上海市亭林中学高二上学期第二阶段测试题(直线方程、数列、矩阵)
2022年上海亭林中学高二物理上学期期末试题含解析
2022年上海亭林中学高二物理上学期期末试题含解析一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共计15分．每小题只有一个选项符合题意1. 一个物体从静止开始沿直线运动，在第1s、第2s、第3s……第n s的位移分别是1m、2m、3m……n m.可以判断（）A．在4 s末的瞬时速度是2.5m/s B．在前4秒内的平均速度是2.5m/s C．不是匀速运动而是匀加速运动D．不是匀变速运动参考答案：BD2. （多选题）下列关于物体动量和冲量的说法正确的是（）A．物体所受合外力冲量越大，它的动量也越大B．物体所受合外力冲量不为零，它的动量一定要改变C．物体动量增量的方向，就是它所受冲量的方向D．物体所受合外力越大，它的动量变化就越大参考答案：BC【考点】动量定理；动量守恒定律．【分析】根据动量定理，结合合力的冲量等于动量的变化量进行判断．【解答】解：A、合外力的冲量越大，根据动量定理知，动量的变化量越大，但是动量不一定大．故A错误．B、合外力的冲量不为零，根据动量定理知，动量的变化量不为零，即动量一定改变．故B正确．C、根据动量定理知，合力的冲量等于动量变化量，则冲量的方向与动量增量的方向相同．故C正确．D、根据F=，知物体的合外力越大，动量的变化率越大，变化量不一定大．故D错误．故选：BC．3. （多选）如图所示实验中，带铁芯的、电阻较小的线圈L和灯泡L1并联，当闭合开关S 后，灯L1正常发光，下列说法中正确的是（）A.当断开S时，灯L1立即熄灭B.当断开S时，灯L1突然闪亮后熄灭C.若用阻值与线圈L相同的电阻取代L接入电路，当断开S时，灯L1立即熄灭D.若用阻值与线圈L相同的电阻取代L接入电路，当断开S时，灯L1突然闪亮后熄灭参考答案：BC4. 一个阻值为2 Ω的线圈在匀强磁场中转动，产生的电动势为e＝10 sin 20πt V，当该线圈与一阻值为8 Ω的电阻组成闭合回路时，下列说法正确的是()A．t＝0时，线圈平面位于中性面 B．t＝0时，穿过线圈的磁通量为0C．电阻的热功率为16 W D．用电压表测路端电压时读数为11.3 V参考答案：A5. 有一弹簧振子做简谐运动，则A. 加速度最大时，速度最大B. 速度最大时，位移最大C. 位移最大时，回复力最大D. 回复力最大时，加速度最大参考答案：CD二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共计16分6. 一个未知电阻，无法估计其电阻值，某同学用伏安法测量此电阻，用图a、b两种电路各测一次，用图a测得的数据是3.0V，3.0mA，用图b测得的数据是2.9V， 4.0mA，由此可知，用图 测得Rx 的误差较小，测量值Rx = 。
2023-2024学年上海市高二上学期期末数学试题(含解析)
2023-2024学年上海市高二上学期期末数学试题一、填空题1．空间两点()1,1,2A 和()2,0,2B -间的距离为__．【分析】直接由空间中两点的距离公式得出.【详解】AB =故答案为2y 10-+=的倾斜角为______．【正确答案】3π【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．10y -+=的倾斜角为θ．10y -+=化为1y +，故tan θ=，又(]0,θπ∈，故3πθ=，故答案为3π．一般地，如果直线方程的一般式为()00Ax By C B ++=≠，那么直线的斜率为A k B =-，且tan θk =，其中θ为直线的倾斜角，注意它的范围是(]0,π．3．若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为__________．【正确答案】1:8【详解】试题分析：由求得表面积公式24S R π=得半径比为1:2，由体积公式343V R π=可知体积比为1:8球体的表面积体积4．经过点(3,2)A -且斜率为2的直线l 的一般式方程为__．【正确答案】280x y --=【分析】根据点斜式公式直接求解即可.【详解】解：因为直线l 过点(3,2)A -且斜率为2，所以，直线l 的方程为22(3)y x +=-，即280x y --=．故280x y --=5．空间向量(1,0,),(2,,4)a m b n =-=- ，若//a b ，则m n +=__．【正确答案】2【分析】由向量平行的坐标运算求得,m n 即可求得m n +的值.【详解】若//a b ，则(2,,4)2(1,0,)n m -=--，则0,2n m ==，所以2m n +=．故26．某学院的A ，B ，C 三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取_________名学生．【正确答案】40【详解】试题分析：该学院的C 专业共有1200-380-420=400，所以，在该学院的C 专业应抽取学生数为400×1201200=40.本题主要考查分层抽样．点评：简单题，分层抽样应满足：各层样本数÷该层样本容量=抽样比．7．若向量()()1,0,1,0,1,1a b ==- ，则向量,a b 的夹角为_____．【正确答案】23π【分析】直接利用空间向量的夹角公式求解.【详解】根据题意，设向量,a b 的夹角为θ，向量()()1,0,1,0,1,1a b ==-则向量1a b a b =⋅=- 则1cos2θ=-又由0θπ≤≤，则23πθ=故23π．8．棱长为2的正方体的外接球的表面积为______．【正确答案】12π【分析】求出正方体的体对角线的长度，就是它的外接球的直径，求出半径，进而求出球的表面积.【详解】棱长为2的正方体的外接球的直径等于其体对角线长度，所以外接球的直径=24122S ππ⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭故12π9．已知圆锥的底面半径为1θ的大小为_________．【正确答案】π圆锥的底面半径为12π，即展开图的弧长，根据勾股定理可知圆锥母线即展开图的半径，再利用弧长公式计算.【详解】圆锥的底面半径为12=，即展开后所得扇形的半径为2，圆锥底面圆的周长2l π=即为展开后所得扇形的弧长，所以根据弧长公式可知22πθ=，解得θπ=故π10．已知样本9,10,11,,x y 的平均数是10，则xy =________.【正确答案】96【详解】9101150,20x y x y ++++=+=，2211(10)(10)10x y ++-+-=，22220()192,()220()192,96x y x y x y xy x y xy +-+=-+--+=-=11．已知异面直线,a b 所成角为3π，过空间一点P 有且仅有2条直线与,a b 所成角都是θ，则θ的取值范围是___________.【正确答案】,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】将直线,a b 平移交于点P ，并作a Pb ''∠及其外角的角平分线；根据过空间一点P 有且仅有2条直线与,a b 所成角都是θ，可知1l 方向上有两条，2l 方向上不存在，由此可得范围.【详解】将直线,a b 平移交于点P ，设平移后的直线为,a b ''，过点P 作a Pb ''∠及其外角的角平分线12,l l ，则3a Pb π''∠=；在1l 方向，要使过空间一点P 的直线，且与,a b 所成角都是θ的直线有两条，则6πθ>；在2l 方向，要使过空间一点P 的直线，且与,a b 所成角都是θ的直线不存在，则3πθ<；综上所述.,63ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为.,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭12．如图，圆锥的底面圆直径AB 为2，母线长SA 为4，若小虫P 从点A 开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA 的中点C ，则小虫爬行的最短距离为________．【正确答案】5【分析】分析：要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．详解：由题意知底面圆的直径AB ＝2，故底面周长等于2π.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n °，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π＝4π180n ，解得n ＝90，所以展开图中∠PSC ＝90°，根据勾股定理求得PC ＝所以小虫爬行的最短距离为故答案为点睛：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．13．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点12,P P 分别是线段1,AB BD （不包括端点）上的动点，且线段12PP 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是___________.【正确答案】124【分析】由线面平行的性质定理知121//PP AD ，12PP B ∴ ∽1AD B ，112211PB PP P B AB AD BD ==，设1,(0,1)PB x x =∈，则12PP =，2P 到平面11AA B B 的距离为h ，则2111P B h A D BD =,所以h x =，所以四面体121PP AB 的体积为22111111(1)1()()3266224V x x x x x =⨯⨯-⨯⨯=-=--+，当12x =时，四面体121PP AB 的体积取得最大值：124．所以答案应填：124．1、柱、锥、台体体积；2、点、线、面的位置关系．【思路点睛】本题考查正方形中几何体的体积的求法，找出所求四面体的底面面积和高是解题的关键，考查计算能力，属于中档题．由线面平行的性质定理知121//PP AD ，12PP B ∴∽1AD B ，设出1,(0,1)PB x x =∈，则122PP ，2P 到平面11AA B B 的距离为x ，表示出四面体121PP AB 的体积，通过二次函数的最值，求出四面体的体积的最大值．14．在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+ ，其中[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，则下列说法中，正确的有_________（请填入所有正确说法的序号）①当1λ=时，1AB P △的周长为定值②当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值③当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥④当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 【正确答案】②④【分析】①结合1λ=得到P 在线段1CC 上，结合图形可知不同位置下周长不同；②由线面平行得到点到平面距离不变，故体积为定值；③结合图形得到不同位置下有1A P BP ⊥，判断出③错误；④结合图形得到有唯一的点P ，使得线面垂直.【详解】由题意得：1BP BC BB λμ=+ ，[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，所以P 为正方形11BCC B 内一点，①，当1λ=时，1BP BC BB μ=+ ，即1CP BB μ=，[0,1]μ∈，所以P 在线段1CC 上，所以1AB P △周长为11AB AP B P ++，如图1所示，当点P 在12,P P 处时，111122B P AP B P AP +≠+，故①错误；②，如图2，当1μ=时，即1BP BC BB λ=+ ，即1B P BC λ=，[0,1]λ∈，所以P 在11B C 上，1113P A BC A BC V S h -=⋅ ，因为11B C ∥BC ，11B C ⊄平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，所以点P 到平面1A BC 距离不变，即h 不变，故②正确；③，当12λ=时，即112BP BC BB μ=+ ，如图3，M 为11B C 中点，N 为BC 的中点，P 是MN 上一动点，易知当0μ=时，点P 与点N 重合时，由于△ABC 为等边三角形，N 为BC 中点，所以AN ⊥BC ，又1AA ⊥BC ，1AA AN A = ，所以BN ⊥平面1ANMA ，因为1A P ⊂平面1ANMA ，则1BP A P ⊥，当1μ=时，点P 与点M 重合时，可证明出1A M ⊥平面11BCC B ，而BM ⊂平面11BCC B ，则1A M BM ⊥，即1A P BP ⊥，故③错误；④，当12μ=时，即112BP BC BB λ=+ ，如图4所示，D 为1BB 的中点，E 为1CC 的中点，则P 为DE 上一动点，易知11A B AB ⊥，若1A B ⊥平面1AB P ，只需11A B B P ⊥即可，取11B C 的中点F ，连接1,A F BF ，又因为1A F ⊥平面11BCC B ，所以11A F B P ⊥，若11A B B P ⊥，只需1B P ⊥平面1A FB ，即1B P BF ⊥即可，如图5，易知当且仅当点P 与点E 重合时，1B P BF ⊥故只有一个点P 符合要求，使得1A B ⊥平面1AB P ，故④正确.故选：②④立体几何的压轴题，通常情况下要画出图形，利用线面平行，线面垂直及特殊点，特殊值进行排除选项，或者用等体积法进行转化等思路进行解决.二、单选题15．下列几何体中，多面体是（）【正确答案】B【分析】判断各选项中几何体的形状，从而可得出多面体的选项.【详解】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；C选项中的几何体是圆柱，旋转体；D选项中的几何体是圆锥，是旋转体.故选B.本题考查多面体的判断，要熟悉多面体与旋转体的基本概念，考查对简单几何体概念的理解，属于基础题.16．类比平面内“垂直于同条一直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；③垂直于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【正确答案】B【分析】垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交、或异面，判断①；由直线与平面平行的性质判断②；由平面平行的判定定理判断③；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，判断④．【详解】垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、或异面，①错误；垂直于同一个平面的两条直线互相平行，由直线与平面平行的性质知②正确；垂直于同一条直线的两个平面互相平行，由平面平行的判定定理知③正确；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，④错误；故选：B本题考查命题的真假判断，考查空间点线面的位置关系，属于基础题．