高考数学复习第13课 函数与方程

第13课 函数与方程(本课时对应学生用书第29~30页)自主学习 回归教材1.(必修1P75例1改编)对于二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0),若ac<0,则该函数的零点个数是 . [答案]2[解析]可由二次方程的判别式得到Δ=b 2-4ac.又因为ac<0,所以Δ>0,此方程有两个不相等的实根,即有两个零点.2.(必修1P75例3改编)若函数f(x)=3x-7+ln x 的零点位于区间(n,n+1)(n ∈N )内,则n= . [答案]2[解析]因为f(2)=-1+ln 2,由于ln 2<ln e=1,所以f(2)<0,f(3)=2+ln 3,由于ln 3>1,所以f(3)>0,所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内,故n=2.3.(必修1P75例3改编)用二分法求方程ln x=3-x 的近似解时,求得在区间(k,k+1),k ∈Z 上有解,则k=. [答案]2[解析]设f(x)=ln x+x-3,当连续函数f(x)满足f(k)f(k+1)<0时,f(x)=0在区间(k,k+1)上有解,因为f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3>0,所以k=2.4. (必修1P76习题1改编)若函数f(x)=x 2-ax-b 的两个零点分别为2和3,则函数g(x)=bx 2-ax-1的零点是 .[答案]-,-[解析]由得所以g(x)=-6x 2-5x-1的零点为-,-.1. 对于函数y=f(x),把使方程f(x)=0的实数x 称为函数y=f(x)的零点.1213222-2-0,3-3-0,a b a b ⎧=⎨=⎩5,-6,a b =⎧⎨=⎩12132.函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.所以,函数y=f(x)有零点等价于函数y=f(x)的图象与x轴有交点,也等价于方程f(x)=0有根.3.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间[a,b]内有零点,即存在c∈[a,b],使得f(c)=0,此时c就是方程f(x)=0的根.但反之,不成立.4.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系要点导学各个击破函数零点存在性问题例1判断下列函数在给定区间上是否存在零点.(1)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8];(2)f(x)=log(x+2)-x,x∈[1,3].2[思维引导]第(1)问利用零点的存在性定理或直接求出零点;第(2)问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解.[解答](1)方法一:因为f(1)=12-3×1-18=-20<0,f(8)=82-3×8-18=22>0,所以f(1)·f(8)<0,故f(x)=x2-3x-18在[1,8]上存在零点.方法二:令f(x)=0,得x2-3x-18=0,x∈[1,8],解得x=6.所以f(x)=x2-3x-18在[1,8]上存在零点.(2)方法一:因为f(1)=log 23-1>log 22-1=0, f(3)=log 25-3<log 28-3=0, 所以f(1)·f(3)<0,故f(x)=log 2(x+2)-x 在[1,3]上存在零点.(例1)方法二:设y=log 2(x+2),y=x,在同一直角坐标系中画出它们的图象如图所示,从图象中可以看出,当1≤x ≤时,两图象有1个交点,因此f(x)=log 2(x+2)-x 在[1,3]上存在零点.[精要点评]在判断函数零点是否存在的问题中,必须强调:(1)f(x)在[a,b]上连续;(2)f(a)·f(b)<0;(3)在(a,b)内存在零点.这是零点存在的一个充分不必要条件.函数零点个数的判断例2 已知函数f(x)=则函数y=f(f(x))+1的零点个数是 .[答案] 4[解析]由f(f(x))+1=0,可得f(f(x))=-1,又由f(-2)=f =-1,可得f(x)=-2或f(x)=.若f(x)=-2,则x=-3或x=; 若f(x)=,则x=-或, 综上,函数y=f(f(x))+1有4个零点.练习 已知f(x+1)=f(x-1),f(x)=f(-x+2),方程f(x)=0在[0,1]内有且只有一个根x=,则f(x)=0在区间[0,2 014]内根的个数为 .[答案] 2 01421,0,log ,0,x x x x +≤⎧⎨>⎩12⎛⎫ ⎪⎝⎭1214121212[解析]由f(x+1)=f(x-1),可知f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期为2.由f(x)=f(-x+2),可知函数f(x)关于直线x=1对称,因为函数f(x)=0在[0,1]内有且只有1个根x=,所以函数f(x)=0在[1,2]上有且只有1个根x=,所以f(x)=0在[0,2 014]内根的个数为2 014.[精要点评]判断函数零点个数的常用方法:(1)解方程法:令f(x)=0,如果能求出解,那么有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理法:利用此定理不仅要判断函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,看其交点的个数,交点的个数就是函数零点的个数.