直接开平方法解一元二次方程数学初中教育
用直接开平方法解一元二次方程教学设计
（2）（2x+3）2+3=0
（3）4x2－4x+1=0
（4）9（x－1）2－4=0
教师最好书写一个完整的解题过程，给学生以示范作用．在直接开平方时注意符号，这答给以总结．
在活动中教师应当重点关注：
（1）学生能否独立完成；
（2）学生中存在的问题，
用直接开平方法解一元二次方程
一、教学任务分析
教
学
目
标
知识技能
（1）会用开平方法解形如 的一元二次方程．
（2）能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理，并对其进行取舍．
数学思考
通过利用配方法将一元二次方程变形的过程，体会“等价转化”的数学思想方法。
解决问题
能利用方程解决实际问题，并增强学生的数学应用意识和能力。
学生尝试独立完成,教师参与指导．
教师应重点关注：
（1）学生所列方程的正确性；
（2）学生能否有意识地去使用开平方的方式求解．
（3）学生对结果的选择是否恰当．
这里要强调方程的特点．
教学时要引导学生一起分析式子，指出式子的特点：一边是未知数的平方，另一边是常数的方程．
老师点评：
1、同学们在交流中体会利用平方根的意义来解一元二次方程的方法．
课本36页练习．
课本45页习题2、3．
学生自己总结，教师完善．
教师关注不同层次学生对本节问题的理解、掌握程度．
学生独立完成，教师批改．
教师重点关注：
学生作业中存在的问题，要有针对性进行分析．
学生通过小结，巩固本节知识，养成反思习惯．
教师了解教学效果，及时调整教学．
（3）学生的交流中是否有理论的支撑，对方法理解的是否深刻．
21.2 解一元二次方程(直接开平方法)(教学设计)
章节名称21.2 解一元二次方程（直接开平方法）编号课型新授课备课人上课时间年月日教学目标知识与技能：1)利用开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程。
2)利用开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程。
过程与方法:回顾平方根的知识，通过对实际生活中的问题列出一元二次方程，通过整理并求解的过程，让学生初步掌握利用直接开平方解一元二次方程（形如：x2＝p(p≥0）的方法，再通过数学转换的方法，将一个一元二次方程（形如：(mx＋n)2＝p(p≥0)）“降次”为两个一元一次方程，这样就可以通过解一元一次方程来求一元二次方程的解。
情感态度与价值观：1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识。
教学重点运用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程。
教学难点通过平方根的意义解形如x2＝p(p≥0)的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(mx＋n)2＝p(p ≥0)的一元二次方程。
板书设计21.2 解一元一次方程（直接开平方法）一般地，对于方程x2＝p，1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根p2xpx1-==，；2)当p＝0时，根据平方根的意义，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2≥0，所以方程无实数根。
教学过程教学环节教生活动设计意图导入新课【课前回顾】师：求下列各数的平方根 1）169 2）8125生：1）±135[多媒体展示][课前回顾]对于方程x2=p，1）当p= 4时，求方程的解？2）当p= 0时, 求方程的解？3）当p=-4时, 方程有解吗?为什么?师：尝试求解方程？生：1）x1=2, x2=﹣22）x1=x2=03）无解，当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2≥0，所以方程无解【情景导入】[多媒体展示][情景引入]一桶油漆可刷的面积为1500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗?师：列出方程，观察方程的样式，解方程求出棱长？生：设正方体的棱长为 x dm，则一个正方体的表面积为 6x2 dm2，则列出方程为：10×6x2=1500 ，化简整理，得x2=25，据平方根的意义，得x=±5,即x1=5, x2=﹣5。
直接开平方法解一元二次方程教案
直接开平方法解一元二次方程教案教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程"降次"，转化为两个一元一次方程．教学目标理解一元二次方程"降次"──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．重难点关键1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n （n≥0）的方程．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s•的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，•P、Q都从B 点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？老师点评：问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（）2 ．问题2：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2则PB=x，BQ=2x依题意，得：x·2x=8x2=8根据平方根的意义，得x=±2即x1=2，x2=-2可以验证，2和-2都是方程x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．所以2秒后△PBQ的面积等于8cm2．二、探索新知上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±2，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±2即2t+1=2，2t+1=-2方程的两根为t1=-，t2=--例1：解方程：x2+4x+4=1分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．解：由已知，得：（x+2）2=1直接开平方，得：x+2=±1即x+2=1，x+2=-1所以，方程的两根x1=-1，x2=-3例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10（1+x）2=14.4（1+x）2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%．（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程"降次"，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为"降次转化思想"．三、巩固练习教材P36 练习．四、应用拓展例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，•那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31把（1+x）当成一个数，配方得：（1+x+）2=2.56，即（x+）2=2．56x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6方程的根为x1=10%，x2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．五、归纳小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p （p≥0），那么mx+n=±，达到降次转化之目的．六、布置作业教材P45 复习巩固1、2．。
一元二次方程的解法(一)直接开平方法(课件)数学九年级上册(人教版)
∴x1=6,x2=4.
（4）8x2-8x+2=-6
解： 4x2-4x+1=-3，
(2x-1)2=-3，
∵ (2x-1)2≥0，
∴ (2x-1)2≠-3，
∴此方程无实数根.
15.已知关于x的方程(x＋1)2=k2+3的一个根是x=2，求k的值及另
一个根.
解:把x=2代入原方程得k2+3=9，
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点）
2.运用开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p (p≥0)的方程.(重点）
1.什么是平方根？一个数的平方根怎样表示？
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
a(a≥0)的平方根记作：± .
x2＝a(a≥0)，则根据平方根的定义知，x＝± .
C.当n≥0时，有两个解=± −
D.当n≤0时，无实数解
B
)
2=1则x=_________.
±8
-1或-3
7.若x2=64，则x=______;若(x+2)
m≥1
8.若关于x的方程2(x-1)2=m-1有实数根，则m的取值范围是_______.
2−4
9.当x=_____时，分式
值为零.
−2
∴k2=6.解得k=± 6.