17．“直线的方向向量与平面的法向量垂直”是“直线与平面平行”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件【正确答案】C【分析】根据直线与平面平行的性质及判定定理可得．【详解】直线l 的方向向量与平面的法向量垂直，不一定得到直线与平面平行，例如直线在平面内的时候就不满足，当直线l 与平面α平行时，可以得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，∴前者不能推出后者，后者可以推出前者，∴前者是后者的必要不充分条件，即“直线的方向向量与平面的法向量垂直”是“直线与平面平行”的必要不充分条件.故选：C18．已知集合A 是集合B 的真子集，则下列关于非空集合A ，B 的四个命题：①若任取x A ∈，则x B ∈是必然事件；②若任取x A ∉，则x B ∈是不可能事件；③若任取x B ∈，则x A ∈是随机事件；④若任取x B ∉，则x A ∉是必然事件．其中正确的命题有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【正确答案】C【分析】、由题意作出韦恩图，结合必然事件、不可能事件和随机事件的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】因为集合A 是集合B 的真子集，所以集合A 中的元素都在集合B 中，集合B 中存在元素不是集合A 中的元素，作出其韦恩图如图：对于①：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，任取x A ∈，则x B ∈是必然事件，故①正确；对于②：任取x A ∉，则x B ∈是随机事件，故②不正确；对于③：因为集合A 是集合B 的真子集，集合B 中存在元素不是集合A 中的元素，集合B 中也存在集合A 中的元素，所以任取x B ∈，则x A ∈是随机事件，故③正确；对于④：因为集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，任取x B ∉，则x A ∉是必然事件，故④正确；所以①③④正确，正确的命题有3个．故选：C ．19．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，顶点1B 到对角线1BD 和到平面11A BCD 的距离分别为h 和d ，则下列命题中正确的是A ．若侧棱的长小于底面的变长，则hd的取值范围为(0,1)B ．若侧棱的长小于底面的变长，则h d的取值范围为(,23C ．若侧棱的长大于底面的变长，则h d的取值范围为(3D ．若侧棱的长大于底面的变长，则h d的取值范围为)+∞【正确答案】C【详解】设侧棱长是b ，底面的变长是a ，点1B 到对角线1BD 的距离h 即为直角三角形11B BD 斜边1BD上的高，111,,B D B B b h ===1B 到平面11A BCD 的距离分别d 即为直角三角形1B BA 斜边1B A上的高，111,,B A a B B b h h d ==∴=若侧棱的长小于底面的边长，即b a <22222142,111231a a b b ><+<⇒<+A,B 错误；若侧棱的长大于底面的边长，即b a >222221402,21231a a b b <<>+>+选C20．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段11B C 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（）A．B．[3C．D．3【正确答案】C【分析】设出正方体棱长，表达出sin α=判断出sin y α=在[0,2]a ∈是严格减函数，从而求出最值，得到取值范围.【详解】设正方体的棱长为2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z轴，建立空间直角坐标系，则1(2,0,2),(2,2,0),(0,0,0),(1,1,0),(,2,2)A B D O P a ，02a ≤≤，1(2,0,2),(2,2,0),(1,1,2)DA DB OP a ===-，设平面1A BD 的法向量(,,)n x y z = ，则1220220n DA x z n DB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，得(1,1,1)n =--，所以3sin cos ,3||||OP n n OP n α⋅===⋅⋅=3=因为02a≤≤，所以14ya=-在[0,2]a∈上单调递减，且1113,,42414a⎡⎤⎛⎫∈--⊆-∞-⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭，由复合函数单调性可知21351441414ya⎛⎫=++⎪-⎝⎭单调递增，所以sinyα=在[0,2]a∈是严格减函数，所以2a=时，sinα取最小值min(sin)α==，a=时，sinα取最大值max(sin)33α==．所以sinα的取值范围是．故选：C．方法点睛：线面角最值求解，常常用到以下方法：一是向量法，建立空间直角坐标系，需要引入变量，转化为函数的最值问题进行求解；二是定义法，常常需要作出辅助线，找到线面角，求出最值，常用知识点有正弦定理，余弦定理，基本不等式等；三、解答题21．甲、乙两位同学上课后独自完成自我检测题，甲及格概率为45，乙及格概率为35，求：(1)求甲、乙两人都及格的概率；(2)求至少有一人及格的概率；(3)求恰有一人及格的概率．【正确答案】(1)1225(2)2325(3)1125【分析】（1）根据独立事件的乘法公式求解即可；（2）先求出两人都不及格的概率，再根据对立事件概率求解即可；（3）根据独立事件的乘法公式求解即可；【详解】（1）解：因为甲及格概率为45，乙及格概率为35，所以，甲、乙两人都及格的概率143125525P =⨯=.（2）解：因为甲及格概率为45，乙及格概率为35，所以，两人都不及格的概率为432(15525--=，所以，至少有一人及格的概率222312525P =-=；（3）解：因为甲及格概率为45，乙及格概率为35，所以，恰有一人及格的概率3434311(1)(1)555525P =⨯-+-⨯=．22．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50)，[50,60)，L ，[80,90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)求该企业50名职工对该部门评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值表示）；(3)从评分在[40,60)的职工的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50,60)的概率．【正确答案】(1)0.006a =(2)80(3)310【分析】（1）根据频率和为1求解即可；（2）直接根据频率分布直方图计算平均数即可；（3）先计算各组的频数，再结合古典概型公式计算即可；【详解】（1）解：因为(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=，解得0.006a =；所以0.006a =（2）解：可估算样本平均数为450.04550.06650.22750.28850.22950.1880x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）解：由题知，500.004102⨯⨯=人，500.006103⨯⨯=，所以，评分在[40,50)的职工有2人，记为,A B ，评分在[50,60)的职工有3人，记为,,a b c ，所以，从中随机抽取2人，所有的情况为：()()()(),,,,,,,A B A a A b A c ，()()(),,,,,B a B b B c ，()()(),,,,,a b a c b c ，共10种，其中，此2人评分都在[50,60)的有()()(),,,,,a b a c b c ，3种，所以，此2人评分都在[50,60)的概率310P =．23．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,E F 分别为1BB CD 、的中点，求：(1)异面直线AF 与1D E 所成的角；(2)求点F 到平面11A D E 的距离．【正确答案】(1)(2)5【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；（2）根据空间距离的向量方法求解即可.【详解】（1）以1D 为原点，11111,,D A D C D D 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则11(0,1,2),(0,0,0),(2,0,(20),0,2),(2,,2,1)A A F D E ，1(2,1,0),(2,2,1)AF D E =-=，11111cos ,15||||A F D E AF D E A F D E ⋅==-，所以异面直线AF 与1D E所成的角为arccos15；（2）111(2,0,0),(2,2,1)D A D E ==，设(,,)n x y z =是平面11A D E 的法向量，则11120220n D A x n D E x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令1y =-，得(0,1,2)n =- ，又1(0,1,2)D F =，所以点F 到平面11A D E 的距离1||355||n D F d n ⋅==．24．如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 在底面圆周上（点E 异于A 、B 两点），点F 在DE 上，且AF D E ⊥，若圆柱的底面积与ABE 的面积之比等于π．(1)求证：AF BD ⊥；(2)求直线DE 与平面ABCD 所成角的正切值．【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，结合圆的性质，可得答案；（2）根据线面角的定义，结合面面垂直性质，利用几何法，可得答案.【详解】（1）根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ．因为EB ⊂平面ABE ，所以DA EB ⊥．因为AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，所以AE EB ⊥，又AE AD A ⋂=，故EB ⊥平面DAE ．因为AF ⊂平面DAE ，所以EB AF ⊥．又AF D E ⊥，且EB DE E =I ，故AF ⊥平面DEB ．因为DB ⊂平面DEB ，所以AF DB ⊥．（2）因为平面ABCD ⊥平面ABE ，所以过E 作EH AB ⊥，由平面ABCD ⋂平面ABE AB =，则EH ⊥平面ABCD ，即EDH ∠为DE 与平面ABCD 所成角，设圆柱的底半径为r ，因为圆柱的轴截面ABCD 是正方形，ABE 的面积为12S AB EH r EH =⋅⋅=⋅．圆柱的底面积2S r π=，因为圆柱的底面积与ABE 的面积之比等于π，所以2r EH r ππ⋅⋅=，解得EH r =，所以点H 为圆柱底面圆的圆心，则tan EH EDH DH ∠====即直线DE 与平面ABCD 25．如图，正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，侧棱长是P 为侧棱SD 上的点．(1)求正四棱锥S ABCD -的体积；(2)若SD ⊥平面PAC ，求二面角P AC D --的大小；(3)在（2）的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得//BE 平面PAC ．若存在，求:SE EC 的值；若不存在，试说明理由．【正确答案】(1)463(2)30︒(3)当:2:1SE EC =时，//BE 平面PAC ．【分析】（1）作出辅助线，找到正四棱锥的高，并求出长度，利用锥体体积公式求出答案；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的大小；（3）在第二问的基础上，设CE tCS = ，通过BE BC tCS =+ 得到BE的坐标，结合0BE DS ⋅= 求出t 的值，求出答案.【详解】（1）连接BD 与AC 相交于点O ，连接SO ，因为正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，侧棱长是22所以SO ⊥平面ABCD ，2AO BO CO DO ====即SO 为正四棱锥的高，故正四棱锥的高22(22)(2)6h -正方形ABCD 的面积为224=，所以正四棱锥S ABCD -的体积143V =⨯（2）以O 为坐标原点，,,O OC O B S分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如图．由（1）知高SO =于是(S D C ，(OC SD ==，0OC SD ⋅=，故OC SD ⊥，从而AC SD ⊥，所以平面PAC 的一个法向量DS =，平面DAC 的一个法向量OS =．由图可知二面角P AC D --为锐角，设所求二面角为θ，则cos ||||OS DS OS DS θ⋅== 所求二面角的大小为30︒；（3）在棱SC 上存在一点E 使//BE 平面PAC ．由（2）得DS是平面PAC 的一个法向量，且(0,DS CS == ，设CE tCS = ，则()BE BC CE BC tCS =+=+=，而103BE DS t ⋅=⇔= ，即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥ ，而BE 不在平面PAC 内，故//BE 平面PAC ．。
上海亭林中学高二物理联考试题含解析
上海亭林中学高二物理联考试题含解析一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共计15分．每小题只有一个选项符合题意1. 如图所示表示两列相干水波的叠加情况，图中的实线表示波峰，虚线表示波谷。
设两列波的振幅均为5 cm，且图示的范围内振幅不变，波速和波长都相同。
C点是BE连线的中点，下列说法中正确的是A．A点始终处于波峰位置B．C点和D点都保持静止不动C．图示时刻A、B两点的竖直高度差为20cmD．图示时刻C点正处于平衡位置且向水面下运动参考答案：C2. 示波器是电子技术实验测量中常用的仪器，若示波器中显象管的电子枪在2s内发6×1013个电子，则示波管中电流强度大小为A．4.8×10-6A B．3×10-3A C．9.6×10-6A D．3×10-6A参考答案：A3. 下列说法正确的是( )A.太阳辐射的能量主要来自太阳内部的核裂变反应B.汤姆生发现电子，表明原子具有核式结构C.一束光照射到某种金属上不能发生光电效应，是因为该束光的波长太短D.按照玻尔理论，氢原子核外电子从半径较小的轨道跃迁到半径较大的轨道时，电子的动能减小，原子总能量增大参考答案：D4. (多选)t=0时，甲乙两汽车从相距70km的两地开始相向行驶，它们的v-t图象如图所示，忽略汽车掉头所需时间。
