2－ x＋ 1 的对称轴为 x＝1，故 q 假，所以 p∨ q 假， p∧ q 假．2这里綈 p 应理解成 |a|＋ |b|>|a＋ b|不恒建立，而不是 |a|＋ |b| ≤＋|ab|.10．解(1)p 为假命题， q 为真命题．p 或 q： 1是质数或是方程x2＋ 2x－3＝ 0 的根．真命题．p 且 q： 1既是质数又是方程x2＋ 2x－ 3＝ 0 的根．假命题．綈 p：1 不是质数．真命题．(2)p 为假命题， q 为假命题．p 或 q：平行四边形的对角线相等或相互垂直．假命题．p 且 q：平行四边形的对角线相等且相互垂直．假命题．綈 p：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．(3)∵ 0??，∴ p 为假命题，又∵ x2－ 3x－ 5<0，∴3－29<x<3＋29，22∴ {x|x 2－ 3x－ 5<0}＝x|3－29<x<3＋ 29?R 建立．22∴ q 为真命题．∴ p 或 q： 0∈ ?或 {x|x 2－3x－ 5<0} ? R，真命题，p 且 q： 0∈ ?且{x|x2－ 3x－5<0} ? R，假命题，綈 p：0??，真命题．(4)明显 p： 5≤5为真命题， q： 27 不是质数为真命题，∴p 或 q： 5≤5或 27 不是质数，真命题，p 且 q： 5≤5且 27 不是质数，真命题，綈 p：5>5 ，假命题．11．解若方程 x2＋ mx＋ 1＝ 0 有两个不等的负根，＝m2－ 4>0，解得 m>2，即 p： m>2.则－ m<0，若方程 4x2＋ 4(m－ 2)x ＋ 1＝0 无实根，22则＝ 16(m－ 2) － 16＝ 16(m － 4m＋ 3)<0 ，因 p 或 q 为真，所以 p、q 起码有一个为真．又p 且 q 为假，所以 p、q 起码有一个为假．所以， p、 q 两命题应一真一假，即 p 为真， q 为假，或 p 为假， q 为真．m>2，m≤2，所以或m≤1或 m≥3，1<m<3.解得 m≥3或1<m≤2.12．D [当 a＝－ 2，b＝ 2 时，从 |a|＋ |b|>1 不可以推出 |a＋ b|>1，所以 p 假， q 明显为真． ]13．解关于 p：因为不等式 x2－ (a＋ 1)x＋ 1≤0的解集是 ?，所以＝ [ － (a＋ 1)]2－ 4<0.解不等式得：－3<a<1.关于 q： f(x) ＝(a＋1) x在定义域内是增函数，则有 a＋ 1>1 ，所以 a>0.又 p∧q 为假命题， p∨ q 为真命题，所以 p、 q 必是一真一假．当 p 真 q 假时有－ 3<a≤0，当 p 假 q 真时有 a≥1.综上所述， a 的取值范围是 (－ 3,0]∪ [1，＋∞)．。
人教B版高中数学选修1-1创新设计课件第三章归纳整合
②若 P(x0，y0)不是切点，设切点为 Q(x1，y1)，则切线方程为 y －y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过 P 点得 y0－y1＝f′(x1)(x0－x1) 又 y1＝f(x1) ① ②
由①②求出 x1、y1 的值，即得出了过点 P(x0，y0)的切线方程．
【例 1】 设函数 f(x)＝4x2－ln x＋2， 求曲线 y＝f(x)在点(1， f(1)) 处的切线方程． 1 解 f′(x)＝8x－ . x 所以在点(1，f(1))处切线的斜率 k＝f′(1)＝7， 又 f(1)＝4＋2＝6， 所以切点的坐标为(1，6)， 所以切线的方程为 y－6＝7(x－1)，即 y＝7x－1.
7．应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函 数关系)，如果函数在区间内只有一个点 x0，使 f′(x0)＝0，则 f(x0)是函数的最值．
专题一
应用导数解决与切线相关的问题
函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0， f(x0)) 处的切线的斜率 k. (1)曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线的方程为 y－f(x0)＝f′ (x0)(x－x0)． (2)求曲线 y＝f(x)过点 P(x0，y0)的切线方程 ①若 P(x0，y0)是切点，则切线方程为 y－y0＝f′(x0)· (x－x0)；
而由 f′(x)＝3x2－4 得到 f′(2)＝8， 由 g′(x)＝2bx 得到 g′(2)＝4b， 所以 8＝4b，即 b＝2，代入②得到 c＝－8. 综上所述，a＝－4，b＝2，c＝－8.
