1.4 无穷小与无穷大
同济大学高等数学第七版1.4--无穷小与无穷大
lim f (x)
x
M 0，X 0，x : x X f (x) M
见教材37页, 题 5
填空：
当 x
2
时，tan x 是无穷大 lim tan x
x
2
1
当 x 0
时，
x
是正无穷大
1 lim x x0
1 lim x x0
无穷小一般用希腊字母 α, β, γ 等表示
无穷小的 ε-δ 定义
(x) 是 x x0 时的无穷小 lim (x) 0
xx0
0, 0
x : 0 x x0 (x)
无穷小的例子
下列函数何时为无穷小？
(x 1)2 (x 1)
lim(x 1)2 0
x1
1 (x ) x
谢谢观看！ 2020
M
M 0 1 使得，当
M
0 x 0 时，就有 1 M
x
称 1/x 为 x 0 时的无穷大，记作：lim 1 x0 x
所以 lim f (x) 的刻划需要两个正数： x x0
M 用来表示函数值 f(x) 的绝对值可以任意大:
|f(x) | > M 。
δ 用来表示当自变量 x 与 x0 的距离充分接近时
x 1
x 1
只要 x 1 2
M 1
证 M 0 2 使得，当
M 1
0 x 1 时，就有
所以 lim x 1 x1 x 1
x 1 M
x 1
x 1 lim x1 x 1
x 1 铅直渐近线
水平渐近线 y 1
y x 1 x 1
若 lim f (x) x x0 则 x = x0 为 y = f(x) 的铅直渐近线 x x0 y f (x)
高数无穷大无穷小
2
4
6
-5
-10
2．无穷大量的性质
(1)若limX A，limY ,则lim(X Y)
(2)若limX A 0，limY ,则lim(X Y) (3)若limX ，limY ,则lim(X Y) (4)若limX ，X Y,则limY (5)若limX ，则lim（ X ) (6)若limX ，则lim 1 0;
注意 ① 无穷小量是以0为极限旳变量；
② 无穷小量不一定是零，零作为函数来讲是 无穷小量；
③ 讲一种函数是无穷小量，必须指出自变量 旳变化趋向；
④ 任何非零常数，不论其绝对值怎样小，都 不是无穷小量。
2.无穷小量的性质
性质 1：若 X , Y 都是无穷小量，则X Y, X Y 也是无穷小量；
注意：无限个无穷小量的和与积不一定是无穷小量。
（2） lim ( 3 1 ) . x1 1 x3 1 x
3
lim
x1
( 1
x
3
1 1
) x
lim
x1
3 1 x3
lim
x1
1 1
x
0
。错解
正解：
xlim1(13x3
1 1
x
)
lim
x1
2x 1
x2 x3
xlim1(1(1x)x(1)(2xxx)2 ) xlim112xxx2 1.
无穷小量旳比较
例3．求下列极限：
（1）求 lim x0
tan x sin x x2 arctan x
；
tan sin x
tan x(1 cos x)
解：
lim
x0
x2
arctan
x
高教社2024高等数学第五版教学课件-1.4 无穷小与无穷大
1
因为
→∞
=0
2．无穷大量
定义2
如果函数 = ()的绝对值在自变量的某一变化过
程中无限增大，则称函数 = ()为无穷大量，记作 () = ∞.
例如，因为 = ∞，所以 是 → ∞时的无穷大；因为
→+∞
1
→0
=
1
示()的绝对值无限变大且都是负值，而后者表示()的绝对值无限
变小，趋于零.
3．无穷小与无穷大的关系
定理1
1
在自变量的同一变化过程中，如果()是无穷大，则
是
()
无穷小；反之，如果()是无穷小，且() ≠
例如，当 →
1时， 2
1
0，则
是无穷大.
()
1
− 1是无穷小，而 2 是无穷大.
⑴称一个函数()是无穷小，必须指明自变量的变化趋势，如
3 + 1是当 → −1时的无穷小，但当 → 0时就不是无穷小.
⑵ 不要把一个绝对值很小的非零常数(如10−100 )说成是无穷小，
因为这个数的极限不为0.
