2010北京朝阳中考一模数学试题及答案

北京朝阳区初三年级综合练习（一）数 学 试 卷 2010.5第Ⅰ卷（选择题32分）一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母涂黑．1．16的平方根是A ．4B ．-4C ．4或-4D ．8或-82．上海世博会志愿者招募工作已于2009年5月1日启动，预计总共招募170000人，将170000这个数用科学记数法表示正确的是 A ．0.7610⨯ B ．1.7510⨯ C ．1.7410⨯ D ．17410⨯ 3．点A （-3，4）与点B （m ，n ）关于x 轴对称，则点B 的坐标为 A ． (-3,-4) B ． (-3,4) C ． (3,-4) D ． (3,4) 4．函数21xy x =+中，自变量x 的取值范围是 A ．x>-1 B ．x ＞1 C ．x≠-1 D ．x≠05．若两圆的半径分别是3cm 和4cm ，圆心距为7cm ，则这两圆的位置关系是 A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离 6．如图，AB 为⊙O 直径，CD 为弦，AB ⊥CD ，如果∠BOC=70°， 那么∠A 的度数为 A ．70° B ．35° C ．30° D ．20°7．已知关于x 的方程2(2)310m x x +-+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是A ．124m m ≠-＜且 B ． 124m m ≠-＜-且 C ．14m ＜D． 14m ＜-8．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC, ∠B=60o ,AB=AD=BO=4,OC=8,点P 从B 点出发，沿四边形ABCD 的边BA →AD →DC 以每分钟一个单位长度的速度匀速运动，若运动的时间为t,△POD 的面积为S ，则S 与t 的函数图象大致为第Ⅱ卷（填空题和解答题，共88分）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分） 9．分解因式22am am a -+ =_____________．10．在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字1，2，3的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．则两次取出小球上的数字相同的概率为_____________．11．九(3) 班要在两名同学中选成绩比较稳定的1人参加学校秋季运动会的跳远比赛，同学甲近两天的5次试跳成绩分别为3.5，3，2.5，3，3（单位米），同学乙在这5次试跳中成绩的平均数、方差分别为3和0.2，则根据以上数据应选取那个同学参赛比较合适 （填甲或乙）．12．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC 的BC 边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为_____．三、解答题（13题—22题每小题5分，23题7分，24题7分，25题8分，共72 分） 13．（本小题满分5分）计算：01)3()21(60sin 227-+-+︒--π．14．（本小题满分5分）解方程32322x x x-=+-． 15．（本小题满分5分） 求不等式组⎩⎨⎧---≤-x x x x 152,34)2(2＜的整数解．16．（本小题满分5分）已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，∠BAD 、∠CDA 的平分线AE 、DF 分别交直线BC 于点E 、F ．求证： CE=BF ．某校组织了“展示我美丽祖国”庆国庆60周年的自拍照片的评比活动.根据获奖同学在评比中的成绩制成的统计图表如下：根据以人口图书馆表提供的信息，解答下列问题： （1）写出表中x,y 的数值：x________,y________； （2）补全频数分布直方图；（3）如果评比成绩在95分以上（含95分）的可以获得特等奖，那么特等奖的获奖率是多少？（4）获奖成绩的中位数落在哪个分数段？18．列方程（或方程组）解应用题（本小题满分5分）春暖花开的时节，同学们到公园去划船，看了有关规定和价目表（如右图所示）后，老师租了电动船和脚踏船共24条，同学们都上了船，恰好每条船都坐满了，大家玩儿得很开心，划船1小时共用了1050元．求（1）电动船和脚踏船各租用了多少条？ （2）参加划船的同学共有多少人？ 19．（本小题满分5分）如图，小高同学观景塔AD 顶端A 点处，在地面上一条河的两岸各选择一点B 、C 使得点B 、C 、D 在一条直线上，用测角仪器测得B 、C 两点的俯角分别是30°和60°．已知观景塔的高度是24米，求河宽BC 的值（精确到0.1米）．( 1.41, 1.73==) 20．