数据结构与算法-北大 HW11 B_B+树
北京市考研计算机科学与技术复习资料数据结构重要知识点归纳
北京市考研计算机科学与技术复习资料数据结构重要知识点归纳数据结构是计算机科学与技术中的重要知识点，对于考研的学生来说，熟练掌握数据结构的理论和应用是非常关键的。
本文将为大家整理归纳北京市考研计算机科学与技术复习资料中的数据结构重要知识点，希望对考生们的复习提供参考。
本文将分为以下几个部分进行阐述。
一、线性表1.1 顺序表：顺序存储结构、插入和删除操作、顺序表的基本运算。
1.2 链表：链式存储结构、单链表、双链表、循环链表、链表的插入和删除操作、链表的基本运算。
二、树2.1 二叉树：二叉树的定义、二叉树的性质、二叉树的遍历算法（前序、中序、后序）、二叉排序树。
2.2 平衡二叉树：平衡二叉树的定义、平衡二叉树的调整策略、红黑树。
2.3 B树：B树的定义、B树的插入和删除操作、B+树。
三、图3.1 图的存储结构：邻接矩阵、邻接表、十字链表。
3.2 图的遍历算法：深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）。
3.3 最小生成树：Prim算法、Kruskal算法。
3.4 最短路径：Dijkstra算法、Floyd算法。
四、排序与查找4.1 内部排序：插入排序、选择排序、冒泡排序、希尔排序、快速排序、归并排序、堆排序。
4.2 外部排序：多路归并排序。
4.3 查找算法：二分查找、哈希查找。
五、其他重要知识点5.1 哈夫曼编码：哈夫曼编码的思想、哈夫曼树的构建、编码和译码过程。
5.2 搜索树：二叉搜索树、平衡二叉搜索树、B树。
5.3 线索二叉树：线索二叉树的定义、中序线索二叉树的构建与遍历。
5.4 排序算法的稳定性和时间复杂度分析。
以上是本文对于北京市考研计算机科学与技术复习资料中的数据结构重要知识点的归纳总结。
考生们在复习过程中，可以按照这些知识点有序地进行学习和理解，并通过大量的练习题提高自己的应用能力。
希望考生们能够充分掌握数据结构的理论知识，提高解题能力，在考试中取得好成绩。
祝愿大家顺利通过考研！。
数据结构与算法
数据结构与算法数据结构与算法是北京大学于2018年02月26日首次在中国大学MOOC开设的慕课课程，是国家精品在线开放课程。
该课程授课教师为张铭、陈斌、卢宗青、刘云淮、赵海燕、宋国杰、黄骏、邹磊、王腾蛟。
据2021年2月中国大学MOOC官网显示，该课程已开课4次。
数据结构与算法课程内容包括数据结构与抽象数据类型、算法特性及分类、算法效率与度量、线性结构、顺序表、链表、栈与队列、栈与递归、递归转非递归、字符串的存储结构、字符串运算的算法实现、字符串的快速模式匹配、二叉树的抽象数据类型、二叉树的搜索、二叉树的存储结构、树与二叉树的等价转换、树的抽象数据类型及树的遍历、树的链式存储结构、树的父指针表示法、树的顺序存储和K叉树、图的概念和抽象数据类型、图的存储结构、图的遍历、内排序、检索等内容。
课程性质:课程背景计算机是现代社会中用于解决问题的重要工具，支撑这个工具高效运转的就是其后的各种系统程序、应用程序。
数据结构，是抽象的表示数据的方式；算法，则是计算的一系列有效、通用的步骤。
算法与数据结构是程序设计中相辅相成的两个方面，是计算机学科的重要基石。
课程定位数据结构与算法是介绍基本数据结构以及相关的经典算法，强调问题-数据-算法的抽象过程，关注数据结构与算法的时间空间效率，培养学生编写出高效程序从而解决实际问题的综合能力的一门课程。
适应对象数据结构与算法适合计算机以及相关理工专业的本科生学习。
对于具有C语言结构化程序设计基础的学生，该课程第0章补充了一些面向对象的基本内容。
课程简介:数据结构与算法围绕着“算法+数据结构=程序”的思路，以问题求解为导向进行学习，运用问题抽象、数据抽象、算法抽象来分析问题，应用适当的数据结构和算法来设计和实现相应的程序。
在求解实际问题方面，该课程会学习到通过权衡时空和其他资源开销，利用数据结构来组织数据、设计高效的算法、完成高质量的程序以满足错综复杂的实际应用需要。
课程所学到的内容会被利用到计算机科学后续的各个课程中，如操作系统、软件工程、数据库概论、编译技术、计算机图形学、人机交互等。
数据结构树知识点总结图
