与数学联姻 巧解竞赛计算题
2022年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
全国初中数学联合竞赛试题参照答案第一试一、选用题：（本题满分42分，每题7分）1．已知1a =-，b =2c =，那么,,a b c 大小关系是 （ C ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a <<2．方程222334x xy y ++=整数解(,)x y 组数为 （ B ） A ．3. B ．4. C ．5. D ．6.3．已知正方形ABCD 边长为1，E 为BC 边延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 长为 （ D ）A ．3 B ．3 C ．3D ．3 4．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++最小值为 （ B ） A ．18-. B ．0. C ．1. D ．98. 5．若方程22320x px p +--=两个不相等实数根12,x x 满足232311224()x x x x +=-+，则实数p 所有也许值之和为 （ B ）A ．0.B ．34-. C ．1-. D ．54-. 6．由1，2，3，4这四个数字构成四位数abcd （数字可反复使用），规定满足a c b d +=+.这样四位数共有 （ C ）A ．36个.B ．40个.C ．44个.D ．48个. 二、填空题：（本题满分28分，每题7分） 1．已知互不相等实数,,a b c 满足111a b c t b c a+=+=+=，则t =1±．2．使得521m⨯+是完全平方数整数m 个数为 1 ．3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则BCAP＝．4．已知实数,,a b c 满足1abc =-，4a b c ++=，22243131319a b c a a b b c c ++=------，则222a b c ++＝332．第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知直角三角形边长均为整数，周长为30，求它外接圆面积. 解 设直角三角形三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则30a b c ++=. 显然，三角形外接圆直径即为斜边长c ，下面先求c 值.由a b c ≤<及30a b c ++=得303a b c c =++<，因此10c >. 由a b c +>及30a b c ++=得302a b c c =++>，因此15c <. 又由于c 为整数，因此1114c ≤≤.根据勾股定理可得222a b c +=，把30c a b =--代入，化简得30()4500ab a b -++=，因此22(30)(30)450235a b --==⨯⨯，由于,a b 均为整数且a b ≤，因此只也许是22305,3023,a b ⎧-=⎪⎨-=⨯⎪⎩解得5,12.a b =⎧⎨=⎩ 因此，直角三角形斜边长13c =，三角形外接圆面积为1694π. 二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 切线，PBC 为⊙O 割线，AD ⊥OP 于点D.证明：2AD BD CD =⋅.证明：连接OA ，OB ，OC.∵OA ⊥AP ，AD ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅.又由切割线定理可得2PA P B PC =⋅，∴PB PC PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆， ∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PBD ∽△COD ， ∴PD BD CD OD=，∴2AD PD OD BD CD =⋅=⋅. 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++顶点为P ，与x 轴正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x（12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 外接圆切线.设M 3(0,)2-，若AM//BC ，求抛物线解析式.解 易求得点P 23(3,)2b bc +，点C (0,)c .设△ABC 外接圆圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 垂直平分线上，设点D 坐标为(3,)b m . 显然，12,x x 是一元二次方程2106x bx c -++=两根，因此13x b =，23x b =AB 中点E 坐标为(3,0)b ，因此AE.由于PA 为⊙D 切线，因此PA ⊥AD ，又AE ⊥PD ，因此由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223()||2b c m =+⋅，又易知0m <，因此可得6m =-.又由DA ＝DC 得22DA DC =，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）.又由于AM//BC ，因此OA OMOB OC =3||2|6|-=-. 把6c =-代入解得52b =（另一解52b =-舍去）. 因而，抛物线解析式为215662y x x =-+-.第二试 （B ）一．（本题满分20分）已知直角三角形边长均为整数，周长为60，求它外接圆面积. 解 设直角三角形三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则60a b c ++=. 显然，三角形外接圆直径即为斜边长c ，下面先求c 值.由a b c ≤<及60a b c ++=得603a b c c =++<，因此20c >. 由a b c +>及60a b c ++=得602a b c c =++>，因此30c <. 又由于c 为整数，因此2129c ≤≤.