4.平行线的性质及平移
平行线的性质及平移
第二讲平行线的性质及平移教学目标:1.根据平行线的性质判断角度关系（重点）2.平行线中添加辅助线和动点问题3.平行线的性质和实际运用教学过程：请同学们回顾下平行的判定方法！判定方法:(1) 同角相等,两直线平行;(2)内错角相等,两直线平行;(3)同旁内角互补,两直线平行;(4)在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行.性质: (1)两直线平行,同位角相等;(2)两直线平行,内错角相等;(3)两直线平行,同旁内角互补.1.将直角三角板和直尺如图放置．若∠1＝20°，则∠2的度数为( )A．60° B．50° C．40° D．30°第1题图第2题图2．如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，AC是∠BAD的平分线，则与∠1相等的角(∠1除外)有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个3．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯的角∠A＝120°，第二次拐弯的角∠B＝150°，第三次拐弯的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯前的道路平行，则∠C的度数为( )A．120°B．130°C．140°D．150°填空题4．如图，要使AD∥BC，需添加一个条件，这个条件可以是 ________．(只需写出一种情况)第4题图第5题图5.如图，直线AB，CD被直线AE所截．若AB∥CD，∠A＝110°，则∠1＝________°.6．用两个相同的三角板按照如图所示方式作平行线，理由是________________________．第6题图第7题图7.如图，已知l1∥l2，直线l与l1，l2分别相交于C，D两点，把一块含30°角的三角尺按如图位置摆放．若∠1＝130°，则∠2＝________°.8.如图是一台起重机的工作简图，前后两次吊杆位置OP1，OP2与绳线的夹角分别是30°和70°，则夹角∠P1OP2＝________°.第8题图第9题图9.如图是一小区大门的栏杆示意图，当栏杆抬起时，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝________度．1.C2．C 解析：∠DCA，∠ACB，∠EAO，∠EOA，∠BAO都和∠1相等．3．D 解析：过点B作直线MN∥AE即可．4．∠1＝∠4(答案不唯一) 5.706．内错角相等，两直线平行7.208．40 解析：如图，过O作OA∥P2C，则∠AOP2＝∠P2＝70°.由题意，得P1B∥P2C，∴OA∥P1B，∴∠AOP1＝∠P1＝30°，∴∠P1OP2＝∠AOP2－∠AOP1＝70°－30°＝40°.9．270平行线中添加辅助线问题：◆类型一含一个拐点的平行线问题1．如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放．若∠1＝58°，则∠2的度数为( ) A．30° B．32° C．42° D．58°第1题图第2题图2．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足( )A．∠α＋∠β＝180° B．∠β－∠α＝90°C．∠β＝3∠α D．∠α＋∠β＝90°3．阅读下列解题过程，然后解答后面的问题．如图①，已知AB∥CD，∠B＝35°，∠D＝32°，求∠BED的度数．解：过E作EF∥AB.∵AB∥CD，∴CD∥EF.∵AB∥EF，∴∠1＝∠B＝35°.又∵CD∥EF，∴∠2＝∠D ＝32°，∴∠BED＝∠1＋∠2＝35°＋32°＝67°.如图②、图③，是明明设计的智力拼图玩具的一部分，现在明明遇到两个问题，请你帮他解决．(1)如图②，已知∠D＝30°，∠ACD＝65°，为了保证AB∥DE，∠A应多大？(2)如图③，要使GP∥HQ，则∠G，∠GFH，∠H之间有什么关系？◆类型二含多个拐点的平行线问题4．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的大小为( )A．20° B．30° C．40° D．70°第4题图第5题图5．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2的度数为________．6．如图，给出下列三个论断：①∠B＋∠D＝180°；②AB∥CD；③BC∥DE.请你以其中两个论断作为已知条件，填入“已知”栏中，以剩余一个论断作为结论，填入“结论”栏中，使之成为一道由已知可得到结论的题目，并解答该题．已知：______________，结论：______________．解：7．如图①，AB∥CD，EOF是直线AB，CD间的一条折线．(1)试说明：∠EOF＝∠BEO＋∠DFO；(2)如果将折一次改为折两次，如图②，则∠BEO，∠EOP，∠OPF，∠PFC之间会满足怎样的数量关系？并说明理由．参考答案与解析1．B 2.B3．解：(1)∠A＝∠ACD－∠D＝35°.(2)过点F向右作FM∥PG.∵GP∥HQ，∴FM∥HQ，∴∠G＋∠MFG＝180°，∠H＋∠MFH＝180°，∴∠G＋∠GFH＋∠H＝360°.4．B 解析：如图，过C向右作CM∥AB.∵AB∥DE，∴DE∥CM.∵∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，∴∠BCM＝70°，∠DCM＝180°－140°＝40°，∴∠BCD＝∠BCM－∠DCM＝70°－40°＝30°.5．140°解析：如图，延长AE交l2于点B.∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝40°.∵∠α＝∠β，∴AB∥CD，∴∠2＋∠3＝180°，∴∠2＝180°－∠3＝180°－40°＝140°.6．解：①②③∵AB∥CD，∴∠B＝∠C.又∵∠B＋∠D＝180°，∴∠C＋∠D＝180°，∴BC∥DE(答案不唯一)．7．解：(1)如图①，过O向左作OM∥AB，∴∠1＝∠BEO.∵AB∥CD，∴OM∥CD，∴∠2＝∠DFO，∴∠1＋∠2＝∠BEO＋∠DFO，即∠EOF＝∠BEO＋∠DFO.(2)∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF.理由如下：如图②，过O向左作OQ∥AB，过P向右作PN∥CD.∵AB∥CD，∴OQ∥PN∥AB∥CD，∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，∴∠1＋∠2＋∠PFC＝∠BEO＋∠3＋∠4，∴∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF.平行线间的动点问题：1.如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°(1)求证：AB∥CD；(2)如图2，由三角形内角和可知∠E=90°，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD否存在确定的数量关系？并证明；(3)如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，①当点Q在射线CD上运动时(点C除外)∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．②当点Q在射线CD的反向延长线上运动时(点C除外)∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论，不需说明理由．