广西桂林市十八中2014届高三上学期第一次月考数学(理)试卷及答案

桂林十八中11级高三第一次月考试卷理科数学注意：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间：120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名和考号填写或填涂在答题卷指定的位置。

2、选择题答案用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试题卷上．3、主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．Ⅰ卷 （共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集{}1,2,3,4U =,集合{}=12A ，,{}=23B ，,则()=U AB ðA.{}134，，B.{}34，C. {}3D. {}4 2. 已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a ＝ A.1- B.1D.3. 已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>),则C 的渐近线方程为A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±4. 设变量x 、y 满足约束条件0230063x y x y y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩，则目标函数2z y x =-的最小值为A ．-7B ．-4C ．1D ．25. 若21()nx x-展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为A ．－84B ．84C ．－36D ．366.函数2)y x =≤≤反函数是A.1(11)y x =+-≤≤B. )10( 112≤≤--=x x yC.111)y x =--≤≤D. 11)y x =+≤≤7. 已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为 A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，8.已知数列{}n a 中，12a =，113n n na a a +=+ ()*n N ∈，则4a =A ．165 B ．219 C ．85 D ．879.将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是A.12πB.6πC.3πD.56π10. 已知三棱柱11A B C A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为A．2B．C ．132D．11. 设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点,过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,,点Q 为线段AB 的中点,若2||=FQ ,则直线l 的斜率等于AB ．1C ．1±D．12. )0)()((),(≠x g x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()(f x g x f x g x ''<，且0)()(,0)2(<=-x g x f f 则不等式的解集为 A ．（－∞，－2）∪（2，+∞） B ．（－2，0）∪（0，2）C ．（－2，0）∪（2，+∞）D ．（－∞，－2）∪（0，2）Ⅱ卷 （共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．把答案填在题中横线上． 13. 设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是_________.14. 函数()sin ((0,2))x f x e x x π=∈的极值点是_________.15. 将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_________. (用数字作答)16. 在矩形ABCD中，1,DC AD ==在DC 上截取1DE =，沿AE 将AED ∆翻折得到1AED ∆，使点1D 在平面ABC 上的射影落在AC 上，则二面角1D AE B --的平面角的余弦值为_________. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. (本小题满分10分) （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7cos 9B =. (Ⅰ)求,a c 的值； (Ⅱ)求ABC ∆的面积.18. (本小题满分12分) （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知数列{}n a ，{}n b 分别为等差和等比数列，且11a =，0d >，22a b =，53a b =，144(*)a b n N =∈．(Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(Ⅱ)设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和.19. (本小题满分12分) （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为平行四边形，且2AD =，14AB AA ==，60BAD ∠=，E 为AB 的中点. （Ⅰ）证明：1AC ∥平面1EBC ； （Ⅱ）求1ED 与平面1EBC 所成的角的大小.ABCA 1B 1C 1D 1D20. (本小题满分12分) （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(Ⅱ) ξ表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求ξ的分布列和数学期望.21. (本小题满分12分) （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知椭圆C :22221,(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41(,)33P . (Ⅰ)求椭圆C 的离心率；(Ⅱ)过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥,求直线l 的方程.22. (本小题满分12分) （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设函数11()ln(0)2(1)x xf x a a x +-=+>+. (Ⅰ) 若函数()f x 在[1,)+∞上为增函数, 求实数a 的取值范围； (Ⅱ) 求证：当n N *∈且2n ≥时,1111ln 234n n++++<.桂林十八中11级高三第一次月考试卷理科数学参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B C A B D A B B C C C 二、填空题37,44ππ15.96 16.2三、解答题17.解:(Ⅰ)由余弦定理2222cosb ac ac B=+-,得()222(1cos)b ac ac B=+-+,又6a c+=,2b=,7cos9B=,所以9ac=,解得3a=,3c=.(Ⅱ)在△ABC中,sin B==,因此11sin3322ABCS ac B∆==⨯⨯=.18.