天津市新人教版数学2013高三单元测试题17《数系的扩充与复数的引入》
2013届高考文科数学一轮复习考案11.5 数系的扩充与负数的引入
【答案】(1)C
(2)A
考纲解读 典例精析 命题预测 技巧归纳 知识盘点 真题探究 基础拾遗 例题备选
题型3复数中的基本运算
例3 (1)设z=2- 3 i,则z3-4z2+5z-2的值为 (
3 (A)-6+2 i. 3 (C)6+2 i.
)
(B)-6-2 3 i.
3 (D)6-2 i.
a c, b d. a 0, b 0.
考纲解读 典例精析
命题预测 技巧归纳
知识盘点 真题探究
基础拾遗 例题备选
OZ (2)点Z(a,b)、向量 =(a,b)是复数z=a+bi(a,b∈R)的另外两种表示形
式,它们都是复数z的几何表示.这三者之间构成了一一对应的关系:
(3)复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点Z(a,b)到原点的距离|OZ|
实数(b 0), 纯虚数(a 0), 复数a+bi(a,b∈R) 虚数(b 0) 非纯虚数(a 0).
复数集、实数集、虚数集之间的包含关系的韦恩图形式:
3.复数相等
考纲解读 典例精析 命题预测 技巧归纳 知识盘点 真题探究 基础拾遗 例题备选
两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等,即a+bi=c+ di⇔ 特别地,a+bi=0⇔ (a,b,c,d∈R) 4.复数的几何意义 (1)复平面:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫 做实轴,y轴除去原点的部分叫做虚轴. 根据实轴、虚轴的规定,可以发现: ①a+bi(a,b∈R)为实数⇔对应点Z在x轴上; ②a+bi(a,b∈R)为纯虚数⇔对应点Z在去掉原点外的y轴上.
习题课(三) 数系的扩充与复数的引入
即－1＝4＝4＋6＋a，b，
∴ab＝＝－－310，.
答案：－3 －10
高频考点三 复数的代数运算 复数运算中常见的结论 (1)(1±i)2＝±2i，11＋－ii＝i，11＋－ii＝－i； (2)－b＋ai＝i(a＋bi)； (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i； (4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.
)，对于p1，∵
1 z
＝
1 a＋bi
＝aa2－＋bbi2∈R ，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命题；
对于p2，∵z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R ，∴ab＝0，∴a ＝0或b＝0，∴p2不是真命题；
对于p3，设z1＝x＋yi(x，y∈R )，z2＝c＋di(c，d∈R )，
则z1z2＝(x＋yi)(c＋di)＝cx－dy＋(dx＋cy)i∈R ，
的点为(x，y)，则
()
A．(x＋1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y＋1)2＝1
[解析] (1)因为z＝12＋i i＝12＋ii1－1－i i＝i(1－i)＝1＋i， 所以|z|＝ 2. (2)由已知条件，可得z＝x＋yi.∵|z－i|＝1， ∴|x＋yi－i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.
[解析]
(1)由z(1＋i)＝2i，得z＝
2i 1＋i
＝
2i1－i 1＋i1－i
＝
2i12－i＝i(1－i)＝1＋i.
(2)法一：∵z＝2＋i，∴ z ＝2－i，
∴z·z ＝(2＋i)(2－i)＝5.
法二：∵z＝2＋i，∴z·z ＝|z|2＝5.
(3)∵51－ ＋ii＝51－ ＋ii11－ －ii＝2－3i，
(好题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》检测卷(含答案解析)(3)
一、选择题1．若复数1a iz i+=+(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．0C ．12- D ．1-2．若复数1z ，2z 满足1134z z i +=-，212z i ++=，则12z z -的最小值为（ ）．A ．110B ．1110C ．2110D ．2110-3．若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ） A ．2,3b c ==B ．2,1b c ==-C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-=4．设m R ∈，复数()23521z m m i m =-++-，则z 在复平面内的对应点一定不在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．在复数范围内，有下列命题：（1）若12,z z 是两个复数，则1212z z z z +一定是实数 （2）“||1z =”是“1z R z+∈”的充分非必要条件（3）方程20(0)x t t +=>的根是（4）22z z =则其中假命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．i 是虚数单位，20191i ()(1i+=- ) A ．i B ．i -C ．1D ．1-7．若2131aii i+=--+，a R ∈，则a =（ ） A ．4- B ．3-C ．3D ．48．复数1323ii+的共轭复数为（ ） A ．32i + B ．32i -C ．23i +D ．23i -9．复数z 11ii-=+，则|z |=( )A ．1B ．2C D ．10．已知i 是虚数单位，且1zi =+，下列命题错误的是（ ） A ．z 对应复平面内的点在第四象限B ．||2z =C ．z 的共轭复数为3z i =+ D ．22z z =11．已知复数z 满足(1)|3|i z i +=+，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．若34sin cos 55i z θθ⎛⎫-+- =⎪⎝⎭是纯虚数，则tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．﹣7B ．17-C ．7D ．﹣7或17-二、填空题13．已知复数z 满足方程||2z i +=，则|2|z -的最小值为____________．14．若复数2018,1z i i=+-则z 的虚部为__________． 15．复数(12)(3),z i i =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________________.16．设复数满足，则____________.17．关于x 的方程240x x k ++=有一个根为23i -+（i 为虚数单位），则实数k =______.18．设复数z 满足(2)1z i i i +=-，其中i 为虚数单位，则z =__________． 19．设复数()21z i =-（i 是虚数单位），则z 的模为__________． 20．若z C ∈,且221z i +-=,则22z i --的最小值为______________．三、解答题21．已知复数2()z a ai a R =+∈，若2z =z 在复平面内对应的点位于第四象限.（1）求复数z ；（2）若22m m mz +-是纯虚数，求实数m 的值. 22．已知复数1212,34,z i z i i =-=+为虚数单位.（1）若复数21z az + 对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围； （2）若()1212z z z z z +=-，求z 的共轭复数.23．已知复数13z i =，22z =，212z z ⨯是虚部为正数的纯虚数.（1）求212z z ⨯的模； （2）求复数2z .24．已知()1243i z i +=+，求复数z .25．关于复数z 的方程()()()230z a i z i a R -+-+=∈.（1）若此方程有实数解，求a 的值；（2）证明：对任意的实数a ，原方程不可能有纯虚数根.26．已知i 为虚数单位，复数z 在复平面内对应的点为（1）设复数z 的共轭复数为z ，求|z +的值；（2）已知,a b ∈R ，(3()a bi i z i -=，求ab 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】直接利用复数的除法运算结合复数定义得到答案. 【详解】()()()()()1+1+11112a i i a a i a i z i i i +--+===++-为纯虚数，故1010a a +=⎧⎨-≠⎩，故1a =-. 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的除法，根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.2．A解析：A 【分析】由复数模的定义求出1z 对应的点在一条直线上，2z 对应的点在圆上，利用圆的性质可求得直线上的点到圆上点的距离的最小值． 【详解】复数1z 对应的点为1(,)Z x y ，因为1134z z i +=-，所以=6870x y +-=，所以点1Z 的轨迹是一条直线．复数2z 对应的点为2(,)Z x y ，因为212z i ++=表示点(),x y 到定点()1,1--的距离为2，所以点2Z 的轨迹表示以()1,1--为圆心、半径为2的圆，12z z -211221010-=-=． 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的模的运算，考查模的几何意义，利用几何意义把复数问题转化为直线上的点到圆上点的距离的最小值这个几何问题，利用几何性质得出求解方法．3．D解析：D 【分析】由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b的方程组10b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项【详解】由题意1是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0∴﹣2+b bi +c ＝0，即()10b c i -+++=∴10b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ． 【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题4．C解析：C 【分析】z 在复平面内的对应点考查点()2352,1mm m -+-横纵坐标的正负,分情况讨论即可.【详解】由题得, z 在复平面内的对应点为()2352,1m m m -+-.当10m ->,即1m <时,二次函数2352(32)(1)y m m m m =-+=--取值范围有正有负,故z 在复平面内的对应点可以在一二象限.当10m -<,即1m 时,二次函数2352(32)(1)0y m m m m =-+=-->,故z 在复平面内的对应点可以在第四象限.故z 在复平面内的对应点一定不在第三象限. 故选：C 【点睛】本题主要考查了复平面的基本定义与根据参数范围求解函数范围的问题,属于基础题型.5．B解析：B 【分析】利用复数的概念及运算法则对各个命题依次进行判定． 