第一章模糊集合的一般概念
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模糊集合
精确集合
X 6
1
X 6
A 0
A 1
X 6
模糊集合
13
A ( x) 1
A ( x) [0 1]
1
6
13
2) 连续形式: 令X = R+ 为人类年龄的集合, 模糊集合 B = “年龄在50岁左右”则表示为:
B { x, B ( x ) | x X } 1 式中： B ( x) x 50 4 1 ( ) 10
112121xfxfxxf??它的定义比模糊凸的定义严格不符合凸函数条件1x2x语言变量5元组为特征?????????规则与各值含义有关的语法值名称的句法规则产生论域术语的集合变量的名称
基于模糊推理的智能控制
1）模糊集合与模糊推理
2）模糊推理系统
3）模糊控制系统
0. 模糊概念
天气冷热
雨的大小
风的强弱
Trig(x;20,60,80)
Trap(x;10,20,60,90)
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
隶属函数的参数化：
以钟形函数为例， bell ( x; a, b, c) a,b,c,的几何意义如图所示。
1
1
x c 2b a
斜率=-b/2a
c-a
c
c+a
改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状。
R(U ,V ) {( x, y, R ( x, y)) | ( x, y) U V } U ,V 是二个论域。
同 一 空 间
R ( x, y) [0,1]
y1 y2 y3 y4
x1 0.8 1.0 0.1 0.7 0 x2 0 0.8 0 x3 0.9 1.0 0.7 0.8
模糊集理论及其应用_第一章
1 μA
11
1.2 模糊集合与隶属函数(1/5)
目录
由此可见，模糊集合 A 是一个抽象的概念， 其元素是不确定的， 我们只能通过隶属函数 A来认识和掌握 A ．A(u)的数值的大小反映 了论域Ｕ 中的元素 u 对于模糊集合 A 的隶属 程度， A(u)的值越接近于1 ，表示u隶属于A 的程度越高；而μＡ(u)的值越接近于０，表示u 隶属于 A 的程度越低．特别地， 若A(u) =１，则认为u完全属于A ； 若A(u) =０，则认为u完全不属于A． 因此, 经典集合可看作是特殊的模糊集合． 换言之，模糊集合是经典集合的推广。
3
模糊数学的概念 处理现实对象的数学模型 确定性数学模型:确定性或固定性,对象间有必 然联系. 随机性数学模型:对象具有或然性或随机性 模糊性数学模型:对象及其关系均具有模糊性. 随机性与模糊性的区别 随机性:指事件出现某种结果的机会. 模糊性:指存在于现实中的不分明现象. 模糊数学:研究模糊现象的定量处理方法.
5
数学建模与模糊数学相关的问题
模糊数学—研究和处理模糊性现象的数学 （概念与其对立面之间没有一条明确的分 界线） 与模糊数学相关的问题（一）
模糊分类问题—已知若干个相互之间不分明的
模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个模 糊概念来反映更合理准确 模糊相似选择 —按某种性质对一组事物或对 象排序是一类常见的问题，但是用来比较的性 质具有边界不分明的模糊性
模糊集理论及其 应用
1
前言：什么是模糊数学
•模糊概念
秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
设头发根数n n=1 显然
若n=k 为秃子 n=k+1 亦为秃子
模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线 年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。
11
1.2 模糊集合与隶属函数(1/5)
目录
由此可见，模糊集合 A 是一个抽象的概念， 其元素是不确定的， 我们只能通过隶属函数 A来认识和掌握 A ．A(u)的数值的大小反映 了论域Ｕ 中的元素 u 对于模糊集合 A 的隶属 程度， A(u)的值越接近于1 ，表示u隶属于A 的程度越高；而μＡ(u)的值越接近于０，表示u 隶属于 A 的程度越低．特别地， 若A(u) =１，则认为u完全属于A ； 若A(u) =０，则认为u完全不属于A． 因此, 经典集合可看作是特殊的模糊集合． 换言之，模糊集合是经典集合的推广。
3
模糊数学的概念 处理现实对象的数学模型 确定性数学模型:确定性或固定性,对象间有必 然联系. 随机性数学模型:对象具有或然性或随机性 模糊性数学模型:对象及其关系均具有模糊性. 随机性与模糊性的区别 随机性:指事件出现某种结果的机会. 模糊性:指存在于现实中的不分明现象. 模糊数学:研究模糊现象的定量处理方法.