根据勾股定理可得222a b c +=，把60c a b =--代入，化简得60()18000ab a b -++=，因此322(60)(60)1800235a b --==⨯⨯，由于,a b 均为整数且a b ≤，因此只也许是326025,6035,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩或2226025,6023,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩解得20,15,a b =⎧⎨=⎩或10,24.a b =⎧⎨=⎩当20,15a b ==时，25c =，三角形外接圆面积为6254π； 当10,24a b ==时，26c =，三角形外接圆面积为169π.二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 切线，PBC 为⊙O 割线，AD ⊥OP 于点D ，△ADC 外接圆与BC 另一种交点为E.证明：∠BAE ＝∠ACB.证明：连接OA ，OB ，OC ，BD.∵OA ⊥AP ，AD ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅.又由切割线定理可得2PA P B PC =⋅，∴PB PC PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆， ∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PBD ∽△COD ， ∴PD BDCD OD=， ∴2BD CD PD OD AD ⋅=⋅=，∴BD AD AD CD=. 又∠BDA ＝∠BDP ＋90°＝∠ODC ＋90°＝∠ADC ，∴△BDA ∽△ADC ， ∴∠BAD ＝∠ACD ，∴AB 是△ADC 外接圆切线，∴∠BAE ＝∠ACB. 三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相似.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相似. 二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相似. 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++顶点为P ，与x 轴正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 外接圆切线.将抛物线向左平移1)个单位，得到新抛物线与原抛物线交于点Q ，且∠QBO ＝∠OBC.求抛物线解析式.解 抛物线方程即2213(3)62b y x b c =--++，因此点P 23(3,)2b bc +，点C (0,)c . 设△ABC 外接圆圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 垂直平分线上，设点D 坐标为(3,)b m . 显然，12,x x 是一元二次方程2106x bx c -++=两根，因此13x b =，23x b =AB 中点E 坐标为(3,0)b ，因此AE.由于PA 为⊙D 切线，因此PA ⊥AD ，又AE ⊥PD ，因此由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223()||2b c m =+⋅，又易知0m <，因此可得6m =-.又由DA ＝DC 得22DA DC =，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）.将抛物线2213(3)662b y x b =--+-向左平移1)个单位后，得到新抛物线为2213(324)662b y x b =--++-.易求得两抛物线交点为Q 23(312102)2b b +-+. 由∠QBO ＝∠OBC 可得tan ∠QBO ＝tan ∠OBC.作QN ⊥AB ，垂足为N ，则N (312b +-，又233(x b b ==，因此tan ∠QBO ＝QN BN2310212b +=212=22111)]22==⋅. 又tan ∠OBC ＝OCOB 1(2b ==⋅，因此111)](22b ⋅=⋅. 解得4b =（另一解45)03b =<，舍去）.因而，抛物线解析式为21466y x x =-+-.。
第12讲 巧解竞技数学问题
第十二讲巧解竞技数学问题【知识提要】由已知判断获得新判定的逻辑方法叫做推理。
推理应遵循的基本规律是：“矛盾律”，“排中律”，“同一律”。
常用的技巧是反证法和假设法。
【例题详解】例1 A、B、C、D、E五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一局。
到现在为止，A已经赛了4局，B赛了3局，C赛了2局，D赛了1局。
问：此时E同学赛了几局？做一做A、B、C、D四支足球队进行足球比赛，每两个队都要比赛一场。
如果A队二胜一负、B队二胜一平、C队一胜二负，那么D队的成绩是几胜几负几平？例2 A、B、C、D、E五人进行了分胜负的乒乓球单循环比赛，结果是：(1)A胜3场；(2)E胜1场；(3)B、C、D各胜2场，且他们三人中有1人胜了其他两人；(4)除B外，其他四人各人相互之间均有胜负；(5)C胜E。
他们五人之间的胜负关系是：A胜，B胜，C胜，D胜，E胜。
做一做有A、B、C、D四支足球队进行单循环比赛，共要比赛几场？全部比赛结束后，A、B两队的总分并列第一，C队第二名，D队第三名，则C队最多得多少分？(胜一场得2分，平得1分，负得0分)例3有A、B、C、D、E共5人进行乒乓球循环赛，即每两人都要赛一局，规定胜利者得2分，负者不得分。
现知A与B并列第一，D比C名次高，每个人都至少胜一局(注意：在有两个并列第一时，就不再有第二名，下一个名次规定为第三名)。
求每人胜的局数及得分。
做一做A、B、C、D、E五人进行乒乓球比赛，每两个人都要赛一场，并且只赛一局，规定胜利者得2分，负者不得分。
已知比赛结果如下：①A与E并列第一名；②B是第三名；③C与D并列第三名。
求B的得分。
温故而知新1、德国队、意大利队和荷兰队进行一次足球比赛，每一队与另外两对各赛一场。
现在知道：(1)意大利队总进球数是0，并且有一场打了平局；(2)荷兰队总进球数是1，总失球数是2，并且它恰好胜了一场。
按规则胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么德国队得了多少分？2、10名选手参加象棋比赛，每两位选手之间都要比赛一盘。
【九年级数学代数培优竞赛专题】专题13 巧解二次函数与图形面积综合题【含答案】