【详解】设12,z a bi z c di =+=+（,,,a b c d R ∈），则1212z z z z +()()()()a bi c di a bi c di =+-+-+()()ac adi bci bd ac adi bci bd =-++++-+22ac bd R =+∈，①正确；设i(,0)z a b a b b =+∈≠R,，若1z ==，则11z a bi z a bi +=+++222a bi a bi a bi a bi a R a b-=++=++-=∈+， 反之，若11z a bi z a bi +=+++22a bi a bi R a b -=++∈+，则220bb a b-=+，221a b +=，∴1z =．应是充要条件，②错误；方程20(0)x t t +=>的根是，③正确；z 是复数，2z 可能是虚数，但2z 是复数的模，一定是实数，④错误，∴错误命题有2个． 故选B ． 【点睛】本题考查复数的概念与运算，解题时可设(,)z a bi a b R =+∈，然后代入进去进行检验证明．6．B解析：B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i 的性质计算． 【详解】()()21i (1i)i 1i 1i 1i ++==--+， 20192019450431i ()i (i )i i 1i +∴==⋅=--． 故选B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的运算性质，是基础题．7．A解析：A 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数21aii++，然后利用复数相等的性质列方程求解即可.详解：因为()()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i a a +-+=++- ()()22i 2a a ++-=13i =--，所以212232aa +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得4a =-，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.8．B解析：B 【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由复数的运算法则可知：()()()23231323322323i i i i i i i i i+-==-=+++， 则复数1323ii +的共轭复数为32i -. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．A解析：A 【解析】 【分析】运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z . 【详解】由题意复数z 11ii-=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+===-++-,所以=1z . 故选A 【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.10．D解析：D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案. 【详解】 ∵1zi =+，∴1z i i+==，∴z 对应复平面内的点为)1-在第四象限，故A 正确；2z ==，故B 正确；z 的共轭复数为z i =，故C 正确；222z z =-≠，故D 错误；故选：D . 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.11．D解析：D 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：因为(1)|i z i +=||2(1)11(1)(1)i i z i i i i -∴===-++-， ∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,1-在第四象限，故选：D . 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．12．A解析：A 【分析】根据纯虚数得到3sin 5θ=，4cos 5θ=-，即3tan 4θ=-，再利用和差公式展开计算得到答案. 【详解】34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，故4cos 5θ≠，3sin 5θ=所以4cos 5θ=-，3tan 4θ=-∴tan tan4tan 741tan tan 4πθπθπθ-⎛⎫-==- ⎪⎝⎭+⋅， 故选：A 【点睛】本题考查了纯虚数定义，和差公式，意在考查学生的综合应用能力.二、填空题13．【分析】设复数根据复数的几何意义可知的轨迹为圆；再根据点和圆的位置关系及的几何意义即可求得点到圆上距离的最小值即为的最小值【详解】复数满足方程设（）则在复平面内轨迹是以为圆心以2为半径的圆；意义为圆2【分析】设复数,z a bi =+根据复数的几何意义可知(),a b 的轨迹为圆；再根据点和圆的位置关系，及|2|z -的几何意义即可求得点到圆上距离的最小值，即为|2|z -的最小值. 【详解】复数z 满足方程||2z i +=， 设,z a bi =+（,a b ∈R ），则|||(1)|2z i a b i +=++=，(),a b 在复平面内轨迹是以()0,1-为圆心，以2为半径的圆；()|2||2|z a bi -=-+=()2,0的距离，由点与圆的几何性质可知，|2|z -22=，2. 【点睛】本题考查了复数几何意义的综合应用，点和圆的位置关系及距离最值的求法，属于中档题.14．1010【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果详解：由复数的运算法则可知：则的虚部为1010点睛：本题主要考查复数的运算法则意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：1010 【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则可知：()()()20181201820182018100910091112i ii i i i ++===+--+，则2018100910101z i i i=+=+-， z 的虚部为1010.点睛：本题主要考查复数的运算法则，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．5【解析】试题分析：故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念属于基本题首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数的相关概念如复数的实解析：5 【解析】试题分析：(12i)(3i)55i z =+-=+．故答案应填：5 【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),,,,a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈，其次要熟悉复数的相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a ，虚部为b ，模为22a b +，共轭为a bi -16．【解析】试题分析：由题：得：考点：复数的概念和运算 解析：2【解析】 试题分析：由题：，得：11iz i i-==-+，221112z +=+=考点：复数的概念和运算．17．13【分析】根据复数方程的性质可得也是方程的根结合韦达定理即可求解【详解】由题意方程有一个根为则是方程的另一个根由韦达定理可得又由所以故答案为13【点睛】本题主要考查了复数的性质以及一元二次方程的根解析：13 【分析】根据复数方程的性质，可得23i --也是方程的根，结合韦达定理，即可求解. 【详解】由题意，方程240x x k ++=有一个根为123x i =-+，则223x i =--是方程的另一个根，由韦达定理，可得12x x k =，又由(23)(23)13i i ---+=，所以13k =. 故答案为13. 【点睛】本题主要考查了复数的性质，以及一元二次方程的根与系数的关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18．【解析】分析：由题意首先求得复数z 然后求解其模即可详解：由复数的运算法则有：则故答案为点睛：本题主要考查复数的运算法则复数的模的计算等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力 解析：10【解析】分析：由题意首先求得复数z ，然后求解其模即可. 详解：由复数的运算法则有：121iz i i i-+==--， 则13z i =--，1910z =+=. 故答案为10 ．点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．2【解析】分析：计算可得进而得到的模详解：即答案为2点睛：本题考查复数的运算及复数的模属基础题解析：2 【解析】分析：计算可得z ，进而得到z 的模 详解：()212,2z i i z =-=-∴=.即答案为2.点睛：本题考查复数的运算及复数的模，属基础题.20．3【详解】∵|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=1∴复数z 在复平面内对应点的轨迹是以（-22）为圆心1为半径的圆∵|z-2-2i|=|z-(2+2i)|表示复数z 在复平面内的对应点到点（22）解析：3 【详解】∵|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=1，∴复数z 在复平面内对应点的轨迹是以（-2，2）为圆心，1为半径的圆.∵|z-2-2i|=|z-(2+2i)|表示复数z 在复平面内的对应点到点（2，2）的距离，即圆上的点到点（2，2）的距离，∴最小值为圆心与点（2，2）的距离减去半径， ∴|z-2-2i|的最小值为4-1=3.三、解答题21．(1)1z i =-.(2)1m =-.【解析】分析：（1）先根据2z =和z 在复平面内对应的点位于第四象限求出a 的值，即得复数z.(2)直接根据纯虚数的定义求m 的值.详解：（1）因为2z =，所以422a a +=，所以21a =.又因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以1a =-，即1z i =-.（2）由（1）得1z i =-，所以22z i =-，所以2222m m mz m m mi +-=++.因为22m m mz +-是纯虚数， 所以2020m m m ⎧+=⎨≠⎩，所以1m =-. 点睛：（1）本题主要考查复数的模和复数的几何意义，考查纯虚数的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平.（2）复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数0,0a b =⎧⇔⎨≠⎩不要把下面的b≠0漏掉了.22．（1）0a >；（2）1z i =-+【解析】试题分析：（1）求出复数21z az +的代数形式，根据第四象限的点的特征，求出a 的范围；（2）由已知得出1212z z z z z -=+ ，代入12,z z 的值，求出1,1z i z i =--=-+ ． 