模糊数学 第1-2章
模糊数学2运算分解定理
38
λ截集的性质1
性质1. 设A，B为论域X上的模糊集， λ∈[0,1]，若A⊆B，则 Aλ⊆Bλ
证明： x ∈ Aλ ⇔ μA(x)≥λ A⊆B⇔∀x∈X, μB(x) ≥μA(x) ⇒μB(x)≥λ⇔ x ∈ Bλ
39
λ截集的性质2
性质2. 设A，B为论域X上的模糊集，
,当u A
0,当u A
46
1-5. 分解定理
47
三大定理
分解定理 表现定理 扩张原理
48
1-5 分解定理
分解定理是把模糊集合论的问题化 为经典集合论的问题来求解
模糊集合 水平截集
经典集合
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分解定理Ⅰ
分解定理Ⅰ：设A为论域X上的模糊子 集， Aλ是A的λ截集，λ ∈[0，1]，则 如下分解式成立：
[0,1]
A U H () [0,1]
54
分解定理Ⅲ的证明（2）
2)1 2 H (1) H (2 ) 证明：H (1) A1 A2 H (2 )
A1 A2是截集的性质
55
分解定理Ⅲ的证明（3）
3) A I H ( ) ( 0), A U H ( ) ( 1)
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课内作业1-2
设X={a,b,c,d,e,f,g} A=0.5/b+0.4/c+1/d+0.7/f B=0.3/a+0.9/b+0.4/c+1/d+0.6/f+1/g C=1/a+0.3/b+0.6/c+0.2/d+1/f+0.6/g 求A∩B, A∪B, (A∪B)c ∩C, (A
故上式 [ ] [ 0] A(x)
模糊数学1、模糊集、隶属度函数、如何确定隶属度函数
模糊数学1、模糊集、⾪属度函数、如何确定⾪属度函数------------------------2021.3.14更新------------------------------⼀个关于模糊和概率的趣味⼩问题------------------------2021.3.14更新------------------------------------------------------2020.8.17更新------------------------------总算学完了，这懒病改改改了，放⼀下所有的笔记链接集合的概念：⼀些具有相同特征的不同对象构成的全体，也称集或者经典集合。
经典集合的特征函数（和模糊集的⾪属度函数⼀样）：f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 1\quad x \in A \\ 0\quad x \notin A \\ \end{array} \right.⼀个经典集合A，它的特征函数为f()，那么怎么判断⼀个新的对象x是不是属于这个集合呢，计算f(x)是0还是1，是1代表属于A，是0代表不属于。
与之对应的是模糊集合，假设A是⼀个模糊集合，它的⾪属度函数是\mu _A ( \cdot )，那么⼀个新的对象x属于A的程度就是\mu _A (x)（是⼀个0到1之间的数）。
⾪属度函数的构造极为重要，⼀般根据这个模糊集的性质相关。
⼀般也把A的⾪属度函数写成A( \cdot )接下来是模糊集的表⽰⽅法，共三种：扎德表⽰法，序偶表⽰法，向量表⽰法。
假设论域U = \left\{ {x_1 ,x_2 , \cdot \cdot \cdot ,x_n }\right\}，模糊集为A，A(x)是x的⾪属度，A( \cdot )是⾪属度函数。
扎德表⽰法容易与加法混淆。
序偶表⽰法与向量表⽰法的含义都⼀样，向量表⽰法更简洁，所以我们⼀般就只⽤向量表⽰法。
⽐如上⾯公式的意思就是每个对象x_i属于模糊集合A的程度（⾪属度）接下来讲⼀讲⾪属度函数的确定。
模糊集理论及其应用_第一章
11
1.2 模糊集合与隶属函数(1/5)
目录
由此可见，模糊集合 A 是一个抽象的概念， 其元素是不确定的， 我们只能通过隶属函数 A来认识和掌握 A ．A(u)的数值的大小反映 了论域Ｕ 中的元素 u 对于模糊集合 A 的隶属 程度， A(u)的值越接近于1 ，表示u隶属于A 的程度越高；而μＡ(u)的值越接近于０，表示u 隶属于 A 的程度越低．特别地， 若A(u) =１，则认为u完全属于A ； 若A(u) =０，则认为u完全不属于A． 因此, 经典集合可看作是特殊的模糊集合． 换言之，模糊集合是经典集合的推广。
3
模糊数学的概念 处理现实对象的数学模型 确定性数学模型:确定性或固定性,对象间有必 然联系. 随机性数学模型:对象具有或然性或随机性 模糊性数学模型:对象及其关系均具有模糊性. 随机性与模糊性的区别 随机性:指事件出现某种结果的机会. 模糊性:指存在于现实中的不分明现象. 模糊数学:研究模糊现象的定量处理方法.