专题13 巧解二次函数与图形面积综合题知识解读因动点产生的图形面积问题，是抛物线与三角形、四边形相结合的重要形式，解决这类问题常常用到以下技巧：（1）图形的面积割补；（2）利用平行线的性质作等积变形；（3）等量代换，即把面积之比转化为线段之比；（4）“等底，等高，等面积”由二推一，即以其中任意两个为条件，第三个为结论，命题总成立.培优学案典例示范例1如图13-1，已知抛物线y=ax2＋bx＋3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）若点E是抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标.【提示】（1）只需将A点，C点坐标代入解析式中即可；（2）思路一：△ACE的面积可由12AC×h表示，因为AC固定，若要它的面积最大，则只需h最大，即点E到直线AC的距离最大，如图13-2，若设一条平行于AC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个公共点时，该点就是点E.不妨把这种方法形象的记忆为“平行切线法”。
思路二：基于“分割图形”考虑.如图13-3，过点E 作x 轴的垂线，交AC 于点F .设E （x ，x 2-4x ＋3），则S △AEC =S △AEF ＋S △CEF =32EF ，即△ACE 的面积取决于EF 的长。
若把EF 的长称为△ACE 的“竖直高”，把A ，C 两点横坐标之差的绝对值称为△ACE 的“水平宽”，则△ACE 的面积可直接记为“12×竖直高×水平宽”。
思路三：基于“补全图形”考虑。
但要分点E 在x 轴下方和上方两种情况讨论（为什么要分两种情况？），如图13-4，同时一定要搞清楚线段长度与点坐标的关系，长度是正的，要用大坐标减去小坐标，若不能区分，加上绝对值，请读者自行完成。
【跟踪训练】1.如图13-5，抛物线223212--=x x y 交x 轴正半轴于点A ，交y 轴于点B ，点C 是线段AB 方的抛物线上的一点，求ABC ∆的面积的最大值，并求出此时点C 的坐标。
2019-2020年初中数学联合竞赛试题(含解析)
2019-2020年初中数学联合竞赛试题（含解析）一．选择题1．已知abc ≠0，且a+b+c =0, 则代数式222a b c bc ca ab++的值是（ ） (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 02．已知p,q 均为质数，且满足5p 2+3q=59，则以p+3,1-p+q,2p+q-4为边长的三角形是（ ）(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰三角形3． 一个三角形的边长分别为a,a,b ，另一个三角形的边长分别为b,b,a ，其中a>b ，若两个三角形的最 小内角相等，则ab的值等于（ ）(A)12 (B) 12 (C) 22 (D) 224．过点P(-1,3)作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（ ）(A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条5．已知b 2-4ac 是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的一个实数根，则ab 的取值范围为（ ） (A) 18ab ≥(B) 18ab ≤ (C) 14ab ≥ (D) 14ab ≤6．如图，在2×3矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（ ）(A) 24 (B) 38 ( C) 46 (D) 50二．填空题 7．计算2003+= .8．如图ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆交于另一点P，延长AP交BC于点N，则BNNC= .9．实数a,b满足a3+b3+3ab=1,，则a+b= .10．设m是不能表示为三个合数之和的最大整数，则m= .第二试（A）一．已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数，求整数n的值。
二．已知如图，梯形ABCD中，AD∥BC, 以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF，设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M，EP⊥l于P，FQ⊥l于Q。
破解ex与lnx联姻题的四种策略
破解ex与lnx联姻题的四种策略冯克永【期刊名称】《中学数学教学》【年(卷),期】2018(000)003【总页数】3页(P58-60)【作者】冯克永【作者单位】安徽省霍邱县第一中学 237400【正文语种】中文ex与lnx是高考考能力的经典载体，倍受命题者的青睐，每年高考至少出现一个.两者联姻产生的问题，更具有抽象程度高、求解灵活性大的特点，对解题者的数学技能及创新意识的考查具有独到之处.因而，它成了数学高考复习的难点和竞赛命题的热点.本文通过实例介绍四种常见的变通策略，供读者参考.1 直接运算对所给问题尝试对其进行一系列运算求解.例1 已知函数f(x)=xlnx-aex有两个极值点，求实数a的取值范围.解析由题意知f′(x)=1+lnx-aex,令f′(x)=0,得,函数f(x)有两个极值点，则需有两个不同实数根，则直线y=a与的图象有两个不同交点，令,则g′.令,得h(x)在(0,+∞)上为减函数，且h(1)=0,所以当x∈(0,1)时，h(x)>0,故g′(x)>0,g(x)为增函数；当x∈(1,+∞)时，h(x)<0,故g′(x)<0,g(x)为减函数；所以,当x→+∞时，g(x)→0,所以. 点评直接进行一系列求导运算，没有涉及较难的导数值等于0的求解问题，凸显解决此类问题的常规方法.2 顺猜转化直接运算难成功，尝试顺应命题者的意图猜，使其转化前行.例2 若x≥0,求证：≤.解析≤等价于≤0.设函数,由f(0)=0,x≥0,f(x)≤0可猜证f(x)在[0,+∞)上为减函数即可，即证f′≤0,目标细化f′≤0,因x≥0,则≤0,即证≥0(x≥0).设函数,则g′,所以g(x)在[0,+∞)上为增函数，g(x)≥g(0)=0,因此f′(x)≤0,当且仅当x=0时等号成立，所以猜想成立，原不等式成立.点评顺应命题者意图，由f(0)=0,x≥0,f(x)≤0可猜证f(x)在[0,+∞)上为减函数，再将f′≤0猜证≥0(x≥0) ，继续构造函数，利用导数处理，获得猜证，彰显代数推理的解题功效.3 分而治之直接运算很难进行，尝试将ex与lnx分开运算求解.