把k2=6代入原方程，得(x+1)2=9,可解得方程的另一个根为x=—4.
A.10cm
B）
B.5cm
C.±10cm
5.下列方程可以用直接开方法求解的有(
①(x-1)2-1=O
A.①和②
②x2-2=0
B.①和③
D.±5cm
4初中数学“一元二次方程直接开平方法”知识点全解析
初中数学“一元二次方程直接开平方法”知识点全解析一、引言一元二次方程是初中数学中的重要内容，而直接开平方法是解决这类方程的一种常用方法。
本文将详细解析一元二次方程直接开平方法的概念、步骤和应用，帮助同学们更好地掌握这一知识点。
二、直接开平方法的概念直接开平方法是指将一元二次方程通过变形，使其左边成为一个完全平方的形式，然后通过开平方得到方程的解。
这种方法适用于一些特殊形式的一元二次方程，如x²=a（a≥0）或(x-b)²=c（c≥0）等。
三、直接开平方法的步骤1.移项：将方程中的常数项移到等号的右边，使等号左边只留下一个含未知数的二次项。
2.配方：将等号左边的二次项配方成完全平方的形式。
这通常涉及到加上或减去一个常数，使左边成为一个完全平方。
3.开平方：对配方后的完全平方进行开平方运算，得到两个可能的解。
4.求解：根据开平方的结果，求出方程的解。
注意考虑解的范围和实际情况。
四、直接开平方法的应用举例1.例1：解方程x²-4=0。
2.1.移项：x²=4。
2.开平方：x=±√4，即x=±2。
3.解得：x₁=2，x₁=-2。
3.例2：解方程(x-3)²=16。
4.1.开平方：x-3=±√16，即x-3=±4。
2.解得：x₁=7，x₁=-1。
5.例3：解方程2(x-1)²-8=0。
6.1.移项：2(x-1)²=8。
2.配方：(x-1)²=4。
3.开平方：x-1=±√4，即x-1=±2。
4.解得：x₁=3，x₁=-1。
五、注意事项与误区警示1.适用范围：直接开平方法只适用于部分特殊形式的一元二次方程，对于一般形式的一元二次方程可能无法直接应用。
在使用直接开平方法之前，应先判断方程是否适用该方法。
2.开平方的根：在开平方时，需要考虑正负根的情况。
如果忽略了负根，可能会漏掉方程的解。
人教版初三数学：一元二次方程及其解法(一)直接开平方法—知识讲解(基础)
一元二次方程及其解法（一）直接开平方法—知识讲解（基础）【学习目标】1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.要点二、一元二次方程的解法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定1．判定下列方程是不是一元二次方程:(1)；(2)．【思路点拨】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程．(2)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程．【总结升华】不满足（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.的方程都不是一元二次方程，缺一不可.举一反三：【高清ID 号：388447关联的位置名称（播放点名称）：一元二次方程的概念-例1】 【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程． ①21x x ++；②2960x x -=；③2102y =；④215402x x -+=； ⑤ 2230x xy y +-=；⑥ 232y =；⑦ 2(1)(1)x x x +-=． 【答案】②③⑥.【解析】①21x x ++不是方程；④215402x x -+=不是整式方程；⑤ 2230x xy y +-=含有2个未知数，不是一元方程；⑦ 2(1)(1)x x x +-=化简后没有二次项，不是2次方程. ②③⑥符合一元二次方程的定义．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数： (1)-3x 2-4x+2=0； (2)．【答案与解析】(1)两边都乘-1，就得到方程 3x 2+4x-2=0．各项的系数分别是： a=3，b=4，c=-2． (2)两边同乘-12，得到整数系数方程6x 2-20x+9=0． 各项的系数分别是：．【总结升华】一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中c=-2不能写为c=2， (2)题中不能写为． 举一反三：【高清ID 号：388447关联的位置名称（播放点名称）：一元二次方程的形式-例3】【变式】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项： （1）2352x x =-； （2）(1)(1)2a x x x +-=-．【答案】（1）235+2=0x x -，二次项系数是3、一次项系数是-5、常数项是2.（2）(1)(1)2a x x x +-=-化为220,ax x a +--=二次项系数是a 、一次项系数是1、常数项是-a-2.类型三、一元二次方程的解（根）3. 如果关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分别是( ) A．-3，2 B．3，-2 C．2，-3 D．2，3【答案】A；【解析】∵ x＝2是方程x2+px+q＝0的根，∴ 22+2p+q＝0，即2p+q＝-4 ①同理，12+p+q＝0，即p+q＝-1 ②联立①，②得24,1,p qp q+=-⎧⎨+=-⎩解之得：3,2.pq=-⎧⎨=⎩【总结升华】由方程根的定义得到关于系数的方程(组)，从而求出系数的方法称为待定系数法，是常用的数学解题方法．即分别用2，1代替方程中未知数x的值，得到两个关于p、q的方程，解方程组可求p、q的值．类型四、用直接开平方法解一元二次方程4.（2016春•仙游县月考）求下列x的值（1）x2﹣25=0（2）（x+5）2=16．【思路点拨】（1）移项后利用直接开方法即可解决．（2）利用直接开方法解决．【答案与解析】解：（1）∵x2﹣25=0，∴x2=25，∴x=±5．（2）∵（x+5）2=16，∴x+5=±4，∴x=﹣1或﹣9．【总结升华】应当注意，形如=k或（nx+m）2=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．举一反三：【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根：(1)x2=361；(2)2y2-72=0；(3)5a2-1=0；(4)-8m2+36=0．【答案】(1)∵ x2=361，∴ x=19或x=-19．(2)∵2y2-72=0，2y2=72，y2=36，∴ y=6或y=-6．(3)∵5a2-1=0，5a2=1，a2=，∴a=或a=-．(4)∵-8m2+36=0，-8m2=-36，m2=，∴m=或m=-．【变式2】解下列方程：(1)（2015 •东西湖区校级模拟）(2x+3)2-25=0；(2)（2014秋•滨州校级期末）（1﹣2x）2=x2﹣6x+9. 【答案】解：(1)∵ (2x+3)2=25，∴ 2x+3=5或2x+3=-5．∴x1=1，x2=-4．(2)∵（1﹣2x）2=x2﹣6x+9，∴（1﹣2x）2=（x﹣3）2，∴1﹣2x=±（x﹣3），∴1﹣2x=x﹣3或1﹣2x=﹣（x﹣3），∴x1=43，x2=﹣2．附录资料：弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解（基础）【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；3. 能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n°的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.