⑶ 数“0”可以看成无穷小.（是唯一可作为无穷小的常数）
1
⑷ 无穷小的定义对数列也适用，例如数列{ }，当 → ∞时，就
∞，所以 是
→ 0时的无穷大.
这里，虽然使用了极限的符号 () = ∞，但并不意味着
()有极限. 因为，根据极限的定义，极限值必须是常数. 然而∞不
是常数，它只表示()的绝对值无限变大的一种变化趋势.
注意：⑴ 称一个函数()是无穷大，必须指明自变量的变化趋势，
1
是当
′
′
无穷大与无穷小
§1.4 无穷小与无穷大无穷小与无穷大是高等数学中两个重要概念，而无穷小与无穷大又有密切的联系。
一 无穷小定义1如果函数)(x f 当()∞→→x x x 或0时的极限为零，那么称函数)(x f 当()∞→→x x x 或0时为无穷小。
例如，由于0limsin 0x x →=，所以函数sin x 当0x →时为无穷小；又如，由于1lim 0x x →∞=，所以函数1x当x →∞时为无穷小。
我们也可以用极限的""εδ-（或N ε-）来描述：对于0,0()εδ∀>∃>或X>0，使得适合不等式00()x x x X δ<-<>或的一切x 所对应的函数值都满足不等式()f x ε<。
则称当0x x →（或x →∞）时，()f x 是无穷小量。
记为0lim ()0x x f x →=（或lim ()0x f x →∞=）。
关于无穷小，我们做以下注释：1 不要把无穷小与很小的数混为一谈，因为无穷小量不是很小的数,它是极限为零的函数任意非零常数（无论多小）极限都不是零。
2 数零是唯一可作为无穷小的常数。
3 无穷小指相对自变量的某一变化过程，而不是量的大小。
例如 当2x →时，函数()2f x x =-是无穷小；而当1x →时，函数()2f x x =-就不是无穷小。
由于无穷小是极限为零的函数，因此无穷小与函数极限之间有着密切关系，下面的定理给出了这种关系。
定理1 若0lim ()()(),x x f x A f x A x α→=⇔=+其中0lim ()0x x x α→=。
二 无穷大在自变量的变化趋势下，函数)(x f 的极限可能存在，也可能不存在，在极限不存在的情形下，我们着重讨论()f x 无限变大的情形。
如果当()∞→→x x x 或0时，对应的函数的绝对值()f x 的极限无限增大，则称函数)(x f 当()∞→→x x x 或0时为无穷大。
高数上第一章§1.4无穷小量与无穷大量
它们都是无穷大量， lim f ( x )= +∞ ， lim g ( x )= −∞ ，它们都是无穷大量 ，
x→+∞
1 是无穷小量。 但 lim [ f ( x )+ g ( x )]= lim = 0 是无穷小量。 x→+∞ x→+∞ 2 x
3.无穷小量与无穷大量的关系
1 性质 6 若 lim X = ∞ ，则 lim = 0 ； X 1 反之， 反之，若 lim X = 0 ( X ≠ 0) ，则 lim = ∞ 。 X
两个无穷小的和或积仍然是无穷小， 两个无穷小的和或积仍然是无穷小，但是两个无穷小 的商却有多种可能性。 的商却有多种可能性。
例如， 都是无穷小， 例如，当 x → 0 时， x , 3 x , x 2 , sinx , 1− cosx 都是无穷小，
3x sin x 1− cos x 1 x2 而 lim =1 ， lim = 0 ， lim 2 = ∞ ， lim = 。 2 2 x→0 3 x x→0 x x→0 x x→0 x
性质 4 若 X ≤Y ， lim X = +∞ ，则 limY = +∞ ；
性质 5 若 lim X = +∞ ，则 lim( − X )= −∞ 。
两个无穷大量的和是否是无穷大量？ 问 ： 两个无穷大量的和是否是无穷大量 ？
不一定。 答：不一定。 不一定
1 例如： ， g ( x ) = −2 x ， 例如 f ( x )= 2 x + 2x
（2）正无穷大量的定义 正无穷大量的定义
∀G > 0, ∃δ > 0, ∋ 0 < x − xo < δ, 恒有 f ( x ) > G ⇔ lim f ( x ) = +∞ .