证明：（1）∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，∵∠EAC+∠ACE=90°，∴∠BAC+∠ACD=180，∴AB∥CD；（2）∠BAE+∠MCD=90°；过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+∠MCD=90°；（3）如图3：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，∴∠BAC=∠PQC+∠QPC；如图4：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACQ∵∠PQC+∠PCQ+∠ACQ=180°，∴∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°．解析：（1）根据角平分线的性质可得∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，再由∠EAC+∠ACE=90°可得∠BAC+∠ACD=180，进而得到AB∥CD；（2）过E作EF∥AB，证明EF∥∥AB∥CD，可得∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，再由∠E=90°，可得∠BAE+∠ECD=90°，进而得到∠BAE+∠MCD=90°；（3）根据平行线的性质结合三角形内角和定理可得∠CPQ+∠CQP与∠BAC数量关系举一反三：2.如图，已知直线AB∥CD，∠A=∠C=100°，E、F在CD上，且满足∠DBF=∠ABD，BE平分∠CBF．(1)直线AD与BC有何位置关系？请说明理由．(2)求∠DBE的度数．(3)若平行移动AD，在平行移动AD的过程中，是否存在某种情况，使∠BEC=∠ADB？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．（1）AD∥BC．证明：∵AB∥CD，∴∠A+∠ADC=180°，又∵∠A=∠C∴∠ADC+∠C=180°，∴AD∥BC；（2）解：∵AB∥CD，∴∠ABC=180°-∠C=80°，∵∠DBF=∠ABD，BE平分∠CBF，∴∠DBE=∠ABF+∠CBF=∠ABC=40°；（3）存在．解：设∠ABD=∠DBF=∠BDC=x°．∵AB∥CD，∴∠BEC=∠ABE=x°+40°；∵AB∥CD，∴∠ADC=180°-∠A=80°，∴∠ADB=80°-x°．若∠BEC=∠ADB，则x°+40°=80°-x°，得x°=20°．∴存在∠BEC=∠ADB=60°．解析：（1）根据平行线的性质，以及等量代换证明∠ADC+∠C=180°，即可证得AD∥BC；（2）由直线AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠ABC的度数，又由∠DBE=∠ABC，即可求得∠DBE的度数．（3）首先设∠ABD=∠DBF=∠BDC=x°，由直线AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，可求得∠BEC与∠ADB的度数，又由∠BEC=∠ADB，即可得方程：x°+40°=80°-x°，解此方程即可求得答案．课后提升1.如图，把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，D ，C 分别在D ′，C ′的位置上，ED ′与BC 的交点为G .若∠EFG ＝55°，求∠1与∠2的度数．解：∵AD ∥BC ，∴∠DEF ＝∠EFG ＝55°.(2分)由折叠可知∠GEF ＝∠DEF ＝55°，∴∠1＝180°－2×55°＝70°.(6分)∵AD ∥BC ，∴∠2＝180°－∠1＝110°.(8分)2.如图，已知∠ABC 与∠ECB 互补，∠1＝∠2，则∠P 与∠Q 一定相等吗？为什么？解：∠P ＝∠Q .(2分)理由如下：∵∠ABC ＋∠ECB ＝180°，∴AB ∥ED ，∴∠ABC ＝∠BCD .(5分)∵∠1＝∠2，∴∠ABC －∠1＝∠BCD －∠2，即∠PBC ＝∠BCQ ，∴PB ∥CQ ，(8分)∴∠P ＝∠Q .(10分)3.如图，已知∠MBA ＋∠BAC ＋∠NCA ＝360°. (1)试说明：MD ∥NE ；(2)若∠ABD ＝70°，∠ACE ＝36°，BP ，CP 分别平分∠ABD ，∠ACE ，求∠BPC 的度数．解：(1)如图，过A 向左作AF ∥MD .(1分)∴∠MBA ＋∠BAF ＝180°.(3分)∵∠MBA ＋∠BAC ＋∠NCA ＝360°，∴∠FAC ＋∠NCA ＝180°，∴AF ∥NE .(4分)∵AF ∥MD ，∴MD ∥NE .(5分)(2)如图，过P 向左作PQ ∥MD ，由(1)知MD ∥NE ，∴PQ ∥NE .(6分)∵BP 平分∠ABD ，∴∠DBP ＝12∠ABD ＝35°.同理可得∠PCE ＝12∠ACE ＝18°.(8分)∵PQ ∥MD ，PQ ∥NE ，∴∠BPQ ＝∠DBP ＝35°，∠CPQ＝∠PCE ＝18°，∴∠BPC ＝∠BPQ ＋∠CPQ ＝53°.(10分)4.AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ABC，∠ADC的平分线交于点E(不与B，D点重合)．∠ABC=n°，∠ADC=80°．(1)若点B在点A的左侧，求∠BED的度数(用含n的代数式表示)；(2)将(1)中的线段BC沿DC方向平移，当点B移动到点A右侧时，请画出图形并判断∠BED的度数是否改变．若改变，请求出∠BED的度数(用含n的代数式表示)；若不变，请说明理由．解：（1）过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=80°，∴∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=40°，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=n°+40°；（2）∠BED的度数改变，过点E作EF∥AB，如图，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=80°，∴∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=40°，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-n°，∠CDE=∠DEF=40°，∴<BED=<BEF+<DEF=180°-n°+40°=220°-n°．解析：（1）过点E作EF∥AB，根据平行线性质推出∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，根据角平分线定义得出∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=40°，代入∠BED=∠BEF+∠DEF求出即可；（2）过点E作EF∥AB，根据角平分线定义得出∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=40°，根据平行线性质得出∠BEF=180°-∠ABE=180°-n°，∠CDE=∠DEF=40°，代入∠BED=∠BEF+∠DEF求出即可．。
平行线与平移旋转的关系
平行线与平移旋转的关系在几何学中，平行线和平移旋转是两个常见的概念。
它们在空间中具有一定的关系，这篇文章将探讨平行线与平移旋转之间的联系。
一、平行线的定义与特性平行线是指在同一平面上永不相交的两条直线。
根据平行线的特性，我们可以得出以下结论：1. 平行线的斜率相等。
如果两条直线的斜率相等，那么它们一定是平行线。
2. 平行线的间距始终相等。
对于平行线上的任意两点，它们到另一条平行线的距离都相等。
3. 平行线在无穷远处相遇。
如果两条平行线无限延长，它们会在无穷远的地方相交。
二、平移的定义与性质平移是指在平面上不改变物体形状的情况下，沿着某个方向将物体整体移动的操作。
平移具有以下特点：1. 平移是向量加法的几何解释。
在平移过程中，我们可以将物体的每一点都看作是由一个位移向量加上原始位置得到的新位置。
2.平移不改变物体的形状和大小。
无论是平移前还是平移后，物体的形状和大小都保持不变。
三、平行线与平移的关系平行线与平移之间有密切的联系。
具体来说，平行线可以通过平移得到。
1. 在同一平面上，选择一条平行线和一个向量，然后将平行线上的每个点都沿着这个向量进行平移，得到的新线仍然是平行线。
2. 平行线的平移具有可逆性。
也就是说，如果我们将平行线进行反向平移，得到的仍然是原来的平行线。
这种平行线与平移的关系可以用数学公式进行表示。
设直线L上的点A经向量v的平移后到达点B，则可以表示为：B = A + v。
四、平行线与旋转的关系平行线与旋转也存在一定的关系。
具体来说，平行线可以通过旋转得到。
1. 在同一平面上，选择一条平行线和一个旋转中心，然后将平行线上的每个点都绕着旋转中心进行旋转，得到的新线仍然是平行线。
2. 平行线的旋转同样具有可逆性。
也就是说，如果我们将平行线进行反向旋转，得到的仍然是原来的平行线。
同样地，这种平行线与旋转的关系可以用数学公式进行表示。
设直线L上的点A绕旋转中心O逆时针旋转θ角度后到达点B，则可以表示为：B = R(θ) · A，其中R(θ)代表逆时针旋转θ的变换矩阵。
初中数学 平移可以保持平行线性质不变吗
初中数学平移可以保持平行线性质不变吗在初中数学中，平移是一种二维几何变换，通过将图形或点沿着某个方向移动一定的距离，使其位置发生变化。
平移可以保持平行线性质不变。
以下是对平移保持平行线性质不变的解释：1. 平行线的性质：平行线是指在同一平面上，没有任何交点且方向相同的线。
平行线具有以下性质：-平行线的距离是始终相等的。
-平行线之间的夹角是始终相等的。
2. 平移的定义：平移是一种刚体变换，它保持图形的形状和大小不变，只改变图形的位置。
平移可以通过向量来表示，其中向量的起点和终点分别表示图形或点的初始位置和平移后的位置。
3. 平移对平行线性质的影响：平移保持图形的形状和大小不变，因此它可以保持平行线的性质不变。
当一个图形经过平移时，其中的平行线仍然保持平行，并且它们之间的距离和夹角保持不变。
平移只是将整个图形或点沿着某个方向移动一定的距离，而不会改变图形的形状和大小。
4. 平移保持平行线性质不变的证明：考虑一个简单的例子，假设有两条平行线L1和L2。
对于这两条平行线，它们之间的距离是始终相等的，并且夹角是始终相等的。
进行平移操作，将整个图形平移一定的距离。
在平移过程中，平行线L1和L2上的每一个点都按照平移向量的方向和大小移动了一定的距离。
由于平移不改变图形的形状和大小，所以在平移后，平行线L1和L2仍然保持平行，并且它们之间的距离和夹角保持不变。
综上所述，平移是一种保持图形形状和大小不变的刚体变换，同时也保持平行线的性质不变。
平移只改变图形或点的位置，而不改变形状和大小，因此它不会影响平行线之间的距离和夹角。
这个性质在进行几何证明和计算中非常重要。
平行线的性质及平移(基础)知识讲解.doc
平行线的性质及平移（基础）知识讲解责编:某老师【学习目标】1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；3．了解图形的平移变换，知道一个图形进行平移后所得的图形与原图形之间所具有的联系和性质，能用平移变换有关知识说明一些简单问题及进行图形设计.【要点梳理】要点一、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点二、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．要点诠释：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．要点三、图形的平移1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移．要点诠释：（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.2. 性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：（1）平移后，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，各组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.要点诠释：（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离．(2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的.3. 作图：平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连．(1)定：确定平移的方向和距离；(2)找：找出表示图形的关键点；(3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；(4)连：按原图形顺次连接对应点．【典型例题】类型一、平行线的性质1．（2015•泰安）如图，AB ∥CD ，∠1=58°，FG 平分∠EFD ，则∠FGB 的度数等于（ ）A ．122°B ．151°C ．116°D ．97°【思路点拨】根据两直线平行，同位角相等求出∠EFD ，再根据角平分线的定义求出∠GFD ，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答．【答案】B ．【解析】解：∵AB ∥CD ，∠1=58°，∴∠EFD=∠1=58°，∵FG 平分∠EFD ，∴∠GFD=∠EFD=×58°=29°，∵AB ∥CD ，∴∠FGB=180°﹣∠GFD=151°．【总结升华】题考查了平行线的性质，角平分线的定义，比较简单，准确识图并熟记性质是解题的关键．举一反三：【变式】如图，已知1234//,//l l l l ，且∠1=48°，则∠2＝ ，∠3＝ ，∠4＝ .【答案】48°，132°，48°类型二、两平行线间的距离2．如图所示，直线l1∥l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1上，若△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则()A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不确定【答案】B【解析】因为l1∥l2，所以C、D两点到l2的距离相等．同时△ABC和△ABD有共同的底AB，所以它们的面积相等．【总结升华】三角形等面积问题常与平行线间距离处处相等相结合．举一反三：【变式】（2015•河北模拟）如图，在五边形ABCDE中，AB∥DE，若△ABE的面积为5，则△ABD的面积为（）A．4 B．5 C．10 D．无法判断【答案】B．解：∵在五边形ABCDE中，AB∥DE，∴点E、点D到直线AB上的垂线段相等，即在△ABE与△ABD中，边AB上的高线相等，∴△ABE与△ABD是同底等高的两个三角形，S△ABE=S△ABD=5．类型三、图形的平移3．如图所示，平移△ABC，使点A移动到点A′，画出平移后的△A′B′C′．【思路点拨】平移一个图形，首先要确定它移动的方向和距离，连接AA′后这个问题便获得解决．根据平移后的图形与原来的图形的对应线段平行(或在一条直线上)且相等，容易画出所求的线段．