试题解析;（I ）=， 由题意得 解得（2）()()()()12121234261,123442i i z z i z i z z i i i--+---====--+-+++ 1.z i =-+23．（1）8；（2）2(3)z i =±.【分析】（1）由复数的模的性质，知|221212z z z z ⨯=⋅ ，由此利用题设条件能够求出212z z ⨯的模；（2）由212z z ⨯是虚部为正数的纯虚数，212z z ⨯的模是8，知2128z z i ⨯=，设复数()2,z a bi a b R =+∈，利用复数相等的性质能求出复数z 2．【详解】（1）2221212128z z z z z z ⨯===； （2）212z z ⨯是虚部为正数的纯虚数2128z z i ∴⨯=,)22824i i z ==+，设复数()2,z a bi a b R =+∈，2222a b abi -+=+，2222a b ab ⎧-=⎪⎨=⎪⎩1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，∴2)z i =±.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘除法运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.24．2z i =+【分析】 根据复数的除法运算求出z ，再根据共轭复数的定义写出复数z .【详解】()()()()()224312434561051243,2121212145i i i i i i i z i z i i i i i +-+---+=+∴=====-++--， 2z i ∴=+.【点睛】本题考查复数的除法运算和共轭复数，属于基础题.25．（1）2；（2）证明见解析【分析】（1）设z m R =∈，由题意可得23010m am m ⎧--=⎨--=⎩，即可得解； （2）假设z ni =（n R ∈，且0n ≠）时方程的解，转化条件得23010n n an ⎧-+-=⎨--=⎩，由于230n n -+-=无实数根，可得假设错误，即可得证.【详解】（1）设z m R =∈，带入原方程得()()230m a i m i -+-+=， 即()2310m am m i --+--=，则23010m am m ⎧--=⎨--=⎩，故12m a =-⎧⎨=⎩. （2）证明:假设原方程有纯虚数根，设z ni =（n R ∈，且0n ≠）， 则有()()()230ni a i ni i -+-+=，整理可得()2310n n an i -+-+--=， 则23010n n an ⎧-+-=⎨--=⎩，对于230n n -+-=，判别式112110∆=-=-<， 则方程230n n -+-=无实数解，故方程组无实数解，即假设不成立，从而原方程不可能有纯虚数根.【点睛】本题考查了复数的综合应用，考查了复数相等的条件和反证法的应用，属于中档题.26．（1）3；（2）ab =【分析】（1）根据复数z 在复平面内对应的点为写出复数和共轭复数，即可求出||z +；（2）根据题意得)(b ai i i +=--，求出1b =-，a =-.【详解】解：（1）由题知：z i =+，所以z i =，所以||||3z i ===；（2）由题知：(3()a bi i z i -=-，所以)(b ai i i +=--，所以1b ai +=-- ，由复数相等知：1b =-，a =-，所以ab =【点睛】此题考查复数概念与几何意义的辨析和基本运算，关键在于熟练掌握基本概念，根据运算法则准确进行复数运算.。
(好题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》检测卷(答案解析)(1)
一、选择题1．若复数2i z =-，i 为虚数单位，则(1)(1)z z +-= A ．24i +B ．24i -+C ．24i --D ．4-2．已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B =∅，则a ，b 之间的关系是（ ）A ．1a b +>B ．1a b +<C ．221a b +<D ．221a b +>3．已知i 是虚数单位，则21ii=-（ ） A ．1i -+B ．1i +C ．1i -D ．1i --4．已知i 是虚数单位，复数13i1i+=+（ ） A ．2i + B ．2i - C ．1i -+ D ．1i -- 5．若复数2320211z i i i i =++++⋯+，则复数z 对应的点在第（ ）象限A ．一B ．二C ．三D ．四6．已知复数13aiz i+=+为纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a =（ ） A ．3- B ．3C ．13-D ．137．设z 是复数，从z ，z ，z ，2||z ，2||z ，2||z ，z z ⋅中选取若干对象组成集合，则这样的集合最多有（ ） A ．3个元素B ．4个元素C ．5个元素D ．6个元素8．设i 是虚数单位，则()()3211i i -+等于()A ．1i -B ．1i -+C ．1i +D ．1i -- 9．已知i 为虚数单位，若(1)2z i i ⋅+=，则复数z 的模等于（ ）．A ．1i +B ．1i -C ．2D10．若复数2(2)m i -所表示的点在第一象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．()(),22,-∞-⋃+∞ B ．()2,2-C ．(),2-∞-D ．()2,0-11．复数()23z i i =-+（i 是虚数单位）的虚部是( ) A ．2- B ．2i -C ．3D ．3i12．复数z 11ii-=+，则|z |=( )A ．1B ．2C ．2D ．22二、填空题13．已知复数z 满足|1|1z i -+=，则|2 3 |z i +-的最小值为___________． 14．若复数2018,1z i i=+-则z 的虚部为__________． 15．i 为虚数单位，若复数22(23)()m m m m i +-+-是纯虚数，则实数m =_______. 16．复数z=（其中i 为虚数单位）的虚部为________．17．已知z a bi =+(a b R i ∈，，是虚数单位),12z z C ∈，，定义:()()1212D z z a b D z z z z ==+=-，，，给出下列命题: (1)对任意z C ∈，都有()0D z ＞；(2)若z 是z 的共轭复数,则()()D z D z =恒成立； (3)若()()()1212D z D z z z C =∈，，则12z z =；(4)对任意123z z z C ∈，，，结论()()()131223+D z z D z z D z z ≤，，，恒成立. 则其中所有的真命题的序号是_____________. 18．设复数)1233,3,332z i z i z i θθ=-==++，则12z z z z -+-的最小值为__________． 19．设i 为虚数单位，复数2iz i+=，则z 的模||z =______. 20．已知复数112z i =-+，21z i =-，334z i =-，它们在复平面上对应的点分别为,,A B C ，若OC OA OB λμ=+，(,R λμ∈)，则λμ+的值是__________．三、解答题21．在复平面上，点(),P x y 所对应的复数p x yi =+（i 为虚数单位），(),z a bi a b R =+∈是某给定复数，复数q p z =⋅所对应的点为(),Q x y ，我们称点P 经过变化成为了点Q ，记作()Q z P =.（1）给出12z i =+，且()()8,1z P Q =，求点P 的坐标；（2）给出34z i =+，若点P 在椭圆22194x y +=上，()Q z P =，求OQ 的取值范围；（3）已知点P 在双曲线221x y -=上运动，试问是否存在z ，使得()Q z P =在双曲线1y x=上运动？若存在，求出z ；若不存在，说明理由. 22．已知1z i =-.(1)若2z az b 1i,a,b R ++=+∈,求,a b .(2)设复数1(,)z x yi x y R =+∈满足11z z -=，试求复数1z 平面内对应的点(,)x y 到原点距离的最大值.23．已知复数()2113z i i =-++. （1）求z ；（2）若2z az b z ++=，求实数a ，b 的值. 24．已知复数1z i =-.（1）设(1)13w z i i =+--，求w ；（2）如果21z az bi i++=+，求实数a ，b 的值.25．（1）已知121,2z i z i =+=-，且12111z z z =+，求z ； （2）已知32i --是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，求实数,p q 的值.26．设1z 是虚数，2112z z z =+是实数，且212z -≤≤. （1）求1z 的值以及1z 的实部的取值范围； （2）若ω=ω为纯虚数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】()()11z z +-=2211(2)1(34)24z i i i -=--=--=-+ ,选B.,2．C解析：C 【分析】先设出复数z ，利用复数相等的定义得到集合A 看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆的点集，若A ∩B ＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可． 【详解】设z ＝x +yi ，,x y R ∈,则（a +bi ）（x ﹣yi ）+（a ﹣bi ）（x +yi ）+2＝0化简整理得，ax+by+1＝0即，集合A可看成复平面上直线上的点，集合B可看成复平面上圆x2+y2=1的点集，若A∩B＝∅，即直线ax+by+1＝0与圆x2+y2=1没有交点，1d=，即a2+b2＜1故选C．【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．3．A解析：A【解析】因22(1)112i i iii+==-+-，故应选答案A．4．A解析：A【详解】因为13i(1+3)(1)4221i(1)(1)2i i iii i+-+===+++-，故选：A．点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．5．A解析：A【分析】根据周期性得到1z i=+,得到答案.【详解】2320211(11)(11)11z i i i i i i i i i i=++++⋯+=+--+⋯++--++=+，故复数z对应的点在第一象限.故选：A.【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.6．A解析：A【分析】化简复数z的代数形式，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解.由题意，复数()()()()1313313331010ai i ai a a z i i i i +-++-===+++-， 因为复数z 为纯虚数，可得30310a a +=⎧⎨-≠⎩，解得3a =-.故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的分类及其应用，着重考查计算能力，属于基础题.7．A解析：A 【分析】设复数z a bi =+(),a b R ∈分别计算出以上式子，根据集合的元素互异性，可判断答案. 