模糊数学第1-2章
模糊优化设计
第一章绪论1.1模糊优化设计概念现实生活和工程领域中，存在着许多不确定性的量。
这种不确定性主要表现在两个方面：一是随机性，一是模糊性。
随机性是由于事物的因果关系不确定造成的。
它由概率、统计加以研究，是概率力学设计的范畴。
模糊优化设计，主要设计食物的模糊性。
所谓模糊，是指边界不清楚，即在本质上没有确切的含义，在量上没有明确的界限[1]。
常规的优化设计是把设计中的各种因素均处理成确定的逻辑关系，忽略了事物之间存在的模糊性，使得设计变量和目标函数不能达到应有的取值范围，往往落下一些真正的优化结果。
事实上，事物之间的中介过渡过程所带来的事物普遍存在的模糊性，而且设计对像的复杂化必然涉及到模糊。
由于信息技术、人工智能的研究必然要考虑到模糊信息的识别与处理以及由于工程设计的不仅要面向用户需求的多样化和个性化，还要以满足社会需求为目标，并依赖社会环境、条件、自然资源政治经济政策等比较强列的模糊性问题等，这些必然导致设计的过程中纯在种种的模糊性问题。
而模糊优化正是解决这一问题的设计方法，是将模糊优化理论与普通优化方法相结合的一种新的设计方法，是普通优化设计的延伸和发展。
1.2模糊优化设计起源20世纪50年代在应用数学领域发展形成了以线性规划和非线性规划为最主要内容的数学规划理论，并应用于解决工程设计问题，形成了工程设计的优化设计理论和方法。
数值计算方法是利用已知的信息，通过迭代计算过程来逼近最优化问题的解。
这种方法由于其运算量大，甚至电子计算机出现和发展后才成为现实，并为数值优化方法的发展提供了重要的基础。
Dantzing提出了求线性规划问题的单纯方法，Bellman对动态规划问题提出了最优化原理[2]，这两方面的研究工作为约束优化方法的进展铺平了道路。
Kuhn和Tucker关于规划问题最优解的必要条件和充分条件的研究工作为以后再非线性规划领域内的大量研究奠定了基础[3]。
20实际60年代初，Zoutend和Rosen对非线性规划的贡献有很重要的价值。
第3章 模糊理论
3 A(1.60)= ＝0.3 10
……
1 A(1.77)= ＝0.1 10 10 0.1 0.3 0.6 1 0.5 0.1 FA = + + + + + 1.56 1.60 1.64 1.69 1.73 1.77
A(1.64)=
6 ＝0.6 10
模糊统计法的特点： ①随着n的增大，隶属频率会趋向稳定，这个 稳定值就是v0对A的隶属度。 ②计算量大。 2、例证法 ：从有限个隶属度值，来估计U上的模糊 集A 的隶属度函数。 3、专家经验法：根据专家的经验对每一现象产生 的各种结果的可能性程度，来决定其隶属度函数。 4、二元对比排序法：通过对多个事物之间的两两 对比，来确定某种特征下的顺序，由此来决定这些 事物对该特征的隶属函数的大体形状。
二、模糊控制的特点 1、无需知道被控对象的数学模型 2、是一种反映人类智慧思维的智能控制 模糊控制采用人类思维中的模糊量，如“高”、 “中”、“低”等，且控制量由模糊推理导出 3、易于被人们所接受（核心：控制规则） 4、构造容易 5、鲁棒性好
第二节 模糊集合论基础
一、模糊集的概念
集合：具有某种特定属性的对象全体。 集合中的个体通常用小写英文字母如：u表 示； 集合的全体又称为论域。通常用大写英文字 母如：U表示。 uU表示元素（个体）u在集合论域（全体） U内。
附近隶属函数的范围
重叠鲁棒性＝
U
L
( A1 A2 )dx 2(U L)
重叠指数的定义
(0.3~0.7为宜)
求重叠率和重叠鲁棒性
例：
A1
A2
重叠率＝ 10 / 30 0.333
0 .5 10 重叠鲁棒性＝ 0.5 2(40 30) 20
模糊控制
第2章模糊控制2.1 模糊控制自从1965年美国加利福尼亚大学控制论专家L .A .zadeh教授提出模糊数学以来”，吸引了众多的学者对其进行研究，使其理论与方法日臻完善，并且广泛地应用于自然科学和社会科学的各个领域，尤其是在第5代计算机研制和知识工程开发等领域占有特殊重要的地位。
把模糊逻辑应用于控制领域则始于1973年”。
1974年英国的E．H．Mamdani成功地将模糊控制应用于锅炉和蒸汽机控制。