【答案与解析】解：如图所示，（1）连接AA′，过点B作AA′的平行线l，在l上截取BB′＝AA′，则点B′就是点B的对应点．（2）用同样的方法做出点C的对应点C′，连接A′B′、B′C′、C′A′，就得到平移后的三角形A′B′C′．【总结升华】平移一个图形，首先要确定它移动的方向和距离．连接AA′，这个问题就解决了，然后分别把B、C按AA′的方向平移AA′的长度，便可得到其对应点B′、C′，这就是确定了关键点平移后的位置，依次连接A′B′，B′C′，C′A′便得到平移后的三角形A′B′C′．4．(湖南益阳)如图所示，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，若∠CAB＝50°，∠ABC＝100°，则∠CBE的度数为________．【答案】30°【解析】根据平移的特征可知：∠EBD＝∠CAB＝50°而∠ABC＝100°所以∠CBE＝180°-∠EBD-∠ABC＝180°-50°-100°＝30°【总结升华】图形在平移的过程有“一变两不变”、“一变”是位置的变化，“两不变”是形状和大小不变．本例中由△ABC经过平移得到△BED．则有AC＝BE，AB＝BD，BC＝DE，∠A＝∠EBD，∠C＝∠E，∠ABC＝∠BDE．举一反三：【变式】 (上海静安区一模)如图所示，三角形FDE经过怎样的平移可以得到三角形ABC()A．沿EC的方向移动DB长B．沿BD的方向移动BD长C．沿EC的方向移动CD长D．沿BD的方向移动DC长【答案】A类型四、平行的性质与判定综合应用5．如图所示，AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝( )A．180°B．270°C．360°D．540°【答案】C【解析】过点C作CD∥AB，∵CD∥AB，∴∠BAC+∠ACD=180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵EF∥AB∴EF∥CD．∴∠DCE+∠CEF=180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°【总结升华】这是平行线性质与平行公理的综合应用，利用“两直线平行，同旁内角互补，”可以得到∠BAC +∠ACE+ ∠CEF＝360°．举一反三：【变式】如图所示，如果∠BAC+∠ACE+∠CEF＝360°，则AB与EF的位置关系．【答案】平行。
(完整版)平行线的性质及平移(提高)知识讲解
平行线的性质及平移(提高)知识讲解【学习目标】1掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；2•了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；3. 掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论；4•了解图形的平移变换，知道一个图形进行平移后所得的图形与原图形之间所具有的联系和性质，能用平移变换有关知识说明一些简单问题及进行图形设计【要点梳理】要点一、平行线的性质性质1 :两直线平行，同位角相等；性质2:两直线平行，内错角相等；性质3:两直线平行，同旁内角互补.【高清课堂：平行线的性质及命题403103平行线的性质和判定小结】要点诠释：(1) “同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行” •(2) 从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质.要点二、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离.要点诠释：(1) 求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离.(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等.要点三、命题、定理、证明1. 命题：判断一件事情的语句，叫做命题.要点诠释：(1)命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项•(2)命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则……•”(3)真命题与假命题：真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.2. 定理：定理是从真命题(公理或其他已被证明的定理)出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据.3. 证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明•要点诠释：(1)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等•(2 )判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可.要点四、平移1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移. 要点诠释：(1 )图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离.(2 )图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置2. 性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：(1)平移后，对应线段平行且相等；(2)平移后，对应角相等；(3)平移后，对应点所连线段平行且相等；(4)平移后，新图形与原图形是一对全等图形.要点诠释：(1) “连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离.(2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的3. 作图：平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”一一定、找、移、连.(1) 定：确定平移的方向和距离；(2) 找：找出表示图形的关键点；(3) 移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点;(4) 连：按原图形顺次连接对应点. 【典型例题】类型一、平行线的性质( )【变式】下图是一个方形螺线•已知相邻均为1厘米，则螺线总长度是 厘米.【答案】B类型二、两平行线间的距离【思路点拨】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形， 每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半；两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半 .因为高相同，所以可以通过比较平行四边形的底的长短，得 出平行四边形面积的大小.【答案】图3，图2【解析】 解：因为它们的高相等，三角形的底是8,8十2=4,梯形的上、下底之和除以2,( 2+7) - 2=4.5 ;5>4.5 >4;所以，图3平行四边形的面积最大，图2三角形的面积最小.【总结升华】 根据平行线的性质，得出梯形、三角形、平行四边形的高相等，求出三角形底 的一半，梯形上、下底之和的一半，与平行四边形的底进行比较，由此得出正确答案 举一反三:A . 122°【答案】B . 【解析】解：T AB // CD , / 仁58 ° • / EFD= / 1=58°•/ FG 平分 / EFD ,• / GFD=2/ EFD=2>^8°=29 °2 2B . 