专题二
应用导数求函数的单调区间
在区间(a，b)内，如果 f′(x)>0，那么函数 y＝f(x)在区间(a，b) 内单调递增；在区间(a，b)内，如果 f′(x)<0，那么函数 y＝f(x) 在区间(a，b)内单调递减．
高中数学选修1-1课后习题答案
高中数学选修1-1课后习题答案高中数学选修1-1课后习题答案在高中数学的学习过程中，选修课是一个很重要的部分。
选修课的内容相对于必修课来说更加深入和拓展，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识。
本篇文章将为大家提供高中数学选修1-1课后习题的答案，希望能够帮助到学习这门课程的同学们。
第一章：函数与导数1. 设函数f(x) = x^2 + 2x - 3，求f(1)的值。
答案：将x = 1代入函数f(x)中，得到f(1) = 1^2 + 2*1 - 3 = 0。
2. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f(-1)的值。
答案：将x = -1代入函数f(x)中，得到f(-1) = (-1)^3 - 3*(-1) + 2 = 0。
3. 设函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1，求f(2)的值。
答案：将x = 2代入函数f(x)中，得到f(2) = 2*(2)^2 - 4*2 + 1 = 5。
4. 已知函数f(x) = x^3 + 2x^2 + x，求f(0)的值。
答案：将x = 0代入函数f(x)中，得到f(0) = 0^3 + 2*0^2 + 0 = 0。
5. 设函数f(x) = x^2 - 4x，求f(3)的值。
答案：将x = 3代入函数f(x)中，得到f(3) = (3)^2 - 4*3 = 9 - 12 = -3。
第二章：三角函数1. 已知sinθ = 1/2，求θ的值。
答案：根据sinθ = 1/2，可以知道θ = π/6 或5π/6。
2. 已知cosθ = -1/2，求θ的值。
答案：根据cosθ = -1/2，可以知道θ = 2π/3 或4π/3。
3. 已知tanθ = √3，求θ的值。
答案：根据tanθ = √3，可以知道θ = π/3 或 4π/3。
4. 已知cotθ = -√3，求θ的值。
答案：根据cotθ = -√3，可以知道θ = 5π/6 或11π/6。
5. 已知secθ = 2，求θ的值。
(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试题(答案解析)
一、选择题1．已知函数1()1,0x x f x xe x -≤=+>，点,A B 是函数()f x 图象上不同 两点，则AOB ∠（O 为坐标原点）的取值范围是（ ） A ．(0,)4πB ．(0,]4πC ．(0,)3πD ．(0,]3π2．已知函数()()()()()()12345f x x x x x x =-----，则曲线()y f x =在点()3,0处的切线方程为（ ） A ．412y x =+ B ．412y x =-+ C ．412y x =-- D ．412y x =-3．曲线e cos ax y x 在0x =处的切线与直线20x y +=垂直，则a =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．24．函数()()23103f x ax x x =->的图象存在与直线20x y -+=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,+∞C ．(][),11,-∞-+∞D ．()(),11,-∞-+∞5．已知函数()2xmf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．()0,e B ．()0,2eC ．(,)e +∞D ．(2,)e +∞6．点P 在曲线321233y x x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭D ．3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦7．已知函数sin a x y x =在点M (π，0)处的切线方程为xb y π-+=，则( ) A ．a ＝－1，b =1B ．a =－1，b =－1C ．a ＝1，b =1D ．a =1，b =－18．若函数()f x 的导函数．．．的图象关于y 轴对称，则()f x 的解析式可能为（ ） A ．()2cos f x x = B ．()32f x x x =+C ．()sin cos 1f x x x =⋅+D ．()xf x e x =+9．若32()25f x x x =+-，则(1)f '=( ) A ．3 B ．8C ．8-D ．3-10．已知函数，若方程()()F x f x ax =-有4个零点，则 a的可能的值为（ ） A ．14B ．1C ．12D ．1e11．若点()0,A t 与曲线ln y x =上点B 距离最小值为23t 为（ ） A ．ln 23+B ．ln32+C ．1ln 332+ D ．1ln 222+ 12．若直线l 与函数()x f x e =和()ln 2g x x =+的图象都相切，则k =（ ） A ．2或eB ．1或eC ．0或1D ．e二、填空题13．直线l 过坐标原点且与线x y e =相切，则l 的方程为___________.14．已知函数2()2ln f x x x =-，则()f x 在()()1,1f 处的切线方程_____________. 15．在1x =附近,取0.3x ∆=,在四个函数①y x =；②2y x ；③3y x =；④1y x=中,平均变化率最大的是__________.16．函数()2ln 2f x x x x =-+过原点的切线方程为____________________．17．函数2()ln f x x x =在点()1,0处的切线方程为___．18．对于三次函数32()f x ax bx cx d =+++(,,,,0)a b c d R a ∈≠有如下定义：设()'f x 是函数()f x 的导函数，()''fx 是函数()'f x 的导函数，若方程()''0f x =有实数解m ，则称点()(),m f m 为函数()y f x =的“拐点”.若点()1,3-是函数32()5(,)g x x ax bx a b R =-+-∈的“拐点”，也是函数()g x 图像上的点，则函数()211sin cos 32h x a x b x =+的最大值是__________．19．已知函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a =______．20．曲线()4ln 1f x x x =--在点()1,0P 处的切线方程是______.三、解答题21．已知曲线()3:C f x x x =-.(1)求曲线C 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求与直线53y x =+平行的曲线C 的切线方程. 22．已知函数()ln f x x =，e 是自然对数的底数.（Ⅰ）若过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线l ，求切线l 的方程；（Ⅱ）当0a >时，不等式()()f x ax b b ≤+∈R 恒成立，求2b f a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值.23．已知函数()2ln f x x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）若()02f x k x x x+-<在()1,+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．24．已知函数3()2f x x x =+-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2,8)处的切线方程；（Ⅱ）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标. 25．已知函数()x f x e ax =-．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）当12x ≥时，设21()12g x x =+，若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．26．已知函数()243f x ax ax b =-+，()()12,11f f '==。
