天津市十二所重点中学高三毕业联考(一)数学(理)试题
天津市十二区县重点学校2021届高三毕业班联考(一)数学(理)试题 Word版含解析
2021年天津市十二区县重点学校高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z满足（z+2i）（2+i）=5，则z=（）A．3﹣2i B．3+2i C．2﹣3i D．2+3i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则即可得出．【解析】：解：∵复数z满足（z+2i）（2+i）=5，∴（z+2i）（2+i）（2﹣i）=5（2﹣i），化为z+2i=2﹣i，∴z=2﹣3i，故选；C．【点评】：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．（5分）已知x，y 满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D． 2【考点】：简洁线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：先画出满足条件的平面区域，将z=x+2y转化为：y=﹣x+，通过图象得出函数过（0，1）时，z取到最大值，求出即可．【解析】：解：画出满足条件的平面区域，如图示：，将z=x+2y转化为：y=﹣x+，通过图象得出函数过（0，1）时，z取到最大值，z max=2，故选：D．【点评】：本题考查了简洁的线性规划问题，考查了数形结合思想，是一道基础题．3．（5分）若按右侧算法流程图运行后，输出的结果是，则输入的N的值可以等于（）A．4 B． 5 C． 6 D．7【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的K，S的值，由题意，当K=5，S=时应当不满足条件K＜N，退出循环，输出S 的值为，即可得解．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得K=1，S=0，第1次循环，S=，满足条件K＜N，K=2，S=，满足条件K＜N，K=3，S=，满足条件K＜N，K=4，S=，满足条件K＜N，K=5，S=，由题意，此时应当不满足条件K＜N，退出循环，输出S 的值为，故输入的N的值可以等于5．故选：B．【点评】：本题主要考察了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的K，S的值推断循环退出的条件是解题的关键，属于基本学问的考查．4．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．则该四棱锥的体积等于（）A．B．C．D．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．【解析】：解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面为上底2，下底四，高为4的梯形，锥体的高为=2，故锥体的体积V==×[×（2+4）×4]×2=8，故选：A【点评】：本题考查的学问点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的外形．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣1，﹣2），则双曲线的焦距为（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的简洁性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：依据题意，点（﹣1，﹣2）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=2，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（﹣1，﹣2）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案．【解析】：解：依据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣1，﹣2），即点（﹣1，﹣2）在抛物线的准线上，则p=2，则抛物线的焦点为（1，0）；则双曲线的左顶点为（﹣3，0），即a=3；点（﹣1，﹣2）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±2x，由双曲线的性质，可得b=6；则c==3，则焦距为2c=6故选：A．【点评】：本题考查双曲线与抛物线的性质，留意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣1，﹣2）”这一条件的运用，另外留意题目中要求的焦距即2c，简洁只计算到c，就得到结论．6．（5分）数列{a n}满足a1=1，且对于任意的n∈N*都有a n+1=a1+a n+n ，则等于（）A．B．C．D．【考点】：数列的求和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：a1=1，且对于任意的n∈N*都有a n+1=a1+a n+n，可得a n+1﹣a n=n+1，利用“累加求和”可得：a n =，，再利用“裂项求和”即可得出．【解析】：解：∵a1=1，且对于任意的n∈N*都有a n+1=a1+a n+n，∴a n+1﹣a n=n+1，∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+…+2+1=，当n=1时也成立，∴a n =，∴，∴数列的前n项和S n =2+…+=2=．∴==．故选：C．【点评】：本题考查了数列的“累加求和”、“裂项求和”方法，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．7．（5分）已知以下4个命题：①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；②若p：∀x∈R，x2﹣3x﹣2＜0，则￢q：∃x∈R，x2﹣3x﹣2≥0；③设a，b∈R，则a＞b是（a﹣1）|a|＞（b﹣1）|b|成立的充分不必要条件；④若关于实数x的不等式|1﹣2x|+|1+3x|＜a|x|无解，则实数a的取值范围是（﹣∞，5]．其中正确命题的个数是（）A．1 B． 2 C． 3 D． 4【考点】：命题的真假推断与应用．【专题】：阅读型；不等式的解法及应用；简易规律．【分析】：运用复合命题的真假和真值表，即可推断①；由全称性命题的否定为存在性命题，即可推断②；由充分必要条件的定义和特殊值比如a=，b=，即可推断③；对x争辩，x=0．x≠0，运用分别参数，结合确定值不等式的性质，求得最小值，即可推断④．【解析】：解：对于①，若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真，则p∧q不肯定为真命题，则①错误；对于②，若p：∀x∈R，x2﹣3x﹣2＜0，则￢q：∃x∈R，x2﹣3x﹣2≥0，则②正确；对于③，设a，b∈R，当a＞b，比如a=，b=，则（a﹣1）|a|=﹣，（b﹣1）|b|=﹣，推出（a﹣1）|a|＜（b﹣1）|b|，则③错误；对于④，若关于实数x的不等式|1﹣2x|+|1+3x|＜a|x|无解，当x=0，2＜0无解，成立；当x≠0时，即有a＞|﹣2|+|+3|，由|﹣2|+|+3|≥|（+3）﹣（﹣2）|=5，当a≤5时，不等式|1﹣2x|+|1+3x|＜a|x|无解，则④正确．综上可得，②④正确．故选：B．【点评】：本题考查简易规律的基础学问，主要考查复合命题的真假和命题的否定及充分必要条件的推断，同时考查不等式的性质和确定值不等式的基本性质，属于基础题和易错题．8．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）﹣2，当x∈（0，2]时，f（x）=，若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[1，2] B．[2，] C．[1，] D．[2，+∞）【考点】：分段函数的应用；函数恒成立问题．【专题】：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】：由f（x+2）=2f（x）﹣2，求出x∈（2，3），以及x∈[3，4]，的函数的解析式，分别求出（0，4]内的四段的最小值，留意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由t2﹣≤f（x）恒成马上为由t2﹣≤f（x）min，解不等式即可得到所求范围．【解析】：解：当x∈（2，3），则x﹣2∈（0，1），则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=2（x﹣2）2﹣2（x﹣2）﹣2，即为f（x）=2x2﹣10x+10，当x∈[3，4]，则x﹣2∈[1，2]，则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=﹣2．当x∈（0，1）时，当x=时，f（x ）取得最小值，且为﹣；当x∈[1，2]时，当x=2时，f（x ）取得最小值，且为；当x∈（2，3）时，当x=时，f（x ）取得最小值，且为﹣；当x∈[3，4]时，当x=4时，f（x）取得最小值，且为﹣1．综上可得，f（x）在（0，4]的最小值为﹣．若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）恒成立，则有t2﹣≤﹣．解得1≤t ≤．故选：C．【点评】：本题考查分段函数的运用，主要考查分段函数的最小值，运用不等式的恒成立思想转化为求函数的最值是解题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9．（5分）某中学有高中生3500人，学校生1500人，为了解同学的学习状况，用分层抽样的方法从该校同学中抽取一个容量为n的样本，若从学校生中抽取了30人，则n 的值等于100．【考点】：分层抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：依据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解析】：解：由分层抽样的定义得n==100，故答案为：100【点评】：本题主要考查分层抽样的应用，依据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．10．（5分）已知a=dx，在二项式（x2﹣）5的开放式中，含x的项的系数为﹣10．【考点】：二项式系数的性质；定积分．【专题】：二项式定理．【分析】：求定积分求得a的值，在二项开放式的通项公式中，令x的幂指数等于1求出r的值，即可求得含x的项的系数．【解析】：解：a=dx=（2x﹣x2）=2﹣1=1，二项式（x2﹣）5 =（x2﹣）5，∴二项式（x2﹣）5的开放式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x10﹣3r，令10﹣3r=1，求得r=3，含x的项的系数为﹣=﹣10，故答案为：﹣10．【点评】：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项开放式的通项公式，求开放式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．11．（5分）已知△ABC中，AB=1，sinA+sinB=sinC，S△ABC=sinC，则cosC=．【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：sinA+sinB=sinC，利用正弦定理可得：a+b=c ，利用三角形面积计算公式可得：sinC，ab=，再利用余弦定理即可得出．【解析】：解：∵sinA+sinB=sinC，由正弦定理可得：a+b=c，∵S△ABC =sinC，∴sinC，sinC≠0，化为ab=，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣2abcosC，∴1=﹣2×（1+cosC），解得cosC=．故答案为：．【点评】：本题查克拉正弦定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．12．（5分）如图，△ABC是圆O的内接三角形，PA是圆O的切线，A为切点，PB交AC于点E，交圆O于点D，若PE=PA，∠ABC=60°，且PD=2，BD=6，则AC=6．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：选作题；立体几何．【分析】：由PDB为圆O的割线，PA为圆的切线，由切割线定理，结合PD=2，BD=6易得PA长，由∠ABC=60°结合弦切角定理易得△PAE为等边三角形，进而依据PE长求出AE长及ED，DB长，再依据相交弦定理可求出CE，进而得到答案．【解析】：解：∵PD=2，BD=6，∴PB=PD+BD=8由切割线定理得PA2=PD•PB=16∴PA=4又∵PE=PA，∴PE=4又∠PAC=∠ABC=60°∴AE=4又由DE=PE﹣PD=2BE=BD﹣DE=4 由相交弦定理可得：AE•CE=BE•ED=8，即CE=2∴AC=AE+CE=6故答案为：6．【点评】：本题考查的学问点是与圆相关的比例线段，依据已知条件求出与圆相关线段的长是解答的关键．13．（5分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M的极坐标方程为，曲线N的参数方程为（t为参数）．若曲线M与N相交于A，B两点，则线段AB的长等于8．【考点】：简洁曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：把极坐标方程与参数方程分别化为直角坐标方程、一般方程，把方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式即可得出．【解析】：解：曲线M的极坐标方程为，开放为（ρcosθ﹣ρsinθ）=1，∴x ﹣y=1．曲线N的参数方程为（t为参数），消去参数t可得：y2=4x．设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=﹣4，y1y2=﹣4．∴|AB|===8．故答案为：8．【点评】：本题考查了直线与抛物线的极坐标方程与参数方程分别化为直角坐标方程、一般方程、直线与抛物线成果问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．14．（5分）已知O为△ABC的外心，AB=2a，AC=，∠BAC=120°，若=x+y，则3x+6y的最小值为．【考点】：平面对量的基本定理及其意义．【专题】：平面对量及应用．