2015成人高考数学模拟题1

2015年成人高考数学模拟题1本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题，共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合{|52},{|33}A x x B x x =-<<=-<<，则A B =（A ）{|32}x x -<<（B ）{|52}x x -<< （C ）{|33}x x -<<（D ）{|53}x x -<<（2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（A ）22(1)(1)1x y -+-=（B ）22(1)(1)1x y +++=（C ）22(1)(1)2x y +++=（D ）22(1)(1)2x y -+-=（3）下列函数中为偶函数的是（A ）2sin y x x = （B ）2cos y x x = （C ）|ln |y x =（D ）2x y -=（4）某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为 （A ）90 （B ）100 （C ）180 （D ）300(5)执行如果所示的程序框图，输出的k 值为（A ）3 （B ）4(C)5(D)6（6）设,a b 是非零向量，“||||a b a b”是“//a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（A ）1（B（C （D ）2（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。

注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（A ）6升（B ）8升 （C ）10升（D ）12升第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）复数(1)i i +的实部为________________（10）13222,3,log 5-三个数中最大数的是________________（11）在△ABC 中，23,3a b A π==∠=，则B ∠=________________ （12）已知（2，0）是双曲线2221(0)y x b b -=>的一个焦点，则b =________________（13）如图，ABC ∆及其内部的点组成的集合记为D ，(,)P x y 为D 中任意一点，则23z x y =+的最大值为________________ （14）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生。

从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是________________②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是________________ 三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （15）（本小题13分）已知函数2()sin 2f x x π=-（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值。

（16）（本小题13分）已知等差数列{}n a 满足124310,2a a a a +=-=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==.问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ （17）（本小题13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买。

（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？（18）（本小题14分）如图，在三棱锥V ABC -中，平面VAB ⊥平面ABC ，VAB ∆为等边三角形，AC BC ⊥且AC BC ==,O M 分别为,AB VA 的中点。

（Ⅰ）求证：//VB 平面MOC . （Ⅱ）求证：平面MOC ⊥平面VAB （Ⅲ）求三棱锥V ABC -的体积。

（19）（本小题13分）设函数2()ln ,02x f x k x k =-> （Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间上仅有一个零点。

(20)(本小题14分)已知椭圆22:33C x y +=，过点且不过点的直线与椭圆C 交于,A B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M .（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由。

参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）D （3）B （4）C （5）B（6）A（7）C（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）-1（10）2log 5（11）4π （12（13）7（14）乙数学三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（Ⅰ）因为()sin f x x x =2sin()3x π=+所以()f x 的最小正周期为2π （Ⅱ）因为203x π≤≤，所以33x πππ≤+≤ 当3x ππ+=，即23x π=时，()f x 取得最小值所以()f x 在区间2[0,]3π上的最小值为2()3f π=（16）（共13分） 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d因为432a a -=，所以2d =又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a = 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,...)n =（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q因为23378,16b a b a ==== 所以12,4q b == 所以61642128b -=⨯= 由12822n =+得63n = 所以6b 与数列{}n a 的第63项相等 （17）（共13分） 解：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000为顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2000.21000= （Ⅱ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200为顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品。

所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1002000.31000+=（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2000.21000=， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003000.61000++=， 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1000.11000=，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大。

（18）（共14分） 解：（Ⅰ）因为,O M 分别为,AB VA 的中点，所以//OM VB又因为VB ⊄平面MOC ， 所以//VB 平面MOC（Ⅱ）因为AC BC =，O 为AB 的中点，所以OC AB ⊥又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ， 所以OC ⊥平面VAB 所以平面MOC ⊥平面VAB（Ⅲ）在等腰直角三角形ACB 中，AC BC ==所以2,1AB OC ==所以等边三角形VAB 的面积VAB S ∆ 又因为OC ⊥平面VAB ，所以三棱锥C VAB -的体积等于13VAB OC S ∆=又因为三棱锥V ABC -的体积与三棱锥C VAB -的体积相等，所以三棱锥V ABC -的体积为3（19）（共13分） 解：（Ⅰ）由2()ln (0)2x f x k x k =->得 2()k x kf x x x x-'=-=由()0f x '=解得x =()f x 与()f x '在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，()f x 的单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；()f x 在x =(1ln )2k k f -=（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )2k k f -=， 因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥当k e =时，()f x 在区间上单调递减，且0f =，所以x =()f x 在区间上的唯一零点。

当k e >时，()f x 在区间上单调递减，且1(1)0,022e kf f -=>=<，所以()f x 在区间上仅有一个零点。

综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间上仅有一个零点。

（20）（共14分） 解：（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为2213x y +=所以1,a b c ==所以椭圆C 的离心率c e a ==（Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设11(1,),(1,)A y B y -直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=-- 令3x =，得1(3,2)M y - 所以直线BM 的斜率112131BM y y k -+==-（Ⅲ）直线BM 与直线DE 平行。

证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，有（Ⅱ）可知1BM k =又因为直线DE 的斜率10121DE k -==-，所以//BM DE 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠ 设1122(,),(,)A x y B x y ，则直线AE 的方程为1111(2)1y y x x --=-- 令3x =，得点1113(3,)2y x M x +--由2233,(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得2222(13)6330k x k x k +-+-= 所以22121222633,1313k k x x x x k k -+==++直线BM 的斜率11212323BMy x y x k x +---=-因为11212121(1)3(1)(2)(3)(2)1(3)(2)BM k x x k x x x x k x x -+--------=--121221(1)[2()3](3)(2)k x x x x x x --++-=--2222213312(1)(3)1313(3)(2)k k k k k x x -+-+-++=-- 0=所以1BM DE k k == 所以//BM DE综上可知，直线BM 与直线DE 平行。