【三维设计】高中数学 第三章 §3 计算导数应用创新演练 北师大版选修1-1
【三维设计】高中数学 第三章 §3 计算导数应用创新演练 北师大版选修1-11．若f (x )＝log 3x ，则f ′(3)等于( )A.13B ．ln 3 C.13ln 3 D.1ln 3解析：f ′(x )＝1x ln 3，∴f ′(3)＝13ln 3. 答案：C 2．曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13处的切线的斜率为( ) A ．3B.13C.19 D ．－19解析：y ′＝－1x 2，∴点(3，13)处切线斜率k ＝－19. 答案：D3．给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y ′＝133x ；③若f (x )＝s in α，则f ′(x )＝cos α；④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：对于②y ＝3x ，y ′＝13x 113-＝13x 23-＝133x2，故②错；对于③f (x )＝sin α，为常数函数，∴f ′(x )＝0，故③错；①④都正确．答案：B4．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，……，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 012(x )等于( )[A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x解析：f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，f 6(x )＝－sin x ，f 7(x )＝－cos x ，f 8(x )＝sin x ，…，故f n (x )以4为周期，∴f 2 012(x )＝f 503×4(x )＝f 4(x )＝sin x .[答案：A5．y ＝sin x 在(π4，22)处的切线方程为________．解析：y ′＝cos x ，故在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22处的切线斜率k ＝cos π4＝22.故切线方程为y －22＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4， 即42x －8y ＋2(4－π)＝0. 答案：42x －8y ＋2(4－π)＝06．f (x )＝cot x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.解析：f ′(x )＝－1sin 2x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－1sin 2π4＝－2.答案：－27．求下列函数的导数．(1)y ＝2；(2)y ＝4x 3；(3)y ＝10x ；(4)y ＝12log x ；(5)y ＝2cos 2x2－1. 解：(1)∵c ′＝0，∴y ′＝2′＝0.(2)∵(x n )′＝n ·x n －1， ∴y ′＝(4x 3)′＝(34x )′＝34x 34－1＝34x －14＝344x.(3)∵(a x )′＝a x ·ln a ，∴y ′＝(10x )′＝10x ·ln 10.(4)∵(log a x )′＝1x ·ln a ，∴y ′＝(12log x )′＝1x ·ln 12＝－1x ·ln 2.(5)∵y ＝2cos 2x 2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .8．若直线y ＝－x ＋b 为曲线y ＝1x 的切线，求切点坐标及b 的值．解：设切点为(x 0，y 0)，∵y ＝1x ，∴y ′＝－1x 2.∴切线的斜率为－1x 20.又∵切线斜率为－1，∴－1x 0＝－1.∴x 0＝±1.∴当x 0＝1时，y 0＝1，代入直线得b ＝2；当x 0＝－1时，y 0＝－1，代入直线得b ＝－2.∴切点为(1,1)时，b ＝2；切点为(－1，－1)时，b ＝－2.。
(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》检测卷(有答案解析)(3)
一、选择题1．直线2y x m =+与函数()2ln 3xf x xe x =-+的图象相切于点()00A x y ，，则00ln x x +=（ ）A ．2B ．ln 2C ．2eD ．ln 2- 2．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ） A ．ln 2B ．1C ．1ln2-D ．1ln2+3．已知()f x '是函数()f x 的导函数，对任意x ∈R ，都有()()()21xf x f x e x '=+-，且()01f =，则不等式()3xf x e <的解集为（ ）A ．()2,1--B ．()2,1-C ．()1,1-D ．()1,2-4．若关于x 的方程|x 2﹣4x |﹣kx ﹣k ＝0有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围为（ ）A ．（0，6﹣B ．（﹣∞，6﹣C ．（0，D ．（6﹣5．已知函数34(x)sin 1xf x x e =+++，其导函数为'()f x ，则(2020)'(2020)(2020)'(2020)f f f f ++---的值为（ ）A ．4040B ．4C ．2D ．06．已知P 与Q 分别为函数260x y -+=与函数2ln 2y x =+ 的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为（ ）A ．65B C D ．67．若曲线3222y x x =-+在点A 处的切线方程为46y x =-，且点A 在直线10mx ny +-=（其中0m >，0n >）上，则12m n+的最小值为（ ）A ．B ．3+C ．6+D ．8．点P 在曲线321233y x x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ D ．3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦9．函数()()23ln 0,f x x x bx a b a R =+-+>∈的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ） A ．3B ．23C ．2D ．2210．已知函数()ln af x x x =+，直线3y x =-+与曲线()y f x =相切，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．若直线2y x =是曲线()y f x =的一条切线，则()f x 的解析式不可能为（ ） A ．()22xf x e =-B ．()2sin f x x =C ．()13f x x x=+ D ．()32f x x x =--12．设，则在点处的切线的斜率为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题13．设函数()()1xf x ex =+的图象在点()01，处的切线为y ax b =+，若方程x a b m -=有两个不等实根，则实数m 的取值范围是__________．14．函数()ln 2f x a x ax b =-+，若()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，则ab =______.15．过坐标原点O 作曲线:C x y e =的切线l ，则曲线C 、直线l 与y 轴所围成的封闭图形的面积为______16．曲线y ＝2ln （x +2）在点（﹣1，0）处的切线方程为_____. 17．函数的图象在点处的切线方程为______．18．已知函数ln ()(0)xf x x a ax=-≠在点(1,(1))f 处的切线1l 与在点(,())e f e 处的切线2l 互相垂直，则1l 与2l 的交点坐标为_____．19．若过点32(,)(0,0,3)P a b a b b a a >>≠-可作曲线32()3f x x x =-的切线恰有两条，则11a b+的最小值为__________ 20．已知函数()11xx f x e x +=--，下面四个结论：①函数()f x 在其定义域上为增函数；②对于任意的0a <，都有()1f a >-；③()f x 有且仅有两个零点；④若x y e =在点()0,x x e 处的切线也是ln y x =的切线，则0x 必是()f x 的零点，其中所有正确的结论序号是________.