5
数学建模与模糊数学相关的问题
模糊数学—研究和处理模糊性现象的数学 （概念与其对立面之间没有一条明确的分 界线） 与模糊数学相关的问题（一）
模糊分类问题—已知若干个相互之间不分明的
模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个模 糊概念来反映更合理准确 模糊相似选择 —按某种性质对一组事物或对 象排序是一类常见的问题，但是用来比较的性 质具有边界不分明的模糊性
模糊集理论及其 应用
1
前言：什么是模糊数学
•模糊概念
秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
设头发根数n n=1 显然
若n=k 为秃子 n=k+1 亦为秃子
模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线 年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。
模糊数学 第1-2章
第1讲模糊数学简介、教学安排1.简介（1）发展历史美：65，L.A.zadeh，信息与控制（理论研究开始）（模糊控制例子：开汽车，杂技演员表演-倒立摆）英国：74，马丹尼，蒸汽机控制丹麦：80，丹麦哥本哈根的史密斯水泥公司首次用模糊系统实现了对水泥窑炉的控制。
日本：72，Sugeno，F-measure 语音控制模糊汽车（８８），无人驾驶直升机（９３）。
84，Yamakawa F-logic I.C (模糊集成电路)。
８８年，日立公司使日本仙台市地铁实现了模糊控制（简介）。
85，IFSA 成立国际模糊系统协会我国：70年代，王培庄等人，开始主要是理论研究，并且与经典数学相对应的各个领域都有人研究，现在研究、利用模糊技术的领域已经深入到社会、经济等各个方面。
国际杂志：*FSS-Fuzzy Set and Systems，*IEEE Transactions on Fuzzy Systems (1993),*Fuzzy Mathematics etc.IEEE 从１９９２年起，每年召开一次国际模糊学术会议。
１９９５年IEEE给Zadeh 授予了学会的荣誉勋章。
（2）趋势①研究与应用人数逐年上升②应用领域逐步扩大，遍及社会，经济等等各个领域，如：*在软科学方面，模糊技术已用到了投资决策、企业效益评估、区域发展规划、经济宏观调控、中长期市场模糊预测等领域。
*工业过程控制方面，已实现了冶金炉窑模糊控制、化工过程模糊控制、水泥窑炉模糊控制以及磨煤机模糊控制等。
*在人工智能与计算机领域，已经出现了模糊推理机、模糊控制计算机、模糊专家系统、模糊数据库、模糊语音识别系统、图形文字模糊识别系统、模糊控制机器人等高新技术产品，同时还出现了F-Prolog、Fuzzy-C等语言系统。
*在地震科学方面，模糊技术已涉及到中长期地震预报、地震危险分析和潜在震源识别、地震灾害预测以及减轻地震灾害对策等等。
*在航空航天及军事领域，模糊技术已用到了飞行器对接、C3I指定自动化系统等方面。
Ch2_Sec1-2-3-4 模糊数学
∨ A(x), f (x)=y f (A)( y) = 0,
f −1( y) ≠∅ f −1( y) =∅
Example 2.4.1 Let X ={x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6} and
Examinee x1 x2 Grade (mark)100 94 x3 32 x4 61 x5 85 x6 55 x7 x8 x9 x10 25 72 86 40
Now we pick out winters according to principle “enrolling only those who are outstanding”.
A(x) =∨{α | α ∈[0,1], x∈ A } α
Proof
A(x) = ∨ (α ∧ χAα (x))
α∈ [0,1]
, 1 A(x) ≥α χAα (x) = 0, A(x) <α
分解定理
=
0≤α≤A( x)
∨ { } =∨{ | α ∈[0,1], x∈ A } α α α
x的隶属度=包含x的所有截集中α的最大值。
Theorem 2.1.1 Let A,B∈F (X) and α,β∈[0,1], then (1) (2) e.g.
A ? A⊆ α α α < β ⇒ Aββ⊆ Aβ α A ⊆ A
A ⊆ B ⇔∀α ∈[0,1], A ⊆ B α α
0.2 0 0.5 1 0.7 A= + + + + x1 x2 x3 x4 x5
α
A α
1 kerA
0 suppA
Definition 2.2.1 Let A∈F (X) and α∈[0,1]. We define a fuzzy set αA with membership as
CH1-1~2模糊集的概念及其运算
超越它，精确性和有意义性就变成两个相互排斥的特性。” 扎德
11
例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长
头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”. 尽管这里只提供了一个精确信息------男人，而其他
信息------大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、
中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念
经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人.
12
三、研究方向及应用
理论上的研究方向
1、发展模糊集的理论和方法，建立 自身的理论体系； 2、将各个经典数学分支进行模糊化； 3、应用上将fuzzy集方法打入各个 学科专业领域。
模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的 各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质 勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛 而又成功的应用.
22
到了20世纪90年代初, 市场上已经出现了大量 的模糊消费产品。在日本出现了“模糊”热, 家电产品中, 不带Fuzzy的产品几乎无人购买。 空调器、电冰箱、洗衣机、洗碗机等家用电器 中已广泛采用了模糊控制技术。我国也于20世 纪90年代初在杭州生产了第一台模糊洗衣机。 模糊数学于1976年传入我国后, 得到迅速发展。 1980年成立了模糊数学与模糊系统学会, 1981 年创办《模糊数学》(华中工学院)杂志, 1987 年创办《模糊系统学会》(国防科技大学)。中 国被公认为模糊数学研究的四大中心 (美国、 欧洲、日本、中国) 之一。
13
四、模糊数学发展历程
1. 模糊理论的萌芽(20世纪60年代) 对模糊性的讨论, 可以追溯得很早。20世纪的 大 哲 学 家 罗 素 (B.Russel) 在 1923 年 一 篇 题 为 《含糊性》(Vagueness) 的论文里专门论述过 我们今天称之为“模糊性”的问题(严格地说, 两者稍有区别), 并且明确指出: “认为模糊知 识必定是靠不住的, 这种看法是大错特错的。” 尽管罗素声名显赫, 但这篇发表在南半球哲学 杂志的文章并未引起当时学术界对模糊性或含 糊性的很大兴趣。这并非是问题不重要, 也不 是因为文章写得不深刻, 而是“时候未到”。
模糊数学 第一章
1.5 模糊模式识别理论模型
一、指标特征值与指标标准特征值 个样本集合X对模糊概念 设n个样本集合 对模糊概念 A 作识别 个样本集合
~
相对隶属度基础理论
r11 r12 K r1n r21 r22 K r2n R= =（ （ M M M r m1 rm2 K rmn
rij ）
相对隶属度基础理论
式中， 为决策j目标 目标i对 的相对隶属度，简称目标相对优属度。 式中， 为决策 目标 对“优”的相对隶属度，简称目标相对优属度。 rij 由于“ 由于“优”，“劣”分别处于参考连续统的两极，则应有： 分别处于参考连续统的两极，则应有： 目标相对劣属度向量： 目标相对劣属度向量： b=（0，0，……，0)T （ ， ， ， 目标相对优属度向量： 目标相对优属度向量： g=(1，1，……，1)T ， ， ，
绪
②层次计算为线性模型，不能反映非线性本质。 结构性决策方面：运筹学
论
遇到自然、社会经济、生态环境等软系统特征时，只能作简化处 理，不能反映定性现象的本质。 研究含有人的因素，特别是决策者因素兼有自然、社会经济、生 态环境的复杂系统优化时，要发展与创立新的模糊识别决策理论、模 型与方法。