151°C . 116 °2 •/ AB // CD ,••• / FGB=180 ° - / GFD=151 °【总结升华】题考查了平行线的性质，角平分线的定义, 解题的关键. 举一反三：比较简单，准确识图并熟记性质是a //b //c ,Z 1= 105°,/ 2 = 140°，则/ 3 的度数是（ ）D . 50°的面积最小.C .55°2、下面两条平行线之间的三个图形，图的面积最大，图【答案】35 类型三、命题CP3.判断下列语句是否是命题，如果是，请写出它的题设和结论.(1)同位角相等；(2)对顶角相等；(3)画一条5厘米的线段•【答案与解析】解：(1)是命题，这个命题的题设是：如果两个角是同位角；结论是：这两个角相等，这个命题是一个错误的命题，即假命题.(2)是命题，这个命题的题设是：两个角是对顶角；结论是：这两个角相等，这个命题是一个正确的命题，即真命题.(3)不是命题，它不是判断一件事情的语句.【总结升华】命题必须对某件事情作出“是什么”或“不是什么”的判断，如疑问句、反问句等不是命题，值得注意的是错误的命题也是命题. 判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可.举一反三：【变式】下列命题是假命题的是( )A.锐角小于90° B .平角等于两直角C .若a>b,则a2>b2 D.若a2^b2,则a^b【答案】C类型四、平移4. 如图所示，①、②两图中，哪个图形中的一个三角形可以经过另一个三角形平移得到？【答案与解析】解：图①DE和AC平行，但不相等，DE和BC相等，但不平行，不符合平移的特征，无论怎样平移其中一个三角形也得不到另一个三角形.图②符合平移的特征，三角形PQR沿射线PM方向移动PM长即可得到三角形MNO .所以，图②中一个三角形可以经过另一个三角形平移得到.【总结升华】平移变换的实质是图形沿直线运动，它的形状、大小都不发生变化，否则就不是平移变换.举一反三：【变式】(2015?临淄区一模)如图，将△ ABC沿BC方向平移2cm得到△ DEF，若△ ABC••• CF=AD=2cm , AC=DF ,•/△ ABC的周长为16cm ,• AB+BC+AC=16cm ,•四边形ABFD 的周长=AB+BC+CF+DF+AD=AB+BC+AC+CF+AD=16cm+2cm+2cm=20cm.5、(苏州中考模拟)如图所示，在长为50m，宽为22m的长方形地面上修筑宽度都为2 m的道路，余下的部分种植花草，求种植花草部分的面积.【思路点拨】因种植花草部分比较分散，且有的是不规则的图形，所以直接求其面积较困难.因小路都是宽度相同的长方形，所以可想到把小路平移到一起，这样种植花草部分将汇集成一个长方形，问题便迎刃而解.【答案与解析】解：如图所示②把几条2米宽的小路分别平移到大长方形的上边缘和左边缘，则种植花草部分汇集成一个长方形，②显然，这个长方形的长是50-2 = 48( m)，宽是22- 2= 20(m)，于是种植花草部分的面积为48 X 20= 960( m2).【总结升华】若分步计算则较繁琐. 但采用“平移”的手段从整体上把握，问题便迅速求解.举一反三:【变式】如图①，在宽为 20m 、长为30m 的矩形地面上修建两条同样宽度的道路，余下部 分作为耕地•根据图中数据，可得耕地的面积为imJOm①A . 600m 2B . 551m 2C . 550m 2【答案】B类型五、平行的性质与判定综合应用6、（湖南模拟）如图所示，/ ABC 的边BC 与/ DEF 的边DE 交于点K ，下面给出三 个论断：①/ B =Z E :②AB // DE :③BC // EF .请你以其中的两个论断为条件，填入“已 知”栏中，以一个论断为结论，填入“试说明”栏中，使之成为一个完整的正确命题，并将理由叙述出来.说明 ___________ .【答案与解析】 解：三个论断分别可以组成①② 其中任何一个即可.以①②③为例，说明如下已知：如图所示，/ ABC 的边BC 与/ DEF 的边DE 交于点K ，/ B =Z E , AB // DE , 试说明BC // EF .理由叙述：因为 AB // DE ,所以/ B = Z CKD . 又因为/ B = Z E ,所以/ E =Z CKD ，所以BC // EF .【总结升华】此类问题具有较强的灵活性，解决这类题的基本思路是先写出可能的结果， 判断其是否正确.【高清课堂：平行线的性质及命题 403103平行线的性质练习1】举一反三:【变式】已知，如图，/ 仁/2，/ 3=65°，则/ 4 =D . 500m 2，试③；①③②；②③①三种不同情形的命题，选择K ,证明：如图，分别过 P i , P 2作 P i Q i // AB , P 2Q 2// AB. 又••• AB // CD ,••• / AMP i =/ i ,/ 2=/ 3, / 4 =/ P 2ND.，点M , N 分别为AB , CD 上的点.(1)若点 P i 在两平行线内部，/ BMP i = 45°,/ DNP i = 30°，则/ MP i N=(2)若P i , P 2在两平行线内部，且 P 1P 2不与AB 平行，如图，请你猜想/ 与/ MP i P 2+ / P 2ND 的关系，并证明你的结论；AMP i + / P i P 2NAMnYJc~_D(3) 如图，若P i , P 2, P 3在两平行线内部，顺次连结 不与AB 平行，直接写出你得到的结论 .M , P i , P 2, P 3, N ，且 P i P 2, P 2P 34MIE-PscD解：(I ) 75°;(2)结论：/ AMP i + / P i P 2N = / MP i P 2+ / P 2ND【答案与解析】••• / AMP i+ / P i P2N = Z AMP I+ / 3+ / 4 =Z 1 + / 2+ / P2ND = Z MP i P2+ / P2ND.(3)Z BMP 什/ P i P2P3+ / P3 ND = Z MP i P2+Z P2 P s N.【总结升华】通过作平行线，问题便迅速得到解决•举一反三：【变式】如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角/ A是120°, 第二次拐的角/ B 是150°，第三次拐的角是/ C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则/ C是().A. 120°B. 130°C. 140 °D. 150°【答案】D提示：如图，过点B作BE// AM。
平行线的判定和性质
平行线的判定和性质平行线是几何中一个非常基本的概念，它在数学的研究和应用中具有重要的地位。
通过判定两条直线是否平行，我们可以深入了解平行线的性质和特点。
本文将介绍平行线的判定方法和相关性质。
一、平行线的判定1. 直线与直线的判定给定两条直线L₁和L₂，要判定它们是否平行，有以下几种方法：a) 角度判定法：如果两条直线的锐角、直角或钝角相等，那么它们是平行线。
b) 垂直判定法：如果一条直线与第二条直线的所有垂线都相等或成比例，那么它们是平行线。
c) 斜率判定法：如果两条直线的斜率相等且不为无穷大，则它们是平行线。
2. 直线与平面的判定给定一条直线L和一个平面P，要判定直线和平面是否平行，有以下几种方法：a) 垂直判定法：如果直线L和平面P的所有垂线都相等或成比例，那么它们是平行的。
b) 法线判定法：如果一条直线与平面的法线平行，那么它们是平行的。
二、平行线的性质平行线具有以下重要性质：1. 平行线的定义平行线是在同一个平面上不相交且不同于的两条直线。
2. 平行线与平移平行线之间可以进行平移变换，即将一条平行线沿着与之平行的方向平移，得到的仍然是一条平行线。
3. 平行线的夹角平行线之间的夹角为0度，即平行线之间没有交点。