5
数学建模与模糊数学相关的问题
模糊数学—研究和处理模糊性现象的数学 （概念与其对立面之间没有一条明确的分 界线） 与模糊数学相关的问题（一）
模糊分类问题—已知若干个相互之间不分明的
模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个模 糊概念来反映更合理准确 模糊相似选择 —按某种性质对一组事物或对 象排序是一类常见的问题，但是用来比较的性 质具有边界不分明的模糊性
模糊集理论及其 应用
1
前言：什么是模糊数学
•模糊概念
秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
设头发根数n n=1 显然
若n=k 为秃子 n=k+1 亦为秃子
模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线 年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。
第一章模糊集合的一般概念
A B A Bc Ac U A
• 定义1.4 记 AB (A B) (B A)
{u | u A与u B二者有且仅有一成立} 称A与B的对称差。
A- B
AΘB
• 映射：记号f ：U→V u |→ f (u)
表示f从U到V的一个映射。 U： f 的定义域，记
f (U ) {v | u U ,使v f (u)}
~ ~ Zadeh给出年轻 Y 和年老 O 两个模糊集的
隶属函数
O~
(u
)
0 [1
(u
50 5
)
2
]1
当0 u 50 当50 u 200
Y~ (u)
1 [1
(u
25) 5
2
]1
当0 u 25 当0 u 200
三、定义1.6 集合的运算（并、交、补）
C A B A B (u) max(A(u), B (u)) C A B A B (u) min(A(u), B(u)) C Ac Ac (u) 1 A(u)
Ac (u) 1 A (u)
§3 模糊子集的定义及运算
• 定义1.5 ：所谓给定了论域U上的一个模糊
子集~A ，是指对任意 u U ,都指定了一个
~ 数 映射 ~A
(u)
~A
[0,1] ，叫做u
~A :U
对A
[0,1]
的隶属程度。
u ~A(u)
叫做~A 的隶属函数。
• 模 的 函糊值 数子域。~A集={蜕完0，变全1成由}时一其。个隶普属~A 变通函成子数普集所通。刻集画合。的当特征~A
例：设U={1，2，3，4，5，6，7，8，9，
10}， 则：
表~A示“接近5的整数”的模糊子集，
• 定义1.4 记 AB (A B) (B A)
{u | u A与u B二者有且仅有一成立} 称A与B的对称差。
A- B
AΘB
• 映射：记号f ：U→V u |→ f (u)
表示f从U到V的一个映射。 U： f 的定义域，记
f (U ) {v | u U ,使v f (u)}
~ ~ Zadeh给出年轻 Y 和年老 O 两个模糊集的
隶属函数
O~
(u
)
0 [1
(u
50 5
)
2
]1
当0 u 50 当50 u 200
Y~ (u)
1 [1
(u
25) 5
2
]1
当0 u 25 当0 u 200
三、定义1.6 集合的运算（并、交、补）
C A B A B (u) max(A(u), B (u)) C A B A B (u) min(A(u), B(u)) C Ac Ac (u) 1 A(u)
Ac (u) 1 A (u)
§3 模糊子集的定义及运算
• 定义1.5 ：所谓给定了论域U上的一个模糊
子集~A ，是指对任意 u U ,都指定了一个
~ 数 映射 ~A
(u)
~A
[0,1] ，叫做u
~A :U
对A
[0,1]
的隶属程度。
u ~A(u)
叫做~A 的隶属函数。
• 模 的 函糊值 数子域。~A集={蜕完0，变全1成由}时一其。个隶普属~A 变通函成子数普集所通。刻集画合。的当特征~A
例：设U={1，2，3，4，5，6，7，8，9，
10}， 则：
表~A示“接近5的整数”的模糊子集，
模糊集合论及其应用
模糊集合论及其应用模糊集合论是一种重要的数学工具，它能够处理现实世界中的模糊、不确定和不精确的信息，具有广泛的应用前景。
本文首先介绍模糊集合论的基本概念和运算，然后探讨其在决策分析、控制理论、人工智能等领域的应用，并最后展望其未来发展方向。