【详解】解：设复数z a bi =+(),a b R ∈ z a bi ∴=-(),a b R ∈，z a bi z =+=(),a b R ∈，||222z a b =+，222||z a b =+，()()22z z a bi a bi a b ⋅=+-=+()22222z a bi a b abi =+=-+222222z a b abi a b ∴=-+===+故由以上的数组成的集合最多有a bi +，a bi -，22a b +这3个元素， 故选：A 【点睛】本题考查复数的运算及相关概念，属于中档题.8．B解析：B 【分析】 化简复数得到答案. 【详解】()()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i ii -----===-++故答案选B本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.9．D解析：D 【分析】结合复数的四则运算,计算复数z ，计算模长，即可． 【详解】()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，z =，故选D. 【点睛】本道题考查了复数的乘除运算法则，复数的模的求法，难度中等．10．C解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数2(2)m i -，再由实部与虚部均大于0联立不等式组求解即可. 【详解】()22(2)44m i m mi -=--表示的点在第一象限，24040m m ->⎧∴->⎨⎩，解得2m <-． ∴实数m 的取值范围是(),2-∞-．故选C ．【点睛】本题主要考查的是复数的乘法、乘方运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bic di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误．11．A解析：A 【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简后得到答案.详解：因为2(23)2332z i i i i i =-+=-+=--，所以其虚部为2-， 故选A.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算，复数的虚部的概念，一定要注意复数的虚部是i 的系数.12．A解析：A【分析】运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z . 【详解】由题意复数z 11ii-=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+===-++-,所以=1z . 故选A 【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.二、填空题13．4【分析】根据复数模的几何意义将条件转化为距离问题即可得到答案【详解】设由得所以即点是圆心为半径为1的圆上的动点表示的是点与点的距离所以其最小值为点到圆心的距离减去半径即故答案为：4【点睛】本题考查解析：4 【分析】根据复数模的几何意义，将条件转化为距离问题即可得到答案 【详解】设(,)z x yi x y R =+∈，由|1|1z i -+=得1(1)1x y i -++= 所以()()22111x y -++=即点(),x y 是圆心为()1,1-，半径为1的圆上的动点|2 3 |z i +-=，表示的是点(),x y 与点()2,3-的距离所以其最小值为点()2,3-到圆心()1,1-的距离减去半径14=故答案为：4 【点睛】本题考查的是复数模的几何意义，圆当中的最值问题一般向圆心进行转化.14．1010【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果详解：由复数的运算法则可知：则的虚部为1010点睛：本题主要考查复数的运算法则意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：1010 【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由复数的运算法则可知：()()()20181201820182018100910091112i ii i i i ++===+--+， 则2018100910101z i i i=+=+-， z 的虚部为1010.点睛：本题主要考查复数的运算法则，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．-3【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解详解：∵复数是纯虚数解得故答案为-3点睛：本题考实数值的求法是基础题解题时要认真审题注意纯虚数的定义的合理运用解析：-3 【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解．详解：∵复数()()2223m m m m i +-+-是纯虚数，22230m m m m ⎧+-∴⎨-≠⎩＝ ，解得3m =- ． 故答案为-3．点睛：本题考实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意纯虚数的定义的合理运用．16．﹣【解析】试题分析：利用复数除法运算化简可得虚部解：==则复数z 的虚部为﹣故答案为﹣考点：复数代数形式的乘除运算解析：﹣． 【解析】试题分析：利用复数除法运算化简，可得虚部． 解：==，则复数z 的虚部为﹣， 故答案为﹣．考点：复数代数形式的乘除运算．17．（2）（4）【分析】由新定义逐一核对四个命题得答案【详解】解：对于（1）当时命题（1）错误；对于（2）设则则命题（2）正确；对于（3）若则错误如满足但；对于（4）设则由得恒成立（4）正确∴正确的命题解析：（2），（4） 【分析】由新定义逐一核对四个命题得答案．【详解】解：对于（1），当0z =时，()|0||0||0|0D z ==+=，命题（1）错误； 对于（2），设z a bi =+，则z a bi =-，则()||||D z z a ==||||||||()b a b z D z +-=+==，命题（2）正确； 对于（3），若()()()1212,z z z D D z C =∈，则1z =2z 错误，如121,1z i z i =+=-，满足()()12D z D z = ()12,z z C ∈，但12z z ≠；对于（4），设123,,z a bi z c di z e fi =+=+=+，则()1212,()()||||D z z a c b d i c b z a d z =-=-+-=-+-，()2323,()()||||D z z c e d f i e d z c f z =-=-+-=-+-， ()1313,()()||||D z z a e b f i e b z a f z =-=-+-=-+-，由|||()()|||||,|||()()|||||a e a c c e a c c e b f b d d f b d d f -=-+-≤-+--=-+-≤-+-，得()()()131223+D z z D z z D z z ≤，，，恒成立，（4）正确． ∴正确的命题是（2）（4）． 故答案为（2），（4）． 【点睛】本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了绝对值的不等式，是中档题．18．【解析】分析：复数分别对应点经过AB 的直线方程为设复数则复数对应的点的轨迹为圆其方程为判断选择和圆的位置关系可得到的最小值详解：复数分别对应点经过AB 的直线方程为设复数则复数对应的点的轨迹为圆其方程解析：2+【解析】分析：复数123,,z z i =-=分别对应点()3,,A B - 经过A,B的直线方程为,y x = 设复数)2x yi,z i θθ=++=+(),x y R ∈,则复数z对应的点的轨迹为圆，其方程为()2223x y +-= ，判断选择和圆的位置关系可得到12z z z z -+-的最小值.详解：复数123,,z z i =-=分别对应点()3,,A B - 经过A,B的直线方程为,y x = 设复数)2x yi,z i θθ=++=+(),x y R ∈,则复数z对应的点的轨迹为圆，其方程为()2223x y +-=，圆心()0.2到直线,3y x =的距离为d == 即直线和圆相切，则12z z z z -+-的最小值即为线段AB 的长，2AB==+即答案为2+点睛：本题考查复数的几何意义，直线和圆的位置关系，属中档题..19．【解析】分析：利用复数的除法法则运算得到复数然后根据复数模的公式进行求解即可详解：即答案为点睛：本题主要考查了复数代数形式的乘除运算以及复数模的计算同时考查计算能力属基础题 【解析】分析：利用复数的除法法则运算得到复数z ，然后根据复数模的公式进行求解即可．详解：()()()2212,i i i zi z i i i +⋅-+===-∴=⋅-点睛：本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数模的计算，同时考查计算能力，属基础题．20．1【详解】由题设得三点的坐标分别为将三向量的坐标代入得因此即所以故答案为1点睛：本题考查复数与向量的对应以及向量相等的条件复数与向量的对应要注意向量的起点必须在原点上向量相等则两向量的横纵坐标相等；解析：1 【详解】由题设得三点的坐标分别为()()()12,11,34A B C ---，，，，将三向量的坐标代入OC OA OB λμ=+得341211λμ-=-+-（，）（，）（，），因此324λμλμ-+=⎧⎨-=-⎩，即1 2λμ=-⎧⎨=⎩，所以λμ1+=，故答案为1.点睛：本题考查复数与向量的对应，以及向量相等的条件，复数与向量的对应要注意向量的起点必须在原点上，向量相等则两向量的横纵坐标相等；由题设求出三点A B C ，，的坐标，既得三个向量的坐标将三个向量的坐标代入向量方程，利用向量的相等建立起参数,λμ的方程，求出,λμ的值. 三、解答题21．（1）(2,3)-；（2）[]10,15；（3）存在，复数1z i =+和1i z =--.【分析】（1）根据题意得到()812i i p +=+⋅，求出82312i p i i+==-+，从而可得出结果； （2）先由点P 在椭圆22194x y +=上，得到[]2,3p OP =∈，再由5z =，即可求出结果；（3）假设存在，先设(,)P x y ，求出经过变换后的点为(),Q ax by bx ay -+，再由曲线方程，即可求出结果.【详解】（1）根据题意，有()812i i p +=+⋅， 所以8(8)(12)10152312(12)(12)5i i i i p i i i i ++--====-++-， 所以点P 的坐标为(2,3)-；（2）因为点P 在椭圆22194x y +=上， 所以[]2,3p OP =∈， 又345z i =+=，所以[]10,15OQ q p z ==⋅∈；（3）假设存在z a bi =+，(),a b ∈R ，使得()Q z P =在双曲线1y x=上运动， 设(,)P x y ，所以()()q ax by bx ay i =-++，对应的点为(),Q ax by bx ay -+，因为(),Q ax by bx ay -+在双曲线1y x =上运动， 所以1bx ay ax by+=-，所以22221abx a xy b xy aby +--=， 即P 在曲线22221abx a xy b xy aby +--=上运动，所以有2210ab a b =⎧⎨-=⎩，解得：11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩， 所以，存在复数z 满足题意，分别为1z i =+和1i z =--.