概率统计十问
概率统计问答
概率统计知识问答题1. 频率与概率间的关系如何？p n n n =∞→μlim 成立吗？你认为二者之间的关系应怎样刻画？你能给出一个定量描述吗？2. 小概率事件实际不可能发生原理是什么意思？概率很小的事件可以忽略吗？3. 在下面的问题中，你认为采购员的判断是合理的吗？“采购员购买某种商品时，都要对产品进行检验，若产品的次品率不大于1%，即可以采购。
某日采购员对一批产品进行抽检，随机抽取10件，结果发现一件次品，采购员认为这批产品的次品率不符合要求，因此拒购。
”4. 两个事件独立如何判断？两个随机变量独立又如何判断？5. “两个事件互不相容”与“两个事件互相独立”之间有什么关系？6. 二项分布),(p n B 是哪类问题的数学模型？与哪些分布有关系？试描述它们之间的关系。
7. 泊松分布)(λP 中的参数λ的意义如何？泊松分布)(λP 与哪些分布有关系？试描述它们之间的关系。
8. 正态分布主要用来描述哪类的现象？正态分布的计算如何实现？它在概率统计中的地位如何？9. 不可能事件的概率一定为零，但反过来概率为零的事件却不一定是不可能事件；对必然事件也有类似的结论。
在概率统计中还有许多这样的例子，试举例。
10. 利用古典概率的计算公式计算事件的概率时需要注意些什么？在古典概率问题中，若一个事件的概率为零，它一定是不可能事件吗？11. 常用的数字特征有哪些？其含义分别是什么？如何计算？12. 什么是两个随机变量不相关？如何判断不相关？13. 二维离散型随机变量的联合分布列与边缘分布列之间是什么关系？试举例，并给出判断随机变量独立的条件。
14. 二维连续型随机变量的联合密度函数与边缘密度函数之间是什么关系？试解决下面问题：设随机变量),(Y X 的联合密度函数是：⎩⎨⎧<<<<=其它010,101),(y x y x f ，分别求X 与Y 的边缘密度，并判断是否独立。
15. 描述正态分布),(2σμN 密度曲线的特点，两个参数的含义如何？当参数μ和σ分别变大或变小时，密度曲线将如何变化？16. 对于正态分布),(2σμN ，当参数σ变大时，概率)(σμ<-X P 会如何变化？17. 请描述所谓的σ3原则，并举例说明这个原则有哪些用途？18. 你是否知道六西格玛管理？试查询有关资料了解该方面的知识。
概率论与数理统计常见问题解答
概率论与数理统计常见问题解答1.概率论研究的对象是什么？现实生活中有两类现象。
必然现象：一定条件下，结果是肯定的。
如：一定大气压下，水加温到100℃：沸腾随机现象：一定条件下，结果不肯定的。
如：实弹射击，打一发子弹：可能中或不中概率论是研究随机现象规律性的一门学科。
2.随机现象有规律性吗？有。
例如：两人打枪。
甲是神枪手，乙是普通射手。
如果打一发子弹，甲可能打中也可能打不中，乙也可能打中也可能打不中，看不出什么规律。
如果两人比赛，各打10组，每组100发子弹，结果是：我们可以看出规律性：甲可说几乎每发必中，乙只有大约一半的可能性打中。
这种规律性称为统计规律性。
在大量试验中才显示出来，不是个别试验显示的特性。
3.随机现象的规律性如何指导实践？例如：农业生产上选择品种，如果当地发生旱灾的可能性大，水灾的可能性小，就应选择耐旱的品种，反之则应选择耐涝的品种。
在统计学中，以“小概率事件”判断原理来进行假设检验，例如：厂方声称，产品的废品率为5%，随机检查，发现“5个产品有2个次品”。
这时，应当拒绝“废品率为5%” 。
为什么？因为“5个产品有2个次品”是小概率事件（用概率的方法可计算），在一次试验中一般不可能发生，现在居然发生了，应怀疑原假设。
可能性小的事并不等于不发生例如：地震。
某地某日发生大地震的可能性是非常小的，但就整个地球来说，一年总要发生几次大地震。
例1：甲、乙两位棋手棋艺相当。
他们在一项奖金为1000元的比赛相遇。
比赛为五局三胜制。
已经进行了三局的比赛，结果为甲二胜一负。