数据结构树知识点总结图一、树的定义树是一种抽象的数据结构，它是由n（n≥0）个节点组成的有限集合，其中一个节点被指定为根节点，其他节点被划分为m（m≥0）个互不相交的子集T1、T2、...、Tm，每个子集本身又是一棵树。
树的定义可以用递归方式来描述，即树是由一个根节点和若干颗子树组成的。
其中，根节点没有父节点，每个子树的根节点都是父节点的孩子节点。
二、树的特点1. 树是一种层次结构：树中的节点可以分层次地组织，也就是包含父子关系。
根节点是树的第一层，它的子节点是树的第二层，以此类推。
2. 树是一种非线性结构：树中的节点之间的关系是非线性的，每个节点可以有多个子节点，但只有一个父节点。
3. 树是一种递归结构：树的定义中包含了对子树的定义，因此树是一种递归结构，通过递归的方式可以方便地对树进行操作。
4. 树是一种有序结构：树中的节点之间存在明确定义的顺序关系，因此可以用来表示有序集合。
三、树的基本操作1. 树的创建：创建一棵树需要先创建根节点，然后在根节点上添加子节点，逐层递归地创建子树。
2. 树的遍历：树的遍历是指按照一定顺序访问树中的每个节点，常见的遍历方式包括前序遍历、中序遍历、后序遍历和层序遍历。
3. 树的查找：树的查找是指在树中查找指定的节点，包括广度优先搜索（BFS）和深度优先搜索（DFS）两种方式。
4. 树的插入：树的插入是指将新节点插入到树中的指定位置，可以在根节点或指定节点的子节点上进行插入操作。
5. 树的删除：树的删除是指将指定节点从树中删除，可以删除叶子节点、中间节点或整棵子树。
6. 树的修改：树的修改是指对树中的节点进行数值或结构的改变，包括修改节点的值、替换子树等操作。
四、常见类型的树1. 二叉树（Binary Tree）：每个节点最多含有两个子节点的树，包括普通二叉树、满二叉树和完全二叉树等。
2. 平衡二叉树（Balanced Binary Tree）：每个节点的左子树和右子树的高度差不超过1的二叉树。
数据结构树知识点总结大全
数据结构树知识点总结大全本文将对树结构的知识点进行详细的总结，包括树的基本概念、树的分类、树的遍历、树的应用以及一些相关的算法和数据结构。
通过本文的学习，读者将对树结构有一个全面的了解，并可以在实际的编程和问题解决中灵活运用树结构。
一、树的基本概念1.1 节点和边1.2 根节点、叶子节点和内部节点1.3 子树和森林1.4 高度和深度1.5 有序树和无序树1.6 二叉树二、树的分类2.1 二叉搜索树2.2 平衡二叉树2.3 B树和B+树2.4 红黑树2.5 AVL树2.6 Trie树2.7 堆和堆排序2.8 Huffman树2.9 伸展树2.10 Splay树三、树的遍历3.1 深度优先遍历3.1.1 前序遍历3.1.2 中序遍历3.1.3 后序遍历3.2 广度优先遍历四、树的应用4.1 数据库索引4.2 文件系统4.3 图形学中的场景图4.4 解析树4.5 代码优化4.6 线段树4.7 树状数组4.8 字典树4.9 贝叶斯分类器中的朴素贝叶斯算法五、树的相关算法和数据结构5.1 查找5.1.1 二叉搜索树的插入和删除5.1.2 二叉搜索树的查找5.1.3 递归查找和非递归查找5.2 排序5.2.1 二叉搜索树的中序遍历5.2.2 堆排序5.2.3 AVL树的平衡调整5.2.4 红黑树的插入和删除5.3 最短路径5.3.1 二叉堆的应用5.3.2 AVL树的应用5.4 动态规划5.4.1 线段树的应用5.4.2 树状数组的应用六、结语树结构是数据结构中非常重要的一部分，它有着广泛的应用领域。
通过本文的学习，读者可以对树结构有一个全面的了解，并可以在实际的编程和问题解决中灵活运用树结构。
希望本文对读者有所帮助，也希望读者可以通过学习树结构，提高自己在算法和数据结构方面的能力，为未来的编程之路打下坚实的基础。
B树、B-树、B+树、B树 介绍、比较与小结
