模糊数学基础
模糊数学基础
模糊数学基础第六章模糊数学基础6.1概述6.1.1传统数学与模糊数学6.1.2不相容原理6.2 模糊集合与⾪属度函数6.2.1 模糊集合及其运算6.2.2 ⾪属度函数6.3 模糊逻辑与模糊推理6.3.1模糊逻辑6.3.2模糊语⾔6.3.3 模糊推理第六章模糊数学基础6.1概述6.1.1 传统数学与模糊数学6.1.2 不相容原理1965年，美国⾃动化控制专家扎德（L. A. Zadeh ）教授⾸先提出⽤⾪属度函数(membership function)来描述模糊概念，创⽴了模糊集合论，为模糊数学奠定了基础。
不相容原理:“随着系统复杂性的增加，我们对其特性作出精确⽽有意义的描述的能⼒会随之降低，直到达到⼀个阈值，⼀旦超过它，精确和有意义⼆者将会相互排斥”。
这就是说，事物越复杂，⼈们对它的认识也就越模糊，也就越需要模糊数学。
不相容原理深刻的阐明了模糊数学产⽣和发展的必然性，也为三⼗多年来模糊数学的发展历史所证实。
6.2 模糊集合与⾪属度函数 6.2.1 模糊集合及其运算⼀、模糊集合（Fuzzy Sets ）的定义传统集合中的元素是有精确特性的对象，称之为普通集合。
例如，“8到12之间的实数”是⼀个精确集合C ，C ={实数r |8≤r≤12}，⽤特征函数µC (r )表⽰其成员，如图6.1(a)所⽰。
≤≤=其它，，01281)(r r C µ在模糊论域上的元素符合程度不是绝对的0或1，⽽是介于0和1之间的⼀个实数。
例如，“接近10的实数”是⼀个模糊集合F ＝{r |接近10的实数}，⽤“⾪属度(Membership)”µF (r )作为特征函数来描述元素属于集合的程度。
8121107.29110.750.27512.8rrµC （r ）µF （r ）(a) (b) 图6.1 普通集合与模糊集合的对⽐模糊集合的定义如下：论域U 上的⼀个模糊集合F 是指，对于论域U 中的任⼀元素u ∈U ,都指定了[0,1]闭区间中的⼀个数F µ(u )∈[0,1]与之对应，F µ(u )称为u 对模糊集合F 的⾪属度。
模糊数学原理及应用
模糊数学原理及应用
模糊数学是一门研究模糊集合、模糊逻辑等概念和方法的数学分支学科，它是20世纪60年代兴起的一门新兴学科，其理论和方法在实际问题中有着广泛的应用。
本文将就模糊数学的原理及其在实际中的应用进行介绍和分析。
首先，我们来看一下模糊数学的基本原理。
模糊数学的核心概念是模糊集合和
模糊逻辑。
模糊集合是指其隶属度不是二值的集合，而是在0到1之间连续变化的集合。
模糊逻辑是一种对不确定性进行推理的逻辑系统，它允许命题的真假值在0
和1之间连续变化。
这些基本概念为模糊数学的发展奠定了基础。
其次，我们来探讨模糊数学在实际中的应用。
模糊数学在控制系统、人工智能、模式识别、决策分析等领域有着广泛的应用。
在控制系统中，模糊控制可以有效地处理非线性和不确定性系统，提高控制系统的性能。
在人工智能领域，模糊推理可以用来处理模糊信息，提高智能系统的推理能力。
在模式识别中，模糊集合可以用来描述模糊的特征，提高模式识别的准确性。
在决策分析中，模糊数学可以用来处理不确定性信息，提高决策的科学性和准确性。
总之，模糊数学作为一种新兴的数学分支学科，其原理和方法在实际中有着广
泛的应用前景。
我们应该深入学习和研究模糊数学，不断拓展其理论和方法，促进其在实际中的应用，为推动科学技术的发展做出更大的贡献。
希望本文的介绍能够对大家对模糊数学有所了解，并对其在实际中的应用有所启发。
模糊数学原理及应用
模糊数学原理及应用
模糊数学，也被称为模糊逻辑或模糊理论，是一种基于模糊概念和模糊集合的数学分析方法，用于处理不精确或不确定性的问题。
模糊数学允许将不明确的概念和信息进行量化和处理，以便更好地处理现实生活中存在的模糊性问题。