现因故要停止比赛，问应该如何分配这1000元比赛奖金才算公平？奖金分配方法：平均分，对甲欠公平，按一定的比例分配，甲拿大头，乙拿小头，甲拿2/3，乙拿1/3，合理吗？例2：在第43届世界乒乓球锦标赛中，中国队与瑞典队争夺冠亚军，当时瑞典队上场队员只有瓦尔德内尔、佩尔松和卡尔松，其中卡尔松怕削球手，于是中国队排出了以下阵容：王涛马文革丁松马文革王涛决策时已经估计到瑞典队有两种可能的选择：或以卡尔松打第三单打去碰削球手丁松或以佩尔森打第三单打，以便卡尔松避开丁松最后，中国队战胜瑞典队（3：2），夺回了阔别六年之久的斯韦思林杯。
考研数学概率论常见十个问题个个击破3
考研数学概率论常见十个问题个个击破3对于数学一的考生或者数学三的考生来说，这个类型是考试的重点，每门课程重点有很多，不是每个重点都考，只要重点的地方考生不要投机取巧，比如参数估计，三种方法，那就是矩估计方法，极大似然估计方法，区间估计方法，这三种方法前两者是重点。
大家记几个公式就可以了，2003年数学一考了区间估计的填空题。
你对前面两者要熟练掌握，前面两种对整体没有做限制，所以命题空间比较大。
如果命题空间小考的可能性有很小。
你四个步骤一定要掌握，刚才有网友说那个计算量太大，考试的题计算量不会太大。
第一步一定要把函数会写出来，数量函数有两种：一个是总体是离散型的一个是连续型的，你都要会写出来，离散型是指联合分布率，连续型是联合密度，因为这个联合密度和联合分布率都具有独立性，都是等于边缘密度的乘积，做任何一个，只要考这类型的题第一步少不了，你的问题属于会把L似然函数写出来，把L写出来以后下面求L关于未知参数最大值点的问题，这是高等数学微积分里面最基本的问题，所以一般的话，我们先取对数，取对数以后令这个函数对未知参数的导数等于零，这个偏导数或者导数等于零的解就是可能的极值点。
当然也可能出现这种情况，偏导数等于零的方程没有解的情况，只考过一次，这个时候找未知参数的边界点，取值范围的定义域找到它，这个2000年考过一次，这个大家要注意，有解没有解的都会做了你就不怕他考了。
年考一点，还有一个就是数理特征和数理统计基本考一个大题，概率和数理统计这部分如果从复习角度来看我们首先要理解概念，我认为这里面有三个典型途径：第一古典概率，一个概率的公式的推算，第二个途径就是利用我们的分布信息来求概率，我们涉及到一维的也可以是二维的，即可以是离散型的也可以是连续型的，都有求概率的方法，我们讨论概率统计里的问题，比如分布函数问题，本身就是求概率，你只要知道求概率统计三个途径，所以我讨论分布函数，由分布函数可以讨论概率分布函数，源头是分布函数，分布函数基础是求概率，通过这个角度把握我认为概率统计发现不是你想象的那么复杂了。
概率知识学习问答
概率知识学习问答一、什么是概率？1。
概率定义：两个事件A、 B在某一属性上的相同程度。
2。
概率模型：用若干个样本事件来描述总体事件，这些样本事件能反映总体的某种特征，而且从样本事件出发可以推导出总体事件的可能性的集合。
这个集合就叫做概率模型。
事件不必都是随机发生的，也就是说，用样本事件不能描述总体事件的所有属性。
2。
应该注意：概率模型只描述样本的特征；并不能由样本推导出总体的所有特征。
如：用样本统计量是无法推导出总体的方差、协方差等特征的。
3。
关系：事件A的条件概率p=A。
事件B的条件概率p=B，其中p是P的条件概率，当然事件B的条件概率p是不可能得到A的条件概率p的。
3。
样本均值为0，样本方差为1，事件A发生的概率是否仍为0？概率计算公式p=A，表明样本平均值0，样本方差1。
如果事件A不是随机发生的，即事件A不满足样本方差=1，则p与1无关。
即事件A的概率不是一个具体的值，而是一个用统计学语言描述的理论值。
4。
计算公式p=A。
事件A的概率为（ A） p(A)=（ 1-A） p( A)= A(1-A)。
如果事件A的所有观测次数大于事件B的所有观测次数，这样的两个事件叫做独立事件。
对于独立事件，他们的条件概率之比等于他们的联合概率之比。
如果事件A的所有观测次数小于事件B的所有观测次数，这样的两个事件叫做互斥事件。