（本小题满分5分）在平面直角坐标系xOy 中，将直线y kx =向上平移3个单位后，与反比例函数ky x=的图象的一个交点为(2,)A m ，试确定平移后的直线解析式和反比例函数解析式．如图，点B 、C 、D 都在⊙O 上，过点C 作AC ∥BD 交OB 延长线于点A ，连接CD ， 且∠CDB=∠OBD=30°，DB=63cm ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）求⊙O 的半径长；（3）求由弦CD 、BD 与弧BC 所围成的阴影部分的面积（结果保留π）． 22．（本小题满分5分）如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，将矩形ABCD 绕点C 顺时针旋转90°得到矩形CGEF ． （1）求点A 在旋转过程中所走过的路径的长（结果保留π和根号）； （2）点P 为线段BC 上一点（不包括端点），且AP ⊥EP ，求△APE 的面积． 23．（本小题满分7分） 请阅读下列材料问题：如图1，在等边三角形ABC 内有一点P ，且PA=2， PB=3， PC=1．求∠BPC 度数的大小和等边三角形ABC 的边长．李明同学的思路是：将△BPC 绕点B 顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′PC 是等边三角形，而△PP′A 又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′C=150°，而∠BPC=∠AP′C =150°．进而求出等边△ABC 的边长为7．问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD 内有一点P ，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC 度数的大小和正方形ABCD 的边长．图3已知直线y=kx-3与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点C ，抛物线234y x mx n =-++经过点A 和点C,动点P 在x 轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x 轴的另一个交点B 向点A 运动，点Q 由点C 沿线段CA 向点A 运动且速度是点P 运动速度的2倍. （1）求此抛物线的解析式和直线的解析式； （2）如果点P 和点Q 同时出发，运动时间为t （秒），试问当t 为何值时，△PQA 是直角三角形； （3）在直线CA 上方的抛物线上是否存在一点D ，使得△ACD 的面积最大，若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由．25．（本小题满分8分）已知正方形ABCD 的边长为6cm ，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 交射线DC 于点F ，将△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点B′ 处．（1）当CE BE=1 时，CF=______cm ， （2）当CE BE=2 时，求sin ∠DAB ′ 的值；（3）当CEBE= x 时（点C 与点E 不重合），请写出△ABE 翻折后与正方形ABCD 公共部分的面积y 与x 的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）．CA D B北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷评分标准及参考答案 2010.5一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）9．a( m-1)210．31 11．甲 12．81 三、解答题（共13个小题，共72 分） 13．（本小题5分）解：原式1223233+-⨯-= …………………………………………………………4分 132-=． …………………………………………………………………………5分14．（本小题5分）解： 整理，得3x 23x 2x 2+=+-， …………………………………………………………1分 去分母，得 3x(x -2)+2(x+2)=3(x 2-4) ．…………………………………………………2分 ∴ 3x 2-6x+2x+4=3x 2-12． ……………………………………………………………3分解这个方程，得 x=4． …………………………………………………………………4分 经检验x=4是原方程的解． ……………………………………………………………5分 15．（本小题5分）解：由①得 21-≥x ； ………………………………………………………………………2分由②得 x< 2．……………………………………………………………………………3分 ∴ 此不等式组的解集为221<≤-x ．…………………………………………………4分 ∴ 此不等式组的整数解为0，1． ……………………………………………………5分16．