高数高等数学1.4无穷小与无穷大
x x0
lim f ( x )
(lim f ( x ) )
x
若在定义2中将①式改为 则记作
x x0 ( x )
( f ( x ) M ),
( lim f ( x ) )
注意: (1)无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. (2)称函数是无穷大量，须指明其自变量的变化趋势.
铅直渐 近线
三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中,
1 则 为无穷小； f ( x) 1 则 为无穷大. f ( x)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为
无穷小来讨论.
(证明见下页)
证明：设 lim f ( x ) . 其他情况同理可证 x x0 0, 根据无穷大的定义， 0, 使得当 0 x x0 时 1 1 有 f ( x) , 即 . f ( x)
1 所以当x x0时, 为无穷大. f ( x)
x x0
小结
1.无穷小与无穷大均为变量，无穷小的极限为 零，无穷大没有极限.
2.无穷小与无穷大与自变量的变化趋势有关. 3.无穷小与函数极限的关系.
x x0
lim f ( x ) A f ( x ) A , 其中 lim 0.
（3） lim f ( x ) 是借用极限记号，并不表示极限存在.
x x0
1 例如：y ， x 0是无穷大，x 不是无穷大. x
(4) 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如： 但
例1 证明:
1 只要取 , M
y
o 说明:
1
x
则直线 x x 0
高等数学(同济大学版) 课程讲解 1.4-1.5 无穷小.
课时授课计划课次序号：一、课题：§1.4 无穷小与无穷大§1.5 极限运算法则二、课型：新授课三、目的要求：1.理解无穷小和无穷大的概念，掌握无穷小、无穷大以及有界量之间的关系；2.掌握极限的运算法则.四、教学重点：无穷小和无穷大的概念，极限的运算法则.教学难点：极限运算法则的应用.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：习题1–4 4（1）；习题1–5 1（1）（5）（7）（14），3（2）八、授课记录：授课日期班次九、授课效果分析：复习1.两种变化趋势下函数极限的定义，左右极限（单侧极限）2.函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、函数极限与数列极限的关系.对于函数极限来说，有两种情形比较特殊：一种是极限为零，另一种是极限无穷不存在，我们分别称之为无穷小和无穷大.下面我们先介绍无穷小与无穷大，在此基础上，进一步介绍极限的运算法则.第四节无穷小与无穷大一、无穷小定义1 若limα（x）=0，则称α（x）为该极限过程中的一个无穷小．例1当x→2时，y=2x-4是无穷小，因为容易证明（2x-4）=0．当x→∞时，y=也是无穷小，因为=0．定理1(无穷小与函数极限的关系定理lim f（x）=A的充要条件是f（x）=A+(x，其中(x为该极限过程中的无穷小．证为方便起见，仅对x→x0的情形证明，其他极限过程可仿此进行．设f(x=A，记(x=f(x-A，则ε＞0，δ＞0，当x∈（x0，δ）时，｜f（x）-A｜＜ε，即｜(x｜＜ε．由极限定义可知，(x=0，即(x是x→x0时的无穷小，且f（x）=A+(x．反过来，若当x→x0时，(ξ是无穷小，则ε＞0，δ＞0，当x∈（x0，δ）时，｜(ξ-0｜=｜(ξ｜＜ε，即｜f（ξ）-A｜＜ε，由极限定义可知，f（ξ）=A．