一、模糊集合论的基本概念和运算1.1 模糊集合的定义在传统的集合论中，一个元素只能属于集合或不属于集合，不存在中间状态。
而在模糊集合论中，一个元素可以同时属于多个集合，并且对于不同的元素，其属于集合的程度也不同。
因此，模糊集合论将集合的概念进行了扩展，使其能够更好地描述现实世界中的不确定性和模糊性。
设X为一个非空的集合，称为全集，一个模糊集A是一个从X到[0,1]的函数，即：$$A(x):Xrightarrow[0,1]$$其中，A(x)表示元素x属于模糊集A的隶属度，取值范围为[0,1]。
当A(x)=1时，表示x完全属于A；当A(x)=0时，表示x完全不属于A；当0<A(x)<1时，表示x部分属于A。
1.2 模糊集合的运算模糊集合的运算包括模糊集合的交、并、补和乘积等。
模糊集合的交：对于两个模糊集合A和B，其交集为：$$(Acap B)(x)=min{A(x),B(x)}$$模糊集合的并：对于两个模糊集合A和B，其并集为：$$(Acup B)(x)=max{A(x),B(x)}$$模糊集合的补：对于一个模糊集合A，其补集为：$$(eg A)(x)=1-A(x)$$模糊集合的乘积：对于两个模糊集合A和B，其乘积为：$$(Atimes B)(x,y)=min{A(x),B(y)}$$其中，(A×B)(x,y)表示元素(x,y)属于模糊集合A×B的隶属度。
1.3 模糊关系和模糊逻辑在模糊集合论中，还有两个重要的概念，即模糊关系和模糊逻辑。
模糊关系是指一个元素对另一个元素的隶属度，可以用矩阵表示。
例如，设A和B是两个模糊集合，它们之间的模糊关系R可以表示为： $$R=begin{bmatrix} R_{11} & R_{12} R_{21} & R_{22}end{bmatrix}$$其中，Rij表示元素i与元素j之间的隶属度。
模糊集合的基本概念与模糊关系
x
A
X M
:
M称为隶属度空间
表示x属于模糊集A的程度或等级
M:{0，1} A: 通常意义下的集合 靠近1，则表示x属于A的程度高， ( x ) 值 A 靠近0， 则表示x属于A的程度低，
图6.1
A x | x
0 的示意
模糊集相等 有两个模糊集A、B，所有的x当 有： x X
A ( x) B ( x)
( A B)k Ak Bk
同样地
0.4 0.3 B A 0.6 0.6
由此可知，一般来说 在特殊情况下当 若A、B可换，有： (7)转置模糊矩阵 模糊矩阵 转置模糊矩阵 例6 若设 转置模糊矩阵
A BB A
A BB A
称A与B可换。
( A B)k Ak Bk
A a ij
例5 设
0.8 0.7 A , 0.5 0.3
0.2 0.4 B 0.6 0.9
(0.8 0.2) (0.7 0.6) (0.8 0.4) (0.7 0.9) A B (0.5 0.2) (0.3 0.6) (0.5 0.4) (0.3 0.9) 0.6 0.7 0.3 0.4
X X1 X 2 若X是指实数轴,则“x比y大得多”
隶属度函数:
0 1 （ ）= R x, y 1 100 2 ( x y )
x y x y
模糊关系的合成
设
R1, R2 为 X 2 中的模糊关系，则
R1, R2
记为: 的合成，还是
X2
中的模糊关系
R1 R2
x X
记作:
有:
__
( x) 1 A ( x)
第1章 模糊集合的基本概念
2 Supp Supp A Supp A, Ker Ker A Ker A ~ ~ ~ ~ 3 A B Supp A Supp B ~ ~ ~ ~ 定义1 10设 0,1 , A F U , 定义 A F U ，
若u U , A u 1，则称A为全集U.
设U 0， ，年老 O，年轻 Y 是两个模糊集 200
~ ~
例
0， 0u 50 O u 1 u 50 2 ~ 1 5 ,50u 200 1， 0 u 25 Y u 1 u 25 2 ~ 1 5 ,25u 200
A A u1 , u1 , A u2 , u2 ,, A un , un
~ ~ ~
（3）向量表示法
A A u1 , A u2 ,, A un
~ ~ ~ ~
4 Zadeh与向量式的结合表示法 A un A u1 A u2 ~ ~ ~
1.3.2
性质1
~
A B A B
~ ~
~
A B , A B
截集的性质
性质2 设、 0，，且 ， 1 则A A 特别
性质3
A0 U
A A , A
C C ~
1
C
~
A1
~ ~
成立，则称 A与B相等，记作A B .
