离散数学习题练习
离散数学期末考试卷
离散数学期末考试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，下列哪个选项不是集合的基本运算？A. 并集B. 交集C. 差集D. 幂集2. 命题逻辑中，下列哪个命题不是合取命题？A. (p ∧ q)B. (p ∨ q)C. (p → q)D. (p ↔ q)3. 关系R在集合A上是自反的，这意味着：A. 对于所有a∈A，(a, a)∈RB. R是对称的C. R是传递的D. R是反对称的4. 在图论中，下列哪个不是图的基本概念？A. 顶点B. 边C. 路径D. 矩阵5. 布尔代数中，下列哪个操作不是基本操作？A. 与（AND）B. 或（OR）C. 非（NOT）D. 模（MOD）6. 函数f: A → B，下列哪个条件不是函数的一一对应的必要条件？A. 对于A中不同的元素，它们的函数值不同B. 对于B中的每个元素，A中至少有一个元素映射到它C. 对于A中的每个元素，B中只有一个元素映射到它D. A和B的元素数量相同7. 在组合数学中，下列哪个是排列的定义？A. 从n个不同元素中取出r个元素的所有可能组合B. 从n个不同元素中取出r个元素的所有可能排列C. 从n个元素中取出r个元素的所有可能组合，不考虑顺序D. 从n个元素中取出r个元素的所有可能排列，考虑顺序8. 逻辑等价是指两个命题：A. 总是同时为真或同时为假B. 在所有可能的真值分配下都具有相同的真值C. 只有在某些真值分配下具有相同的真值D. 至少在一个真值分配下具有相同的真值9. 递归函数的特点是：A. 只能通过迭代来实现B. 必须有一个或多个基本情况C. 只能通过递归调用自身来实现D. 不能包含任何循环结构10. 在证明中，归纳法的基本步骤是：A. 基础步骤和归纳步骤B. 假设步骤和证明步骤C. 假设步骤和归纳步骤D. 基础步骤和假设步骤二、填空题（每空2分，共20分）11. 集合{1, 2, 3}的幂集包含元素个数为______。
离散数学试题及答案
离散数学试题及答案一、选择题1. 设A、B、C为三个集合，下列哪个式子是成立的？A) \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)B) \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)C) \(A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup (A \cup C)\)答案：B2. 对于一个有n个元素的集合S，S的幂集中包含多少个元素？A) \(n\)B) \(2^n\)C) \(2 \times n\)答案：B二、判断题1. 对于两个关系R和S，若S是自反的，则R ∩ S也是自反的。
答案：错误2. 若一个关系R是反对称的，则R一定是反自反的。
答案：正确三、填空题1. 有一个集合A，其中包含元素1、2、3、4和5，求集合A的幂集的大小。
答案：322. 设a和b是实数，若a \(\neq\) b，则a和b之间的关系是\(\__\_\)关系。
答案：不等四、解答题1. 证明：如果关系R是自反且传递的，则R一定是反自反的。
解答：假设关系R是自反的且传递的，即对于集合A中的任意元素x，都有(x, x) ∈ R，并且当(x, y) ∈ R和(y, z) ∈ R时，(x, z) ∈ R。
反证法：假设R不是反自反的，即存在一个元素a∈A，使得(a, a) ∉ R。
由于R是自反的，所以(a, a) ∈ R，与假设矛盾。
因此，R一定是反自反的。
答案完整证明了该结论。
2. 已知集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求集合A和B的笛卡尔积。