例3 求证：.解析等价于.设函数f(x)=xlnx,则f′(x)=1+lnx,所以当x∈(0,时，f′(x)<0；当x∈,+∞)时，f′(x)>0,从而f(x)在(0,+∞)上的最小值为.设函数,则g′,所以当x∈(0,1)时，g′(x)>0；当x∈(1,+∞)时，g′(x)<0,从而g(x)在(0,+∞)上的最大值为.综上，当x>0时，f(x)>g(x),即成立.点评分开转化，分别求其最大值与最小值，走不等式证明的极端处理法(最小值大于最大值)，方法奇特，耐人寻味.4 放缩转化ex与lnx存在很难处理，尝试利用常见不等式(如ex≥x+1(x∈R,当且仅当x=0时等号成立)与lnx≤x-1(x>0,当且仅当x=1时等号成立))或题证不等式，将其放缩消失转化求解.例4 已知函数(x≥0).(1)当0≤a≤2,求函数f(x)的单调区间；(2)证明：当x>0时，(ex-1)ln(x+1)+ex>x2+x+1.解析第(1)问比较常规，第(2)问联想到不等式(1)处理.(1)由f′，解得x=0或x=a2-2a,又0≤a≤2,所以a2-2a≤0,又x≥0,所以f′(x)≥0,所以函数f(x)的单调递增区间为[0,+∞).(2)我们熟知：ex≥x+1,“和必分”转化为证明(ex-1)ln(x+1)>x2即可，但ln(x+1)与ex共存，作差构函数仍然很难.又x>0,即证,由ln(x+1)联想此题的第(1)问可得：当x>0,0≤a≤2时，f(x)>f(0),即,再尝试对a取值(如a=0,a=1,a=2等)，下面验证：当a=2时，有,即证,即,令,则g′(x)=ex-x-1,又x>0,所有ex-x-1>0,即g′(x)>0,所以数g(x)在区间(0,+∞)上是增函数，所以g(x)>g(0),即,所以(ex-1)ln(x+1)>x2,所以当x>0时，(ex-1)ln(x+1)+ex>x2+x+1.点评不等式是深刻认识函数的重要工具，二者结合是近几年高考命题的新热点.第(1)小题是常规的导数题易解决，第(2)小题利用常见不等式ex≥x+1及加法运算化整体为局部，再利用第(1)小题的结论，取a=2放缩传递是神来之笔，很值得回味.试题命制一般遵循设问之间的连贯性，在后问“山穷水尽”之时，前问(有时即使未解决，用其结论也可以)往往会带来“柳暗花明”之喜，这应引起我们的高度重视.例5 已知函数f(x)=xex-a(lnx+x).(1)若函数f(x)恒有两个零点，求实数a的取值范围；(2)若对∀x>0,恒有不等式f(x)>1成立.①求实数a的值；②证明：x2ex>(x+2)lnx+2sinx.解析 (1)f(x)=xex-a(lnx+x),x>0,则f′,当a≤0时，f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增，不可能存在两个零点，不符合题意；当a>0时，f′(x)=0有唯一解x=x0,此时x0ex0=a,则f(x)在(0,x0)上单调递增，在(x0,+∞)上单调递减，所以f(x)max=f(x0)=x0ex0-alnx0-ax0,注意到x0ex0=a,因此f(x)max=f(x0)=a-alna<0,解得a>e.(2)①由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，f(x)的值域为R,不符合题意；当a>0时，f(x)max=a-alna,故只需a-alna≥1.令g(a)=a-alna,则g′(a)=-lna,所以g(a)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，从而g(a)max=g(1)=1,所以a-alna≤1,故满足条件的实数a=1.解法一由①可知x2e2-xlnx≥x2+x,因此只需要证明：∀x>0,恒有x2+x-2lnx>2sinx,再由x>0,lnx≤x-1得，只需证明：x2-x+2>2sinx,当x>1,恒有2sinx≤2<x2-x+2；当0<x≤1时，设h(x)=x2-x-2sinx+2,则h′(x)=2x-2cosx-1,当x∈(0,1]时，h′(x)是单调递增函数，且h′,因而x∈(0,1]时恒有h′(x)<0；从而x∈(0,1]时，h(x)单调递减，所以h(x)≥h(1)=2-2sin1>0,即x2-x+2>2sinx.故x2ex>(x+2)lnx+2sinx.解法二由x2ex>(x+2)lnx+2sinx，得x2ex-(x+2)lnx-2sinx>0,再由x>0,ex>x+1,lnx≤x-1,sinx<x放缩只需证明：x2(x+1)-(x+2)(x-1)-2x≥0,即x3-3x+2≥0,令g(x)=x3-3x+2,则g′(x)=3x2-3,所以当x∈(0,1)时，g′(x)<0；当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0,从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(1)=13-3×1+2=0,所以x3-3x+2≥0,故x2ex>(x+2)lnx+2sinx.点评第(1)问采用直接运算处理，对导数值等于零很难解时，常采用设而不求的处理策略，解法通性.第(2)题的第①题解法常规，目的是为第②题放缩服务的，加之常见不等式的参与，凸显命题者的意图及第②题解法一的美妙. 第②题的解法二摆脱第①题的安排，利用三个常见不等式同时放缩转化，思维奇异，越思越有味，越想越奇妙. 运用常见不等式放缩解决ex、lnx与sinx的联姻题往往能达到“鱼翔浅底、鹰击长空”的境界.方法思考的过程是痛苦的，解完后是快乐的，让人感悟数学的奇异与美妙.。
20对夫妻握手数学题
20对夫妻握手数学题
（实用版）
目录
1.题目背景及意义
2.夫妻握手问题的数学模型建立
3.夫妻握手问题的解决方案
4.结论
正文
1.题目背景及意义
“20 对夫妻握手数学题”是一个有趣的数学问题，旨在考察人们在
特定场景下如何进行有效的握手。
在这个问题中，有 20 对夫妻参加聚会，每对夫妻都要与其他夫妻握手。
问题在于，如何使得所有夫妻都能握上手，且总的握手次数最少。
这个问题背后蕴含了组合优化的思想，具有一定的
实际意义。
2.夫妻握手问题的数学模型建立
为了解决这个问题，我们可以先建立一个数学模型。
假设有 n 对夫
妻参加聚会，每对夫妻之间都要握手一次。
我们可以用一个 n×n 的矩阵来表示所有夫妻之间的握手情况，其中矩阵的元素为 0 或 1，如果夫妻 i 和夫妻 j 握手，则矩阵的第 i 行第 j 列和第 j 行第 i 列的元素为 1，否则为 0。
3.夫妻握手问题的解决方案