二、无穷大在lim f（ξ）不存在的各种情形下，有一种较有规律，即当x→x0或x→∞时，｜f（ξ）｜无限增大的情形．例如，函数f（ξ）=，当x→1时，｜f（ξ）｜=无限增大，确切地说，M＞0（无论它多么大），总δ＞0，当x∈（1，δ）时，｜f（ξ）｜＞M，这就是我们要介绍的无穷大．定义2 若M＞0（无论它多么大），总δ＞0（或X＞0），当x∈（x0，δ）（或｜ξ｜＞X）时，｜f（ξ）｜＞M恒成立，则称f（ξ）当x→x0（或x→∞）时是一个无穷大．若用f（ξ）＞M代替上述定义中的｜f（ξ）｜＞M，则得到正无穷大的定义；若用f（ξ）＜-M代替｜f（ξ）｜＞M，则得到负无穷大的定义．某极限过程中的无穷大、正无穷大、负无穷大分别记作：．注（1）若,则称为曲线的垂直渐近线．（2）称一个函数为无穷大时,必须明确地指出自变量的变化趋势．对于一个函数,一般来说,自变量趋向不同会导致函数值的趋向不同．例如函数y=,当x→时,它是一个无穷大,而当x→时,它则是一个无穷小．（3）由无穷大的定义可知,在某一极限过程中的无穷大必是无界变量,但其逆命题不成立．例如, 当n→∞时,(1+(-1nn是无界变量,但它不是无穷大．例2=+∞，=-∞，=-∞,=+∞, =-∞．三、无穷小与无穷大的关系定理2在某极限过程中，若f（ξ）为无穷大，则为无穷小；反之，若f（ξ）为无穷小，且f（ξ）≠0，则为无穷大．证我们仅对x→x0的情形证明，其他情形仿此可证．设f（ξ）=∞，则ε＞0，令M=，则δ＞0，当x∈（x0，δ）时，｜f（ξ）｜＞M=，即＜ε，故为x→x0时的无穷小．反之，若f（ξ）=0，且f（ξ）≠0，则M＞0，令ε=，则δ＞0，当x∈（x0，δ）时，｜f（ξ）｜＜ε=，即＞M，故为x→x0时的无穷大．第五节极限运算法则一、无穷小运算法则定理1在某一极限过程中，如果(x，(x是无穷小，则(x± (x也是无穷小．证我们只证x→x0的情形，其他情形的证明类似．由于x→x0时，(x，(x均为无穷小，故ε＞0，δ1＞0，当0＜｜x-x0｜＜δ1时，｜(x｜＜，（1）δ2＞0，当0＜｜x-x0｜＜δ2时，｜(x｜＜，（2）取δ=min（δ1，δ2），则当0＜｜x-x0｜＜δ时，（1）、（2）两式同时成立，因此｜(x±(x｜≤｜(x｜+｜(x｜＜+=ε．由无穷小的定义可知，x→x0时，(x± (x为无穷小．推论在同一极限过程中的有限个无穷小的代数和仍为无穷小．定理2在某一极限过程中，若(x是无穷小，f（x）是有界变量，则(x f（x）仍是无穷小．证我们只证x→∞时的情形，其他情形证法类似．设f（x）为x→∞时的有界变量，则M＞0，当｜x｜＞X1＞0时，｜f（x）｜＜M，又因(x=0，则ε＞0，对来说，X2＞0，当｜x｜＞X2时，｜(x｜＜，取X=m ax{X1，X2}，则当｜x｜＞X时，有｜(x·f（x）｜=｜(x｜·｜f（x）｜＜·M =ε．这就证明了当x→∞时，(x f（x）是无穷小．例1求．解因为x∈（-∞，+∞），｜sin x｜≤1，且=0，故由定理2得sin x=0．推论在某一极限过程中，若C为常数，(x和(x是无穷小，则C(x，(x（x）均为无穷小．这是因为C和无穷小均为有界变量，由定理2即可得此推论．此推论可推广到有限个无穷小乘积的情形．定理3在某一极限过程中，如果(x是无穷小，f（x）以A为极限，且A≠0,则(x\f（x）仍为无穷小．证由定理2可知，我们只需证为该极限过程中的有界变量即可．我们仅对x→x0时进行证明，其他情形类似可证．因为f（x）=A，A≠0, 则对ε=，δ＞0，当x∈（x0，δ）时，有｜｜f（x）｜-｜A｜｜≤｜f（x）-A｜＜，从而＜｜f（x）｜＜，故＜=M, 即为时的有界变量．利用无穷小的性质及无穷小与函数极限的关系，我们可得极限四则运算法则．二、极限的四则运算法则定理4若，则(1 ;(2 ;(3 l= (．证我们仅证（2），（3）．