三、解答题21．设()2(0)f x ax bx c a =++≠，()22f x x '=+.且方程()0f x =有两个相等的实根.（1）求y ＝f (x )的表达式；（2）求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积.22．已知函数21()ln 2()2f x ax x a =--∈R . （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间.23．已知函数()2()1xf x eax=+，其中12a >. （1）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率；（2）记函数()()xg x f x xe =+的极大值为M ，若1M >，求实数a 的取值范围.24．已知函数()2xf x e x =-()1求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;()2若函数()()g x f x a =-，[]1,1x ∈-恰有2个零点，求实数a 的取值范围25．已知函数()()323,f x ax bx x a b R =+-∈,在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=. (1)求函数()f x 的解析式;(2)若方程()f x m =有三个根,求m 的取值范围．26．设函数f (x )=13x 3－2a x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y =(x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y =1，确定b 、c 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由切线的斜率计算两次可得000022x xe x e x +-=，再对等式变形，两边取对数，即可得答案； 【详解】由已知，00x >且()0'2f x =.因为()2x xf x e xe x'=+-，所以000022x x e x e x +-=，即()()00002110x x x e x ++-=， 所以()000210xx e x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以0020x e x -=，即002x e x =， 两边同时取自然对数得00ln 2ln x x =-， 整理的00ln ln 2x x +=， 故选：B. 【点睛】曲线在某点处的切线与过某点的切线是不一样的，要注意区别.由于点()00A x y ，是公切点，所以也就等价于都是在某点处的切线.2．D解析：D 【解析】由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，000002ln y kx y x x =-⎧⎨=⎩，0002ln kx x x ∴-=，002ln k x x ∴=+，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D.3．D解析：D 【分析】本题首先可以令()()xf xg x e=，然后根据()()()21xf x f x e x '=+-得出()21g x x '=-，再然后设2g x x x c ，通过()01f =求出1c =，最后将()3x f x e <转化为3g x，通过计算即可得出结果.【详解】 令()()xf xg x e=，则()()()x f x f x g x e '-'=， 因为()()()21xf x f x e x '=+-，所以()21g x x '=-，设2g xx x c ，因为()01f =，所以0001f g c e ，()21g x x x =-+，因为()3xf x e <，所以()3xf x e<，即213g x x x ，()()210x x -+<，解得12x -<<，故选：D. 【点睛】本题考查利用导函数求函数解析式以及不等式的解法，考查导函数与函数之间的转化，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题.4．A解析：A 【分析】将方程根有四个根，转化为函数图象有四个交点，利用导数的几何意义，数形结合即可求得结果. 【详解】关于x 的方程|x 2﹣4x |﹣kx ﹣k ＝0有四个不同的实数根， 即方程()241x x k x -=+有四个不同的实数根，不妨设()()()24,1f x x x g x k x =-=+，则只需()(),f x g x 有四个交点即可， 又()g x 表示斜率为k ，且过点()1,0-的直线. 画出()(),f x g x 的图象如下所示：数形结合可知，当直线()1y k x =+与()f x 在0x >时相切为临界情况. 设切点为(),m n ，显然()0,2m ∈ 又相切时，24,24y x x y x '=-+=-+，故可得242411n m mk m m m -+==-+=++，解得51m =，则相切时斜率6k =-故要满足题意，只需(0,6k ∈-. 故选：A . 【点睛】本题考查由方程根的个数求参数范围，涉及导数的几何意义，属综合中档题.5．B解析：B 【分析】计算得到()()4f x f x +-=，()()''0f x f x --=，代入数据得到答案. 【详解】函数34(x)sin 1x f x x e =++⇒+()()44411x x x e f x f x e e +-=+=++， ()()224'3cos 1xxe f x x x e=-+++，()()''0f x f x --=，(2020)'(2020)(2020)'(2020)=4f f f f ++---，故答案选B . 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，计算出()()4f x f x +-=是解题的关键.6．C解析：C 【分析】求出函数2ln 2y x =+的图象上与直线260x y -+=平行的切线方程，由两平行线间距离公式可得结论． 【详解】由2ln 2y x =+得2y x'=，令22y x '==得1x =，2ln122y =+=，函数2ln 2y x =+的图象在点(1,2)处的切线方程为22(1)y x -=-，即20x y -=，直线20x y -=与直线260x y -+=间的距离为d ==∴线段||PQ的最小值为5． 故选：C ． 【点睛】本题考查直线与函数图象上点间距离的最小值，解题关键是掌握转化与化归思想，转化为求函数图象的切线，求两平行线间的距离．7．C【分析】设点A 的横坐标为t ，利用切线斜率求得t 的值，可求得点A 的坐标为()2,2，可得出221m n +=，将代数式22m n +与12m n +相乘，展开后利用基本不等式可求得12m n+的最小值. 【详解】设点A 的横坐标为t ，对函数3222y x x =-+求导得234y x x '=-， 由题意可得2344t t -=，即23440t t --=，解得2t =或23t =-. ①若2t =，则点A 的坐标为()2,2，此时点A 在直线46y x =-上，合乎题意； ②若23t =-，则点A 的坐标为222,327⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时点A 不在直线46y x =-上，不合乎题意.所以，点A 的坐标为()2,2，由于点A 在直线10mx ny +-=，可得221m n +=，0m >，0n >，()12124222666m n m n m n m n n m ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭当且仅当n =时，等号成立，因此，12m n+的最小值为6+. 故选：C. 【点睛】本题考查利用曲线的切线方程求切点坐标，同时也考查了利用基本不等式求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.8．A解析：A 【分析】利用二次函数值域可求得导函数的范围，即切线斜率的范围，根据斜率和倾斜角的关系可求得结果. 【详解】243y x x '=-+，1y '∴≥-，即切线斜率tan 1k α=≥-，30,,24ππαπ⎡⎫⎡⎫∴∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭. 故选：A . 【点睛】本题考查利用直线斜率求解倾斜角所处范围的问题，关键是能够利用导数几何意义和二次函数值域求得切线斜率所处的范围.9．