【点睛】本题主要考查复数的运算与复数的几何意义，熟记复数的四则运算，以及复数的几何意义与复数的运算法则即可，属于常考题型.22．（1）34a b =-⎧⎨=⎩（21 【分析】（1）复数相等时，实部分别相等，虚部分别相等；（2）由11z z -=判断出1z 对应的轨迹，然后分析轨迹上的点到原点距离最大值.【详解】解：（1）21z az b i ++=+，21i a ai b i ∴-+-+=+，(2)1a b a i i ∴+-+=+1(2)1a b a +=⎧∴⎨-+=⎩， 34a b =-⎧∴⎨=⎩； (2)设1,(,)z x yi x y =+∈R ，|()(1)|1x yi i ∴+--=即|(1)(1)|1x y i -++=，22(1)(1)1x y ∴-++=即1z 在平面对应点的轨迹为以(1,1)-为圆心，以1为半径的圆，max 11d ∴==【点睛】本题考查复数相等以及复数方程对应的轨迹问题，难度一般.以复数0z 对应的点为圆心，以r 为半径的圆的复数方程是：0z z r -=.23．（1（2）3{4a b =-= 【解析】分析：（1）把z 化为(,)a bi a b R +∈形式，然后由模的定义求解；（2）代入z ，把等式化为(,,,)a bi c di a b c d R +=+∈，再由复数相等的定义求解． 详解：（1）()2113z i i =-++ 121131i i i =--++=+，所以复数z 的模z ==（2）()()2211121z az b i a i b i a ai b ++=++++=+-+++()()2a b a i =+++， 而1z i =-，由此易得121a b a +=⎧⎨+=-⎩，可得34a b =-⎧⎨=⎩. 点睛：本题考查复数的概念，掌握复数的相关概念与运算法则是解题基础．若(,)z a bi a b R =+∈，则z =，若(,,,)a bi c di a b c d R +=+∈，则a c b d =⎧⎨=⎩．24．(1) w =32a b =-⎧⎨=⎩【解析】分析：（1）根据复数的除法运算得到13w i =-，进而得到模长；（2）根据复数相等的概念得到()121a b a +=-⎧⎨-+=⎩，进而求得参数. 详解：（1）因为1z i =-，所以()()111313w i i i i =-+--=-.∴w =（2）由题意得：()()2211z az b i a i b ++=-+-+ ()2a b a i =+-+； ()11i i i +=-+，所以()121a b a +=-⎧⎨-+=⎩， 解得32a b =-⎧⎨=⎩. 点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.25．（1）3z =;（2）12,26p q ==. 【解析】 试题分析：（1）把12,z z 代入12111z z z =+，利用复数除法化简，可得113z i =+，所以z =（2）由于32i --是方程的一个根，所以把32i --代入方程，整体成复数的一般形式，根据复数等于0，实部虚部都为0，可得()()3102420p q p i -+++-=，即31002420p q p -++=⎧⎨-=⎩可解得,p q .试题（1）由12111z z z =+，得()()()()123111233i i i z i i i +-+===+++-，所以3z =. （2）由于32i --是方程220x px q ++=一根，则()()2232320i p i q --+--+=即：()()3102420p q p i -+++-=，所以，31002420p q p -++=⎧⎨-=⎩， 解得，12,26p q ==.【点睛】对于复数方程根的问题，已知一复数根时，一般把复数代入方程，整体成复数的一般形式，根据复数等于0，实部虚部都为0，可得两个等式，可解参数。
2019天津高三数学单元测试题17数系的扩充与复数的引入
2019天津高三数学单元测试题17数系的扩充与复数的引入 注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！〔时间：60分钟总分值100分〕【一】选择题〔每题5分，共50分〕1、假设i 为虚数单位，那么=+i i )1(〔〕A 、i +1B 、i -1C 、i +-1D 、i --12、0=a 是复数(,)a bi a b R +∈为纯虚数的〔〕A 、充分条件B.必要条件C.充要条件D.非充分非必要条件3、在复平面内，复数ii +-12对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4、假设复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是虚数，那么实数m 满足〔〕〔A 〕m ≠－1〔B 〕m ≠6(C)m ≠－1或m ≠6(D)m ≠－1且m ≠65、如果复数ibi 212+-的实部与虚部互为相反数，那么实数b 等于〔〕A 、32-B 、32 C 、2 D 、2 6、假设复数z 满足方程022=+z ，那么3z 的值为〔〕A 、22±B 、22-C 、i 22±D 、i 22-7、设O 是原点，向量OB OA ,对应的复数分别为i 32-，i 23+-，那么向量对应的复数是〔〕A 、i 55-B 、i 55+-C 、i 55+D 、i 55--8、i 表示虚数单位，那么2008321i i i i ++++ 的值是〔〕A 、0B 、1C 、iD 、i -9、对于两个复数i 2321+-=α，i 2321--=β，有以下四个结论：①1=αβ；②1=βα；③1=βα；④133=β+α，其中正确的结论的个数为〔〕A 、1B 、2C 、3D 、410、假设C z ∈且1||=z ，那么|22|i z --的最小值是〔〕 A 、22 B 、122+ C 、122-D 、2 【二】填空题〔每题4分，共16分.把答案填在题中的横线上〕11、ni i m-=+11，其中n m ,是实数，i 是虚数单位，那么=-ni m12、在复平面内，假设复数z 满足|1|||z z i +=-，那么z 所对应的点的集合构成的图形是。
(易错题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》检测卷(答案解析)(3)
一、选择题1．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则a bi +=（ ）AB ．2 CD ．5 2．复数(34)i i +的虚部为A ．3B ．3iC ．4D ．4i3．已知i 是虚数单位，复数1i1i -+（ ）． A ．1B ．1-C ．iD ．i -4．对于复数z a bi =+（,,a b R ∈i 为虚数单位），定义||||z a b =+‖‖，给出下列命题：①对任何复数z ，都有0z ≥‖‖，等号成立的充要条件是0z =；②z z =‖‖‖‖：③若12z z =，则12=±z z ：④对任何复数1z 、2z 、3z ，不等式131223z z z z z z -≤-+-恒成立，其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．当复数2(32)()z x x x i x =-+-∈R 的实部与虚部的差最小时，1zi =-（ ） A ．33i -+ B ．33i +C ．13i -D ．13i --6．已知复数z 满足z （1﹣i ）＝﹣3+i （期中i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面对应的点是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．满足条件4z i z i ++-=的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）． A ．椭圆B ．两条直线C ．圆D ．一条直线8．满足条件3z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．线段9．复数z 满足(1)35i z i -⋅=+，则||z = A ．2B．CD10．已知a ∈R ，复数12i z a =+，212i z =-，若12z z 为纯虚数，则复数12z z 的虚部为( ) A ．1B ．iC ．25D ．011．设i 是虚数单位，则复数734ii++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于( ) A ．34B ．43C ．43-D ．34-二、填空题13．设11()()()()11n ni i f n n i N i+-=+∈-+，则集合{|()}x x f n =的子集个数是___________. 14．已知,z w C ∈，1z w +=，224z w +=，则zw 的最大值为______.15．已知复数12,z z 满足122,3z z ==，若它们所对应向量的夹角为60︒，则1212z z z z +=-___ 16．复数z 满足21z i -+=，则z 的最大值是___________． 17．若复数23z i =+，则1iz+=__________． 18．已知复数43cos sin 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，（i 为虚数单位)，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.19．已知z C ∈，||1z =，则2|21|z z ++的最大值为______．20．如果复数z 满足336z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是__________三、解答题21．（1）在复数范围内解方程：23||()2iz z z i i-++=+（i 为虚数单位）； （2）设系数为整数的一元二次方程20ax bx c ++=的两根恰为（l ）中方程的解，求||||||a b c ++的最小值；22．已知关于x 的实系数方程20x px q -+=，其中p q 、为实数. (1)若12x i =+是该方程的根，求p q +的值； (2)若22p q +=，求该方程两根之积的最大值.23．在复数范围内分解因式：42625x x -+= ________. 24．已知是复数，和均为实数（为虚数单位）.(1)求复数； (2)求的模.25．证明：在复数范围内，方程()()255112iz i z i z i-+--+=+（为虚数单位）无解． 26．已知z 是复数，i z 2+、iz -2均为实数（i 为虚数单位），且复数2)(ai z +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于,a b 的方程组，解得,a b 的值，进而可得答案. 【详解】因为(1)(1)1(1)i bi b b i a +-=++-=，结合,a b ∈R ，所以有110b a b +=⎧⎨-=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以2a bi i +=+==故选C. 【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.2．A解析：A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简得答案． 【详解】 ∵i （3+4i ）=-4+3i ， ∴i （3+4i ）的虚部为3． 故选A. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．D解析：D 【解析】()()()()1i 1i 1i 12i 12ii 1i 1i 1i 112------====-++-+，故选D. 4．C解析：C 【分析】在①中，当z ＝0时，‖z ‖＝0；反之，当‖z ‖＝0时，z ＝0；在②中，z ＝a +bi ，z =a ﹣bi ，从而‖z ‖＝‖z ‖＝|a |+|b |；在③中，当z 1＝2+3i ，z 2＝3+2i 时，不成立；④由绝对值的性质得到‖z 1﹣z 3‖≤‖z 1﹣z 2‖+‖z 2﹣z 3‖恒成立． 【详解】由复数z ＝a +bi （a 、b ∈R ，i 为虚数单位），定义‖z ‖＝|a |+|b |，知： 在①中，对任何复数，都有‖z ‖≥0，当z ＝0时，‖z ‖＝0；反之，当‖z ‖＝0时，z ＝0， ∴等号成立的充要条件是z ＝0，故①成立；在②中，∵z ＝a +bi ，z =a ﹣bi ，∴‖z ‖＝‖z ‖＝|a |+|b |，故②成立； 在③中，当z 1＝2+3i ，z 2＝3+2i 时，‖z 1‖＝‖z 2‖，但z 1≠±z 2，故③错误； ④对任何复数z 1，z 2，z 3，设z 1＝a 1+b 1i ，z 2＝a 2+b 2i ，z 3＝a 3+b 3i ， 则‖z 1﹣z 3‖＝|a 1﹣a 3|+|b 1﹣b 3|，‖z 1﹣z 2‖+‖z 2﹣z 3‖＝|a 1﹣a 2|+|a 2﹣a 3|+|b 1﹣b 2|+|b 2﹣b 3|， |a 1﹣a 3|≤|a 1﹣a 2|+|a 2﹣a 3|， |b 1﹣b 3|≤|b 1﹣b 2|+|b 2﹣b 3|，∴‖z 1﹣z 3‖≤‖z 1﹣z 2‖+‖z 2﹣z 3‖恒成立．故④成立． 故选：C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意绝对值性质、复数概念及性质的合理运用．5．C解析：C 【解析】 【分析】实部与虚部的差为242x x -+。
