第二章 模糊集合论基础2新
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模糊关系及其合成
2.2 模糊集合论基础
15
五、模糊关系及其合成 例3：假如设身高 X {140,150,160,170,180} ，体重 Y {40,50,60,70,80} ，定义体重和身高的模糊关系为 R，则R是定义在笛卡儿积上的子集。有 ：
40 50 60 70 80
140
150 160
1
0.8 0.2
2.2 模糊集合论基础
5
五、模糊关系及其合成 3、模糊矩阵的合成 0.2 例：设有模糊矩阵： Q 求其合成运算。
(0.2 0.5) (0.5 1) (1 0.9) (0.2 0.6) (0.5 0.4) (1 0.1) S Q R (0.7 0.6) (0.1 0.4) (0.8 0.1) (0.7 0.5) (0.1 1) (0.8 0.9)
2.2 模糊集合论基础 10
其中：1表示有关系R，0表示没有关系R。
五、模糊关系及其合成 定义：所谓笛卡儿积 X Y {( x, y) x X , y Y} 上的模糊 关系R，是指以 X Y 为论域的一个模糊子集。 笛卡儿积上的模糊关系，表示两个集合的元素间 所具有的某种关系的程度，是普通关系的推广。 当论域为有限集时，模糊关系可以用矩阵来表示， 称为模糊矩阵。 模糊关系的运算服从模糊子集的法则，如并、交、 补等。
1 0.7 1 0.5 0.3 0.5 R 1 0 . 9 1 0 . 2 0 . 1 0 . 8
3
2.2 模糊集合论基础
五、模糊关系及其合成 2、模糊矩阵的运算：并，交，补
注： 维数相同的矩阵才能进行并、交运算。 并交运算可以推广到多个矩阵。 模糊矩阵是向量表示法的推广。
第二章模糊控制理论基础
u U u U
经典集合论中任意一个元素与任意一个集合之间的 关系，只是“属于”或“不属于”两种，两者必居其一 而且只居其一。它描述的是有明确分界线的元素的组合。
用经典集合来处理模糊性概念时，就不行。
对于诸如“速度的快慢”、“年龄的大小”、 “温度的高低”等模糊概念没有明确的界限。
经典集合对事物只用"1"、"0"简单地表示“属于” 或“不属于”的分类；而模糊集合则用“隶属度 (Degree of membership)”来描述元素的隶属程度， 隶属度是0到1之间连续变化的值。
四种方法： 1、模糊统计法
基本思想：论域U上的一个确定的元素v0是否属于一个可变动的清 晰集合A*作出清晰的判断。
对于不同的实验者，清晰集合A*可以有不同的边界。但它们都对 应于同一个模糊集A。
模糊集A 年轻人
v0
清晰集A1* 清晰集A2*
论
17-30岁 20-35岁
域 U
所有人
计隶算属步度骤函：数在确每立次的统方计法中：，v0是固定的（如某一年龄）， A*的值是可变的，作n次试验,则
示。
uU表示元素（个体）u在集合论域（全体） U内。
集合表示法(经典集合)：
(1)列举法：将集合的元素全部列出的方法。 (2)定义法：用集合中元素的共性来描述集合的方法。
(3)归纳法：通过一个递推公式来描述一个集合的方法。 (4)特征函数表示法：利用经典集合论非此即彼的明晰性 来表示集合。因为某一集合中的元素要么属于这个集合， 要么就不属于这个集合。
定义2-8 设A,B F(U),则定义代数运算： (1)A与B的代数积记作A • B，运算规则由下式确定：
A • B(u)= A(u)B(u)
第2章模糊数学基础
A A A a A , a A , , a , 12 r 1 1 2 2 rA r
由两个集合X和Y，各自的元素xX，yY构成序偶（x，y） 的集合称为集合X和Y的直积。 X Y
x 1 y X Y 1 x n
2019/2/16
பைடு நூலகம்
xy xy 11 1 2 xy 2 1 xy 2 2 y m xy n 1 xy n 2
[例2－2] 用序偶法在论域U＝1，2，3，4，5，6，7，8， 9，10中讨论“几个”这一模糊概念。 [解]
F ( 1 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , 3 , 0 . 2 , 4 , 0 . 7 , 5 , 1 , 6 , 1 , 7 , 0 . 7 , 8 , 0 . 3 , 9 , 0 , ( 1 0 , 0 )
S 3 , 0 . 2 , 4 , 0 . 7 , 5 , 1 , 6 , 1 , 7 , 0 . 7 , 8 , 0 . 3
20
2019/2/16
3）向量表示法 将论域U中的隶属度F(ui)用来表示模糊集合F，则：
F F u , F u ,, F u 1 2 n
F u F u F u 1 2 n F u u u 1 2 n
用扎德法在论域U＝1，2，3，4，5，6，7，8，9， [例2－1] 10中讨论“几个”这一模糊概念。
0 0 0 . 2 0 . 7 1 1 0 . 7 0 . 3 0 0 [解] F 1 23 45 67 89 1 0
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（3）关系矩阵 二元关系R可用二维关系矩阵表示 设X = x ,,, x , Y y ,,, y , 1 2 x n 1 2 y m R是由X到Y的关系，则关系矩阵R的第i行第j列上的元素 rij定义为
模糊逻辑理论基础
（1）描述法，（2）列举法，（3）特征函数法
2.1 引言
Fuzzy: “模糊”，“不分明”等含义。 日常生活中许多事物都有Fuzzy性。
如： “大与小”“高与矮”，“快与慢”，“冷 与热” “远与近”，“美与丑”，“成年人” 等。 客观事物的不分明性，没有明确的外延。
1965年美国加州大学查德（L.A.ZADEH） 在其论文《Fuzzy Logical Set》中首次提到 用“隶属函数”概念来定量描述事物的 Fuzzy性集合理论，奠定了模糊数学的基础。
第二章 模糊逻辑理论基础
2.1 引言 2.2 模糊集合 2.3 隶属函数的确定方法 2.4 模糊关系与模糊矩阵 2.5 模糊逻辑 2.6 模糊语言 2.7 模糊推理句 2.8 模糊推理方法
经典集合
19世纪末，德国数学家康托创立的集合论，已成为现 代数学的基础。
1.集合的描述：集合与元素
2.集合的表示方法：
如: “老年人”集合，“胖子”集合 没有明确的外延概念。
查德1965年提出模糊集合概念 程度取值[0，1]。
论域：所有元素的全体，或研究事物的范围 {ui}U,i 1, 2, , n 电压：150v-220v
集合：给定论域，其中具有某种相同属性元素 组成的全体 A={x|x是正数}，A={x|x=a}={a} 单点集
若论域U={u1,u2,u3……un} ,则U上的模糊子集A表
示为：
A
n
u( ) Ai
u i1
i
u 其中
(
A
i) (i=1,2,3,……n)——隶属度
如：学习成绩好的模糊子集：
A
0.95 张三
0.9 李四
0.85 王五
又如: 设室温的论域： U={0，10，20，30，40} 单位：摄氏度
2.1 引言
Fuzzy: “模糊”，“不分明”等含义。 日常生活中许多事物都有Fuzzy性。
如： “大与小”“高与矮”，“快与慢”，“冷 与热” “远与近”，“美与丑”，“成年人” 等。 客观事物的不分明性，没有明确的外延。
1965年美国加州大学查德（L.A.ZADEH） 在其论文《Fuzzy Logical Set》中首次提到 用“隶属函数”概念来定量描述事物的 Fuzzy性集合理论，奠定了模糊数学的基础。
第二章 模糊逻辑理论基础
2.1 引言 2.2 模糊集合 2.3 隶属函数的确定方法 2.4 模糊关系与模糊矩阵 2.5 模糊逻辑 2.6 模糊语言 2.7 模糊推理句 2.8 模糊推理方法
经典集合
19世纪末，德国数学家康托创立的集合论，已成为现 代数学的基础。
1.集合的描述：集合与元素
2.集合的表示方法：
如: “老年人”集合，“胖子”集合 没有明确的外延概念。
查德1965年提出模糊集合概念 程度取值[0，1]。
论域：所有元素的全体，或研究事物的范围 {ui}U,i 1, 2, , n 电压：150v-220v
集合：给定论域，其中具有某种相同属性元素 组成的全体 A={x|x是正数}，A={x|x=a}={a} 单点集
若论域U={u1,u2,u3……un} ,则U上的模糊子集A表
示为：
A
n
u( ) Ai
u i1
i
u 其中
(
A
i) (i=1,2,3,……n)——隶属度
如：学习成绩好的模糊子集：
A
0.95 张三
0.9 李四
0.85 王五
又如: 设室温的论域： U={0，10，20，30，40} 单位：摄氏度
模糊数学第二章
(A∩B)∩C=A∩(B∩C); （4）吸收律：A∩(A∪B)= A, A∪(A∩B)=A; （5）分配律: (A∪B)∩C=( A∩C)∪(B∩C), (A∩B)∪C= ( A∪C)∩(B∪C);
模糊集合运算性质
（6）0-1律：A∪Φ＝A, A∩Φ＝Φ;
U∪A=U,U∩A=A; （7）还原律：(Ac)c=A; （8）对偶律：(A∪B)c= Ac∩Bc, (A∩B)c= Ac∪Bc. 互余律不成立！！ 注意 Ac∪A≠ U, A∩Ac ≠ Φ
第二章 模糊子集
本章内容
模糊子集的定义 模糊子集的运算
分解定理扩张定理
模糊性度量
隶属函数的确定
精确数学vs模糊数学
精确数学：基础——经典集合论；一个对象和一个
集合的关系只有两种可能：属于、不属于；
模糊数学：基础——模糊集合论；一个对象和一个
模糊集合的关系：对象隶属于该模糊集合的程度 （隶属度）。
且 (b; a, b) 1 ；当 x b 时单调递增；当 x b 时单调递减。
模糊集合的表示法1－zadeh表示法
论域U是有限集｛x1, x2, …, xn｝,U的任一模糊子集 A，其隶属函数为μi =μA(xi) 模糊子集A记作 A = ∑i=1n μi / xi 注意 ―∑i=1n μi / xi‖不是分式求和，只是一 符 号而已。
1. 模糊子集的定义
设给定论域U，U到[0, 1]的任一映射μA ：U [0, 1]
都确定U的一个模糊子集A
μA叫做A的隶属函数，
μA(u) （ u∈U ）表示 u隶属于模糊子集A的程度，
称之为u对A的隶属度
模糊集合的例子
设论域U＝[0, 100]表示人的年龄，“年轻Y‖与“年老
智能控制模糊控制PPT课件
同时期，Mamdani和Ostergaard分别将模糊控制成功地应用 于蒸汽机和水泥窑的控制，为模糊理论的发展展现了光明 的前景。
机械结构力学及控制国家2.1.1 模糊控制的发展概述 模糊控制的发展——第三阶段
上世纪80年代，模糊理论的应用在深度和广度上 都有了较大进展，产生了大量的应用成果。
识别
输入的烹饪功能命令，口感命令
都是模糊的概念，带有人类思维
执行级
的命令。
对象
智能控制系统分层递阶结构示意图
机械结构力学及控制国家重点实验室
8
2.1 引言
2.1.1 模糊控制的发展概述 举个小例子
如何从人群中识别出自己认识的人？
计算机怎么识别？
脸部特征（脸型，眼睛，鼻子等） 身材（高、矮，胖、瘦） 声音 年龄 走路特征
如今需求：要考虑视觉、听觉、触觉信号，包含了图形、 文字、语言、声音等信息
输入参数越来越直接，越来越智能。
机械结构力学及控制国家重点实验室
4
2.1 引言
2.1.1 模糊控制的发展概述 一个小问题
随着社会文明的进步，社会分工越来越明确。于是对 于大部分人来说，做饭能力。。。
排骨怎么烧？
机械结构力学及控制国家重点实验室