~ ~ ~ ~
模糊集的交、并、余运算
定义1-5 设 A、 C F U ，若对于u U , 有 B、
第一章模糊集的基本概念
6.集合的运算规律
幂等律： A∪A = A， A∩A = A； 交换律： A∪B = B∪A， A∩B = B∩A； 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C )， ( A∩B )∩C = A∩( B∩C )； 吸收律： A∪( A∩B ) = A，A∩( A∪B ) = A； 分配律：( A∪B )∩C = ( A∩C )∪( B∩C )； ( A∩B )∪C = ( A∪C )∩( B∪C )； 0-1律：A∪U = U ， A∩U = A ； A∪ = A ， A∩ = ； 还原律： (Ac)c = A ； 对偶律： (A∪B)c = Ac∩Bc，(A∩B)c = Ac∪Bc； 排中律： A∪Ac = U， A∩Ac = .
§1.2 模糊理论的数学基础
一 经典集合
1.经典集合具有两条基本属性：
元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明, 即一个元素x要么属于集合A(记作xA),要么不属 于集合(记作xA)，二者必居其一. 2.集合的表示法 (1)枚举法，A={x1 , x2 ,…, xn}； (2)描述法，A={x | P(x)}.
记R=(rij)n×n, R2 =(rij(2))n×n.
先设R具有传递性.
若rij(2) =0，则有rij(2) ≤ rij .
若rij(2) =1，则由于
rij(2) = ∨{(rik∧rkj) | 1≤k≤n} = 1，
故存在1≤s≤n，使得
(ris∧rsj) = 1，
即ris= 1, rsj= 1.
由于R具有传递性，ris= 1, rsj= 1， 则rij =1. 综上所述 R2≤R. 再设R2≤R，则对任意的 i , j , k，若有 rij =1， rjk = 1，
2.关系的三大特性 定义9 设R为 X 上的关系 (1) 自反性：若 X 上的任何元素都与自己有关 系R，即R (x , x) =1，则称关系 R 具有自反性； (2) 对称性：对于X 上的任意两个元素 x , y， 若 x 与y 有关系R 时，则 y 与 x 也有关系R，即 若R (x , y ) =1，则R ( y , x ) = 1，那么称关系R具 有对称性； (3) 传递性：对于X上的任意三个元素x, y, z， 若x 与y 有关系R，y 与z 也有关系R 时，则x与z 也 有关系R，即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，则R ( x , z ) = 1，那么称关系R具有传递性.
模糊集的基本概念
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 或f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
也称f为一一的。 满射(surjection)： f : X Y, 且对任意 y Y, 都有 x X , 使得 y f (x), 则称f为满射。
也称f 映X到Y上（映上）。
用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：
确定性
数学 不确定性
经典（精确）数学
随机性 模糊性 随机数学 模糊数学
模糊理论的数学基础
普通集合与普通关系
一、集合
集合的有关概念 集合的运算 集合运算的性质 映射与扩张 集合的特征函数 直积 关系的概念 关系的运算 特征关系 等价关系与划分 偏序集 格
Ai {x | i I , x Ai }
分配律、对偶律等可推广
4. 集合中元素的计数
• 集合A＝{1，2，„，n}，它含有n个元素,可以说这 个集合的基数是n，记作 card A＝n
也可以记为｜A｜＝n，
空集的基数是 即｜｜＝0．
有穷集、无穷集
• 定义: 设A为集合，若存在自然数n（0也是自然 数），使得｜A｜＝card A＝n，则称A为有穷集， 否则称A为无穷集。
• 例如，{a,b,c}是有穷集，而N，Z，Q，R都是无 穷集。
5. 映射与扩张
（1） 映射(mapping):实际是函数概念的推广
x X, 设 X, Y 都是集合，若存在对应关系 f, 使