天津市高三数学单元测试题10《数系的扩充与复数的引入》 新人教版
天津新人教版数学2013高三单元测试10《数系的扩充与复数的引入》（ 时间：60分钟 满分100分）一、选择题（每小题5分，共50分）1.若(a+4i)i=b+i ，a,b∈R,i 是虚数单位，则a-b 等于( )A.3B.5C.-3D.-52.若（为虚数单位），则的值可能是( )（A ） （B ） （C ） （D ）3.在复平面上的平行四边形ABCD 中，向量AC 、BD 对应的复数分别为i 104+、i 86+-，则向量DA 对应的复数为 （ ） A ．i 182+ B ．i 91+ C ．i 182- D ．i 91- 4.若复数ia z 21-=是纯虚数，其中a 是实数，则=||z （ ） A ．1 B ．2 C ．21D ．415.若复数iia z -+=1，且03＞zi ，则实数a 的值等于 （ ） A ．1 B ．1- C ．21D ．21-6.已知复数z 满足i iz -=+121，其中i 是虚数单位，则复数z 的共轭复数为 ( ) A ．i 21-B ．i 21+C ．i +2D ．i -27.已知复数满足()31212i Z i +=+，则Z 等于( )A ．3455i -+ B ．3455i + C ．3455i -- D ．3455i -8.若复数满足方程，则( )A.B. C.D.9.已知复数z=l+i ，则221z zz --等于( )A ．2iB ．—2iC ．2D ．-210.已知i 是虚数单位，复数（31)1i i+=-( ) A ．i B ．-i C ．1D ．-1二、填空题（每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）11.若复数）（）（ai i z ++=212对应的点在复平面的第一象限，则实数a 的取值范围 ．12.已知复数z 的实部为2-，虚部为1，则225z i = ．13.已知∈b R 复数211+++i i b 的实部和虚部相等，则b 等于 ． 14.已知复数 300sin 600cos i z -=，则在复平面内，复数z1所对应的点在第 象限．三、解答题（本大题共四个小题，15题11分，16题11分，17题12分，共24分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）15. 已知复数z 1满足(1+i)z 1=－1+5i, z 2=a －2－i, 其中i 为虚数单位,a∈R, 若<,求a 的取值范围.16.把复数z 的共轭复数记作z ，已知i z i 34)21(+=+，求z 及zz 。
(好题)高中数学选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．复数1cos isin z x x =-，2sin icos z x x =-，则12z z ⋅=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．设复数z 满足()12z i i ⋅-=+，则z 的虚部是（ ） A ．32B ．32i C ．32-D ．32i -3．i 是虚数单位，20191i ()(1i+=- ) A ．iB ．i -C ．1D ．1- 4．若复数2(2)m i -所表示的点在第一象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．()(),22,-∞-⋃+∞ B ．()2,2-C ．(),2-∞- D ．()2,0-5．已知21zi i=++，则复数z =（ ） A ．10B ．2C ．13i -D ．13i +6．i 为虚数单位，则232018232018i i i i +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．20182017i -+B ．10081008i -C ．10101009i -+D ．10101009i -7．已知复数21iz i=+，则共轭复数z =( ) A ．1i -+B ．1i -C ．1i +D ．1i --8．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．已知i 为虚数单位，若复数1()1aiz a R i-=∈+的实部为-2，则z =（ ） A ．5B 5C 13D ．1310．已知命题p 是命题“若ac bc >，则a b >”的否命题；命题q ：若复数22(1)(2)x x x i -++-是实数，则实数1x =，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∨B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝11．设()1x yi i i +=+，其中x ，y 是实数，则2x yi +=（ ） A ．1B 2C 3D 512．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题13．在下列命题中：①两个复数不能比较大小；②复数1z i =-对应的点在第四象限；③若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==；⑤“复数(),,a bi a b c R +∈为纯虚数”是“0a =”的充要条件；⑥复数12120z z z z >⇔->；⑦复数z 满足22z z =；⑧复数z 为实数z z ⇔=.其中正确命题的是______.（填序号）14．设α和β是关于x 的方程220x x m ++=的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m =_______________. 15．已知复数1iz i+=（i 为虚数单位），则复数z 的实部为__________. 16．已知复数z 满足1z =，且负实数a 满足2220z az a a -+-=，则a 的值为___________.17．若实数m 满足z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数，则｜z ｜＝________． 18．复数i1iz =+，则z =______. 19．在复平面上，已知直线l 上的点所对应的复数z 满足3z i z i +=--，则直线l 的倾斜角为_____________（结果用反三角函数值表示）20．i 为虚数单位，则22(1)i =+______. 三、解答题21．已知i 是虚数单位．（1）若复数122z =-+，求z z +的值； （2）若复数()2262i m m z m m m+-=+-是纯虚数，求实数m 的值．22．设复数n n n z x i y =+⋅，其中n x n y ∈R ，*n ∈N ，i 为虚数单位，1(1)n n z i z +=+⋅，134z i =+，复数n z 在复平面上对应的点为n Z .（1）求复数2z ，3z ，4z 的值；（2）是否存在正整数n 使得n OZ ∥1OZ ？若存在，求出所有满足条件的n ；若不存在，请说明理由；（3）求数列{}n n x y ⋅的前102项之和.23．已知复数212z ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭是一元二次方程21(,)0m n x nx m ++=∈R 的一个根. （1）求m 和n 的值；（2）若1(2i)z a z =-，a ∈R ，1z 为纯虚数，求|2i |a +的值. 24．已知复数Z 满足23z i z i -=++（其中i 为虚数单位） （1）求z ； （2）若2a iz+为纯虚数，求实数a 的值． 25．已知复数1()2iaz a =+∈+R . （I ）若z ∈R ，求复数z ；（II ）若复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，求a 的取值范围. 26．已知复数z 满足()1z i m i -=+(其中i 是虚数单位).(1)在复平面内，若复数z 对应的点在直线50x y +-=上，求实数m 的值； (2)若1z ≤，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】复数12cos sin ,sin cos z x i x z x i x =-=-，则()2212cos sin cos sin cos sin z z x x x x i x x ⋅=-+--=i - ，则121z z ⋅=，故选D.2．C解析：C 【分析】 化简得到1322z i =+，故1322z i =-，得到答案. 【详解】()12z i i ⋅-=+，则()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+，故1322z i =-，虚部为32-. 故选：C. 【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，复数的虚部，意在考查学生的计算能力和转化能力.3．B解析：B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i 的性质计算． 【详解】()()21i (1i)i 1i 1i 1i ++==--+， 20192019450431i ()i (i )i i 1i +∴==⋅=--． 故选B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的运算性质，是基础题．4．C解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数2(2)m i -，再由实部与虚部均大于0联立不等式组求解即可. 【详解】()22(2)44m i m mi -=--表示的点在第一象限，24040m m ->⎧∴->⎨⎩，解得2m <-． ∴实数m 的取值范围是(),2-∞-．故选C ．