【分析】：依据几何图形求解出O点的坐标，先求出，的坐标，再由=x+y，运用向量的坐标相等求解出x，y的值，得出3x+6y=，运用基本不等式求解即可得出最小值．【解析】：解：依据题意，建立坐标系如图，过O作AB的垂直平分线，垂足为E，则A（0，0），C （，0），B（﹣a ，），E （，），O （，m），∵∠BAC=120°，∴，化简得，∴O （，），∴，，，∵=x +y，∴解得，，∴3x+6y=3（）=≥+6=6+，故答案为：．【点评】：本题考查了平面对量的坐标运算，结合基本不等式求解，属于中档题，关键是精确求解向量的坐标．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x ）在区间上的最大值和最小值．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：（Ⅰ）由三角函数化简可得f（x）=2sin（2x+）+3，由周期公式可得，解不等式2kπ+≤2x+≤2kπ+可得单调递减区间；（Ⅱ）由x ∈结合三角函数的性质逐步计算可得2sin（2x+）+3∈[2，5]，可得最值．【解析】：解：（Ⅰ）化简可得=•2sinxcosx+2cos2x+2=sin2x+cos2x+1+2=2sin（2x+）+3，∴函数f（x）的最小正周期T==π，由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）；（Ⅱ）∵x ∈，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，1]，∴2sin（2x+）∈[﹣1，2]，∴2sin（2x+）+3∈[2，5]，∴函数的最大值和最小值分别为5，2．【点评】：本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和单调性及最值，属中档题．16．（13分）某银行聘请，设置了A、B、C三组测试题供竞聘人员选择．现有五人参与聘请，经抽签打算甲、乙两人各自独立参与A组测试，丙独自参与B组测试，丁、戊两人各自独立参与C组测试．若甲、乙两人各自通过A 组测试的概率均为；丙通过B 组测试的概率为；而C组共设6道测试题，每个人必需且只能从中任选4题作答，至少答对3题者就竞聘成功．假设丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题．（Ⅰ）求丁、戊都竞聘成功的概率．（Ⅱ）记A、B两组通过测试的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】：概率与统计．【分析】：（I）设丁竞聘成功为M大事，戊竞聘成功为N大事，则大事的总数，而大事M竞聘成功分为两种状况：一种是戊会其中4题都选上，另一种是选上会其中4题的其中3道题和另一道题，再利用概率计算公式即可得出．（Ⅱ）ξ可取0，1，2，3．ξ=0表示甲乙丙三人都没有通过；ξ=1表示三人中只有一人通过；ξ=3表示由3人都通过，利用分类争辩和独立大事的概率计算公式及其互斥大事的概率计算公式及其对立大事的概率，列出分布列，求出期望．【解析】：解：（I）设“丁竞聘成功”为M大事，戊竞聘成功为N大事，而大事M竞聘成功分为两种状况：一种是戊会其中4题都选上，另一种是选上会其中4题的其中3道题和另一道题，基本大事的总数为．∴P（M）==．P（N）==．丁、戊都竞聘成功的概率：P（MN）=P（M）P（N）==．（Ⅱ）ξ可取0，1，2，3．可得P（ξ=0）=（1﹣）2（1﹣）2=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．列表如下：∴Eξ=0×+1×+2×+3×=．【点评】：本题中考查了超几何分布、互斥大事的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望、分类争辩等基础学问与基本方法，属于中档题．17．（13分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：AB1∥面BDC1；（Ⅱ）求二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥面BDC1？并证明你的结论．【考点】：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】：计算题；证明题．【分析】：（I）连接B1C，与BC1相交于O，连接OD，我们由三角形的中位线定理，易得OD∥AB1，进而由线面平行的判定定理得到AB1∥面BDC1；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面C1BD和平面BDC的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）假设侧棱AA1上存在点P，使得CP⊥面BDC1，我们可以设出P点坐标，进而构造方程组，若方程组有解说明存在，若方程组无解，说明满足条件的P点不存在．【解析】：证明：（I）连接B1C，与BC1相交于O，连接OD∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点．又D是AC的中点，∴OD∥AB1．（2分）∵AB1⊄面BDC1，OD⊂面BDC1，∴AB1∥面BDC1．（4分）解：（II）如图，建立空间直角坐标系，则C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），D（1，3，0）（5分）设=（x，y，z）是面BDC1的一个法向量，则即，令x=1则=（1，，）．（6分）易知=（0，3，0）是面ABC的一个法向量．∴cos ＜，＞=．（8分）∴二面角C1﹣BD﹣C 的余弦值为．（9分）（III）假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1．则，即∴方程组无解．∴假设不成立．∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1．（14分）【点评】：本题考查的学问点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中（I）的关键是证得OD∥AB1，（II）（III）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题和线面垂直问题转化为空间向量夹角问题．18．（13分）已知椭圆C ：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F（c，0），直线l是椭圆C在点B处的切线．设点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线AP与直线l的交点为D，且当|BD|=2c 时，△AFD是等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设椭圆C的长轴长等于4，当点P运动时，试推断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．【考点】：椭圆的简洁性质；直线与圆锥曲线的关系．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）首先，结合给定的条件，得到a=2c，然后，确定其离心率即可；（Ⅱ）分状况进行争辩，然后，结合直线与圆相切的条件进行推断即可．【解析】：解：（Ⅰ）依据题意，得直线l与x轴垂直，∵当|BD|=2c时，有△AFD是等腰三角形．∴AF=DF，∴（a+c）2=（a﹣c）2+（2）2，∴a=2c，∴e=．（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF的位置关系是相切，证明如下：∵椭圆C的长轴长等于4，∴a=2，A（﹣2，0），B（2，0），依据（Ⅰ），得椭圆的标准方程为：，设直线l的方程为：y=k（x+2），则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k），联立方程组，消去y，并整理，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，设点P的坐标为（x0，y0），则﹣2x0=，∴x0=，y0=k（x0+2）=，由于点F（1，0），（1）当k=±时，点P坐标为（1，±），直线PF的方程为x=1，点D的坐标为（2，±2），此时，以BD为直径的圆与直线PF相切；（2）当k ≠±时，直线PF 的斜率为=，直线PF的方程为：y=，∴x ﹣，∴点E到直线PF的距离为d==2|k|，∵|BD|=2R=4|k|，∴以BD为直径的圆与直线PF相切．【点评】：本题重点考查了椭圆的简洁的几何性质、直线与椭圆的位置关系等学问．19．（14分）设数列{b n}，{c n}，已知b1=3，c1=5，b n+1=，c n+1=（n∈N*）（Ⅰ）设a n=c n﹣b n，求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）求证：对任意n∈N*，b n+c n为定值（Ⅲ）设S n为数列{c n}的前n项和，若对任意n∈N*，都有p•（S n﹣4n）∈[1，3]，求实数p的取值范围．【考点】：数列的求和；数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（I）由b n+1=，c n+1=（n∈N*），可得c n+1﹣b n+1=﹣，可得，利用等比数列的通项公式即可得出；（II）由b n+1=，c n+1=（n∈N*），相加可得b n+1+c n+1=，由于b1+c1=8，即可证明；（III）由（II）可得：b n=8﹣c n ，得到，变形为，利用等比数列的通项公式可得：，可得S n =4n+，由于对任意n∈N*，都有p•（S n﹣4n）∈[1，3]，可得，对n分类争辩即可得出．【解析】：（I）解：∵b n+1=，c n+1=（n∈N*），∴c n+1﹣b n+1=﹣，∴，a1=c1﹣b1=5﹣3=2，∴数列{a n}是等比数列，首项为2，公比为﹣．∴．（II）证明：∵b n+1=，c n+1=（n∈N*），∴b n+1+c n+1=，∵b1+c1=8，∴b2+c2==8，依此类推可得：b n+c n=8为定值．（III）解：由（II）可得：b n=8﹣c n，∴，变形为，∴数列{c n﹣4}为等比数列，首项为1，公比为，∴c n﹣4=，∴，∴S n =4n+=4n+，∴S n﹣4n=，∵对任意n∈N*，都有p•（S n﹣4n）∈[1，3]，∴，∴≤p ≤，当n 为奇数时，p ≤，∴．当n 为偶数时，≤p ≤，∴3≤．∴p=3．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的性质，考查了恒成立问题的等价转化方法、分类争辩思想方法，考查了推理力量与计算力量，属于难题．20．（14分）已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）图象与x轴异于原点的交点为M，f（x）在M处的切线与直线x﹣y+1=0平行．（Ⅰ）求函数T（x）=xf（x）的单调区间；（Ⅱ）已知实数t∈R，求函数y=f[xg（x）+t]，x∈[1，e]的最小值；（Ⅲ）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1+m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．【考点】：利用导数争辩曲线上某点切线方程；利用导数争辩函数的单调性．【专题】：分类争辩；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】：（1）利用导数的几何意义，求函数f（x）在与x轴的交点处的切线斜率，由两直线平行的条件即可得a值，求出T（x）的导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间；（2）令u=xlnx，再争辩二次函数u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象是对称轴u=，开口向上的抛物线，结合其性质求出最值；（3）先由题意得到F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，再利用导数工具争辩所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，得到当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，下面对m进行分类争辩：①当m∈（0，1）时，②当m≤0时，③当m≥1时，结合不等式的性质即可求出m的取值范围．【解析】：解：（1）y=f（x）图象与x轴异于原点的交点M（a，0），f′（x）=2x﹣a，f（x）在M处的切线斜率为k=2a﹣a=a，由f（x）在M处的切线与直线x﹣y+1=0平行，则a=1，∴f（x）=x2﹣x，T（x）=xf（x）=x3﹣x2，T′（x）=3x2﹣2x，T′（x）＞0，可得x ＞或x＜0，T′（x）＜0，可得0＜x ＜，则有T（x）的增区间为（﹣∞，0），（，+∞），减区间为（0，）；（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]2﹣（xlnx+t）=（xlnx）2+（2t﹣1）（xlnx）+t2﹣t，令u=xlnx，在x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，∴u=xlnx在[1，e]单调递增，0≤u≤eu2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象的对称轴u=，抛物线开口向上，①当u=≤0即t≥时，y最小，且为t2﹣t；②当u=≥e即t≤时，y最小，且为e2+（2t﹣1）e+t2﹣t；③当0＜＜e即＜t＜时，y最小且为y|=﹣．（3）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，F′（x）=，所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，∴当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，①当m∈（0，1）时，有α=mx1+（1﹣m）x2＞mx1+（1﹣m）x1=x1，α=mx1+（1﹣m）x2＜mx2+（1﹣m）x2=x2，得α∈（x1，x2），同理β∈（x1，x2），∴由f（x）的单调性知0＜F（x1）＜F（α）、f（β）＜f（x2）从而有|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|，符合题设．②当m≤0时，α=mx1+（1﹣m）x2≥mx2+（1﹣m）x2=x2，β=mx2+（1﹣m）x1≤mx1+（1﹣m）x1=x1，由f（x）的单调性知，F（β）≤F（x1）＜f（x2）≤F（α），∴|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符；③当m≥1时，同理可得α≤x1，β≥x2，得|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符．∴综合①、②、③得m∈（0，1）．【点评】：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数争辩曲线上某点切线方程、利用导数争辩函数的单调性等基础学问，考查运算求解力量、化归与转化思想．属于中档题．。