4. 平行线的性质a) 平行线具有传递性：如果直线L₁与直线L₂平行，直线L₂与直线L₃平行，则直线L₁与直线L₃也平行。
b) 平行线与截线：如果一条直线与两条平行线相交，那么这两条直线所截线段的比例相等。
c) 平行线与转角：如果两条直线与平行线相交，它们所成转角相等。
d) 平行线与干涉线：如果两组平行线相互交错，即一组平行线与另一组平行线交叉相交，所交干涉线与平行线相交产生的内、外交角相等。
5. 平行线与平行四边形平行线所围成的四边形称为平行四边形。
平行四边形具有以下性质：a) 对边平行：平行四边形的对边都是平行线。
b) 对角线平分：平行四边形的对角线互相平分。
c) 同底角对顶角相等：平行四边形的同底角对顶角相等。
第二讲浙教版七年级下册平移与平行线
依米书院个性化辅导教案基本信息学生姓名年级七年级下册科目数学课时2h 形式教师上课时间辅导课题平移与平行线教学目标知识目标：1、掌握平行线的性质及其判定方法2、平移的概念及其应用教学重点重点：平行线的性质及其判定方法难点：平行线的判定和与应用课前检查学生作业完成情况：优□良□中□差□建议_________________________________教学内容知识图谱一：平行线的判定知识精讲一．平行线的公理及推论1．平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线与直线互相平行，记作．2．平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．3．平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．二．平行线的判定两条直线被第三条直线所截：1．如果同位角相等，那么两直线平行；2．如果内错角相等，那么两直线平行；3．如果同旁内角互补，那么两直线平行．三点剖析一．考点：平行公理及其推论，平行线的判定二．重难点：平行线的判定．三．易错点：1．不相交的两条直线互相平行一定要注意是在同一平面内，否则结论就不一定成立；平行公理及其推论却不需要限定在同一平面内．2．判定是由“数量关系”确定图形的“位置关系”，因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确找到或识别出同位角、内错角、同旁内角．题模精讲题模一平行公理及推论例1.1.1、三条直线a、b、c，若a∥c，b∥c，则a与b的位置关系是（）A、a⊥bB、a∥bC、a⊥b或a∥bD、无法确定例1.1.2、下列说法正确的有（）①不相交的两条直线是平行线；②在同一平面内，两条直线的位置关系有两种；③若线段AB与CD没有交点，则AB∥CD；④若a∥b，b∥c，则a与c不相交．A、1个B、2个C、3个D、4个例1.1.3、如图，如果CD∥AB，CE∥AB，那么C，D，E三点是否共线？你能说明理由吗？题模二平行线的判定例1.2.1、如图，能判定EC∥AB的条件是（）A、∠B=∠ACEB、∠A=∠ECDC、∠B=∠ACBD、∠A=∠ACE例1.2.2、一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，那么两个拐弯的角度____．A、先向左转130°，再向左转50°B、先向左转50°，再向右转50°C、先向左转50°，再向右转40°D、先向左转50°，再向左转40°例1.2.3、按图填空．已知：如图, ∠1=∠2, ∠3=∠E．求证：AD∥BE．证明：∵∠1 = ∠2 (已知)，∴_____∥_____（内错角相等，两直线平行）．∴∠E = ∠_____（_____）．又∵∠E = ∠3 ( 已知 )，∴∠3 = ∠_____（等量代换）．∴AD∥BE（_____）．例1.2.4、如图，点E在直线AB与CD之间，若，，，则AB与CD平行吗？请说明理由．随堂练习随练1.1、过一点画已知直线的平行线，则（）A、有且只有一条B、有两条C、不存在D、不存在或只有一条随练1.2、如图，下列条件中能判定直线l1∥l2的是（）A、∠1=∠2B、∠1=∠5C、∠1+∠3=180°D、∠3=∠5随练1.3、如图，已知，证明：AB∥CD．随练1.4、已知: 如图, ∠C = ∠1, ∠2和∠D互余, BE⊥FD于G.求证:AB∥CD.二：平行线的性质知识精讲一．平行线的性质1．两直线平行，同位角相等；2．两直线平行，内错角相等；3．两直线平行，同旁内角互补．两条平行线之间的距离：在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两平行线之间的距离．三点剖析一．考点：平行线的性质，角度的计算与证明．二．重难点：常见的几种两条直线平行的结论1．两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行；2．两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线平行；3．两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线垂直．三．易错点：1．性质是由图形的“位置关系”决定“数量关系”；2．两条平行线之间的距离其实可看成点到直线的距离．题模精讲题模一平行线的性质例2.1.1、如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠1=55°，则∠2等于（）A、35°B、45°C、55°D、125°例2.1.2、如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（）A、32°B、58°C、68°D、60°例2.1.3、如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点M，N，过点N的直线GH与AB交于点P，则下列结论错误的是（）A、∠EMB=∠ENDB、∠BMN=∠MNCC、∠CNH=∠BPGD、∠DNG=∠AME题模二角的计算与证明例2.2.1、如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，若∠BAD=70°，那么∠ACD的度数为（）A、40°B、35°C、50°D、45°例2.2.2、如图，AB∥CD，（）A、180°B、360°C、540°D、720°例2.2.3、如图，已知AB∥DE，BF，EF分别平分∠ABC与∠CED，若，求的度数．例2.2.4、已知AB∥CD，分别探讨下列四个图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并说明理由．随堂练习随练2.1、如图，直线AB∥CD，AF交CD于点E，∠CEF=140°，则∠A等于（）A、35°B、40°C、45°D、50°随练2.2、如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，若∠2=80°，则∠1等于（）A、120°B、110°C、100°D、80°随练2.3、珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，则∠CDE=____度．随练2.4、如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=35°24′，则∠2的度数为____°____′．随练2.5、如图，若AB∥CD，求证：．随练2.6、如图，已知，MN分别和直线、交于点A、B，ME分别和直线、交于点C、D，点P 在MN上（P点与A、B、M三点不重合）．（1）如果点P在A、B两点之间运动时，、、之间有何数量关系请说明理由；（2）如果点P在A、B两点外侧运动时，、、有何数量关系（只须写出结论）．三：平移知识精讲一．