（本小题5分）证明：在梯形ABCD 中，AB=DC ，∴ ∠ABC ＝∠DCB ，∠BAD ＝∠CDA ． ………………………………………………1分 ∵ AE 、DF 分别为∠BAD 与∠CDA 的平分线， ∴ 11BAE BAD,CDF CDA 22∠=∠∠=∠．∴ ∠BAE ＝∠CDF ． ………………………………………………………………………2分 ∴ △ABE ≌△DCF ． ………………………………………………………………………3分 ∴ BE=CF ……………………………………………………………………………………4分 ∴ BE -BC=CF -BC ．即BF=CE ．……………………………………………………………………………………5分 17．（本小题5分）解：（1）40 ………………………………………………………………………………………1分0.4 ………………………………………………………………………………………2分 （2）如图 (3)分（3）10% ………………………………………………………………………………………4分 （4）85~90分数段 ……………………………………………………………………………5分18．（本小题5 分）解：（1）设电动船租了x 条，脚踏船租了y 条， ……………………………………… 1分依题意，得x y 24,50x 40y 1050.+=⎧⎨+=⎩ ……………………………………………………………3分解得x 9,y 15.=⎧⎨=⎩………………………………………………………………………………4分（2）4x+6y=36+90=126． ……………………………………………………………5分 答：电动船租了9条，脚踏船租了15条，这次划船的同学共有126人．19．（本小题5分）解：由已知可得∠B=30°，∠ACD=60°．……………………………………………………1分 在Rt △ADC 中，sin ∠ACD=ACAD，…………………………………………………………2分 ∵ AD=24，∴ AC = ……………………………………………………………………………3分 ∵ ∠BAC=∠ACD －∠B =30°=∠B ， ………………………………………………………4分∴ ≈27.7米． (5)分∴ 河宽BC 的值约是27.7米． 20．（本小题5分）解：将直线y kx =向上平移3个单位后的解析式为3+=kx y ，………………………1分 ∵ 点(2,)A m 是直线3+=kx y 与双曲线ky x=的交点， ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=+=2,32km k m ……………………………………………………………………………2分 解得 k = -2． ………………………………………………………………………………3分 ∴ 平移后的直线解析式为32+-=x y ，反比例函数解析式为xy 2-=．………………5分 21．（本小题5分）（1）证明：连接CO .∵ ∠CDB=∠OBD=30°， ∴ ∠BOC=60°． ……………………………………1分∵ AC ∥BD ， ∴ ∠A=∠OBD=30°．∴ ∠ACO=90°．∴ AC 为⊙O 切线． ……………………………………2分 （2）解：∵ ∠ACO =90°，AC ∥BD ， 90BEO ACO ∴∠=∠=°． ∴ DE=BE=3321=BD ． …………………………………………………………………3分 在Rt BEO △中，sin ∠O=sin60°=OBBE，∴ OB3323=．∴OB=6． 即O ⊙的半径长为6cm ． ····················································································· 4分（3）解：∵∠CDB=∠OBD=30°，又CED BEO ∠=∠ ，BE ED =， CDE OBE ∴△≌△ ．∴ ππ6360660S 2OBC =⨯==扇阴S (cm 2) ········································································· 5分 答：阴影部分的面积为6πcm 2．22．（本小题5分） （1）连接AC ，在Rt △ABC 中，AB=4，BC=8，由勾股定理得AC =54．………………………………………………………………………1分（第21题图）∴ππ521805490=⨯． ……………………………………………………………………3分即点A 在旋转过程中所走过的路径的长为ππ521805490=⨯； （2）如图，设BP=x ，则PG=12-x ．∵ A P ⊥EP ，∴ ∠APB+∠EPG =90°． 又 ∠EPG+∠PEG =90°， ∴ ∠APB=∠PEG ． ∴ tan ∠APB=tan ∠PEG ． ∴EGPGPB AB =．即8124x x -=． 解得x 1=4，x 2=8（不符合题意，舍去）．