针对“20 对夫妻握手数学题”，我们可以通过分析矩阵的性质来找到
一个解决方案。
首先，一个 n×n 的矩阵的行和列都具有 n 个元素，因此，每行和每列都至少有一个 1。
为了使握手次数最少，我们可以让每行和每列只有一个 1，这样其他元素就都是 0。
也就是说，每对夫妻只和其
他一对夫妻握手。
这样一来，总的握手次数为 20。
4.结论
通过建立数学模型和分析矩阵的性质，我们找到了 20 对夫妻握手的最优解决方案，即每对夫妻只和其他一对夫妻握手，总的握手次数为 20 次。
初中数学竞赛讲解教材第二讲巧添辅助妙解竞赛题
第二讲 巧添辅助 妙解竞赛题在某些数学竞赛问题中 , 巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系 , 通过圆的有关性质找到解题途径 . 下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路 .1 挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆” , 此时若能把握问题提供的信息 , 恰当补出辅助圆 , 并合理挖掘图形隐含的性质 , 就会使题设和结论的逻辑关系明朗化 .1.1 作出三角形的外接圆例 1 如图 1, 在△ ABC 中, AB ＝AC, D 是底边 BC A 上一点 , E 是线段 AD 上一点且∠ BED ＝ 2∠ CED ＝∠A. 求证： BD ＝2CD.E分析：关键是寻求∠ BED ＝2∠CED 与结论的联系 .容易想到作∠ BED 的平分线 , 但因 BE ≠ ED, 故不能 B G D C直接证出 BD ＝2CD. 若延长 AD 交△ ABC 的外接圆 F图1 于 F, 则可得 EB ＝ EF, 从而获取 .证明： 如图 1, 延长 AD 与△ ABC 的外接圆相交于点 F, 连结 CF 与 BF, 则∠ BFA ＝∠ BCA ＝∠ ABC ＝∠ AFC, 即∠ BFD ＝∠ CFD. 故 BF: CF ＝BD: DC.又∠ BEF ＝∠ BAC, ∠BFE ＝∠ BCA, 从而∠ FBE ＝∠ ABC ＝∠ ACB ＝∠ BFE.故 EB ＝EF.作∠ BEF 的平分线交 BF 于 G, 则 BG ＝GF.因∠ GEF ＝ 1∠ BEF ＝∠ CEF, ∠ GFE ＝∠ CFE, 故△ FEG ≌2 △ FEC. 从而 GF ＝ FC. 于是, BF ＝2CF. 故 BD ＝2CD.1.2 利用四点共圆例 2 凸四边形 ABCD 中, ∠ABC ＝60°, ∠ BAD ＝∠BCD ＝90°,CB ODAB ＝2, CD ＝ 1, 对角线 AC 、BD 交于点 O, 如图 2. 则 sin ∠ AOB ＝ ____.分析：由∠ BAD ＝∠ BCD ＝90°可知 A 、 B 、 C 、DAP图2四点共圆 , 欲求 sin ∠AOB, 联想到托勒密定理 , 只须求出 BC 、AD 即可 .解：因∠ BAD ＝∠ BCD ＝90° , 故 A 、B 、 C 、 D 四点共圆 . 延长BA 、CD 交于 P, 则∠ ADP ＝∠ ABC ＝60°.设 AD ＝ x, 有 AP ＝ 3 x, DP ＝ 2x. 由割 线 定理 得 (2 ＋13 x) 3x ＝2x(1 ＋ 2x). 解得 AD ＝ x ＝2 3 － 2, BC ＝ BP ＝4－3 .由托勒密定理有BD ·CA ＝(4 － 3 )(2 3－2) ＋2×1＝10 3 －12.又 S ABCD ＝ S △ ABD ＋S △BCD ＝ 3 3.2故 sin ∠AOB ＝15 63 .26例 3 已知：如图 3, AB ＝BC ＝CA ＝AD, AH ⊥CD 于 H, CP ⊥BC, CP 交 AH 于 P. 求证： A△ ABC 的面积 S ＝3BPAP · BD.Q4D3BC 2＝3AC ·BC, 只分析：因 S △ABC ＝C H图34 4须证 AC ·BC ＝AP ·BD, 转化为证△ APC ∽△ BCD. 这由 A 、B 、C 、Q 四点共圆易证 ( Q 为 BD 与 AH 交点).证明： 记 BD 与 AH 交于点 Q, 则由 AC ＝AD, AH ⊥ CD 得∠ ACQ ＝∠ ADQ.又 AB ＝AD, 故∠ ADQ ＝∠ ABQ.从而 , ∠ABQ ＝∠ ACQ. 可知 A 、B 、C 、Q 四点共圆 . ∵∠ APC ＝90°＋∠ PCH ＝∠ BCD, ∠CBQ ＝∠ CAQ, ∴△ APC ∽△ BCD. ∴AC ·BC ＝AP ·BD.于是, S ＝3AC ·BC ＝3AP ·BD.442构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关 , 但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息 , 此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆 , 将原问题转化为与圆有关的问题加以解决.2.1联想圆的定义构造辅助圆例 4如图 4, 四边形 ABCD 中, AB∥CD, AD＝DC B A＝DB＝ p, BC＝q. 求对角线 AC 的长 .分析：由“ AD＝DC＝DB＝p”可知 A、B、C 在C E 半径为 p 的⊙ D 上 . 利用圆的性质即可找到AC 与Dp、q 的关系 .解：延长 CD 交半径为 p 的⊙ D 于 E 点, 连结 AE.图4显然 A、B、C 在⊙D 上.∵AB∥CD,∴BC＝AE.从而 , BC＝AE＝q.在△ ACE 中 , ∠ CAE＝90°, CE＝ 2p, AE＝q, 故AC＝ CE 2AE 2＝ 4 p2q 2.2.2联想直径的性质构造辅助圆例 5 已知抛物线 y＝－x2＋2x＋8 与 x 轴交于 B、C 两点，点 D 平分BC. 若在 x 轴上侧的 A 点为抛物线上的动点 , 且∠ BAC 为锐角 , 则AD 的取值范围是 ____.分析：由“∠BAC 为锐角”可知点A 在以定线段BC 为直径的圆外 , 又点 A 在 x 轴上侧 , 从而可确定动点 A 的范围 , 进而确定 AD 的取值范围 .解：如图 5, 所给抛物线的顶点为 A0(1,9), 对称轴为 x＝ 1, 与 x 轴交于两点 B( －2,0) 、C(4,0).分别以 BC、DA 为直径作⊙ D、⊙ E, 则两圆与抛物线均交于两点 P(1 －2 2 ,1) 、Q(1 ＋2 2 ,1).可知 , 点 A 在不含端点的抛物线 PA0Q 内时 , ∠BAC＜90°. 且有 3＝DP＝DQ＜AD ≤ DA0＝9,即 AD 的取值范围是 3＜AD≤9.yA0 (1,9)EP QB DC x (-2,0)(4,0)图52.3联想圆幂定理构造辅助圆例 6 AD 是 Rt△ABC 斜边 BC 上的高 , ∠ B 的平行线交 AD 于 M, 交 AC 于 N. 求证： AB2－AN2＝BM·BN.分析：因 AB2－ AN2＝( AB＋ AN)( AB－AN) ＝ BM·BN, 而由题设易知 AM＝AN, 联想割线定理 , 构造辅助圆即可证得结论 .证明：如图 6,∵∠ 2＋∠ 3＝∠ 4＋∠ 5＝90°,又∠ 3＝∠ 4, ∠1＝∠ 5,∴∠ 1＝∠ 2. 从而 , AM ＝ AN.以 AM 长为半径作⊙ A, 交 AB 于 F, 交 BA 的延长线于 E. 则 AE ＝AF ＝AN.由割线定理有 BM ·BN ＝BF ·BE＝( AB ＋ AE)( AB － AF)＝ ( AB ＋ AN)( AB － AN)＝ A B 2－ AN 2,EA2NF 13 5 M4 B D C图6即 AB 2 －AN 2＝ BM · BN.例 7 如图 7, ABCD 是⊙ O 的内接四边形 , 延长 AB 和 DC 相交于 E,延长 AB 和 DC 相交于 E,延长 AD 和 BC 相交于 F,EP 和 FQ 分别切⊙ O 于 P 、Q. 求证： EP 2＋FQ 2＝ EF 2.分析：因 EP 和 FQ 是⊙ O 的切线 , 由结论联想到切割线定理 , 构造辅助圆使 EP 、FQ 向 EF 转化 .证明： 如图 7, 作△ BCE 的外接圆交 EF 于 G, 连 A 结 CG.因∠FDC ＝∠ ABC ＝∠ CGE, 故 F 、D 、C 、 PQG 四点共圆 .OD 由切割线定理 , 有CB EF 2 ＝( EG ＋GF) · EF E GF＝EG · EF ＋GF · EF ＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EP 2 ＋FQ 2,即 EP 2 ＋FQ 2＝ EF 2. 2.4 联想托勒密定理构造辅助圆例 8 ＇ ＇ AA' 如图 8, △ABC 与△ A BcbC ＇ 的三边分别为 a 、b 、c 与 a ＇ 、c' b'b 、c＇, 且∠B ＝∠ B, ∠A ＋∠ACB'a' C'＇＇Ba＝ 180°. 试证： aa＝bb(2) ＇＋cc .(1)＇ ＇＇分析：因∠ B ＝∠ B＇ , ∠A ＋∠ A＇图8＝ 180°, 由结论联想到托勒密定理 , 构造圆内接四边形加以证明 . 证明： 作△ ABC 的外接圆 , 过 C 作 CD ∥AB 交圆于 D, 连结 AD 和 BD,如图 9 所示.∵∠ A ＋∠ A ＇ ＝180°＝∠ A ＋∠ D,∠BCD ＝∠ B ＝∠ B ＇ ,∴∠A ＇ ＝∠ D, ∠B ＇ ＝∠ BCD.∴△A ＇ B ＇ C ＇ ∽△ DCB. 有 A'B'＝ B'C'＝ A'C',DC CB DB即 c' ＝ a' ＝ b' .DCaDB故 DC ＝ac', DB ＝ab'.a'a'Acb CBabD图9又 AB ∥DC, 可知 BD ＝AC ＝b, BC ＝AD ＝a. 从而 , 由托勒密定理 , 得AD ·BC ＝AB ·DC ＋AC ·BD,即a 2＝c · ac ' ＋ b · ab' .a'a'故 aa ＇ ＝bb ＇ ＋cc ＇ .练 习 题1. 作一个辅助圆证明：△ ABC 中, 若 AD 平分∠ A, 则AB＝BD.AC DC( 提示：不妨设 AB ≥AC, 作△ ADC 的外接圆交 AB 于 E, 证△ ABC ∽△ DBE, 从而AB＝BD＝BD.)ACDE DC2. 已知凸五边形 ABCDE 中, ∠BAE ＝ 3a, BC ＝CD ＝ DE, ∠BCD ＝∠ CDE ＝ 180°－ 2a. 求证：∠ BAC ＝∠ CAD ＝∠ DAE.( 提示：由已知证明∠ BCE ＝∠ BDE ＝ 180°－ 3a, 从而 A 、 B 、C 、D 、E 共圆, 得∠ BAC ＝∠ CAD ＝∠ DAE.)3. 在△ ABC 中 AB ＝BC, ∠ABC ＝20°, 在 AB 边上取一点 M, 使 BM ＝AC. 求∠ AMC 的度数 .( 提示：以 BC 为边在△ ABC 外作正△ KBC, 连结 KM, 证 B 、 M 、 C 共圆 , 从而∠ BCM ＝ 1∠BKM ＝10°, 得∠AMC ＝30°.)24．如图 10, AC 是 ABCD 较长的对角线 , 过 C 作 F CCF ⊥AF, CE ⊥AE. 求证： AB · AE ＋AD · AF ＝AC 2. D( 提示：分别以 BC 和 CD 为直径作圆交 AC 于点G 、 H. 则 CG ＝AH, 由割线定理可证得结论 .)AB E5. 如图 11. 已知⊙ O 1 和⊙ O 2 相交于 A 、B, 直线 图10CD 过 A 交⊙ O 1 和⊙O 2 于 C 、D, 且 AC ＝AD, EC 、ED 分别切两圆于 C 、D. 求证： AC 2＝AB ·AE.( 提示：作△ BCD 的外接圆⊙ O3, 延长 BA 交⊙ O3E于 F, 证 E 在⊙ O3上, 得△ ACE≌△ ADF, 从而 AE D＝ AF, 由相交弦定理即得结论 .)AC O1O26．已知 E 是△ ABC 的外接圆之劣弧 BC 的中点 .B求证： AB·AC＝AE2－BE2.图11 ( 提示：以 BE 为半径作辅助圆⊙ E, 交 AE 及其延长线于 N、M,由△ ANC∽△ ABM 证 AB· AC＝ AN· AM.)7.若正五边形ABCDE 的边长为 a, 对角线长为b, 试证：b－a a b＝ 1.( 提示：证 b2＝a2＋ab, 联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得 .)。
初中七年级数学培优训练(奥数)专题05 数与形的第一次联姻
