(4)二次函数字母系数的符号问题.
2024中考备考热点05 二次函数的图象及简单应用(8大题型+满分技巧+限时分层检测)
热点05 二次函数的图象及简单应用中考数学中《二次函数的图象及简单应用》部分主要考向分为五类：一、二次函数图象与性质（每年1道，3~4分）二、二次函数图象与系数的关系（每年1题，3~4份）三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，4~8分）四、二次函数的简单应用（每年1题，6~10分）二次函数是初中数学三中函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简答题时经常在二次函数的几何背景下，和其他几何图形一起出成压轴题；也经常出应用题利用二次函数的增减性考察问题的最值。
此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。
只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。
考向一：二次函数图象与性质【题型1 二次函数的图象与性质】满分技巧1. 对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象：形状：抛物线； 对称轴：直线ab x 2-=；顶点坐标：)442(2a b ac a b --，； 2、抛物线的增减性问题，由a 的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y 随x 的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a 的正负后，附加一定的自变量x 取值范围；3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。
1．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣2B．顶点坐标为（2，3）C．函数的最大值是﹣3D．函数的最小值是﹣33．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5B．最大值C．最小值5D．最小值【题型2 二次函数图象上点的坐标特征】满分技巧牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质1．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣42．若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（）A．（m，n+1）B．（m+1，n）C．（m，n﹣1）D．（m﹣1，n）3．（2023•十堰）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x ﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6C．﹣9＜x1+x2+x3＜0D．﹣6＜x1+x2+x3＜1【题型3 二次函数图象与几何变换】满分技巧1、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是：①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。
二次函数知识点总结
二次函数总结一、二次函数概念1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4.()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”.3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=-2x 22y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少2-32。
二次函数图像与字母系数符号的判定(公开课)
3
以a为字母系数的判定准则
讲解如何根据字母系数a的值，判定二 次函数图像的开口方向和是否与x轴相 交。
以c为字母系数的判定准则
探讨字母系数c对二次函数图像的平移 和纵坐标的影响，以及如何利用这些 准则来绘制相应的函数曲线。
结论与总结
1 准确判定二次函数图像
总结前面的内容，强调各个字母系数对二次函数图像的判定作用，确保掌握判定准则并 准确绘制图像。
2 应用二次函数图像
介绍二次函数图像在实际应用中的重要性，如何运用二次函数图像进行问题建模和分析。
二次函数图像与字母系数 符号的判定(公开课)
本公开课将介绍二次函数图像的定义和表达方式，以及字母系数的含义和作 用。同时，将探讨判定二次函数图像的准则，并针对不同字母系数提供相应 的判定规则。
函数图像的定义与表达方式
了解二次函数图像的基本定义和不同表达方式，包括顶点形式、标准形式以 及因式分解形式。善用这些形式可以更好地分析和理解二次函数。
字母系数的含义和作用
深入探讨二次函数中的字母系数a、b、c的含义和作用，并解释它们对二次函 数图像的影响。了解字母系数的作用有助于准确判定二次函数图像的特征。
判定二次函数图像的准则
1
以b为字母系数的判定准则
2
详细说明字母系数b对二次函数图像
的位置和对称轴的影响。掌握这些准பைடு நூலகம்
则有利于更准确地绘制二次函数图像。
二次函数符号问题
o
x
△>0.
8
火眼金睛
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 的符号：
y
a>0, b>0, c=0,
o
x
△>0.
9
火眼金睛
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 的符号：
y
a>0, b<0, c>0,
且a＜0，所以－b＞2a，故2a＋b＜0；
判断a＋b＋c的符号
(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点 的纵坐标为正值，即a· 12＋b· 1＋c＞0， 故 a＋ b＋ c＞ 0；
判断a－b＋c的符号
(7)因为图象上的点的横坐标为－1时， 点的纵坐标为负值，即a(－1)2＋b(－1) ＋c＜0，故a－b＋c＜0．
①a____0 ＜ ， ②b_____0, ＜ ③c_ ＞ __0， ＞ ， ④b2-4ac_____0 -2 -1 0 1
⑤a+b+c_____0, ＜
⑥2a+b_ ＜__0.
2.已知 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象右图，5
①3a-b = ② ＞
0, 0.