此后20多年来，模糊控制不断发展并在许多领域中得到成功应用。
由于模糊逻辑本身提供了由专家构造语言信息并将其转化为控制策略的一种系统的推理方法，因而能够解决许多复杂而无法建立精确数学模型系统的控制问题，所以它是处理推理系统和控制系统中不精确和不确定性的一种有效方法。
从广义上讲，模糊控制是适于模糊推理，模仿人的思维方式，对难以建立精确数学模型的对象实施的一种控制策略。
它是模糊数学同控制理论相结合的产物，同时也是智能控制的重要组成部分。
模糊控制的突出特点在于：①控制系统的设计不要求知道被控对象的精确数学模型，只需要提供现场操作人员的经验知识及操作数据。
⑦控制系统的鲁棒性强，适应于解决常规控制难以解决的非线性、时变及大纯滞后等问题。
③以语言变量代替常规的数学变量，易于形成专家的“知识”。
④控制推理采用“不精确推理”(Approximatc Reasoning)。
推理过程模仿人的思维过程。
由于介入了人类的经验．因而能够处理复杂甚至“病态”系统。
2.1.1模糊数学模糊数学是基于模糊集理论。
模糊集的概念与古典集非此即彼的概念相对应，描述没有明确、清楚地定义界限的集合。
模糊集的理论叙述为：模糊集A是定义在一个输入ξ之上并由其隶属函数µA(·):ξ→[0,1]表征的集合。
假设ξ是一个普通集合，称为论域。
从ξ到区间[0,1]的映射A称为ξ上的一个模糊集合。
µA(·)表示ξ隶属于模糊集合A的程度，称为隶属度。
模糊数学-模糊数学基本知识
隶属函数参数化
1. 三角形隶属函数
0
trig ( x;
a,
b,
c)
x a ba
cx
cb
0
xa a xb b xc
cx
trig(x; a,b, c) max(min( x a , c x), 0) ba cb
参数a,b,c确定了三角形MF三个顶点的x坐标。
2. 梯形隶属函数
0
xa
trap(x, a, b, c, d )
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
❖ (2)模糊子集运算的基本性质
模糊集合间的并、交、补（余）运算 具有如下的性质.
1)幂等律 A~ A~ A~, A~ A~ A~
2)交换律 A~ B~ B~ A~; A~ B~ B~ A~
3)结合律 ( A~ B~) C~ A~ (B~ C~),
论域U上的模糊集A由隶属函数uA来表征， uA的大小反映了x对于模糊子集的从属程度。 模糊子集完全由隶属函数来描述。
❖ 模糊子集的表示方法 （1）向量法
（2）查德表示法 有限集 无限集
模糊集举例 例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则 AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
经典集合论的例子： 设U={ 红桃，方块，黑桃，梅花 }
V={ A，1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10，J, Q, K } 求U×V
解： U×V＝{ (红桃，A)，（红 桃, 2），……，（
梅花, K） }
35
模糊关系论例子： 设有一组学生U:
U={ 张三，李四，王五 } 他们对球类运动V:
( A~ B~) C~ A~ (B~ C~).
第一章模糊集的基本概念
6.集合的运算规律
幂等律： A∪A = A， A∩A = A； 交换律： A∪B = B∪A， A∩B = B∩A； 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C )， ( A∩B )∩C = A∩( B∩C )； 吸收律： A∪( A∩B ) = A，A∩( A∪B ) = A； 分配律：( A∪B )∩C = ( A∩C )∪( B∩C )； ( A∩B )∪C = ( A∪C )∩( B∪C )； 0-1律：A∪U = U ， A∩U = A ； A∪ = A ， A∩ = ； 还原律： (Ac)c = A ； 对偶律： (A∪B)c = Ac∩Bc，(A∩B)c = Ac∪Bc； 排中律： A∪Ac = U， A∩Ac = .
§1.2 模糊理论的数学基础
一 经典集合
1.经典集合具有两条基本属性：
元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明, 即一个元素x要么属于集合A(记作xA),要么不属 于集合(记作xA)，二者必居其一. 2.集合的表示法 (1)枚举法，A={x1 , x2 ,…, xn}； (2)描述法，A={x | P(x)}.
记R=(rij)n×n, R2 =(rij(2))n×n.
先设R具有传递性.
若rij(2) =0，则有rij(2) ≤ rij .
若rij(2) =1，则由于
rij(2) = ∨{(rik∧rkj) | 1≤k≤n} = 1，
故存在1≤s≤n，使得
(ris∧rsj) = 1，
即ris= 1, rsj= 1.
由于R具有传递性，ris= 1, rsj= 1， 则rij =1. 综上所述 R2≤R. 再设R2≤R，则对任意的 i , j , k，若有 rij =1， rjk = 1，
2.关系的三大特性 定义9 设R为 X 上的关系 (1) 自反性：若 X 上的任何元素都与自己有关 系R，即R (x , x) =1，则称关系 R 具有自反性； (2) 对称性：对于X 上的任意两个元素 x , y， 若 x 与y 有关系R 时，则 y 与 x 也有关系R，即 若R (x , y ) =1，则R ( y , x ) = 1，那么称关系R具 有对称性； (3) 传递性：对于X上的任意三个元素x, y, z， 若x 与y 有关系R，y 与z 也有关系R 时，则x与z 也 有关系R，即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，则R ( x , z ) = 1，那么称关系R具有传递性.
模糊数学方法及其应用
i=j i≠j i , j=1,2,…,n
适当选取M，使得0≤rij≤1。 (2)欧氏距离 欧氏距离 见相似性度量聚类中的相似系数。 见相似性度量聚类中的相似系数。
12
(3)切比雪夫距离 切比雪夫距离
d ij = ∨ xik − x jk
k =1
m
(i, j = 1,2, L , n)
建立模糊相似矩阵的其他方法,就不再介绍了。 建立模糊相似矩阵的其他方法 就不再介绍了。 就不再介绍了 三、聚类 1.模糊等价矩阵 模糊等价矩阵 给定U上的一个模糊关系Rij=[rij]n×n, 若它满足: × 若它满足 (1)自反性 rij=1 )； 自反性( 自反性 ； (2)对称性 rij=rji )； 对称性( 对称性 ； (3)传递性 R o R ⊆ R )； 传递性( 传递性 ； 上的一个模糊等价矩阵 模糊等价矩阵。 则称R是U上的一个模糊等价矩阵。
第j类中第 个变量的平均值 x 类中第k个变量的平均值 类中第 个变量的平均值:
x
( j) k
( j) k
1 = nj
( xikj ) ∑ i =1
nj
( (k = 1,2,L, m); x ( j ) = ( x1( j ) , x 2( j ) , L, x mj ) )
1 n x k = ∑ xik (k = 1,2, L , m); x = ( x1 , x 2 , L , x m ) n i =1
第十一章 模糊数学方法及其应用
§1 模糊聚类分析(参考内容) §2 模糊模型识别(参考内容)
1
前言 模糊数学是用数学方法研究和处理具有“模糊性” 模糊数学是用数学方法研究和处理具有“模糊性” 现象的数学。 现象的数学。所谓的模糊性主要是指客观事物差异 的中间过渡界线的“不分明性” 的中间过渡界线的“不分明性”。如储层的含油气 油田规模的大小，成油地质条件的优劣， 性、油田规模的大小，成油地质条件的优劣，圈闭 的形态，岩石的颜色等。 的形态，岩石的颜色等。这些模糊变量的描述或定 义是模糊的，各变量的内部分级没有明显的界线。 义是模糊的，各变量的内部分级没有明显的界线。 地质作用是复杂的， 地质作用是复杂的，对其产生的地质现象有些可 以采用定量的方法来度量， 以采用定量的方法来度量，有些则不能用定量的数 值来表达， 值来表达，而只能用客观模糊或主观模糊的准则进 行推断或识别。 行推断或识别。
基于Takagi-Sugeno模糊模型的模糊控制
天津大学硕士学位论文基于Takagi-Sugeno模糊模型的模糊控制姓名：徐妮妮申请学位级别：硕士专业：控制理论与控制工程指导教师：高志伟2002.1.1１１２陟乒ＴＳ模糊模型可以很好地逼近非线性系统，其予模型采用线性动态方程易于用现代控制理论的方法进行分析和控制器的设计。
本文的工作是围绕ＴＳ模糊模型展开的。
首先对以往的模糊系统的稳定性分析和模糊控制器的设计成果进行了回顾。
接下来，文中重点讨论了一般模糊系统的模糊控制器的设计和模糊状态观测器的设计。
得出用模糊状态观测一控制器实现的闭环模糊系统的稳定性定理。
文中提出了模糊状态观测器和模糊控制器的相对分离性设计。
仿真结果验证了结论的正确性。
文中通过扩展Ｔｓ模糊模型定义了模糊广义系统。
讨论了模糊广义系统的模糊状态观测一控制器的设计。
同样，模糊广义系统的模糊状态观测器和模糊控制器也具有设计的相对分离性。
关键词：Ｔｓ模糊模型，模糊控制器，模糊状态观测器，模糊广义系统ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｉｓｐａｐｅｒｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｅｓｏｎｔｈｅＴＳｆｕｚｚｙｍｏｄｅｌ．ＴｈｅｆｕｚｚｙｍｏｄｅｌｐｒｏｐｏｓｅｄｂｙＴａｋａｇｉａｎｄＳｕｇｅｎｏｉｓｄｅｓｃｒｉｂｅｄｂｙｆｕｚｚｙＩＦ－ＴＨＥＮｒｕｌｅ，ｗｈｉｃｈｒｅｐｒｅｓｅｎｔｌｏｃａｌｌｉｎｅａｒｉｎｐｕｔ—ｏｕｔｐｕｔｒｅｌａｔｉｏｎｓｏｆａｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍ．Ｔｏｂｅｇｉｎｗｉｔｌｌ．ＴＳｆｕｚｚｙｍｏｄｅｌａｎｄｐｒｅｖｉｏｕｓｓｔａｂｉｌｉｔｙｒｅｓｕｌｔｓａｒｅｒｅｃａｌｌｅｄ．ＴｈｅｎｅｘｔｓｅｃｔｉｏｎａｄｄｒｅｓｓｅｓｔｈｅａｎａｌｙｓｉｓａｎｄｄｅｓｉｇｎｏｆｔｈｅｆｕｚｚｙｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒａｎｄｔｈｅｆｕｚｚｙｏｂｓｅｒｖｅｒｏｎｔｈｅｂａｓｉｓｏｆｔｈｅＴＳｆｕｚｚｙｍｏｄｅｌ．Ｔｈｅｓｔａｂｉｌｉｔｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅｃｌｏｓｅｄ－ｌｏｏｐｓｙｓｔｅｍｉｓｄｅｒｉｖｅｄ，ｗｈｉｃｈｓｈｏｗｓｔｈａｔｔｈｅｆｕｚｚｙｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒａｎｄｔｈｅｆｕｚｚｙｏｂｓｅｒｖｅｒＣａｎｂｅｄｅｓｉｇｎｅｄｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｌｙｗｉｔｌｌｓｏｍｅｃｏｎｓｔｒａｉｎｓ．Ｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｎａｌｌｉｎｖｅｒｔｅｄｐｅｎｄｕｌｕｍｓｙｓｔｅｍｉｓｇｉｖｅｎｔｏｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｔｈｅｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｏｆｔｈｅｃｌｏｓｅｄ－ｌｏｏｐｓｙｓｔｅｍ．ＦｉｎａｌｌｙａｆｕｚｚｙｄｅｓｃｒｉｐｔｏｒｓｙｓｔｅｍｂｙｅｘｔｅｎｄｉｎｇｔｈｅｏｒｄｉｎａｒｙＴＳｆｕｚｚｙｍｏｄｅｌｉｓｄｅｆｉｎｅｄ．Ｔｈｅｆｕｚｚｙｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒａｎｄｔｈｅｆｕｚｚｙｏｂｓｅｒｖｅｒｏｆｔｈｅｆｕｚｚｙｄｅｓｃｒｉｐｔｏｒｓｙｓｔｅｍａｒｅｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｆｏｕｒｋｉｎｄｓｏｆｓｔａｂｉｌｉｔｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｒｅｄｅｒｉｖｅｄ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｈｏｗｓｔｈｅｕｔｉｌｉｔｉｅｓｏｆｔｈｏｓｅｓｔａｂｉｌｉｔｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＴＳｆｕｚｚｙｍｏｄｅｌ，ｆｕｚｚｙｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ，ｆｕｚｚｙｏｂｓｅｒｖｅｒ，ｆｕｚｚｙｄｅｓｃｒｉｐｔｏｒｓｙｓｔｅｍ第一章绪论第一章绪论§１．１模糊控制系统近年来的研究与发展美国加利福尼亚大学Ｌ．Ａ．Ｚａｄｅｈ教授在１９６５年提出的｛ＦｕｚｚｙＳｅｔ＞）【１】开创了模糊控制的历史，从此模糊数学科学发展起来了。
模糊控制的理论基础
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
4．吸收律
A∪(A∩B)=A
A∩(A∪B)=A
5．分配律
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
A∩(B∪C)=(A∩B) ∪(A∩C)
6．复原律
A A
7．对偶律
A B A B
A B A B
8．两极律
A∪E=E，A∩E=A
A∪Ф=A，A∩Ф=Ф
例3.4 设
A
B
0 .9 0 .2 0 . 8 0 .5 u1 u2 u3 u4
0 .3 0 . 1 0 .4 0 . 6 u1 u2 u3 u4
求A∪B，A∩B
则
0.9 0.2 0.8 0.6 A B u1 u2 u3 u4
0 .3 0 .1 0 .4 0 .5 A B u1 u2 u3 u4
A {0.95,0.90 ,0.85}
其含义为张三、李四、王五属于“学习 好”的程度分别是0.95，0.90，0.85。 例3.3 以年龄为论域，取 X 0,200 。Zadeh给 出了“年轻”的模糊集Y，其隶属函数为
0 x 25 1 1 Y ( x) x 25 2 25 x 100 1 5
例3.5 试证普通集合中的互补律在模糊集 合中不成立，即 A (u ) A (u ) 1 ，
A (u ) A (u ) 0
证：设 A (u ) 0.4 ， 则
A (u ) 1 0.4 0.6
A (u) A (u) 0.4 0.6 0.6 1
模糊集合是以隶属函数来描述的， 隶属度的概念是模糊集合理论的基石。
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第1讲模糊数学简介、教学安排1.简介（1）发展历史美：65，L.A.zadeh，信息与控制（理论研究开始）（模糊控制例子：开汽车，杂技演员表演-倒立摆）英国：74，马丹尼，蒸汽机控制丹麦：80，丹麦哥本哈根的史密斯水泥公司首次用模糊系统实现了对水泥窑炉的控制。
日本：72，Sugeno，F-measure 语音控制模糊汽车（８８），无人驾驶直升机（９３）。
84，Yamakawa F-logic I.C (模糊集成电路)。
８８年，日立公司使日本仙台市地铁实现了模糊控制（简介）。
85，IFSA 成立国际模糊系统协会我国：70年代，王培庄等人，开始主要是理论研究，并且与经典数学相对应的各个领域都有人研究，现在研究、利用模糊技术的领域已经深入到社会、经济等各个方面。
国际杂志：*FSS-Fuzzy Set and Systems，*IEEE Transactions on Fuzzy Systems (1993),*Fuzzy Mathematics etc.IEEE 从１９９２年起，每年召开一次国际模糊学术会议。
１９９５年IEEE 给Zadeh授予了学会的荣誉勋章。
（2）趋势①研究与应用人数逐年上升②应用领域逐步扩大，遍及社会，经济等等各个领域，如：*在软科学方面，模糊技术已用到了投资决策、企业效益评估、区域发展规划、经济宏观调控、中长期市场模糊预测等领域。
*工业过程控制方面，已实现了冶金炉窑模糊控制、化工过程模糊控制、水泥窑炉模糊控制以及磨煤机模糊控制等。
*在人工智能与计算机领域，已经出现了模糊推理机、模糊控制计算机、模糊专家系统、模糊数据库、模糊语音识别系统、图形文字模糊识别系统、模糊控制机器人等高新技术产品，同时还出现了F-Prolog、Fuzzy-C等语言系统。
*在地震科学方面，模糊技术已涉及到中长期地震预报、地震危险分析和潜在震源识别、地震灾害预测以及减轻地震灾害对策等等。
*在航空航天及军事领域，模糊技术已用到了飞行器对接、C3I指定自动化系统等方面。
*模糊家电产品：模糊洗衣机，空调，烤箱，照相机，摄像机，……③与其它学科结合越来越紧，如：模糊神经网络模糊遗传算法……………………2.教学安排（课程内容）：（1）基本理论*普通集合 1*模糊集合*分解定理*隶书函数确定的若干方法*模糊关系*扩张原理与模糊数（2）应用*模糊模式识别*模糊聚类分析*模糊综合评判*模糊推理与模糊控制（简介）（3）学习本课程的目的一是学习、了解模糊数学的基本理论，为进一步学习打下基础（如果需要）；二是了解一些模糊数学的应用领域和应用方法；三是培养我们应用数学知识解决实际问题，尤其是解决涉及不确定问题的意识和能力。
数学素质：悟性例子：应用数学知识解决实际问题的意识、兴趣和能力。
？？什么是模糊数学？（模糊数学研究什么？）例子：保定市是否有两个人头发根数一样多？第2讲普通集合1．基本概念：只有描述性定义，是数学里最基本的概念记号,,,,. X Y A B Xx∈φBA⊆相等有限集合、无限集合幂集：{}()P X X=的子集2．集合表示方法①A ={ 模糊数学，计算方法，……}{}{}11,2,3,,,n N n n ∞===②条件表示法{})(x P x X ={}米其身高大于人7.1=X{}()|P X A A X =⊆3．运算① 并：B A ⋃ ②交：B A ⋂③ 差：B A -④ 余(补)：cA⑤ 对称差：()()()(A B A B B A A B A B ∆=-⋃-=⋃-⋂4．性质①幂等律：A A A =⋃ ，A A A =⋂②交换律：A B B A ⋃=⋃A B B A ⋂=⋂③结合律： ④分配律： ⑤吸收律：A B A A =⋃⋂)( A B A A =⋂⋃)(⑥两极律： ⑦复原律： ⑧补余律：⑨对偶律：cc c BA B A ⋂=⋃)(，cccBA B A ⋃=⋂)(，可以推广到任意有限多个集合。
5.集合族的并与交 ，常见指标集：{1,2,,,}Tn N==]1 ,0[=T定义1.1 给定{}t A ，T t ∈，称下面集合} .. , , {t tTt A x t s T t X x x A∈∈∃∈=⋃∈ （1）为集合族{}t A 的并集。
} , , {t tTt A x T t X x x A∈∈∀∈=⋂∈ （2）称为集合族{}t A 的交集。
集合族的并与交满足分配律：)()(t Tt t Tt A A A A ⋂=⋂⋃⋃∈∈ （3）)()(t Tt t Tt A A A A ⋃=⋃⋂⋂∈∈ （4）例1 设},,2,1{n A n =，},2,1,{ ++=n n n B n ，求集合族}{},{n n B A 的并集和交集。
解：？？？1{1,2,}n n A N ∞=⋃== ，}1{1=⋂∞=n n A1{1,2,}n n B N ∞=⋃== ，φ=⋂∞=nn B 16.映射与特征函数 （1）映射：设Y X ,是两个集合，如果有一个法则f，使得对于X中任意元素x ，都有Y中唯一元素y 与之对应，则称f是X 到Y 的映射。
＊ 以前见过映射吗？ 单射： 满射：一对一映射：（2）映射的性质：①～⑩条，见？？页，自看，自证，会用。
举几个映射例子……….（3）特征函数定义定义1.2 设X为论域，A X⊆，称映射:{0, 1}1, |()0, A A X x Ax x x Aχχ→∈⎧→=⎨∉⎩ （5）为集合A 的特征函数。
A χ由A 唯一确定，A 也由A χ唯一确定。
这样就在()P X 和{}|:{0,1}Y f f X =→之间建立了一一对应关系。
以后经常使用特征函数代替集合，并用()A x 代替()A x χ。
（4）用特征函数及其之间关系和运算表示集合之间的关系和运算)()(x B x A B A ≤⇔⊆ )()(x B x A B A =⇔=X x x A A ∈∀=⇔= ,0)(φ X x x A X A ∈∀=⇔= ,1)()()()}(),(max{))((x B x A x B x A x B A ∨==⋃)()()}(),(min{))((x B x A x B x A x B A ∧==⋂)(1)(x A x A c-=)()(x A x A tTt tTt ∨⋃∈∈=)()(x A x A tTt tTt ∧⋂∈∈=式中，)(x A tT t ∨∈和)(x A tTt ∧∈分别为数族)(x A t 的上确界和下确界。
}{t a 的上确界a 就是}{t a 最小上界，下确界就是最大下界，用数学式子如何描述？定义1.3a 是}{t a 的上确界，如果a 满足①T t a a t ∈∀≥,②,t b a t T b a ∀≥∈⇒≥定义1.4a 是}{t a 的下确界，如果a 满足①T t a a t ∈∀≤,②,t b a t T b a ∀≤∈⇒≤要求：会求上下确界（能看出来即可）例如：1(2)?t Nn ∈-=∨1(1)?t Nn ∈+=∧ 上下确界与取大取小有什么差别？ 例２ 证明cc c BA B A ⋂=⋃)(以前怎么证明？()()1()()1max{(),()} min{1(),1()} min{(),()} ()()c c cc cA B x A B x A x B x A x B x A x B x A B x ⋃=-⋃=-=--==⋂即，cc c BA B A ⋂=⋃)(。
第3讲 模糊集合研究模糊现象的数学就是模糊数学；涉及模糊概念的现象就是模糊现象；什么是模糊概念？概念：具有一定含义的一个词，词组等。
如：人，头发，晴天，白色，马，球，衣服，研究生，学生，……。
概念的本质属性叫内涵，符合概念的全体对象叫概念的外延。
普通概念的外延构成普通集合。
如：教室里的男同学，河北人等等，这些概念的特点：任何一个对象要么符合这个概念，要么不符合这个概念。
1．模糊概念：外延不分明的概念，如：“伟人”、“聪明人”、“健康人”、“正直的人”“年轻人”，…… “阴天”、“质量好”、“不稳定”，…… 和普通集合的差别是什么？我们知道：给定论域X ，子集A X ⊆X x ∈∀，A x ∈或A x ∉二者必居其一且仅居其一。
A A χ↔1, ()0, A x Ax x A χ⎧=⎨⎩完全属于完全不属于 例1 考虑“发高烧”这个（模糊）概念论域T=[30，45 ]36， 37， 38．5，39， 39.5 39.8，…… 38.5度算不算发高烧？不好回答，用一个数描述发高烧的程度，如：38.5对应0.5，即38.5属于发高烧的程度为0.5。
2. 模糊集合定义2.1设在论域X上给定一个映射[])(~| 1,0:~x A x X A →→ （1）称A 为X 上的模糊子集，)(~x A 称为隶属函数（或x 对于A 的隶属度）与普通集合对比就是将特征函数取值范围由{}]1,0[1,0→(){}F x X =上的模糊子集（X上的全体模糊集合）。
例2 设]100,0[=X 为人的年龄，Zadeh 给出“年老”O ~，“年轻”Y ~两个模糊子集，隶属函为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤≤=--100 50 ,5501500 ,0)(~12x x x x O （2） 97.0)80(~8.0)60(~==O O⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+≤≤=-10025 ,5251250 ,1)(~12x x x x Y （3）图2-1 年老，年轻模糊集合隶属函数例3 考虑五个人构成的论域：{}54321,,,,x x x x x X =1x ， 2x ， 3x ， 4x ， 5x体温：39.8, 39.3, 38.5, 37.5, 36.5“发高烧的人”=A ~11→x9.02→x5.03→x1.04→x05→x3.模糊集合的表示法 ① zadeh 表示法论域{}n x x x X ,,,21 =或{} ,,,21n x x x X =∑==++=n i i i n n x x A x x A x x A A 111)(~)(~)(~~ （4）或∑∞==+++=111)(~)(~)(~~i i i n n x x A x x A x x A A （5）或写成：⎰=Xxx A A )(~~（6）② 序偶表示法{}),),(~(),),(~(~11n n x x A x x A A = （7）③ 模糊向量表示法))(~),(~(~1n x A x A A = （8）X 中第k 个元素k x 的隶属度k k a x A =)(~作为模糊向量A 的第k 个分量。
④ 解析表示法X 为R 上某区间，给出)(~x A 表达式。
为书写方便以后用A代替A。