初中七年级数学培优训练（奥数）专题5 数与形的第一次联姻阅读与思考数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的，我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助与几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想．运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在一下几个方面：1．利用数轴能形象地表示有理数； 2．利用数轴能直观地解释相反数； 3．利用数轴比较有理数的大小；4．利用数轴解决与绝对值相关的问题．例题与求解【例1】 已知数轴上有A ，B 两点，A ，B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于_____________．（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：确定A ，B 在数轴上的位置，求出A ，B 两点所表示的有理数．【例2】 在数轴上和有理数c b a ,,对应的点的位置如图所示．有下面四个结论：①0<abc ，②c a c b b a -=-+-，③0))()((>---a c c b b a ，④bc a -<1，其中，正确的结论有（ ）个．A ．4B ．3C ．2D ．1（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：从数轴上得到101<<<<-<c b a ，再对代数式进行逐以一判断．【例3】 如图所示，已知数轴上点C B A ,,所对应的数c b a ,,都不为0，且C 是AB 的中点．如果0222=-+--+--+c b a c b c a b a ，试确定原点O 的大致位置．解题思路：从化简等式入手，而2ba c +=是解题的关键．【例4】 （1）阅读下面材料：点B A ,在数轴上分别表示实数,,b a B A ,两点之间的距离表示为AB ．当B A ,两点中有一点在原点时，当A 、B 两点都不在原点时，①如图2，点A 、B 都在原点的右边|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝b －a ＝|a －b |；②如图3，点A 、B 都在原点的左边，|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝b －a ＝|a －b |；③如图4，点A 、B 在原点的两边，|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝－b －（－a ）＝|a －b |； 综上，数轴上A 、B 两点之间的距离|AB |＝|a －b |． （2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是______________，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________________； ②数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是______________，如果|AB |＝2，那么x 为_________； ③当代数式|x ＋1|十|x －2|取最小值时________，相应的x 的取值范围是___________．（江苏省南京市中考试题）解题思路：通过观察图形，阅读理解代数式b a -所表示的意义，来回答所提出的具体问题．【例5】 某城市沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校，现规定一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小，要使电脑调动台数最小，应该做怎样的安排？（湖北省荆州市竞赛试题）解题思路：通过设未知数，把调动的电脑台数用相关代数式表示出来．解题的关键是怎样将实际问题转化为求n a x a x a x y -+•••+-+-=21的最小值．【例6】 如图，A 是数轴上表示－30的点，B 是数轴上表示10的点，C 是数轴上表示18的点，点C B A ,,在数轴上同时向正方向运动．点A 运动的速度是6个单位长度/秒，点B 和点C 运动的速度是3个单位长度/秒．设三个点运动的时间为t （秒）． （1）当t 为何值时，线段AC ＝6（单位长度）？（2）t ≠5时，设线段OA 的中点为P ，线段OB 的中点为M ，线段OC 的中点为N ，求2PM －PN ＝2时t 的值．（湖北省荆州市竞赛试题）解题思路：（1）C B A ,,三点在数轴上同时向正方向运动，分别当A 点运动到C 点左侧和右侧两种情况来分析求解．（2）先将N M P ,,三个点在数轴上表示的数分别写出来，因点M 始终在点N 左侧，则分为“点P 在N M ,左边”，“点P 在N M ,之间”，“点P 在N M ,右边”三种情况来求解．能力训练A 级1．已知数轴上表示负数有理数m 的点是点M ，那么在数轴上与点M 相距m 个单位的点中，与原点距离较远的点对应的数是______________．（江苏省竞赛试题）2．如果数轴上点A 到原点的距离为3，点B 到原点的距离为5，那么B A ,两点的距离为______________．3．点B A ,分别是数3-，21-在数轴上对应的点，使线段AB 沿数轴向右移动到''B A 的中点对应数3，则点'A 对应的数是________________，点A 移动的距离是____________．（“希望杯”邀请赛试题）4．已知0>a ，0<b 且0<+b a ，那么有理数b a b a ,,,-的大小关系是_________________________．（用“＜”号连接）（北京市“迎春杯”竞赛试题）5．在数轴上任取一条长度为911999的线段，则此线段在数轴上最多能盖住的整数点的个数是（ ）． A ．1998 B ．1999 C ．2000 D ．2001（重庆市竞赛试题）6．如图，b a ,为数轴上的两点表示的有理数，在a b b a a b b a ---+,,2,中，负数的个数有（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4（“祖冲之”邀请赛试题）7．有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，式子c b b a b a -++++化简结果为（ ）． A ．c b a -+32 B ．c b -3 C ．c b + D ．b c -8．如图所示，在数轴上有六个，且EF DE CD BC AB ====，则与点C 所表示的数最接近的整数是（ ）．A ．－1B ．0C ．1D ．2（“希望杯”邀请赛试题）9．已知d c b a ,,,为有理数，在数轴上的位置如图所示：且64366====d c b a ，求c b a b d a -+---22323的值．10．电子跳蚤落在数轴上的某点o K ，第一步从o K 向左挑一个单位到1K ，第二步由1K 向右跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94．则电子跳蚤的初始位置o K 点所表示的数是_________________．