2013年高三第一轮复习理科数学 导数的计算及其几何意义
高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用第13讲导数的意义及运算课件文
＝6.
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【规律方法】求函数的导数时，要准确地把函数分割为基
本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数，对于不具
备求导法则的结构形式要进行适当的恒等变形(biàn xíng).注意求函数的
导数(尤其是对含有多个字母的函数)时，一定要清楚函数的自
变量是什么，对谁求导，如f(x)＝x2＋sinα的自变量为x，而f(α)
__________．
解析：∵f′(x)＝a(1＋lnx)，∴f′(1)＝a＝3.
答案：3
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(3) 已知函数(hánshù) f(x) 的导函数(hánshù)为 f′(x) ，且满足 f( 2x·f′(2)，则 f′(5)＝________.
解析(jiě xī)：对 f(x)＝3x2＋2xf′(2)求导，得 f′(x)＝6x＋2f′(2)． 令 x＝2，得 f′(2)＝－12.再令x＝5，得 f′(5)＝6×5＋2f′(2)
B．－2C．11 D．2 Nhomakorabea解
析
：
∵
f′(x0)
＝
lim
k 0
f[x0＋－k]－fx0 －k
＝
2(Δx
＝
－
k)
，
∴lim k 0
fx0－k2k－fx0＝－12
lim
k 0
f[x0＋－－kk]－fx0＝－12f′(x0)＝
－12×2＝－1.
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考点(kǎo 导di数ǎn)(d2ǎo shù)的计算
uvxx′＝u′xv[xv－xu]2xv′x[v(x)≠0].
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1．已知函数(hánshù) f(x)＝4π2x2，则 f′(x)＝(C )
高考数学一轮复习05 高三第5讲 复习 导数的计算及其几何意义
第5讲导数的计算及其几何意义考点1：导数基本知识导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx=x1−x0，Δy=y1−y0=f(x1)−f(x0)=f(x0+Δx)−f(x0)，则当Δx≠0时，商f(x0+Δx)−f(x0)Δx =ΔyΔx称作函数y=f(x)在区间[x0，x0+Δx]（或[x0+Δx，x0]）的平均变化率．2. 函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数y=f(x)在x0附近有定义，当自变量在x=x0附近改变量为Δx时，函数值相应的改变Δy=f(x0+Δx)−f(x0)．如果当Δx趋近于0时，平均变化率ΔyΔx =f(x0+Δx)−f(x0)Δx趋近于一个常数l（也就是说平均变化率与某个常数l的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率．“当Δx趋近于零时，f(x0+Δx)−f(x0)Δx趋近于常数l”可以用符号“→”记作：“当Δx→0时，f(x0+Δx)−f(x0)Δx →l”，或记作“limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=l”，符号“→”读作“趋近于”．函数在x0的瞬时变化率，通常称为f(x)在x=x0处的导数，并记作f′(x0)．这时又称f(x)在x=x0处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当Δx→0时，f(x0+Δx)−f(x0)Δx→f′(x0)”或“limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=f′(x0)”．3. 可导与导函数：如果f(x)在开区间(a，b)内每一点都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y=f(x)的导函数．记为f′(x)或y′（或y x′）．4. 导数的几何意义：设函数y=f(x)的图象如图所示：AB为过点A(x0,f(x0))与B(x0+Δx,f(x0+Δx))的一条割线．由此割线的斜率是ΔyΔx=f(x0+Δx)−f(x0)Δx，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线过点A的切线，即lim Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=切线AD的斜率．由导数的几何意义可知，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率等于f′(x0)．5. 