模糊数学的基本原理是引入模糊集合的概念，其中的元素可以具有模糊或不确定的隶属度。
模糊数学中的隶属函数可以用于刻画元素对于一个模糊集合的隶属程度。
模糊集合的运算可以通过模糊逻辑实现，模糊逻辑是概率逻辑和布尔逻辑的扩展，它允许使用连续的度量范围来推导逻辑结论。
模糊逻辑中的运算包括取补、交集和并集等，它们可以用来处理模糊概念之间的关系。
模糊数学在许多领域都有广泛的应用。
在控制系统中，模糊控制可以用于处理难以量化的问题，如温度、湿度和压力等。
在人工智能领域，模糊推理可以用于处理自然语言的不确定性和模糊性。
在决策分析中，模糊数学可以用于处理多个决策因素之间的不确定性和模糊性。
此外，模糊数学还在模式识别、图像处理、数据挖掘和人机交互等领域得到广泛应用。
通过使用模糊数学的方法，可以更好地处理现实世界中存在的不确定性和模糊性，从而提高问题解决的准确性和效率。
模糊数学理论基础
模糊数学理论基础。
主要是对本文所需要的模糊数学的知识进行了介绍。
首先对模糊集的诞生和发展的历史背景、目的和意义进行了论述；接着给模糊集的定义及其表示方法；紧接着介绍了模糊集的隶属函数的定义及确定隶属函数的方法；最后引入了目前比较热门的概念模糊熵及其性质。
对这些知识的了解，将有助于我们自觉地或不自觉地应用到图像处理中去。
传统的信息处理方法建立在概率假设和二态假设(Probality Assumption＆Binary—State Assumption)的基础上。
概率假设使传统的数学应用范围从确定性现象扩展到随机现象，二态假设对应了人类的精确思维方式。
但自然界客观存在的事物除了可以精确表示之外，还存在着大量的模糊现象，如“年轻人”、“高个子”等，究竟多大年龄之间算“年轻”，多高个子为“高个子”，这是人们观念中的模糊的概念，模糊(Fuzzy)概念由此产生。
模糊性也就是生活中的不确定性。
实际上客观事物的不确定性除了随机性外，模糊性也是一种不确定性。
所谓模糊性是指事物的性质或类属的不分明性，其根源是事物之间存在过渡性的事物或状态，使它们之间没有明确的分界线。
在自然科学中，人们长久以来习惯于追求精确性，总希望把事物以数学方式描述出来，然而，面对模糊现象，传统的数学方法遇到了实质性的困难。
但对于人的大脑而言，它具有很高的模糊划分、模糊判断和模糊推理的能力，而且人们为了表达和传递知识所采用的自然语言中已巧妙地渗透了模糊性，并能用最少的词汇表达尽可能多的信息。
但是，对于计算机来说，无论它怎样发展，总无法达到人脑的境界，所以，用计算机来处理模糊信息，就需要一种能够将模糊语言形式化的工具，用数学的方式处理这种模糊性。
L．A．Zade提出的模糊集概念将一般的集合以隶属函数的概念推广到模糊集。
为模糊数学的发展与成熟奠定了深厚的基础。
模糊集理论的出现引起了数学界和科技工程界的极大兴趣并对其进行了广泛深入的研究，理论成果和应用成果不断出现，从而创建了一门新的科学——模糊数学。
模糊控制的数学基础-1(2-16至2-30)模糊运算、分解定理
从中可见，随着实验次数n 的增加，27岁对“青年人”的频率基本稳定在0.78附近，近似可取()78.027~=A μ。
②例证法此法是扎德教授于1972年提出的。
基本思想—从模糊子集~A的有()x A ~μ的值，估计出论域U 上~A 的隶属函数。
例如：取论域U 是实数域R 中的一部分[0,100], ~A 是U 上―较大的数‖，虽然~A 是U 上的模糊子集。
为确定()x A ~μ的分布，选定几个语言真值（即一句话为真的程度）中的一个，来回答[0，100]中的某数是否算―较大‖。
如果语言真值分为―真的‖、―大致真的‖、―半真半假‖、―大致假的‖、“假的”。