特别是在日本，模糊控制被成功地应用于废水处 理、机器人、汽车驾驶、家用电器和地铁系统等 许多领域，掀起了模糊技术应用的浪潮。模糊软 硬件也投入商业使用。
机械结构力学及控制国家重点实验室
13
2.1 引言
2.1.1 模糊控制的发展概述 模糊控制的发展——第四阶段
上世纪90年代以来，模糊理论的研究取得了一系列突 破性的进展，例如自适应模糊控制，模糊系统的结构 和稳定性分析，模糊优化，模糊逼近等。
机械结构力学及控制国家2.1.1 模糊控制的发展概述 模糊控制的发展——第三阶段
上世纪80年代，模糊理论的应用在深度和广度上 都有了较大进展，产生了大量的应用成果。
识别
输入的烹饪功能命令，口感命令
都是模糊的概念，带有人类思维
执行级
的命令。
对象
智能控制系统分层递阶结构示意图
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8
2.1 引言
2.1.1 模糊控制的发展概述 举个小例子
如何从人群中识别出自己认识的人？
计算机怎么识别？
脸部特征（脸型，眼睛，鼻子等） 身材（高、矮，胖、瘦） 声音 年龄 走路特征
如今需求：要考虑视觉、听觉、触觉信号，包含了图形、 文字、语言、声音等信息
输入参数越来越直接，越来越智能。
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4
2.1 引言
2.1.1 模糊控制的发展概述 一个小问题
随着社会文明的进步，社会分工越来越明确。于是对 于大部分人来说，做饭能力。。。
排骨怎么烧？
机械结构力学及控制国家重点实验室
特别是在日本，模糊控制被成功地应用于废水处 理、机器人、汽车驾驶、家用电器和地铁系统等 许多领域，掀起了模糊技术应用的浪潮。模糊软 硬件也投入商业使用。
机械结构力学及控制国家重点实验室
13
2.1 引言
2.1.1 模糊控制的发展概述 模糊控制的发展——第四阶段
上世纪90年代以来，模糊理论的研究取得了一系列突 破性的进展，例如自适应模糊控制，模糊系统的结构 和稳定性分析，模糊优化，模糊逼近等。
模糊控制的理论基础
zmf(x,[a, b])
有关隶属函数的MATLAB设计，见著作：
楼顺天，胡昌华，张伟，基于MATLAB的系统分析 与设计-模糊系统，西安：西安电子科技大学出版 社，2001
例2.5 隶属函数的设计：针对上述描述的6种隶属 函数进行设计。M为隶属函数的类型，其中M=1 为高斯型隶属函数，M=2为广义钟形隶属函数， M=3 为 S 形 隶 属 函 数 ， M=4 为 梯 形 隶 属 函 数 ， M=5为三角形隶属函数，M=6为Z形隶属函数。 如图所示。
X Years
图2-1 “年轻”的隶属函数曲线
2.2.2 模糊集合的运算 1 模糊集合的基本运算
由于模糊集是用隶书函数来表征的，因此两 个子集之间的运算实际上就是逐点对隶属度作 相应的运算。
（1）空集 模糊集合的空集为普通集，它的隶属度为0，
即
A A (u) 0
（2）全集 模糊集合的全集为普通集，它的隶属度为1，
设A和B经过平衡运算得到C，则
c (x) A (x) B ( x) 1 1 (1 A (x)) (1 B (x))
其中γ取值为[0，1]。 当γ=0时，c (x) A (x) B (x)，相当于A∩B时的算子。
当γ=1，c (x) A(x) B (x) A(x) B (x) ，相当于
B 0.3 0.1 0.4 0.6 u1 u2 u3 u4
求A∪B，A∩B
则 A B 0.9 0.2 0.8 0.6
u1 u2 u3 u4
A B 0.3 0.1 0.4 0.5 u1 u2 u3 u4
例2.4 试证普通集合中的互补律在模糊集
合中不成立，即 A (u) A (u) 1，
则 u0属于“成绩差”的隶属度为：
A (u0 ) 1 0.8 0.2
有关隶属函数的MATLAB设计，见著作：
楼顺天，胡昌华，张伟，基于MATLAB的系统分析 与设计-模糊系统，西安：西安电子科技大学出版 社，2001