解答：集合A和B的笛卡尔积定义为{(a, b) | a∈A，b∈B}。
所以，集合A和B的笛卡尔积为{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}。
离散数学习题
习题一
一、 将下列命题符号化： 1、蓝色和黄色可以调配成绿色。 2、蓝色和黄色都是常用的颜色。 3、 2和 5 之和是无理数。 4、 2和 5 都是有理数。 5、小丽一边吃苹果，一边看电视。 6、王大力不仅是百米冠军，而且是 500 米冠军。 7、李冰只能选学英语或只能选学法语。 8、种瓜得瓜，种豆得豆。 9、经一事，长一智，并且不经一事，不长一智。 10、 经一事，长一智，并且不长一智，不经一事。 11、 李和平是山西人或陕西人。 12、 王小红虽然没上过大学，但她自学成才。 二、 求复合命题的真值： 设 p：4 是素数，q：南京在北京的北边，r：苹果树是落叶乔木。
五、在有限个体域内消去公式中的量词：
个体域 D a,b, c
1、 xF x yGy 2、 xyFx Gy
3、 xFx yGy H y 个体域 D 1,2,3,4。
六、求前束范式：
习题二
2、若 2 是素数，则 4 不是素数。
4、除非 6 是素数，否则 4 是素数。
七、求主析取范式和主合取范式，成真赋值和成假赋值：
1、 p q r q p r 2、 p q r q 3、 p q r p q r 4、 p q q p 5、 p q p q q p
结论：r s
2、 前提： p q r, r s, s p
结论：q
3、 前提：p q r , s p, q
结论：s r
4、 前提：p r, p q, q s
结论：r s
前提：p r, p q 5、
(完整版)离散数学题目及答案
数理逻辑习题判断题1．任何命题公式存在惟一的特异析取范式 （ √ ） 2． 公式)(q p p →⌝→是永真式 （ √ ） 3．命题公式p q p →∧)(是永真式 （ √ ） 4．命题公式r q p ∧⌝∧的成真赋值为010 （ × ） 5．))(()(B x A x B x xA →∃=→∀ （ √ ）6．命题“如果1＋2＝3，则雪是黑的”是真命题 （ × ） 7．p q p p =∧∨)( （ √ ）8．))()((x G x F x →∀是永真式 （ × ） 9．“我正在撒谎”是命题 （ × ） 10． )()(x xG x xF ∃→∀是永真式（ √ ）11．命题“如果1＋2＝0，则雪是黑的”是假命题 （ × ） 12．p q p p =∨∧)( （ √ ）13．))()((x G x F x →∀是永假式 （ × ）14．每个命题公式都有唯一的特异（主）合取范式 （ √ ） 15．若雪是黑色的:p ，则q →p 公式是永真式 （ √ ） 16．每个逻辑公式都有唯一的前束范式 （ × ） 17．q →p 公式的特异（主）析取式为q p ∨⌝ （ × ） 18．命题公式 )(r q p →∨⌝的成假赋值是110 （ √ ） 19．一阶逻辑公式)),()((y x G x F x →∀是闭式（ × ）单项选择题1． 下述不是命题的是（ A ）A．花儿真美啊! B．明天是阴天。
C．2是偶数。
D．铅球是方的。
2．谓词公式（∀y）（∀x）（P（x）→R（x,y））∧∃yQ（x,y）中变元y （B）A．是自由变元但不是约束变元B．是约束变元但不是自由变元C．既是自由变元又是约束变元D．既不是自由变元又不是约束变元3．下列命题公式为重言式的是（ A ）A．p→ （p∨q）B．（p∨┐p）→qC．q∧┐q D．p→┐q4．下列语句中不是．．命题的只有（A ）A．花儿为什么这样红？B．2+2=0C．飞碟来自地球外的星球。
离散数学习题
离散数学习题集合论1.A={?,1}，B={{a}}求A的幂集、A×B、A∪B、A+B。
2.A={1,2,3,4,5},R={(x,y)|x3.A={a,b,c},R={(a,a),(b,a)},求R-1,R2,R-I A,I A-R,r(R),s(R),t(R),st(R),ts(R)。
4.A={a,b,c},R= I A∪{(a,b),(b,a)}，求a和b关于R的等价类。
5.R是A上的等价关系，A/R={{1,2}，{3}},求A，R。
6.请分别判断以下结论是否一定成立，如果一定成立请证明，否则请举出反例。
①如果A∪B?C，则A?C或者B?C。
②如果A×B=A×C且A≠?，则B=C。
7.如果R是A上的等价关系，R2,r(R)是否一定是A上的等价关系？证明或举例。
8.已知A∩C?B∩C,A-C?B-C,证明：A?B。
9.证明：A X(B∩C)=(A X B)∩(A X C)10.证明：P(A)∪P(B)?P(A∪B)11.证明：R[sym] iff R=R-112.证明：r(R)=R∪I A,S(R)=R∪R-1,t(R)=R∪R2∪...13.证明：s(R∪S)=s(R)∪s(S)14.R是A上的关系，证明：如果R是对称的，则r(R)也是对称的。
15.I是整数集，R={(x,y)|x-y是3的倍数}，证明：R是I上的等价关系。
16.如果R是A上的等价关系，则A/R一定是A的划分。
17.R是集合A上的自反关系，S是A上的自反和对称关系，证明t(R∪S)是A上的等价关系。
18.I是正整数集合，R是I×I上的二元关系，R={<,>|xv=yu},证明：R是等价关系。
19.f:A→B，R是B上的等价关系，令S={|x∈A且y∈A且∈R}，证明：S是A上的等价关系。
20.R是集合A上的自反关系，S是A上的自反和对称关系，证明t(R∪S)是A上的等价关系。
离散数学练习题(含答案)
离散数学练习题(含答案)题目1. 对于集合 $A={1,2,3,...,10}$ 和 $B={n|n是偶数，2<n<8}$，求 $A \cap B$ 的元素。
2. 存在三个可识别的状态A,B,C。
置换群 $S_3$ 作用在状态集上。
定义四个动作：$α: A → C, β: A → B, γ: C→ A, δ: B→ C$。
确定式子，描述 $\{α,β,γ,δ\}$ 的乘法表。
3. 证明 $\forall n \in \mathbb{N}$，合数的个数不小于$n$。
4. 给定一个无向带权图，图中每个节点编号分别是$1,2,...,n$，证明下列结论：a. 如果从节点$i$到$j$只有一条权值最小的路径，则这条路径的任意子路径都是最短路径。
b. 如果从节点$i$到$j$有两条或两条以上权值相等的路径，则从$i$到$j$的最短路径可能不唯一。
答案1. $A \cap B = \{2,4,6\}$。
2. 乘法表：3. 对于任意$n$，我们可以选择$n+1$个连续的自然数$k+1,k+2,...,k+n,k+n+1$中的$n$个数，其中$k \in \mathbb{Z}$。
这$n$个数构成的$n$个正整数均为合数，因为它们都至少有一个小于它自身的因子，所以不是质数。
所以合数的个数不小于任意$n$。
4.a. 根据题意，从$i$到$j$只有一条权值最小的路径，即这条最短路径已被确定。
如果从这条路径中任意取出一段子路径，假设这段子路径不是这个节点到$j$的最短路径，那么存在其他从$i$到$j$的路径比这段子路径更优，又因为这条路径是最短路径，所以这段子路径也一定不优于最短路径，矛盾。
所以从这条路径中任意取出的子路径都是最短路径。
b. 如果从节点$i$到$j$有多条权值相等的路径，则这些路径权值都是最短路径的权值。
因为所有最短路径的权值相等，所以这些路径的权值就是最短路径的权值。
所以从$i$到$j$的最短路径可能不唯一。
离散数学-习题集
离散数学-习题集《离散数学》习题集第⼀部分判断题⼀、第⼀章—集合1、（）已知集合A的元素个数为10，则集合A的幂集的基=102。
2、（）已知两个集合A、B，若A中的元素都是B中的元素，则记为A∈B。
2、（）已知集合A的元素个数为n，则集合A的幂集P（A）的元素个数为n2。
3、( ) 已知两个集合A={Ф，{Ф}}，B={Ф}，则A∩B={Ф}。
4、（）已知两个集合A={Ф，{Ф}}，B={Ф}，则A∩B=Ф。
5、（）已知两个集合A、B，若A中的元素都是B中的元素，则记为A∈B。
6、（）已知集合A的元素个数为n，则集合A的幂集P（A）的元素个数为n2。
7、（）已知集合A的元素个数为n，则A×A的幂集的元素个数为n2。
8、（）已知两个集合A、B，则A-B是由属于B但不属于A的元素构成的集合。
⼆、第⼆章—⼆元关系1、（）若R是A上的⼆元关系，I A是A上的恒等关系，则当且仅当I A∈R时，R是A上的⾃反关系。
2、（√）若R是集合A上的⼆元关系，且当（a，b）∈R且（a，c）∈R时，就有（b，c）∈R，则R是A 上的可传递关系。
3、（）设A是集合，A1、A2、．．．A n都是A的⾮空⼦集，令S={A1，A2，．．．,A n}，则如果S是集合A的⼀个划分，那么S⼀定是集合A的⼀个完全覆盖；反之亦然。
5、（）R是⾮空集合A上的等价⼆元关系，则A关于R的商集A/R是集合A的⼀个划分，但不是A的⼀个完全覆盖。
6、（）已知集合A有4元素，易知集合A共有24个互不相同的⼦集合，所以在集合A上⼀共可定义24个互不相同的⼆元关系。
7、（）若R1和R2都是集合A上的可传递⼆元关系，则R1∪R2也是A上的传递关系。
8、（）设R是有限的⾮空集合A上的偏序关系，则A必有极⼤（⼩）元和最⼤（⼩）元。
9、（）若R1和R2都是集合A上的相容关系，则R1∩R2也是A上的相容关系。
10、（）若R1和R2都是集合A的可传递⼆元关系，则R1∩R2也是A上的传递关系。
《离散数学》典型例题
《离散数学》典型例题一、选择题1. 图1哈斯图所示的偏序集为格的是（）。
2. 设有无向图如图2，则（）是一条哈密顿回路。
A．gabcdefg B．abcdefg C．cfabcdeg D．efgabcd3. 哪个顶点可成为图3的割点？（）A. aB. bC. cD. d4. 图4中（）是欧拉图。
5.下列（）是满2元树。
二、填空题1. 设A={1,2},B={2,3},C={a,b,c}，则|(A∪B)×C|=______________________________。
2．无向完全图Kn的边数为_______________ 。
3. 给定A={1,2,3,4}，A上的关系R={<1,3>,<1,4>,<2,3>,<2,4>,<3,4>}满足的性质是_________________________。
4. 设A ={a,b,c }，F 是A 上的二元关系，F ={<a,a >,<b,b >,<c,c >}，则其自反闭包为r (F )=______________________________。
5. 设A 和B 是有穷集合，|A |=m ，|B |=n ，A 到B 有_______多少个不同一对一映射。
三、判断题1．每个正整数都可以唯一地表示为素数的乘积。
（ ）2．集合X 上的关系R 如果是自反的、反对称的、传递的则称此关系为相容关系。
（ ）3．一条基本回路一定是简单回路，但一条简单回路不一定是基本回路。
（ ）4．树是不包含回路的连通图，在（n ，m ）树中必有m=n+1（ ）5．一个有限群<G ，*>的阶n 一定被它的任一个子群的阶m 所等分。
（ ）四 、综合题1． 求公式(～P →Q) →(Q →～P)的主析取范式和主合取范式。
2. 6个人一起吃饭，围绕圆桌就餐，有多少种就座方式？如果要从4种不同的菜系中点足6道菜，问有多少种点法？3. 一个面包店里有5种不同口味的面包，要挑选8个面包，并且至少有2个奶油味面包和不超过2个咸味面包。