【点睛】本题主要考查的是复数的乘法、乘方运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bic di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误．5．A解析：A 【分析】由题意结合复数的运算法则和复数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()()21=1+3i z i i =++，则z == 本题选择A 选项.本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．C解析：C 【详解】分析：由复数的基本运算性质,可得44142431,,1,nn n n i i i i i i +++===-=-，其中n 为自然数，进而即可求解答案.详解：由复数的基本运算性质,可得44142431,,1,n n n n i i i i i i +++===-=-，其中n 为自然数，设232018232018S i i i i =+++⋅⋅⋅+，两边同乘i 可得：2342019232018iS i i i i =+++⋅⋅⋅+ 两式相减可得()()20182320182019201911201820181i i q S i i i i i ii--=++++-=--()112018120191i i i i+=+=-+-所以()()()()1201911201910101009111i i i S i i i i -++-+===-+--+，故选C. 点睛：本题主要考查了虚数的运算性质的应用，其中熟记虚数的运算性质，利用乘公比错误相减法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.7．B解析：B 【解析】分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可. 详解：由题意可得：()()()()2121211112i i i iz i i i i -+====+++-， 则其共轭复数1z i =-. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．D解析：D 【解析】分析：先化复数为代数形式，再根据几何意义得对应点，即得点所在象限. 详解：复数，其对应的点是，位于第四象限．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为9．C解析：C 【解析】分析：利用复数的除法运算得到z ，进的得到z . 详解：由题复数()11aiz a R i-=∈+的实部为-2，()()()()()11111,1112ai i a a iai z i i i -⋅---+-===++⋅- 12,5,2aa -∴=-= 则()1123,13.2a a i z i z --+==--∴= 故选C.点睛：本题考查复数的除法运算及复数的模，属基础题.10．D解析：D 【解析】分析：先判断命题p ，q 的真假，再判断选项的真假. 详解：由题得命题p:若a>b,则ac bc >，是假命题.因为()()2212x x x i -++-是实数，所以220,2 1.x x x x +-=∴=-=或所以命题q 是假命题，故()()p q ⌝∧⌝是真命题.故答案为 D.点睛：（1）本题主要考查四个命题和复数的基本概念，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)复合命题的真假判断口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.11．D解析：D 【解析】分析：首先应用复数代数形式的乘法运算法则，将()x yi i +求出来，之后应用复数相等的条件，得到,x y 所满足的等量关系式，求得,x y 的值，接着利用复数的模的计算公式求得结果.详解：因为()1,,x yi i i x y +=+是实数，所以21xi yi i +=+，即1y xi i -+=+，所以1,1x y ==-， 则212145x yi i +=-=+=，故选D.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算法则、复数相等的条件以及复数模的计算公式，属于简单题目.12．A解析：A 【分析】化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()10121024121212i z i i i i +===+--+， 所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.二、填空题13．⑧【分析】根据复数的定义和性质依次判断每个选项得到答案【详解】①当复数虚部为0时可以比较大小①错误；②复数对应的点在第二象限②错误；③若是纯虚数则实数③错误；④若不能得到举反例④错误；⑤复数为纯虚数解析：⑧ 【分析】根据复数的定义和性质，依次判断每个选项得到答案. 【详解】①当复数虚部为0时可以比较大小，①错误； ②复数1z i =-对应的点在第二象限，②错误；③若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =，③错误；④若()()2212230z z z z -+-=，不能得到123z z z ==，举反例1231,0,z z z i ===，④错误；⑤“复数(),,a bi a b c R +∈为纯虚数”是“0a =”的充分不必要条件，⑤错误； ⑥复数12120z z z z >⇔->，取122,z i z i =+=，不能得到12z z >，⑥错误； ⑦复数z 满足22z z =，取zi ，22z z ≠，⑦错误；⑧复数z 为实数z z ⇔=，根据共轭复数定义知⑧正确. 故答案为：⑧. 【点睛】本题考查了复数的性质，定义，意在考查学生对于复数知识的理解和掌握.14．【分析】由题意可设α＝a+bi 则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β＝a ﹣bi 且m 与n 为实数b≠0由根与系数的关系得到ab 的关系由αβ0对应点构成直角三角形求得到实数m 的值【详解】设α＝a+bi 则 解析：2【分析】由题意，可设α＝a +bi ，(),a b ∈R 则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β＝a ﹣bi ，且m 与n 为实数，b ≠0．由根与系数的关系得到a ，b 的关系，由α，β，0对应点构成直角三角形，求得到实数m 的值 【详解】设α＝a +bi ，(),a b ∈R 则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β＝a ﹣bi ，且m 与n 为实数，n ≠0．由根与系数的关系可得α+β＝2a ＝﹣2，α•β＝a 2+b 2＝m ． ∴m ＞0．∴a ＝﹣1，m ＝b 2+1，∵复平面上α，β，0对应点构成直角三角形，∴α，β在复平面对应的点分别为A ，B ，则OA ⊥OB ，所以b 2＝1，所以m ＝1+1＝2；， 故答案为：2 【点睛】本题主要考查实系数一元二次方程虚根成对定理、根与系数的关系，三角形是直角三角形是解题的关键，属于基础题．15．1【解析】由题意可得：则复数的实部为1解析：1 【解析】 由题意可得：()11i i z i i-+==- ，则复数z 的实部为1.16．【分析】由设代入后利用复数相等的定义求解【详解】因为故可设则即所以或若则时不是负数舍去时无实解则（舍去）故答案为：【点睛】关键点点睛：与复数有关的方程常常设代入方程后利用复数相等的定义转化为实数方程解析：12【分析】由1z =，设cos sin ()z i R ααα=+∈，代入后利用复数相等的定义求解． 【详解】因为1z =，故可设cos sin ()z i R ααα=+∈，则22222(cos sin )2(cos sin )0z az a a i a i a a αααα-+-=+-++-=，即222(cos sin 2cos )2sin (cos )0a a a a i ααααα--+-+-=，所以2222sin (cos )0cos sin 2cos 0a a a a ααααα-=⎧⎨--+-=⎩， 2sin (cos )0sin 0a ααα-=⇒=或cos a α=，若sin 0α=，则cos 1α=±，cos 1α=时，222cos sin 2cos a a a ααα--+-2310a a =-+=，32a =，不是负数，舍去．cos 1α=-时，222cos sin 2cos a a a ααα--+-210a a =++=，a =，无实解．cos a α=，则22222222cos sin 2cos (1)210a a a a a a a a a a ααα--+-=---+-=--=，152a （12a +=舍去）．． 【点睛】关键点点睛：与复数有关的方程，常常设(,)z m ni m n R =+∈，代入方程后利用复数相等的定义转化为实数方程求解．17．3【解析】由于为纯虚数则得故故答案为3解析：3 【解析】由于()()21z m m i ++＝－为纯虚数，则20{10m m -=+≠，得2m =，3i z =，故3z =，故答案为3.18．【解析】试题分析：考点：解析：2【解析】试题分析： ()()()i 1i i 1i ,1i 1i 1i 22z z -+====++-. 考点：19．【分析】利用复数模的几何意义判断出直线的轨迹由此求得直线的斜率进而求得对应的倾斜角【详解】由题意得即的轨迹是到和两点的距离相等的点也即线段的垂直平分线故斜率为负数倾斜角为钝角故倾斜角为【点睛】本题主解析：3arctan 2π-【分析】利用复数模的几何意义判断出直线l 的轨迹，由此求得直线l 的斜率，进而求得对应的倾斜角. 【详解】由题意得()()3z i z i --=-+，即z 的轨迹是到()0,1A -和()3,1B 两点的距离相等的点，也即线段AB 的垂直平分线，()112303AB k --==-，故32l k =-，斜率为负数，倾斜角为钝角，故倾斜角为3πtan 2arc -. 【点睛】本题主要考查复数模的几何意义，考查两直线垂直时斜率的关系，考查反三角函数，属于基础题.20．【分析】先化简分母再分子分母同乘以从而可得结果【详解】故答案为【点睛】复数是高考中的必考知识主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部虚部的理解掌握纯虚数共轭复数复数的模这些重要概念复数的运算主要考 解析：i -【分析】先化简分母，再分子分母同乘以i ，从而可得结果. 【详解】()222211211ii i i ii ====-+-+，故答案为i -.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.三、解答题21．（1）122-（2）-3 【分析】（1）直接求出,||z z 即得解；（2）由题得260m m m+-=且220-≠m m ，解不等式组得解.【详解】（1）由题得1i 22z =--，1122z z z =∴+=-． （2）由题得260m m m+-=且220-≠m m ， 3m ∴=-【点睛】本题主要考查复数模的计算和共轭复数，考查纯虚数的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22．（1）217z i =-+，386z i =-+，4142z i =--.（2）存在，41n k =+，k ∈N .（3）10212+【分析】（1）根据()11n n z i z +=+⋅，依次代入1,2,3n =计算即可得到结果；（2）根据平行关系可知1n z z λ=⋅，从而得到()11n i λ-+=为实数，根据复数乘方运算可知1n -为4的倍数，进而得到结果；（3）由44n n z z +=-可知4416n n n n x y x y ++=，利用此特点化简所求式子，结合等比数列求和公式可求得结果.