11．如图，已知B A ,分别为数轴上两点，A 点对应的数为－20，B 点对应的数为100． （1）求过B A ,中点M 对应的数．（2）现有一只电子蚂蚁P 从B 点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C 点相遇，求C 点对应的数．（3）若当电子蚂蚁P 从B 点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D 点相遇，求D 点对应的数．B 级1．有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示：则化简c c a b b a ------+11的结果为_____________________． 2．电影＜＜哈利·波特＞＞中小哈利·波特穿墙进入“站台439”的镜头（如示意图中M 站台），构思奇妙，给观众留下深刻的印象．若B A ,站台分别位于－2，－1处，NB AN 2=，则N 站台用类似电影里的方法称为“_________________站台”（《时代学习报》数学文化节试题）3．在数轴上，若N 点与原点O 的距离是N 点与三〇若对应的点之间的距离的4倍，则N 点表示的数是_________________．（河南省竞赛试题） 4．若0,0<>b a ，则使b a b x a x -=-+-成立的x 的取值范围是__________________．（武汉市选拔赛试题）5．如图，直线上有三个不同的点C B A ,,，且BC AB ≠，那么，到C B A ,,三点距离的和最小的点为（ ）．A ．B 点外 B ．线段AC 的中点 C ．线段AC 外一点D ． 无穷多个（“希望杯”邀请赛试题）6．点)(,,,,321为正整数n A A A A n ⋅⋅⋅都在数轴上，点在原点O 的左边，且11=O A ，点2A 在点1A 的右边，且212=A A ，点3A 在点2A 的左边，且323=A A ，点4A 在点3A 的右边，且434=A A ，•••，依照上述规律，点20092008,A A 所表示的数分别为（ ） ．A ．2008，－2009B ．－2008，2009C ．1004，－1005D ．1004，－1004（福建省泉州市中考试题） 7．设11++-=x x y ，则下列四个结论中正确的是（）．A ．y 没有最小值B ．只有一个x 使y 去最小值C ．有限个x （不止一个）使y 去最小值D ．有无穷多个x 使y 取最小值（全国初中数学联赛试题）8．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两个点相距1个单位，点D C B A ,,,对应的数分别是整数d c b a ,,,，且92=-a b ，那么数轴的原点对应点是（ ）．A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D（“新世纪杯”广西初中数学竞赛试题） 9．已知y y x x +---=-++15912，求y x +的最大值和最小值．（江苏省竞赛试题）10．如图，在环形运输线路上有F E D C B A ,,,,,六个仓库，现有某种货物的库存量分别是50吨、84吨、80吨、70吨、55吨和45吨．要对各仓库的存货进行调整，使得每个仓库的存货量相等，但每个仓库只能相相邻的仓库调运，并使调运的总量最小．求各仓库向其他仓库的调运量．11．如图，数轴上标有12+n 个点，它们对应的整数是n n n n n ,1,2,,2,1,0,1,2,),1(,--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅---．为了确保从这些点中可以取出2006个，使任何两个点之间的距离都不等于4．求n 的最小值．（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）。
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与数学联姻 巧解竞赛计算题
叶县昆阳中学 牛文忠
化学竞赛计算题的难度较大，解答此类习题要求思维敏捷，思路开阔，若能另辟蹊径，与数学知识联姻，充分运用数学解题方法和解题思路，则会收到事半功倍的效果。
举例如下：
（2012年河南省预赛题）在实验室称取20g 赤铁矿样品置于玻璃管中，称得样品和玻璃管的总质量为70g ，通入足量CO 后加热使样品充分反应（杂志不参加反应），冷却后称得玻璃管和剩余固体的总质量为65.2g 。
试计算样品中Fe 2O 3的质量分数。
分析1：因为玻璃管不参加反应，所以反应后剩余固体的质量为65.2g-(70g-20g)=15.2g.又因为在反应过程中，杂质不参加反应，所以杂质质量不变，可以考虑数学中列方程的思想---恒量不变来求解。
方法一：设样品中含杂质的质量为x ，则Fe 2O 3的质量为(20g-x)，。
解得20g-x=16g 所以Fe 2O 3的质量分数为：
(16g ÷20g)×100%=80%.
说明：在解方程时，可利用数学中所学的分数的性质----等比性质，即：
利用两端解出20g-x 的值即可。
方法二：设样品中含Fe 2O 3的质量为x ，则反应后生成铁的质量为
解得x=16g. 同理求得Fe 2O 3的质量分数为80%.
说明：在解方程时，同样可利用数学中所学的分数的性质----等比性质，即：
利用两端解出x 的值即可。
分析2：因为玻璃管不参加反应，而反应前的质量为20g ，反应后的质量为65.2g-(70g-20g)=15.2g ，可根据数学中差量成比例的原则来列方程求解。
解：设样品中含Fe 2O 3的质量为x
Fe 2O 3+3CO
2Fe+3CO 2 △m 160 112 160-112=48
X
20g-15.2g=4.8g
解之：x=16g. 同理求得Fe2O3的质量分数为80%.
分析3：因为玻璃管不参加反应，而反应前的质量为20g，反应后的质量为65.2g-(70g-20g)=15.2g，质量为什么会引起变化呢？根据数学中函数的意义，抓住变量思考，可知：质量的变化是因为一氧化碳夺去了氧化铁中的氧元素，使氧化铁失去氧元素而质量减小。
也就是说，减少的质量就是原氧化铁中所含氧元素的质量。
解：
此种解法，减少了写化学方程式的麻烦，也为许多老师所采用，许多老师却不能给学生更多的解释。
使学生误解为这仅为一种特殊的解法，而不能普遍应用。
究其原因，实是失去了基本的数学依据。
由此可见，化学老师在平时的教学过程中，应注意学科间的相互联系，特别应把数学的基本思路和基本方法应用到教学中去，已收到事半功倍的效果。