几个等价关系:方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x 轴有交点 函数y=f(x)有零点.函数零点的应用例3 已知函数f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求实数a 的取值范围. [思维引导]函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的根,据此,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与x 轴交点的横坐标.[解答]①当a=0时,f(x)=2x-3.令2x-3=0,得x=∉[-1,1],所以f(x)在[-1,1]上无零点,故a ≠0.图(1)图(2)(例3)②如图(1),当a>0时,f(x)=2ax 2+2x-3-a 的对称轴为x=-.12323212aⅰ) 当-≤-1,即0<a ≤时,有即所以a 无解.ⅱ) 当-1<-<0,即a>时,有即解得a ≥1,所以a 的取值范围是[1,+∞). ③如图(2),当a<0时,ⅰ) 当0<-≤1,即a ≤-时,有即解得a ≤或≤a ≤5,又a ≤-,所以a 的取值范围是. ⅱ) 当->1,即-<a<0时,有即所以a 无解.综上所述,a 的取值范围是∪[1,+∞). [精要点评]将方程问题转化为函数问题,利用数形结合的思想方法求解.练习 (2014·淮南模拟)若函数f(x)=有两个不同的零点,则实数a 的取值范围为 .[答案]12a 12(-1)0,(1)0,f f ≤⎧⎨≥⎩5,1,a a ≤⎧⎨≥⎩12a 121-0,2(1)0,f a f ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≥⎩1--3-0,21,a a a ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩12a 12(-1)0,1-0,2f f a ≤⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩5,1--3-0,2a a a ≤⎧⎪⎨≥⎪⎩12-,2∞⎛ ⎝⎦12a 12(-1)0,(1)0,f f ≤⎧⎨≥⎩5,1,a a ≤⎧⎨≥⎩-∞⎛ ⎝⎦2-1|2-1|,0,2,0x x x x a x ⎧+≤⎨+>⎩1-,-2∞⎛⎫ ⎪⎝⎭[解析]当x ≤0时,f(x)=|x 2+2x-1|的图象与x 轴只有1个交点,即只有1个零点,所以方程2x-1+a=0(x>0)有1个正根,变形为2x =-2a,所以a<-.[精要点评]已知函数有零点求参数的取值范围常用的方法和思路:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数与变量分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式进行变形,在同一平面直角坐标系中,作出函数的图象,数形结合求解.1.(2014·青岛期中)若函数f(x)=3ax+1-2a 在区间(-1,1)上存在1个零点,则实数a 的取值范围是 .[答案](-∞,-1)∪[解析]由题意,要使函数f(x)在区间(-1,1)上存在1个零点,则有f(-1)f(1)<0,即(-5a+1)(a+1)<0,解得a>或a<-1.2.(2014·北京模拟)函数f(x)=-的零点个数为 .(第2题)[答案]1[解析]作出函数y=与y=在(0,+∞)上的图象如图所示,根据图象知,两函数有1个交点,即函数f(x)=-有1个零点.3.(2014·中山期末)若函数f(x)=有3个零点,则实数a 的取值范围是 .121,5∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭1512x 12x⎛⎫ ⎪⎝⎭12x 12x⎛⎫ ⎪⎝⎭12x 12x⎛⎫ ⎪⎝⎭221,-20,-3,0ax x x ax x ⎧++<≤⎨>⎩[答案][解析]由题意知y=ax 2+2x+1(-2<x ≤0)有2个零点,y=ax-3(x>0)有1个零点,显然a>0,所以ax 2+2x+1=0在(-2,0]上有2个不同的实数根,所以即解得<a<1.4.已知二次函数f(x)=x 2+(2a-1)x+1-2a.(1)判断命题“对于任意的a ∈R ,方程f(x)=1必有实数根”的真假,并写出判断过程;(2)若y=f(x)在区间(-1,0)及内各有一个零点,求实数a 的取值范围. [解答](1)“对于任意的a ∈R ,方程f(x)=1必有实数根”是真命题,判断过程如下: 方程f(x)=1即x 2+(2a-1)x-2a=0,因为Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立, 即x 2+(2a-1)x-2a=0必有实根,从而f(x)=1必有实根.(2)依题意,要使y=f(x)在区间(-1,0)及内各有一个零点,只需即解得<a<.故实数a 的取值范围为.