互斥事件的条件概率之比等于它们的联合概率之比。
二、用样本概率计算事件概率的几种情况1、将n个样本事件的概率用p表示。
这里p的含义就是事件A的概率。
2、将n个样本事件的概率用p(A)p表示。
这里p的含义就是事件B 的概率。
三、用样本概率计算事件概率的规律用样本概率求事件概率的公式一般有以下两类： 1、在n个样本事件的基础上计算概率，记作，其中等号两边的结果是相同的。
2、在n个样本事件的基础上计算概率，记作，其中等号两边的结果是不相同的。
四、等可能情况概率p=A，如何计算p值呢？ 1、按照步骤2和3的方法，写出计算出p值，如-1、 2、-2…。
概率统计常见题型及方法总结
概率统计常见题型及方法总结Prepared on 22 November 2020常见大题：1. 全概率公式和贝叶斯公式问题 B 看做“结果”，有多个“原因或者条件iA ”可以导致B这个“结果”发生，考虑结果B 发生的概率，或者求在B 发生的条件下，源于某个原因iA 的概率问题全概率公式：()()()1B |ni i i P B P A P A ==∑贝叶斯公式：1(|)()()()()ni i i jjj P A B P A P B A P A P BA ==∑｜｜一（12分）今有四个口袋，它们是甲、乙、丙、丁，每个口袋中都装有a 只红球和b 只白球。
先从甲口袋中任取一只球放入乙口袋，再从乙口袋中任取一只球放入丙口袋，然后再从丙口袋中任取一只球放入丁口袋，最后从丁口袋中任取一球，问取到红球的概率为多少解 i B 表示从第i 个口袋放入第1+i 个口袋红球，4,3,2,1=ii A 表示从第i 个口袋中任取一个球为红球，2分 则ba aB P +=)(1， 2分)()()()()(1111111B A P B P B A P B P A P += 111++++++++=b a a b a b b a a b a a ba a+= 2分 依次类推 2分ba aA P i +=)( 二（10分）袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都出现国徽，问这只硬币是次品的概率为多少、解 记B ={取到次品}，B ={取到正品}，A ={将硬币投掷r 次每次都出现国徽} 则()(),n m P B P B m n m n==++，()1P A B =，()12r P A B =―—５分 ()()1()212()()()()12r rr nP B P A B n m n P B A n m n m P B P A B P B P A B m n m n ⨯+===++⨯+⨯++三、（10分）一批产品共100件，其中有4件次品，其余皆为正品。
概率论问答题
f (x)dx 1 ；③ 对于
x2 x1
f (x )dx ；④ 若 f (x) 在点 x 处连续，则有
F (x) f (x) ；
⑤ 连续型随机变量 X 取某一数值 a 的概率为 0 ，即 P{ X a} 0 .其中性质①与②是概率密度函数的特征 性质。若某函数 f (x) 满足这两条特征性质，则 f (x) 一定是某个连续型随机变量的概率密度。 4、为什么说正态分布是概率论中最重要的分布？ 答：主要表现在三个方面① 正态分布有极其广泛的实际背景。在客观实际中有许多随机变量，它是由大 量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的，而其中每一个个别因素在总的影响中所起的作用都是微小 的，如:在任一指定时刻，一个城市的耗油量是大量用户耗油量的总和；一个实验的测量误差是许多观察不 到的、可加的微小误差所合成的，它们都服从或近似服从正态分布。② 有些分布（如二项分布）的极限
④ 均匀分布 X ~ U(a, b) ： E ( X ) ⑥ 正态分布 X ~ N( ,
ab (b a)2 , D( X ) . ⑤ 指数分布： E(X ) , D(X ) 2 . 2 12
2 ) ： E(X ) , D(X ) 2 .