在点(x0，f(x0))处的切线方程与过点a，b的切线方程(1)函数y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)；(2)函数y=f(x)过点(a，b)的切线方程此时(a，b)可能是切点，也可能不是切点；因此设切点为(t，f(t))，求出在(t，f(t))处切线方程y−f(t)=f′(t)(x−t)代入(a，b)，得b−f(t)=f′(t)(a−t)，解出t，再代入y−f(t)=f′(t)(x−t)即可．典例精讲【典例1】已知函数f （x ）＝﹣x 4+2ax 2+（a ﹣1）x 为偶函数，则f （x ）的导函数f ′（x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据函数f （x ）为偶函数求得a 的值，再求出f （x ）的导函数f ′（x ）， 利用导数判断f ′（x ）的单调性与极值，从而得出函数f ′（x ）的大致图象．【解答】解：函数f （x ）＝﹣x 4+2ax 2+（a ﹣1）x 为偶函数， 则a ﹣1＝0，解得a ＝1，∴f （x ）＝﹣x 4+2x 2，∴f ′（x ）＝﹣4x 3+4x ； 设g （x ）＝f ′（x ），则g ′（x ）＝﹣12x 2+4， 令g ′（x ）＝0，解得x ＝±√33， ∴当0＜x ＜√33时，g ′（x ）＞0， 当x ＞√33时，g ′（x ）＜0； ∴g （x ）在x =√33时取得极大值为 g （√33）＝﹣4×(√33)3+4×√33=8√39＜2， ∴导函数f ′（x ）的图象大致为选项A 所示．故选：A ． 【点评】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数研究函数的图象和性质的应用问题，是中档题．【典例2】若过点P （﹣1，m ）可以作三条直线与曲线C ：y ＝xe x相切，则m 的取值范围是（ ）A ．（−3e 2，+∞） B ．（−1e ，0）C ．（0，+∞）D ．（−3e 2，−1e ）【分析】求指数函数的导数，利用导数的几何意义列出方程． 【解答】解：设切点为（x 0，y 0），过点P 的切线方程为y =(x 0+1)e x 0(x−x 0)+x 0e x 0，代入点P 坐标化简为m =(−x 02−x 0−1)e x 0，即这个方程有三个不等根即可，令f(x)=(−x 20−x 0−1)e x 0，求导得到f ′（x ）＝（﹣x ﹣1）（x +2）e x，函数在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，﹣1）上单调递增，在（﹣1，+∞） 上单调递减，故得到f （﹣2）＜m ＜f （﹣1），即(−3e 2，−1e )故选：D ．【点评】本题考查的是导数的几何意义的应用，将函数的切线条数转化为切点个数问题，最终转化为零点个数问题是解决此题的关键．【典例3】过点P （0，﹣1）作曲线C ：y ＝lnx 的切线，切点为A 1，设A 1在y 轴上的投影是点B 1，过点B 1再作曲线C 的切线，切点为A 2，设A 2在y 轴上的投影是点B 2，…，依次下去，得到第n （n ∈N *）个切点An ，则点A n 的坐标为 （e n ﹣1，n ﹣1） ． 【分析】设A 1（x 1，lnx 1），可得切线方程代入点P 坐标，可解得x 1＝1，即A 1（1，0），B 1（0，0），在写切线方程代入点B 1（0，0），可得A 2（e ，1），B 2（0，1），… 由此可得推得规律，从而可得结论．【解答】解：设A 1（x 1，lnx 1），此处的导数值为1x 1，故切线方程为y ﹣lnx 1=1x 1（x ﹣x 1），代入点P （0，﹣1）可得﹣1﹣lnx 1=1x 1（0﹣x 1），解得x 1＝1，即A 1（1，0），B 1（0，0），同理可得过点B 1再作曲线C 的切线方程为y ﹣lnx 2=1x 2（x ﹣x 2），代入点B 1（0，0），可得0﹣lnx 2=1x 2（0﹣x 2），可解得x 2＝e ，故A 2（e ，1），B 2（0，1），…依次下去，可得A n 的坐标为（e n ﹣1，n ﹣1）故答案为：（e n ﹣1，n ﹣1）【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点切线的方程，归纳推理是解决问题的关键，属中档题．【典例4】已知实数a ，b 满足ln （b +1）+a ﹣3b ＝0，实数c ，d 满足2d ﹣c −√5=0，则（a﹣c ）2+（b ﹣d ）2的最小值为 1 ．【分析】问题转化为曲线ln （x +1）+y ﹣3x ＝0与直线2x ﹣y −√5上的两点之间距离的最小值．利用导数的意义可得：与曲线ln （x +1）+y ﹣3x ＝0相切，而与直线2x ﹣y −√5平行的直线方程，即可得出．【解答】解：问题转化为曲线ln （x +1）+y ﹣3x ＝0与直线2x ﹣y −√5上的两点之间距离的最小值．y ＝f （x ）＝3x ﹣ln （x +1），f ′（x ）＝3−1x+1，令3−1x+1=2，解得x ＝0，可得切点P （0，0）．点P 到直线2x ﹣y −√5的距离l =√5|5=1．∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为1．故答案为：1．