把这些语言真值分别用[0，1]之间的数字表示，即分别为1，0.75，0.5，0.25和0。
对[0，100]用的αϕ个不同的数都作为样本进行询问，就可得~A 的模糊分布()x A ~μ的离散表示法。
③专家评分法（德尔菲法）该法40年代以来就已广泛应用于经济与管理科学的各个领域，典型的例子是在体操比赛中对运动员的评分，“技术好”是运动员集上的一个模糊 ，所有评委打分的平均值（有时去掉一个最高分和一个最低分）就是运动员“技术好”的隶属度。
这种方法也可以用来求模糊分布，在应用时，为了区别专家的学术水平和经验的多少，还可以采用加权平均法。
§2—2 模糊子集的特性及运算法则前面已讨论过普通集合的基本运算，下面对模糊子集的运算另作定义。
一、 模糊子集的运算法则 ① Fuzzy 子集的包含与相等设~A 、~B 为论域U 上的两个模糊子集，对于U 中的每一个元素x ，都有()x A ~μ≥()x B ~μ，则称~A 包含~B ，记作~A ⊇~B 。
如果，~A ⊇~B 且~B ⊇~A ，则说~A 与~B 相等，记作~A =~B 。
或者，若对所有x ∈U ，都有()x A ~μ=()x B ~μ，则~A =~B 。
②模糊子集的并、交、补运算设~A 、~B 为论域U 上的两个模糊子集，规定~A ~B 、~A ~B 、~A 的隶属函数分别为~~BAμ、~BAμ、~A μ,并且对于U 的每一个元素x 都有~~BAμ()∆x ()x A ~μ∨()x B ~μ=max[()x A ~μ,()x B ~μ] —~A ,~B 的并~~BAμ()∆x ()x A ~μ∧()x B ~μ=min[()x A ~μ,()x B ~μ]— ~A ,~B 的交~Aμ()∆x 1–()x A ~μ —~A 的补eg,设论域U={}4321,,,x x x x ，~A 、~B 是论域U 上的两个模糊集。
模糊数学-模糊数学基本知识
隶属函数参数化
1. 三角形隶属函数
0
trig ( x;
a,
b,
c)
x a ba
cx
cb
0
xa a xb b xc
cx
trig(x; a,b, c) max(min( x a , c x), 0) ba cb
参数a,b,c确定了三角形MF三个顶点的x坐标。
2. 梯形隶属函数
0
xa
trap(x, a, b, c, d )
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
❖ (2)模糊子集运算的基本性质
模糊集合间的并、交、补（余）运算 具有如下的性质.
1)幂等律 A~ A~ A~, A~ A~ A~
2)交换律 A~ B~ B~ A~; A~ B~ B~ A~
3)结合律 ( A~ B~) C~ A~ (B~ C~),
论域U上的模糊集A由隶属函数uA来表征， uA的大小反映了x对于模糊子集的从属程度。 模糊子集完全由隶属函数来描述。
❖ 模糊子集的表示方法 （1）向量法
（2）查德表示法 有限集 无限集
模糊集举例 例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则 AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
经典集合论的例子： 设U={ 红桃，方块，黑桃，梅花 }
V={ A，1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10，J, Q, K } 求U×V
解： U×V＝{ (红桃，A)，（红 桃, 2），……，（
梅花, K） }
35
模糊关系论例子： 设有一组学生U:
U={ 张三，李四，王五 } 他们对球类运动V:
( A~ B~) C~ A~ (B~ C~).