要点三、圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则圆锥的侧面积2360lS rlππ=扇n=，圆锥的全面积.要点诠释：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1．如图（1），AB 切⊙O 于点B ，OA=23，AB=3，弦BC∥OA，则劣弧BC 的弧长为（ ）． A ．33π B ．32πC ．πD ．32π图（1） 【答案】A.【解析】连结OB 、OC ，如图（2）则0OBA ∠︒＝9，OB=3，0A ∠︒＝3，0AOB ∠︒＝6， 由弦BC ∥OA 得60OBC AOB ∠∠=︒＝， 所以△OBC 为等边三角形，0BOC ∠︒＝6. 则劣弧BC 的弧长为6033=1803ππ，故选A. 图（2） 【总结升华】主要考查弧长公式：.举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)【答案】R=40mm ，n=110CBAO∴的长==≈76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm ．【高清ID 号：359387 高清课程名称： 弧长 扇形 圆柱 圆锥 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】2．如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）【答案与解析】∵弦AB 和半径OC 互相平分，∴OC ⊥AB ，OM=MC=OC=OA ．∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=120° ∴S 扇形=．【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式.举一反三：【高清ID 号：359387 高清课程名称：弧长 扇形 圆柱 圆锥 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】 【变式】如图（1），在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（ ）．A ．449-π B ．849-πC ．489-πD ．889-π图（1）【答案】连结AD ，则AD ⊥BC ，A EB F P△ABC的面积是：BC•AD=×4×2=4，∠A=2∠EPF=80°．则扇形EAF的面积是：2 8028=. 3609ππ⨯故阴影部分的面积=△ABC的面积-扇形EAF的面积=84-9π．图（2）故选B．类型二、圆锥面积的计算3．（2014秋•广东期末）如图，一个圆锥的高为cm，侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥的底面半径r与母线R之比；（2）圆锥的全面积．【思路点拨】（1）设出圆锥的底面半径及圆锥的母线长，利用底面周长等于圆锥的弧长得到圆锥的母线与底面的半径之比即可；（2）首先求得圆锥的底面半径和圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积的计算方法求得其侧面积即可．【答案与解析】解：（1）由题意可知∴，R=2r（3分）r：R=r：2r=1：2；（2）在Rt△AOC中，∵R2=r2+h2∴，4r2=r2+27r2=9，r=±3∵r＞0∴r=3，R=6.∴S侧=πRr=18π（cm2）（cm2）∴S全=S侧+S底=18π+9π=27π（cm2）．【总结升华】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记有关的公式．类型三、组合图形面积的计算4．（2015•槐荫区三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，CD=2，求图中阴影部分的面积．【答案与解析】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=．∵∠CDB=30°，∴∠COE=60°，在Rt△OEC中，OC==2，∵CE=DE，∠COE=∠DBE=60°∴Rt△COE≌Rt△DBE，∴S阴影=S扇形OBC=π×OC2=π×4=π．【总结升华】本题考查了垂径定理，扇形的面积等，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积．。
一元二次方程的解法(直接开平方法)
一元二次方程的解法(直接开平方法)研究目标：1、理解直接开平方法的定义和基本思想；2、掌握用直接开平方法解一元二次方程的技巧；3、了解哪些形如（含有未知数）2＝非负数的方程可以用直接开平方法解。
教学过程：一、检查预1、解方程：x²-36=0二、复练1、将下列方程化为一般形式，并列出各项及系数：1）5=4x-x²2）5=3x²3）y²-(y+1)=(y+2)(y-2)²2、要求学生复述平方根的意义：1）用文字语言表示：如果一个数的平方等于a，这个数叫a的平方根。
2）用式子表示：若x²=a，则x叫做a的平方根。
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
3）4的平方根是2，81的平方根是9，100的算术平方根是10.三、新课讲解例1：解下列方程（1）x²=4；（2）x²-1=0；处理：1、让学生尝试解，然后总结方法。
2、形如x²=a(a≥0)，x=±√a练：解下列方程1）x²-9=0；（2）x²-2=0；例2、解方程16x²-25=0练：解下列方程：1）12y²-25=0；（2）4x²-16=0；例3、解方程(x+1)²=144练：解方程4(x+2)²-25=0四、巩固练1、请挑选一下列一元二次方程，哪些更适宜用直接开平方法来解？⑴x²=3⑵3t²-t=0⑶3y²=27⑷(y-1)²-4=0⑸(2x+3)²=6⑹x²+x-9=0⑺x²=36x⑻x²+2x+1=02、解下列方程1）2x²-8=0；（2）9x²-5=3；3）(x+6)²-9=0；（4）3(x-1)²-6=0；五、小结直接开平方法解一元二次方程的关键是要化成什么形式？（学生畅所欲言）六、小测解下列方程1）9x²=16；（2）2x²-12=0；3）(x+2)²-36=0；（4）(3x-1)²=3；七、作业1、预配方法：尝试解方程y²-4y+2=0；2、完成研究辅导P17-P18.。
一元二次方程的解法(直接开平方法、配方法3种题型)-2023年新九年级数学精品课(苏科版)(解析版)
一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法3种题型）1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.2.运用开平方法解形如x 2=p 或（x+n) 2=p (p≥0)的方程.3.理解配方的基本过程，会运用配方法解一元二次方程.4.经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，体会转化的数学思想.知识点1：直接开平方法形如x 2＝p 或（nx +m ）2＝p （p ≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x 2＝p 的形式，那么可得x ＝±；如果方程能化成（nx +m ）2＝p （p ≥0）的形式，那么nx +m ＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．知识点2：配方法（1）将一元二次方程配成（x +m ）2＝n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±． 知识点3：配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常题型1：用直接开平方法解一元二次方程例1．（2022秋•江都区校级期末）方程x 2＝4的解是（ ）A ．x 1＝x 2＝2B ．x 1＝x 2＝﹣2C ．x 1＝2，x 2＝﹣2D ．x 1＝4，x 2＝﹣4【分析】根据直接开平方解方程即可．【解答】解：直接开平方得：x ＝±2，∴方程的解为：x1＝2，x2＝﹣2，故选：C ．【点评】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，特别注意：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．例2．（2022秋•江都区期中）解方程：（1）4x 2＝49； （2）（2x ﹣1）2﹣25＝0．【分析】（1）首先将方程整理为x 2＝，再利用平方根的意义直接开方求解即可；（2）首先将方程整理为（2x ﹣1）2＝25的形式，再利用平方根的意义直接开方求解即可．【解答】解：（1）4x 2＝49，x 2＝， ∴，∴x 1＝，x 2＝﹣；（2）（2x ﹣1）2﹣25＝0，（2x ﹣1）2＝25，∴2x ﹣1＝±5，∴x 1＝3，x 2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2＝a （a ≥0）；ax 2＝b （a ，b 同号且a ≠0）；（x +a ）2＝b （b ≥0）；a （x +b ）2＝c （a ，c 同号且a ≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． 例3.解关于x 的方程：251250x −=．【答案】15x =，25x =−．【解析】整理方程，即得225x =，直接开平方法解方程，得：x = 即方程两根为15x =，25x =−．【总结】直接开平方法解形如()20x a a =≥方程两根即为x =例4.解关于x 的方程：290x =． 【答案】153x =，253x =−．【解析】整理方程，即得2259x ==，直接开平方法解方程，得：x =， 即方程两根为153x =，253x =−．【总结】直接开平方法解形如()20x a a =≥方程两根即为x =例5.解关于x )225x −=【答案】14x =，21x =．【解析】整理方程，即得()2259x −==，直接开平方法解方程，得：253x −==±， 得253x −=或253x −=−，即方程两根为14x =，21x =．【总结】直接开平方法解形如()()20ax b h h +=≥的方程，将()ax b +当作一个整体，可得ax b +=或ax b +=例6.解关于x 的方程：()()222332x x +=+．【答案】11x =，21x =−．【解析】直接开平方法解方程，即得()2332x x +=±+，得2332x x +=+或()2332x x +=−+， 即得方程两根为11x =，21x =−．【总结】直接开平方法解形如()()221122a x b a x b +=+的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得1122a x b a x b +=+或()1122a x b a x b +=−+．例7.解关于x 的方程： ()()22425931x x −=−． 【答案】1135x =，2713x =−． 【解析】整理方程，即为()()22225331x x −=−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，直接开平方法解方程，即得()()225331x x +=±−，得()()225331x x +=−或()()225331x x +=−−，解得方程两根 分为1135x =，2713x =−． 【总结】直接开平方法解形如()()221122a x b a x b +=+的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得1122a x b a x b +=+或()1122a x b a x b +=−+．例8.解关于x 的方程：()2222x a a ab b −=++．【答案】12x a b =+，2x b =−．【解析】整理方程，即为()()22x a a b −=+，直接开平方法解方程，即得()x a a b −=±+， 得：x a a b −=+或()x a a b −=−+，解得方程两根分为12x a b =+，2x b =−．【总结】直接开平方法解形如()22ax b c +=的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得ax b c +=±． 题型2：用配方法解一元二次方程例9．（2022秋•秦淮区期末）解方程：x 2﹣6x +4＝0（用配方法）【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：由原方程移项，得x 2﹣6x ＝﹣4，等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得x 2﹣6x +9＝﹣4+9，即（x ﹣3）2＝5，∴x ＝±+3， ∴x 1＝+3，x 2＝﹣+3．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．例10.用配方法解方程：22330x x −−=．【答案与解析】解：∵22330x x −−=， ∴233022x x −−= ∴23993216162x x −+=+， ∴2333416x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭∴12x x ==． 【总结升华】原方程的二次项系数不为1，必须先化成1，才能配方．配方时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，配成()()20x m n n +=≥的形式，然后用直接开平方法求解即可．例11.用配方法解方程：220130y −−=．【答案】145y =，245y =．【解析】由220130y −−=，得2122025y −+=，即2(2025y −=，所以45y −=±， 所以原方程的解为：145y =，245y =−． 【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．例12.用配方法解方程：225200x x −−+=．【答案】154x =−+，254x =−． 【解析】由225200x x −−+=，得225200x x +−=，即251002x x +−=，配方，得：2525251021616x x ++=+，即25185()416x +=，解得：54x =−±所以原方程的解为：154x =−+，254x =−． 【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方． 例13.用配方法解方程：210.30.2030x x −+=． 【答案】1213x x ==． 【解析】由210.30.2030x x −+=，得213203x x −+=，即221039x x −+=， 所以21()03x −=，所以原方程的解为：1213x x ==．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方． 题型3：配方法的应用例14．（2023春•梁溪区校级期中）在求解代数式2a 2﹣12a +22的最值（最大值或最小值）时，老师给出以下解法：解：原式＝2（a 2﹣6a ）+22＝2（a 2﹣6a +9）﹣18+22＝2（a ﹣3）2+4，∵无论a 取何值，2（a ﹣3）2≥0，∴代数式2（a ﹣3）2+4≥4，即当a ＝3时，代数式2a 2﹣12a +22有最小值为4．仿照上述思路，则代数式﹣3a 2+6a ﹣8的最值为（ ）A ．最大值﹣5B ．最小值﹣8C ．最大值﹣11D ．最小值﹣5【分析】根据题意把代数式﹣3a 2+6a ﹣8配成﹣3（a ﹣1）2﹣5的形式，再利用偶次方的非负性即可得出最值．【解答】解：由题意可得：原式＝﹣3（a2﹣2a）﹣8＝﹣3（a2﹣2a+1）+3﹣8＝﹣3（a﹣1）2﹣5，∵无论a取何值，3（a﹣1）2≥0，即﹣3（a﹣1）2≤0，∴代数式﹣3（a﹣1）2﹣5≤﹣5，即当a＝1时，代数式﹣3a2+6a﹣8有最大值﹣5，故选：A．【点评】本题主要是考查了配方法的应用以及偶次方的非负性，解题关键是把代数式配成﹣3（a﹣1）2﹣5的形式．例15．（2023春•吴江区期中）我们可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，例如x2+4x﹣5＝x2+4x+22﹣22﹣5＝（x+2）2﹣9，我们把这样的变形叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法．已知关于a，b的代数式满足a2+b2+2a﹣4b+5＝0，请你利用配方法求a+b的值．【分析】已知等式变形后，利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出即可．【解答】解：已知等式变形得：（a2+2a+1）+（b2﹣4b+4）＝0，即（a+1）2+（b﹣2）2＝0，∵（a+1）2≥0，（b﹣2）2≥0，∴a+1＝0，b﹣2＝0，解得：a＝﹣1，b＝2，则a+b＝﹣1+2＝1．【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．例16．（2023春•吴中区期中）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴m﹣n＝0，n﹣4＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+4xy+5y2+6y+9＝0，求x﹣y的值．（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求边c的值．【分析】（1）根据x2+4xy+5y2+6y+9＝0，应用因式分解的方法，判断出（x+2y）2+（y+3）2＝0，求出x、y的值，代入x﹣y计算即可；（2）根据a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，应用因式分解的方法，判断出（a﹣2）2+2（b﹣41）2＝0，求出a、b 的值，然后根据三角形的三条边的关系，求出c的值即可．【解答】解：（1）∵x 2+4xy +5y 2+6y +9＝0，∴（x 2+4xy +4y 2）+（y 2+6y +9）＝0，∴（x +2y ）2+（y +3）2＝0，∴x +2y ＝0，y +3＝0，∴x ＝6，y ＝﹣3，∴x ﹣y ＝6﹣（﹣3）＝9．（2）∵a 2﹣4a +2b 2﹣4b +6＝0，∴（a 2﹣4a +4）+（2b 2﹣4b +2）＝0，∴（a ﹣2）2+2（b ﹣1）2＝0，∴a ﹣2＝0，b ﹣1＝0，∴a ＝2，b ＝1，∵2﹣1＜c ＜2+1，∴1＜c ＜3，∵c 为正整数，∴c ＝2．【点评】本题考查配方法的应用，以及三角形三条边的关系，解答本题的关键是明确配方法、会用配方法解答问题．例17.已知△ABC 的一边长为4，另外两边长是关于x 的方程22320x kx k −+=的两根，当k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？【答案】2k =．【解析】由22320x kx k −+=，得(2)()0x k x k −−=，所以x k =或者2x k =．当2k =时，2x =和4x =，满足三角形三边关系，当4k =时，4x =和8x =，不满足三角形三边关系． 所以2k =时，△ABC 是等腰三角形【总结】先配方然后用分类讨论的方法解决问题．一、单选题【答案】D【分析】根据直接开方法求解即可．【详解】解：290x -=， 29x =直接开方得：13x =，23x =−，故选：D ．【点睛】题目主要考查利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握此方法是解题关键．2．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）一元二次方程2680x x −−=，经过配方可变形为（ ） A ．2(3)17x −=B ．2(3)1x −=C ．2(3)17x +=D ．2(6)44x −=【答案】A【详解】解：方程移项得：268x x −=， 配方得：26989x x −+=+，即2(3)17x −=．故选：A ．【点睛】此题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）已知实数a b ，满足21a b +=，则代数式22241a b a +−−的最小值等于（ ）A ．1B ．4−C ．8−D ．无法确定【答案】C【分析】由已知得21b a =−，代入代数式即得22241a b a +−−变形为()22141a a a +−−−，再配方，即可求解．【详解】解：∵21a b +=，∴21b a =−，代入代数式即得22241a b a +−−，得()22141a a a +−−−，261a a =−+， ()238a =−−，∵()230a −≥，∴()2388a −−≥−， ∴22241ab a +−−的最小值等于8−，故选：C【点睛】本题考查配方法的应用，通过变形将代数式化成()238a −−是解题的关键． 4．（2023·江苏苏州·一模）已知关于x 的一元二次方程()20m x h k −−=（m ，h ，k 均为常数且0m ≠）的解是12x =，25x =，则关于x 的一元二次方程()21m x h k −+=的解是（ ）A ．12x =−，25x =−B ．14x =−，21x =−C ．11x =，24x =D ．13x =−，26x =− 【答案】C【分析】把()21m x h k −+=看作关于(1)x +的一元二次方程，则12x +=或15x +=，然后解两个一次方程即可．【详解】解：方程2()0(m x h k m −−=、h ，k 均为常数且0)m ≠的解是12x =，25x =， ∴对于关于(1)x +的一元二次方程()21m x h k −+=的解，即12x +=或15x +=，即11x =，24x =，∴关于x 的一元二次方程2(3)m x h k −+=的解是11x =，24x =．故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程−直接开平方法：形如2x p =或2()(0)nx m p p +=≥的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．【答案】A【分析】勾股定理可得：()2222OP x x =++ ，再利用配方法求解2OP 的最小值，再求解OP 的最小值，从而可得答案．【详解】由勾股定理可得： ()()222222244212OP x x x x x =++=++=++当1x =−时， 2OP 有最小值2∴OP 的最小值为 1>所以A 不符合题意，B ，C ，D 都有可能，符合题意故选A【点睛】本题考查的是配方法的应用，利用平方根解方程，掌握“配方法的应用”是解本题的关键．【答案】D【分析】将方程常数项移到等号右边，两边加上一次项系数一半的平方，再利用完全平方公式变形即可得到结果【详解】解：方程整理得：285x x −=−，配方得：281611x x −+=，即2411x −=（）． 故选：D ．【点睛】此题考查了用配方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握完全平方公式．二、填空题7．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期末）一元二次方程2430x x −+=配方为()22x k −=，则k 的值是______．【答案】１【分析】将原方程2430x x −+=变形成与()22x k −=相同的形式，即可求解．【详解】解：2430x x −+=243101x x −++=+2441x x −+=()221x −=∴1k =故答案为：1．【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键． 8．（2022秋·江苏南京·九年级南京市科利华中学校考期中）用配方法解方程21070x x +−=，方程可变形为()2x m n +=，则m =_________，n =__________．【答案】 5 34【分析】利用配方法解答，即可求解．【详解】解：21070x x +−=，∴2107x x +=，∴2102534x x ++=，即()2534x +=，∴5m =，34n =．故答案为：5，34【点睛】本题主要考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握利用配方法解一元二次方程的方法是解题的关键． 9．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）新定义，若关于x 的一元二次方程：2()0m x a b −+=与2()0n x a b −+=，称为“同类方程”．如22(1)30x −+=与26(1)30x −+=是“同类方程”．现有关于x 的一元二次方程：22(1)10x −+=与2(6)(8)60a x b x +−++=是“同类方程”．那么代数式22022ax bx ++能取的最大值是_________．【答案】2023【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a ，b 的值，从而解得代数式的最大值．【详解】∵22(1)10x −+=与2(6)(8)60a x b x +−++=是“同类方程”，∴22(6)(8)6(6)(1)1a x b x a x +−++=+−+，∴22(6)(8)6(6)(6)72a x b x a x a x a +−++=++−++， ∴()82667b a a ⎧+=+⎨=+⎩，解得：12a b =−⎧⎨=⎩，∴22022ax bx ++222022x x =−++()212023x =−−+∴当1x =时，22022ax bx ++取得最大值为2023．故答案为：2023．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组，理解“同类方程”的定义是解答本题的关键． 10．（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）已知实数x 、y 、z 满足224422018x x y y xy z −++−+=，则实数z 的最大值为 __．【答案】2022【分析】仔细观察等式左侧，先将多项式进行分组，再利用配方法化简其形式，最后根据平方的非负性确定z 的最大值.【详解】解：224422018x x y y xy z −++−+=，222442018x xy y x y z ∴−+−++=，2()4()2018x y x y z ∴−−−+=，2()4()442018x y x y z −−−+−+=，2(2)42018x y z −−+−=，2(2)0x y −−…，∴当2(2)0x y −−=时，4z −的值最大，42018z ∴−=，2022z ∴=，∴实数z 的最大值为2022，故答案为：2022．【点睛】本题考查了配方法与平方的非负性，能够识别多种情况下的配方条件，正确的配方是解题关键.三、解答题 11．（2023·江苏常州·统考一模）解方程：(1)2(1)40x +-=；(2)2260x x −−=．【答案】(1)121,3x x ==(2)1211x x ==【分析】（1）直接开方法解方程即可．（2）配方法即解方程即可．【详解】（1）2(1)40x +-= 2(1)4x +=12x +=±121,3x x ∴==（2）2260x x −−=22161x x −+=+()217x −=1x −=1211x x ∴==【点睛】此题考查一元二次方程的解法，有直接开方法，配方法，因式分解法，公式法等，解题关键是根据方程的特点挑选合适的解法．12．（2023秋·江苏宿迁·九年级统考期末）解方程：210110x x +-=．【答案】11x =，211x =−【分析】利用配方法解方程即可．【详解】解：210110x x +-=21011x x +=，210251125x x ++=+，()2536x +=，56x +=±，11x =，211x =−【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程，熟悉相关性质是解题的关键． 13．（2023秋·江苏无锡·九年级校联考期末）解方程：(1)()21250x −−=；(2)2410x x −−=．【答案】(1)16x =，24x =−(2)12x =12x =【分析】(1)利用直接开平方法解此方程，即可求解；(2)利用配方法解此方程，即可求解． 【详解】（1）解：由原方程得：()2125x −= 得15x −=±，解得16x =，24x =−，所以，原方程的解为16x =，24x =−；（2）解：由原方程得：241x x −=，得24414x x −+=+，()225x −=，得2x −=12x =12x =所以，原方程的解为12x =12x =【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．，AOB 、COD 的面积分别为【答案】（1）①0x ≠；②一、三；③当0x <时，x x +的最大值为2−；（2）最小值为11；（3）25【分析】（1）①根据分母不为0即可求解；②根据当0x >时，0y >；当0x <时，0y <即可判断；③模仿求解过程，利用配方法即可求解；（2）将2316x x y x ++=的分子分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设BOC S x =△，已知4AOB S =△，9COD S =△，则由等高三角形可知：::BOC COD AOB AOD S S S S =△△△△，用含x 的式子表示出AOD S ，四边形ABCD 的面积用含x 的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】解：（1）①函数1y x x =+的自变量x 的取值范围为：0x ≠；②容易发现，当0x >时，0y >；当0x <时，0y <．由此可见，图像在第一、三象限；③当0x >时，112x x x x +≥=； 当0x <时，11()x x x x +=−−−12x x −−≥=1()2x x ∴−−−≤−∴当0x >时，1x x +的最小值为2；当0x <时，1x x +的最大值为2−．故答案为：①0x ≠；②一、三；③当0x <时，1x x +的最大值为2−；（2）由2316163x x y x x x ++==++， 0x >，∴163311y x x =++≥=， 当16x x =时，最小值为11．