B树、B-树、B+树、B树介绍、比较与小结(转载)B树即二叉搜索树：1. 所有非叶子结点至多拥有两个儿子（Left和Right）；2. 所有结点存储一个关键字；3. 非叶子结点的左指针指向小于其关键字的子树，右指针指向大于其关键字的子树；如：B树的搜索，从根结点开始，如果查询的关键字与结点的关键字相等，那么就命中；否则，如果查询关键字比结点关键字小，就进入左儿子；如果比结点关键字大，就进入右儿子；如果左儿子或右儿子的指针为空，则报告找不到相应的关键字；如果B树的所有非叶子结点的左右子树的结点数目均保持差不多（平衡），那么B树的搜索性能逼近二分查找；但它比连续内存空间的二分查找的优点是，改变B树结构（插入与删除结点）不需要移动大段的内存数据，甚至通常是常数开销；如：但B树在经过多次插入与删除后，有可能导致不同的结构：右边也是一个B树，但它的搜索性能已经是线性的了；同样的关键字集合有可能导致不同的树结构索引；所以，使用B树还要考虑尽可能让B树保持左图的结构，和避免右图的结构，也就是所谓的“平衡”问题；实际使用的B树都是在原B树的基础上加上平衡算法，即“平衡二叉树”；如何保持B树结点分布均匀的平衡算法是平衡二叉树的关键；平衡算法是一种在B树中插入和删除结点的策略；B-树是一种多路搜索树（并不是二叉的）：1. 定义任意非叶子结点最多只有M个儿子；且M>2；2. 根结点的儿子数为[2, M]；3. 除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M]；4. 每个结点存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1个关键字（至少2个关键字）；5. 非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1；6. 非叶子结点的关键字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；7. 非叶子结点的指针：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树；8. 所有叶子结点位于同一层；如（M=3）：B-树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点；B-树的特性：1. 关键字集合分布在整颗树中；2. 任何一个关键字出现且只出现在一个结点中；3. 搜索有可能在非叶子结点结束；4. 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找；5. 自动层次控制；由于限制了除根结点以外的非叶子结点，至少含有M/2个儿子，确保了结点的至少利用率，其最底搜索性能为：其中，M为设定的非叶子结点最多子树个数，N为关键字总数；所以B-树的性能总是等价于二分查找（与M值无关），也就没有B树平衡的问题；由于M/2的限制，在插入结点时，如果结点已满，需要将结点分裂为两个各占M/2的结点；删除结点时，需将两个不足M/2的兄弟结点合并；B+树B+树是B-树的变体，也是一种多路搜索树：1. 其定义基本与B-树同，除了：2. 非叶子结点的子树指针与关键字个数相同；3. 非叶子结点的子树指针P[i]，指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树（B-树是开区间）；5. 为所有叶子结点增加一个链指针；6. 所有关键字都在叶子结点出现；如（M=3）：B+的搜索与B-树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B-树可以在非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找；B+的特性：1. 所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好是有序的；2. 不可能在非叶子结点命中；3. 非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层；4. 更适合文件索引系统；B*树是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针：B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）；B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高；小结B树：二叉树，每个结点只存储一个关键字，等于则命中，小于走左结点，大于走右结点；B-树：多路搜索树，每个结点存储M/2到M个关键字，非叶子结点存储指向关键字范围的子结点；所有关键字在整颗树中出现，且只出现一次，非叶子结点可以命中；B+树：在B-树基础上，为叶子结点增加链表指针，所有关键字都在叶子结点中出现，非叶子结点作为叶子结点的索引；B+树总是到叶子结点才命中；B*树：在B+树基础上，为非叶子结点也增加链表指针，将结点的最低利用率从1/2提高到2/3；。