模糊数学基本知识
一．模糊数学的基础知识1．模糊集、隶属函数及模糊集的运算。
普通集合A ，对x ∀，有A x ∈或A x ∉。
如果要进一步描述一个人属于年轻人的程度大小时，仅用特征函数就不够了。
模糊集理论将普通集合的特征函数的值域推广到[0，1]闭区间内，取值的函数以度量这种程度的大小，这个函数（记为)(x E ）称为集合E 的隶属函数。
即对于每一个元素x ，有[0,1]内的一个数)(x E 与之对应。
（1）模糊子集的定义：射给定论域U ，U 到[0，1]上的任一映射：))((],1,0[:U u u A u U A ∈∀→→都确定了U 上的一个模糊集合，简称为模糊子集。
)(u A 称为元素u 属于模糊集A 的隶属度。
映射所表示的函数称为隶属函数。
例如：设论域U=[0，100]，U 上的老年人这个集合就是模糊集合：⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+≤=--10050,))550(1(50,0)(12u u u u A 若在集合U 上定义了一个隶属函数，则称E 为模糊集。
（2）模糊集合的表示：},.....,,{21n u u u U =，)(u A 称为元素u 属于模糊集A 的隶属度；则模糊集可以表示为：nn u u A u u A u u A A )(....)()(2211+++=。
或 )}(),.....,(),({21n u A u A u A A =，))}(,()),.....,(,()),(,{(2211n n u A u u A u u A u A =，（3）模糊集合的运算：)}(),.....,(),({21n u A u A u A A =，)}(),.....,(),({21n u B u B u B B =，并集：)}()(),.....,()(),()({2211n n u B u A u B u A u B u A B A ∨∨∨=⋃，交集：)}()(),.....,()(),()({2211n n u B u A u B u A u B u A B A ∧∧∧=⋂，补集：)}(1),.....,(1),(1{21n c u A u A u A A ---=，包含：B A u B u A U u ⊂≤∈∀，则有有若)()(,，2．模糊集的截集已知U 上模糊子集))((],1,0[:U u u A u U A ∈∀→→对]1,0[∈λ，则称})(,{λλ≥∈=u A U u u A 为模糊集A 的λ-截集； 称})(,{λλ>∈=u A U u u A s 为模糊集A 的λ-强截集；λ称为λA 、sA λ的置信水平或阀值。
模糊数学基础练习题
模糊数学基础练习题模糊数学基础练习题在现代数学中，模糊数学是一门研究不确定性和模糊性的数学分支。
它通过引入模糊集合和模糊逻辑，为处理现实世界中模糊和不确定的问题提供了一种有效的工具。
为了更好地理解和应用模糊数学，下面将给出一些模糊数学基础练习题。
1. 模糊集合：给定一个模糊集合A = {(x, μA(x))}，其中x是集合的元素，μA(x)是元素x的隶属度。
请计算集合A的支持度和核。
2. 模糊逻辑运算：假设有两个模糊集合A = {(x, μA(x))}和B = {(x, μB(x))}，请计算它们的模糊交、模糊并和模糊补运算。
3. 模糊关系：考虑一个模糊关系R = {(x, y, μR(x, y))}，其中x和y是集合的元素，μR(x, y)是元素x和y之间的关系强度。
请计算关系R的模糊合成和模糊反关系。
4. 模糊推理：假设有一个模糊规则库，包含多个模糊规则，如“If x is A and y is B, then z is C”，其中A、B和C分别是模糊集合。
请利用模糊推理方法，根据给定的输入模糊集合，推导出输出模糊集合。
通过解答以上练习题，我们可以更好地理解和应用模糊数学。
模糊数学的应用领域广泛，包括模糊控制、模糊决策、模糊优化等。