因为，所以f（x）=A +(x，g（x）=B +β(x，其中，于是f(x g(x=［A+］［B+β(x］=AB+Aβ(x+B+β(x．由定理1及其推论可得, , ．故由第四节定理1及本节定理1可知．同理，对于式（3），只需证-是无穷小即可，因为-=-=，由定理1及其推论可知．由刚获证的式（2）可知．所以，其中为无穷小．最后由第四节中的定理１便得lim==（B≠0）．推论1 若存在，C为常数，则．这就是说，求极限时，常数因子可提到极限符号外面，因为．推论2 若存在，n∈N，则．例2 求．结论：多项式函数当极限为，而解===-2．例3求，其中m，n∈N．解由于分子分母的极限均为零，这种情形称为“”型，对此情形不能直接运用极限运算法则，通常应设法去掉分母中的“零因子”．===．例4求．解此极限仍属于“”型，可采用二次根式有理化的办法去掉分母中的“零因子”．====．例5求．解分子分母均为无穷大，这种情形称为“”型．对于它，我们也不能直接运用极限运算法则，通常应设法将其变形．==．结论当，例6求解====1例7求解====．例8设f(x=问b取何值时，存在．解由于==2，==b，由第三节定理１可知，要存在，必须=，因此b=2．三、复合函数极限运算法则定理5设函数由复合而成，如果，且在x0的一个去心邻域内，，又=A，则=A．该定理可运用函数极限的定义直接推出，故略去证明．例9求解因为=0，=1，故=1．例10 求．解因为=0，=0，故=0．课堂总结1.无穷小与无穷大的概念以及它们之间的关系；2.极限运算法则：无穷小运算法则、四则运算法则、复合函数极限运算法则．在计算极限时，应注意法则成立的条件，不要错误地运用以上法则．。
1[1].4.无穷小与无穷大
![1[1].4.无穷小与无穷大](https://img.taocdn.com/s3/m/4cc6dcdb50e2524de5187edc.png)
1 2 + 3 2 x +2 x x = 0 = 0. lim 3 2 = lim x→∞ 2x + x +1 x→∞ 1 1 2 2+ + 3 x x
m−1
对于一般的有理函数
a0 x + a1 x + ⋯+ am f (x) = b0 xn + b1 xn−1 + ⋯+ bn
m
（m, n 为正整数）,有 为正整数） 有
定理3 有界变量与无穷小的乘积是无穷小。 定理 有界变量与无穷小的乘积是无穷小。 内有界， 证 设函数u在 U (x0 ,δ1 )内有界，则 ∃M > 0, 恒有 u < M. 使得当0 < x − x0 < δ 1时，
0
又设α是当x → x 0时的无穷小, ∴ ∀ε > 0, ∃δ 2 > 0, 使得当0 < x − x 0 < δ 2时
故
1 lim = ∞. x →1 x − 1
证明:函数 内无界, 例3 证明 函数 y = x cos x 在(−∞,+∞) 内无界 但当 x
→ +∞
时,该函数不是无穷大.。 该函数不是无穷大
证 ∀M > 0, 在 (−∞,+∞) 内，总 ∃x0 , 使 y ( x0 ) > M 例如,取 x0 = 2kπ , y (2kπ ) = (2kπ ) cos 2kπ = 2kπ 例如 取 (k = 0,1,2,⋯), 只要 k > M 时，就有 y ( x0 ) > M 2k 无界. 故在 (−∞,+∞)内 y = x cos x无界
lim 推论2 存在, lim 推论 设 x→ x f ( x) g ( x) = A存在 若 x→ x f ( x) = ∞.
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小结
定理1 ( 无穷小与函数极限的关系 )
x x0
( 极限为零的变量 称为无穷小量. )
lim f ( x) A
f ( x) A , 其中 为 x x0
时的无穷小量 .
