第1章 模糊数学1.1-1.3

A ( B C ) ( A B) C
A ( B C ) ( A B) C
（p4）吸收律
（p5）分配律
A ( A B) A,
A ( A B) A
A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C )
概念的外延是指具有概念所反映的那些对象全体， 它是特有对象的集合。 如果用概念外延的全体的集合来表示这个概念，那 么，计算机就可以很容易的理解和表示概念。
工程应用软计算——模糊数学
一、基本概念 论域：被讨论的对象全体。 例如：讨论学生的某门课程成绩。 分数在0,1, …,100范围内，用集合表示X={0,1, …,100} 幂集：设X是一论域，X中部分元素组成的集合称 为X的子集合（简称子集） 。 X的全体子集构成一个集合族，称为X的幂集，记为 (X) 。 集合可以表示概念。 例如：论域 X={0,1, …,100}为考试成绩分数集合。
二、特征函数 特征函数：设A ∊ (X)，称X到{0,1}的映射
1， x A A x 0， x A
为集合A的特征函数。 对于任意的 x ∊X,特征函数 A x 表明了元素x属于 集合A的“程度”。 经典集合论中：x 属于或不属于A是绝对明确的， 因此用 0 和 1 二值表示。 集合A可以由特征函数 A x 唯一确定，反之亦然。 三、关系与运算
A x B x , x X
A B x min{ A x , B x }
A x B x , x X
， 即对 [注] ∨： “取大”；∧：“取小”。 ， 01 ,有
A x 1 A x , x X
A {(0,1), 0,2 , 0.2,3 , 0.6,4 , 1,5 , 1,6} A (0,0,0.2,0.6,1,1)
A 0/1 0/ 2 0.2/ 3 0.6/ 4 1/ 5 1/ 6
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当论域 X是不可数集合时， A x 是 A 的隶属度函数， 则Zadeh表示法为 A A ( x) / x
C
C
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1.1.2 模糊概念与模糊集合
概念所反映的对象是一个具有某种属性的事物类。 例如，“年轻人”, “绵绵细雨”和“倾盆大雨” 。 模糊概念:外延不明确的概念。 经典集合可以表示明确概念而不能表现模糊概念。 例如，“秃子悖论” 。 定义 1.1论域X的一个模糊子集 A 是指 X到[0,1]的 ， 一个映射： A：X 01 映射 A 称为 A 的隶属函数， A x 表示元素x 属于集合 A 的程度，或称为 x 对 A 的隶属度。
1
A
λ
0
A
模糊集合的截集
X
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1） A B A B , A B A B
截集具有性质：
2）若 1 2，则 A1 A2
A 3） 0 X

性质1）可以推广到任意多个模糊集合的并、交运算。
定义1.4 称 A {x | A ( x) 1, x X } 为模糊集 A 的核， 1 记作 KerA ； 称 A 的隶属度大于零的元素构成的集合为 A 的承集（或支撑集）记 SuppA {x | A ( x) 0, x X }
年轻 Y
1

年老
O
0
25
50
75
隶属函数图形
0 o ( x ) x 50 2 1 [1 ( 5 ) ] 1 Y ( x) x 25 2 1 [1 ( 5 ) ]
0 x 50 50 x 100 0 x 25 25 x 100
采用“最大”和“最小”算子,有
A B (0 0, 0.2 0.5, 0.5 1, 0.8 0.5,1 0, ) (0, 0.5,1, 0.8,1) A B (0 0, 0.2 0.5, 0.5 1, 0.8 0.5,1 0, ) (0, 0.2, 0.5, 0.5, 0) AC (1 0,1 0.2,1 0.5,1 0.8,1 1) (1, 0.8, 0.5, 0.2, 0)
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1.2 模糊模式识别
“模式识别”：研究用机器代替人来识别事物的科学 。 模式是供模仿用的客体集合，识别就是判定所给定的 对象应归属哪一个客体。 例：读一篇手写稿子；与人交谈；医生诊断疾病。 模糊模式识别：模式或被识别的对象只能用模糊 集合表达的这类识别。
AC
0
0
0
A B
A 模糊集合 A B 的并集、交集. 的补集图形
A B
AC
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容易证明，在普通集合并、交、运算所满足的性质 （P1）～（P9）中，除了性质（P8）以外，其余的 八个性质对于模糊集合均成立，即对于A (X )， 一般地，有： C C A A X, A A 即互补律一般不成立。从图中可以看出。
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经典集合是模糊集合的特例。 模糊幂集:论域 X的所有模糊子集全体,记为 (X) 。 模糊集合的表示方法: 1）Zadeh表示法 A uA ( x1 ) / x1 uA ( x2 ) / x2 uA ( xn ) / xn 2）有序对表示法 A {(uA ( x1 ), x1 ),(uA ( x2 ), x2 ),,(uA ( xn ), xn )} 3）向量表示法 A ((uA ( x1 ), uA ( x2 ),, uA ( xn )) 例如: 论域 X 为掷一颗骰子观察的点数，有 X={1,2,3,4,5,6} ，集合 A 表示“较大的点数”，则可记
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设A,B ∊ (X)，特征函数分别为 A x 和 B x 则有 A B A x B x , x X
A B A x B x , x X
A B x max{ A x , B x }
C
max ， min ，
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四、性质 对于任意A,B ∊ (X) ,集合的并、交、余运算性质： （p1）幂等律 （p2）交换律 （p3）结合律
A A A,
A B B A,
A A A
A B B A
。
则成绩“优秀”概念可由集合A={90,91, …,100}表示;
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“良好”：B={80,81, …,89}; “中等”：C={70,71, …,79}; “及格”：D={60,61, …,69}; “不及格” ：E={0,1, …,59}. 论域X有两个特殊的子集合，即自身X和空集。
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1.1.3 模糊集合的运算
定义1.2 设 A, B是论域 X 的模糊子集，隶属函数分 别为A x 和 B x ,则模糊集合的相等、包含关系及并 集、交集、余集表示为：
A B A x B x A B A x B x AB x A x B x
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（p6）0-1律
A A, A X A A , A X X
（p7）复原律
（p8）互补律 （p9）对偶律
( AC )C A
A A E, A A
C C
A B AC BC
C C
A B
A B
A {0.1/ a 0.3/ b 0 / c 0.5 / d / 0.9 / e 1/ f }
A0 X {a, b, c, d , e, f } A0.5 {d , e, f } A0.9 {e, f } A1 f
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A 若A 是连续域 X上的模糊集， 的 截集 A 是 X上 的一个普通集合，如图所示。
A 1
A AC
AC
A 1
A AC
AC
0
0
模糊集互补律一般不成立的示例
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例1.3 设论域 X {x1 , x2 , x3 , x4 , x5}, A, B 为 X 的两个 模糊子集,其隶属函数分别用向量式表示
A (0, 0.2, 0.5, 0.8,1) B (0, 0.5,1, 0.5, 0)
在表示概念上，空集表示虚概念。
设A,B是X的任意两个子集，记A,B ∊ (X)。
A B, A B, AC 分别表示A和B的并集、交集和A的余
（补）集，有 A∪B={x | x A或x B}; A ∩ B ={x | x A且x B}
AC {x | x A}
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立体化教学资源系列——工程应用软计算
第1章
模糊数学
理学院应用数学系
工程应用软计算——模糊数学
1.1 模糊集合与运算 1.2 模糊模式识别
1.3 模糊关系 1.4 模糊综合评价
1.5 模糊聚类分析
工程应用软计算——模糊数学
1.1 模糊集合与运算
模糊数学是研究和处理自然界与信息技术中广泛存
在的模糊现象的数学理论，它的产生既反映了信息革
命的迫切需要，也为信息科学提供了一种新的有力的
数学工具。 美国控制论专家L.A.Zadeh教授于1965年发表《模