相对隶属度基础理论 第一章 相对隶属度基础理论 1.1 概述
一、模糊优选 优与劣存在共维与差异，且处于两个极点，具有中介过渡性， 优与劣存在共维与差异，且处于两个极点，具有中介过渡性，即 是优选的模糊性，故称模糊优选。 是优选的模糊性，故称模糊优选。 特点：优选是针对一定的标准而言，故优选具有相对性。 特点：优选是针对一定的标准而言，故优选具有相对性。 二、优选模型 1、相对优属度矩阵 、 设某复杂系统有几个决策，每个决策有 个目标特征值评价其优 设某复杂系统有几个决策，每个决策有m个目标特征值评价其优 劣，则有目标特征值矩阵： 则有目标特征值矩阵：
模糊数学1第二讲-模糊集合与模糊关系
目录
• 引言 • 模糊集合的基本概念 • 模糊关系的定义和性质 • 模糊关系的应用 • 结论
01 引言
主题简介
模糊集合
模糊集合是传统集合的扩展，允许元 素具有不明确的隶属度。它能够更好 地描述现实世界中许多事物的模糊性 和不确定性。
模糊关系
模糊关系是描述模糊元素之间关联的 方式，可以用于描述事物之间的不确 定性和相似性。
3
模糊关系具有自反性，即任意一个模糊集合都与 自身有完全的关联。
模糊关系的运算
01
并运算
表示两个模糊集合之间的合并关系， 结果是一个新的模糊集合。
补运算
表示一个模糊集合的补集关系，结 果是一个新的模糊集合。
03
02
交运算
表示两个模糊集合之间的交集关系， 结果是一个新的模糊集合。
非运算
表示一个模糊集合的否定关系，结 果是一个新的模糊集合。
人工智能与机器学习
模糊数学在人工智能和机器学习领域有巨大的潜力，特别 是在处理不确定性和含糊性方面。未来可以进一步探索模 糊数学在人工智能和机器学习领域的应用。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
04
04 模糊关系的应用
在决策分析中的应用
模糊决策
利用模糊集合理论，可以将决策 问题中的不确定性和模糊性纳入 数学模型中，从而更准确地描述 和解决决策问题。
模糊多属性决策
在多属性决策中，模糊集理论可 以用于处理属性值的不确定性， 通过权重调整和属性值模糊化， 实现更准确的决策分析。
模糊综合评价
基于模糊集合理论的综合评价方 法，能够综合考虑多个因素和条 件，对复杂系统进行全面、客观 的评价。
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第1讲 模糊数学简介、教学安排一、简介1.发展历史美：65，L.A.Zadeh，信息与控制（理论研究开始）（模糊控制例子：开汽车，杂技演员表演-倒立摆）英国：74，马丹尼，蒸汽机控制丹麦：80，丹麦哥本哈根的史密斯水泥公司首次用模糊逻辑实现了对水泥窑炉的控制。
日本：72，Sugeno，F-measure 语音控制模糊汽车（８８），无人驾驶直升机（９３）。
84，Yamakawa F-logic I.C (模糊集成电路)。
８８年，日立公司对日本仙台市地铁实现了模糊控制（简介）。
85，IFSA 成立国际模糊系统协会我国：70年代，王培庄等人，开始主要是理论研究，逐步与经典数学相对应的各个领域都有人研究。
当前研究、利用模糊技术的领域已经扩展到经济、社会等各个方面。
国际杂志：*FSS-Fuzzy Set and Systems，*IEEE Transactions on Fuzzy Systems (1993),*Fuzzy Mathematics etc.IEEE 从１９９２年起，每年召开一次国际模糊学术会议。
１９９５年IEEE给Zadeh 授予了学会的荣誉勋章。
2.趋势①研究与应用人数逐年上升②应用领域逐步扩大，遍及社会，经济等等各个领域，如：*在软科学方面，模糊技术已用到了投资决策、企业效益评估、区域发展规划、经济宏观调控、中长期市场模糊预测等领域。
*工业过程控制方面，已实现了冶金炉窑模糊控制、化工过程模糊控制、水泥窑炉模糊控制以及磨煤机模糊控制等。
*在人工智能与计算机领域，已经出现了模糊推理机、模糊控制计算机、模糊专家系统、模糊数据库、模糊语音识别系统、图形文字模糊识别系统、模糊控制机器人等高新技术产品，同时还出现了F-Prolog、Fuzzy-C等语言系统。
*在地震科学方面，模糊技术已涉及到中长期地震预报、地震危险分析和潜在震源识别、地震灾害预测以及减轻地震灾害对策等等。
*在航空航天及军事领域，模糊技术已用到了飞行器对接、C I指定自动化系统等方面。