例2.5 隶属函数的设计：针对上述描述的6种隶属 函数进行设计。M为隶属函数的类型，其中M=1 为高斯型隶属函数，M=2为广义钟形隶属函数， M=3 为 S 形 隶 属 函 数 ， M=4 为 梯 形 隶 属 函 数 ， M=5为三角形隶属函数，M=6为Z形隶属函数。 如图所示。
X Years
图2-1 “年轻”的隶属函数曲线
2.2.2 模糊集合的运算 1 模糊集合的基本运算
由于模糊集是用隶书函数来表征的，因此两 个子集之间的运算实际上就是逐点对隶属度作 相应的运算。
（1）空集 模糊集合的空集为普通集，它的隶属度为0，
即
A A (u) 0
（2）全集 模糊集合的全集为普通集，它的隶属度为1，
设A和B经过平衡运算得到C，则
c (x) A (x) B ( x) 1 1 (1 A (x)) (1 B (x))
其中γ取值为[0，1]。 当γ=0时，c (x) A (x) B (x)，相当于A∩B时的算子。
当γ=1，c (x) A(x) B (x) A(x) B (x) ，相当于
B 0.3 0.1 0.4 0.6 u1 u2 u3 u4
求A∪B，A∩B
则 A B 0.9 0.2 0.8 0.6
u1 u2 u3 u4
A B 0.3 0.1 0.4 0.5 u1 u2 u3 u4
例2.4 试证普通集合中的互补律在模糊集
合中不成立，即 A (u) A (u) 1，
则 u0属于“成绩差”的隶属度为：
A (u0 ) 1 0.8 0.2
模糊控制02-模糊集合及其基本运算
中心 如果一个模糊集的隶属度函数达到最大值的 有点的均值是一个有限值，则该均值就是模 有点的均值是一个有限值 集的中心； µ(x) 1 如果均值是正（负） 穷大，则将中心定义 所有最大隶属度值的 中最小（最大）点。
模糊集合的一些基本概念
交叉点 论域U中模糊集A的隶属度值等于0.5 论域U中模糊集A的隶属度值等于0.5的点。 0.5的点。 模糊集的高度 µ(x) 指模糊集内任意点所达到的 1 大隶属度值。 a 模糊集高度为1 模糊集高度为1时，该模糊 该模糊 称为标准模糊集。
1
supp( A) = {x ∈ U | µ A ( x) > 0}
0
模糊集合的一些基本概念
空模糊集 如果一个模糊集的支撑集为空集，则该模糊 如果一个模糊集的支撑集为空集 为空模糊集。 模糊单值 µ(x) 1 如果模糊集的支撑集仅包 则该模糊集 U中的一个点，则该模糊集 模糊单值。
模糊集合的一些基本概念
x
z
模糊集合的运算
模糊集合A 模糊集合A 和B等价 对于任意 x∈U，当且仅当µA(x)=µB(x)， 当且仅当µ 当且仅当 (x)， 称A和B是等价的。 模糊集合A 模糊集合A被B包含 对于任意 x∈U，当且仅当 µA(x)≤µB(x) ， 当且仅当 称B包含A。 包含A
模糊集合的运算
糊集合A 糊集合A 的补集 模糊集合A 模糊集合A的补集记作 ，A ，隶属度函数为 µ A (x) = 1 − µ A (x) 糊集合A 糊集合A和B的并集 AU B 模糊集合A 模糊集合A和B的并集记作 ，隶属度函数为 µ A∪ B (x) = max[µ A ( x), µ B ( x)] 糊集合A 糊集合A和B的交集 AI B 模糊集合A 模糊集合A和B的交集记作 ，隶属度函数为
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第4节
分解定理和扩展定理
例 设 X= 1,2,3, ,10, 小是 X 上的一个模糊集合,定义为:
小 1 1 0.8 0.6 0.4
1 2 3 4 5
设 f 是平方运算,即 y f ( x) x 2 ,于是
f (小) (小) 2 1 1 0.8 0.6 0.4 1 4 9 16 25
8)复原律
( Ac )c A
第三节水平截集与支集