2019年天津市十二重点中学高三毕业班联考(一)数学理科
2019年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一）数 学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑； 参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+∙柱体的体积公式Sh V =. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1. 集合2{|ln(1)},{|24},xM y y x N x M N ==+=<则等于（ ）A ．[]0,2B.(0,2) C ．[0,2) D ．(]0,22. 设变量满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-+≤+-0623063201y x y x y x ，则目标函数y x z 2-=的最大值为（ ）A ．3966-B.513- C ．2- D ．2 3.下列三个命题：①命题p ：2,0x R x x ∀∈+<，则p ⌝：2,0x R x x ∃∈+>；②命题p ：112≤-x ，命题q ：011>-x，则p 是q 成立的充分不必要条件； ③在等比数列{}n b 中，若52b =，98b =，则74b =±； 其中真命题的个数为( )A ．0 B.1 C.2 D.3 4.如图是一个算法流程图，则输出的k 的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5 5.将函数cos 26y x π=-（）的图象向左平移(0)ϕϕπ<<的单位后，得到函数cos(2)3y x π=+的图象，则ϕ等于（ ）A ．3π B ．6π C ．2π D ．4π6.已知0.313log 0.6a =,121log 4b =,0.413log 0.5c =,则实数,,a b c 的大小关系为（ ） A ． b a c << B.c a b << C ．b c a << D ．a b c <<7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过原点的直线与双曲线交于,A B 两点，以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C ，若ABC ∆的面积为22a ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A．2y x =±B ．y = C．3y x =± D．y = 8. 已知函数32log (2),2()(3)2,2x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，1()1g x =x+x -，则方程(())f g x a =的实根个数最多为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9. 若i z 21+=，且i z bi a -=⋅+8)(，则=⋅b a ． 10. 已知0=a sinxdx π⎰，则5ax ⎛+ ⎝的二项展开式中，2x 的系数为 ．11．已知圆柱的高和底面半径均为2，则该圆柱的外接球的表面积为 ． 12．直线l ：12x at y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C：3)4πρθ=-+（极轴与x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆C 上恰有三个点到直线l，则实数a = ．13.已知0>x ，0>y ，2是x 2与y4的等比中项，则yxx +1的最小值 ． 14. 在等腰梯形ABCD 中，下底AB 长为4，底角A 为45，高为m ， Q 为折线段B C D--上的动点，2AC AD AE += 设AE AQ ⋅ 的最小值为()f m ，若关于m 的方程()3f m km =-有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围为 ．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知222cos )2(2c b a A c b b -+=-. （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若ABC ∆的面积4325=∆ABC S ，且5a =，求b c +.16.（本小题满分13分）“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习。
十二重点中学高三数学毕业班联考试题(一)理(2021年整理)
天津市十二重点中学2017届高三数学毕业班联考试题（一）理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（天津市十二重点中学2017届高三数学毕业班联考试题（一）理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2017年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一）数 学（理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷 选择题 (共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;参考公式:·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+•柱体的体积公式Sh V =. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、 选择题：本大题共8小题,每小题5分，满分40分．1.已知集合{}24M x x =|>，{}3N x x =|1<<,则R N C M = （ )A 。
{}1x x |-2≤< B.{}2x x |-2≤≤ C. {}2x x |1<≤ D.{}2x x |<2.设变量,x y 满足线性约束条件50,0,3,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则目标函数24z x y =+的最小值是（ ）A ．6-B ．2-C ．4D ．63.阅读右边程序框图,当输入x 的值为2时，运行相应程序,则输出x 的值为（ )A ．5B ．11C ．23D ． 474.下列命题中真命题的个数是（ ） ①若q p ∧是假命题，则,p q 都是假命题； ②命题“01,23≤+-∈∀x x R x "的否定是“32000,10x R x x ∃∈-+>”; ③若,11:,1:<≤xq x p 则p ⌝是q 的充分不必要条件。
天津市十二区高三数学毕业班联考(一)试题 理
2013年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）数 学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 选择题 (共40分) 注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+∙柱体的体积公式Sh V=. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.i 是虚数单位，复数31ii--= （ ） A ．i 21+ B.12i - C.2i + D.2i - 2.“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.阅读右面的程序框图，则输出的S = （ ） A ．14 B ．30 C ．20 D ．55 4.设函数1()ln (0)3f x x x x =->，则函数()f x （ ） A ．在区间(0,1)(1,)+∞， 内均有零点 B ．在区间(0,1)(1,)+∞， 内均无零点 C ．在区间(0,1)内有零点，在区间(1,)+∞内无零点 D ．在区间(0,1)内无零点，在区间(1,)+∞内有零点5.在1012x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，4x 的系数为（ ） A ．-120 B ．120 C ．-15 D ．15 6.在钝角△ABC 中，已知AB=3， AC=1，∠B=30°，则△ABC 的面积是（ ）0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距A ．23 B ．43 C ．23 D ．43 7.己知抛物线方程为2=2y px （>0p ），焦点为F ，O 是坐标原点， A是抛物线上的一点，FA 与x 轴正方向的夹角为60°，若OAF ∆p 的值为（ ）A ．2B ．．2或．28．已知函数5(4)4(6),()2(6).x a x x f x a x -⎧-+≤⎪=⎨⎪>⎩()0,1a a >≠ 数列{}n a 满足*()()n a f n n N =∈，且{}n a 是单调递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）Ａ．[)7,8 Ｂ．()1,8 Ｃ．()4,8 Ｄ．()4,7第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 人．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .11. 已知圆C 的参数方程为2x y θθ⎧=⎨=+⎩cos ,sin ,(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线截圆C 所得的弦长是 .12．如图，CB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，PCAP 与CB 的延长线交于点P ，A 为切点．若10=PA ，5=PB ，则AB 的长为 .13.若不等式4+-2+1x m x≥对一切非零实数x 均成立,记实数m 的取值范围为M .已知集合{}=A x x M ∈，集合{}2=--6<0B x R x x ∈，则集合=AB .14.已知点M 为等边三角形ABC 的中心,=2AB ,直线L 过点M 交线段AB 于点P ，交线段AC 于点Q ，则BQ CP ⋅的最大值为 .三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 设函数22()(sin cos )2cos(0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求()f x 在区间-63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的值域； （Ⅲ）若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移2π个单位长度得到， 求()y g x =的单调增区间．16．（本小题满分13分）在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是23． （Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望； （Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率. 17．（本小题满分13分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，且1=AB ，2=BC ，60=∠ABC ，E 为BC 的中点， ⊥1AA 平面ABCD ．（Ⅰ）证明：平面⊥AE A 1平面DE A 1； （Ⅱ）若E A DE 1=，试求异面直线AE 与D A 1所成角的余弦值；ABCDE1A 1B 1C 1D（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角1--C A D E 的余弦值. 18．（本小题满分13分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知122()n n a S n N *+=+∈. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列，设数列1n d ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩的前n 项和n T ，证明：1516n T <.19．（本小题满分14分）已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P ，且它的离心率1=e . （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）与圆22(1)1x y -+=相切的直线t kx y l +=：交椭圆于N M ，两点，若椭圆上一点C 满足λ=+，求实数λ的取值范围.20．（本小题满分14分）已知函数()()()R a ax x x ax x f ∈--++=2312ln 23（Ⅰ）若2=x 为()x f 的极值点，求实数a 的值；（Ⅱ）若()x f y =在[)+∞,3上为增函数，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)当21-=a 时，方程()()x b x x f +-=-3113有实根，求实数b 的最大值.2013年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一） 数学理科参考答案一、选择题:每小题5分，满分40分二、填空题: 每小题5分，共30分.9．25；10．π3108+ ； 11 12． 13．{}-1<3x x ≤； 14．22-9三、解答题15．（本小题满分13分）设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求()f x 在区间-63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的值域； （Ⅲ）若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移2π个单位长度得到， 求()y g x =的单调增区间．