【详解】（1）()()213417z i i i =++=-+；()()311786z i i i =+-+=-+； ()()4186142z i i i =+-+=--.（2）若1//n O Z Z O ，则存在实数λ，使得1n OZ OZ λ=，故1n z z λ=⋅即()()11,,n n x y x y λ=又()11n n z i z +=+，故()111n n z i z -=+，即()11n i λ-+=为实数故1n -为4的倍数，即14n k -= 41n k ∴=+，k ∈N（3）()4414n n n z i z z +=+=-，故44n n x x +=-，44n n y y +=- 4416n n n n x y x y ++∴= 又1112x y =，227x y =-，3348x y =-，4428x y =()()1122331001001122334455667788x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ∴+++⋅⋅⋅+=+++++++()979798989999100100x y x y x y x y +⋅⋅⋅++++()25100116127482812116-=--+⨯=-- 又251001011011116122x y x y ==⨯，25100102102221672x y x y ==-⨯所以数列{}n n x y 的前102项之和为：100100100102121227212-+⨯-⨯=+【点睛】本题考查复数知识的综合应用问题，涉及到复数的乘法和乘方运算、复数运算的周期性、等比数列求和的问题；关键是能够灵活运用复数乘方运算的特点，将所求式子转化为类似周期运算的形式，从而将所求式子化简，利用等比数列求和的方法求得结果.23．（1）1m n ==；（2）4.【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由实系数一元二次方程虚根成共轭复数这一性质，结合韦达定理求解；（2）化简()12z a i z =-，由实部为0且虚部不为0求出a 的值，然后利用复数模的计算公式求解.【详解】（1）213144212z =--=-⎛⎫=- ⎪⎪⎝ ⎭是一元二次方程210mx nx ++=的一个虚根，则12-是一元二次方程210mx nx ++=的另一个虚根， 111122m ⎛⎫⎛⎫∴=--+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =， 11122n m ⎛⎫⎛⎫-=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1n =， 因此，1m n ==；（2）()()1112212222z a i z a i a a i ⎛⎫⎛⎫⎛=-=---=-+-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝⎭是纯虚数， 则10210a ⎧-=⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩，即a =-224a i i +=-==.【点睛】本题考查虚根与实系数一元二次方程之间的关系，同时也考查了复数相关的概念以及复数模的计算，解题时要利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式，针对实部和虚部进行求解，考查计算能力，属于中等题.24．（1）34z i =+；（2）83a =-. 【分析】 (1) 设(),z x yi x y R =+∈，可得2040x y -=-=⎪⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩从而可得结果；(2) 由（1）知()3864225a a i a i z ++-+=，利用2a i z +为纯虚数可得380640a a +=⎧⎨-≠⎩，从而可得结果.【详解】（1）设(),z x yi x y R =+∈， 由于23z i z i -=++23i x yi i =-++()240x y i -+-=2040x y -=∴-=⎪⎩解得：34x y =⎧⎨=⎩ 34z i ∴=+（2）由（1）知()()()()23422343434a i i a i a i z i i i +-++==++- ()386425a a i ++-=又2a i z+为纯虚数， 380640a a +=⎧∴⎨-≠⎩ 83a ∴=- 【点睛】本题主要考查的是复数的分类、复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.25．（1）2z =；（2）()0,5.【解析】试题分析：(1)由题意计算可得2555a a z i -=+,若z R ∈，则5a =，2z =. (2)结合(1)的计算结果得到关于实数a 的不等式，求解不等式可得a 的取值范围为()0,5. 试题（1）()225555a i a a z i i --=+=+,若z R ∈，则505a -=，∴5a =，∴2z =. （2）若z 在复平面内对应的点位于第一象限，则205a >且505a ->，解得05a <<，即a 的取值范围为()0,5.26．(1)5m =.(2)11m -≤≤.【解析】试题分析：（1）把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，求出z 对应的点的坐标，再结合已知条件计算得答案；（2）直接利用复数模的公式列不等式，解不等式即可得答案.试题(1)()112m m iz -++=，∴z 对应的点是11,22m m -+⎛⎫⎪⎝⎭， ∴115022m m -++-=， ∴5m =. (2)∵1z ≤，∴2211122m m -+⎛⎫⎛⎫+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴11m -≤≤.。
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【KS5U 】独家】天津新人教版数学2013高三单元测试17《数
系的扩充与复数的引入》
（ 时间：60分钟 满分100分）
一、选择题（每小题5分，共50分） 1．若i 为虚数单位，则=+i i )1(（ ）
A ．i +1
B ．i -1
C ．i +-1
D ．i --1
2．0=a 是复数(,)a bi a b R +∈为纯虚数的（ ）
A ．充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 3．在复平面内，复数
i
i +-12对应的点位于 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 4．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是虚数，则实数m 满足（ ） （A ）m ≠－1 （B ）m ≠6
(C) m ≠－1或m ≠6 (D) m ≠－1且m ≠6 5．如果复数i
bi 212+-的实部与虚部互为相反数，那么实数b 等于（ ）
A ．32-
B ．
3
2 C ．2 D ．2
6．若复数z 满足方程022=+z ，则3z 的值为（ ）
A ．22±
B ．22-
C ．i 22±
D ．i 22-
7．设O 是原点，向量OB OA ,对应的复数分别为i 32-，i 23+-，那么向量BA 对应的复数是（ ）
A ．i 55-
B ．i 55+-
C ．i 55+
D ． i 55--
8．i 表示虚数单位，则2008321i i i i ++++ 的值是（ ）
A ．0
B ．1
C ．i
D ．i - 9．对于两个复数i 2
32
1+
-
=α，i 2
32
1-
-
=β，有下列四个结论：①1=αβ；②
1=β
α；③
1=β
α；④133=β+α，其中正确的结论的个数为（ ）
A ． 1
B ．2
C ． 3
D ．4
10．若C z ∈且1||=z ，则|22|i z --的最小值是 （ ）
A ．22
B ．122+
C ．122-
D ．2
二、填空题（每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）
11．已知
ni i
m -=+11，其中n m ,是实数，i 是虚数单位，则=-ni m
12．在复平面内，若复数z 满足|1|||z z i +=-，则z 所对应的点的集合构成的图形是 。
13．若2z =且1-=+z i z ，则复数z =
14．在复平面内，O 是原点，O A ，O C ，AB
表示的复数分别为-+++23215i i i ，，，那
么BC
表示的复数为____________.
三、解答题（本大题共四个小题，15题11分，16题11分，17题12分，共24分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）
15.若方程2(2)20x m i x m i ++++=至少有一个实数根，求实数m 的值。
16.已知复数),()sin 3(cos 2),()4(221R i z R m i m m z ∈++=∈-+=θλθλθ，并且z 1 = z 2，求 λ 的取值范围。
17．把复数z 的共轭复数记作z ，已知i z i 34)21(+=+，求z 及z
z 。
18．求虚数z ，使R z
z ∈+9，且33=-z .
参考答案
1 C 2． B 3． D 4． D 5．A 6． C 7． A 8． A 9． B 10．C 11． i -
2 12．直线 13． )1(2i z -=
或)1(2i z --=
14． 4-4i 三、解答题：
15． 解：设方程的实根为a ，则02)2(2=++++mi a i m a ，整理得：
0)2()2(2
=++++i m a am a
，即：⎩⎨
⎧=+=++02022m a am a ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧-==222m a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=2
22
m a 。
所以m 的值为22或22-。
16.
解
：
由
z 1
=
z 2
得
⎩⎨⎧+=-=θ
λθsin 34cos 22
m m ，消
去
m
可得：
16
9)8
3(sin 4sin 3sin 42
2
-
-
=-=θθθλ，由于1sin 1≤≤-θ，故716
9≤≤-λ.
17．解：设),(R b a bi a z ∈+=，则bi a z -=，由已知得i bi a i 34))(21(+=-+，化简得：
i i b a b a 34)2()2(+=-++，所以32,42=-=+b a b a ，解得1,2==b a ，所以i z +=2，
i i
i z z 545322+=-+=。
18．解：设)0,(≠∈+=b Z b a bi a z 且，则：
i b
a
b b b
a
a a bi
a bi a z
z )9()9(992
2
2
2
+-
+++
=++
+=+
，由R z
z ∈+
9得092
2
=+-
b
a
b b ，又
0≠b ，故92
2
=+b
a
①；又由33=-z 得：3)3(2
2=+-b
a ②，由①②得⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧±==23323b a ，即i z 2
332
3+
=
或i z 2
332
3-
=。