9．大数定律说明什么问题？答：在实践中人们发现事件发生的“频率”具有稳定性，在讨论数学期望时， 也看到在进行大量独立重复试验时， “平均值”也具有稳定性。 大数定律正是以严格的数学形式证明了“频率” 和“平均值”的稳定性，同时表达了这种稳定性的含义，即“频率”或“平均值”在依概率收敛的意义下逼近某 一常数。 10．中心极限定理的意义是什么？答：中心极限定理是阐明有些即使原来并不服从正态分布的一些独立的 随机变量，它们的总和的分布渐近地服从正态分布。一般来说，这些随机变量受到大量独立的因素中每项 因素的影响是均匀的，微小的没有一项因素起特别突出的影响。那么就可以断言，这些随机变量的和的分
概率与统计中的常见问题解答
概率与统计中的常见问题解答概率与统计是一门研究随机事件和数据分析的重要学科。
在学习和应用概率与统计的过程中，人们常常会遇到一些疑问和困惑。
本文将针对一些常见问题进行解答，帮助读者更好地理解和应用概率与统计的知识。
问题一：什么是概率？解答：概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用0到1之间的实数表示。
在概率论中，我们假设所有可能的结果构成了一个样本空间，而事件则是样本空间的子集。
概率可以通过频率、古典概型、主观概率等方法进行计算和推断。
问题二：如何计算概率？解答：概率的计算方法有多种，根据问题的不同可以采用不同的计算方式。
对于离散型随机变量，可以使用概率质量函数（probability mass function）进行计算；对于连续型随机变量，可以使用概率密度函数（probability density function）进行计算。
此外，还可以利用排列组合、条件概率、贝叶斯公式等方法进行概率的计算。
问题三：什么是统计？解答：统计是通过对收集的样本数据进行分析和推断，以了解总体特征和作出相应的判断。
统计学包括描述统计和推断统计两个方面。
描述统计主要涉及数据的收集、整理、概括和呈现，如均值、中位数、方差等；推断统计则是利用统计学原理对样本数据进行分析，从而对总体做出推断。
问题四：如何进行随机抽样？解答：随机抽样是统计学中重要的方法之一，它能够保证样本的代表性，使得对总体的推断更加准确。
常见的随机抽样方法有简单随机抽样、分层抽样、整群抽样等。
简单随机抽样是从总体中随机选择一定数量的样本，分层抽样则是将总体划分为若干层，然后从每层中随机选取样本。
问题五：什么是假设检验？解答：假设检验是统计学中一种重要的推断方法，用于判断总体参数是否符合特定的假设。
假设检验的基本思想是通过收集样本数据，计算统计量并与假设的理论值进行比较，最终得出对假设的判断。
常见的假设检验方法有单样本假设检验、双样本假设检验、方差分析等。
概率知识教学问答
概率知识教学问答问：小学阶段为什么要教学概率知识?答：概率论是研究大量偶然现象中必然规律的一种理论。
统计学吸收了概率论的理论，形成了以概率论为基础的现代统计学，称为概率统计。
概率统计的重点是了解大量随机现象的总体变化趋势，从而得出随机现象的统计规律，进而可以获得社会发展或科学发现的统计性预期。
概率统计在各个领域有着广泛的应用，概率现象随时可见，故有数学家夸张地称：“概率与上帝同在，无处无时不在。
”随着概率统计在各个领域越来越广泛地应用，作为21世纪的公民来说，掌握一些概率和统计的知识是完全必要的。
《数学课程标准》在小学阶段补充了简单的概率知识，并将统计和概率作为一个独立的内容来进行教学，这样的安排正是顺应了社会发展的需要。
问：小学阶段概率知识教学涉及哪些内容?要达到什么要求?答：按苏教版教材的编排体系来看，小学阶段在二年级上册教学“可能性”，是让学生初步认识某些事件发生的不确定性，知道有些事情一定会发生，有些事情不一定会发生，有些事情一定不会发生，初步学会用“一定”、“可能”、“不可能”等词语来解释生活中的现象。