下列对汽车运动状况的描述正确的是（）A．在第1小时末，乙车改变运动方向B．在第2小时末，甲乙两车相距10kmC．在前4小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大D．在第4小时末，甲车在乙车前面20km处参考答案：BCD5. （单选）矩形导线框abcd固定在匀强磁场中，磁感线的方向与导线框所在平面垂直，规定磁场的正方向垂直纸面向里，磁感应强度B随时间t变化的规律如下右图；若规定顺时针方向为感应电流i的正方向，线框中的感应电流如下左图所示，其中正确的是（）参考答案：D二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共计16分6. 导体中的电流是5mA，那么在3.2秒内有______ C的电荷定向移动通过导体的横截面，相当于______个电子通过该截面。
上海亭林中学高二数学文模拟试卷含解析
上海亭林中学高二数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若，则x+y的值是（）A．﹣3或1 B．3或1 C．﹣3 D．1参考答案：A【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据两个向量的数量积公式可得 4+4y+2x=0，由向量的模的求法可得=6，解出x 和y的值，即得x+y的值．【解答】解：由题意可得=4+4y+2x=0，且=6，∴x=4，或x=﹣4，当x=4时，y=﹣3，当x=﹣4时，y=1，∴x+y=1，或 x+y=﹣3，故选 A．2. 已知a，b∈R，那么“a2＞b2”是“a＞|b|”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】我们分别判断“a＞|b|”?“a2＞b2”与“a2＞b2”?“a＞|b|”的真假，然后根据充要条件的定义，即可得到答案．【解答】解：∵当“a＞|b|”成立时，a＞|b|≥0，∴“a2＞b2”成立，即“a＞|b|”?“a2＞b2”为真命题；是必要条件；而当“a2＞b2”成立时，a＞|b|≥0，或a＜﹣|b|≤0，∴a＞|b|≥0不一定成立，即“a2＞b2”?“a＞|b|”为假命题；不是充分条件；故“a2＞b2”是“a＞|b|”的必要非充分条件；故选：B．【点评】本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，即若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件．3. 已知向量则的极小值为参考答案：1略4. 设有直线m 、n和平面、，则在下列命题中，正确的是( )A．若m//n，，，则B．若m//n，n，m，则C．若m//n，m，n，则D．若m，m n，n，则参考答案：B5. 已知等比数列{a n}的各项都是正数，且3a1， a3，2a2成等差数列，则=（）A．1 B．3 C．6 D．9参考答案：D【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】设各项都是正数的等比数列{a n}的公比为q，（q＞0），由题意可得关于q的式子，解之可得q，而所求的式子等于q2，计算可得．【解答】解：设各项都是正数的等比数列{a n}的公比为q，（q＞0）由题意可得2×a3=3a1+2a2，即q2﹣2q﹣3=0，解得q=﹣1（舍去），或q=3，故==q2=9．故选：D．6. 下列表述正确的是①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A．①③⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．①②③参考答案：A略7. 向量，与其共线且满足的向量是（）A．B．（4，－2，4）C．（－4，2，－4）D．（2，－3，4）参考答案：C8. 已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为（）A．-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1[参考答案：A略9. 已知点A(2,3),B(－3,－2).若直线过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线的斜率的取值范围是( )A. B. C. 或D.参考答案：C略10. 下列函数中，最小值为2的函数为A． B．C． D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 一个质量为4 kg的物体作直线运动，若运动距离s（单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为，且物体的动能（其中m为物体质量，v为瞬时速度），则物体开始运动后第5 s 时的动能为J．（说明：）参考答案：242；12. 下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的所有图形的序号是参考答案：①④略13. 已知函数，则f（f（3））= ．参考答案：﹣1【考点】3T ：函数的值．【分析】由已知得f （3）=log 22=1，从而f （f （3））=f （1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数，∴f（3）=log 22=1，f （f （3））=f （1）=1﹣2=﹣1． 故答案为：﹣1．14. 已知点A （0，﹣1），B （3，0），C （1，2），平面区域P 是由所有满足=λ+μ（2＜λ≤m，2＜μ≤n）的点M 组成的区域，若区域P 的面积为6，则m+n 的最小值为．参考答案：4+【考点】9H ：平面向量的基本定理及其意义．【分析】设M （x ，y ），作出M 点所在的平面区域，根据面积得出关于m，n 的等式，利用基本不等式便可得出m+n 的最小值．【解答】解：设M （x ，y ），，；∴，；令，以AE ，AF 为邻边作平行四边形AENF ，令，以AP ，AQ 为邻边作平行四边形APGQ ； ∵；∴符合条件的M 组成的区域是平行四边形NIGH ，如图所示；∴；∴；∵；∴；∴3≤（m+n ﹣4）2；∴；∴m+n 的最小值为．故答案为：4+．15. 已知命题不等式的解集是R ，命题在区间上是减函数，若命题“”为真，则实数的范围是______.参考答案：16. 已知函数在区间（）上存在零点，则n = ▲ ．参考答案：3根据题意，可以判断出是定义在上的增函数， 根据函数零点存在性定理，可以得到其若在区间（）上存在零点，则有，经验证，，，所以函数在上存在零点，故.17. 已知，且，若恒成立,则实数ｍ的取值范围是________.参考答案： -4<m<2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
上海高二上学期期中数学试题(解析版)
一、填空题1．“点A 在直线上”用符号语言可以表示为_____________.l 【答案】∈A l 【分析】根据立体几何中，符号语言的表示规则直接写出答案.【详解】A 在直线上，即l ∈A l 故答案为：∈A l 2．直线与直线为两条异面直线，已知直线，那么直线与直线的位置关系为________．a b //l a l b 【答案】异面或相交【分析】根据空间中直线与直线的位置关系即可得出结果.【详解】由题意可知，与直线为两条异面直线，若，a b //l a 由平行直线的传递性可知，直线与直线不可能平行，l b 故直线与直线的位置关系为异面或相交.l b 故答案为：异面或相交3．圆台的轴截面上､下底边长分别为2和4，母线长为2，则圆台的体积是___________.【分析】根据圆台的轴截面的长度关系，可得到2,1,22DC AB R r h AE ======体积公式，即得解 【详解】如图所示，不妨设圆台的轴截面为，过分别作于ABCD ,A B ,AE CD BF CD ^^,E F 由于圆台的轴截面为等腰梯形，因此 4212DE CF -===AE ∴==由圆台的体积公式， 221()3V h R r R r π=++⋅其中，2,1,22DC AB R r h AE ======221(2121)3V π∴=++⋅=4．正方体的棱长为2，是的中点，则到平面的距离______．1111ABCD A B C D -E 11A B E 11ABC D【分析】利用线面平行，将点到平面的距离，转化为到平面的距离来求解.E 11ABC D 1B 11ABC D 【详解】由于，所以平面，因此到平面的距离等于到平面11//A B AB 11//A B 11ABC D E 11ABC D 1B 的距离.连接，交点为，由于，所以平面，所11ABC D 11,BC B C O 111,B O BC B O AB ⊥⊥1B O ⊥11ABC D以为所求点到面的距离，由正方形的性质可知1B O 111122B O B C ==⨯【点睛】本小题主要考查空间点到面的距离，考查线面平行的判定，考查空间想象能力，属于基础题.5．正三角形的边长为，如图，为其水平放置的直观图，则的面积为ABC 2cm A B C '''∆A B C '''∆__________.【分析】根据平面图形的直观图画法，求出，再由斜二测的特点求出高，即可求解''O C h【详解】根据斜二测画法基本原理，应将高长度变为原来的一半，再向右倾斜45°得到右图，横长不OC AB发生变化，则， ''2A B =1''2O C OC ==则，则的面积为'''sin 45h O C =⋅︒==A B C '''∆122S =⨯=【点睛】本题考查平面图形斜二测的基本画法及对应边长的求法，属于基础题6．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的底面积是________ R 【答案】 214R π【分析】根据展开后半圆的弧长等于原圆锥底面的周长求解即可.【详解】由题,展开图半圆的弧长为.设圆锥的底面半径为则,故. R πr 2r R ππ=12r R =故底面积为. 221124R R ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭故答案为： 214R π【点睛】本题主要考查了圆锥侧面展开图中的运算,注意展开后半扇形的弧长等于原圆锥底面的周长计算.属于基础题.7．若两个平行平面距离为1，其中一个平面截半径为5的球得到的截面面积为，则另一平面O 16π截球得到的截面面积为_________O 【答案】或9π21π【分析】将题中问题具体化，然后抓住以下两点求解：①用平面去截一个球，截面必为圆；②球心的半径，截面圆圆心的半径以及球心与截面圆圆心的连线构成一直角三角形.【详解】用平面去截一个球，截面必为圆，作出过球心，截面圆圆心的截面.设平面截半径为5的球得到的截面为圆，且圆面积为，αO 1O 1O 16π则圆的半径为，1O 14r =3=设平面平行平面，且两平面的距离为1，βα记平面截半径为5的球得到的截面为圆，半径为，βO 2O 2r当有，解得或.211OO OO -=22OO =24OO =当时，的面积为；22OO =2r ==2O 21π当时，，圆的面积为.24OO =23r ==2O 9π综上可知，所求截面面积为或.9π21π故答案为：或.9π21π8．刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也，甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图为一个刍瓷的五面体，其中四边形为矩形，和都是等ABCD ADE V BCF △腰三角形，，，若，且，则异面直线AE ED BF CF ====//EF AB 3AB EF =2AD EF =AE 与所成角的大小为______.CF【答案】π3##60°【分析】作平行四边形，得到，异面直线与所成角为，求出AGFE //AE GF AE CF GFC ∠GFC 的边长求角即可.【详解】设，在上取点满足，如图，1EF =AB G 1AG EF ==故且，故四边形是平行四边形，故//AG EF AG EF =AGFE //AE GF异面直线与所成角为或其补角 ，AE CF GFC ∠GF CF ==CG ===故为等边三角形GFC 故 3GFC π∠=故答案为：3π9．有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为（）．用它们拼成2a 345a a a ，，0a >一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是a _______．【答案】0a <<【分析】由题意拼成一个三棱柱,分3种情况求出表面积；拼成一个四棱柱,3种情况分别求出表面积,然后求出a 的范围.【详解】①拼成一个三棱柱时,有三种情况：将上下底面对接,其全面积为：； ()21423434512482S a a a a a a a=⨯⨯⨯+++⨯=+三棱柱表面积3a 边可以合在一起时, ； ()212223425424362S a a a a a a=⨯⨯⨯⨯++⨯=+三棱柱表面积4a 边合在一起时， . ()212223425324322S a a a a a a=⨯⨯⨯⨯++⨯=+三棱柱表面积②拼成一个四棱柱,有三种情况：就是分别让边长为3a ,4a ,5a 所在的侧面重合,其上下底面积之和都是，但侧面积分别为:, ,212234242a a a ⨯⨯⨯⨯=()224536a a a +⨯=()223532a a a +⨯=， ()223428a a a+⨯=显然，三个是四棱柱中全面积最小的值为：. ()212223423424282S a a a a a a=⨯⨯⨯⨯++⨯=+四棱柱表面积由题意得：，解得：2224281248a a +<+0a <<故答案为 ：0a <<【点睛】（1）求解以由多个几何体构成组合体的体积的关键是确定组合体的形状以及组合体图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．10．一矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图象上，则此矩形绕轴旋转而x 2(0)1x y x x =>+x 成的几何体的体积的最大值为___________. 【答案】4π【分析】设矩形在上的两个项点坐标为，利用是关于的方程21x y x =+()()12,,,x y x y 12,x x x 21x y x =+的两根，求得，然后同体积公式得，结合二次函数知识得最大值．12x x -212V y x x π=-【详解】设矩形在上的两个项点坐标为， 21x y x =+()()12,,,x y x y 由，知是方程的两个根. ()2201x y yx x y x*=⇒-+=+12,x x ()*，，， 121x x y +=121=x x 2212121221()()44x x x x x x y -=+-=-212V y x x y ππ∴=-==当且仅当时，. 218y =max 4V π=故答案为：． 4π二、单选题11．设，为空间的两条直线，，为空间的两个平面，下列命题中真命题的个数为（ ） m n αβ（1）若，，则；（2）若，，则；//m α//m β//αβm α⊥m β⊥//αβ（3）若，，则；（4）若，，则．//m α//n α//m n m α⊥n α⊥//m n A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】利用立体几何中直线与平面的平行与垂直关系进行判断即可.