3*模糊家电产品：模糊洗衣机，空调，烤箱，照相机，摄像机，……3.与其它学科结合越来越紧，如：模糊神经网络模糊遗传算法……………………二、课程内容1.基本理论*模糊集合*隶书函数确定的若干方法*模糊关系*扩张原理与模糊数2.应用*模糊模式识别*模糊聚类分析*模糊综合评判3.学习本课程的目的一是学习、了解模糊数学的基本理论，为进一步学习相关内容打下基础；二是掌握应用模糊数学解决实际问题的一些基本方法；三是培养我们应用数学知识解决实际问题，尤其是解决涉及不确定问题的意识和能力。
数学素质：悟性例子：应用数学知识解决实际问题的意识、兴趣和能力。
峨眉看佛光！？？？什么是模糊数学？（模糊数学研究什么？）三、例子保定市是否有两个人头发根数一样多？第2讲 普通集合（第一章 集合与映射）一、集合1．基本概念：只有描述性定义，是数学学科最基本的概念记号,,,,X Y A B .X x ∈φBA ⊆相等有限集合、无限集合幂集：{}()P X X =的子集2．集合表示方法①A ={ 模糊数学，计算方法，……}{}11,2,3,,,n N n {}n ∞=== ②条件表示法{})(x P x X ={}米其身高大于人7.1=X{}()|P X A A X =⊆3．运算① 并：B A ∪② 交：A B ∩③ 差：B A −④ 余(补)：cA⑤ 对称差：()()()(A B A B B A A B A Δ=−∪−=∪−∩B4．性质①幂等律：A A A =∪ ，A A A =∩ ②交换律：A B B A ∪=∪A B B A ∩=∩③结合律：()()A B C A B C ∪∪=∪∪ ()()A B C A B C ∩∩=∩∩④分配律：()()()A B C A B A C ∩∪=∩∪∩()()()A B C A B A C ∪∩=∪∩∪⑤吸收律：A B A A =∪∩)(A B A A =∩∪)(⑥两极律：A X X ∪=，A X A ∩=A A φ∪=，A φφ∩=⑦复原律：()c c A A = ⑧补余律：c A A X ∪=，cA A φ∩= ⑨对偶律：c c c B A B A ∩=∪)(c c c B A B A ∪=∩)(可以推广到任意有限多个集合。
5.集合族的并与交定义1.1 给定{}t A ，T t ∈，称下面集合} .. , , {t t T t A x t s T t X x x A∈∈∃∈=∪∈为集合族{}t A 的并集。
} , , {t t T t A x T t X x x A∈∈∀∈=∩∈称为集合族{}t A 的交集。
常见指标集：{1,2,,,}T n N == ，]1 ,0[=T集合族的并与交满足分配律：()(t t t T t T)A A A ∈∈∩∪=∪∩A()(t t t T t T)A A A ∈∈∪∩=∩∪A 例1.1 设，},,2,1{n A n =},2,1,{ ++=n n n B n ，求集合族的并集和交集。
}{},{n n B A 解：？？？1{1,2,}n n A N ∞=∪== ， }1{1=∩∞=n n A 1{1,2,}n n B N ∞=∪== ， φ=∩∞=n n B 1二、映射与特征函数1.映射（1）定义1.2设是两个集合，如果有一个法则，使得对于中任意元素Y X ,f X x ，都有Y 中唯一元素与之对应，则称是到的映射。
y f X Y ＊ 以前见过映射吗？单射：满射：一对一映射：（2）映射的性质：见4-5页定理1.2，共11条。
自看，自证，会用。
举几个映射例子………。
2.特征函数定义1.3 设X 为论域，A X ⊆，称映射:{0, 1}1, |()0, A A X x A x x x Aχχ→∈⎧→=⎨∉⎩ 为集合A 的特征函数。
A χ由A 唯一确定，A 也由A χ唯一确定。
这样就在和()P X {}|:{0,1}Y f f X =→之间建立了一一对应关系。
以后经常使用特征函数代替集合，并用()A x 代替()A x χ。
（4）用特征函数及其之间关系和运算表示集合之间的关系和运算)()(x B x A B A ≤⇔⊆)()(x B x A B A =⇔=X x x A A ∈∀=⇔= ,0)(φX x x A X A ∈∀=⇔= ,1)()()()}(),(max{))((x B x A x B x A x B A ∨==∪ )()()}(),(min{))((x B x A x B x A x B A ∧==∩)(1)(x A x A c−=)()(x A x A tTt t T t ∨∪∈∈= )()(x A x A tTt t T t ∧∩∈∈= 式中，和分别为数族的上确界和下确界。