解： （Ⅰ）()()22=sin +cos +2cos f x x x x ωωω22=sin +cos +sin 2+1+cos 2x x x x ωωωω …………2分sin 2cos 22)24x x x πωωω=++=++ …………4分依题意得2223ππω=，故ω的值为32. …………5分 （Ⅱ）因为-,63x ππ≤≤所以5-3+444x πππ≤≤， …………6分-13+4x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭…………8分()1f x ≤≤()f x 的值域为⎡⎣ …………9分（Ⅲ）依题意得: 5()3()2)2244g x x x πππ⎡⎤=-++=-+⎢⎥⎣⎦…11分 由5232()242k x k k Z πππππ--+∈≤≤ …………12分解得227()34312k x k k Z ππππ++∈≤≤ 故()y g x =的单调增区间为: 227[,]()34312k k k Z ππππ++∈ …………13分 16．（本小题满分13分）在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是23． （Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望； （Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率； 解：（Ⅰ）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.依条件可知X ～B(6，23).6621()33kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6k =)X 的分布列为：1(01112260316042405192664)729EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=29164729=. 或因为X ～B(6，23)，所以2643EX =⨯=. 即X 的数学期望为4． ………9分 （Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，则224156441212232()()()()().3333381P A C C =⨯⨯+⨯⨯+= …………12分（每个概率计算正确一分，共三分；列一个大式子，若计算错误则无分） 答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为32.81……………………………13分17．（本小题满分13分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，且1=AB ，2=BC ，60=∠ABC ，E 为BC 的中点， ⊥1AA 平面ABCD ．（Ⅰ）证明：平面⊥AE A 1平面DE A 1； （Ⅱ）若E A DE 1=，试求异面直线AE 与D A 1所成角的余弦值．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角1--C A D E 的余弦值. 17.解（Ⅰ）依题意，CD AB BC EC BE ====21所以ABE ∆是正三角形，060=∠AEB ……1分又00030)120180(21=-⨯=∠CED ……2分 所以090=∠AED ，AE DE ⊥ ……3分因为⊥1AA 平面ABCD ，⊂DE 平面ABCD ，所以DE AA ⊥1 因为A AE AA = 1，所以⊥DE 平面AE A 1 ……4分 因为⊂DE 平面DE A 1，所以平面⊥AE A 1平面 DE A 1 ……5分ABCDE1A 1B 1C 1D（Ⅱ）取1BB 的中点F ，连接EF 、AF ，连接C B 1，则D A C B EF 11//// 所以AEF ∠是异面直线AE 与D A 1所成的角 ……7分 因为3=DE ，2211AE A A E A +=，所以21=A A ，22=BF ，26121=+==EF AF ……8分 所以662cos 222=⨯⨯-+=∠EF AE AF EF AE AEF ……9分（Ⅰ）（Ⅱ）解法2：以A 为原点，过A 且垂直于BC 的直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴、1AA 所在直线为z 建立右手系空间直角坐标系 ……1分 设a AA =1（0>a ），)0 , 0 , 0(A 则)0 , 2 , 0(D ) , 0 , 0(1a A )0 , 21, 23(E ……2分 （Ⅰ）设平面AE A 1的一个法向量为) , , (1p n m n =，则⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+=⋅002123111ap AA n n m n 0=p ，取1=m ，则3-=n ，从而)0 , 3 , 1(1-=n ， ……3分同理可得平面DE A 1的一个法向量为)2, 1 , 3(2an =， ……4分直接计算知021=⋅n n ，所以平面⊥AE A 1平面DE A 1 ……5分 （Ⅱ）由E A DE 1=即22222)21()23(0)212()23(a ++=+-+ 解得2=a)0 , 21, 23(=，)2 , 2 , 0(1-=A ……7分所以异面直线AE 与D A 1所成角的余弦值66||||cos 11=⋅=D A AE θ ……9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知21=A A ，平面DE A 1的一个法向量为2( 3 , 1 , n =又31=-,02CD ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，)2 , 2 , 0(1-=D A 设平面1CA D 的法向量()3=,,n x y z 则133=0=0A D n CD n ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩得(3=1,3,n ……11分设二面角1--C A D E 的平面角为ϕ，且ϕ为锐角 则232323cos =cos ,=n n n n n nϕ⋅所以二面角1--C A D E ……13分 18．（本小题满分13分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知122()n n a S n N *+=+∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列，设数列1n d ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩的前n 项和n T ，证明：1516n T <.18．解（Ⅰ）由122(n n a S n +=+∈N *）得122(n n a S n -=+∈N *，2n ≥），两式相减得：12n n n a a a +-=， 即13(n n a a n +=∈N *，2n ≥）， ……2分∵{}n a 是等比数列，所以213a a =，又2122,a a =+ ……3分 则11223a a +=，∴12a =， ……4分 ∴123n n a -=. …………………………………5分 （Ⅱ）由（1）知123n n a +=，123n n a -=∵1(1)n n n a a n d +=++ ……7分， ∴1431n n d n -⨯=+， ………8分令123111n T d d d =+++…1nd +， 则012234434343n T =++⨯⨯⨯+ (11)43n n -++ ① …………9分+⋅+⋅=2134334231n T …114343n n n n -+++ ② ………10分①-②得01222113434343n T =+++ (111)4343n nn -++- 111(1)111525331244388313n n nn n --++=+⨯-=-- …………12分11525151616316n n n T -+∴=-<. ……………13分 19．（本小题满分14分）已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P ，且它的离心率21=e . （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）与圆22(1)1x y -+=相切的直线kx y l +=：点C 满足OC ON OM λ=+，求实数λ20．解：(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为(12222>=+b a by a x 由已知得：2222243112a b c a c a b ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩解得 2286a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆的标准方程为： 22186x y += ……………5分 (Ⅱ) 因为直线l ：y kx t =+与圆22(1)1x y -+=相切2112(0)t k t t -=⇒=≠ ……………6分把t kx y +=代入22186x y +=并整理得： 222(34)8(424)0k x ktx t +++-=┈7分 设),(,),(2211y x N y x M ，则有 221438k ktx x +-=+ 22121214362)(k tt x x k t kx t kx y y +=++=+++=+ ……………8分因为，),(2121y y x x OC ++=λ， 所以，⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-λλ)43(6,)43(822k t k ktC … 9分 又因为点C 在椭圆上， 所以，222222222861(34)(34)k t t k k λλ+=++ …………… 10分 222222221134()(1t kt tλ⇒==+++ …………… 12分因为 02>t 所以 11)1()1(222>++t t …………… 13分所以 202λ<<，所以 λ的取值范围为 (0)(0,2) …………… 14分20．（本小题满分14分）已知函数()()()R a ax x x ax x f ∈--++=2312ln 23（Ⅰ）若2=x 为()x f 的极值点，求实数a 的值；（Ⅱ）若()x f y =在[)+∞,3上为增函数，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)当21-=a 时，方程()()x b x x f +-=-3113有实根，求实数b 的最大值. 20．解：（I ）()()()[]122441222122222++--+=--++='ax a x a ax x a x x ax a x f ………2分 因为2=x 为()x f 的极值点，所以()02='f ，即02142=-+a a a，解得0=a ……4分 （II ）因为函数()x f 在[)+∞,3上为增函数，所以()()()[]0122441222≥++--+='ax a x a ax x x f 在[)+∞,3上恒成立 ………6 分①当0=a 时，()()02≥-='x x x f 在[)+∞,3上恒成立，所以()x f 在[)+∞,3上为增函数，故0=a 符合题意 ………7分②当0≠a 时，由函数()x f 的定义域可知，必须有012>+ax 对3≥x 恒成立，故只能0>a ，所以()()02441222≥+--+a x a ax 在[)+∞,3上恒成立 ………8分令函数()()()2441222+--+=a x a ax x g ，其对称轴为ax 411-=，因为0>a ，所以1411<-a，要使()0≥x g 在[)+∞,3上恒成立，只要()03≥g 即可， ………9分 即()016432≥++-=a a g ，所以41334133+≤≤-a 因为0>a ，所以41330+≤<a .综上所述，a 的取值范围为⎡⎢⎣ ………10分（Ⅲ）当21-=a 时，方程()()x b x x f +-=-3113可化为()()xb x x x =-+--11ln 2问题转化为()()322ln 11ln x x x x x x x x x x b -+=-+--=在()+∞,0上有解，即求函数()32ln x x x x x g -+=的值域 ………11分 因为函数()32ln x x x x x g -+=，令函数()()0ln 2>-+=x x x x x h ， ………12分 则()()()x x x x x x h -+=-+='112211，所以当10<<x 时，()0>'x h ，从而函数()x h 在()1,0上为增函数，当1>x 时，()0<'x h ，从而函数()x h 在()+∞,1上为减函数，因此()()01=≤h x h………13分 而0>x ，所以()0≤⋅=x h x b ，因此当1=x 时，b 取得最大值0.………14分 （第三问如用数形结合求解，相应给分）。
天津市十二区高三数学毕业班联考(一)试题理