∴x=4，即BP=4． ……………………………………………………………………………4分 当BP=4时，PG=8，∴ AP=42，PE=82，3228242121=⨯⨯=⋅=∆PE AP S APE ． …………………5分 23．（本小题7分）解：（1）如图，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得△BP′A ，则△BPC ≌△BP′A ．∴AP′=PC=1， 连结P P′，在Rt △BP′P 中，∵ P BP′=90°，∴ P P′=2，∠BP′P=45°． ………………………………2分在△AP′P 中， AP′=1，P P′=2，∵ 22212+=，即AP′ 2 + P P′ 2 = AP 2．∴ △AP′P 是直角三角形，即∠A P′ P=90°． ∴ ∠AP′B=135°．∴ ∠BPC=∠AP′B=135°． ……………………………………………………………… 4分（2）过点B 作BE ⊥AP′ 交AP′ 的延长线于点E ． ∴ ∠E P′ B=45°. ∴ E P′=BE=1. ∴ AE=2.∴ 在Rt △ABE 中，由勾股定理，得 ……………………………………… 7分∴ ∠BPC=135° 24．（本小题7分）解：（1）∵ 直线y=kx-3过点A （4，0），∴ 0 = 4k -3，解得k=34． ∴ 直线的解析式为 y=34x-3． ………………………………………………………………1分由直线y=34x-3与y 轴交于点C ，可知C(0,-3) ．∵ 抛物线234y x mx n =-++经过点A(4,0)和点C, ∴ 2344304m -⨯+-=，解得 m=154．∴ 抛物线解析式为23153.44y x x =-+- ……………2分（2）对于抛物线3x 415x 43y 2-+-=， 令y=0，则03x 415x 432=-+-，解得x 1=1，x 2=4．∴ B(1，0).∴ AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3-t ，AQ=5-2t .① 若∠Q 1P 1A=90°,则P 1Q 1∥OC （如图1）， ∴ △AP 1Q 1∽△AOC . ∴ 11AP AQ AO AC =, ∴3t 52t45--=．解得t= 53； ………………………………………………3分② 若∠P 2Q 2A=90°, ∵∠P 2AQ 2 =∠OAC ， ∴ △AP 2Q 2∽△AOC. ∴ 22AP AQ AC AO =, ∴ 3t 52t54--=．解得t=136； ………………………………………………4分③ 若∠Q A P=90°,此种情况不存在. (5)分综上所述，当t 的值为53或136时，△PQA 是直角三角形． （3）答：存在．过点D 作DF ⊥x 轴，垂足为E ，交AC 于点F （如图2）. ∴ S △ADF =12DF ·AE ，S △CDF =12DF ·OE ． ∴ S △ACD = S △ADF + S △CDF=12DF ·AE +12DF ·OE =12DF×(AE+OE) =12×(DE+DF)×4 =12×(23153x x 3x 3444-+--+)×4 =23x 6x 2-+． ……………………………………………………………………6分 ∴ S △ACD =23(x 2)62--+（0<x<4）． 又0<2<4且二次项系数023<-，∴ 当x=2时，S △ACD 的面积最大． 而当x=2时，y=32． ∴ 满足条件的D 点坐标为D (2, 32)． …………………………………………………7分 25．（本小题8分）解：（1）CF= 6 cm ； …………………………………………2分（2）① 如图1，当点E 在BC 上时，延长AB ′交DC 于点M ，∵ AB ∥CF ，∴ △ABE ∽△FCE ，∴FC AB CE BE =． ∵ CEBE =2， ∴ CF=3． ∵ AB ∥CF ，∴∠BAE=∠F ．又∠BAE=∠B ′ AE ， ∴ ∠B ′ AE=∠F ．∴ MA=MF ．设MA=MF=k ，则MC=k -3，DM=9-k ．在Rt △ADM 中，由勾股定理得：k 2=(9-k)2+62， 解得 k=MA=132． ∴ DM=52． ∴ sin ∠DAB ′=135=AM DM ； ……………………………4分 ②如图2，当点E 在BC 延长线上时，延长AD 交B ′ E 于点N ，同①可得NA=NE ．设NA=NE=m ，则B ′ N=12-m ．在Rt △AB ′ N 中，由勾股定理，得m 2=(12-m)2+62， 解得 m=AN=152． ∴ B ′ N=92． ∴ sin ∠DAB ′=53='AN N B ． ………………………………………………………………6分 （3）①当点E 在BC 上时，y=18x x 1+； ………………………………………………………7分 图2 图1（所求△A B′ E的面积即为△ABE的面积，再由相似表示出边长）②当点E在BC延长线上时，y=18x18x．……………………………………………8分说明：各解答题其他正确解法请参照给分.。