它在处理不确定性和模糊性问题时具有很强的适应性和灵活性，能够更好地反映现实世界中的复杂性和模糊性。
总之，模糊数学是一门重要的数学分支，它为处理现实世界中模糊和不确定的问题提供了一种有效的工具。
通过不断练习和应用，我们能够更好地掌握模糊数学的基础知识和技巧，为解决实际问题提供更准确和可靠的方法。
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第六章模糊数学基础6.1概述6.1.1传统数学与模糊数学6.1.2不相容原理6.2 模糊集合与隶属度函数6.2.1 模糊集合及其运算6.2.2 隶属度函数6.3 模糊逻辑与模糊推理6.3.1模糊逻辑6.3.2模糊语言6.3.3 模糊推理第六章模糊数学基础6.1概述6.1.1 传统数学与模糊数学6.1.2 不相容原理1965年，美国自动化控制专家扎德（L. A. Zadeh ）教授首先提出用隶属度函数(membership function)来描述模糊概念，创立了模糊集合论，为模糊数学奠定了基础。
不相容原理:“随着系统复杂性的增加，我们对其特性作出精确而有意义的描述的能力会随之降低，直到达到一个阈值，一旦超过它，精确和有意义二者将会相互排斥”。
这就是说，事物越复杂，人们对它的认识也就越模糊，也就越需要模糊数学。
不相容原理深刻的阐明了模糊数学产生和发展的必然性，也为三十多年来模糊数学的发展历史所证实。
6.2 模糊集合与隶属度函数 6.2.1 模糊集合及其运算一、模糊集合（Fuzzy Sets ）的定义传统集合中的元素是有精确特性的对象，称之为普通集合。
例如，“8到12之间的实数”是一个精确集合C ，C ={实数r |8≤r ≤12}，用特征函数μC (r )表示其成员，如图6.1(a)所示。
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它，，01281)(r r C μ在模糊论域上的元素符合程度不是绝对的0或1，而是介于0和1之间的一个实数。
例如，“接近10的实数”是一个模糊集合F ＝{r |接近10的实数}，用“隶属度(Membership)”μF (r )作为特征函数来描述元素属于集合的程度。
18121107.29110.750.27512.8rrμC （r ）μF （r ）(a) (b) 图6.1 普通集合与模糊集合的对比模糊集合的定义如下：论域U 上的一个模糊集合F 是指，对于论域U 中的任一元素u ∈U ,都指定了[0,1]闭区间中的一个数F μ(u )∈[0,1]与之对应，F μ(u )称为u 对模糊集合F 的隶属度。
也可以表示成映射关系：F μ：U →[0,1] u →F μ(u )这个映射称为模糊集合F 的隶属度函数（membership function ）。
模糊集合有时也称为模糊子集。
U 中的模糊集合F 可以用元素u 及其隶属度F μ(u )来表示：()(){}F u u u U F =∈,μ仍以前面提到的“年轻”、“中年”、“老年”为例，这三个年龄特征分别用模糊集合A 、B 、C 表示，它们的论域都是U ＝[0，100]，论域中的元素都是年龄u ，我们可以规定模糊集合A 、B 、C 的隶属度函数分别为μA (u )、μB (u )、μC (u )，如图6.2所示。
1u μ20304050607080A B C0.750.250.5图6.2 “年轻”、“中年”、“老年”的隶属度函数二、模糊集合的表示 1、离散论域如果论域Ｕ中只包含有限个元素，该论域称为离散论域。
设离散论域Ｕ＝{u 1,u 2,…，u n }，Ｕ上的模糊集合Ｆ可表示为∑==ni i i F u F 1)(μ (6.2.1)n n F F F u u u u u )()()(2211μμμ+⋅⋅⋅++=这只是一种表示法，表明对每个元素u i 所定义的隶属度为μF (u i )，并不是通常的求和运算。
2、连续论域如果论域Ｕ是实数域，即Ｕ∈Ｒ，论域中有无穷多个连续的点，该论域称为连续论域。