（3）设BOC S x =△，已知4AOB S =△，9COD S =△则由等高三角形可知：::BOC AOB AOD S S S S =△△△△ :94:AOD x S ∴=36:AOD S x ∴=∴四边形ABCD 面积36491325x x =+++≥+=当且仅当6x =时取等号，即四边形ABCD 面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大，属于中档题．一、单选题 1．（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）把方程2430x x +−＝化为2x m n =+（）的形式后，m 的值是（ ） A ．2B ．﹣2C ．﹣1D ．1【答案】B 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【详解】解：∵2430x x +−＝，∴243x x −＝-，则24434x x ++−＝-，即221x −（）＝， ∴2m =﹣，n ＝1，故B 正确． 故选：B ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握一元二次方程配方法，是解题的关键． 【分析】利用配方法将29x mx −+进行配方，即可得出答案.． 【详解】解：原式22924m m x ⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭， 当x-2m =0，即x=2m 时，原式取得最小值9-24m =8，整理得：24m =， 解得：m=±2，则m 的值可能为2，故选：B ．【点睛】本题考查了配方法的运用，掌握配方法是解题的关键．3．（2022秋·江苏苏州·九年级星海实验中学校考阶段练习）若226A x xy +＝﹣，2411B y x +＝﹣﹣，则A 、B 的大小关系为（ ）A ．A ＞BB ．A ＜BC ．A ≥BD ．A ＝B 【答案】A【分析】利用做差法求出A B −=()()22131x y −+−+，然后利用偶数次幂的非负性即可得出()()2213110x y −+−+≥＞，即可得出0A B −＞，从而得出正确选项． 【详解】解：()2226411A B x x y y x −+−−+−＝﹣ 2222264112611x x y y x x x y y =+−+−+=−+−+()()()()222221691131x x y y x y =−++−++=−+−+∵()210x −≥，()230y −≥，∴()()2213110x y −+−+≥＞， ∴0A B −＞，即A B ＞，故选：A ．【点睛】本题考查了配方法的应用，考查了通过做差法判断式子的大小，熟练掌握配方法是本题的关键所在．二、填空题【答案】2k ≤【分析】根据配方法可进行求解．【详解】解：∵A ＝x2﹣x+（32k −）＝x2﹣x 1144+−+（32k −）＝（x 12−）214−+（32k −）， 若x 取任何实数，A 的值都不是负数，∴14−+（32k −）≥0，解得：112k ≤； 故答案为：112k ≤． 【点睛】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．5．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）方程()219x +=的根是_____．【答案】1224x x ==−，【分析】两边开方，然后解关于x 的一元一次方程．【详解】解：由原方程，得13x +=±．解得122,4x x ==−．故答案是：122,4x x ==−．【点睛】本题考查了解一元二次方程−直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：2(0)x a a =≥；2(ax b a =，b 同号且0)a ≠；2()(0)x a b b +=≥；2()(a x b c a +=，c 同号且0)a ≠．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．6．（2022·江苏·九年级专题练习）已知代数式A ＝3x 2﹣x ＋1，B ＝4x 2＋3x ＋7，则A ____B （填＞，＜或＝）．【答案】<【分析】先求A-B 的差，再将差用配方法变形为A ﹣B ＝﹣（x+2）2﹣2，然后利用非负数性质求解．【详解】解：A ﹣B ＝3x2﹣x+1﹣（4x2+3x+7）＝﹣x2﹣4x ﹣6＝﹣（x+2）2﹣2，∵﹣（x+2）2≤0，∴﹣（x+2）2﹣2<0，∴A ﹣B<0，∴A<B ，故答案为：<．【点睛】本题考查了配方法的综合应用，配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．7．（2022秋·江苏·九年级阶段练习）若实数x ，y 满足条件2x 2﹣6x ＋y 2＝0，则x 2＋y 2＋2x 的最大值是____．【答案】15【分析】先将2x2﹣6x+y2＝0，变形为y2＝﹣2x2+6x ，代入所求代数式并化简为x2+y2+2x ＝﹣（x ﹣4）2+16，利用非负数性质可得x2+y2+2x≤16，再因为y2＝﹣2x2+6x≥0，求得0≤x≤3，即可求解．【详解】解：∵2x2﹣6x+y2＝0，∴y2＝﹣2x2+6x ，∴x2+y2+2x ＝x2﹣2x2+6x+2x ＝﹣x2+8x ＝﹣（x2﹣8x+16）+16＝﹣（x ﹣4）2+16，∵（x ﹣4）2≥0，∴x2+y2+2x≤16，∵y2＝﹣2x2+6x≥0，解得0≤x≤3，当x ＝3时，x2+y2+2x 取得最大值为15，故答案为：15．【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法以及完全平方式的非负性是解决本题的关键． 8．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程成为“差1方程”．例如20x x +=是“差1方程”．若关于x 的方程210ax bx ++=(a ，b 是常数，0a >)是“差1方程”设210t a b =−，t 的最大值为__________．【答案】9【分析】根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出a 与b 的关系式，再由210t a b =−，得t 与a 的关系，从而得出最后结果．【详解】解：由题可得：224140b a b a ∆=−⨯=−≥∴解方程得x =，关于x 的方程210(ax bx a ++=、b 是常数，0)a >是“差1方程”，∴1=，224b a a ∴=+，210t a b =−，226(3)9t a a a ∴=−=−−+，()30a −≥，3a ∴=时，t 的最大值为9．故答案为：9【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义．9．（2022秋·江苏南京·九年级统考阶段练习）已知实数a 、b ，满足1b a −=，则代数式2267a b a +−+的最小值等于______．【答案】5【分析】由题意得1b a =+，代入代数式2267a b a +−+可得2(2)5a −+，故此题的最小值是5． 【详解】1b a −=，1b a ∴=+，2267a b a ∴+−+22(1)67a a a =++−+22267a a a =++−+2445a a =−++2(2)5a =−+，∴代数式2267a b a +−+的最小值等于5，故答案为：5．【点睛】此题考查了代数式的变形及配方法的应用，关键是掌握完全平方公式并正确变形、计算．三、解答题(2)求代数式226410a b a b −−−+−的最大值．【答案】(1)﹣3(2)当a ＝﹣3，b ＝2时，代数式226410a b a b −−−+−的最大值是3【分析】（1）通过配方可求出完全平方形式，根据平方式的非负性可得结果；（2）把226410a b a b −−−+−配方成完全平方的形式可得结果．