解：（I）由2a、5a、14a成等比数列，知()()()2111134a d a d a d++=+，解得212a d d=，由11a=，且0d>得2d=；……………………3分∴21,(*)na n n N=-∈，……………………4分又由223b a==，359b a==，知13,(*)nnb n N-=∈；……………6分⑵由()1213nn n nc a b n-=⋅=-⋅，设nS是{}nc的前n项和，则()012112133353213nn nS c c c n-=+++=⋅+⋅+⋅++-⋅()1233133353213nnS n⋅=⋅+⋅+⋅++-⋅两式相减得：()12121232323213n nnS n--=+⋅+⋅++⋅--⋅()()()1313212132132232nnnnS nn---=--⋅+⨯-=-⋅-故()131nnS n=-+(*)n N∈. ……………………12分19.解：（Ⅰ）证明：连接1BC，11B C BC F=因为AE EB=，1FB FC=,所以EF∥1AC2分因为1AC⊄面1EBC，EF⊂面1EBC所以1AC∥面1EBC··········································4分（Ⅱ）设1AC与1ED交于点G,连DE,A BCA1 B1C1D1DEFG1AC ∥面1EBC ∴ G 与1C 到平面1EBC 的距离相等,设为h ， ······················ 6分 则1ED ＝52，352=EG ································· 7分1B ECS ∆,点E 到平面11CC B 距离为3又 C B C E EC B C V V 1111--=∴3451=h 174=∴h … ···························· 10分设直线1ED 与面1EBC 所成角为α，则sin h GE α==． 所以直线1ED 与面1EBC 所成角为arcsin 85856 ·········································· 12分 解法二 :作DH AB ⊥，分别令1,,DH DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴, 如图建立坐标系┉1分因为60BAD ∠=，2AD =，所以1AH =，DH =所以0)E 1(0,0,4)D ，(0,4,0)C，1B ，)0,1,3(-A )4,4,0(1C ······························ 3分 （Ⅰ）)4,1.3(1--=ED ,)0,3,3(),4,2,0(1-==EC EB )4,5,3(1-=AC ······················································· 4分 设面1EBC 的法向量为(,,)x y z =n ,所以10EB =n ，0EC =n 化简得240,330y z x y +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，则1)2=-n ． ······ 6分10AC =n ，1AC ⊄面1EBC ，∴1AC ∥面1EBC ． ··············································································· 8分 （Ⅱ）设1,ED θ=n ，则11cos ED ED θ==-⋅n n 10分 设直线1ED 与面1EBC 所成角为α，则cos cos(90)sin θαα=+=-． 即sin α=··················································································· 11分 ∴直线1ED 与面1EBC 所成角为arcsin 85856． ··············································· 12分 20. 解:(Ⅰ) 设事件A 表示:观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手.观众甲选中3号歌手的概率为32,观众乙未选中3号歌手的概率为53-1.所以P(A) = 15453-132=⋅）（. 因此,观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为154(Ⅱ) X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,则X 可取0,1,2,3.A观众甲选中3号歌手的概率为32,观众乙选中3号歌手的概率为53.当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时,这时ξ=0,P(ξ = 0) = 754)531()321(2=-⋅-.当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时,这时ξ=1,P(ξ =1)=75207566853)531(321()531(53321()531(322=++=⋅-⋅-+-⋅⋅-+-⋅））. 当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时,这时ξ=2,P(ξ=2) =7533751291253)531(325353321()531(5332=++=⋅-⋅+⋅⋅-+-⋅⋅）. 当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时,这时ξ=3,P(ξ=3) = 7518)53(322=⋅.ξ的分布列如下表:4203318206654280123757575757515E ξ++=⋅+⋅+⋅+⋅== 所以,数学期望2815E ξ=21.解: (Ⅰ)122a PF PF =+==所以,a =又由已知,1c =, 所以椭圆C的离心率2c e a ===()II 由()I 知椭圆C 的方程为2212x y +=.当直线l 的斜率不存在时,其方程为1x =,不符合题意;当直线的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=. 设1122( ) ( )P x y Q x y ，，，,则2212121111222242(1) (1 ) (1 )2121k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++，，，，， 因为11F P FQ ⊥,所以110F P FQ ⋅=,即 21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++--2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++ 2271021k k -==+, 解得217k =,即k =. 故直线l的方程为10x -=或10x -=. 22.解: 2221(1)(1)12()++22[(1)]2(1)a x a x f x x a x x a x -+---'=⋅=++++ 222(1)(1)2(1)(1)x a x a a x x --+-==++，(1)x >-2分()f x ∴在2(1,1)a --上为减函数，在2(1,)a -+∞为增函数，()f x ∴在21x a=-处取得极小值.4分 (Ⅰ)依题: 2110,aa ⎧-≤⎪⎨⎪>⎩⇒1a ≥；6分()II 由(Ⅰ)知：当1a =时，11()ln,21x xf x x +-=++在[1,)+∞上为增函数， ∴当1x >时，有()(1)0f x f >=，即11ln ,(1)21x xx x +->->+，取11(2)1x n x n --=≥+，则111n x n +=>-，121x n n +=-， 即有：1ln ,(2)1n n n n>≥-，∴111134ln 2ln ln lnln 234231nn n n ++++<++++=-.12分。