----达标 5 ~ 10 ----优秀 13 ----NO.1
小 结 一
a的符号： 由抛物线的 开口方向确定 b的符号： 由抛物线的对称轴的位置 确定
C的符号： 由抛物线与
y 轴的 交点位置 确定:
7
由抛物线与 x 轴交点 个数 决定 的符号：
火眼金睛
专题：二次函数的图象与字母系数的关系
专题：二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与字母系数的关系二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)系数符号的确定：⑴a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0．⑵b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x = -2ba判断符号(左同右异)． ⑶c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0．⑷b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b 2-4ac =0；没有交点，b 2-4ac ＜0． ⑸当x =1时，y =a +b +c ，当x =-1时，y =a -b +c .故由点(1, a +b +c ) 所在的象限，可判断a +b +c 的符号；由点(-1, a -b +c ) 所在的象限，可判断a -b +c 的符号.同理，当x =2时，可确定4a +2b +c 的符号，当x =-2时，可确定4a -2b +c 的符号……⑹由对称轴x = -2b a 与x =±1的位置关系，可确定2a ±b 的符号.当x = -2b a =1时，b = -2a ，即2a +b =0；当x = -2ba=-1时，b = 2a ，即2a -b =0.例1.抛物线y =ax 2+bx +c 图象如图所示，则下列式子中正确的个数为（ ）①a ＜0；②b ＜0；③c ＞0；④a +b +c ＞0；⑤ 4a -2b +c ＜0；⑥2a +b ＞0；⑦b 2-4ac ＞0；⑧4a +c ＜0C ．5D ．6c 的图象如图所示，给出下列结论：①2a +b ＞0；②b ＞a ＞c ；③若-1＜m ＜n ＜1，则m +n ＜-ba；④3|a |+|c |＜2|b |．其中正确的结论是 （写出你认为正确的所有结论序号）．例3.二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，与y 轴相交点C ，与x 轴负半轴相交点A ，且OA =OC ，下列5个结论：①abc ＞0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④2a +b =0；⑤c +1a= -2，其中正确的结论有 ．（请填序号）强化训练1.如图为二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象，则下列说法：①a ＞0②2a +b =0 ③a +b +c ＞0 ④当-1＜x ＜3时，y ＞0，其中正确的个数为（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.已知二次函数y =ax 2+bx +c +2的图象如图所示，顶点为（-1，0），下列结论：①abc ＜0；②b 2-4ac =0；③a ＞2；④4a -2b +c ＞0．其中正确结论的个数是（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则下列结论：①c =2；②b 2-4ac ＞0；③2a +b =0；④a -b +c ＜0．其中正确的为（ ）A ．①②③ B ．①②④ C ．①② D ．③④4.如图是二次函数y =ax 2+bx +c =（a ≠0）图象的一部分，对称轴是直线x =-2．关于下列结论：①ab ＜0；②b 2-4ac ＞0；③9a -3b +c ＜0；④b -4a =0；⑤方程ax 2+bx =0的两个根为x 1=0，x 2=-4，其中正确的结论有（ ） A ．①③④ B ．②④⑤ C ．①②⑤ D ．②③⑤5.已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＞0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a +b ＞m （am +b ）（m ≠1的实数）．其中正确的结论有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个6.如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）过点（1，0）和点（0，-2），且顶点在第三象限，设P =a -b +c ，则P 的取值范围是（ ）A ．-4＜P ＜0 B ．-4＜P ＜-2 C ．-2＜P ＜0 D ．-1＜P ＜07.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于点（-2，0）、（x 1，0），且1＜x 1＜2，与y 轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①4a -2b +c =0；②a -b +c ＜0；③2a +c ＞0；④2a -b +1＞0．其中正确结论的个数是（ ）个．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个8.如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点A （-1，0），对称轴为直线x =1，与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x ＞3时，y ＜0；②3a +b ＜0；③-1≤a ≤-23；④4ac -b 2＞8a ；其中正确的结论是（ ）A ．①③④ B ．①②③ C ．①②④ D ．①②③④9. 如图，二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象经过点（1，2）且与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，其中-1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，下列结论：4a +2b +c ＜0，2a +b ＜0，b 2+8a ＞4ac ，a ＜-1，其中结论正确的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10.抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）满足条件：（1）4a -b =0；（2）a -b +c ＞0；（3）与x 轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①a ＜0；②c ＞0；③a +b +c ＜0；④4c ＜a ＜3c，其中所有正确结论的序号是 .有已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0），（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c＜0；④2a-b+1＞0．其中正确的结论是.（填写序号）。
二次函数图像与字母系数符号的判定(公开课)
• .(1)c=1. • (2)由图象过C(0，1)，A(1，0)得a＋b＋ 1=0,∴b=-a-1. 2 2 • 由b -4ac＞0，可得(-a-1) -4a＞0,即(a-1)2 ＞0,故a≠1. 又a＞0， • ∴a的取值范围是a＞0且a≠1.