北京大学数据结构与算法2016-2017数据结构期末考试题试卷答案版
2) 下一记录放到第 11 个槽和第 7 个槽中的概率分别是多少？ 下一条记录放在第 11 个槽中的概率是 2/13 放到第 7 个槽中的概率是 9/13
学校倡议所有考生以北京大学学生的荣誉与诚信答卷，共同维护北京大 学的学术声誉。
以下为试题和答题纸，共 页。
得分 一、选择填空题（每空 1 分，共 11 分）（答案写在答题纸上）
1. G 是一个非连通无向图，共有 21 条边，则图 G 至少有 8 个顶点。 2. 对于一个包含 N（N>1）个顶点的图，假定任意两点间最多只有一条边，
7. A[N][N]是对称矩阵，现将下三角矩阵按行存储到一维数组 T[N(N+1)/2]中
（包括对角线），则对任一上三角元素 A[i][j]其对应值（0 <= i <= j < N）在
T[k]中的下标 k 是 j(j+1)/2+i
。
8. 在一棵空 AVL 树中，顺序插入如下关键码：{5, 9, 4, 2, 1, 3, 8}，请问全部 插入后，在等概率下查找成功的平均检索长度为 17/7 。
9. 已知广义表 C=(c, (d, A), B, e)，则广义表 C 的深度为 2
，
tail(head(tail(C)))的运算结果为 (A) 。
得分 二、简答辨析题（每题 3 分，共 15 分）
1. 如果要找出一个具有 n 个元素集合中的第 k (1≤k≤n)个最小元素，所学过的 排序方法中哪种最适合？给出实现的基本思想。 答案：在具有 n 个元素的集合中找第 k 个最小元素，应使用快速排序算法。 其基本思想如下：设 n 个元素的集合用一维数组表示，其第一个元素的下 标为 1，最后一个元素下标为 n。以第一个元素为“枢轴”，经过快速排序的 一次划分，找到“枢轴”的位置 i，若 i = k，则该位置的元素下标为 n；若 i > k 则在 1 至 i-1 间继续进行快速排序的划分；若 i < k 则在 i+1 至 n 间继续 进行快速排序的划分。这种划分一直进行到 i = k 为止，第 i 位置上的元素 就是第 k 个最小元素。
北京林业大学《数据结构与算法》课件PPT 第5章 树和二叉树
北京林业大学信息学院
A BC DE
先序遍历：A B D E C 中序遍历：D B E A C 后序遍历：D E B C A
口诀： DLR—先序遍历，即先根再左再右 LDR—中序遍历，即先左再根再右 LRD—后序遍历，即先左再右再根
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用二叉树表示算术表达式
+
*
E
*
D
/
C
A
B
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叉树。（特点：每层都 “充满”了结点）
完全二叉树：深度为k 的， 有n个结点的二叉树，当且
仅当其每一个结点都与深度
为k 的满二叉树中编号从1 至n的结点一一对应
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满二叉树和完全二叉树的区别
满二叉树是叶子一个也不少的树，而完全二叉树虽然 前n-1层是满的，但最底层却允许在右边缺少连续若 干个结点。满二叉树是完全二叉树的一个特例。
ADT BinaryTree{
数据对象D: D是具有相同特性的数据元素的集合。
数据关系R: 若D=Φ，则R= Φ ；
若D≠Φ，则R= {H}；存在二元关系：
① root 唯一 //关于根的说明
② Dj∩Dk= Φ //关于子树不相交的说明
③ ……
//关于数据元素的说明
④ ……
//关于左子树和右子树的说明
B n1
B n2 2 n1 1
n n2 2 n1 11 n2 n1 n0