融会贯通 能力提升3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭1--2,0,(-2)0,a f ⎧>⎪⎪∆>⎨⎪>⎪⎩1--2,4-40,4-30,a a a ⎧>⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩3410,2⎛⎫⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(-1)0,(0)0,10,2f f f ⎧⎪>⎪⎪<⎨⎪⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩3-40,1-20,3-0,4a a a ⎧⎪>⎪<⎨⎪⎪>⎩123413,24⎛⎫ ⎪⎝⎭已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x ∈[0,2]时,f(x)=.(1) 求实数m 的值;(2) 设g(x)=log 2x,求证:方程f(x)=g(x)只有一个实数解. [思维引导][规范解答](1) 由x ∈[0,2]时,f(x+2)=f(x),有f(2)=f(0),........................2分得|2-m|=|m|,所以m=1........................................................4分(2) 由(1) 知f(x)=,x ∈[0,2],所以当x ∈[0,2]时,f(x)∈,.........................6分又f(x)是周期为2的周期函数,故f(x)的值域为...........................................................7分当x>2时,g(x)>1≥f(x),此时方程无解;........................................8分 当0<x ≤1时,g(x)≤0<f(x),此时方程无解;.....................................9分 当x=2时,f(x)≠g(x),方程无解;.............................................10分当1<x<2时,记F(x)=f(x)-g(x) =-log 2x,则F(1)·F(2)=-<0且F(x)单调递减,.................................................................................12分 所以函数F(x)在(1,2)内有唯一的零点,即方程 f(x)=g(x)在x ∈(1,2)上有唯一实数解...................................................................13分 综上,方程f(x)=g(x)有唯一的实数解....................................................................................14分 [精要点评]处理函数零点问题的常用方法:(1) 解方程法:令f(x)=0,求解;(2) 零点存在性定理法:利用定理不仅要判断函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质才能确定;(3) 数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.|-|12x m ⎛⎫ ⎪⎝⎭|-1|12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦-112x ⎛⎫⎪⎝⎭12趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第25~26页.第13课 函数与方程一、 填空题1. 若函数f(x)=则函数g(x)=f(x)-x 的零点为 .2.函数f(x)=2x |log 0.5x|-1的零点个数为 .3.若函数f(x)=ax+b 的一个零点是2,则函数g(x)=bx 2-ax 的零点是 .4. 已知函数f(x)=那么函数f(x)的零点为 .5.(2014·镇江模拟)函数f(x)=的零点个数为 .6. 若函数f(x)=x 3-3x+a 有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是 .7.(2014·天津卷)已知函数f(x)=|x 2+3x|,x ∈R .若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个相异的实数根,则实数a 的取值范围为 .8. 已知函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),且f(x)是偶函数,当x ∈[0,1]时,f(x)=x.若函数g(x)=f(x)-kx-k 在区间[-1,3]上有4个零点,则实数k 的取值范围是 .二、 解答题9.已知函数f(x)=-x 2+2ex+t-1,g(x)=x+(x>0).(1)若函数h(x)=g(x)-m 有零点,求实数m 的取值范围;(2)确定t 的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异的实数根.10.已知y=f(x)是定义域为R 的奇函数,当x ∈[0,+∞)时,f(x)=x 2-2x.2--1,2-1,1,-12,或⎧≥≤⎨<<⎩x x x x x 22-1,1,1log ,1,⎧≤⎨+>⎩x x x x 22-3,0,-2ln ,0⎧+≤⎨+>⎩x x x x x 2e x(1)写出函数y=f(x)的解析式;(2)若方程f(x)=a 恰有三个不同的解,求实数a 的取值范围.11. 已知函数f(x)=|x 2-1|+x 2+kx. (1) 当k=2时,求方程f(x)=0的解;(2) 若关于x 的方程f(x)=0在(0,2)上有两个实数解x 1,x 2,求实数k 的取值范围.