B【分析】先求导,再将x b =代入,即()k f b '=,进而根据均值不等式求得最小值. 【详解】由题,()23232x bx f x x b x x-+'=+-=, 则函数()f x 的图像在点()(),b f b 处的切线斜率为()22233b b k f b b b b-+'===+,设()3g b b b =+≥当且仅当3b b=,即b =, 所以()g b的最小值为即min k = 故选:B 【点睛】本题考查利用导数求函数图像某点处的切线斜率,考查利用均值不等式求最值.10．B解析：B 【分析】设切点为()00,x y ,利用导数的几何意义与()00,x y 在()ln af x x x=+与3y x =-+上联立求解即可. 【详解】设切点为()00,x y ,则()21'af x x x=-,又直线3y x =-+与曲线()y f x =相切故20000000113ln a x x y x a y x x ⎧-=-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+⎪⎩,消去0y 有0000003ln 3ln a a x x x x x x -+=+⇒=-+-,代入第一个式子有 ()0000013ln 2ln 20x x x x x --+-=-⇒+-=.易得01x =.代入20011ax x -=-有2a =. 故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.11．C解析：C 【分析】由导数为2，求出斜率为2的切线的切点坐标，此切点在直线2y x =上，2y x =就是切线，不在，就不是切线． 【详解】若()22x f x e =-，则由()'22xf x e ==，得0x =，(0)0f =，点()0,0在直线2y x=上，则直线2y x =与曲线22x y e =-相切；若()2sin f x x =，则由()'2cos 2f x x ==，得()2x k k =π∈Z ，()20f k π=，则直线2y x =与曲线2sin y x =相切； 若()13f x x x=+，则由()2'132f x x -==，得1x =±，(1)4,(1)4f f =-=-，点()1,4，()1,4--都不在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线13y x x=+不相切； 若()32f x x x =--，则由()2'312f x x =-=，得1x =±，其中(1)2f -=-，()1,2--在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线32y x x =--相切. 故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.12．A解析：A 【解析】 【分析】 曲线在点处的切线的斜率为.【详解】，.【点睛】本题考查函数求导及导数的几何意义，属于基础题.二、填空题13．【分析】首先由导数的几何意义可知切线的斜率将切点代入切线方程可得的值即可得有两个不等实根转化为与图象有两个不同的交点数形结合即可求解【详解】由可得在点处的切线斜率为所以将点代入可得所以方程即有两个不 解析：()0,1【分析】首先由导数的几何意义可知切线的斜率()0a k f '==，将切点()01，代入切线方程可得b的值，即可得21xm -=有两个不等实根，转化为21xy =-与y m =图象有两个不同的交点，数形结合即可求解. 【详解】 由()()1xf x ex =+可得()()()12x x x e x e x x e f =++=+'，在点()01，处的切线斜率为()0022k f e '===，所以2a =， 将点()01，代入y ax b =+可得1b =，所以方程xa b m -=即21xm -=有两个不等实根， 等价于21x y =-与y m =图象有两个不同的交点，作21xy =-的图象如图所示：由图知：若21xy =-与y m =图象有两个不同的交点则01m <<吗，故答案为：()0,1 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.14．【分析】由函数在处的切线方程为得出即可求解【详解】由题意函数则因为函数在处的切线方程为所以即解得所以故答案为：【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用其中解答中熟记利用导数研究曲线在某点处的切线方 解析：2【分析】由函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，得出()(1)213f f '=⎧⎨=⎩，即可求解.【详解】由题意，函数()ln 2f x a x ax b =-+，则()2afx a x'=-， 因为函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，所以()(1)212113f f =⎧⎨=⨯+='⎩，即2223a a a b -=⎧⎨-+=⎩，解得21a b =-⎧⎨=-⎩，所以2ab =.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记利用导数研究曲线在某点处的切线方程的方法，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.15．【分析】设切点为先求函数导数得切线斜率进而得切线方程代入点可得切线方程进而由定积分求面积即可【详解】设切点为因为所以因此在点处的切线斜率为所以切线的方程为即；又因为切线过点所以解得所以即切点为切线方解析：112e -. 【分析】设切点为()00x y ，，先求函数导数得切线斜率，进而得切线方程，代入点()00，可得切线方程，进而由定积分求面积即可. 【详解】设切点为()00x y ，，因为xy e =，所以'xy e =，因此在点()00x y ，处的切线斜率为0x k e =，所以切线l 的方程为()000x y y e x x -=-，即()000-=-x xy e e x x ；又因为切线过点()00，，所以()000xx e e x -=-，解得01x=，所以00x y e e ==，即切点为()1e ，，切线方程为y ex =，作出所围图形的简图如下：因此曲线C 、直线l 与y 轴所围成的封闭图形的面积为()1201111e 110222xx S e ex dx e ex e e ⎛⎫⎛⎫=-=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，考查了利用微积分基本定理求解图形面积，属于中档题.16．2x ﹣y+2＝0【解析】【分析】求得函数的导数可得切线的斜率由点斜式方程可得所求切线方程【详解】的导数为可得切线的斜率为即有曲线在处的切线方程为即故答案为【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程考查直解析：2x ﹣y +2＝0 【解析】 【分析】求得函数y 的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线方程． 【详解】()2ln 2y x =+的导数为22y x '=+，可得切线的斜率为2k =， 即有曲线在()10-，处的切线方程为()21y x =+， 即220x y -+=，故答案为220x y -+=． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题．17．x-y-1=0【解析】【分析】求得f(x)的导数可得切线的斜率和切点坐标由点斜式方程可得所求切线方程【详解】函数f(x)=lnxx 的导数为f(x)=1-lnxx2可得f(x)在x=1处的切线斜率为k 解析：【解析】 【分析】 求得的导数，可得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程可得所求切线方程．【详解】 函数的导数为， 可得在处的切线斜率为，，即，可得切线方程为，即， 故答案为：．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．要求函数在某点处的切线方程，则先对函数求导，求得函数的导函数，将切点的横坐标代入原函数求得切点的坐标，将切点的横坐标代入导函数得到切线的斜率，由点斜式写出切线方程并化简为一般式，求得切线的方程.18．