在三年级上册教学“等可能性”和“可能性大小”，使学生知道随机事件发生的可能性有大有小，也可能相等，能判断1/ 7简单事件发生的可能性，并会用“经常”、“偶尔”、“差不多”等词语来描述一些事件发生的可能性大小。
在四年级上册教学“游戏规则的公平性”，使学生通过进一步体验事件发生的等可能性来辨别简单游戏规则的公平性，并能按“等可能性”的原理来设计和修改简单的游戏规则。
《数学课程标准》明确提出了“应注重对不确定性和可能性的直观感受”与“应注重对可能性的体验”的要求，所以在教学中应注重对不确定性和可能性的体验与感受。
问：什么叫随机现象?随机现象有什么特点?答：现实世界的自然现象和社会现象，可以分成两类。
一类是有着明确的因果关系，即在一定条件下必然发生或必然不发生的现象，称为确定性现象。
例如，小学数学所教学的“一定”、“不可能”就是指这种确定性现象。
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概率统计十问数学是由两个大类——证明和反例组成,数学发现主要是提出证明和构造反例。
从科学性来讲,反例就是推翻错误命题的有效手段;从教学上而言,反例能够加深对正确结论的全面理解。
正如美国的B.R.盖尔鲍姆曾说:“一个数学问题用一个反例予以解决给人的刺激犹如一出好的戏剧”,下面我们通过举反例的方式对概率论与数理统计课程中一些疑难问题进行说明,我想看完后大家都会有这一同感!1、同一问题的概率模型是否唯一?概率模型（Schema）是随机现象的数学形式，它不是实际问题本身，而是实际问题的数学抽象。
对于现实世界中的随机现象，要想进入数学理论的研究，首先必须确定其概率模型。
由于我们的认识水平以及现实问题的复杂性，使得所选定的概率模型往往不是唯一的。
《概率论》中著名的“n个球在n个盒子中的分布问题”（见王梓坤《概率论基础及其应用》P12-13科学出版社）就说明了这一情况，这是一个典型概率模型的问题，内容是：设有r个球，每个都能以相同概率1n落到n个盒子（n r≥）的每一个盒子中，求指定的某r个盒子中各有一个球的概率。
如果我们把r个球看作r个人，而把n个盒子视为一年的天数：365n=。
这时上述问题就成为了概率论中一个颇为著名问题的概率模型。
此问题就是求参加某次集会的几个人中，没有n个人生日相同的概率。
众所周知，球彼此之间可以认为是有区别，也可以认为无区别；一个盒子可以假定仅能容纳一个球，也可以允许它能容纳许多球，如此一来，就可以分为以下几种概率模型：（1）马克斯威尔－波尔茨曼认为球彼此之间有区别，且对每盒中可容纳球数不加限制；（2）玻色－爱因斯坦认为球彼此不能区别，且对每盒中可容纳球数不加限制；（3）费密－狄雷克认为球彼此无区别，且限制每盒中不能同时容纳二个球。
后来，为了统一以上三种情况，又产生了第四种情况（4）布里龙认为球彼此可以区别，且增加了一些其他条件限制（见杨宗磐《概率论入门》P.13科学出版社）。
以上四种情况，形成了统计物理学中的四种统计模型：球可看作为质点，盒子看作状态。
再看一例：n个人围成一个圆周，求其中甲和乙两人之间恰好有(2)r r n<-个人的概率（圆周排列时，仅考虑从甲到乙的顺时针方向）。
对此问题，至少可用三种概率模型来处理,即可以构造如下的三种随机试验：（1）n个人的任意一种排列作为一个基本事件；（2）仅以甲、乙两人在n个人一行中的不同排法作为基本事件组；（3）可由甲和乙之间的间隔数来考虑。
不论取何种概率模型，本题所求概率均为11n-。
2、概率为零的事件一定是不可能事件吗?不可能事件的概率必为零，反之却未必成立。
例如,当考虑的概率模型为古典概率模型时，概率为零的事件一定是不可能事件;当考虑的概率模型是几何概率模型时，概率为零的事件未必是一个不可能事件。
例如：设试验E 为“随机地向边长为1的正方形内投点”，事件A 为“点投在正方形的一条对角线上”（见下图）Y1 B0 1X此时(){}|0,1x y Ω<<=x,y{}|0,1A x y <<=x=y尽管 ()001P A ==线段0B 的面积=正方形的面积但A 却可能发生，另外，对于连续性随机变量，它在某固定点取值的概率为零，但它不是不可能发生。