平移的概念平移，是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向做相同距离的直线移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．二．平移的性质1．经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，图形的形状与大小都没有发生变化．2．经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等．三．平移的作图1．找出原图形的关键点（如顶点或者端点）．2．按要求分别描出各个关键点平移后的对应点．3．按原图将各对应点顺次连接．三点剖析一．考点：平移的性质，平移作图．二．重难点：平移的性质．三．易错点：1．平移不改变图形的形状和大小和方向，平移可以不是水平的；2．有可能平行有可能在同一直线上．题模精讲题模一平移的性质例3.1.1、在平移过程中，对应线段__________．例3.1.2、下列图形可以由一个图形经过平移变换得到的是（）A、B、C、D、例3.1.3、如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C 平移的距离CC′= ．例3.1.4、如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为____．A、4，30°B、2，60°C、1，30°D、3，60°题模二平移作图例3.2.1、如图，在6×6方格中有两个涂有阴影的图形M、N，①中的图形M平移后位置如②所示，以下对图形M的平移方法叙述正确的是（）A、向右平移2个单位，向下平移3个单位B、向右平移1个单位，向下平移3个单位C、向右平移1个单位，向下平移4个单位D、向右平移2个单位，向下平移4个单位例3.2.2、电灯向__________平移__________．例3.2.3、如图，经过平移，△ABC的顶点A移到了点D，作出平移后的三角形．随堂练习随练3.1、平移改变的是图像的（）A、形状B、位置C、大小D、形状、大小及位置．随练3.2、下列四组图形中，有一组中的两个图像经过平移其中一个能得到另外一个，这组图像是（）A、B、C、D、随练3.3、如图所示，△DEF是△ABC沿水平方向向右平移后的对应图形，若∠B=31°，∠C=79°，则∠D的度数是____度．随练3.4、图中图形向__________平移__________格．随练3.5、如图，画出猫向后平移8格后的图像．课后作业作业1、直线l同侧有A，B，C三点，若过A，B的直线和过B，C的直线都与l平行，则A，B，C 三点________，理论根据是___________________________．作业2、如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（）A、∠3=∠4B、∠D=∠DCEC、∠1=∠2D、∠D+∠ACD=180°作业3、如图，已知，，，，求证：AB∥CD．作业4、如图所示，已知，，，求证：DE//BF作业5、如图，点A、D在射线AE上，直线AB∥CD，，那么∠A的度数为（）A、140°B、60°C、50°D、40°作业6、如图，已知AB∥CD，，CN是∠BCE的平分线，CM⊥CN，求∠BCM的度数．作业7、如图，，，，平分，（1）求证：；（2）探究和之间的数量关系，并证明你的结论．作业8、如图，CB∥OA，，E、F在CB上，且满足，OE平分∠BOF．（1）求∠EOC的度数；（2）若平行移动AC，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；（3）在平行移动AC的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，求出度数；若不存在，说明理由．作业9、如图，直线a，b被直线c所截，，，若，则等于（）A、B、C、D、作业10、如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=114°，则∠3的度数为（）A、26°B、34°C、44°D、36°作业11、如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，若∠CAB=50°，∠ABC=100°，则∠CBE的度数为____°．作业12、是由平移得到的，点A的对应点是__________； AB的对应线段是__________；的对应角是__________；平移的方向是__________．作业13、如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（）A、6B、8C、10D、12作业14、如图，△ABC中，BC=5cm，将△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的对应位置时，A′B′恰好经过AC的中点O，则△ABC平移的距离为cm．作业15、雨伞向__________平移__________格．作业16、在点子图上画出向右平移5点后的图形．。
初中数学平行线的性质及判定知识点
初中数学平行线的性质及判定知识点学校数学平行线的性质及判定学问点1平行线的性质及判定平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等。
性质2：两直线平行，内错角相等。
性质3：两直线平行，同旁内角互补。
平行线的判定：判定1：同位角相等，两直线平行。
判定2：内错角相等，两直线平行。
判定3：同旁内角相等，两直线平行。
通过上面对数学中平行线的性质及判定学问点的内容讲解学习，信任同学们已经能很好的把握了吧，盼望同学们会从中学习的更好。
学校数学平行线的性质及判定学问点2相交线1、两条直线相交，有且只有一个交点。
(反之，若两条直线只有一个交点，则这两条直线相交。
)两条直线相交，产生邻补角和对顶角的概念：邻补角：两角共一边，另一边互为反向延长线。
邻补角互补。
要留意区分互为邻补角与互为补角的异同。
对顶角：两角共顶点，一角两边分别为另一角两边的反向延长线。
对顶角相等。
注：①、同角或等角的余角相等;同角或等角的补角相等;等角的对顶角相等。
反过来亦成立。
②、表述邻补角、对顶角时，要留意相对性，即“互为”，要讲清谁是谁的邻补角或对顶角。
例如：推断对错：由于∠ABC +∠DBC = 180°，所以∠DBC是邻补角。
( )相等的两个角互为对顶角。
( )2、垂直是两直线相交的特别状况。
留意：两直线垂直，是相互垂直，即：若线a垂直线b，则线b垂直线a 。
垂足：两条相互垂直的直线的交点叫垂足。
垂直时，肯定要用直角符号表示出来。
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
(注：这一点可以在已知直线上，也可以在已知直线外)3、点到直线的距离。
垂线段：过线外一点，作已知线的垂线，这点到垂足之间的线段叫垂线段。
垂线与垂线段：垂线是一条直线，而垂线段是一条线段，是垂线的一部分。
垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的全部线段中，垂线段最短。
(或说直角三角形中，斜边大于直角边。
)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫这点到直线的距离。
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【要点梳理】
要点一、平行线的性质 要点二、两条平行线的距离 要点三、命题、定理、证明
平行线判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵ ∠3＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵ ∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行. ∵ ∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
平行线的性质及平移
【学习目标】
1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；
2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距 离的概念； 3. 掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部 分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论； 4．了解图形的平移变换，知道一个图形进行平移后所得的图形与 原图形之间所具有的联系和性质，能用平移变换有关知识说明一 些简单问题及进行图形设计.
【变式】把下列命题改写成“如果„„，那么„„”的形 式． （1）两直线平行，同位角相等； （2）对顶角相等； （3）同角的余角相等.
要点四、平移ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图 形的这种移动叫做平移． 图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．
图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.
1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．
要点诠释： （1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设 是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）命题的表达形式：“如果„„，那么„„.”，也可写成： “若„„，则„„.”
（3）真命题与假命题： 真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题. 假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.
类型五、平行的性质与判定综合应用
例6、如图所示，AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝( A．180° B．270° C．360° D．540° )
【解析】过点C作CD∥AB， ∵ CD∥AB， ∴ ∠BAC+∠ACD=180°(两直线平行，同旁内角互补) 又∵ EF∥AB ∴ EF∥CD． ∴ ∠DCE+∠CEF=180°(两直线平行，同旁内角互补) 又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE ∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝ ∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°
类型一、平行线的性质
例１. （2015•东莞）如图，直线a∥b，∠1=75°，∠2=35°，则 ∠3的度数是（ C ）
A．75°
B．55°
C．40°
D．35°
解：∵直线a∥b，∠1=75°， ∴∠4=∠1=75°， ∵∠2+∠3=∠4， ∴∠3=∠4﹣∠2=75°﹣35°=40° ． 【总结升华】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，熟练 掌握性质定理是解题的关键．
14．如图所示，AB∥CD，且∠BAP＝60°-a，∠APC＝45°+a， ∠PCD＝30°-a，则a＝________．
15.（2015•益阳）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=65°， 求∠2的度数．
例5、(湖南益阳)如图所示，将△ABC沿直线AB向右平移后到达 △BDE的位置，若∠CAB＝50°，∠ABC＝100°，则∠CBE的度数为 ________ 30° ．
根据平移的特征可知：∠EBD＝∠CAB＝50°而∠ABC＝100° 所以∠CBE＝180°-∠EBD-∠ABC＝180°-50°-100°＝ 30° 图形在平移的过程有“一变两不变”、“一变”是位置的变化， “两不变”是形状和大小不变．
同时＿＿＿于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的＿＿， 叫做这两条平行线的距离．
（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另 一条直线作垂线，垂线段的＿＿＿＿就是两条平行线的距离．
(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个＿＿＿，不随 垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离＿＿＿＿＿＿ ＿．
要点一、平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
小结
平行线 性质
判定 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行.
两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补.
要点二、两条平行线的距离
2. 性质： （1）平移后，对应线段平行且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.
3. 作图： 平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应 抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连． (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出表示图形的关键点； (3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键 点的对应点； (4)连：按原图形顺次连接对应点．
2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经 过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据. 3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作 出判断，这个推理过程叫做证明. 要点诠释： （1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根 据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等. （2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命 题是假命题，只需列举一个反例即可．
类型二、两平行线间的距离
例2、如图所示，直线l1∥l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1 上，若△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则( B ) A．S1 ＞S2 B．S1 ＝S2 C．S1 ＜S2 D．不确定
三角形等面积问题常与平行线间距离处处相等相结合
要点三、命题、定理、证明