【点评】本题考查了导数的应用、直线方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【典例5】已知f（x）＝alnx+12x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1] B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）【分析】先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2＞2恒成立”转换成当x＞0时，f'（x）≥2恒成立，然后利用参变量分离的方法求出a的范围即可．【解答】解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2＞2恒成立则当x＞0时，f'（x）≥2恒成立f'（x）=ax+x≥2在（0，+∞）上恒成立则a≥（2x﹣x2）max＝1故选：D．【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与化归的数学思想．【典例6】已知函数y＝f（x）（x∈R）上任一点（x0，f（x0））处的切线斜率k＝（x0﹣3）（x0+1）2，则该函数的单调递增区间为[3，+∞）．【分析】由题意可求得导数f′（x），解不等式f′（x）＞0即得函数的递曾区间．【解答】解：由题意知，函数f（x）在任一点处的导数f′（x）＝（x﹣3）（x+1）2，令（x﹣3）（x+1）2＞0，解得x＞3，所以函数的单调递增区间为[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．【点评】本题考查导数的几何意义及不等式的解法，属基础题，准确理解导数的几何意义是解题的关键．考点2：导数运算一、导数的运算1. 导数公式表2. 复合函数的导数复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量的导数的乘积．即 设y =f(u)，u =g(x)，则y ′x =f ′(u)⋅g ′(x)． 3. 导数的四则运算(1)(f(x)+g(x))′=f ′(x)+g ′(x)，即两个函数和的导数，等于两个函数的导数的和． (2)(f(x)−g(x))′=f ′(x)−g ′(x)，即两个函数差的导数，等于两个函数的导数的差． (3)[f(x)g(x)]′=f ′(x)g(x)+f(x)g ′(x)，即两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数． (4)[f(x)g(x)]′=g(x)f ′(x)−f(x)g ′(x)g 2(x)(g(x)≠0)，即两个可导函数商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．二、导函数与原函数的关系1．导函数的图像对于非基本初等函数以及无法通过平移和伸缩做出图形的函数，可以采用考察特殊点与求导相结合的方法做出该函数的大致图像，考察特殊点可以研究该函数与坐标轴的交点，然后利用求导研究该函数单调性的方法得出函数的增减走向，进而大体勾画出函数的图像．2、求导公式的逆用导函数与原函数的关系密切透过导函数的符号可以反映原函数的增减性，据此，可以通过配凑等方法构造某一函数的导函数并判断其符号，进而得到原函数的增减性．典例精讲【典例1】已知函数3()1x f x x e =-，则它的导函数()f x '等于( ) A ．23x x eB ．2x x e (3)x +C ．2(3)1x x e x +-D ．231x x e -【分析】根据题意，有导数的计算公式可得数3()()x f x x e '='-（1）33()()x x x e x e '='+'，化简变形即可得答案．【解答】解：根据题意，函数3()1x f x x e =-，其导数3()()x f x x e '='-（1）33232()()3x x x x x x e x e x e x e x e '='+'=+=(3)x +； 故选：B ．【点评】本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题． 【典例2】设函数F （x ）=f(x)e x是定义在R 上的函数，其中f （x ）的导函数为f '（x ），满足f '（x ）＜f （x ）对于x ∈R 恒成立，则（ ）A ．f （2）＞e 2f （0），f （2 017＞e 2017f （0）B ．f （2）＞e 2f （0），f （2 017）＜e 2017f （0）C ．f （2）＜e 2f （0），f （2 017）＞e 2017f （0）D ．f （2）＜e 2f （0），f （2 017）＜e 2017f （0）【分析】对f （x ）求导，利用f '（x ）＜f （x ）得到单调性，利用单调性求2与0以及2017与0的函数值的大小． 【解答】解：F '（x ）＝[f(x)e x]'=f ′(x)e x −f(x)e x(e x )2=f ′(x)−f(x)e x，因为f '（x ）＜f （x ），所以F '（x ）＜0，所以F （x ）为减函数，因为2＞0，2017＞0， 所以F （2）＜F （0），F （2017）＜F （0）， 即f(2)e 2＜f(0)e 0，所以f （2）＜e 2f （0）； f(2017)e 2017＜f(0)e 0，即f （2017）＜e2017f （0）；故选：D ．【点评】本题考查了利用函数的单调性判断函数值的大小关系；关键是正确判断F （x ）的单调性，并正确运用．