（1）解：2x ﹣4x+1＝2(44)3x x −+−＝2(2)3x −−， ∵2(2)0x −≥，∴2241(2)33x x x −+=−−≥−，∴当x ＝2时，这个代数式2x ﹣4x+1的最小值为﹣3．故答案为：﹣3；（2）226410a b a b −−−+− ＝﹣2a ﹣6a ﹣9﹣2b +4b ﹣4+3＝﹣2(3)a +﹣2(2)b −+3， ∵2(3)a +≥0，2(2)b −≥0， ∴﹣2(3)a +0≤，﹣2(2)b −0≤， ∴226410a b a b −−−+−＝﹣2(3)a +﹣2(2)b −+33≤， ∴当a ＝﹣3，b ＝2时，代数式226410a b a b −−−+−的最大值是3．【点睛】本题考查了配方法的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式进行解答． 11．（2022秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）王老师提出问题：求代数式245x x ++的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；2(2)x +≥【答案】(1)3(2)7(3)有最大值，最大值为8(4)2【分析】（1）根据偶次方的非负性可求得；（2）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；（3）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；（4）根据27110x x y −+−=，用x 表示出y ，写出x y +，先根据题意用配方法和偶次方的非负性可求．【详解】（1）解：2(1)3x −+的最小值为3．故答案为：3；（2）21032x x ++222105532x x =++−+2(5)7x =++，2(5)0x +≥，2(5)77x ∴++≥，∴当2(5)0x +=时，2(5)7x ++的值最小，最小值为7，21032x x ∴++的最小值为7；（3）22211125(69)8(3)8333x x x x x −++=−−++=−−+，21(3)03x −−≤，21(3)883x ∴−−+≤，∴代数式21253x x −++有最大值，最大值为8；（4）27110x x y −+−=，2711y x x ∴=−+，22222271161163311(3)2x y x x x x x x x x ∴+=−++=−+=−+−+=−+，2(3)0x −≥，2(3)22x ∴−+≥，当2(3)0x −=时，2(3)2x −+的值最小，最小值为2，x y ∴+的最小值为2．【点睛】本题考查了配方法的应用和偶次方为非负数，解题的关键是能够将代数式配成完全平方式的形式．【问题解决】利用配方法解决下列问题：(1)当x =___________时，代数式221x x −−有最小值，最小值为 ___________．(2)当x 取何值时，代数式22812x x ++有最小值？最小值是多少？【拓展提高】(3)当x ，y 何值时，代数式2254625x xy y x −+++取得最小值，最小值为多少？(4)如图所示的第一个长方形边长分别是25a +、32a +，面积为1S ；如图所示的第二个长方形边长分别是5a 、5a +，面积为2S ，试比较1S 与2S 的大小，并说明理由．【答案】(1)1，2− ；(2)2x =−时，4；(3)3x =−，y =−6，16；(4)12S S >，见解析．【分析】（1）仿照文中所给的配方法的思路解答即可；（2）先提取公因数2，再利用文中所给的配方法的思路解答即可；（3）将2254625x xy y x −+++配方成()()222316x y x −+++，即可解答； （4）求出()22212610=691=31S S a a a a a −=−+−++−+，利用()230a −≥，得到1210＞S S −≥，即12S S ＞． 【详解】（1）解： ()22221=2111=12x x x x x −−−+−−−− 因为()210x −≥，所以2221x x −−≥−，因此，当=1x 时，代数式221x x −−有最小值，最小值是2−．故答案为：1；2−（2）解：()()()22222812=246=24442=22x x x x x x x +++++++++， 因为()220x +≥，所以212428x x ++≥，因此，当=2x −时，代数式22812x x ++有最小值，最小值是4．（3）解：()()222222254625=446916=2316x xy y x x xy y x x y x x −+++−++++−++++因为()220x y −≥，()230x +≥，所以225462516x xy y x −+++≥，因此，当2=x y ，3x =−时，即3x =−，y =−6时，代数式2254625x xy y x −+++有最小值，最小值是16．（4）解：()()21253261910S a a a a =++=++，()2255525S a a a a =+=+， ∴()22212610=691=31S S a a a a a −=−+−++−+， ∵()230a −≥，∴1210＞S S −≥，即12S S ＞．【点睛】本题考查配方法，解题的关键是理解题意，掌握配方法的原则．【答案】(1)见解析(2)()6y x −=(3)当3x =−，y =−6时，2254625x xy y x −+++取得最小值，最小值为16【分析】（1）根据配方的定义，分别选取二次项、一次项、常数项中的两项，进行配方即可得出三种形式；（2）首先根据配方法把2246130x y x y ++−+=变形为()()22230x y ++−=，再根据偶次方的非负性，得出20x +=，30y −=，解出x 、y 的值，然后将x 、y 的值代入代数式()y x −，计算即可得出结果；（3）首先根据配方法把代数式2254625x xy y x −+++变形为()()222316x y x −+++，再根据偶次方的非负性，得出()()22231616x y x −+++≥，进而得出当20x y −=，30x +=时，2254625x xy y x −+++取得最小值，再进行计算即可得出结果．【详解】（1）解：第一种形式：选取二次项和一次项配方，249x x −+24449x x =−+−+()225x =−+；第二种形式：选取二次项和常数项配方，249x x −+26964x x x x =++−−()2310x x=+−；或249x x −+ 26964x x x x =−++−()232x x =−+；第三种形式：选取一次项和常数项配方，249x x −+222444999x x x x =−+−+2225339x x ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭；（2）解：2246130x y x y ++−+=，配方，得：22446949130x x y y +++−+−−+=， 即()()22230x y ++−=， ∵()220x +≥，()230y −≥，∴20x +=，30y −=，解得：2x =−，3y =，∴()()()326y x −=−⨯−=；（3）解：2254625x xy y x −+++222446916x xy y x x =−+++++()()222316x y x =−+++，∵()()22230x y x −++≥，∴()()22231616x y x −+++≥， 当20x y −=，30x +=时，2254625x xy y x −+++取得最小值，即当3x =−，y =−6时，2254625x xy y x −+++取得最小值，最小值为16． 【点睛】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤和完全平方公式进行配方是解本题的关键．。