由对立事件知，概率为1的事件未必是必然事件。
3、试验次数多概率就一定大吗?在概率论的萌芽时期，有一个著名的问题：一颗骰子掷4次至少得一个1点，与两颗骰子掷24次至少得两个1点，这两个事件究竟哪个发生的概率大？曾引起很多人的注意。
现在看来，利用独立试验概率模型容易求出它们的概率。
n 次独立重复试验中事件A 至少发生一次的概率为()11n p --，其中()p P A =，现考虑欲使()1112n p --≥，则()()lg 2lg 1n p ≥--，此式给出了n 的下界，使问题得以解决。
以掷一颗骰子作试验，要连续掷n 次使1点至少出现一次的概率大于等于12,则 3.8n ≥。
以掷两颗骰子作试验，要连续掷n 次使两个1点至少出现一次的概率大于等于12,则24.6n ≥。
由此得出，一颗骰子掷4次至少有一个1点的概率大于等于12,而两颗骰子掷24次至少有一次得两个1点的概率小于12。
本例表明试验次数多概率不一定就大。
4、事件概率与试验的先后次序是否有关?设有一口袋，内有a 个黑球，b 个白球，他们除颜色不同外没有其它不同之处，现把球一个个地摸出，求第k 次摸出的是黑球的概率 ()1k a b ≤≤+。
初看题目，很可能会认为所求概率与摸球次序有关，若那样的话，体育比赛中先后抽签者中签的机会就不均等了，这与我们日常生活中的经验不符，通过具体计算亦可看出所求概率与摸球次序无关。
按自然顺序给球编号，不妨先给黑球编号，再给白球编号，取样空间为第k 次摸出的球的全部可能的结果，则{}12,,,,a b ωωω+Ω= i ω表示第k 次摸出第i 号球，1,2,,i a b =+ ，于是要求的是事件{}12,,,a A ωωω= 的概率。
由古典概率模型知()aP A a b =+,()P A 显然与k无关。
本题可用多种方法求解，这里介绍的是最简单的一种，本题存在多种解法的原因，在于一个随机现象有时可用不同的样本空间来描述，所以称本解法是最简单的，因为解法中的样本空间是最小的。
5、既非离散型又非连续型的分布函数是否存在有，请看下例：设()0,01,0121,1x x F x x x <⎧⎪+⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩,则由分布函数的定义可知()F x 是分布函数，与()F x 对应的随机变量不是取有限个或可列多个值，故()F x 不是离散型的分布函数，又因()()1011122dF x f x dx dx dx dx +∞+∞-∞-∞===≠⎰⎰⎰故()F x 也不是连续的分布函数。
6、X 与Y 不独立，那么X 与Y 是否有相同分布?观察(),X Y 的联合分布及其边缘分布:由于ij i j ,所以X 与Y 不独立，但X 与Y 有相同分布。
7、如果事件A 与B 独立，那么A 与B 是否是互不相容的呢?独立性是问题间的概率属性，相容性则是事件间本身的关系。
由此不难可知，由独立性推不出互不相容性。
请看如下一个命题：若A 与B 为两个独立事件，且()0P A >,()0P B >,但A 与B 不是互不相容的。
用反证法证明此命题。
若AB =Φ,则()0P AB =,A 与B 独立，且()0P A >,()0P B >得()()()0P AB P A P A =>,矛盾，因而AB ≠Φ。
由此可见,在本命题的条件下，A 与B 独立和A 与B 互不相容不能同时成立。
但若A ,B 中有一个概率为0，则A 与B 独立和A 与B 互不相容可同时成立。
8、随机变量X 的函数的期望是否等于X 的期望的函数?一般()()()()E f X f E X ≠。