)(x A t T t ∨∈)(x A t Tt ∧∈)(x A t}{t a 的上确界就是最小上界，下确界就是最大下界，用数学式子如何描述？a }{t a 定义1.4 是的上确界，如果满足 a }{t a a ①T t a a t ∈∀≥,②,t b a t T b a ∀≥∈⇒≥定义1.5 是的下确界，如果满足 a }{t a a ①T t a a t ∈∀≤,②,t b a t T b a ∀≤∈⇒≤要求：会求上下确界（能看出来即可）例如：1(2)?t N n∈−=∨ 1(1)?t Nn ∈+=∧ 上下确界与取大取小有什么差别？例1.２ 证明cc c B A B A ∩=∪)(以前怎么证明？()()1()()1max{(),()} min{1(),1()} min{(),()} ()()ccccc A B x A B x A x B x A x B x A x B x A B x ∪=−∪=−=−−==∩即，。
cc c B A B A ∩=∪)(作业1P 6-7 1-9第3讲 模糊集合（第二章 模糊集合）一、模糊集合1.模糊概念研究模糊现象的数学就是模糊数学；涉及模糊概念的现象就是模糊现象；什么是模糊概念？概念：具有一定含义的一个词，词组等。
如：人，头发，晴天，白色，马，球，衣服，研究生，学生，……。
概念的本质属性叫内涵，符合概念的全体对象叫概念的外延。
普通概念的外延构成普通集合。
如：教室里的男同学，河北人等等，这些概念的特点：任何一个对象要么符合这个概念，要么不符合这个概念。
模糊概念：外延不分明的概念。
如：“伟人”、“聪明人”、“健康人”、“正直的人”“年轻人”，……“阴天”、“质量好”、“不稳定”，…… 和普通集合的差别是什么？我们知道：给定论域X ，子集A X ⊆ X x ∈∀，或A x ∈A x ∉二者必居其一且仅居其一。
A A χ↔1, ()0, A x Ax x A χ⎧=⎨⎩完全属于完全不属于 例 2.1 考虑“发高烧”这个（模糊）概念论域T=[30，45 ]36， 37， 38．5，39， 39.5 39.8，…… 38.5度算不算发高烧？不好回答，用一个数描述发高烧的程度，如：38.5对应0.5，即38.5属于发高烧的程度为0.5。
2.模糊集合 （1）模糊集合定义2.1设在论域X 上给定一个映射[])(~| 1,0:~x A x X A →→称A为X 上的模糊子集，)(~x A 称为隶属函数（或对于x A的隶属度） 与普通集合对比就是将特征函数取值范围由{}]1,0[1,0→记。
{}()|F X A A X =是上的模糊子集例2.2 设为人的年龄，Zadeh 给出“年老”[0, 100]X =O ~，“年轻”Y ~两个模糊子集，隶属函为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+≤≤=−−100 50 ,5501500 ,0)(~12x x x x O 97.0)80(~8.0)60(~==O O⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+≤≤=−10025 ,5251250 ,1)(~12x x x x Y 图2-1 年老、年轻模糊集合隶属函数例2.3 考虑五个人构成的论域：{}54321,,,,x x x x x X =1x ， ， ， ，2x 3x 4x 5x 体温：39.8, 39.3, 38.5, 37.5, 36.5“发高烧的人”=A ~11→x9.02→x5.03→x 1.04→x05→x（2）模糊集合的表示法① Zadeh 表示法论域{}12,,,n X x x x = 或{} ,,,21n x x x X =∑==++=n i i i n n x x A x x A x x A A 111)(~)(~)(~~或∑∞==+++=111)(~)(~)(~~i i i n n x x A x x A x x A A或写成：∫=Xxx A A )(~~② 序偶表示法{}),),(~(),),(~(~11n n x x A x x A A =③ 模糊向量表示法))(~),(~(~1n x A x A A =X 中第个元素k k x 的隶属度k k a x A =)(~作为模糊向量A 的第个分量。