第13课 函数与方程1. 1+或1 [解析]题目转化为求f(x)=x 的根, 所以或 解得x=1,所以g(x)的零点为 1.2.2 [解析]由f(x)=0,得|log 0.5x|=,作出函数y=|log 0.5x|与y=的大致图象(如图),由图可知两函数图象有两个交点,即f(x)有两个零点.(第2题)3.0或- [解析]因为2a+b=0,所以g(x)=-2ax 2-ax=-ax(2x+1),所以零点为0或-.4. 0 [解析]当x ≤1时,由f(x)=2x -1=0,解得x=0;当x>1时,由f(x)=1+log 2x=0,解得x=.又因为x>1,所以此时方程无解.综上,函数f(x)的零点只有0.5.2 [解析]由得x=-3;由得x=e 2,所以f(x)的零点个数为2.22-1,--1或≥≤⎧⎨=⎩x x x x x -12,1,<<⎧⎨=⎩x x 12⎛⎫ ⎪⎝⎭x 12⎛⎫⎪⎝⎭x12121220,2-30,≤⎧⎨+=⎩x x x 0,-2ln 0,>⎧⎨+=⎩x x6. (-2,2) [解析]f'(x)=3x 2-3,令f'(x)=0,则x=±1,所以f(1)·f(-1)<0,即(a-2)(a+2)<0,所以-2<a<2.7.(0,1)∪(9,+∞) [解析] 在同一坐标系内分别作出函数y=f(x)与y=a|x-1|的图象(如图).当y=a|x-1|与y=f(x)的图象相切时,由整理得x 2+(3-a)x+a=0,则Δ=(3-a)2-4a=a 2-10a+9=0,解得a=1或a=9.故当y=a|x-1|与y=f(x)的图象有四个交点时,0<a<1或a>9.(第7题)8. [解析]由f(x+1)=f(x-1),得f(x+2)=f(x),则f(x)是周期为2的周期函数.因为f(x)是偶函数,当x ∈[0,1]时,f(x)=x,所以当x ∈[-1,0]时,f(x)=-x.易得当x ∈[1,2]时,f(x)=-x+2,当x ∈[2,3]时,f(x)=x-2.函数g(x)=f(x)-kx-k 在[-1,3]上有4个零点,即函数y=f(x)与y=kx+k 在[-1,3]上的图象有4个不同的交点.作出函数y=f(x)与y=kx+k 在[-1,3]上的图象(如图),结合图形知k ∈.(第8题)9.(1)方法一:因为x>0,所以g(x)=x+≥2=2e,当且仅当x=e 时取等号,故g(x)的值域是[2e,+∞).要使函数h(x)=g(x)-m 有零点,只需m ≥2e.故实数m 的取值范围是[2e,+∞).方法二:函数g(x)=x+的大致图象如图(1)所示,由图可知,要使g(x)=m 有零点,只需m ≥2e.2---3,0,⎧+=⎨>⎩ax a x xa 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦2ex 2e x故实数m 的取值范围是[2e,+∞).方法三:由g(x)=m,得x 2-mx+e 2=0,此方程有大于零的根,故解得m ≥2e.故实数m 的取值范围是[2e,+∞).图(1)图(2)(第9题)(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实数根,即函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,作出g(x)=x+(x>0)和f(x)=-x 2+2ex+t-1的图象(如图(2)).因为f(x)=-x 2+2ex+t-1=-(x-e)2+t-1+e 2,其对称轴为直线x=e,开口向下,最大值为t-1+e 2.故当t-1+e 2>2e,即t>-e 2+2e+1时,g(x)与f(x)的图象有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异的实数根. 所以t 的取值范围是(-e 2+2e+1,+∞).10.(1)当x ∈(-∞,0)时,-x ∈(0,+∞).因为y=f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x 2-2x,所以f(x)=220,2-4e 0,⎧>⎪⎨⎪∆=≥⎩mm 2e x 22-2,0,--2,0.⎧≥⎨<⎩x x x x x x(第10题)(2)当x ∈[0,+∞)时,f(x)=x 2-2x=(x-1)2-1,最小值为-1;当x ∈(-∞,0)时,f(x)=-x 2-2x=1-(x+1)2,最大值为1.据此可作出函数y=f(x)的图象(如图),根据图象知,要使方程f(x)=a 恰有三个不同的解,则需-1<a<1,即实数a 的取值范围是(-1,1).11. (1) 当k=2时,f(x)=|x 2-1|+x 2+2x.①当x 2-1≥0,即x ≥1或x ≤-1时,方程化为2x 2+2x-1=0,解得x=.因为0<<1,所以x=.②当x 2-1<0,即-1<x<1时,方程化为1+2x=0,解得x=-.综上,当k=2时,方程f(x)=0的解是x=或x=-.(2) 不妨设0<x 1<x 2<2,因为f(x)=所以f(x)在(0,1]上是单调函数.故f(x)=0在(0,1]上至多有一个解.若x 1,x 2∈(1,2),则x 1x 2=-<0,故不符合题意.因此,x 1∈(0,1],x 2∈(1,2).由f(x 1)=0,得k=-,所以k ≤-1;由f(x 2)=0,得k=-2x 2,所以-<k<-1.-12±121222-1,||1,1,||1,⎧+>⎨+≤⎩x kx x kx x 1211x 21x 72故实数k 的取值范围是.7|--1}2⎧<<⎨⎩k k。