例如：设X 服从如下分布：101211114444-⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭再设(){}3,1,0,1,2f x x x x =-∈-,于是随机变量函数服从如下分布: ()063144f X ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭故得()3()2E f X =,由于()12E X =，可得()()3113228f E X ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭, 所以()()()()E f X f E X ≠。
9、若有()()()E XY E X E Y =,则X 与Y 独立吗?若随机变量X 与Y 独立，且各自数学期望存在，则()()()E XY E X E Y =,反之不真。
例如：设随机变量Z 服从[]0,2π上的均匀分布,且()cos ,cos 2X Z Y Z π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ 于是()()201cos 02E X z dz ππ==⎰()201cos 022E Y z dz πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰()()201cos cos 022E XY z z dz πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰于是()()()E XY E X E Y =，由于X 与Y 满足221X Y +=,所以X 与Y 不独立。
10、零假设与备择假设的地位对等吗?在假设检验中，首先要根据具体问题提出零假设0H 和备择假设1H ，由于零假设是作为检验的前提而提出来的，因此，零假设通常应受到保护，没有充足的证据是不能被拒绝的，而备择假设只有当零假设被拒绝后，才能被接受，这就决定了零假设与备择假设不是处于对等的地位。
下面举例说明交换零假设与备择假设可能会得出截然相反的检验结论。
问题:某厂方断言，本厂生产的小型电动机在正常负载条件下平均电流不会超过0.8A,随机抽取该型号电动机16台，发现其平均电流为0.92A ，而由该样本求出的标准差是0.32A ，假定这种电动机的工作电流X 服从正态分布，问根据这一抽样结果，能否否定厂方断言？（取显著性水平0.05α=）解：本题假定()22,,X N μσσ 未知，以厂方断言作为零假设，则得假设检验问题：0H :0.8μ≤;1H :0.8μ>。
此时16n =,0.92x =,0.32S =,0.05α=，由t 检验法可知拒绝域为()0.050.81610.8 1.7530.94X >-=+≈ ，由于0.920.94x =<，故不应该拒绝零假设0H ，即在所给数据和检验水平下，没有充分理由否定厂方的断言。
现在若把厂方断言的对立面（即0.8μ>）作为零假设，则得假设检验问题：0H :0.8μ>;1H :0.8μ≤由t 检验法，此时的拒绝域为()0.050.81610.66X ≤-= 因为观测值0.920.66x =>，所以应接受零假设，即接受厂方断言的对立面。
由此可见，随着问题提法的不同，得出了截然相反的结论，这一点会使初学者感到迷惑不解，实际上，这里有个着眼点不同的问题，当把“厂方断言正确”作为零假设时，我们根据该厂以往的表现和信誉，对其断言已有了较大的信任，只有很不利于它的观察结果才能改变我们的看法，因而一般难以拒绝这个断言，反之，当把“厂方断言不正确”作为零假设时，我们一开始就对该厂产品抱怀疑态度，只有很有利于该厂的观察结果，才能改变我们的看法，因此，在所得观察数据并非决定性地偏于一方时，我们的着眼点(即最初立场)决定了所得的结论。
打一个通俗的比喻：某人是嫌疑犯，有些不利于他的证据，但并非是起决定性作用的，若我们要求“只有决定性的不利于他的证据才能判他有罪“，则他将被判为无罪，反之，若要”只有决定性的有利于他的证据才能判他无罪“，则他将被判有罪，在这里，也是着眼 点的不同决定了看法，这类事件在日常生活中并不少见，原本不足为奇了。