连续论域上的模糊集合可表示为⎰∈=Uu Fu u F )(μ(6.2.2)这里的积分号也不是通常的含义，该式只是表示对论域中的每个元素u 都定义了相应的隶属度函数μF (u )。
三、模糊集合的基本运算 1、 基本运算的定义设A ，B 是同一论域U 上的两个模糊集合，它们之间包含、相等关系定义如下： ● A 包含B ，记作A ⊃B ，有),()(u u B A μμ≥ U u ∈∀ (6.2.3) ● A 等于B ，记作A ＝B ，有),()(u u B A μμ= U u ∈∀ (6.2.4) 显然，B A B A ⊃⇔=且B A ⊂。
设A 、B 是同一论域U 上的两个模糊集合，隶属度函数分别为A μ(u )和B μ(u )，它们的并、交、补运算定义如下：●A 与B 的交，记作A ∩B ，有)()()(u u u B A B A μμμ∧=⋂{})(),(m in u u B A μμ=， U u ∈∀ (6.2.5)●A 与B 的并，记作A ∪B ，有)()()(u u u B A B A μμμ∨=⋃{})(),(m ax u u B A μμ=， U u ∈∀ (6.2.6) ● A 的补，记作A ，有U u u u A A∈∀-=),(1)(_μμ (6.2.7)其中，min 和∧表示取小运算，max 和∨表示取大运算。
图6.3显示了这三种运算对应的隶属度函数。
01rr μABABμrμA _A11A ∩BA ∪B(a)A 和B 的交； (b)A 和B 的并； (c)A 的补图6.3 模糊集合的三种运算2. 基本运算定律论域Ｕ上的模糊全集Ｅ和模糊空集φ定义如下：1)(=u E μ， U u ∈∀ (6.2.8) 0)(=u φμ， U u ∈∀ (6.2.9）设Ａ，Ｂ，Ｃ是论域Ｕ上的三个模糊集合，它们的交、并、补运算有下列定律： ①恒等律：A A A A A A =⋂=⋃, ②交换律：A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃,③结合律：)()()()(C B A C B A C B A C B A ⋂⋂=⋂⋂⋃⋃=⋃⋃④分配律：)()()()()()(C A B A C B A C A B A C B A ⋂⋃⋂=⋃⋂⋃⋂⋃=⋂⋃⑤吸收律：AA B A AA B A =⋂⋃=⋃⋂)()(⑥同一律：φφφ=⋂=⋃=⋂=⋃A A A A E A E E A ,,⑦复原律：A A = ⑧对偶律（摩根律）：BA B A BA B A ⋃=⋂⋂=⋃______________以上八条运算定律，模糊集合和普通集合是完全相同的，但是普通集合的“互补律”对模糊集合却不成立，如图6.4所示，即E A A ≠⋃， φ≠⋂A ArμA_A1rμA_A1_AA ⋃_AA ⋂(a) E A A ≠⋃ (b) φ≠⋂A A图6.4 模糊集合的运算不满足“互补律”四、模糊关系设有两个集合A ，B ，A 和B 的直积A ×B 定义为},|),{(B b A a b a B A ∈∈⨯＝它是由序偶(a ,b )的全体所构成的二维论域上的集合。
一般来说A ×B ≠B ×A 。
设A ×B 是集合A 和B 的直积，以A ×B 为论域的模糊集合R 称为A 和B 的模糊关系。
也就是说对A ×B 中的任一元素(a ,b )，都指定了它对R 的隶属度),(b a R μ，R 的隶属度函数R μ可看作是如下的映射：),(),(]1,0[:b a b a B A R R μμ→→⨯设R 1是X 和Y 的模糊关系，R 2是Y 和Z 的模糊关系，那么R 1和R 2的合成是X 到Z 的一个模糊关系，记作21R R ，其隶属度函数为)],(),([),(2121z y y x z x R R Yy R R μμμ∧∨=∈ ， Z X z x ⨯∈∀),( (6.2.10)6.2.2 隶属度函数正确地确定隶属度函数，是运用模糊集合解决实际问题的基础，是能否用好模糊集合的关键。
目前隶属度函数的确定方法大致有以下几种：①模糊统计方法：用对样本统计实验的方法确定隶属度函数。
