模糊数学(基本定义)
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模糊数学简介
３）
84 Yamakawa F-logic I.C (模糊集成电路)
85 IFSA 成立国际模糊系统协会
我国：70 年代 王培庄，开始主要是理论研究，并且与经典数学相对应的各个领域都
有人研究，现在研究、利用模糊技术的领域已经深入到社会、经济等各个方面。
杂志：
*FSS-Fuzzy Set and Systems，
一、模糊数学简介、教学安排、
普通集合
（一）简介
1． 发展历史
美：65 L.A.zadeh 信息与控制（理论研究开始）
英：74 马丹尼
蒸汽机控制，８０年丹麦哥本哈根的史密斯水泥公司首次用模
糊系统实现了对水泥窑炉的控制。８８年，日立公司使日本仙台市地铁实现了模糊控制。
日：72 Sugeno
F-measure 语音控制模糊汽车（８８），无人驾驶直升机（９
（３）特征函数定义
定义：设 X 为论域， A X ，称映射
A : X { 0 , 1}
1, x A
x |
A (x)
0,
x A
( A B )( x ) min{ A ( x ), B ( x )} A ( x ) B ( x )
Ac (x) 1 A(x)
*IEEE Transactions on Fuzzy Systems (1993),
*Fuzzy Mathematics etc.
IEEE 从１９９２年起，每年召开一次国际模糊学术会议。１９９５年 IEEE 给 Zadeh
授予了学会的荣誉勋章。
２．趋势
（1）研究与应用人数逐年上升
（2）应用领域逐步扩大，遍及社会，经济等等各个领域，如：
11模糊数学及其应用
2010暑假建模培训 3
2、隶属度：隶属函数A( x)描述了 x对模糊集合A的隶属程度。
3、模糊集A有下列三种常见的表示形式。 i) zadeh 表示法 ii) 序偶表示法 iii) 向量表示法
2010暑假建模培训
4
用集合x1 , x2 , x3 , x4 表示四位学 生, " 聪明"是一个模糊概念, 经某种方法 对四位学生的聪明程度 作的评价依次为 0.45 , 0.78 , 0.91 , 0.46 , 则以次评价构成 的模糊集合 A记为
22
2010暑假建模培训
2、数据标准化 在实际问题中，不同的数据一般有不 同的量纲，为了使所有不同的量纲的量也 能进行比较，通常需要对数据作适当的变 换 在模糊数学里，一般将数据压缩到区间 [0，1]上。
2010暑假建模培训
23
通常需要作如下两种变换： 1）平移、标准差变换
xik xk x sk
' ik
(i 1,2n; k 1,2,m)
1 xk xik n i 1
n
1 2 sk ( xik xk ) n i 1
n
2010暑假建模培训
24
经过变换后，每个变量的均值为0，标准 差为1，且消除了量纲的影响，但是，这样得 到的 还不一定在区间[0，1]上。
2）平移、极差变换
2010暑假建模培训 19
择近原则
设A1 , A2 , An是论域X中的n个模糊 集合 标准模型，对于给定的 待识别 对象B( X中的模糊集合） , 若存在k使得：
( Ak , B) max{ ( A1, B), ( An , B)}
其中 ( Ai , B )表示B对Ai的贴近度， 则认为B与Ak 最相似
2、隶属度：隶属函数A( x)描述了 x对模糊集合A的隶属程度。
3、模糊集A有下列三种常见的表示形式。 i) zadeh 表示法 ii) 序偶表示法 iii) 向量表示法
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4
用集合x1 , x2 , x3 , x4 表示四位学 生, " 聪明"是一个模糊概念, 经某种方法 对四位学生的聪明程度 作的评价依次为 0.45 , 0.78 , 0.91 , 0.46 , 则以次评价构成 的模糊集合 A记为
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2、数据标准化 在实际问题中，不同的数据一般有不 同的量纲，为了使所有不同的量纲的量也 能进行比较，通常需要对数据作适当的变 换 在模糊数学里，一般将数据压缩到区间 [0，1]上。
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23
通常需要作如下两种变换： 1）平移、标准差变换
xik xk x sk
' ik
(i 1,2n; k 1,2,m)
1 xk xik n i 1
n