【详解】（1）若，，则与相交或平行，故（1）不正确；//m α//m βαβ（2）若，，则，故（2）正确；m α⊥m β⊥//αβ（3）若，，则与平交、平行或异面，故（3）不正确；//m α//n αm n （4）若，，则，故（4）正确；m α⊥n α⊥//m n 综上：（2）（4）正确，（1）（3）不正确，故真命题的个数为2.故选：B ．12．对关于的一元二次方程，通过掷骰子确定其中的系数，第一次出现的数作为x 20x bx c ++=b ，第二次出现的数作为（一颗骰子有6个面，分别刻有1、2，3、4、5、6六个数，每次扰掷，c 各数出现的可能性相同），那么，这个方程有解的概率是（ ）A ．B ．C ．D ． 4912193659【答案】C【分析】记事件 “方程有实根”．由，得：，利用列举法得到A =20x bx c ++=240b c ∆=-…24b c …事件包含的基本事件的个数，又总的基本事件共个，由古典概型概率公式求出方程有解A 6636⨯=的概率．【详解】记事件 “方程有实根”．A =20x bx c ++=由，得：240b c ∆=-…24b c …又基本事件共个，6636⨯=其中事件包含19个基本事件，列举如下：A ，，，，，，,,，，，，(2,1)(3,1)(3,2)(4,1)(4,2)(4,3)(44),(51)(5,2)(5,3)(5,4)，，，，，，，(5,5)(5,6)(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)所以， 19()36P A =故选：C. 13．平行六面体的六个面都是菱形，那么点在面上的射影一定是1111ABCD A B C D -1A 11AB D 11AB D 的________心，点在面上的射影一定是的________心（ ）1A 1BC D 1BC DA ．外心、重心B ．内心、垂心C ．外心、垂心D ．内心、重心【答案】C【解析】将三棱锥、三棱锥分离出来单独分析，根据线段长度以及线线关系证111A AB D -11A BC D -明的射影点分别是和的哪一种心.1A 11AB D 1BC D 【详解】三棱锥如下图所示：记在面上的射影点为，连接，111A AB D -1A 11AB D O 11,,AO B O D O因为，又平面，11111AA A D A B ==1A O ⊥11AB D所以 11111AA A D A B ===所以，所以为的外心；11AO OB OD ==O 11AB D 三棱锥如下图所示：记在面上的射影点为，连接，11A BC D -1A 1BC D 1O 1111,,BO C O DO因为，且四边形是菱形，所以，所以，11//BC AD 11ADD A 11AD A D ⊥11BC A D ⊥又因为平面，所以，11A O ⊥1BC D 1111111,A O BC A O A D A ⊥= 所以平面，又因为平面，所以，1BC ⊥11AO D 1DO ⊂11AO D 11DO BC ⊥同理可知：，所以为的垂心，1111,BO DC C O DB ⊥⊥1O 1BC D 故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过的射影点去证明线段长度的关系、线段位置的关1A 系，借助线面垂直的定义和判定定理去分析解答问题.三、解答题14．在一只袋子中装有若干个红玻璃球和绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为，取得两个绿玻璃球的概率为. 715115(1)求取得两个同颜色的玻璃球的概率；(2)求至少取得一个红玻璃球的概率.【答案】(1) 815(2)1415【分析】（1）利用互斥事件的概率公式求解即可；（2）利用间接法及对立事件的概率公式即可得解.【详解】（1）设“取得两个红玻璃球”为事件，“取得两个绿玻璃球”为事件，A B 则，，即事件互斥， ()()71,1515P A P B ==()0P AB =,A B 所以取得两个同颜色的玻璃球的概率为. ()()()718151515P A B P A P B ⋃=+=+=（2）至少取得一个红玻璃球的的对立事件为事件，B 所以其概率为. ()114111515P B -=-=15．如图，在长方体中，，；1111ABCD A B C D -13BB BC ==4AB =（1）求证：平面平面；11//AB D 1BDC （2）求与平面所成的角．11A B 11AB C D 【答案】（1）证明见详解；（2） 3arctan 4【分析】（1）根据面面平行的判定定理，直接证明，即可得出结论成立；（2）过点作于点，证明平面，得到为与平面所1A 1A O ⊥1AB O 1A O ⊥11AB C D 11∠A B A 11A B 11AB C D 成的角，再由题中数据，即可求出结果.【详解】（1）因为在长方体中，易知：且，且1111ABCD A B C D -11//BB DD 11BB DD =11//AB C D ，11AB C D =所以四边形为平行四边形，四边形也是平行四边形；11BB D D 11ABC D 因此，；11//BD B D 11//AD BC 又平面，平面；平面，平面；BD ⊂1C BD 11B D ⊄1C BD 1BC ⊂1C BD 1AD ⊄1C BD 所以平面；平面；11//B D 1C BD 1//AD 1C BD 又平面，平面，，11B D ⊂11AB D 1AD ⊂11AB D 1111AD B D D ⋂=所以平面平面；11//AB D 1BDC （2）过点作于点，1A 1A O ⊥1AB O 因为在长方体中，易知：平面，1111ABCD A B C D -AD ⊥11B BAA 所以，又平面，平面，1⊥AD A O 1AB ⊂11AB C D AD ⊂11AB C D 所以平面，1A O ⊥11AB C D 因此，为与平面所成的角；11∠A B A 11A B 11AB C D 又在长方体中，，，1111ABCD A B C D -13BB BC ==4AB =因此， 111113tan 4∠==A A A B A A B 所以； 113arctan 4∠=A B A 即与平面所成的角为. 11AB 11ABCD 3arctan 4【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，以及求直线与平面所成的角，熟记面面垂直的判定定理，以及直线与平面所成角的几何求法即可，属于常考题型.16．一块边长为的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个12cm 四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．(1)请将加工制作出来的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积表示为关于的函数，并标明其定义V x 域；(2)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”．（i ）请指出此时的值（不用说明理由），并求出这个封闭的正三棱柱形容器的侧面积； x S （ii ）若还需要在该正三棱柱形容器中放入一个金属球体，试求该金属球体的最大体积．V '【答案】(1) ()321301282V x x x =-+<<(2)（i ），；（ii ） 6x =2S =3cm V '=【分析】（1）利用表示出三棱柱的高和底面三角形面积，根据棱柱体积公式可得函数关系式； x （2）（i ）利用减掉的三个四边形面积之和等于棱柱底面三角形面积可构造方程求得，进而根据棱x 柱侧面积求法可求得；S （ii ）根据底面三角形内切圆半径和棱柱的高可确定当球的直径与棱柱高相等时，球的体积最大，由此可得所求球的半径，利用球的体积公式可求得结果.【详解】（1）如图所示，，又，， 12622x x DF -==-π6EDF ∠=πtan 662x EF DF ⎫∴=⋅=-⎪⎭即三棱柱的高，又棱柱底面积， 62x h ⎫=-⎪⎭221πsin 23S x x =⋅=三棱柱容器的体积， ∴232136282x V Sh x x ⎫==-=-+⎪⎭即所求函数关系式为. ()321301282V x x x =-+<<（2）（i ）减掉的三个四边形材料面积之和为， 2213266222x x ⎫⎫⨯⨯-=-⎪⎪⎭⎭，解得：， 2262x ⎫-=⎪⎭()6cm x =三棱柱容器的侧面积； ∴)2363cm S =⨯=（ii ）正三棱柱容器底面三角形内切圆半径为， )16cm 3⨯=若球的体积最大，则直径应与三棱柱的高相等，球的半径， ∴∴R =球体的最大体积. ∴()334πcm 3V R '==17．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，母线长为4，OA 、OB 是底面半径，且PO =，M 为线段AB 的中点，如图所示.0OA OB ⋅=（1）求圆锥的表面积；（2）求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.【答案】（1）；（2）12π【分析】（1）根据题意，求得圆锥底面圆的半径，根据圆锥表面积公式代入数值求解即可；（2）取中点，联结、，与所成角即为所求，求得各边的长，可得该OA E PE EM EM PM PEM ∆三角形为直角三角形，与所成的角即tan PE PME EM ∠===PM OBPME ∠=【详解】（1）圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，母线长为4，，，PO =2OA ∴==.242412S r rl πππππ=+=+⨯=表面积（2）取OA 中点E ，连接PE 、EM ，E 为OA 的中点，M 为AB 的中点，，与所成角为所求，//EM OB ∴EM ∴PM ，，0OA OB ⋅= OA OB ∴⊥ 为线段的中点，M AB， ，2OA OB ==OM ∴=在中，Rt POM PM =， ==在中，Rt POE △PE ===， 121EM OB ==，， 2221+= PE EM ∴⊥tan PE PME EM ∠===PME ∴∠=答：异面直线PM 与OB 所成的角的大小为【点睛】本题考查圆锥的表面积公式，以及异面直线所成角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．18．如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形（及其内部）以边所ABCD AB 在直线为旋转轴顺时针旋转得到的，是的中点． 23πG DF(1)求此几何体的体积；(2)设是上的一点，且，求的大小； P CEAP BE ⊥CBP ∠(3)当，时，求二面角的大小．3AB =2AD =E AG C --【答案】(1) 83π(2)30CBP ∠= (3)．60【分析】(1)由题意可知该几何体为圆柱的三分之一，根据计算圆柱体积即可得出此几何体的体积；(2)利用线面垂直的判定定理可得平面，然后结合几何体的结构特征计算可得的大BE ⊥ABP CBP ∠小；(3)建立空间直角坐标系，用空间向量法即可求出二面角的余弦值，从而可得二面角的大E AG C --小.【详解】（1）此几何体的体积； 2182233V ππ=⋅⋅=（2）因为，，，平面，， AP BE ⊥AB BE ⊥AB AP ⊂ABP AB AP A =I 所以平面， 又平面， 所以， BE ⊥ABP BP ⊂ABP BE BP ⊥又，因此120EBC ∠= 30CBP ∠= （3）以为坐标原点，分别以所在的直线为轴， B ,,BE BP BA ,,x y z 建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得，(0,0,3),(2,0,0),(A E G C -故，，， (2,0,3)AE =-AG = (2,0,3)CG = 设是平面的一个法向量．111(,,)m x y z = AEG 由，得，取，则， 00m AE m AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11112300x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩12z=113,x y ==得平面的一个法向量．AEG (3,m =设是平面的一个法向量． 222(,,)n x y z = ACG 由，得，取，则， 00n AG n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩22220230x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩22z =-113,x y ==得平面的一个法向量．ACG (3,2)n =- 所以． 1cos ,||||2m n m n m n ⋅<>==⋅ 因此二面角的大小为．E AG C --60。
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上海高二数学练习册第二学期习题第11章坐标平面上的直线1. （本P20例4）已知直线l经过点P(-2,，且与直线l0：x+2=0的夹角为求直线l的方程.2. （本P24. 3）已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,1)，B(9,3)，C(2,5)，求∠BAC的角平分线所在直线的方程.3. （本P24例4）已知直线l：y=kx+1与两点A(-1,5)、B(4,-2)，若直线l与线段AB相交，求k的取值范围.4. （册P3. 4）已知原点O在直线l上的射影为H(-2,1)，求直线l的方程.5. （册P5. 7）已知直线l的倾斜角为α，sinα=的一般式方程.6. （册P6. 1）直线x-ay+2=0（a（A）arctanπ，33，且这条直线经过点P(3,5)，求直线l51111（B）-arctan（C）π-arctan（D）π+arctan π,0时，求经过P(0,0)、Q(cosθ,sinθ)两点的直线的斜率和倾27. （册P6. 2）当θ∈-斜角.8. （册P6. 4）已知直线l经过点A(3,4)，它的倾斜角是直线2x-y+1=0的倾斜角的2倍，求直线l的方程.9. （册P12. 7）已知直线l过点P(0,1)，且被平行直线l1：3x+4y-8=0与l2：3x+4y+2=0所截得的线段的长为，求直线l的方程.10. （册P13. 4）已知P1、P2到直线l的1(1,0)、P2(7,-8)两点分别在直线l的两侧，且P距离均为4，求直线l的方程.11. （册P15. 8）已知△ABC的AB、AC边上的高所在直线的方程分别为2x-3y+1=0和x+y=0，点A的坐标为(1,2)，求BC边所在直线的方程.12. （册P16. 1）已知直线l：f(x,y)=0. 如果直线l外一点P的坐标为(x0,y0)，那么直线f(x,y)-f(x0,y0)=0（）（A）过点P且与直线l斜交（B）过点P且与直线l重合（C）过点P且与直线l平行（D）过点P且与直线l垂直13. （册P16. 2（1））如果直线xcosθ+y-2=0（θ∈R）的倾斜角为α，那么α的取值范围是______________14. （册P16. 