②例证法：从有限个元素的隶属度值来估计模糊子集隶属度函数。
③专家经验法：根据专家的经验来确定隶属度函数。
④机器学习法：通过神经网络的学习训练得到隶属度函数。
目前常用的隶属度函数有：① 三角形三角形隶属度函数曲线如图6.5所示，隶属度函数的解析式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><≤<--≤≤--=c x b x cx a a c xc a x b b a bx x F 或，，，0)(μ (6.2.11) 01xba c Fμ01xb ac Fμd图6.5 三角形隶属度函数 图6.6 梯形隶属度函数② 梯形梯形与三角形是最简单的两种隶属度函数，应用也非常广泛。
梯形隶属度函数如图6.6所示，解析式表示为 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<--≤≤<≤--=d x a x d x c c d x d c x b b x a a b ax x F ＞或＜，，，，01)(μ (6.2.12)③ 正态型这是一种最主要、最常见的分布，表示为： ()0> 2b e x b a x ，⎪⎭⎫⎝⎛--=μ (6.2.13)其分布曲线如图6.7所示：01xFμa图6.7 正态型分布曲线④ Γ型如图6.8所示，解析式表示为：⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛<=- 0 x 0 0)(x e x x xF ，，λννλνμ (6.2.14)其中λ>0,ν>0 。
⑤ Sigmiod 型如图6.9所示，解析式为： xF ex -+=11)(μ (6.2.15)1xFμ1xFμ0.5图6.8 Γ型隶属度函数 图6.9 Ｓigmoid 型隶属度函数6.3 模糊逻辑与模糊推理6.3.1 模糊逻辑模糊命题的真值应是隶属度函数，其取值应在区间[0,1]上连续取值。
模糊命题是普通命题在概念上的拓广。
它对应的逻辑是连续逻辑（或多值逻辑），又称为模糊逻辑。
显然，不仅普通命题能反映客观世界，而模糊命题更是现实生活中常见的。
随着模糊逻辑的出现和发展，将对计算机科学、人工智能、模糊控制等方向的研究和发展起推动作用。
下面对模糊逻辑的运算作一简单介绍。
设有模糊命题X 和Y ，对应的真值（隶属度，也称为模糊变量）x ，y ∈[0,1]，称： ①Y X ∧为模糊逻辑合取（交、与），真值为),min(y x y x =∧ ②Y X ∨为模糊逻辑析取（并、或），真值为),max(y x y x =∨ ③X 为模糊逻辑否定（补、非），真值为x x -=1 ④Y X →为模糊逻辑蕴含，真值为y x y x ∨=→⑤Y X ↔为模糊逻辑恒等，真值为)()(x y y x y x ∨∧∨=↔6.3.2 语言变量一、模糊数与语言变量 模糊数和语言变量的定义如下：连续论域U 中的模糊数F 是一个U 上的正规凸模糊集合。
这里所谓正规集合的含义就是其隶属度函数的最大值是1，即1)(max U=∈u F u μ。
凸集合的含义是：在隶属度函数曲线上任意两点之间，曲线上的任意一点所表示的隶属度都大于或者等于两点隶属度中较小的一个，即在实数集合的任意区间[a ,b ]上，对于所有的x ∈[a ,b ]，都有],[,,))(),(m in()(b a x U b a b a x F F F ∈∈≥，μμμ (6.3.1)语言变量用一个有五个元素的集合(Ｎ,T (N ),U ,G ,M )来表征，其中 (1) Ｎ是语言变量的名称，如年龄、数的大小等； (2) U 为语言变量N 的论域；(3) T (Ｎ)为语言变量的值Ｘ的集合，其中每个Ｘ都是论域U 上的模糊集合，如 T (Ｎ)＝T (年龄)=“很年轻”+“年轻”+“中年”+“较老”+“很老”＝Ｘ1+Ｘ2+Ｘ3+X 4+X 5(4) G 为语法规则，用于产生语言变量N 的值Ｘ的名称，研究原子单词构成合成词后词义的变化，并求取其隶属度函数。