高三毕业班联考（一）数 学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 选择题 (共40分) 注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+∙柱体的体积公式Sh V=. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.i 是虚数单位，复数31ii--= （ ） A ．i 21+ B.12i - C.2i + D.2i - 2.“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.阅读右面的程序框图，则输出的S = （ ） A ．14 B ．30 C ．20 D ．55 4.设函数1()ln (0)3f x x x x =->，则函数()f x （ ） A ．在区间(0,1)(1,)+∞， 内均有零点 B ．在区间(0,1)(1,)+∞， 内均无零点 C ．在区间(0,1)内有零点，在区间(1,)+∞内无零点 D ．在区间(0,1)内无零点，在区间(1,)+∞内有零点5.在1012x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，4x 的系数为（ ） A ．-120 B ．120 C ．-15 D ．15 6.在钝角△ABC 中，已知AB=3， AC=1，∠B=30°，则△ABC 的面积是（ ）0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距A ．23 B ．43 C ．23 D ．43 7.己知抛物线方程为2=2y px （>0p ），焦点为F ，O 是坐标原点， A是抛物线上的一点，FA 与x 轴正方向的夹角为60°，若OAF ∆p 的值为（ ）A ．2B ．．2或．28．已知函数5(4)4(6),()2(6).x a x x f x a x -⎧-+≤⎪=⎨⎪>⎩()0,1a a >≠ 数列{}n a 满足*()()n a f n n N =∈，且{}n a 是单调递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）Ａ．[)7,8 Ｂ．()1,8 Ｃ．()4,8 Ｄ．()4,7第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 人．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .11. 已知圆C 的参数方程为2x y θθ⎧=⎨=+⎩cos ,sin ,(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线截圆C 所得的弦长是 .12．如图，CB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，PCAP 与CB 的延长线交于点P ，A 为切点．若10=PA ，5=PB ，则AB 的长为 .13.若不等式4+-2+1x m x≥对一切非零实数x 均成立,记实数m 的取值范围为M .已知集合{}=A x x M ∈，集合{}2=--6<0B x R x x ∈，则集合=AB .14.已知点M 为等边三角形ABC 的中心,=2AB ,直线L 过点M 交线段AB 于点P ，交线段AC 于点Q ，则BQ CP ⋅的最大值为 .三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 设函数22()(sin cos )2cos(0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求()f x 在区间-63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的值域； （Ⅲ）若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移2π个单位长度得到， 求()y g x =的单调增区间．16．（本小题满分13分）在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是23． （Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望； （Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率. 17．（本小题满分13分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，且1=AB ，2=BC ，60=∠ABC ，E 为BC 的中点， ⊥1AA 平面ABCD ．（Ⅰ）证明：平面⊥AE A 1平面DE A 1； （Ⅱ）若E A DE 1=，试求异面直线AE 与D A 1所成角的余弦值；ABCDE1A 1B 1C 1D（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角1--C A D E 的余弦值. 18．（本小题满分13分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知122()n n a S n N *+=+∈. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列，设数列1n d ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩的前n 项和n T ，证明：1516n T <.19．（本小题满分14分）已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P ，且它的离心率1=e . （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）与圆22(1)1x y -+=相切的直线t kx y l +=：交椭圆于N M ，两点，若椭圆上一点C 满足λ=+，求实数λ的取值范围.20．（本小题满分14分）已知函数()()()R a ax x x ax x f ∈--++=2312ln 23（Ⅰ）若2=x 为()x f 的极值点，求实数a 的值；（Ⅱ）若()x f y =在[)+∞,3上为增函数，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)当21-=a 时，方程()()x b x x f +-=-3113有实根，求实数b 的最大值.2013年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一） 数学理科参考答案一、选择题:每小题5分，满分40分二、填空题: 每小题5分，共30分.9．25；10．π3108+ ； 11 12． 13．{}-1<3x x ≤； 14．22-9三、解答题15．（本小题满分13分）设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求()f x 在区间-63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的值域； （Ⅲ）若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移2π个单位长度得到， 求()y g x =的单调增区间．解： （Ⅰ）()()22=sin +cos +2cos f x x x x ωωω22=sin +cos +sin 2+1+cos 2x x x x ωωωω …………2分sin 2cos 22)24x x x πωωω=++=++ …………4分依题意得2223ππω=，故ω的值为32. …………5分 （Ⅱ）因为-,63x ππ≤≤所以5-3+444x πππ≤≤， …………6分-13+4x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭…………8分()1f x ≤≤()f x 的值域为⎡⎣ …………9分（Ⅲ）依题意得: 5()3()2)2244g x x x πππ⎡⎤=-++=-+⎢⎥⎣⎦…11分 由5232()242k x k k Z πππππ--+∈≤≤ …………12分解得227()34312k x k k Z ππππ++∈≤≤ 故()y g x =的单调增区间为: 227[,]()34312k k k Z ππππ++∈ …………13分 16．（本小题满分13分）在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是23． （Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望； （Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率； 解：（Ⅰ）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.依条件可知X ～B(6，23).6621()33kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6k =)X 的分布列为：1(01112260316042405192664)729EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=29164729=. 或因为X ～B(6，23)，所以2643EX =⨯=. 即X 的数学期望为4． ………9分 （Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，则224156441212232()()()()().3333381P A C C =⨯⨯+⨯⨯+= …………12分（每个概率计算正确一分，共三分；列一个大式子，若计算错误则无分） 答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为32.81……………………………13分17．（本小题满分13分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，且1=AB ，2=BC ，60=∠ABC ，E 为BC 的中点， ⊥1AA 平面ABCD ．（Ⅰ）证明：平面⊥AE A 1平面DE A 1； （Ⅱ）若E A DE 1=，试求异面直线AE 与D A 1所成角的余弦值．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角1--C A D E 的余弦值. 17.解（Ⅰ）依题意，CD AB BC EC BE ====21所以ABE ∆是正三角形，060=∠AEB ……1分又00030)120180(21=-⨯=∠CED ……2分 所以090=∠AED ，AE DE ⊥ ……3分因为⊥1AA 平面ABCD ，⊂DE 平面ABCD ，所以DE AA ⊥1 因为A AE AA = 1，所以⊥DE 平面AE A 1 ……4分 因为⊂DE 平面DE A 1，所以平面⊥AE A 1平面 DE A 1 ……5分ABCDE1A 1B 1C 1D（Ⅱ）取1BB 的中点F ，连接EF 、AF ，连接C B 1，则D A C B EF 11//// 所以AEF ∠是异面直线AE 与D A 1所成的角 ……7分 因为3=DE ，2211AE A A E A +=，所以21=A A ，22=BF ，26121=+==EF AF ……8分 所以662cos 222=⨯⨯-+=∠EF AE AF EF AE AEF ……9分（Ⅰ）（Ⅱ）解法2：以A 为原点，过A 且垂直于BC 的直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴、1AA 所在直线为z 建立右手系空间直角坐标系 ……1分 设a AA =1（0>a ），)0 , 0 , 0(A 则)0 , 2 , 0(D ) , 0 , 0(1a A )0 , 21, 23(E ……2分 （Ⅰ）设平面AE A 1的一个法向量为) , , (1p n m n =，则⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+=⋅002123111ap AA n n m n 0=p ，取1=m ，则3-=n ，从而)0 , 3 , 1(1-=n ， ……3分同理可得平面DE A 1的一个法向量为)2, 1 , 3(2an =， ……4分直接计算知021=⋅n n ，所以平面⊥AE A 1平面DE A 1 ……5分 （Ⅱ）由E A DE 1=即22222)21()23(0)212()23(a ++=+-+ 解得2=a)0 , 21, 23(=，)2 , 2 , 0(1-=A ……7分所以异面直线AE 与D A 1所成角的余弦值66||||cos 11=⋅=D A AE θ ……9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知21=A A ，平面DE A 1的一个法向量为2( 3 , 1 , n =又31=-,02CD ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，)2 , 2 , 0(1-=D A 设平面1CA D 的法向量()3=,,n x y z 则133=0=0A D n CD n ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩得(3=1,3,n ……11分设二面角1--C A D E 的平面角为ϕ，且ϕ为锐角 则232323cos =cos ,=n n n n n nϕ⋅所以二面角1--C A D E ……13分 18．（本小题满分13分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知122()n n a S n N *+=+∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列，设数列1n d ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩的前n 项和n T ，证明：1516n T <.18．解（Ⅰ）由122(n n a S n +=+∈N *）得122(n n a S n -=+∈N *，2n ≥），两式相减得：12n n n a a a +-=， 即13(n n a a n +=∈N *，2n ≥）， ……2分∵{}n a 是等比数列，所以213a a =，又2122,a a =+ ……3分 则11223a a +=，∴12a =， ……4分 ∴123n n a -=. …………………………………5分 （Ⅱ）由（1）知123n n a +=，123n n a -=∵1(1)n n n a a n d +=++ ……7分， ∴1431n n d n -⨯=+， ………8分令123111n T d d d =+++…1nd +， 则012234434343n T =++⨯⨯⨯+ (11)43n n -++ ① …………9分+⋅+⋅=2134334231n T …114343n n n n -+++ ② ………10分①-②得01222113434343n T =+++ (111)4343n nn -++- 111(1)111525331244388313n n nn n --++=+⨯-=-- …………12分11525151616316n n n T -+∴=-<. ……………13分 19．（本小题满分14分）已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P ，且它的离心率21=e . （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）与圆22(1)1x y -+=相切的直线kx y l +=：点C 满足OC ON OM λ=+，求实数λ20．解：(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为(12222>=+b a by a x 由已知得：2222243112a b c a c a b ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩解得 2286a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆的标准方程为： 22186x y += ……………5分 (Ⅱ) 因为直线l ：y kx t =+与圆22(1)1x y -+=相切2112(0)t k t t -=⇒=≠ ……………6分把t kx y +=代入22186x y +=并整理得： 222(34)8(424)0k x ktx t +++-=┈7分 设),(,),(2211y x N y x M ，则有 221438k ktx x +-=+ 22121214362)(k tt x x k t kx t kx y y +=++=+++=+ ……………8分因为，),(2121y y x x OC ++=λ， 所以，⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-λλ)43(6,)43(822k t k ktC … 9分 又因为点C 在椭圆上， 所以，222222222861(34)(34)k t t k k λλ+=++ …………… 10分 222222221134()(1t kt tλ⇒==+++ …………… 12分因为 02>t 所以 11)1()1(222>++t t …………… 13分所以 202λ<<，所以 λ的取值范围为 (0)(0,2) …………… 14分20．（本小题满分14分）已知函数()()()R a ax x x ax x f ∈--++=2312ln 23（Ⅰ）若2=x 为()x f 的极值点，求实数a 的值；（Ⅱ）若()x f y =在[)+∞,3上为增函数，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)当21-=a 时，方程()()x b x x f +-=-3113有实根，求实数b 的最大值. 20．解：（I ）()()()[]122441222122222++--+=--++='ax a x a ax x a x x ax a x f ………2分 因为2=x 为()x f 的极值点，所以()02='f ，即02142=-+a a a，解得0=a ……4分 （II ）因为函数()x f 在[)+∞,3上为增函数，所以()()()[]0122441222≥++--+='ax a x a ax x x f 在[)+∞,3上恒成立 ………6 分①当0=a 时，()()02≥-='x x x f 在[)+∞,3上恒成立，所以()x f 在[)+∞,3上为增函数，故0=a 符合题意 ………7分②当0≠a 时，由函数()x f 的定义域可知，必须有012>+ax 对3≥x 恒成立，故只能0>a ，所以()()02441222≥+--+a x a ax 在[)+∞,3上恒成立 ………8分令函数()()()2441222+--+=a x a ax x g ，其对称轴为ax 411-=，因为0>a ，所以1411<-a，要使()0≥x g 在[)+∞,3上恒成立，只要()03≥g 即可， ………9分 即()016432≥++-=a a g ，所以41334133+≤≤-a 因为0>a ，所以41330+≤<a .综上所述，a 的取值范围为⎡⎢⎣ ………10分（Ⅲ）当21-=a 时，方程()()x b x x f +-=-3113可化为()()xb x x x =-+--11ln 2问题转化为()()322ln 11ln x x x x x x x x x x b -+=-+--=在()+∞,0上有解，即求函数()32ln x x x x x g -+=的值域 ………11分 因为函数()32ln x x x x x g -+=，令函数()()0ln 2>-+=x x x x x h ， ………12分 则()()()x x x x x x h -+=-+='112211，所以当10<<x 时，()0>'x h ，从而函数()x h 在()1,0上为增函数，当1>x 时，()0<'x h ，从而函数()x h 在()+∞,1上为减函数，因此()()01=≤h x h………13分 而0>x ，所以()0≤⋅=x h x b ，因此当1=x 时，b 取得最大值0.………14分 （第三问如用数形结合求解，相应给分）。
2023届天津市十二区重点中学高三毕业班联考(一)数学试题含答案
2023年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（一）数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷选择题（共50分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应的答案标号涂黑.参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B ⋃=+·柱体的体积公式V Sh =.其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高.一、选择题（在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共9小题，每小题5分，满分45分）1.设全集{}3,2,1,0,1,2,3U =---，集合{}3,2,2,3A =--，{}3,0,1,2B =-，则()U A B ⋂=ð（）A.∅B.{}1 C.{}0,1 D.{}0,1,22.设x ∈R ，则“2log 1x <”是“260x x +-<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在其定义域上的图像大致是（）A. B.C. D.4.某校1000名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A.频率分布直方图中a 的值为0.004B.估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75C.估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D.估计总体中成绩落在[)60,70内的学生人数为1505.已知()f x 是偶函数，且当0x >时，()f x 单调递减，设122a =-，0.812b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，52log 2c =，则()f a ，()f b ，()f c 大小关系为（）A.()()()f c f b f a <<B.()()()f c f b f a >>C.()()()f c f a f b << D.()()()f c f a f b >>6.如图，几何体Ω为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为A ，圆柱的上、下底面的圆心分别为B 、C，若该几何体Ω存在外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上）.已知24BC AB ==，则该组合体的体积等于（）A.56πB.70π3C.48πD.64π7.由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊讶世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线22214y x a -=（0a >）下支的一部分，以原点为圆心，双曲线虚半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线分別相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形ABCD 的面积为2a ，则双曲线的方程为（）A.22194y x -= B.221124y x -= C.229124y x -= D.222194y x -=8.已知函数()2cos 2sin 2f x x x x =+-，以下说法中，正确的是（）①函数()f x 关于点π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭对称；②函数()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③当π2π,63x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭吋，()f x 的取值范围为()2,0-；④将函数()f x 的图象向右平移π12个单位长度，所得图象对应的解折式为()2sin21g x x =-.A.①②B.②③④C.①③D.②9.如图所示，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 为AB 的中点，0BA BC ⋅=，4BD BA BD AD ⋅=⋅= ，若向量C E 在向量C B上的投影向提的模为4，设M 、N 分别为线段CD 、AD 上的动点，且CM CD λ= ，19AN AD λ=，则EM EN ⋅ 的取值范围是（）A.11,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.1113,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1361,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.1161,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦第非选择题（共105分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上）10.设复数z 满足()34i 12i z +=-（i 为虚数单位），则z 的值为______.11.二项式323x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含x 的系数为______.12.已知圆经过点()3,0和点()1,2-，圆心在直线210x y +-=上，则圆的方程为______.13.袋子中装有n 个白球，3个黑球，2个红球，已知若从袋中每次取出1球，取出后不放回，在第一次取到黑球的条件下，第二次也取到黑球的概率为13，则n 的值为______，若从中任取3个球，用X 表示取出3球中黑球的个数，则随机变量X 的数学期望()E X =______.14已知0a >，0b >，且1ab =，则111a b a b+++的最小值为______.15.定义函数()(){}()()()()()(),min ,.f x f x g x f x g x g x f x g x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，设(){}2min11,38h x x xax a =--+--，若()0hx =㤷有3个不同的实数拫，则实数a 的取值范围是______.三、解答题（本大题5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）16.（本小题满分14分）在ABC △中，内角A 、B 、C的对边分別为a 、b 、c ，已知2sin sin cos tan C A A B =+.（1）求角B 的大小；（2）设2a =，3c =，求b 和()sin 2A B -的值.17.（本小题满分15分）已知底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA DQ ∥，33PA AD DQ ===，点E 、F 分别为线段PB 、C Q 的中点.（1）求证：E F ∥平面PADQ ；（2）求平面PCQ 与平面CDQ 夹角的余弦值；（3）线段PC 上是否存在点M ，使得直线A M 与平面PCQ 所成角的正弦值是7，若存在求出PMMC的值，若不存在，说明理由.18.（本小题满分15分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为点F ，A 、B 分别为椭圆C 的上、下顶点，若椭圆中心到直线AF 的距离为其短轴长的14.（1）求椭圆的离心率；（2）过点B 且斜率为k （0k >）的直线l 交椭圆C 于另一点N （异于椭圆的右顶点），交x 轴于点P ，直线AN 与直线x a =相交于点Q ，过点A 且与P Q 平行的直线截椭圆所C 的标准方程.19.（本小题满分15分）已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，其前8项的和为64；数列{}n b 是公比大于0的等比数列，13b =，3218b b -=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记211n nn n na c a ab ++-=，*n ∈N ，求数列{}n c 的前n 项和n T ；（3）记()12221,1,n n n n n a n a d n b +⎧-⋅⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，求221nn kk S d==∑.20.（本小题满分16）已知函数()sin x f x ae x a =--.（注： 2.718281e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）.（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当0a >时，函数()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一的极值点1x .（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）求证：()f x 在区间()0,π内有唯一的零点0x ，且012x x <.2023年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（一）数学参考答案一、选择题：每小题5分，满分45分题号123456789答案CACDBABDD二、填空题：每小题5分，共30分.（两空中对一个得3分，对两个得5分）10.511.270-12.()2214x y -+=13.2；9714.5215.843a -<<-或8a =-三、解答题：本大题5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（1）解：因为2sin sin cos tan C A A B =+，所以()sin sin sin cos cos sin sin 2sin sin cos cos cos cos cos B A B A B A B CC A A B B B B++=+⨯===…………2分所以2sin cos sin C B C =，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，所以1cos 2B =…………4分又()0,πB ∈，所以π3B =；…………5分（2）在ABC △中，由余弦定理及2a =，3c =，π3B =，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b .