2（2））若直线l1：a1x+b1y+2=0（实数a1、b1不同时为0）与直线l2：a2x+b2y+2=0（实数a2、b2不同时为0）的交点为(1,2)，则经过P(a1,b1)、Q(a2,b2)两点的直线的方程为________________15. （册P17. 3）如果直线l经过点(3,4)，且点(-3,2)到直线l的距离，求这条直线的方程.16. （册P17 5）过点P(2,1)作直线l，分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点. 当△AOB的面积最小时，求直线l的方程.17. （册P17. 6）已知直线l经过点P(1,2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为S.（1）当S=3时，满足条件的直线有几条？（2）当S=4时，满足条件的直线有几条？（3）当S=5时，满足条件的直线有几条？第12章圆锥曲线a,b)=0”18. （本P33. 3）若点P的坐标为(a,b)，曲线C的方程为F(x,y)=0，则“F(是“点P在曲线C上”的____________条件.19. （本P34例5）已知定点A(4,0)和曲线x+y=1上的动点B，求线段AB的中点P的轨迹方程.20. （本P38例3）已知M(x0,y0)为圆C：x+y=r上一点，求过点M的圆C的切线22222l的方程.21. （本P40例5）求过点M(2,且与圆x+y=4相切的直线的方程.22. （本P41. 2）求过点A(3,2)、B(1,1)、C(2,-1)三点的圆的方程. 2223. （本P42例7）过圆O：x2+y2=16外一点M(2,-6)作直线交圆O于A、B两点，求弦AB的中点C的轨迹.24. （本P45例2）已知定点F1(-4,0)、F2(4,0)和动点M(x,y)，求满足|MF1|+|MF2|=2a（a>0）的动点M的轨迹及其方程.x2y2+=1上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，25. （本P49. 3）若点P是椭圆95求PM的中点的轨迹方程.x2y2+=1的焦点为F1、F2，26. （本P50例4）已知椭圆椭圆上的动点P的坐标为(xP,yP)，94且∠F1PF2为钝角，求xP的取值范围.x2+y2=1中斜率为1的平行弦的中点的轨迹. 27. （本P50例5）求椭圆428. （本P55例1）已知点M(x,y)到点F1(-3,0)的距离与它到点F2(3,0)的距离的差为2a（a≥0），求点M的轨迹方程.x2y2-=1的两个焦点为F1、F2，29. （本P56例3）双曲线点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，916求点P到x轴的距离.y230. （本P61例3）已知点F1、F2为双曲线x-2=1（b>0）的焦点，过F2作垂直于xb2轴的直线，交双曲线于点P，且∠PF1F2=30，求双曲线的渐近线方程.31. （本P64例1）点P与点F(2,0)的距离比它到直线x+4=0的距离小4，求点P的轨迹方程.32. （本P65. 1）在平面直角坐标系内，到点A(1,1)和直线l：x+2y-3=0距离相等的点的轨迹是（）（A）直线（B）抛物线（C）椭圆（D）双曲线33. （本P67例2）求过定点M(0,1)且与抛物线y=2x只有一个公共点的直线的方程.34. （本P68. 8）已知点A的坐标为(3,2)，F为抛物线y=2x的焦点，若点P在抛物线上移动，求|PA|+|PF|的最小值，并求此时点P的坐标.35. （册P18. 4）定长为4的线段AB的两端点分别在x轴、y 轴上滑动，求AB中点的轨迹方程.36. （册P22. 5（2））直线Ax+By=0与圆x2+y2+Ax+By=0的位置关系是_______37. （册P22. 6）已知a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆，求实数a 的值. 2x2y2+=1上一个动点，F1是椭圆的左焦点，那么38. （册P29. 1（2））如果点P是椭圆3620|PF1|的值是________，|PF1|的最小值是________.x2y2+=1恒有公共点，那么实数m的取39. （册P29. 1（3））如果直线y=kx+1与椭圆5m值范围是_____________.40. （册P29. 2（2））在△ABC中，已知A(-1,0)、C(1,0). 若a>b>c，且满足2sinB=sinA+sinC，则顶点B的轨迹方程是_______________.x2y2-=1表示焦点在y轴的双曲线，求实数m的取值范围. 41. （册P31. 2）设方程m+2m+1x2y2-=1的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过点F1，交42. （册P32. 2）已知双曲线6436双曲线的左支于A、B两点，且|AB|=m，求△ABF2的周长.43. （册P33. 4）已知双曲线的虚轴的长为6，一条渐近线的方程为3x-y=0，求此双曲线的标准方程.y2=1有共同渐近线，且过点M(2,2)的双曲线的标准方44. （册P33. 5）求与双曲线x-42程.45. （册P34. 2）已知定点A(3,0)和定圆B：(x+3)+y=16，动圆C与圆B外切，且过点A，求动圆的圆心C的轨迹方程. 22 第4 / 8页46. （册P35. 4）已知直线l：y=ax+1与双曲线C：3x2-y2=1相交于A、B两点.（1）求实数a的取值范围；（2）若A、B两点都在双曲线C的左支，求实数a的取值范围；（3）求当实数a为何值时，以线段AB为直径的圆经过坐标原点.47. （册P36. 3）求抛物线y=x的一组斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程.248. （册P38. 8）在抛物线x=21y上求一点M，使点M到直线y=4x-5的距离最短. 4249. （册P39. 2）已知过抛物线y=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，过原点OOM作，使OM⊥AB，垂足为M，求点M的轨迹方程.50. （册P39. 3）抛物线y=8x的动弦AB的长为16，求弦AB 的中点M到y轴的最短距离.51. （册P40. 1）下列四个命题中，正确的是（）（A）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y=x（B）两相交直线y=2x与y=的夹角平分线的方程为y=x （C）△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,1)、B(3,1)、C(1,3)，BC边上的中线方程为y=x（D）与两顶点A(-1,0)、B(1,0)的连线的夹角为90°的动点的轨迹方程为x+y=1 22P2两点，52. （册P42. 8）已知过点M(-2,0)的直线l与椭圆x+2y=2交于P1、线段P1P2的中点为P，设直线l的斜率为k1（k1≠0），直线OP的斜率为k2，求证：k1k2的值为定值. 22第13章复数53. （本P84例4）当n∈N时，计算i+(-i)所有可能的值.54. （本P86例6）已知复数z满足|z|=1，求证：z+【思考】“z+nn1是实数. z1是实数”是“|z|=1”的______________条件. z第5 / 8页55. （本P87. 2）已知复数z=a+bi（a、b∈R，a≠0，b≠0），求证：z+z是纯虚数. z-z(1+3i)3(3-i)56. （本P87. 4）已知复数z=，求z的模. 2(1-2i)57. （本P87例1）求7-24i的平方根.158. （本P89. 4）计算-+ 22的值.59. （本P91. 3）把下列各式分解成一次因式的积：244（1）x+4；（2）a-b. 1060. （本P91. 4）在复数集中分解因式：3x-6x+4.61. （本P92例3）已知方程x-px+1=0（p∈R）的两根为x1、x2，若|x1-x2|=1，求实数p的值.62. （册P51. 2）在复平面上，平行于y轴的非零向量所对应的复数一定是___________63. （册P54. 4）已知复数z=cosθ+isinθ（θ∈R），求|z+2i|的取值范围.64. （册P58. 1）非零实数a的立方根是______________65. （册P58. 2）已知复数z1i，|z2|=1，z1z2是虚部为负数的纯虚数，求复数z2.66. （册P60. 8）已知关于x的方程x+kx+k-2k=0（k∈R）有一个模为1的虚根，求k的值.67. （册P61. 4）已知关于x的方程x-px+1=0（p∈R）的两根为x1和x2，且222222|x1|+|x2|=3，求p的值.68. （册P61. 5）已知关于x的方程x+(4+i)x+3+pi=0（p∈R）有实数根，求p的值，并解这个方程.69. （册P64. 10）已知复数z分别满足下列条件，写出它在复平面上对应的点Z的集合分别是什么图形.（1）|z-1+i|=|z-i-3|；（2）zz+z+z=0.70. （册P64. 11）已知集合A={z|z=2a-1+ai，a∈R}. 当实数a 变化时，说明集合22A中元素在复平面上所对应的点的轨迹表示何种曲线.k+3是实数，则纯虚数k=__________ 2+7i172. （册P66. 4）已知复数z满足z+∈R，且|z-2|=2，求z. z71. （册P65. 2）若高二第二学期总复习题73. （册P67. 2（1））方程为2x2-5xy+2y2=1的曲线（）（A）关于x轴对称（B）关于y轴对称（C）关于直线y=x对称，也关于直线y=-x对称（D）关于原点对称，但不关于直线y=x对称74. （册P67. 2（4））如果实数x、y满足(x-2)+y=3，那么22y 的值是________ xx2+y2=1和椭圆外一点(0,2)，过这点引直线与椭圆交于A、B75. （册P68. 7）已知椭圆2两点，求弦AB的中点P的轨迹方程.76. （册P70. 13）已知虚数z1、z2满足z1=z2.（1）设z1、z2是一个实系数一元二次方程的两个根，求z1、z2；（2）设z1=1+mi，m>0，|z1|≤2ω=z2+3，求|ω|的取值范围.2277. （册P70. 2（1））若θ∈R，则方程x+ysinθ=1所表示的曲线一定不是（）（A）直线（B）圆（C）抛物线（B）双曲线78. （册P70. 2（2））若|z1|=|z2|=1，|z1+z2|=|z1-z2|=________79. （册P71. 2（3））若复数z满足|z-2i|-|z-1|=5，则它在复平面中对应的点的轨迹是（）（A）直线（B）圆（C）双曲线（D）椭圆80. （册P71. 3）过点M(1,2)作直线交y轴于点B，过点N(-1,-1)作直线与直线MB垂直，且交x轴于点A. 求线段AB的中点的轨迹方程.81. （册P71. 6）已知抛物线y=2x上有A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，且A、B关于直线222y=x+m对称，x1x2=-1，求实数m的值. 2282. （册P72. 7）设关于x的实系数一元二次方程x-ax+b=0的两个根一次为α、β，2关于x的一元二次方程x+bx+a=0的两个根依次为α-1，β-1，求α、β的值.。
上海市高二上学期期中数学试题(解析版)
一、填空题1．两条异面直线所成角的取值范围是________【答案】 (0,2π【分析】由异面直线所成角的定义求解．【详解】解：由异面直线所成角的定义可知：过空间一点，分别作相应直线的平行线，两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成的角，故两条异面直线所成的角的取值范围是 0,2π⎛⎤ ⎝⎦故答案为： 0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，同时还考查了转化思想，属于基础题．2．设等差数列的前项和为整数，若，则公差________.{}n a n ,n S n 132,12a S ==d =【答案】2【分析】根据等差数列的前项和公式求解即可.n 【详解】因为是等差数列,{}n a 所以， 31132333122S a d a d ⨯=+=+=又因为，所以.12a =2d =故答案为:.23．已知直线、及平面，若且，则与平面的位置关系为________.a b β//a b //a βb β【答案】或//b βb β⊂【分析】根据已知条件结合线面位置关系判断可得出结论.【详解】因为且，直线与平面的位置关系为或.//a b //a βb β//b βb β⊂故答案为：或.//b βb β⊂4．若数列是等比数列，其前项和，为正整数，则实数的值为____.{}n a n 2n n S a =-n a 【答案】1【分析】利用与的关系结合等比数列的前项和公式求解.n a n S n 【详解】当时，，当时，，1n =12a a =-2n ≥112n n S a --=-所以，()()111122222n n n n n n n n a S S a a ----=-==-=---又是等比数列，所以是以为首项，为公比的等比数列，{}n a {}n a 12此数列的前项和，则的值为. n 122112n n n S -==--a 1故答案为：1.5．若数列为等比数列，且________.（其中为正{}n a 12,a q ==13521n a a a a -+++++= n 整数）【答案】4【分析】求出新等比数列的公比代入求和公式即可.【详解】因为数列为等比数列，. {}n a 12,a q =212q =则.1352124112n a a a a -+++++==- 故答案为：4.6．若一个圆锥的侧面是半径为6的半圆围成，则这个圆锥的表面积为________.【答案】27π【分析】求出底面半径，代入公式即可.【详解】因为圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，6所以圆锥的母线长为，6l =设圆锥的底面半径为，则，所以，r 26r ππ=⨯3r =所以圆锥的表面积为.227S r rl πππ=+=故答案为：.27π7．如图所示，在地面上两点测得建筑物的仰角为，，若，则,A B PO 45 30 90,60m OAB AB ∠== 该建筑物的高度为________.PO m【答案】【分析】先将未知量转化到同一个三角形中，再利用勾股定理即可求解.【详解】因为在地面上两点测得建筑物的仰角为，,A B OP 45 30所以，即，45,30PAO PAO ∠=∠= ,OP OA OB ==又因为，所以，90,60m OAB AB ∠== 222OA AB OB +=所以，所以2236003OP OP +=OP =即该建筑物的高度为..OP m 故答案为：8．有一个细胞团开始时有4个细胞，每次分裂前死去1个，再由剩余的每个细胞分裂成2个，则（为正整数）次分裂之后共有细胞的个数是_______.n n 【答案】122n ++【分析】设次分类后共有个细胞,则根据题意可得递推公式,n n a ()121n n a a +=-通过构造等比数列即可求得通项公式.【详解】由题意可设次分类后共有个细胞，n n a 则第次分裂后共有细胞个数为，1n +()121n n a a +=-即,且，122n n a a +=-()12416a =-=对数列等式两端同时减去2,可得，()1222n n a a +-=-即,， 1222n n a a +-=-12624a -=-=所以数列是以为首项,为公比的等比数列，{}2n a -124a -=2所以,化简可得，1242n n a --=⨯122n n a +=+即次分裂之后共有个细胞.n 122n ++故答案为:122n ++9．梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形，则原梯形的面积为OA B C '''_______.【答案】4【分析】根据原图形面积是直观图面积的.【详解】设直观图的上下底为，高为，则直观图的面积为， ,a b h 1()2a bh +则原梯形的上下底为，高为， ,a b 2sin 45h h '=⨯=所以原梯形的面积等于, 11()()22a b h a b h '+=+即原图形面积是梯形的面积OA B C '''因为梯形，所以原梯形的面积是.OA B C '''4故答案为:4.10．已知函数，数列满足，为正整数，若，则实数的2log ,()1,x x a f x x x a >⎧=⎨-+≤⎩{}n a ()n a f n =n 3n a a ≥a 取值范围是_______.【答案】[3,4)【分析】根据分段函数的单调性与数列的最小值联系即可求解.【详解】当时，函数严格单调递减，x a ≤()f x 当时，函数严格单调递增，x a >()f x 所以当时，取到最小值，x a =()f x 因为数列满足，{}n a *(),n a f n n =∈N 若，则是数列的最小项，3n a a ≥3a 所以，故实数的取值范围是.34a ≤<a [3,4)故答案为: .[3,4)11．中，边上的中垂线分别交于，若，则_______. ABC BC ,BC AC ,D M6,2AM BC AB ⋅==AC =【答案】4【分析】利用平面向量的基本定理和余弦定理即可求解.【详解】因为，所以，DM BC ⊥0DM BC ⋅= 且， 1,62AM AB BC DM AM BC =++⋅= 所以， 221116222AB BC DM BC AB BC BC BA BC BC ⎛⎫++⋅=⋅+=-⋅+= ⎪⎝⎭所以，且，2212BA BC BC ⋅=- 2AB =在中，由余弦定理得即ABC 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅， ()22222241216AC AB BC BA BC BC BC =+-⋅=+--=所以.4AC = 故答案为:4.12．定义，设函数，数列是等比数列，公比，且,0,0ab ab a b a ab b≥⎧⎪⊗=⎨<⎪⎩2()log f x x x =⊗{}n a 0q >，则首项_______. ()()()()()5011239991000131,a f a f a f a f a f a a =+++++=- 1a =【答案】##0.125 18【分析】根据题设对函数的定义结合等比数列运算求解. ()f x 【详解】因为对任意实数，定义， ,a b ,0,0ab ab a b a ab b ≥⎧⎪⊗=⎨<⎪⎩函数， 222log ,1()log log ,01x x x f x x x x x x≥⎧⎪=⊗=⎨<<⎪⎩数列是公比大于的等比数列，且.{}n a 05011a =①当时，因为，1q >5011a =所以，[)1235005035025010001,,,,(0,1),,,,,1,a a a a a a a a ∈∈+∞ 由等比数列通项公得，所以， 50050111a a q==51001a q =整个数列为， 2500499498499111,,,,1,,,,q q q q q q因为， ()()()()()123999100013f a f a f a f a f a a +++++=- 所以代入得 50010001000350023221222121log log log log 30log a a a a a a a a a a a +++++-=+ 即 500499498222225004994981111log log log log log q q q q q q q q q q+++++2249949950022log log 3(i)q q q q q +++=- 由对数运算499499499498498498222249949811log log 0,log log 0(ii)q q q q q q q q +=+=⋯所以式化简得，即，所以. ()i 50050025001log 3q q q =-500328q ==1500118a q ==②当时，，1q =12310001a a a a ==== 此时.()()()()()12399910000f a f a f a f a f a ====== ，所以不成立.()()()()()123499100003f a f a f a f a f a +++++=≠-③当时，，所以， 01q <<50050111a a q==51001a q =整个数列为， 2500499498499111,,,,1,,,,q q q q q q所以，[)()1235015025031000,,,,1,,,,,0,1a a a a a a a ∞∈+∈ 因为， ()()()()()991231000913f a f a f a f a f a a +++++=- 代入得 25021212223235002500502log log log log log 0a a a a a a a a a a ++++++， 25032100050310001log log 3a a a a a +++=- 即 49822225005004994994982log 1111111log log log log q q q q q q q q q q+++++ 2499500222499log log 3(iii)q q q q q+++=- 由对数运算，499499499498498498222249949811log log 0,log log 0q q q q q q q q +=+=⋯所以式化简得. (iii)500250050011log 3q q q=-因为当时，，所以等式左边大于，等式右边小于，方程无解. 1q <150011a q =>00综上所述，. 118a =故答案为：. 18二、单选题13．“数列为等差数列”是“数列为等比数列”的（ ） {}n a {}2n a A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【分析】根据等差数列和等比数列的定义,结合充要条件定义判断即可.【详解】充分条件:若“数列为等差数列” 成立，则有（常数），{}n a 1n n a a d +-=所以(常数)，所以数列为等比数列. 112222n n n n a a a d a ++-=={}2n a 必要条件:若“数列为等比数列”，所以为常数， {}2n a 11222n n n n a a a a ++-=所以为常数，所以数列为等差数列，1n n a a +-{}n a所以数列为等差数列是数列为等比数列的充要条件. {}n a {}2n a 故选:.C 14．在梯形中，，，.将梯形绕所在直ABCD 90ABC ∠=︒//AD BC 222BC AD AB ===ABCD AD 线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为A ．B ．C ．D ．23π43π53π2π【答案】C【详解】由题意可知旋转后的几何体如图:直角梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为 2215121133V V V πππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=圆柱圆锥故选C.【解析】1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.15．实数a ，b 满足a •b ＞0且a ≠b ，由a 、b 、按一定顺序构成的数列（ ） 2a b +A ．可能是等差数列，也可能是等比数列B ．可能是等差数列，但不可能是等比数列C ．不可能是等差数列，但可能是等比数列D ．不可能是等差数列，也不可能是等比数列【答案】B【分析】由实数a ，b 满足a•b ＞0且a≠b ，分a ，b ＞0和a ，b ＜0，两种情况分析根据等差数列的定义和等比数列的定义，讨论a 、b 、2a b +件的a ，b 的值，最后综合讨论结果，可得答案．【详解】（1）若a ＞b ＞0则有a ＞ b 2a b +若能构成等差数列，则a+b= 2a b +2a b +解得a=b （舍），即此时无法构成等差数列若能构成等比数列，则a•b=， 2a b +2a b +=解得a=b （舍），即此时无法构成等比数列（2）若b ＜a ＜0，2a b a b +>>>，得2a b b a +=+于是b ＜3a4ab=9a 2-6ab+b 2得b=9a ，或b=a （舍）当b=9a 时这四个数为-3a ，a ，5a ，9a ，成等差数列．于是b=9a ＜0，满足题意＜0，a•＞0，不可能相等，故仍无法构成等比数列 2a b +故选B【点睛】本题考查的知识点是等差数列的确定和等比数列的确定，熟练掌握等差数列和等比数列的定义和性质是解答的关键．16．如图所示，在正方体中，分别是的中点，有下列结论：①1111ABCD A B C D -,E F 11,AB BC ；②平面；③与所成角为；④平面，其中正确1EF BB ⊥EF ⊥11BCC B EF 1C D 45 //EF 1111D C B A 的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B【分析】利用线面垂直可得线线垂直即可判断①；利用线面垂直可判断②；利用异面直线的夹角可判断③；利用线面平行的判定定理可判断④.【详解】连接，则交于，又因为为中点，1A B 1A B 1AB E F 1BC得，由平面，平面,11//EF A C 1B B ⊥1111D C B A 11AC ⊂1111D C B A 得，得，故①正确；111B B A C ⊥1B B EF ⊥由平面，得平面，1111//,EF A C A C ⊥11BDD B EF ⊥11BDD B 而平面与平面不平行，所以平面错误，11BDD B 11BCC B EF ⊥11BCC B 故②错误；因为与所成角就是，连接,EF 1C D 11A C D ∠1A D 则为等边三角形，11AC D 所以，故③错误；1160AC D ∠= 由分别是的中点，得，,E F 11,AB BC 11//EF A C 平面，平面，EF ⊄1111D C B A 11AC ⊂1111D C B A 得平面，//EF 1111D C B A 故④正确；故选:B.三、解答题17．在中，.ABC 1,3AB AC AB BC ⋅=⋅=- (1)求证：；tan 3tan B A =(2)求的长；AB【答案】(1)证明见解析(2)2AB =【分析】(1)利用向量的数量积公式和正弦定理结合求解；(2)利用向量的减法运算求解即可.【详解】（1）因为，所以，1,3AB AC AB BC ⋅=⋅=- 3AB AC BA BC ⋅=⋅ 所以，即，cos 3cos cb A ca B =cos 3cos b A a B =由正弦定理得，， sin sin b a B A=sin cos 3sin cos B A A B =又因为，所以，0πA B <+<cos 0,cos 0>>A B 在等式两边同时除以，得；cos cos A B tan 3tan B A =（2）由题意得，4AB AC AB BC ⋅-⋅= ()4AB AC BC ⋅-= 所以，即.4AB AB ⋅= 2AB =18．《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图所示，四面体 PABC 中，平面是棱的中点.PA ⊥,,ABC AC BC D =AB(1)证明：，并判断四面体是否为鳖臑？若是，写出其每个面的直角；若不是，说CD PB ⊥PACD 明理由；(2)若四面体是鳖臑，且，求直线与平面所成角的大小.PABC 2AP AB ==AP PCD 【答案】(1)证明见解析，四面体是鳖臑，直角分别为，和PACD PAC ∠,PAB ADC ∠∠PDC ∠(2)【分析】(1)利用线面垂直的判定定理和线面垂直的性质即可说明；(2)利用等体积法求出椎体的高，进而利用三角函数值求线面夹角的正弦值.【详解】（1）因为平面平面，所以，PA ⊥,ABC CD ⊂ABC PA CD ⊥因为是棱的中点，所以，,AC BC D =AB CD AB ⊥又平面，所以平面，,,PA AB A PA AB ⋂=⊂PAB CD ⊥PAB 因为平面，所以，所以四面体是鳖臑，PB ⊂PAB CD PB ⊥PACD 直角分别为，和.PAC ∠,PAB ADC ∠∠PDC ∠（2）设到平面的距离为，A PCD h 因为平面，所以 PA ⊥ABC 1133P ACD ACD PCD V S PA S h -=⋅=⋅ 因为四面体是鳖臑，，是棱的中点，，PABC AC BC =D AB 2AP AB ==所以，所以，，1AC BC AD ==PD =CD AB ⊥因为，所以平面，平面，则，AD PA A ⋂=CD ⊥PAD PD ⊂PAD CD PD ⊥即，所以 111111213232h ⨯⨯⨯⨯=⋅⨯h =设直线与平面所成角为， AP PCD 0,2πθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭所以， sin h AP θ===所以直线与平面所成角的大小为AP PCD 19．西部某地区有沙地亩，从年开始每年在沙地植树造林，第一年年底共植树亩，22002015100以后每一年年底比上一年年底多植树亩.50(1)假设所植树苗全部成活，则到哪一年年底植树后可将沙地全部绿化？(2)若每亩所植树苗木材量为立方米，每年所值树木，从它种下的第二年起，木材量自然增长率为2，求沙地全部绿化后的那年年底该山林的木材总量 (精确到整数).20%【答案】(1)年2022(2)立方米9060【分析】（1）利用等差数列求和公式即可求解；（2）利用等比数列求和公式即可求解【详解】（1）设植树年年底后可将沙地全部绿化，记第年年底植树量为，n n n a 由题意得数列是首项为，公差的等差数列，{}n a 1100a =50d =所以，所以， (1)1005022002n n n -+⨯=23880n n +-=所以，因为，所以，(11)(8)0n n +-=*n ∈N 8n =所以到年年底植树后可以将荒山全部绿化.2022（2）设年初木材存量为，到年底木材存量增加为， 2015312a m 20228312 1.2a m ⨯年初木材存量为，到年底木材存量增加为， 2016322a m 20227322 1.2a m ⨯，年初木材存量为，到年底木材存量增加为 .⋯2022382a m 2022382 1.2a m ⨯则到年年底木材总量为202287612382 1.22 1.22 1.22 1.2S a a a a =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯2678900 1.2800 1.2400 1.2300 1.2200 1.2S =⨯+⨯+⋯+⨯+⨯+⨯237981.2900 1.2800 1.2400 1.2200 1.2300 1.2S ⨯=⨯+⨯+⋯+⨯+⨯+⨯两式作差得()92380.2200 1.21001.2 1.2 1.2900 1.2S =⨯++++-⨯ ，所以，8840 1.21800840 4.318001812=⨯-≈⨯-=39060S m =答：到全部绿化后的那一年年底，该山林的木材总量立方米. 906020．已知四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形，，P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD 2120°∠=BAD .1AP =(1)求证：平面；BD ⊥PAC (2)求到平面的距离；A PBD (3)设与交于点，为中点，求二面角的大小.AC BD O M OC O PM D --【答案】(1)证明见解析(3)【分析】(1)根据线面垂直判定定理证明;(2)应用等体积法计算可求;(3)应用线面垂直的判定定理,结合二面角平面角定义,找到平面角计算即可.【详解】（1）因为四边形是菱形，所以，ABCD AC BD ⊥因为平面，在平面内，PA ⊥ABCD BD ABCD 所以，BD PA ⊥又因为，平面,平面.所以平面. PA AC A = PA ⊂PAC AC ⊂PAC BD ⊥PAC （2）设到平面的距离为，A PBD h 因为平面，所以 PA ⊥ABCD 11,33P ABD A PBD ABD PBD V V S PA S h --=⋅=⋅ 因为底面是边长为的菱形，，. ABCD 2120BAD ∠= 1PA =所以，BD PB PD ===所以，解得11112213232h ⨯⨯⨯=⨯⨯h =（3）过作交于，连接，O OH PM ⊥PM H HD由(1)因为平面，平面,,,平面,平面,DO ⊥PAC PM ⊂PAC DO ⊥PM OH PM ⊥DO ⊂DOH OH ⊂DOH 所以平面,平面得， DO OHO = PM ⊥DOH DH ⊂DOH DH PM ⊥平面,平面,所以为的平面角， DH ⊂PMD OH ⊂PMO OHD ∠O PM D --因为底面是边长为的菱形，，ABCD 2120BAD ∠=1PA =所以，13,22OD OM AM ===sin OH PA OMH OM PM ∠==从而，OM AP OH PM ⋅====所以，又二面角为锐角， tan OD OHD OH ∠===O PM D --所以二面角的平面角大小为O PM D --21．已知数列的各项均为正数，且，对任意的正整数，都有.{}n a 11a =n 121n n a a +=+(1)求证：是等比数列，并求出的通项；{}1n a +{}n a (2)设，若数列中去掉的项后，余下的项组成数列，求()22log 11n n b a =+-{}n b {}n a {}n c ；12100c c c +++(3)在（2）中，设，数列的前项和为，是否存在正整数、且，使11n n n d b b +=⋅{}n d n n S m n 1m n <<得、、依次成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.1S m S n S m 【答案】(1)证明见解析，()21N n n a n *=-∈(2)11202(3)存在，2m =【分析】（1）由已知可得出，结合等比数列的定义可证得结论成立，确定数列()1121n n a a ++=+的首项和公比，可求得数列的通项公式，进而可得出数列的通项公式； {}1n a +{}1n a +{}n a （2）求出数列的通项公式，分析可得出，，进而可得出{}n b 647127b a ==71078a b a <<，结合分组求和法可求得结果； ()()1210012107127c c c b b b a a a +++=+++-+++ （3）利用裂项求和法可求得，根据等差数列的定义可得出，可得出，n S 12m n S S S =+152041m n m -=>-求出的取值范围，结合且可求得的值，并求出的值，即可得出结论.m N m *∈1m >m n 【详解】（1）解：因为，且，所以，且， 121n n a a +=+11a =()1121n n a a ++=+112a +=故数列为等比数列，且首项为，公比为， {}1n a +112a +=2所以，，故.11222n n n a -+=⨯=()21N n n a n *=-∈（2）解：，且 ，()22log 121121n n b n =+--=- 11b =其中（常数）， ()()1211212n n b b n n +-=+---=⎡⎤⎣⎦所以数列是以为首项、为公差的等差数列， {}n b 12，，，， 111b a == 64127b =106211b =107213b =由（1）得，，，因为，， 7127a =8255a =647127b a ==71078a b a <<所以()()1210012107127c c c b b b a a a +++=+++-+++ ()()()71272121071213107214222772212-⨯+⨯⎡⎤=-+++-=-+⎣⎦- .2810729=-+=11202（3）解：， ()()111112*********n n n n n n n d b b +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝=⋅⎭111111111121335212122121n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 其中，，， 113S =21m m S m =+21n n S n =+假设存在正整数、且，使得、、依次成等差数列， m n 1m n <<1S m S n S 则有，即，所以，解得， 12m n S S S =+2121321m n m n =+++152041m n m -=>-1542m <<又因为，，所以，此时， *N m ∈1m >2m =7n =所以存在满足题设条件的、，.m n 2m =。
2021-2022学年上海市嘉定区安亭中学高二(上)第二次段考数学试卷(12月份)(附详解)
2021-2022学年上海市嘉定区安亭中学高二（上）第二次段考数学试卷（12月份）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. 下列统计中的数字特征，不能反映样本离散程度的是( )A. 众数B. 极差C. 方差D. 标准差2. “直线α与平面M 没有公共点”是“直线α与平面M 平行”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知P 是△ABC 所在平面外一点，若P 到ABC 三边距离相等，则点P 在平面ABC 上的射影一定是△ABC 的( )A. 重心B. 外心C. 内心D. 垂心4. 记一次伯努利试验成功的概率为p(0<p <1)，独立地重复该伯努利试验，若事件“进行两次该伯努利试验，恰有一次成功”的概率大于“进行三次该伯努利试验，恰有两次成功”的概率，则p 的取值范围是( )A. (0,13)B. (0,23)C. (13,1)D. (23,1) 二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 某同学进行排球垫球练习，共练习了10组，每组不间断垫球计数的茎叶图如图所示，则该同学这10组练习不间断垫球次数的中位数是______．6. 一个球的半径为3，则该球的体积为______．7. 某校有学生960人，教职工120人，现用分层抽样的方式从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从教职工中抽取的人数为6，则n =______．8. 已知一张方桌有四个座位，A 已经坐在其中的一个座位上，如图所示，B ，C ，D 三人随机坐到其他三个位置上，则C 和D相邻的概率为______.(用最简分数表示)9. 已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为______．10. 某学生写字极其潦草，该生在高考数学答题纸上书写的某道填空题结果不容易被辨识，若该道填空题会被两位阅卷老师评阅，两位阅卷老师判该结果正确的概率均为0.4，且两位阅卷老师改卷互不影响．假设只要有任意一位老师判结果为错误，则该题得分为0，那么该生本题得分为0的概率为______．11. 如图，若三角形A′B′C′是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形ABC 的直观图．已知A′B′=4，∠C′AB′=45°，三角形A′B′C′的面积为2√2.则原平面图形ABC 中BC 的长度为______．12. 有一组数据x 1，x 2，…，x n ，其平均值为2，方差为3.则另一组数据2x 1−1，2x 2−1，…，2x n −1的方差为______．13. 《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池，其高为3，AA 1垂直于底面，底面扇环所对的圆心角为π2，弧AD ⏜长度为弧BC ⏜长度的2倍，且CD =2，则该曲池的体积为______．14. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，M 是BB 1中点，若A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCB ⃗⃗⃗⃗⃗ +υCC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ+υ=______．15. 假设你正在参加一个电视节目，舞台上有三扇口，其中一扇门的后面是汽车，另外两扇门的后面是山羊，如果你选中了后面有汽车的那扇门，就可以得到这辆汽车．于是你随机选择了一扇门，走到门前，但还未打开．这时，主持人打开了另外两扇门中的一扇，让你看到了那扇门的后面是一只山羊(主持人当然知道每扇门后面都是什么).现在，主持人给你一次重新选择的机会．假设你选择换另一扇还未打开做门，那么得到汽车的概率是______．16.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，点M、N分别为BB1、B1C1中点，由点A、M、N所确定的平面将该三棱柱分成体积不同的两部分，则较大部分的体积和原三棱柱的体积之比为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.如图为正四棱锥P−ABCD，PO⊥平面ABCD，BC=3，PO=2．(1)求正四棱锥P−ABCD的体积；(2)求正四棱锥P−ABCD的表面积．18.掷一颗均匀的骰子，设事件A：点数为奇数，事件B：点数不超过2．(1)求P(A∪B)；(2)再掷一次骰子，设事件C：两次点数相差4.请写出C的样本空间，并求P(C)．19. 如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =3，BC =2，AA 1=4．(1)求A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅C 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值；(2)求A 1到平面ABC 1的距离．20. 对某种电子元件进行寿命追踪调查，抽取若干个样本测试其寿命(单位：天)，画出频率分布直方图，如图所示．(1)求频率分布直方图中a 的值．(2)若某公司大批量购置了一批30000个该种电子元件，估计这批电子元件中，寿命超过400天的有多少个？(3)估计该种电子元件寿命的平均数．21.甲、乙两位同学在一起做猜拳(石头剪刀布)游戏，他们规定每次猜拳赢的一方得1分，输的一方得−1分，平局时两个人都各得0分．出现得3分者，则游戏结束，得3分者获胜．(1)求两次猜拳后，乙得2分的概率；(2)求在至多进行四次猜拳后，甲获胜的概率；(3)若进行五次猜拳后游戏结束，求此时乙得−3分的概率．答案和解析1.【答案】A【解析】解：对于A，一组数据中出现次数最多的数值，叫众数，众数是一组数据中占比例最多的那个数，它不能反映样本离散程度，故A错误，对于B，极差表示一组数据最大值与最小值的差，极差越大数据越分散，极差越小数据越集中，故极差能反映样本数据的离散程度，故B正确，对于C，方程反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，故方差能反映样本数据的离散程度，故C确，对于D，标准差是方差的算式平方根，标准差也能反映样本数据的离散程度，故D正确．故选：A．结合众数，极差，方差，标准差的定义，即可依次求解．本题主要考查众数，极差，方差，标准差的定义，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：根据直线与平面平行的定义：直线与平面没有公共点时，直线与平面平行所以“直线α与平面M没有公共点”是“直线α与平面M平行”的充要条件故选：C．根据直线与平面平行的定义，由于定义是充要条件得到选项．直线与平面的位置关系是利用直线与平面交点的个数来定义的，而定义是充要条件．3.【答案】C【解析】解：设三棱锥P−ABC的顶点P在底面的射影为O，∵点P到△ABC的三边距离相等，∴O到三边的距离相等，∴P点在平面ABC上的射影是△ABC的内心，故选：C．设三棱锥P−ABC的顶点P在底面的射影为O，则O到三边的距离相等，可得结论．本题考查空间直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力，属于中档题．4.【答案】B【解析】解：由题意，进行两次伯努利试验，恰有一次成功的概率为P =C 21p(1−p)，进行三次该伯努利试验，恰有两次成功的概率为P′=C 32p 2(1−p)，因为P′>P ，所以{C 21p(1−p)>C 32p 2(1−p)0<p <1，解得0<p <23， 则p 的取值范围是(0,23)．故选：B ．分别求出两个事件的概率，根据题意得到不等式组，求解即可．本题考查了概率问题的求解，不等式组的求解，解题的关键是分别求出两个事件的概率，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．5.【答案】134【解析】解：由茎叶图可得，该同学这10组练习不间断垫球次数分别为122，127，130，133，133，135，141，143，145，149，故其中位数为133+1352=134．故答案为：134．按照从小到大的顺序列出这一组数据，即可求出中位数．本题主要考查中位数的求解，属于基础题．6.【答案】36π【解析】解：根据题意，已知球的半径为3，则其体积V =4πr 33=36π，故答案为：36π．根据题意，根据球体积公式V =4πr 33，将r =3代入计算即可得答案．本题考查球的体积计算，关键要牢记球体积的计算公式．7.【答案】54【解析】解：由题意可得，n960+120=6120，解得n=54．故答案为：54．根据已知条件，结合分层抽样的规则，得到方程，即可求解．本题主要考查分层抽样的规则，属于基础题．8.【答案】23【解析】解：由题意，B，C，D三人随机坐到其他三个位置上，共有A33=6种等可能情况，要使C，D不相邻，则B必须坐在A的对面，此时C与D的坐法共有2种情况，故C与D相邻的概率为P=6−26=23．故答案为：23．求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可．本题考查了古典概型的概率问题，解题的关键是求出总的基本事件数以及满足条件的基本事件数，属于基础题．