模糊集合的 水平截集定义如下: 设给定模糊集合 A F ( X ) , 对任意 0,1 闭区间中的实数 ,称
ห้องสมุดไป่ตู้
( A) A x / x X , A ( x)
~
~
~
为模糊集合 A 的 水平截集，这里, A 是一个普通集合, 是由在模糊集合 A 中 的隶属度达到或超过 的元素所组成。实际上,模糊子集的 水平截集,是在模 糊集合和普通集合之间架起了一个互相联系的桥梁,它解决了模糊集合和普通集 合之间转化的问题。当给定一个模糊集合 截集, 模糊集合 A 就转化为普通集
~
一个论域上的模糊集 B 时,确定 B 的隶属函数的方法。
~ ~
扩展原理: 和 是两个论域,设映射 f : f 诱导出一个新的映射，记作 f 。
, f ( x) y Y 。 由
第4节
分解定理和扩展定理
f : F ( X ) F (Y ) A f ( A) B, A F ( X ), f（ A） F (Y )
~
~
通集合 A,由此可见, 普通集合是模糊集合的特殊情况, 模糊集合是普通 集合推广。这说明了模糊集合是建立在普通集合之上的。
第二节模糊集合其运算
当论域 X 为有限论域时, X x1 , x2 , , xn 上, 论域 X 上的 模糊集合 A 可表示为:
A A ( x1 ) / x1 A ( x 2 ) / x 2 A ( x n ) / x n
~
SuppA 。 因此, 普通子集族: A / 0 1象征着一个具有游动,弹性边
~
~
~
界的集合,一个可变的, 运动的集合。
第三节水平截集与支集
A ( x)
~
1
0
A1 A Supp A
~
x
模糊子集的水平截集,在模糊集合和普通集合之间架起了一个互相联系的桥 梁,它解决了模糊集合和普通集合之间转化的问题.把模糊集合的核, 截集与支 集结合到一起,对模糊子集的结构作了分解,从而形象化描述了模糊集合。
F(X)是论域 X 上的模糊集类,
~ ~
A, B F ( X ) ,则定义以下计算:
~ ~
(1) A 与 B 相等 :由于模糊集合特征由它的隶属函数确定,所以把隶属 函数全部相等的两个模糊子集定义为相等,即, 对 X 上 x ,如果
A ( x) = B ( x) , 则 A B
~
~
~
~
~
合 A ,相应的隶属函数转化成特征函数，这种转化示于下图。
第三节水平截集与支集
A ( x)
~
A ( x)
1
A
0 图 4 A 与 A 关系
~
A ( x)
~
x
第三节水平截集与支集
设给定模糊集合 A F ( X ) ,称: SuppA x / x X , A ( x) 0
0 ,1
任何模糊集合都可以用普通集合表示，任何模糊集合问题都可以通过分解定理转化为普 通集合问题，为解决模糊数学问题提供一种可行的途径。
第4节
A ( x)
~
分解定理和扩展定理
1
1 2 3 4 5
0
图 构造模糊集
x
第4节
分解定理和扩展定理
Zadeh 教授于 1975 年提出了扩展原理, 它是模糊集合论中最基本 法则之一。 扩展原理给出了用映射将一个论域上的模糊集 A 变为另
~
~ ~ ~
~
这种表示只有形式上的意义, 加号不代表算术和,分数线 也不代表相除,只表示元素和对应的隶属程度的对应排列。
第二节模糊集合及其运算
在有限论域时, 模糊集合 A 还可表示为:
~
A A ( xi ) / xi
~ i 1
n
~
n
或记为:
A A ( xi ) / xi
~ i 1
~ ~ ~ ~
模糊子集 A与 B的并集 A B 的隶属函数定义为:
~ ~ ~ ~
AB ( x) Max(( A ( x), B ( x))
~ ~ ~ ~
也可表示为:
A B ( x) A ( x) B ( x)
~ ~ ~ ~
按扎德记法,可表示为:
A B (Max( A ( x), B ( x)) / x)
AB (u) 0 (A (u) B (u) 1)
第二节模糊集合及其运算