挑战自我
• 13.如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都 经过点A(1,0)，B(3,2). • (1)求m的值和抛物线的解析式； • (2)求不等式x2+bx+c>x+m的解集(直接写出答 案 )； • (3)若M(a,y1),N(a+1,y2)两点都在抛物线 y=x2+bx+c上，试比较y1与y2的大小.
知识点2 函数图象的综合
• 5.(泰安中考)在同一坐标系内，一次函数 y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是 (C)
• 6.(遵义中考)已知抛物线y=ax2+bx和直线 y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正 确的是(D)
• 7.已知二次函数y=kx2-7x-7的图象和x轴有 交点，则k的取值范围是(D) 7 7 • A.k>- 4 B.k>- 4 且k≠0
• (1)∵直线y=x+m经过点A(1,0)，∴0=1+m.∴m=-1. • ∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(1,0)，B(3,2)，∴0=1+b +c, • 2=9+3b+c.解得b=-3,c=2. • ∴抛物线的解析式为y=x2-3x+2. • (2)x>3或x<1. • (3)∵M(a,y1),N(a+1,y2)两点都在函数y=x2-3x+2的图象上， • ∴y1=a2-3a+2, • y2=(a+1)2-3(a+1)+2=a2-a. • y2-y1=(a2-a)-(a2-3a+2)=2a-2. • ∴当2a-2<0,即a<1时，y1>y2; • 当2a-2=0,即a=1时，y1=y2; • 当2a-2>0,即a>1时，y1<y2.
二次函数知识点总结和题型总结
二次函数知识点总结和题型总结y=ax^2+bx+c，则最值为-(b^2-4ac)/(4a)）二次函数是高中数学中的重要内容之一，它的基本形式为y=ax^2+bx+c。
其中，a、b、c均为常数，且a不等于0.二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向和顶点坐标与a的符号有关。
当a大于0时，抛物线开口向上，顶点坐标为(-b/2a。
c-b^2/4a)，对称轴为x=-b/2a；当a小于0时，抛物线开口向下，顶点坐标为(-b/2a。
c-b^2/4a)，对称轴为x=-b/2a。
而最值则可以根据解析式直接求出。
除了基本形式外，二次函数还有其他形式，如y=a(x-h)^2+k和y=ax^2+c。
它们的图像形态、顶点坐标、对称轴和最值也有相应的规律。
对于二次函数的题目，需要根据题目中给出的条件确定函数的具体形式，然后再利用对称轴、顶点、最值等性质解决问题。
练时要多做一些不同形式的二次函数题目，熟练掌握各种形式的性质和解题方法。
同时，也要注意二次函数的概念、基本形式和常见变形的记忆，以便在解题时能够迅速确定函数的形式。
1.若二次函数y=ax^2+bx+c的最值为k，则a>0且最值点为(-b/2a,k)。
2.已知抛物线经过坐标原点，即y=0时，x=0，则代入抛物线方程可得m=0.3.抛物线y=x^2+3x的顶点坐标为(-3/2,-9/4)，位于第二象限。
4.代入点(2,0)可得a=3/2，顶点坐标为(2/3,-1/4)，距离原点的距离为14/3.5.若直线y=ax+b不经过二、四象限，则抛物线y=ax^2+bx+c开口向上，对称轴是y轴。
6.二次函数y=mx^2+(m-1)x+m-1的最小值为1/4，代入可得m=3/2.7.平移步骤：确定抛物线的顶点坐标，然后根据平移规律进行平移。
8.抛物线y=x^2+4x+9的对称轴为x=-2，开口向上，顶点坐标为(-2,1)。
9.抛物线y=2x^2-12x+25的开口向上，顶点坐标为(3,1)。
二次函数知识点总结
二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4.()2y a x h k=-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx axy +++=2（或m c bx axy -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a<-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴ab x 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k=-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k=-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222by ax bx c a=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=-2x 2十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
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当x=-2时, y=4a-2b+c ＞0
回顾与反思：这节课你有哪些收获？ 1、可以根据抛物线的位置确定a、b、c的符号或关系
2、抛物线 y ax2 bx c(a 0) 的符号问题：
（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定 （2）c的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定 （3）b的符号：由对称轴的位置确定 （4）b2 4ac 的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定 （5）a+b+c的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定 （6） a-b+c的符号：由x=-1时抛物线上的点的位置确定 （7）2a±b的符号：对称轴与直线x=1 或x=-1的位置确定
C、c>0 D、b²-4ac＞0
y
o
x
练一练：
2.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点
M（ b ，a）在（ A ）
y
c
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