9.【答案】√2π【解析】解：∵圆锥的底面半径为1，高为1，∴母线长l为：√12+12=√2，∴圆锥的侧面积为：πrl=π×1×√2=√2π，故答案为：√2π.首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．题考查了圆锥的侧面积的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．10.【答案】0.84【解析】解：由题意可得，该生本题得分为0的概率P=0.4×0.6×2+0.6×0.6=0.84．故答案为：0.84．由题意，结合相互独立事件的概率公式即可求解．本题主要考查了相互独立事件的乘法公式的应用，属于基础题．11.【答案】4√2【解析】解：因为A′B′=4，∠C′AB′=45°，且三角形A′B′C′的面积为2√2，A′B′⋅A′C′⋅sin∠B′A′C′=2√2，则S△A′B′C′=12所以A′C′=2，则△A′B′C′的原平面图形如图所示，所以AC=2A′C′=4，AB=4且AC⊥AB，则BC=√AC2+AB2=4√2．故答案为：4√2．理由三角形面积公式求出AC，再作出原平面图形，再利用勾股定理求解计算即可．本题主要考查了平面图形的直观图的画法及应用，其中熟记斜二测画法的规则是解答的关键，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．12.【答案】12【解析】解：∵数据x1，x2，…，x n方差为3，∴数据2x1−1，2x2−1，…，2x n−1的方差为22×3=12．故答案为：12．根据已知条件，结合方差线性公式D(ax+b)=a2D(x)，即可求解．本题主要考查方差的线性公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．13.【答案】9π【解析】解：不妨设AD 所在圆的半径为R ，弧BC 所在圆的半径为r ，由弧AD⏜长度为弧BC ⏜长度的2倍，可得R =2r ，CD =R −r =r =2， 故该曲池的体积为V =π4×(R 2−r 2)×3=π4×(16−4)×3=9π．故答案为：9π．不妨设AD 所在圆的半径为R ，弧BC 所在圆的半径为r ，由已知求解R ，r 的值，再由V =π4×(R 2−r 2)×3求解．本题考查旋转体体积的求法，考查运算求解能力，正确理解题意是关键，是基础题．14.【答案】−12【解析】解：如图，∵M 是BB 1中点，∴A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，又A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCB ⃗⃗⃗⃗⃗ +υCC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λ=−1，μ=1，v =−12，则λ+μ+υ=−12．故答案为：−12．由题意画出图形，把A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，结合已知求得λ、μ、v 的值，则答案可求．本题考查空间向量的加减与数乘运算，是基础题．15.【答案】23【解析】解：令选手第一次选中的为1号门，打开的为2号门，另外一个为3号门， 由题意，车在每扇门后面的概率都是13，即汽车在1号门的概率为13，汽车在2号门或3号门的概率为23， 因为汽车不在2号门，所以在3号门的概率为23，即打开3号门点到汽车的概率为23． 故答案为：23．令选手第一次选中的为1号门，打开的为2号门，另外一个为3号门，由题意，确定车在每扇门后面的概率都是13，由此分析判断即可．本题考查了概率的求解，解题的关键是正确理解题意，属于中档题．16.【答案】2336【解析】解：延长MN 与CC 1的交点为P ，与CB 的延长线交于点Q ，连接AP 交A 1C 1于点D ，连接DN ，得到截面DNMA ，由题意可得，A 1D =2DC 1，因为三棱柱ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱， 不妨设AB ⊥BC ，且AB =BC =AA 1=2， 因为QB =1，MB =1，NC =1，PC 1=1， 所以棱柱的体积V =12×2×2×2=4， 则下部分体积V 下=V P−AQC −V P−DNC 1−V M−AQB =13×12×3×2×3−13×12×1×2−13×12×1×23×1=239，上部分体积V 上=V −V 下=4−239=139，故较小部分与较大部分的体积之比为V 上V 下=139239=1323，所以较大部分的体积和原三棱柱的体积之比为2323+13=2336． 故答案为：2336．延长MN 与CC 1的交点为P ，与CB 的延长线交于点Q ，连接AP 交A 1C 1于点D ，连接DN ，得到截面DNMA ，由题意得到A 1D =2DC 1，由此求出较小部分与较大部分的体积之比，从而得到答案．本题考查了空间几何体体积的求解，柱体体积公式以及锥体体积公式的应用，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)由题意可得，V P−ABCD=13S ABCD⋅OP=13×3×3×2=6；(2)取BC的中点E，链接OE，PE，则PE=√OE2+OP2=√94+4=52，故正四棱锥P−ABCD的表面积为S=4S△PBC+S ABCD=4×BC⋅PE2+AB⋅BC=4×3×5 22+3×3=24．【解析】(1)由题意结合锥体体积公式，求解即可；(2)由题意结合锥体的表面积公式，求解即可．本题考查了正棱锥结构特征的理解与应用，锥体体积的求解以及表面积的求解，解题的关键是掌握锥体的体积公式和表面积公式，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)由题意掷一颗均匀的骰子出现的点数有6种结果，事件A包含的结果有1点，3点，5点，事件B包含的结果有1点，2点，故P(A∪B)=46=23；(2)两次抛掷的点数记为(i,j)，则基本事件有6×6=36种，事件C：两次点数相差4包含的结果有(1,5)，(5,1)，(2,6)，(6,2)共4种，故P(C)=436=19．【解析】(1)由题意掷一颗均匀的骰子出现的点数有6种结果，然后求出事件A 包含的结果，结合古典概率公式可求；(2)两次抛掷的点数记为(i,j)，则基本事件有6×6=36种，然后找出事件C ：两次点数相差4包含的结果，结合古典概率公式可求．本题主要考查了古典概率的计算公式在求解概率中的应用，属于基础题．19.【答案】解：(1)根据长方体的棱长，建立空间直角坐标系：由于AB =3，BC =2，AA 1=4， 如图所示：则：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,3,0)，C(0,3,0)，A 1(2,0,4)，B 1(2,3,4)，C 1(0,3,4)， 所以A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,−4)，C 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,−4)， 故A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅C 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16； (2)由于A 1B 1//平面ABC 1，故A 1到平面ABC 1的距离，即点B 1到平面ABC 1的距离， 故点B 1作B 1H ⊥BC 1， 故HB 1即为所求，利用BC 1=√22+42=2√5，B 1H ⋅BC 1=BB 1⋅B 1C 1， 故2×4=2√5⋅B 1H ， 解得B 1H =4√55．【解析】(1)首先建立空间直角坐标系，进一步求出向量的数量积； (2)利用点到面的距离公式和勾股定理和三角形的面积公式求出结果本题考查的知识要点：空间直角坐标系，向量的数量积，点到面的距离公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由频率分布直方图的性质，可得各个区间的频率和为1，即100×(1×10−3+2.5×10−3+a +1×10−3)=1，解得a =5.5×10−3． (2)寿命超过400天的频率(5.5×10−3+1×10−3)×100=0.65， ∵该批零件总个数为30000，∴估计这批电子元件中，寿命超过400天的有0.65×30000=19500个．(3)这种电子元件寿命的平均数为(250×1×10−3+350×2.5×10−3+450×5.5×10−3+550×1×10−3)×100=415， 故该种电子元件寿命的平均数为415天．【解析】(1)由频率分布直方图的性质，可得各个区间的频率和为1，即可求a 的值． (2)先求出寿命超过400天的频率，再结合频率与频数的关系，即可求解． (3)根据已知条件，结合平均数公式，即可求解．本题主要考查频率分布直方图的性质，以及平均数的求解，属于基础题．21.【答案】解：(1)由题意每局比赛赢，输，平局的概率都为13，两次猜拳后，乙得2分，即乙赢了两局，概率P =(13)2=19； (2)由题意甲连赢3局或甲在前3局赢两局平一局，第4局输了，则至多进行四次猜拳后，甲获胜的概率P =(13)3+C 32×(13)2×13×13=227； (3)五次猜拳游戏结束且乙得−3分有两种情况：①两次平局，甲赢3局且平局出现在前4局；②没有平局，甲输1局赢4局，且输的一局在前3局，故进行五次猜拳后游戏结束，此时乙得−3分的概率P =C 42×(13)2×(13)2+C 31×(13)2×13×(13)2=781．【解析】(1)由题意每局比赛赢，输，平局的概率都为13，根据相互独立事件的概率公式可求；(2)由题意甲连赢3局或甲在前3局赢两局平一局，第4局输了，根据相互独立事件的概率公式可求；(3)五次猜拳游戏结束且乙得−3分有两种情况：①两次平局，甲赢3局且平局出现在前4局；②没有平局，甲输1局赢4局，且输的一局在前3局，根据相互独立事件的概率公式可求．本题主要考查了相互独立事件的概率的乘法公式的应用，解题的关键是分析出各情况所对应的基本事件，属于中档题．。
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金山区亭林中学2011学年第一学期阶段性测试(二)
高二数学试卷
2011年11月
考生注意：
1、答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚.
2、本试卷共有26题试卷，满分100分.考试时间90分钟.
一、填空题（本大题满分45分.共有15小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.）
1.不等式01
12≤x x 的解集为____________. 2.若数列⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+≤=)2011(1
2)2011(122n n n n n n a n ，则数列}{n a 的极限等于____________. 3.已知直线l 经过点A （0，4）和点B （1，2），则直线l 的斜率=k ________.
4.经过点A(3-，2-)和点B(3，7-)的直线l 的点方向式方程为______________.
5.过点(1-，3)且平行于直线:0l 032=+-y x 的直线l 方程为___________.
6.已知直线l 经过点P(2-，5)且倾斜角为4
3π，则l 的方程为_______________. 7.若直线02=++ay x 和0132=++y x 互相垂直，则=a ________.
8.已知→a 、→b 均为单位向量，它们的夹角为 60，那么=+→→b a 3_________.
9.已知数列}{n a 满足：n n qa a =+1（q 为非零常数），且前n 项和t S n n +=3，则=t _____.
10.已知一个等差数列}{n a 的前10项和31010=S ，前20项和122020=S ，则=30S __________.
11. 直线l ：(3)(25)30a x a y +++-=的方向向量是直线m ：(12)(3)43a x a y -+--=的法向量，则=a _______.
12.平行线0543=++y x 和0986=++y x 之间的距离是__________.
13. 已知点A （2，3），B(3-，2-)，若直线l 过点P （1，1），且与线段AB 相交，则直线
l 的斜率k 取值范围是___________.
14.已知ABC ∆三个顶点分别是A （2，1），B （5，3），C(1-，5)，则ABC ∆边BC 上的高=h __________.
15. 点P （1-，2）关于直线0142:=+-y x l 的对称点Q 的坐标为__________.
二、选择题（本大题满分15分.共有5小题，考生应在答题纸相应编号的位置内正确填涂，每小题填涂正确得3分，否则一律得零分.）
16.若直线01=+x 的倾斜角为θ，则θ等于 （ ）
（A ）0 （B ）4π （C ）2
π （D ）不存在 17.下列命题中，真命题是 （ ）
（A ）两条垂直直线斜率之积是1-
（B ）两条平行直线斜率相等
（C ）斜率相等的两条直线平行
（D ）斜率不相等的两条直线相交
18.“b a =”是“点（a ，b ）到直线2+=x y 的距离是2”的 （ ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件
19.)1,(),1,2(-=-=→→λb a ，若→a 、→
b 夹角为钝角，则λ取值范围是 （ ） （A ）),2()2,2
1(+∞-
（B ）（2，∞+） （C ）（21-，∞+） （D ）)21,(--∞ 20. 如图所示，是关于判断闰年的流程图，则
以下年份是闰年的为 ( )
（A ）1996年 （B ）1998年
（C ）2010年 （D ）2100年
三、简答题（本大题满分共40分，请写出必要的解题过程）
21.（本题满分4分）
已知点)2,1(-A 和点B （3，4），求线段AB 的垂直平
分线l 的点法向式方程.
（第
20题）
22.（本题满分5分）
已知点P 为直线0243=+-y x 上的任意一个动点，求点P 到点A （3，1-）的距离的最小值.
23. （本题满分6分）
已知直线l 过点)3,2(-，且与直线023:0=+-y x l 的夹角为
3
π，求直线l 的方程.
24、（本题满分7分）
已知直线033:1=+++m y mx l ，直线02)2(:2=+-+y m x l .讨论它们之间的位置关系.
25. （本题满分8分）
已知ABC ∆的三个顶点坐标分别是A （1，1）、B （9，3）、C （2，5），求BAC ∠的角平分线所在直线的方程.
26.（本题满分10分）
已知数列}{n a 中，2
11=a .点)2,(1n n a a n -+在直线x y =上，其中 3,2,1=n . （1）令11--=+n n n a a b ，求证数列}{n b 是等比数列；
（2）求数列}{n a 的通项公式；
（3）设n S 、n T 分别为数列}{n a 、}{n b 的前n 项和.是否存在实数λ，使得数列}{n T S n n λ+为等差数列？若存在，试求出λ，若不存在，则说明理由.。