1 2 sk ( xik xk ) n i 1
n
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经过变换后，每个变量的均值为0，标准 差为1，且消除了量纲的影响，但是，这样得 到的 还不一定在区间[0，1]上。
2）平移、极差变换
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择近原则
设A1 , A2 , An是论域X中的n个模糊 集合 标准模型，对于给定的 待识别 对象B( X中的模糊集合） , 若存在k使得：
( Ak , B) max{ ( A1, B), ( An , B)}
其中 ( Ai , B )表示B对Ai的贴近度， 则认为B与Ak 最相似
模糊数学简介
集合的运算规律 幂等律： ∪ 幂等律： A∪A = A， A∩A = A； ， ； 交换律： ∪ 交换律： A∪B = B∪A， A∩B = B∩A； ∪ ， ； 结合律： ∪ ∪ 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C )， ∪ ∪ ， ( A∩B )∩C = A∩( B∩C )； ； 吸收律： ∪ 吸收律： A∪( A∩B ) = A， ， A∩( A∪B ) = A； ∪ ； 分配律： ∪ 分配律：( A∪B )∩C = ( A∩C )∪( B∩C ); ∪ ( A∩B )∪C = ( A∪C )∩( B∪C ); ∪ ∪ ∪
1, χ A( x) = ： (1)枚举法；(2)描述法，A={x | P(x)}. 枚举法； 描述法 描述法， 枚举法 A⊂B ⇔ 若x∈A，则x∈B； ⊂ ∈ ， ∈ ； A⊃B ⇔ 若x∈B，则x∈A； ⊃ ∈ ， ∈ ； A=B ⇔ A ⊂ B且 A ⊃ B. 且 集合A的所有子集所组成的集合称为 的 集合 的所有子集所组成的集合称为A的 的所有子集所组成的集合称为 幂集, 记为2 幂集 记为 A. 并集A∪ 并集 ∪B = { x | x∈A或x∈B }； ∈ 或 ∈ ； 交集A∩B = { x | x∈A且x∈B }； 交集 ∈ 且 ∈ ； 设全集是X, 余集A 设全集是 A⊂X, 余集 c = { x | x∈X, x∉A }. ∈ ∉
关系合成的矩阵表示法 设 X = {x1, x2, … , xm}, Y = {y1 , y2 , … , ys}, Z = {z1, z2, … , zn},且X 到Y 的关系 , R1 = (aik)m×s， × Y 到Z 的关系 R2 = (bkj)s×n， × 的关系可表示为矩阵形式： 则X 到Z 的关系可表示为矩阵形式： R1 ○ R2 = (cij)m×n， × 其中c 其中 ij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s}, R1 R2 称为矩阵
模糊数学和其应用
04
总结与展望
模糊数学的重要性和意义
模糊数学是处理模糊性现象的一种数学 理论和方法，它突破了经典数学的局限 性，能够更好地描述现实世界中的复杂 问题。
模糊数学的应用领域广泛，包括控制论、信 息论、系统论、人工智能、计算机科学等， 对现代科学技术的发展起到了重要的推动作 用。
模糊数学的出现和发展，不仅丰富 了数学理论体系，也促进了各学科 之间的交叉融合，为解决实际问题 提供了新的思路和方法。
随着计算机技术的发展，模糊 数学的应用越来越广泛，成为 解决复杂问题的重要工具之一 。
模糊数学的基本概念
模糊集合
与传统集合不同，模糊集合的成员关系不再是确 定的，而是存在一定的隶属度。例如，一个人的 身高属于某个身高的模糊集合，其隶属度可以根 据实际情况进行确定。
隶属函数
用于描述模糊集合中元素属于该集合的程度。隶 属函数的确定需要根据实推理规则不再是一 一对应的，而是存在一定的连续性。例如，在医 疗诊断中，病人的症状与疾病之间的关系可能存 在一定的模糊性，通过模糊逻辑可以进行更准确 的推理。
模糊运算
与传统运算不同，模糊运算的结果不再是确定的 数值，而是存在一定的隶属度。例如，两个模糊 数的加法运算结果也是一个模糊数，其隶属度取 决于两个输入的隶属度。
模糊数学在图像处理中的应用
总结词
模糊数学在图像处理中主要用于图像增强和图像恢复。
详细描述
通过模糊数学的方法，可以对图像进行平滑、锐化、边缘检测等操作，提高图像的视觉效果和识别能 力。例如，在医学影像处理中，可以利用模糊数学的方法对CT、MRI等医学影像进行降噪、增强和三 维重建等处理，提高医学诊断的准确性和可靠性。
02
模糊数学的应用领域
模糊控制