…………8分由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin A =.因为a c <，故cos A =.…………10分因此sin22sin cos 7A A A ==，21cos22cos 17A A =-=.…………12分所以，()11sin 2sin2cos cos2sin 727214A B A B A B -=-=⨯-⨯=.…………14分17.（本小题满分15分）（1）方法一：分别取AB ，CD 的中点G ，H ，连接EG ，GH ，FH ，…………1分由题意可知：点E 、F 分别为线段PB 、C Q 的中点.所以EG PA ∥，FH QD ∥，因为PA DQ ∥，所以EG FH ∥，所以点E ，G ，H ，F 四点共面，因为G ，H 分别为AB ，CD 的中点，所以GH AD ∥，A D ⊂平面ADQP ，GH ⊄平面ADQP ，所以GH ∥平面ADQP ，…………3分又因为FH QD ∥，QD ⊂平面ADQP ，FH ⊄平面ADQP ，所以FH ∥平面ADQP ，…………4分又因为FH GH H ⋂=，FH ，GH ⊂平面EGHF ，所以平面EGHF ∥平面ADQP ，因为EF ⊂平面EGHF ，所以E F ∥平面ADQP .…………5分方法二：因为ABCD 为正方形，且PA ⊥平面ABCD ，所以AP ，AB ，AD 两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系，…………1分则()0,0,3P ，()3,3,0C ，()0,3,1Q ，()3,0,0B ，33,0,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，31,3,22F ⎛⎫⎪⎝⎭…………3分（建系和对一个点的坐标就给1分，全对给2分，没有出现点的坐标扣1分）所以()0,3,1EF =- ，()3,3,3PC =- ，()3,0,1CQ =-，易知平面PADQ 的一个法向量()1,0,0a =，所以0a E F ⋅= ，所以E F a ⊥，……………….4分又因为EF ⊄平面ADQP ，所以E F ∥平面ADQP .…………5分（2）设平面PCQ 的法向量(),,m x y z =，则00PC m CQ m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即333030x y z x z +-=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则3z =，2y =，所以平面PCQ 的一个法向量为()1,2,3m =，…………6分易知平面CQD 的一个法向量()0,1,0n =，设平面PCQ 与平面CQD 夹角为θ，则14cos cos ,7m n θ==，所以平面PCQ 与平面CQD夹角余弦值为7…………8分（设角和作答具备其一即可，均不写扣1分）（3）假设存在点M ，PM PC λ=，[]0,1λ∈，设(),,M x y z ，所以()(),,33,3,3x y z λ-=-，………….9分所以()3,3,33M λλλ-所以()3,3,33AM λλλ=-…………10分由（2）得平面PCQ 的一个法向量为()1,2,3m =，427=12分得212810λλ-+=.即()()21610λλ--=，…………13分12λ∴=或16λ=，…………14分1PM MC ∴=或15PM MC =.…………15分18.（本小题满分15分）（1）由直角三角形面积关系得124bc b =⨯⨯，即124bc b a =⨯⨯解得12c a =…………3分（2）由（1）得2ac =，b ，易得()A ，()0,B，直线l 的方程为y kx =，因为直线l 不过右顶点()2,0c ，所以2k ≠，…………4分2222143x y c c y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得()22340k x +-=，234N x k ∴=+…………6分从而222834333,3434kc k c c N k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，3,0c P k ⎫⎪⎪⎝⎭…………8分直线AN2243333344c k k -==-…………9分故直线AN的方程为34y x k=-+…………10分令2x c =，得32,2c Q c k ⎛⎫-⎪⎝⎭，…………11分直线P Q的斜率322PQ ck k k-=== (12)分()A ，左顶点()2,0Dc -，2AD k =，即22214AD a b =+=，12c a =解得28a =，26b =，22c =.…………14分∴椭圆的标准方程为22186x y +=…………15分19.（本小题满分15分）【详解】（1）因12n n a a +-=，∴数列{}n a 是公差为2d =等差数列，且864S =，18782642a ⨯∴+⨯=，解得11a =，()12121n a n n ∴=+-=-；…………2分设等比数列{}n b 的公比为q （0q >），因为13b =，3218b b -=，23318q q ∴-=，即260q q --=，解得2q =-（舍去）或3q =，1333n n n b -∴=⨯=…………4分（2）由（1）得()()()21222121213n n nn n n n a c a a b n n +++--==-+⋅…………5分()()()()122111212132213213n n n n n n n n -⎡⎤+=-⎢⎥-+⋅-+⎣⎦=…………6分()()0112231111111112133333535373213213n nn n ⎡⎛⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢ ⎥-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎪ ⎪ ⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⋅⎤+⋅⎢=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦⎝⎦⎣()0111213213n n ⎛⎫- ⎪ ⎪⨯+⋅⎝⎭=()1122213n n -+⋅=，…………8分（3）()22121,1,n nn n n a n b d a n ++⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-⋅⎩ 为偶数为奇数()()2246213521n n n S d d d d d d d d -∴=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+…………9分()3121352112311111nn n n a a a a a a a a b b b b -⎡⎤++++⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+-⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()1232462159131433333n n n n ⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+-⋅-⎢⎥⎣⎦⎣⎦…………10分n nP Q =+12324623333n nnP =+++⋅⋅⋅+ （1）23411246222333333n nn n n P +-∴=+++⋅⋅⋅++（2）（1）－（2）：1234122222223333333n n n nP +=++++⋅⋅⋅+-1112112n 12n 2n 333111333313n n n n n +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=----1323323123223n n n n n P +++⎛⎫∴=-=- ⎪⋅⎝⎭…………12分方法二：()()22121211,21211,,,n k n kk n k n n a a n kb b n d n a n k a +-++⎧=⎪=⎨⎪⎪-=⎧⎪⎪=⎨⎪⎩⋅-⎩-⋅为偶数为奇数()()()()1121232,2,22333143,21143,21k k kk k k k k n k n k k n k k n k -⎧⎪⎨⎪++⎛⎫⎧-== ⎪⎪⎝⎭==⎨⎪-⋅-=--⋅-=-⎩⎩()2462011211355721233232333333223n n n nn n n n P d d d d -⎡++⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎢⎥⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦①当n 为偶数时，()21159131nn n Q a -⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⋅⎣⎦()()()()1591347434444*22nn n n ⎡⎤=-++-++⋅⋅⋅+--+-=++⋅⋅⋅+==⎣⎦，…………13分②当n 为奇数时，()()1444434*43212n n Q n n n -=++⋅⋅⋅+--=--=-+…………14分21,2,n n n Q n n -+⎧∴=⎨⎩为奇数为偶数121323121,2332312,23n nn n n n n n S P Q n n n ++⎧+⎛⎫--+ ⎪⎪⎪⎝⎭∴=+=⎨+⎛⎫⎪-+ ⎪⎪⎝⎭⎩为奇数为偶数…………15分20.（本小题满分16分）解：（1）()2sin 2x f x e x =--，求导()2cos x f x e x =-'，切线的斜率()0211kf '==-=，又()00f =，所以切点为()0,0，所以，切线方程为y x =…………4分（2）（ⅰ）求导()cos x f x ae x =-'，①当1a ≥时，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1xae >，()cos 0,1x ∈，()0f x ∴'>，则()y f x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；…………6分②当01a <<时，求二阶导()sin 0x f x ae x =+'>'，所以()f x '在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上递增，又()010f a =-<'，π2π02f ae ⎛⎫=> ⎪⎝⎭'，所以()f x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一零点1x ，…………8分当()10,x x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当1π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以函数()y f x =在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一极值点，符合题意，综上，a 的取值范围是()0,1.…………9分（ⅱ）由（ⅰ）知01a <<，当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()cos 0xf x ae x =->'，…………10分当()10,x x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()1,πx x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；所以()10,x x ∈时，()()00f x f <=，则()10f x <，又因为()()πππ10f ae a a e =-=->，所以()f x 在()1,πx 上有唯一零点0x ，即()f x 在()0,π上有唯一零点0x .…………12分因为()12112sin2x f x ae x a =--，由（ⅰ）知()10f x '=，所以11cos x ae x =，则()1112111111cos 2sin2cos 2sin cos x x x x f x ae x a e x x x e =--=--11111cos 2sin x x x e x e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭…………13分设()2sin x x h x e x e -=--，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()2cos x x h x e x e -'=-+，2x x e e -+> ，2cos 2x <，所以()2cos 0x x h x e e x -'=+->()h x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递增，又()00h =，所以()0h x >，又π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos 0x >，所以()1111112cos 2sin 0x x f x x e x e ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭.所以()()1020f x f x >=.由前面讨论知112πx x <<，10πx x <<，()f x 在()1,πx 单调递增，所以012x x <.…………16分。
2021年天津市十二重点中学高三毕业班联考数学理(一)
（1）求数列 , 的通项公式；
（2）设 ， 为 的前 项和，求 .
19．如图，已知椭圆 的左右顶点分别是 ，离心率为 ，设点 ，连接 交椭圆于点 ，坐标原点是 ．
（1）证明： ；
（2）设三角形 的面积为 ，四边形 的面积为 ，若 的最小值为1，求椭圆的标准方程．
故选C．
5．B
【分析】
由函数的图象的顶点坐标求出 ，由周期求出 ，由 在函数图象上，结合 的范围求出 的值，可得函数的解析式．再根据函数 的图象变换规律，可得结论．
【详解】
解：由图可知 ，∵ ，
∴ ，解得： ，可得 ，
将 代入得： ，
∵ ，
∴ ， ，
故可将函数 的图像向左平移 个单位长度得到 的图像.
20．已知函数 ,
（Ⅰ）当 时，求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若不等式 对任意的正实数 都成立，求满足条件的实数 的最大整数；
（Ⅲ）当 时，若存在实数 且 ，使得 ，求证： .
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
先解绝对值不等式的自然数解得集合A，再求值域得集合B，最后根据交集定义求结果.