【分析】根据导数的几何意义得到在点处的切线的斜率为在点处的切线的斜率为根据两直线垂直可得到参数值再求出在两点处的切线方程求出两直线的交点即可【详解】对函数求导得到在点处的切线的斜率为在点处的切线的斜解析：11(1,1)e e+-【分析】根据导数的几何意义得到在点()()1,1f 处的切线1l 的斜率为()111f a'=-，在点()(),e f e 处的切线2l 的斜率为()1f e '=，根据两直线垂直可得到参数值，再求出在两点处的切线方程，求出两直线的交点即可. 【详解】对函数求导得到()21ln 1x f x ax -'=-，在点()()1,1f 处的切线1l 的斜率为()111f a'=-，在点()(),e f e 处的切线2l 的斜率为()1f e '=，因为两直线垂直，故得到a=12,()22(1ln )1x f x x'-=-, 切线1l 的切点为()()1,1f ，即()1,1，切线2l 的切点为2,e e e ⎛⎫-⎪⎝⎭，根据点斜式写出直线方程得到：1l 为y=-x+2,2l 为2y x e =-，联立两条直线得到交点坐标为111,1ee ⎛⎫+- ⎪⎝⎭.故答案为111,1ee ⎛⎫+- ⎪⎝⎭. 【点睛】点睛：这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.19．【解析】【分析】求出f （x ）的导数设切点（x0f （x0））求得切线的方程代入切点整理化简可得2x03﹣（3+3a ）x02+6ax0+b=0（*）由条件切线恰有两条方程（*）恰有两根令u （x ）=2x3解析：4+【解析】 【分析】求出f （x ）的导数，设切点（x 0，f （x 0）），求得切线的方程，代入切点，整理化简可得2x 03﹣（3+3a ）x 02+6ax 0+b=0（*）由条件切线恰有两条，方程（*）恰有两根．令u （x ）=2x 3﹣（3+3a ）x 2+6ax+b ，求出导数，求得极值点，令其中一个极值为0，可得3a+b=1，运用乘1法和基本不等式，计算即可得到所求最小值． 【详解】 f′（x ）=3x 2﹣6x ，过点P （a ，b ）作曲线的切线，设切点（x 0，f （x 0）），则切线方程为：y ﹣b=（3x 02﹣6x 0）（x ﹣a ）， 将（x 0，f （x 0））代入得：f （x 0）=（3x 02﹣6x 0）（x 0﹣a ）+b=x 03﹣3x 02， 即2x 03﹣（3+3a ）x 02+6ax 0+b=0（*） 由条件切线恰有两条，方程（*）恰有两根．令u （x ）=2x 3﹣（3+3a ）x 2+6ax+b ，u′（x ）=6x 2﹣（6+6a ）x+6a=6（x ﹣a ）（x ﹣1）， 可得u （1）=0或u （a ）=0， 即有3a+b=1或b=a 3﹣3a 2（舍去）， 则11a b +=（3a+b ）（11a b +）=4+3b a a b +当且仅当a=12时，取得等号． 即有11a b+的最小值为， 故答案为：【点睛】（1）本题考查导数的运用，考查求切线的方程和极值，考查基本不等式的运用（注意乘1法），考查转化思想和化简整理的运算能力．（2）本题的解题关键是常量代换，即把11a b +化成11a b +=（3a+b ）（11a b+），再利用基本不等式求函数的最小值. 利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.20．②③④【分析】利用特殊值法可判断①的正误;推导出当时从而可判断②的正误；对函数化简得定义域为利用函数单调性的性质得到函数的单调性结合零点存在定理可判断③的正误;利用导数的几何意义得到进而可判断④的正解析：②③④ 【分析】利用特殊值法可判断①的正误 ; 推导出当 0a < 时 20,1ae a ->- 从而可判断②的正误；对函数()11xx f x e x +=--，化简得2()11xf x e x =---，定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞， 利用函数单调性的性质，得到函数的单调性，结合零点存在定理可判断③的正误; 利用导数的几何意义得到00011x x e x +=-，进而可判断④的正误. 【详解】(0)2f =，33223()5352(0)2f e f =-<-<=， 所以，函数()y f x =在其定义域上不是增函数，①错； 当0a <时，0a e >，201a ->-， 则2()11af a e a =---1>-，②正确； 函数()11xx f x e x +=--，化简得2()11xf x e x =---，定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞，由函数单调性的性质，知函数在(,1)-∞，(1,)+∞单调递增；22111(2)0,(0)2033f e f e --=-=-<=>(2)(0)0,f f ∴-⋅< 即函数 ()y f x = 在区间():1-∞上有且仅有 1个零点224545559330,(2)30,(2)044f e f e f f ⎛⎫⎛⎫=-<-<=->∴⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以，函数()y f x =区间(1,)+∞上有且仅有1个零点.因此，函数()y f x =有且仅有两个零点，③正确；x y e =在点 ()()000,1xx e x≠ 处的切线l 的方程 ()000-=-x x y e e x x ，即:l 000(1)xxy e x x e =--，又l 也是ln y x =的切线, 设切点为11(,ln )x x ， 则1111ln ()-=-y x x x x ，即:l 1111ln y x x x =-+， 则011x ex =且001(1)1ln x x e x -=-，化简得000(1)1xx e x -=+， 则00011x x e x +=-,则00001()01x x f x e x +=-=-， 故0x 必是函数()y f x =的零点，④正确； 故答案为：②③④. 【点睛】本题考查了函数单调性、零点个数以及不等式的判断，同时也考查了导数的几何意义，考查了推理能力，属于中等题.三、解答题21．（1）()221f x x x =++；（2）13【分析】（1）求导得到()222f x ax b x '=+=+，得到1a =，2b =，再根据0∆=解得答案. （2）直接利用定积分计算面积得到答案. 【详解】（1）()2(0)f x ax bx c a =++≠，故()222f x ax b x '=+=+，故1a =，2b =，方程()0f x =有两个相等的实根，故()220f x x x c =+=+，440c ∆=-=，故1c =，故()221f x x x =++.（2）()01f =，取()2210f x x x =+=+，则1x =-，故()()0023211111121011333S f x dx x x dx x x x ---⎛⎫==++=++=--+-= ⎪⎝⎭⎰⎰.【点睛】本题考查了根据导数求参数，定积分求面积，意在考查学生的计算能力和应用能力. 22．（1）32y =-（2）当0a ≤时， ()f x 的减区间是()0,∞+.当0a >时，()f x 的减区间是0,a ⎛ ⎝⎭，增区间是⎫+∞⎪⎪⎝⎭. 【分析】 （1）根据21()ln 2()2f x ax x a =--∈R ，求导1()f x ax x '=-，因为1a =，求得3(1)0,(1)2f f '==-，写出切线方程；（2）由（1）知1(),(0)f x ax x x'=->，分0a ≤， 0a >两种情况，按照求单调区间的步骤求解. 【详解】 （1）因为21()ln 2()2f x ax x a =--∈R . 所以1()f x ax x'=-， 当1a =时，3(1)0,(1)2f f '==-， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程32y =-； （2）由（1）知1(),(0)f x ax x x'=-> 当0a ≤时，()0f x '<()f x 在()0,∞+上递减， 当0a >时，令()0f x '=，得x a=，当0x <<时，()0f x '<，()f x在⎛ ⎝⎭上递减，当x >()0f x '>，()f x在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上递增， 综上：当0a ≤时， ()f x 的减区间是()0,∞+.当0a >时，()f x 的减区间是⎛ ⎝⎭，增区间是⎫+∞⎪⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义和导数与函数的单调性，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.23．（1）7e ；（2）21,4e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）将2a =代入函数解析式，并求得导函数()f x '.