【典例3】已知函数f(x)=2e x +1+sinx ，其导函数记为f ′（x ），则f （2016）+f （﹣2016）+f ′（2016）﹣f ′（﹣2016）的值为 2 ．【分析】利用导数的公式和导数的运算法，探究一下之间的关系，即可得到结论． 【解答】解：函数f(x)=2e x +1+sinx ，则f （﹣x ）=2e x1+e x −sin x ；f ′（x ）=−2e x(1+e x )2+cos x ，f′(−x)=−2e x(1+e x)2+cos x，∵f′（x）﹣f′（﹣x）＝0，f（x）+f（﹣x）＝2．∴f（2016）+f（﹣2016）+f′（2016）﹣f′（﹣2016）＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了导数的公式的运用，简单复合函数求导的能力，同时要求有一定的化简能力和计算能力．探究其之间的关系．属于中档题．【典例4】已知函数f（x）=lnxx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为 1 ．【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得f′（x），将x＝1代入可得f′（1）的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=lnxx，则f′（x）=(lnx)′x−lnx(x)′x2=1−lnxx2，则f′（1）=1−ln11=1；故答案为：1．【点评】本题考查导数的计算，关键是正确计算函数f（x）的导数．【典例5】如图，函数y＝f（x）的图象在点P（4，f（4））处的切线方程是y＝﹣2x+9，则f（4）+f′（4）的值为﹣1 ．【分析】由函数在点P（4，f（4））处的切线方程得到切线的斜率，即f′（4），再由切线方程求出f（4）的值，则答案可求．【解答】解：由图可知，f′（4）＝﹣2，且f（4）＝﹣2×4+9＝1，∴f（4）+f′（4）＝1﹣2＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．【典例6】设函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）＝5x3+2xf′（1），则f′（3）＝105【分析】对函数f（x）的解析式求导，得到其导函数，把x＝1代入导函数中，列出关于f'（1）的方程，进而得到f'（1）的值，再求出f′（3）即可【解答】解：求导得：f′（x）＝15x2+2f′（1），令x＝1，得到f′（1）＝15+2f′（1），解得：f′（1）＝﹣15，∴f′（3）＝15×9+2×（﹣15）＝105，故答案为：105．【点评】本题主要考查了导数的运算，运用求导法则得出函数的导函数，求出常数f '（1）的值，从而确定出函数的解析式是解本题的关键．【典例7】若函数()f x 满足321()(1)23f x x f x x '=-+，则f '（2）的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】可以得出2()2f x x f '=-'（1）2x +，进而求出f '（1）1=，从而得出导函数2()22f x x x '=-+，将x 换上2即可得出f '（2）的值． 【解答】解：2()2f x x f '=-'（1）2x +，f ∴'（1）12f =-'（1）2+，解得f '（1）1=，2()22f x x x ∴'=-+， f ∴'（2）4422=-+=．故选：C ．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．综合练习一．选择题（共5小题）1．已知函数f （x ）＝e x+ax 2（a ∈R ），若曲线y ＝f （x ）在点 P （m ，f （m ））（m ＞1）处的切线为l ，且直线l 在y 轴上的截距小于1，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（−12，+∞） B ．[﹣1，+∞） C ．[−12，+∞） D ．（﹣1，−12）【分析】求得f （x ）的导数，可得切线的斜率和方程，令x ＝0，可得切线在y 轴上的截距，再由不等式恒成立思想，运用参数分离和构造函数法，求得范围，即可得到所求范围．【解答】解：函数f （x ）＝e x +ax 2的导数为f ′（x ）＝e x+2ax ，可得曲线y ＝f （x ）在点 P （m ，f （m ））（m ＞1）处的切线斜率为e m+2am ，即有切线的方程为y ﹣（e m +am 2）＝（e m+2am ）（x ﹣m ），可令x ＝0可得y ＝e m ﹣me m ﹣am 2，由题意可得e m ﹣me m ﹣am 2＜1对m ＞1恒成立， 则a ＞e m −me m −1m 2，由g （m ）=e m −me m −1m 2+1=e m −me m −1+m 2m 2，由e m﹣me m﹣1+m 2＝（1﹣m ）（e m﹣1﹣m ）， 由m ＞1可得1﹣m ＜0，由y ＝e x ﹣1﹣x 的导数为y ′＝e x﹣1，当x ＞0时，y ′＞0，函数y 递增；当x ＜0时，y ′＜0，函数y 递减，可得y ＝e x ﹣1﹣x 的最小值为e 0﹣1﹣0＝0，可得m ＞1时，e m﹣1﹣m ＞0，则（1﹣m ）（e m﹣1﹣m ）＜0，即g （m ）＜0， 则e m −me m −1m 2＜−1恒成立，可得a ≥﹣1，即a 的范围是[﹣1，+∞）． 