模糊数学ppt课件
1 2
，则有rij'
பைடு நூலகம்[0,1]
。也可以
用平移—极差变换将其压缩到[0,1]上，从而得到模糊相似矩阵
R (rij )nm
（2）绝对值指数法. 令
m
rij exp{ xik x jk }(i, j 1, 2, , n) k 1
则 R (rij )nm
（3）海明距离法. 令
rij
1
d (xi , x j )
（6）主观评分法：设有N个专家组成专家组,让每一位专家对
所研究的对象 x i 与 x j 相似程度给出评价，并对自己的自信度
作出评估。如果第k位专家 Pk 关于对象 x i与 x j 的相似度评价
为 rij (k )，对自己的自信度评估为aij (k ) (i, j 1,2,, n)，则相关 系数定义为
)2
(i, j 1,2,, n)
其中E为使得所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
（5）切比雪夫距离法. 令
rij
d (xi ,
1 xj)
Q
d
m
k 1
( xi xik
,
x
j ), x jk
(i, j 1,2,, n)
其中Q为使所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
第三步. 聚类 所谓模糊聚类方法是根据模糊等价矩阵将所研究的对象进
行分类的方法。对于不同的置信水平 [0,1] ，可以得到不同 的分类结果，从而形成动态聚类图。 （一）传递闭包法
通常所建立的模糊矩阵R 只是一个模糊相似矩阵，即R 不 一定是模糊等价矩阵。为此，首先需要由R 来构造一个模糊等
模糊数学
模糊数学的认识与理解1、模糊数学的产生1965 年美国控制论学者L.A.扎德发表论文《模糊集合》，标志着这门新学科的诞生。
模糊数学又称FUZZY 数学，亦称弗晰数学或模糊性数学。
现代数学是建立在集合论的基础上。
集合论的重要意义就一个侧面看，在与它把数学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处。
一组对象确定一组属性，人们可以通过说明属性来说明概念（内涵），也可以通过指明对象来说明它。
符合概念的那些对象的全体叫做这个概念的外延，外延其实就是集合。
从这个意义上讲，集合可以表现概念，而集合论中的关系和运算又可以表现判断和推理，一切现实的理论系统都一可能纳入集合描述的数学框架。
但是，数学的发展也是阶段性的。
经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明确外延的概念和事物上，它明确地限定：每个集合都必须由明确的元素构成，元素对集合的隶属关系必须是明确的，决不能模棱两可。
对于那些外延不分明的概念和事物，经典集合论是暂时不去反映的，属于待发展的范畴。
在较长时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中，获得显著效果。
但是，在客观世界中还普遍存在着大量的模糊现象。
以前人们回避它，但是，由于现代科技所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出现。
各门学科，尤其是人文、社会学科及其它“软科学”的数学化、定量化趋向把模糊性的数学处理问题推向中心地位。
更重要的是，随着电子计算机、控制论、系统科学的迅速发展，要使计算机能像人脑那样对复杂事物具有识别能力，就必须研究和处理模糊性。
我们研究人类系统的行为，或者处理可与人类系统行为相比拟的复杂系统，如航天系统、人脑系统、社会系统等，参数和变量甚多，各种因素相互交错，系统很复杂，它的模糊性也很明显。
从认识方面说，模糊性是指概念外延的不确定性，从而造成判断的不确定性。
在日常生活中，经常遇到许多模糊事物，没有分明的数量界限，要使用一些模糊的词句来形容、描述。
比如，比较年轻、高个、大胖子、好、漂亮、善、热、远……。
模糊数学-模糊数学基本知识
隶属函数参数化
1. 三角形隶属函数
0
trig ( x;
a,
b,
c)
x a ba
cx
cb
0
xa a xb b xc
cx
trig(x; a,b, c) max(min( x a , c x), 0) ba cb
参数a,b,c确定了三角形MF三个顶点的x坐标。
2. 梯形隶属函数
0
xa
trap(x, a, b, c, d )
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
❖ (2)模糊子集运算的基本性质
模糊集合间的并、交、补（余）运算 具有如下的性质.