代入(1)f '即可求得曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率；（2）将()f x 代入可得()g x ，并求得导函数'()g x .由12a >，列表讨论'(),()g x g x 的变化情况.即可求得()g x 的极大值，结合1M >即可求得a 的取值范围. 【详解】（1）当2a =时，()2()e 21xf x x=+，依题意()()22()214241xx x f x e xxe e x x '=++=++，故(1)7f e '=.（2）依题意，()2()()1,xxx g x f x xe e axxe =+=++则()(2)(1)xg x e x ax '=++ 当12a >时，当x 变化时，'(),()g x g x 的变化情况如下表：由上表可知，2(2)(41)1M g e a -=-=->，解得14e a +>，故实数a 的取值范围为21,4e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，利用导数分析函数的单调性与极值，根据极值的情况求参数的取值范围，属于中档题. 24．(1) x+y-1=0. (2) 22ln 22a e -<≤-.【分析】(1)求得f （x ）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程；(2) 函数()()[],1,1g x f x a x =-∈-恰有2个零点转化为两个图象的交点个数问题，数形结合解题即可. 【详解】（1）因为()e 2xf x x =-，所以()e 2xf x '=-.所以()0 1.f '=- 又()01,f =所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1,y x -=- 即10x y +-=.（5分）（2）由题意得，()e 2xg x x a =--，所以()e 2xg x '=-.由()e 20xg x ='-=，解得ln2x =，故当1ln2x -≤<时，()0g x '<，()g x 在[)1,ln2-上单调递减； 当ln21x <≤时，()0g x '>，()g x 在(]ln2,1上单调递增. 所以()()min ln222ln2g x g a ==--. 又()11e +2g a --=-，()1e 2g a =--，若函数恰有两个零点，则()()()11e 20,1e 20,ln22220,g a g a g ln a -⎧-=+-≥⎪=--≥⎨⎪=--<⎩解得22ln2e 2a -<≤-.所以实数a 的取值范围为(]22ln2,e 2--. 【点睛】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解. 25．（1）()33f x x x =-；（2）22m -<<.【分析】（1）求得()f x 的导数，可得切线的斜率和切点，由已知切线方程，可得a ，b 的方程组，即可得到所求解析式；（2）求得()f x 的导数和单调区间、极值，由题意可得m 介于两极值之间． 【详解】解：（1）函数32()3f x ax bx x =+-的导数为2()323f x ax bx '=+-，根据在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=， 得12f ，()10f '=，即32a b +-=-，3230a b +-=，解得1a =，0b =， 则3()3f x x x =-； （2）令2()330f x x '=-=， 解得1x =-或1，令()0f x '>，得1x >或1x <-； 令()0f x '<，得11x -<<；()f x ∴的单调增区间是(,1)-∞-，(1,)+∞，单调减区间是(1,1)-，有两个极值为()12f -=，12f ，图象如图所示：方程()f x m =有三个根，即为()y f x =和y m =有三个交点，22m ∴-<<． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值，考查方程思想和转化思想，以及运算能力，属于中档题． 26．b ＝0，c ＝1 【解析】试题分析：先求出函数 ()f x 的导函数()'f x ，再根据曲线()y f x =在点()()0,0P f 处的切线方程为1y =，可得()()01,'00f f ==，解方程组即可求出求,b c 的值. 试题由题意得，f (0)＝c ，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由切点P (0，f (0))既在曲线f (x )＝x 3－x 2＋bx ＋c 上又在切线y ＝1上知，即，故b ＝0，c ＝1.【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解。
数学北师大版高中必修1高中数学必修1第三章 3.1 3.1.1 创新演练
1．将 3－22化为分数指数幂，其形式是( ) A ．212 B ．－212C ．2－12D ．－2－12 解析： 3－22＝(－22)13＝(－2×212)13＝(－232)13＝－212. 答案：B2．下列等式中，正确的个数为( )①n a n ＝a ；②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1； ③ 3x 4＋y 3＝x 43＋y ； ④3－5＝6（－5）2.A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：①中，若n 为偶数，则不一定成立;②中，因为a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≠0，所以(a 2－a ＋1)0＝1是正确的；③是错误的；④左边为负数，右边为正数，是错误的．答案：B3．(－x )2－1x 等于( ) A.xB ．－x －xC ．x xD ．x －x 解析：由－1x知x <0，又当x <0时，x 2＝|x |＝－x ，因此(－x )2 －1x ＝x 2·－x |x |＝－x －x .答案：B4．化简(36a 9)4·(63a 9)4的结果是( ) A ．a 16B ．a 8C ．a 4D ．a 2解析：(36a 9)4·(63a 9)4＝(6a 9)43·(3a 9)46 ＝(a 96)43·(a 93)23＝a 96×43·a 93×23＝a 4. 答案：C5．有下列说法：①3－27＝3；②16的4次方根是±2；③481＝±3； ④ （x ＋y ）2＝|x ＋y |.其中，正确的有________(填上正确说法的序号)． 解析：负数的3次方根是一个负数，故3－27＝－3，故①错误；16的4次方根有两个，为±2，故②正确；481＝3，故③错误；（x ＋y ）2是正数，故2（x ＋y ）2＝|x ＋y |，故④正确．答案：②④6．83－312－613＋333＝________． 解析：原式＝83－63－23＋3＝ 3. 答案： 37．化简下列各式： (1) 3a a ； (2)(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)； (3)(m 14n －38)8.解：(1)原式＝a 13·a 16＝a 13＋16＝a 12； (2)原式＝(2x 14)2－(332)2－4x －12·x ＋4x －12·x 12＝4x 12－33－4x 12＋4x 0＝－23； (3)原式＝(m 14)8(n －38)8＝m 2n －3.8．计算：(1)(－338)－23－23＋(0.002) －12－10(5－2)-1＋(2－3)0； (2)(a 85·b －65)－12·5a 4÷5b 3(a >0，b >0)； (3)(14) －12·（4ab －1）30.1－2（a 3b －4）12(a >0，b >0)． 解：(1)原式＝(－1) －23 (338)－23＋(1500)－12－105－2＋1＝(278)－23＋50012－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679；(2)原式＝a 85×(－12)·b (－65)×(－12)·a 45÷b 35＝a －45·b 35·a 45÷b 35＝a －45＋45b 35－35＝a 0b 0＝1. (3)原式＝412·432100·a 32·a －32·b 12＝425a 0·b 12＝425b 12.。
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例 4 已知曲线 y＝1x和 y＝x2.求两曲线交点处的两条切线与 y 轴所围成的 三角形的面积.