都有唯一的 y Y 与之相对应，则称f 映X入Y的映射。 记号： f : X Y x a y f (x)
A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C )
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• 在两种情况下：
a b max(a, b)
a b min(a, b)
• 模糊集的并、交运算一般表示为：
U tT
At %
U
( tT
At (u) / u) %
I tT
At %
U
( tT
At %
(u)
/
u)
与普通集相比较：
•
补余律： A U AI
Ac Ac
U
未必成立。
在模糊集合中
例：
tT
I At @ u u U,对一切T使u At
tT
分别称为集合族At t T的并集与交集。
①T={1,2}定义1.2同定义1.1
②T={1,2…n}n个集合的并
③T={1,2…n…}可数个集合的并
（其中T为指标集）
易证：
A I (U At ) U( A I At )
tT
tT
A U(I At ) I ( A U At )
• 教材： 模糊集合论及其应用 ，汪培庄
§2 普通集合论的回顾
• 论域：被讨论的全体对象叫做论域。U、 V、X、Y‥‥
• 元素：论域中的每个对象叫元素。u、v、x、 y、z‥‥
• 集合：论域中某一部分元素的全体叫做U的 一个集合。A、B、C‥‥
• 集合的表示方法： A={u1,u2,…un}枚举法 A={u|…} | 后是对u的一种解释。
tT
(I
tT
At ) (u)inf{At
%
%
(u)
t
T}
下确界
• 对一族实数 {at t T} 记
tT
at
{at
t T}sup{at
t T} sup at
tT
tT
at
{at
t T}inf{at
t T} inf tT
at
• 当T为有限集：
{at t T} max{at t T} {at t T} min{at t T}
第一章 模糊集合的一般概念
§1 序言
• 模糊数学是研究和处理模糊现象的科学。 • 模糊现象：大雨、中雨、小雨、多云、
收成好、坏、高个子。
• 由于历史原因，人们习惯追求精确性，总 希望把事物以数字的形式清楚的表达出来。 而对模糊现象用传统数学遇到实质性的困 难。
• 计算机：处理计算、解方程。 处理模糊现象较差。
因为当~A (u) ~B (u) 时：1 (~A (u) ~B (u)) 1 ~B (u)
此时1 ~B (u) 1 ~A (u) ，故：
[1 ~A (u)] [1 ~A (u)] 1μ ~A (u)
若 ~A ~B ，同样成立。
§4.模糊集合与普通集合的相互 转化
一、截集的定义
（1）仅有一根头发的人自然是秃头； （2） 假设n根头发的人是秃头； （3）由公设便知有n+1根头发的人亦秃； （4）由归纳法原理得出结论：任何人都是 秃头。
•
原因在于：把一个二值逻辑推理用到
一个二值逻辑所不能施行的判断上去。
•
量变蕴涵质变，量变不能用
“真”“假”两个字来刻画。“真”——1，
“假”——0，二值逻辑把真假绝对化。对
U
为 0。
u 在圆环内，离圆心的距离表示 u 属于 A 隶 %
属度，a+b=1
• Fuzzy的发展：1965年，Zadeh提出。应用 于理、工、农、医、社会科学。
• 日本：家电。
• 中国：理论80年代出引入。1984，85，87， 90年在中国举行会议
• 本课内容：模糊集合的一般概念 模糊关系 模糊关系方程 模糊推理 模糊控制
(u
50 5
)
2
]1
当0 u 50 当50 u 200
Y~ (u)
1 [1
(u
25) 5
2
]1
当0 u 25 当0 u 200
三、定义1.6 集合的运算（并、交、补）
C @AU %%
B %
AUB (u) %%
max(A (u), %
B (u)) %
C @AI %%
B %
AI %
模糊子集是通过隶属函数来定义的， 如果要问模糊集合由那些元素组成的，必 须对隶属度取去一定的阈值。这就引出了 截集的概念。
• 定义（截集）：设~A F(U)，对任意 [0,1]
记
( ~A)ΔAΔ{u ~A }
~ 叫做 A的截集。A是一个普通集合 A P(U )
例：
~A
1 a
0.2 b
0.6 c
例：A u u U (u是偶数) u (0, )
设A,B是U是的两个集合，若u U 都有：