1)幂等律 A~ A~ A~, A~ A~ A~
2)交换律 A~ B~ B~ A~; A~ B~ B~ A~
3)结合律 ( A~ B~) C~ A~ (B~ C~),
论域U上的模糊集A由隶属函数uA来表征， uA的大小反映了x对于模糊子集的从属程度。 模糊子集完全由隶属函数来描述。
❖ 模糊子集的表示方法 （1）向量法
（2）查德表示法 有限集 无限集
模糊集举例 例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则 AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
经典集合论的例子： 设U={ 红桃，方块，黑桃，梅花 }
V={ A，1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10，J, Q, K } 求U×V
解： U×V＝{ (红桃，A)，（红 桃, 2），……，（
梅花, K） }
35
模糊关系论例子： 设有一组学生U:
U={ 张三，李四，王五 } 他们对球类运动V:
( A~ B~) C~ A~ (B~ C~).
模糊数学理论
2.1 模糊关系与模糊矩阵的概念 1）模糊关系
2) 模糊矩阵
2.2模糊等价关系与模糊相似关系 模糊等价关系与模糊相似关系 1）模糊等价关系 ）
2）模糊等价矩阵 ）
3）模糊相似关系与模糊相似矩阵 ）
2.3 截矩阵与传递矩阵 1）截矩阵 ）
Байду номын сангаас
2）模糊传递矩阵 ）
3 模糊聚类分析
所谓聚类分析，就是用数学的方法把事物按一定要求 和规律进行分类，它有广泛的实际应用。在模糊数学产生 之前，聚类分析已是是数理统计中研究“物以类聚”的一 种多元分析方法，它通过数学工具定量地确定、划分样品 的亲疏关系，从而客观地、合理地分型划类。由于客观事 物之间在很多情况下并没有一个截然区别的界限，又由于 分类时所依据的数据指标的变化也大都是连续的，同时许 多客观事物之间的界限往往不一定很清晰，使传统的基于 数理统计原理的聚类分析方法遇到了困难。因此用模糊数 学观点解决聚类分析问题，必然会更符合于实际情况。这 种基于建立模糊相似关系对客观事物进行分类的方法，称 为模糊聚类分析。
注明： 统计量确定满意分类 注明：用F统计量确定满意分类
• 3.1 模糊聚类分析理论：
1)
2)
3)
4)
3.2 基于模糊等价关系的动态聚类分析
例题
此例题可以用截矩阵的方法来实现
3.3 基于模糊相似关系的聚类分析 1）建立模糊相似矩阵 ）
2）传递闭包法 ）
此外，还有直接聚类法、最大树法、编网法等。 此外，还有直接聚类法、最大树法、编网法等。
3）模糊集的表示
4）模糊集的运算 ） 模糊集与普通集一样， 模糊集与普通集一样，有相同的运算和相应的运 算规律。 算规律。
A与B的并集、交集及 的补集定义如下： 与 的并集 交集及A的补集定义如下 的并集、 的补集定义如下：
2) 模糊矩阵
2.2模糊等价关系与模糊相似关系 模糊等价关系与模糊相似关系 1）模糊等价关系 ）
2）模糊等价矩阵 ）
3）模糊相似关系与模糊相似矩阵 ）
2.3 截矩阵与传递矩阵 1）截矩阵 ）
Байду номын сангаас
2）模糊传递矩阵 ）
3 模糊聚类分析
所谓聚类分析，就是用数学的方法把事物按一定要求 和规律进行分类，它有广泛的实际应用。在模糊数学产生 之前，聚类分析已是是数理统计中研究“物以类聚”的一 种多元分析方法，它通过数学工具定量地确定、划分样品 的亲疏关系，从而客观地、合理地分型划类。由于客观事 物之间在很多情况下并没有一个截然区别的界限，又由于 分类时所依据的数据指标的变化也大都是连续的，同时许 多客观事物之间的界限往往不一定很清晰，使传统的基于 数理统计原理的聚类分析方法遇到了困难。因此用模糊数 学观点解决聚类分析问题，必然会更符合于实际情况。这 种基于建立模糊相似关系对客观事物进行分类的方法，称 为模糊聚类分析。
注明： 统计量确定满意分类 注明：用F统计量确定满意分类
• 3.1 模糊聚类分析理论：
1)
2)
3)
4)
3.2 基于模糊等价关系的动态聚类分析
例题
此例题可以用截矩阵的方法来实现