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特殊形态的二叉树
1
只有最后一层叶子不满 ，且全部1 集中在左边
2
3
2
3
4
5
6
7
4
5
6
7
北大强基面试题目
北大强基面试题目
北大强基面试题目是北大计算机系为了选拔优秀学生而设计的一系列面试题目。
以下是一些常见的北大强基面试题目：
1. 数据结构和算法方面：
- 请解释什么是动态规划，并举一个实际应用的例子。
- 请解释什么是哈希表，并说明其在解决问题中的作用。
- 请实现一个快速排序算法，并分析其时间复杂度和空间复杂度。
2. 编程语言方面：
- 请解释面向对象编程的概念，并说明其与面向过程编程的区别。
- 请写出一个使用递归实现的斐波那契数列的函数。
- 请解释什么是异常处理，并说明其在程序开发中的重要性。
3. 计算机网络方面：
- 请解释什么是TCP/IP协议，并说明其在网络通信中的作用。
- 请解释什么是HTTP协议，并说明其与HTTPS协议的区别。
- 请解释什么是DNS，并说明其在互联网中的作用。
4. 操作系统方面：
- 请解释什么是进程和线程，并说明它们之间的区别。
- 请解释什么是死锁，并提供一个实际例子以及如何避免死锁的方法。
- 请解释什么是虚拟内存，并说明它的作用和优缺点。
以上只是一些常见的北大强基面试题目示例，实际面试中可能会有更多的题目
涵盖更多的领域。
希望这些问题的回答能够帮助你更好地准备面试。
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北京大学信息学院2007年秋季学期《数据结构与算法A(实验班)》课程作业
张铭编写并发布 mzhang@ 第11次作业，12月17日（周一）课前提交，电子稿提交时间12月17日开课之前提交。
11.1 偶数阶的B 树插入上溢出时，中
位数有两个，需要注意采用统一的策略。
例如，取第二个中位数，
即分裂后左(1)/2m −⎡⎤⎢⎥个关键码，右(1)/2m −⎢⎥⎣⎦；
或者取第一个中位数，分裂后左(1)/2m −⎢⎥⎣⎦
右(1)/2m −⎡⎤⎢⎥。
请画出对右图的4阶B 树进行下来操作后的B 树。
(1) 分裂时采用第2个中位数为
分界码，请画出插入关键码113后的B 树；分析插入操作的访外次数。
(2) 分裂时采用第1个中位数为分界码，请画出插入关键码113后的B 树；分析插入操
作的访外次数。
(3) 在原树中删除关键码50；分析删除操作的访外次数（与1、2题无关，从根重新开
始操作）。
11.2 已知一组关键码为(20, 30, 50, 52, 60, 68, 70)，试依次插入关键码。
(1) 生成一棵3阶的B +树，画出插入所有关键码后B 树的结构。
(2) 画出删除50后的B + 状态，分析删除操作的访外次数。
11.3 假设一个数据文件每个记录对象需要占用128 字节（其中关键码占用4字节），且所
有记录均已按关键码有序地存储在主磁盘文件中。
设磁盘页块大小为2048（= 2K ）字节，若主存中有12M 空间可以用来存储索引结构，索引项中每一个地址指针占8 字节。
请简要回答以下问题（请写明你的计算过程）。
（1） 使用B 树索引，B 树的阶m 1最多可以为多少？4层m 1阶B 树，最多可以索引多
少字节的数据文件？
（2） 使用B +树索引，B +树的阶m 2最多可以为多少?
（3） 假设B +树的叶层各结点链接成双链结构，B +树的叶结点阶m 2’可以跟内部结点不
一样，则阶m 2’为多少?
（4） 在第(3)小题的基础上，计算4层B +树（内部结点为m 2阶，叶结点m 2’阶），最多
可以索引多少字节的数据文件？
（5） 假设尽量把B +树的头几层放入内存（本题规定不能超过12M ），那么给定关键码，
通过B +树查找到(4)小题中主数据文件的一个记录，最少几次访外？最多几次访
外？
11.4 对于下面两种B +树，列表给出他们在1、2、3、4和5层（独根是一层树）的不同情
况下，能够存储的最大记录数和最小记录数。
(1) 对于教材定义那样的B +树，其内部结点阶为50，叶结点阶为50。
(2) 如讲义P89那样的混合型B +树，其内部结点阶为55，叶结点阶为25（叶结点除关
键码，还索引部分记录信息）。
4阶B 树。