解析答案
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当堂检测
12345
1.已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为( C )
A.4
B.16 C.8 D.2
f2＋Δx－f2
解析 f′(2)＝lim Δx→0
解
∵y＝x3＋3ax. ∴y′＝lim Δx→0
x＋Δx3＋3ax＋Δx－x3－3ax Δx
＝ lim Δx→0
3x2Δபைடு நூலகம்＋3xΔx2＋Δx3＋3aΔx Δx
＝ lim [ Δx→0
3x2＋3xΔx＋(Δx)2＋3a]
＝3x2＋3a.
设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)，
结合已知3条件，得3x30x＋20＋33aax0＝＝3y，0＝3x0＋1，解得
高中数学选修1-1 第三章 3.1.3创新 设计题
学习 目标
1.了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系. 2.理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义. 3.会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义.
栏目 索引
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知识梳理 习
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 已知抛物线y＝2x2＋1，求 (1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0? 解 设点的坐标为(x0，y0)，则 Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2. ∴ΔΔyx＝4x0＋2Δx. 当 Δx 无限趋近于零时，ΔΔyx无限趋近于 4x0. 即f′(x0)＝4x0. (1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4， 即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3). (2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴斜率为8， 即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9).
解析答案
题型归纳 计算切线与坐标轴围成的图形的面积
求关于曲线的切线与坐标轴围成的图形的面积问题常见的题型有三类： (1)曲线的一条切线与两坐标轴围成的图形的面积.此类问题比较简单，只要 求出切线方程与两坐标轴的交点，即可计算. (2)求通过曲线外一点引曲线的两条切线，两切线与坐标轴围成的图形的面积. 解决这类问题的关键仍然是求出两条切线的方程与坐标轴的交点坐标. (3)求两曲线交点处的两条切线与坐标轴围成的图形的面积.其解题步骤为： ①求两曲线的交点坐标； ②求交点处两条切线的切线方程； ③求两切线与坐标轴的交点坐标； ④依据数形结合的思想计算图形的面积.
Δx
22＋Δx2－8
＝ lim Δx→0
Δx
＝lim (8＋2Δx)＝8， Δx→0
即斜率k＝8.
解析答案
12345
2.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( A )
A.a＝1，b＝1
B.a＝－1，b＝1
C.a＝1，b＝－1
D.a＝－1，b＝－1
解析 由题意，知k＝y′|x＝0
(4x＋2Δx)＝4x.
由于点P(3,9)不在曲线上.
设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，
故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0).
将 P(3,9)及 y0＝2x20－7 代入上式，得 9－(2x20－7)＝4x0(3－x0).
解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25).
由直线的点斜式方程可得切线方程为 y－12＝－14(x－2)，
即x＋4y－4＝0.
解析答案
题型二 求过曲线外一点的切线方程
例2 已知曲线y＝2x2－7，求曲线过点P(3,9)的切线方程.
解
y′＝ lim Δx→0
Δy Δx
＝ lim Δx→0
[2x＋Δx2－7]－2x2－7 ＝lim
Δx
Δx→0
自主学
知识点一 导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))
处的切线的斜率 .也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜
率f′(是x0)
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
.相应地，切线方程为
.
知识点二 函数的导函数
从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 2 求过点 A(2,0)且与曲线 y＝1x相切的直线方程.
解 易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P(x0，y0)，
由 y′|xx0
＝ lim Δx→0
x0＋1 ΔΔxx－x10＝－x120，
得所求直线方程为 y－y0＝－x120(x－x0).
∴a＝1－
2 2.
a＝1－322，
x0＝－324，
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 1 求过曲线 y＝1x在点2，12处的切线方程.
解
因为Δlixm→0f2＋ΔΔxx－f2＝Δlixm→02＋1ΔΔxx－21＝Δlixm→022－＋1Δx＝－14.
所以这条曲线在点2，12处的切线斜率为－14，
当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数， 称即f′f(′x)(是x)f＝(xy)′的＝导Δ函lixm→数0 f(简x＋称Δ导Δxx数－)f.fx′(.x)也记作y′，
答案
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题型探究
重点突破
题型一 已知过曲线上一点求切线方程
例1 若曲线y＝x3＋3ax在某点处的切线方程为y＝3x＋1，求a的值.
由点(2,0)在直线上，得 x20y0＝2－x0，
再由P(x0，y0)在曲线上，得x0y0＝1，联立可解得x0＝1，y0＝1，
所求直线方程为x＋y－2＝0.
解析答案
题型三 求切点坐标 例3 在曲线y＝x2上过哪一点的切线， (1)平行于直线y＝4x－5； (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0； (3)与x轴成135°的倾斜角.
0＋Δx2＋a0＋Δx＋b－b
＝ lim Δx→0
Δx
＝1，∴a＝1.
又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.
解析答案
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3.已知曲线 y＝12x2－2 上一点 P1，－32，则过点 P 的切线的倾斜角为( B )