-1 o 1 x
练一练：
已知：一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，
它们在同一坐标系中的大致图象是图中的（ C ）
a、b异号 b=0
（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数决定
与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点
b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
y
o
x
练一练：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△ 的符号：
y
a>0
b 0b0 2a
o
x
C=0
△=0
练一练：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△ 的符号：
y a<0 b 0b 0 2a
C<0
o
△>0
a<0 b 0b 0
2a
x
C<0
△<0
练一练：
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列不正 确的是（ B ）
A、a<0 B、b<0
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个
o
x
x=1
知识点三：判断2a-b,2a+b的符号
探究2：当对称轴x= b =1时，a和b的关系是什么？
当对称轴x=
b 2a
2a
=-1时，a和b的关系是什么？
(7)总结规律: 2a±b的符号： 由对称轴与直线x=1 或x=-1的位置确定
即：
当判断2a-b的符号时，比较 b 与-1的大小关系 2a
y a>0
b 0b 0 2a
o
x C=0
△>0
练一练：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△ 的符号：
y
a<0
b 0b 0 2a
o
x
C>0
△>0
练一练：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△ 的符号：
y
a>0
b 0b 0 2a
o
x
C>0
△=0
练一练：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△ 的符号：
数学因规律而不再枯燥， 数学因思维而耐人寻味。
让我们热爱数学吧！
练一练：
2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，
√ 下列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0； √ √ ④（a+c）2＜b2，其中正确的个数是 （ B ）
A、4个 B、3个
y
C、2个 D、1个
o
x
x=1
练一练：
3、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中不正确的是 （ D ）
课时7 二次函数系数的符号问题
y ax2 bx c(a 0)
回顾知识点：
1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与什么有关？
a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下。 2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是（0、c）.
b
3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是 x=- 2a .
知识点一：基本符号的判断
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
（1）a的符号： 由抛物线的开口方向决定
开口向上
a>0
开口向下
a<0
（2）c的符号： 由抛物线与y轴的交点位置决定:
交点在y轴正半轴
c>0
交点在y轴负半轴
c<0
交点在坐标原点
c=0
（3）b的符号：由抛物线的对称轴的位置和a的符号决定
对称轴在y轴左侧
a、b同号
对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴 简记为：左同右异
y
y
o
x
（A） y
o
x
（B） y
o
x
（C）
o
x
（D）
知识点二： 关注 y ax2 bx c(a 0) 上的几个特 殊点
探究1：抛物线y=ax2+bx+c，当x=1或-1时，试 判断y值的正负.
（5）a+b+c的符号：
由x=1时抛物线上的点的位置确定
点在x轴上方
a+b+c>0
点在x轴下方
a+b+c<0
a b c 2a+b
2a-b
b2-4ac a+b+c a-b+c 4a+2b+c 4a-2b+c
开口方向大小 向上a>0向下a<o
对称轴与y轴比较 左侧ab同号右侧ab异号
与y轴交点 交于上半轴c>o 下半轴c<0
- b 与1比较
2a
b
- 2a
与-1比较
与x轴交点个数
令x=1，看纵坐标
令x=-1，看纵坐标 令x=2，看纵坐标 令x=-2，看纵坐标
当判断2a+b的符号时，比较
b 2a
与1的大小关系
练一练：
1、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；
√ √√ C √ ④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的个y数是 （ ）
A、2个 B、3个
C、4个 D、5个
-1 o 1 x
y A、abc＞0
B、b2-4ac＞0 C、2a+b＞0
-1 o 1 x
D、4a-2b+c＜0
练一练
7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，
那么下列判断不正确的是( D )
A.abc＞0
B. b2-4ac＞0
C.2a+b＞0
D.4a-2b+c＜0
X= - b/2a<1
∴-b<2a
∴2a+b＞0
点在x轴上
a+b+c=0
（6）a-b+c的符号：
由x=-1时抛物线上的点的位置确定
点在x轴上方
a-b+c>0
点在x轴下方
3;c=0
练一练
5、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示，下列结论中：①a+b+c>0；
②4a-2b+c>0；③a-b+c>0；④9a+3b+c>0，其 中正确的个数是（ D ） y