3.3 基于模糊相似关系的聚类分析 1）建立模糊相似矩阵 ）
2）传递闭包法 ）
此外，还有直接聚类法、最大树法、编网法等。 此外，还有直接聚类法、最大树法、编网法等。
3）模糊集的表示
4）模糊集的运算 ） 模糊集与普通集一样， 模糊集与普通集一样，有相同的运算和相应的运 算规律。 算规律。
A与B的并集、交集及 的补集定义如下： 与 的并集 交集及A的补集定义如下 的并集、 的补集定义如下：
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μA ， μi =μA(xi) 模糊子集A如何表示？
三种表示方法
25
表示方法1
“查德记法”：模糊子集A记作 A = ∑i=1n μi / xi
26
例子（有限论域）
例.论域 = { Bill Gates, Barack Hussein Obama II , Albert Einstein, Michael Joseph Jackson, Steven Allan Spielberg }
一个子集A 对于X中任一元素x来说，
x符合概念a x A
9
经典集合论
经典集合论中，元素x与集合A的关 系是什么？
x属于集合A x不属于集合A
元素x与概念a的关系是什么？
x符合概念a x不符合概念a
10
集合与特征函数
经典集合论中，给定论域X，子集
A可由其特征函数XA(x)来唯一确定
31
表示方法说明
A = ∫x∈X μA(x) / x 这里的积分号不表示积分，也不表
示求和，而是表示各个元素与隶属 度对应关系的一个总括
32
例子（无限论域）
以年龄为论域，取X=[0, 200] 考虑两个模糊概念：年轻，年老
年龄段——肯定符合“年轻”的概念？ 年龄段——肯定不符合“年老”的概
中的不分明性，难以划定界限。非 此即彼？
亦此亦彼，模糊概念
13
模糊概念
源自于实践 模糊概念（现象）无处不在
薄、厚； 高、矮； 强、弱； 中雨、大雨、暴雨、大暴雨；
14
如何亦此亦彼？
经典子集的隶属程度
只能取0或1
如何亦此亦彼？
打破这个限制 表现“亦此亦彼”的模糊概念
15
开山之作
28
表示方法1的说明
A=∑i=1n μi / xi 不是分式求和，只是一个符号 “分母”是论域X的元素 “分子”是相应元素的隶属度 当隶属度为0时，该项可以不写入
29
表示方法2，3
表示方法2：
A = {(0.85, Bill), (0.75, Obama), (0.98, Einstein), (0.50, Jackson), (0.60, Spielberg)}
模糊概念：“smart” smart程度：0.85，0.75，0.98，0.5，
0.60
27
模糊集合“smart”
论域中元素对“smart”这模糊概念 的符合程度可以用模糊子集A来表 示
A = 0.85/Gates + 0.75/ Obama + 0.98/Einstein+0.50/Jackson + 0.60/ Spielberg
念？
33
“年轻”与“年老”的隶属函数曲 线
34
Y
1
[1 ( x 25)2 ]1 5
x x[0,25]
x[ 25,200 ]源自xO 0[1 ( x 50)2 ]1 5
x x[0,50]
x[50,200]
1}推广到[0，1]
20
模糊子集与隶属函数的定义
定义：给出映射μA ：X [0, 1] ， x| μA(x) ， 我们说μA确定一个X的模糊子集A，
μA称为A的隶属函数， μA(x)表示 x隶属于模糊子集A的程度，
称为x对A的隶属度。
21
模糊集合vs.普通集合
模糊集合A由隶属函数μA刻画 普通集合A由特征函数XA刻画 Question. 什么时候模糊集合退化成
表示方法3：
A=(0.85, 0.75, 0.98, 0.50, 0.60) 要求事先对论域中元素排序
30
模糊集合表示方法（无限论域）
当论域X为无限集时，上面的记法 失效
将查德记法推广到一般情况，即论 域是：无限的、连续的、或者其他 情况，论域X上的模糊集合A都可以 表示为
A = ∫x∈X μA(x) / x
模糊数学
1
教材
使用教材
杨纶标，高英仪. 《模糊数学原理及 应用》（第四版），华南理工大学出 版社，2006.