故选：B ．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．2．已知函数f （x ）＝﹣x 4+2ax 2+（a ﹣1）x 为偶函数，则f （x ）的导函数f ′（x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据函数f （x ）为偶函数求得a 的值，再求出f （x ）的导函数f ′（x ）， 利用导数判断f ′（x ）的单调性与极值，从而得出函数f ′（x ）的大致图象．【解答】解：函数f （x ）＝﹣x 4+2ax 2+（a ﹣1）x 为偶函数， 则a ﹣1＝0，解得a ＝1，∴f （x ）＝﹣x 4+2x 2，∴f ′（x ）＝﹣4x 3+4x ； 设g （x ）＝f ′（x ），则g ′（x ）＝﹣12x 2+4， 令g ′（x ）＝0，解得x ＝±√33， ∴当0＜x ＜√33时，g ′（x ）＞0， 当x ＞√33时，g ′（x ）＜0； ∴g （x ）在x =√33时取得极大值为 g （√33）＝﹣4×(√33)3+4×√33=8√39＜2， ∴导函数f ′（x ）的图象大致为选项A 所示． 故选：A ． 【点评】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数研究函数的图象和性质的应用问题，是中档题．3．设函数f （x ）在x ＝1处存在导数为2，则lim △x→0f(1+△x)−f(1)3△x=（ ）A ．2B ．1C ．23D ．6【分析】根据题意，由极限的性质可得lim△x→0f(1+△x)−f(1)3△x=13×lim△x→0f(1+△x)−f(1)△x=13×f ′（1），据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f （x ）在x ＝1处存在导数为2，即f ′（1）＝2， 则lim△x→0f(1+△x)−f(1)3△x=13×lim△x→0f(1+△x)−f(1)△x=13×f ′（1）=23；故选：C ．【点评】本题考查导数的定义，涉及极限的计算，属于基础题． 4．函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的单调函数，∀x ∈（0，+∞），f [f （x ）﹣lnx ]＝e +1，则方程f （x ）﹣f ′（x ）＝e （其中e 为自然对数的底数）的解所在的区间是（ ） A ．（0，12） B ．（12，1） C ．（1，2） D ．（2，3）【分析】由设t＝f（x）﹣lnx，则f（x）＝lnx+t，又由f（t）＝e+1，求出f（x）＝lnx+e，则方程f（x）﹣f′（x）＝e的解可转化成方程lnx−1x=0的解，根据零点存在定理即可判断．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]＝e+1，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣lnx为定值，设t＝f（x）﹣lnx，则f（x）＝lnx+t，又由f（t）＝e+1，即lnt+t＝e+1，解得：t＝e，则f（x）＝lnx+e，f′（x）=1x，∴f（x）﹣f′（x）＝lnx+e−1x=e，即lnx−1x=0，则方程f（x）﹣f′（x）＝e的解可转化成方程lnx−1x=0的解，令h（x）＝lnx−1x，而h（2）＝ln2−12＞0，h（1）＝ln1−11＜0，∴方程lnx−1x=0的解所在区间为（1，2），∴方程f（x）﹣f′（x）＝e的解所在区间为（1，2），故选：C．【点评】本题考查了导数的运算和零点存在定理，关键是求出f（x），属于中档题．5．已知函数f（x）=2e+1+sin x，其中f′（x）为函数f（x）的导数，求f（2018）+f（﹣2018）+f′（2019）﹣f′（﹣2019）＝（）A．2 B．2019 C．2018 D．0【分析】化函数f（x）＝sin x+1−e x1+e x +1，设g（x）＝sin x+1−e x1+e x，判断g（x）为奇函数，求出f（﹣x）+f（x）的值；再判断g′（x）为偶函数，求出f′（x）﹣f′（﹣x）的值．【解答】解：函数f（x）=2e x+1+sin x＝sin x+1−e x1+e x+1，设g（x）＝sin x+1−e x1+e x，则g（﹣x）＝sin（﹣x）+1−e −x1+e−x =−（sin x+1−e x1+e x）＝﹣g（x），即g （﹣x ）+g （x ）＝0，即f （﹣x ）+f （x ）＝2，则f （2018）+f （﹣2018）＝g （2018）+1+g （﹣2018）+1＝2； 又f ′（x ）＝g ′（x ），由g （x ）为奇函数，则g ′（x ）为偶函数，可得f ′（2019）﹣f ′（﹣2019）＝g ′（2019）﹣g ′（﹣2019）＝0， 即有f （2018）+f （﹣2018）+f ′（2019）﹣f ′（﹣2019）＝2． 故选：A ．【点评】本题考查了函数的奇偶性与对应导数的奇偶性问题，是中档题．二．填空题（共3小题）6．已知实数a ，b 满足ln （b +1）+a ﹣3b ