模糊数学2009-4(分布函数、贴近度)讲解
模糊数学 之 模糊集的基本概念
布尔矩阵(Boole)是元素只取0或1的矩阵.
关系的合成
设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关系, 则R1与 R2的合成 R1 ° R2是 X 到 Z 上的一个关系.
满足下列运算性质： 幂等律： a∨a = a ， a∧a = a ； 交换律： a∨b = b∨a ， a∧b = b∧a ； 结合律：( a∨b )∨c = a∨( b∨c )， ( a∧b )∧c = a∧( b∧c ) ； 吸收律：a∨( a∧b ) = a， a∧( a∨b ) = a.
则称L是一个格，记为(L ,∨,∧).
(R1°R2) (x, z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y }
关系合成的矩阵表示法
设 X = {x1, x2, … , xm}, Y = { y1 , y2 , … , ys}, Z = {z1, z2, … , zn}，且X 到Y 的关系
R1 = (aik)m×s， Y 到 Z 的关系
∨{(rik∧rkj) | 1≤k≤n} = rij .
综上所述 R2≤R.
设R2≤R，则对任意的 i , j , k，若有 rij =1， rjk = 1，
即(rij∧rjk) = 1，因此 ∨{(ris∧rsk) | 1≤s≤n}=1，
由R2≤R，得rik=1，所以R具有传递性.
集合上的等价关系
(3) 传递性：对于X上的任意三个元素x, y, z， 若x 与y 有关系R，y 与z 也有关系R 时，则x与z 也有关系R，即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，则 R ( x , z ) = 1，那么称关系R具有传递性.
数学建模方法详解--模糊数学
数学建模方法详解--模糊数学在生产实践、科学实验以及日常生活中，人们经常会遇到模糊概念（或现象）。
例如,大与小、轻与重、快与慢、动与静、深与浅、美与丑等都包含着一定的模糊概念。
随着科学技术的发展，各学科领域对于这些模糊概念有关的实际问题往往都需要给出定量的分析，这就需要利用模糊数学这一工具来解决。
模糊数学是一个较新的现代应用数学学科，它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。
统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定性的领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊现象。
在各科学领域中，所涉及的各种量总是可以分为确定性和不确定性两大类。
对于不确定性问题，又可分为随机不确定性和模糊不确定性两类。
模糊数学就是研究属于不确定性，而又具有模糊性的量的变化规律的一种数学方法。
本章对于实际中具有模糊性的问题，利用模糊数学的理论知识建立数学模型解决问题。
1.1 模糊数学的基本概念1.1.1 模糊集与隶属函数 1. 模糊集与隶属函数一般来说，我们对通常集合的概念并不陌生，如果将所讨论的对象限制在一定的范围内，并记所讨论的对象的全体构成的集合为U ，则称之为论域（或称为全域、全集、空间、话题）。
如果U 是论域 ，则U 的所有子集组成的集合称之为U 的幂集，记作)(U F 。
在此，总是假设问题的论域是非空的。
为了与模糊集相区别，在这里称通常的集合为普通集。
对于论域U 的每一个元素U x ∈和某一个子集U A ⊂，有A x ∈或A x ∉，二者有且仅有一个成立。
于是，对于子集A 定义映射}1,0{:→U A μ即⎩⎨⎧∉∈=,0,,1)(A x A x x A ，μ则称之为集合A 的特征函数，集合A 可以由特征函数唯一确定。
所谓论域U 上的模糊集A 是指：对于任意U x ∈总以某个程度)]1,0[(∈A A μμ属于A ，而不能用A x ∈或A x ∉描述。
第四章 模糊数学
（可多位专家取其平均值，如体操比赛打分） 3 描点( xi， A ( xi ))，作出 A ( xi )的曲线。
例2：考虑年龄论域X 上的模糊子集A 青年人的年龄， 请专家评定结果如表：
0-14 0
15 18-28 30 35 38 40 45-200 0.5 1 0.9 0.6 0.5 0.3 0
A ( x4 ) 0，则有：
1 0.6 0.1 0 A （最后一项可不写） x1 x2 x3 x4
3、隶属函数的确定 这里介绍两种常用的确定方法，以R1中的模糊 集为例： （1）专家评定法（德尔菲法） 步骤： 1 给定论域X 及其模糊子集A； 2 适当选取X 中若干点xi，请专家评定其 A ( xi )；
第四章 模糊数学(Fuzzy Maths)
第一节 模糊集(Fuzzy Sets)
一、模糊现象与模糊集
有些概念，其外延是清楚的，如男人、女人。
而有些概念，其外延不很清楚，如青年人、老年人。 于是我们有如下定义： 模糊集—边界不清楚的集合。 例如：
雨天是清晰集（普通集），而晴天是模糊集；
青年人、老年人也是模糊集。 事实上，“青年”变为“老年”是一个连续的 过程。因此，处于中间过渡阶段年龄的人，自然就 具有“亦此亦彼”的属性。我们把这种属性称为：
书159～161页给出了一个模糊统计的例子。 有时候我们得到的 A ( x)的图形是不规则的，很难
写出其精确的数学表达式。有时为了计算、编程的需 要，我们希望得到 A的函数表达式，可根据估计的 A
进行适当修正，得到与其最接近的函数表达式。下面 介绍几种常见的模糊分布曲线： 4、几种常见的 A ( x)类型（论域为R1）：
模糊数学-模糊数学基本知识
隶属函数参数化
1. 三角形隶属函数
0
trig ( x;
a,
b,
c)
x a ba
cx
cb
0
xa a xb b xc
cx
trig(x; a,b, c) max(min( x a , c x), 0) ba cb
参数a,b,c确定了三角形MF三个顶点的x坐标。
2. 梯形隶属函数
0
xa
trap(x, a, b, c, d )
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
❖ (2)模糊子集运算的基本性质
模糊集合间的并、交、补（余）运算 具有如下的性质.
1)幂等律 A~ A~ A~, A~ A~ A~
2)交换律 A~ B~ B~ A~; A~ B~ B~ A~
3)结合律 ( A~ B~) C~ A~ (B~ C~),
论域U上的模糊集A由隶属函数uA来表征， uA的大小反映了x对于模糊子集的从属程度。 模糊子集完全由隶属函数来描述。
❖ 模糊子集的表示方法 （1）向量法
（2）查德表示法 有限集 无限集
模糊集举例 例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则 AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
经典集合论的例子： 设U={ 红桃，方块，黑桃，梅花 }
V={ A，1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10，J, Q, K } 求U×V
解： U×V＝{ (红桃，A)，（红 桃, 2），……，（
梅花, K） }
35
模糊关系论例子： 设有一组学生U:
U={ 张三，李四，王五 } 他们对球类运动V:
( A~ B~) C~ A~ (B~ C~).
模糊数学方法
模糊数学方法在自然科学或社会科学研究中，存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概念。
这里所谓的模糊性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性，如某一生态条件对某种害虫、某种作物的存活或适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、不利”；灾害性霜冻气候对农业产量的影响程度为“较重、严重、很严重”，等等。
这些通常是本来就属于模糊的概念，为处理分析这些“模糊”概念的数据，便产生了模糊集合论。
根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一，且仅居其一。
这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。
为处理这些模糊概念而进行的种种努力，催生了模糊数学。
模糊数学的理论基础是模糊集。
模糊集的理论是1965年美国自动控制专家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出来的，近10多年来发展很快。
模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。
实践证明，模糊数学在农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面，在图像识别、天气预报、地质地震、交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。
从该学科的发展趋势来看，它具有极其强大的生命力和渗透力。
在侧重于应用的模糊数学分析中，经常应用到聚类分析、模式识别和综合评判等方法。
在DPS系统中，我们将模糊数学的分析方法与一般常规统计方法区别开来，列专章介绍其分析原理及系统设计的有关功能模块程序的操作要领，供用户参考和使用。
第1节模糊聚类分析1. 模糊集的概念对于一个普通的集合A，空间中任一元素x,要么x A,要么x — A,二者必居其一。
这一特征可用一个函数表示为：1 0x三A x三AA(x)即为集合A的特征函数。
将特征函数推广到模糊集，在普通集合中只取0、1两值推广到模糊集中为［0, 1］区间。
定义1设X为全域，若A为X上取值［0, 1］的一个函数，则称A为模糊集。
如给5个同学的性格稳重程度打分，按百分制给分，再除以100,这样给定了一个从域X= { X1 , x2 , X3 , X4, X5}到［0, 1］闭区间的映射。
模糊数学简介
§1.4 模糊等价关系与经典等价关系
模糊等价关系
若模糊关系R是 上各元素之间的模糊关系 模糊关系， 若模糊关系 是X上各元素之间的模糊关系， 且满足： 且满足： (1)自反性 自反性： (1)自反性：R(x, x) =1； I ≤R (⇔ rii =1 ) ； ⇔ (2)对称性 对称性： (2)对称性：R(x, y) =R(y, x)； T=R(⇔ rij= rji) ； R ⇔ (3)传递性 传递性： (3)传递性：R2⊆R, R2≤R. 则称模糊关系 模糊关系R是 上的一个模糊等价关系 模糊等价关系. 则称模糊关系 是X上的一个模糊等价关系.
模糊等价关系与经典等价关系的联系
若R是X 上的模糊等价关系，当且仅当， ∀λ ∈ [0,1], R λ 是X 上的经典等价关系。
第二部分 模糊数学的基本应用
2. 1 模糊聚类分析基础 2.2 模糊模式识别基础 2.3 模糊综合评判基础 2.4 模糊线性规划
y
§2.1 模糊聚类分析
数据标准化
设论域X 为被分类对象, 设论域 = {x1, x2, …, xn}为被分类对象,每个 为被分类对象 对象又由m个指标表示其形状 个指标表示其形状: 对象又由 个指标表示其形状: xi = { xi1, xi2, …, xim}, i = 1, 2, …, n 于是,得到原始数据矩阵为 于是,
, sj = 1 n
1 其中 x j = n
∑x
ij
∑ (x
i =1
n
ij
− xj)
2
平移 • 极差变换 xij − min{ xij | 1 ≤ i ≤ n} ′ xij = max{ xij | 1 ≤ i ≤ n} − min{ xij | 1 ≤ i ≤ n}
模糊数学2009-4(分布函数、贴近度)讲解
{1, 2,3, 4,5, 6}, 0 0.2
H () {{12,,24,,45,,56,}6,},
0.2 0.5 0.5 0.6
{2,5, 6},
0.6 0.8
{5, 6},
0.8 1
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uU
uU
[ Ac (u) Bc (u)] uU
Ac Bc
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峰值和谷值
对A F (U ),令
a A(u), a A(u)
uU
uU
称a为模糊集的峰值，称a为模糊集的谷值。
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求下例的峰值和谷值
A = ( 0.1, 0.5, 0, 0.6) B = ( 0.2, 0, 0.7, 0.3)
A 0.5 0.8 0.2 0.6 1 1 1 2 3 4 56
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4
隶属函数确定方法之二
模糊分布
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5
什么是模糊分布？
最常见的论域
实数集R
实数集R上的模糊集合的隶属函数 称为模糊分布
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50
海明贴近度
若U {u1, u2 ,..., un},则
N (A, B)
1
1 n
n i 1
|
A(ui )
B(ui ) |
当U为实数域上的闭区间[a, b]时，则有
N ( A, B) 1 1
b
| A(u) B(u) | du
模糊数学04
Ai1 I Ai2 I ... I Aik .
若∨{Ak(x0)| k =1, 2, …, m}＜α,则判决为：不
能识别,应当找原因另作分析.
该方法也适用于判别x0是否隶属于标准模式
Ak.若Ak(x0)≥α,则判决为：x0相对隶属于Ak; 若 Ak(x0)＜α,则判决为： x0相对不隶属于Ak.
X={∆(A,B,C )| A+B+C =180, A≥B≥C}
标准模式库={E(正三角形),R(直角三角形), I(等腰三角形),I∩R(等腰直角三角形),T(任意 三角形)}.
某人在实验中观察到一染色体的几何形状， 测得其三个内角分别为94,50,36,即待识别对象 为x0=(94,50,36).问x0应隶属于哪一种三角形？
模式识别在实际问题中是普遍存在的.例 如，学生到野外采集到一个植物标本，要识别它 属于哪一纲哪一目；投递员(或分拣机)在分拣信 件时要识别邮政编码等等，这些都是模式识别.
模糊模式识别
所谓模糊模式识别,是指在模式识别中,模式 是模糊的.也就是说,标准模式库中提供的模式是 模糊的.
概念的内涵和外延
z 经典集合论 z 内涵和外延一致
通过以上计算,R(x0) = 0.955最大,所以x0应隶 属于直角三角形.
阈值原则
设论域X ={x1, x2, … , xn }上有m个模糊子集 A1, A2, … , Am(即m个模式),构成了一个标准模
式库,若对任一x0∈X,取定水平α∈[0,1].
若存在 i1, i2, … , ik,使Aij(x0)≥α ( j =1, 2, …,
例2 论域 X = {x1(71), x2(74), x3(78)}表示三 个学生的成绩,那一位学生的成绩最差？
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确定隶属函数的例子
模糊概念：“年轻人” 进行统计，发现曲线与柯西分布的
偏小型相似
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40
确定三个参数
a = 25 β= 2 α =？
考虑最模糊的点（30岁，隶属度应该 是0.5）
α =1/25
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课上作业
在一个荧光屏上，用一个光点的上 下运动快慢代表15种不同的运动速 度，记V={1,2,…,15}，主试者随机 给出15种速率，让被试者按 “快”“中”“慢”进行分类，每 种速率共给出320次，判断结果如下 表：
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21
3. 抛物型（偏大型）
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22
3.抛物型（中间型）
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23
4.正态分布
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24
4.正态分布（中间型）
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25
4.正态分布（偏小型）
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26
4.正态分布（偏大型）
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27
4.正态分布（另一种中间型）
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28
5.柯西分布
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29
5.柯西分布（中间型）
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30
5.柯西分布（偏小型）
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31
5.柯西分布（偏大型）
A 0.5 0.8 0.2 0.6 1 1 1 2 3 4 56
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4
隶属函数确定方法之二
模糊分布
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5
什么是模糊分布？
最常见的论域
实数集R
实数集R上的模糊集合的隶属函数 称为模糊分布
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常用的分布类型
矩形 梯形 K次抛物型 正态分布 柯西分布（也称为哥西分布，Cauchy） 岭形分布
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13
1.矩形分布（曲线）
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14
1. 矩形分布（隶属函数）
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15
2
答案
{1, 2,3, 4,5, 6}, 0 0.2
A {{12,,24,,45,,56,}6,},
0.2 0.5 0.5 0.6
{2,5, 6},
0.6 0.8
{5, 6},
0.8, 0 0.2
A {{12,,24,,45,,56,}6,}, {2,5, 6},
0.2 0.5 0.5 0.6 0.6 0.8
{5, 6},
0.8 1
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3
A＝1{5,6} ∪0.8{2,5,6} ∪0.6{2,4,5,6} ∪0.5{1,2,4,5,6} ∪0.2{1,2,3,4,5,6}}
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37
如何选取模糊分布？
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选择模糊分布的两种方式
直接根据讨论对象的特点选择 利用模糊统计
通过统计资料得到大致曲线 与模糊分布做比较，选择最相似分布 根据实验确定较符合实际的参数 得到隶属函数表达式
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6
模糊分布法的步骤
先假设要建立的隶属函数服从一个 分布（带参数）
然后设法去确定其中参数 参数确定，则隶属函数确定
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7
模糊分布的三种类型
偏小型：
小、冷、年轻
偏大型：
大、热、年老
中间型：
中、暖、中年
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8
偏小型模糊分布
模糊数学
第四讲
孙舒杨 Email. sysun@
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1
设U={1,2,3,4,5,6}，H是
集值映射，且满足下式， 试由H求出相应的模糊
A
H ( ),
0;
集A, Aλ,Aλ . ∀λ ∈[0,1] A H ( ), 1
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正态分布与柯西分布
正态分布
柯西分布
柯西分布下降比正态分布下降要慢很多
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33
6.岭型分布
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34
6. 岭型分布（偏小型）
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35
6. 岭型分布（偏大型）
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36
6. 岭型分布（中间型）
A(x)
0,
f
(x),
xa xa
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10
中间型模糊分布
处于中间状态的模糊现象
中、暖、中年
隶属函数的一般形式如下，其中a,b 为常数
0,
A(
x)
f
(
x),
0,
xa x [a,b] xb
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11
1-10 常用的模糊分布
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42
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43
试用频率作为隶属度，确定模糊概 念“快”“中”“慢”在V中所表 现的模糊集
2. 梯形分布
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16
2. 偏小型梯形分布
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17
2. 偏大型梯形分布
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18
2.中间型梯形分布
请写出中间型的隶属函数
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19
3. 抛物型
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20
3. 抛物型（偏小型）
{1, 2,3, 4,5, 6}, 0 0.2
H () {{12,,24,,45,,56,}6,},
0.2 0.5 0.5 0.6
{2,5, 6},
0.6 0.8
{5, 6},
0.8 1
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偏向小的一方的模糊现象
小、冷、年轻
隶属函数的一般形式如下，其中a 为常数，f (x)为非递增函数
1,
xa
A(
x)
f
(x),
xa
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9
偏大型模糊分布
偏向大的一方的模糊现象
大、热、年老
隶属函数的一般形式如下，其中a 为常数，f (x)为非递减函数