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无 穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
定理4 在同一自变量变化过程中,无穷大的倒数 为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
( 1) n 数列{ }是当n 时的无穷小. n
注: 无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
2、无穷小量的性质
（1）定理1 ( 无穷小与函数极限的关系 ) f ( x) A , 其中 为 x x0 lim f ( x) A
x x0ຫໍສະໝຸດ 时的无穷小量 .x x0
证: lim f ( x) A
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的
乘积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
1 2 1 例如,当x 0时, x sin , x arctan , x x
sin x lim x x 1
都是无穷小
二、无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
第四节 无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大
第一章
一、无穷小 1.定义
极限为零的变量称为无穷小.
n
lim x n 0, lim f ( x ) 0, lim f ( x ) 0, lim f ( x ) 0
x x0 x x0 x x
x x0 x
( n 0,1,2,3, )
当n充分大时, x n可以任意小 ,
但 y( xn ) 2n sin 2n
00
不是无穷大．
1 例1 证明 lim . x 1 x 1
证 M 0. 要使
1 M, x 1
y
1 x 1
1 1 只要 x 1 , 取 , M M
1 1 1 . 当0 x 1 时, 就有 M . lim x 1 x 1 M x 1
定义 : 如果 lim f ( x ) , 则直线x x 0是函数y f ( x )
x x0
的图形的铅直渐近线.
定理4 在同一自变量变化过程中,无穷大的倒数 为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证
1 1 例如, 当x 0时, y sin 是一个无界变量但不是无穷大 , . x x
(1) 取 xn 1 2n 2 y ( x n ) 2 n , 2 1 ( 2) 取 x n 2 n ( n 0,1,2,3,)
当n充分大时, y( xn ) .
若 lim xn yn 0, 下列正确的是（D）
n
B A）xn发散则yn发散； ）xn有界yn必为无穷小；
1 C）xn无界yn必有界； ） 为无穷小则yn为无穷小。 D xn
解: D正确.
B）不对! 如取 x n 1 ( 1) n , y n [1 ( 1) n1 ]n；
x x0
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) ).
x
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x x0 ( x )
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) )
x x0 ( x )
注:
1、无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
2、无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界 变量未必是无穷大.
0, N 1 0, N 2 0, 使得 当 x N 1时恒有 ; 2 当 x N 2时恒有 ; 取 N max{ N 1 , N 2 }, 2
当 x N时, 恒有
, 2 2 0 ( x )
定义
如果对于任意给定的正数 M (不论它多么
大),总存在正数 (或正数 X ),使得对于适合不等 式 0 x x 0 (或 x X )的一切 x ,所对应的函 数值 f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) M , 则称函数 f ( x ) 当 x x 0 (或 x )时为无穷大, 记作
n
lim x n , lim f ( x ) , lim f ( x ) , lim f ( x )
x x0 x x0 x x
x x0 x
lim f ( x ) , lim f ( x ) , lim f ( x ) .
0, 2 0, 使得当0 x x 0 2时 恒有 . M 取 min{ 1 , 2 }, 则当 0 x x 0 时, 恒有 u u M , M 当x x 0时, u 为无穷小.
设 lim f ( x ) .
x x0
0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 恒有 f ( x ) , 即 1 . f ( x) 1 当x x 0时, 为无穷小. f ( x)
反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
注: 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
1 例如, n 时, 是无穷小， n
1 但n个 之和为1不是无穷小. n
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 设函数u( x )在0 x x 0 1内有界，
则M 0, 使得 u( x ) M .
又设是当x x 0时的无穷小,
lim f ( x ) 0, lim f ( x ) 0, lim f ( x ) 0 .
例如,
lim sin x 0, 函数 sin x是当x 0时的无穷小. x 0
1 lim 0, x x
( 1) n lim 0, n n
1 函数 是当x 时的无穷小. x
注:
1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2.无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 3.无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 4.无穷大量 无界变量
x x0
M 0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 恒有 f ( x ) , M
1 由于 f ( x ) 0, 从而 M. f ( x)
1 当x x 0时, 为无穷大. f ( x)
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
思考：
0 , 0 , 当 0 x x0 时,有 f ( x) A
f ( x) A
x x0
lim 0
对自变量的其它变化过程类似可证 .
（2） 无穷小的运算性质: 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是
无穷小. 证 设及 是当x 时的两个无穷小,