参考教材
罗承忠. 《模糊集引论》(上册)，北 京师范大学出版社，2005.
2
讨论
Why are we here?
3
概念、内涵、外延
概念：青菜 内涵：概念具有哪些特征
一种植物，绿色，一般叶子直立，可 食用
1965年,美国控制论专家L.A.Zadeh 发表开创性论文“Fuzzy Sets”[1]， 标志模糊数学的诞生
16
什么是模糊数学？
用数学方法研究和处理具有模糊性 的现象
理论基础
模糊集合论
17
第一章 模糊集合的基本概念
18
1-1 模糊子集与隶属函数
19
经典集合与模糊集合
经典集合——特征函数刻画 模糊集合——隶属函数刻画 隶属函数是将特征函数的值域从{0，
普通集合？
22
1-2 模糊子集的表示方法
23
模糊集合的表示方法
论域 论域——有限集
例如：X={x1 , x2 , x3 , x4 ,, x5} 论域——无限集
例如：X=[0, 100]
24
模糊集合表示方法（有限论域）
有限论域X={x1 , x2 , …, xn } 设X上的模糊子集A 的隶属函数为
特征函数是论域X到{0,1}上的一个 映射：
A
(
x)
1, x A 0, x A
11
特征函数—隶属程度 XA(x)指明x对A的隶属程度
隶属程度只有两个值：0，1 经典集合只能表示什么样的概念？
“非此即彼” 确切概念
12
非此即彼？
“高个子” “年轻” 现实世界中的很多概念具有模糊性 模糊性：客观事物差异的中间过渡
要有论域（议题限制在一定范围内）
例如：
在论域“human”上，讨论概念 “male”
在论域“monkey”上，讨论概念
“male”
7
概念与集合
从论域“人”中挑出所有男子，构 成论域的一个子集A
A是概念“男子”的
外延 是概念“男子”的集合表现
概念可以用集合来表示
8
概念与集合
给定论域X，设a为X上一概念，则a的外 延是论域X的
外延：概念的实例
油菜、空心菜、韭菜、葱、菠菜等等
4
概念、内涵、外延
概念要通过词语表现出来，概念的词语 表现叫做——“名称”
每一个概念都有一定的外延和内涵 概念的外延
适合这个概念的一切对象的范围
概念的内涵
这个概念所反映的对象的本质属性的总和
5
集合
集合与概念是什么关系？
6
论域
我们讨论具体问题时，要知道是在 什么范围上进行讨论
三种表示方法
25
表示方法1
“查德记法”：模糊子集A记作 A = ∑i=1n μi / xi
26
例子（有限论域）
例.论域 = { Bill Gates, Barack Hussein Obama II , Albert Einstein, Michael Joseph Jackson, Steven Allan Spielberg }
一个子集A 对于X中任一元素x来说，
x符合概念a x A
9
经典集合论
经典集合论中，元素x与集合A的关 系是什么？
x属于集合A x不属于集合A
元素x与概念a的关系是什么？
x符合概念a x不符合概念a
10
集合与特征函数
经典集合论中，给定论域X，子集
A可由其特征函数XA(x)来唯一确定
31
表示方法说明
A = ∫x∈X μA(x) / x 这里的积分号不表示积分，也不表
示求和，而是表示各个元素与隶属 度对应关系的一个总括
32
例子（无限论域）
以年龄为论域，取X=[0, 200] 考虑两个模糊概念：年轻，年老
年龄段——肯定符合“年轻”的概念？ 年龄段——肯定不符合“年老”的概
中的不分明性，难以划定界限。非 此即彼？
亦此亦彼，模糊概念
13
模糊概念
源自于实践 模糊概念（现象）无处不在
薄、厚； 高、矮； 强、弱； 中雨、大雨、暴雨、大暴雨；
14
如何亦此亦彼？
经典子集的隶属程度
只能取0或1
如何亦此亦彼？
打破这个限制 表现“亦此亦彼”的模糊概念
15
开山之作
28
表示方法1的说明
A=∑i=1n μi / xi 不是分式求和，只是一个符号 “分母”是论域X的元素 “分子”是相应元素的隶属度 当隶属度为0时，该项可以不写入
29
表示方法2，3
表示方法2：
A = {(0.85, Bill), (0.75, Obama), (0.98, Einstein), (0.50, Jackson), (0.60, Spielberg)}