模糊集和的运算性质: 1)幂等律
2)交换律
A A A, A A A,
A, A B B A,
A BB
3)结合律
( A B) C A ( B C ) ( A B) C A ( B C )
1- 1 分解定理 设 A 是论域 X 上的模糊集合, 0,1 ,则定义
~
( A) ( x) A ( x)
~ ~
称 A 为数乘模糊集。
~
第4节
~
分解定理和扩展定理
~
分解定理 : 设 A 是论域 X 上的模糊集合, A 为 A 的 截集, A 为 A 的特征函数,则:
第三节水平截集与支集
截集有以下性质:
1) ( A B) A B 2) ( A B) A B 3)若 1 , 2 0,1 且 1 2 , 则
A1 A21
第三节水平截集与支集
1 0.9 0.7 0.5 0.3 0.1 0 例题: 设 A ,求 ~ x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 A1 , A0.8 , A0.4 , A0 , SuppA 。
~ ~ ~ ~
按扎德记法,可表示为:
A B (Min( A ( x), B ( x)) / x)
~ ~ X
~ ~
第二节模糊集合及其运算
c 的补集 A (6) 模糊子集 A ~ ~
对 X 上 x ,如果
A ( x) 1 A ( x)
C ~ ~
c 则称 A 为模糊子集 A的补集 ~
~ ~ X
~ ~
第二节模糊集合及其运算
(5) A与 B的交集 A B
~ ~ ~ ~
模糊集合 A与 B的交集 A B 的隶属函数定义为:
~ ~ ~ ~
AB ( x) Min(( A ( x), B ( x))
~ ~ ~ ~
也可表示为:
A B ( x) A ( x) B ( x)
~
~
第二节模糊集合其运算
(2) B 包含 A , 对 X 上 x ,如果 A ( x ) B ( x )
~ ~
~ ~
则 B A或 A B
~ ~ ~ ~
(3) 空模糊集, 对 X 上 x ,如果 A ( x ) =0
~
则 A
~
第二节模糊集合其运算
(4) A与 B的并集 A B
设 f 是平方根运算,即 y f ( x) x ,于是
f (小) (小) 1 1 0.8 0.6 0.4 1 2 2 3 5
1 2
第4节
分解定理和扩展定理
n
扩展原理可以推扩到 n 个集合构成的笛卡尔积上。 设 X X 1 X 2 X n X i ，若 A1 , A2 , An 分别为
A
~
A
0,1
~
或
A ( x) ( A ( x))
0 ,1
~
分解定理表明:求模糊集合 A 中的某元素的隶属函数,可先求 与 A 的特征函数 最小值,即： A ( x) 之后, 对于不同的 值, 取最大值, 即： ( A ( x)) 。
第二节模糊集合及其运算
模糊集的代数运算 (1)代数积
A B (u) A (u) B (u)
(2)代数和 (3)有界和 (4)有界积
A B (u ) A (u) B (u) A B (u)
AB (u) 1 (A (u) B (u))
A ( x ) 在 0,1 上取值,其值大小表示 x 对于 A 的隶属程度。
~
~
~
表征模糊集合 A 的隶属函数 A ( x ) 在 0,1 闭区间上取值, 而表征普
~
~ ~
~
通集合 A 的特征函数只取 0 或 1 两个值,当隶属函数 A ( x ) 只取 0 或 1 两个值时, A ( x ) 蜕化成普通集合 A 的特征函数, 模糊集合 A 蜕化成普
An
n
A A1
A2
Ai
i 1
A
1
A2 An
(u) Min( A1 (u), A2 (u), , An (u))
并
第二节模糊集合及其运算
以上模糊集合,交,补的运算,与普通集合的同类的运算是相通的,只要隶 属函数仅取两个值, 模糊子集交,补的运算就变成了普通集合交,补的运算。 以上模糊集合的交,补的运算,可用以下图表示出来。