【详解】
因为 ，所以 , ,
3．阅读如图所示的程序框图，则输出的数据为（ ）
A．21B．58C．141D．318
4．2021年天津市十二重点中学高三毕业班联考（）设条件 ：函数 在 上单调递增，条件 ：存在 使得不等式 成立，则 是 的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．函数 的部分图像如图所示，为了得到 的图像，只需将函数 的图像（）
比较两个函数值或两个自变量的大小：首先根据函数的性质把两个函数值中自变量调整到同一单调区间，然后根据函数的单调性，判断两个函数值或两个自变量的大小
天津市十二重点中学高三数学毕业班联考试题(一)理
2017年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一）数 学（理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷 选择题 (共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;参考公式:·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+•柱体的体积公式Sh V =. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、 选择题：本大题共8小题,每小题5分，满分40分．1.已知集合{}24M x x =|>，{}3N x x =|1<<,则R N C M = （ )A 。
{}1x x |-2≤< B.{}2x x |-2≤≤ C. {}2x x |1<≤ D.{}2x x |<2.设变量,x y 满足线性约束条件50,0,3,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则目标函数24z x y =+的最小值是（ ）A ．6-B ．2-C ．4D ．63.阅读右边程序框图,当输入x 的值为2时，运行相应程序,则输出x 的值为（ )A ．5B ．11C ．23D ． 474.下列命题中真命题的个数是（ ） ①若q p ∧是假命题，则,p q 都是假命题； ②命题“01,23≤+-∈∀x x R x "的否定是“32000,10x R x x ∃∈-+>”; ③若,11:,1:<≤xq x p 则p ⌝是q 的充分不必要条件。
A ．0B ．1C ．2D ．35。
已知数列{}n a 为等差数列，且满足1590a a +=.若(1)m x -展开式中2x 项的系数等于数列{}n a 的第三项，则m 的值为（ ）A ．6B ．8C ．9D ．106。
设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若sin 2sinB A =，4,3c C π==，则ABC ∆的面积为（ ） A ．83 B ．163C ．1633D ．837。
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江西省南昌市2008-2009学年度高三第一次模拟测试数学（理）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}0,1,M x x x R y y y R =≠∈≠∈ ,集合{0P x x =<或01x <<或}1,x x R >∈，则之间的关系是Ａ． M P Ø Ｂ．P M Ø Ｃ． P M = Ｄ．M P =∅ 2．已知1ab =，函数()xf x a =与函数()log b g x x =-的图象可能是3．数列{}n a 中，12i a =，*1(1i)(1i)()n n a a n N ++=-∈，则10a 的值为A ．2B ．-2C ．2iD ．1 024i4．设,,αβγ是三个互不重合的平面，m ，n 是直线，给出下列命题 ①若,αββγ⊥⊥，则αγ⊥； ②若//,m αββ⊂，则//m α；③若ｍ，ｎ在γ内的射影互相垂直，则m n ⊥；④若//,//,m n αβαβ⊥，则m n ⊥． 其中正确命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．35．设()cos sin f x x x =-，把()f x 的图象按向量a =（m ，0）（m>0）平移后，图象恰好为函数()y f x '=-的图象，则m 的值可以为 A ．4π B ．34π C ．π D ．2π6．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且2S =10，555=S ，则过点P （n a n ,）和Q（2,2++n a n ）（*N n ∈）的直线的一个方向向量的坐标可以是 A （2，4） B （34,31--） C （1,21--） D （1,1--） 7．设5nx x -（）的展开式的各项系数之和为M , 二项式系数之和为N ,若M -N ＝240, 则展开式中x 3的系数为A ．150-B ．150C ．500-D ．5008．设函数2()ln(1)f x x x x =+++， 则对于任意的实数a 和b ，0a b +>是()()0f a f b +>的A ．必要不充分条件；B ．充分不必要条件；C ．充要条件；D ．既不充分也不必要条件． 9．设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则 A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-10．过点(4,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，O 为坐标原点，则OAB ∆的外接圆方程是A ．22(2)(1)5x y -+-=B ．22(4)(2)20x y -+-=C ．22(2)(1)5x y +++=D ．22(4)(2)20x y +++=11如图，在棱长为4的正方体ABCD —A′B′C′D′中，E 、F 分别是AD ，A′D′的中点，长为2的线段MN 的一个端点M 在线段EF 上运动，另一个端点N 在底面A′B′C′D′上运动，则线段MN 的中点P 的轨迹（曲面）与二面角A —A′D′—B′所围成的几何体的体积为 A ．34π B ．32π C ．3π D ． 6π12．若()()()()()f x y f x f y f x f y +=++，且(1)1f =，则(1)(2)(2009)f f f ++⋅⋅⋅+等于 A ．200921- B ．201021- C ．200922010- D ．201022011-二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．13．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合,则p 的值为14．一对酷爱运动的年轻夫妇，让刚满十个月大的婴儿把“0，0，2，8，北，京”六张卡片排成一行，若婴儿能使得排成的顺序为“2008北京”或“北京2008”，则受到父母的夸奖，那么婴儿受到夸奖的概率为15．设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 作直线,与,l α都成045角的直线有 条.16．不等式组0,0,(1)4x y k y kx k≥⎧⎪≥>⎨⎪≤-+⎩所表示的平面区域为D ，若D 的面积为S ，则1kS k -的最小值为 。
三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量()2sin ,3m B =- ，2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且//m n 。
（I ）求角B 的大小；（II ）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值。
18．（本小题满分12分）已知数列}{n a ，其前n 项和S n 满足λλ(121+=+n n S S 是大于0的常数），且a 1=1，a 3=4. （I ）求λ的值；（II ）求数列}{n a 的通项公式a n ；（III ）设数列}{n na 的前n 项和为T n ，试比较2nT 与S n 的大小。
19．（本小题满分12分）一个正四面体的四个面上分别涂有1，2，3，4四个数学，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数学分别为12x x 、，记2212(3)(3)x x ξ=-+-. （1）分别求出ξ取得最大值和最小值时的概率；（2）求ξ的分布列及数学期望.。
20．（本小题满分12分）已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥。
（I ）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （II ）求1CC 到平面1A AB 的距离； （III ）求二面角1A A B C --的大小21．（本小题满分12分）已知函数32()()f x ax bx cx d a b c d R =+++∈、、、，且函数()f x 的图象关于原点对称，其图象在3x =处的切线方程为8180x y --=. （1）求()f x 的解析式；（2）是否存在区间[]m n，，使得函数()g x的定义域和值域均为[]m n，，且其解析式为()f x的解析式？若存在，求出这样的一个区间[]m n，；若不存在，则说明理由；22．（本小题满分14分）设双曲线22:12xC y-=的左、右顶点分别为1A、2A，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q。
（1）若直线m 与x 轴正半轴的交点为T ，且121A P A Q ⋅=，求点T 的坐标；（2）求直线1A P 与2A Q 的交点M 的轨迹E 的方程；（3）过点(1,0)F 作直线l 与（2）中的轨迹E 交于不同的两点A 、B ，设FA FB λ= ，若[2,1]λ∈--，求||TA TB +（T 为（1）中的点）的取值范围。
参考答案一．选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案（理）BBABDBBCBACＤ二．填空题13． 4 ； 14. (理) 1180 （文）13- ； 15. 2； 16. 32 三．解答题17．解：(1) //m n ⇒ 2sinB(2cos 2B2－1)＝－3cos2B ……………………………2分⇒2sinBcosB ＝－3cos2B ⇒ tan2B ＝－ 3 ……………………………………4分 ∵0＜2B ＜π,∴2B ＝2π3,∴B ＝π3 ………………………………………………6分(2) ∵当B ＝π3时， b ＝2，由余弦定理得：4＝a 2＋c 2－ac≥2ac －ac ＝ac(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立) ………………………9分 ∵S △ABC ＝12 acsinB ＝34ac≤ 3 …………………………………………………11分∴△ABC 的面积最大值为 3………………………………………………………12分18．解：（I ）由121+=+n n S S λ得 12412,121212223112++=+=+=+=+=λλλλλλS S a S S ， …………2分.1,0,4,432233=∴>==-=∴λλλa S S a ……………………………………4分（II ）由)1(211211+=++=++n n n n S S S S 整理得，∴数列{1+n S }是以S 1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，……………………6分),2(2,12,221111≥=-=∴-=∴⋅=+∴---n S S a S S n n n n n n n n当n=1时a 1=1满足.2,211--=∴=n n n n a a ………………………………………8分（III ）,22)1(23222112210--⋅+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n T ① n n n n n n n T 22)1(2)2(22212122⋅+⋅-+⋅-++⋅+⋅=-- ，②①－②得n n n n n T 222221122⋅-+++++=--- ，则122+-⋅=nnn n T . ……………………………………………………10分.232)3()12(212221+⋅-=--+-⋅=-∴-n n n n n n n n S T∴当n =1时，.0212,2,02122211<-=-=<-=-S T n S T 时当 即当n =1或2时，.2,02n n n n S T S T <<- 当n >2时，.2,02n n n n S TS T >>-……12分 19.解：（Ⅰ）掷出点数x 可能是：1，2，3，4.则3x -分别得：-2，-1，0，1. 于是2(3)x -的所有取值分别为：0，1，4.因此ξ的所有取值为：0，1，2，4，5，8. ………………………………………………2分 当11x =且21x =时，2212(3)(3)x x ξ=-+-可取得最大值8，此时，111(8)4416P ξ==⨯=； …………………………………………………… 4分当13x =时且23x =时，2212(3)(3)x x ξ=-+-可取得最小值0.此时111(0)4416P ξ==⨯=. ……………………………………………………6分（II ）由（1）知ξ的所有取值为：0，1，2，4，5，8.1(0)(8)16P P ξξ====； ……………………………………………………7分 当1ξ=时，12(,)x x 的所有取值为（2，3）、（4，3）、（3，2）、（3，4）.即4(1)16P ξ==； 当2ξ=时，12()x x ，的所有取值为（2，2）、（4，4）、（4，2）、（2，4）.即4(2)16P ξ==8分 当4ξ=时，12(,)x x 的所有取值为（1，3）、（3，1）即2(4)16P ξ==； 当5ξ=时，12(,)x x 的所有取值为（1，2）、（2，1）、（1，4）、（4，1）. 即4(5)16P ξ==9分 所以ξ的分布列为：ξ0 1 2 4 5 8P 116 14 1418 14 116即ξ的期望1111111245831644841E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯. ……………12分20．解：（I ）因为1A D ⊥平面ABC ，所以平面11AAC C ⊥平面ABC ，……………1分 …………………………10分又BC AC ⊥，所以BC ⊥平面11AAC C ，得1BC AC ⊥，又11BA AC ⊥ …………2分所以1AC ⊥平面1A BC ； ………………3分（II ）因为11AC AC ⊥，所以四边形11AAC C 为 菱形，故12AA AC ==，又D 为AC 中点，知160A AC ∠= 。