模糊概念：“smart” smart程度：0.85，0.75，0.98，0.5，
0.60
27
模糊集合“smart”
论域中元素对“smart”这模糊概念 的符合程度可以用模糊子集A来表 示
A = 0.85/Gates + 0.75/ Obama + 0.98/Einstein+0.50/Jackson + 0.60/ Spielberg
念？
33
“年轻”与“年老”的隶属函数曲 线
34
Y
1
[1 ( x 25)2 ]1 5
x x[0,25]
x[ 25,200 ]源自xO 0[1 ( x 50)2 ]1 5
x x[0,50]
x[50,200]
1}推广到[0，1]
20
模糊子集与隶属函数的定义
定义：给出映射μA ：X [0, 1] ， x| μA(x) ， 我们说μA确定一个X的模糊子集A，
μA称为A的隶属函数， μA(x)表示 x隶属于模糊子集A的程度，
称为x对A的隶属度。
21
模糊集合vs.普通集合
模糊集合A由隶属函数μA刻画 普通集合A由特征函数XA刻画 Question. 什么时候模糊集合退化成
表示方法3：
A=(0.85, 0.75, 0.98, 0.50, 0.60) 要求事先对论域中元素排序
30
模糊集合表示方法（无限论域）
当论域X为无限集时，上面的记法 失效
将查德记法推广到一般情况，即论 域是：无限的、连续的、或者其他 情况，论域X上的模糊集合A都可以 表示为
A = ∫x∈X μA(x) / x
模糊数学
1
教材
使用教材
杨纶标，高英仪. 《模糊数学原理及 应用》（第四版），华南理工大学出 版社，2006.
参考教材
罗承忠. 《模糊集引论》(上册)，北 京师范大学出版社，2005.
2
讨论
Why are we here?
3
概念、内涵、外延
概念：青菜 内涵：概念具有哪些特征
一种植物，绿色，一般叶子直立，可 食用
1965年,美国控制论专家L.A.Zadeh 发表开创性论文“Fuzzy Sets”[1]， 标志模糊数学的诞生
16
什么是模糊数学？
用数学方法研究和处理具有模糊性 的现象
理论基础
模糊集合论
17
第一章 模糊集合的基本概念
18
1-1 模糊子集与隶属函数
19
经典集合与模糊集合
经典集合——特征函数刻画 模糊集合——隶属函数刻画 隶属函数是将特征函数的值域从{0，
普通集合？
22
1-2 模糊子集的表示方法
23
模糊集合的表示方法
论域 论域——有限集
例如：X={x1 , x2 , x3 , x4 ,, x5} 论域——无限集
例如：X=[0, 100]
24
模糊集合表示方法（有限论域）
有限论域X={x1 , x2 , …, xn } 设X上的模糊子集A 的隶属函数为
特征函数是论域X到{0,1}上的一个 映射：
A
(
x)
1, x A 0, x A
11
特征函数—隶属程度 XA(x)指明x对A的隶属程度
隶属程度只有两个值：0，1 经典集合只能表示什么样的概念？
“非此即彼” 确切概念
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非此即彼？
“高个子” “年轻” 现实世界中的很多概念具有模糊性 模糊性：客观事物差异的中间过渡
要有论域（议题限制在一定范围内）
例如：
在论域“human”上，讨论概念 “male”
在论域“monkey”上，讨论概念
“male”
7
概念与集合
从论域“人”中挑出所有男子，构 成论域的一个子集A
A是概念“男子”的
外延 是概念“男子”的集合表现
概念可以用集合来表示
8
概念与集合
给定论域X，设a为X上一概念，则a的外 延是论域X的
外延：概念的实例
油菜、空心菜、韭菜、葱、菠菜等等
4
概念、内涵、外延
概念要通过词语表现出来，概念的词语 表现叫做——“名称”
每一个概念都有一定的外延和内涵 概念的外延
适合这个概念的一切对象的范围
概念的内涵
这个概念所反映的对象的本质属性的总和
5
集合
集合与概念是什么关系？
6
论域
我们讨论具体问题时，要知道是在 什么范围上进行讨论