u A u B(若u A,则u B)
A称叫B包做含B的A（子B 集A。）；或A被B包含（A B）,
若A B且 A B ，则A,B相等，A=B。对
任意集合U A 。
• 空集：不包含U的任何元素的集合，叫空集 φ： A U
B (u)
%
min(A (u), %
B (u)) %
C @Ac %%
Ac %
(u)
1
A (u) %
• 例： A @(1, 0.9, 0.4, 0.2, 0) 圆 %
B @(0.2, 0.3, 0.6, 0.1, 0) 方 %
A U B (1, 0.9, 0.6, 0.2, 0) 或圆或方 %%
•
加利福尼亚大学L.A.Zadeh(扎德)总结
出互克性原理：
“随着系统复杂性的增加，我们对其
复杂性作出精确而有意义的描述能力相应 地降低，直到达到一个阈值，一旦超过它， 精确性和有意义性几乎成为两个相互排斥 的特征。”
•
客观世界的模型
线性、时不变— —易于把握、确定 非线性、不变— —难于把握、不确定
属度。
AB (u) max( A (u), B (u))
A B (u) mix ( A(u), B (u))
Ac (u) 1 A (u)
§3 模糊子集的定义及运算
• 定义1.5 ：所谓给定了论域U上的一个模糊
子集~A ，是指对任意 u U ,都指定了一个
~ 数 映射 ~A
(u)
时至少存在一元素u0 ，使 ~A (u0 ) {0,1}
• 例：U={a, b, c, d, e}对每一个元素指定一个
隶属度, a a 1，b a 0.9，c a 0.4，d a 0.2，e a 0
模糊子集 ~A ，圆块块这一模糊概念在U上的
表现:
A(a) 1 %
A (b) 0.9 %
A(c) 0.4 %
~A
0.2 2
0.5 3
0.8 4
1 5
0.8 6
0.5 7
0.2 8
2)序偶表示法：如
~A
(u，1~A(u1))(u2~A(u2 ))L
3) 函数表示法连续情况:
例：以年龄作为论域，取U=[0，200]，
~ ~ Zadeh给出年轻 Y 和年老 O 两个模糊集的
隶属函数
O~
(u
)
0 [1
tT
tT
U I ( At )c ( At c )
tT
tT
I U ( At )c ( At c )
tT
tT
若 An1 An ( An1 An )
n 1
称集合 An n 1单调递增（降）。
记 limAn An @I An )
n
n1
叫集序列 {An}的极限 。
• 定义1.3 记
模糊概念用1~0不够。用1到0连续变化表示
真假程度。
• Cantor集合：论域U，集合A，元素u
U
A
u 要么属于 A , u A
u
要么不属于 A, u A
• Fuzzy集合： A %
A
a
%
u 在内环，表示 u 绝对属于 A ，隶属度为 1。 %
u 在外环外，表示 u 绝对不属于 A ，隶属度 %
• 模糊概念来自模糊现象，模糊性是绝对的、 精确性是相对的，精确性是对不精确性的 一种分离，这种分离是具有一定意义的， 使人们能够对某些事物进行严格定量的表 示，建立数学模型。
• 随着科学的深化，研究对象越来越复 杂化，数学模型的复杂化，模糊性逐渐积
累，变的不可忽略。精确性和模糊性变成 一个突出的矛盾。
(A B)c Ac Bc (A B)c Ac Bc
• 集合的性质：
1.幂等律：A A A, A A A 2.交换律：A B B A, A B B A
3.结合律：(A B) C A (B C) (A B) C A (B C)
4.吸收律：(A B) B B, (A B) B B
5.分配律：A （B C) (A B) (A C) A （B C) (A B) (A C)
6.两极律：A UU U A I U A AU A AI
7.复原律：(Ac )c A
8.补余律： A Ac U A Ac
• 定义 1.2：记UAt @ u u U, 存在t T使u At
么具有性质P，要么不具有性质P。形成一
个二值逻辑。处理没有明确外延的概念，
不能构成Cantor集合，没有明确外延的概
念就是模糊概念。
• 例：“秃子悖论” • 公设：若具有n(n是任意自然数)根头发的人是秃
子，则具有n+1根头发的人亦秃。基于这个公设， 可以证明秃头悖论，任何人都是秃头。
证明：采用数学归纳法，
• 特征函数：任给 A P(u) ，确定了从U到
{0，1}的映射 A
A :U {0,1}
A
(u)
1 0
A 叫A的特征函数。
当u A 当u A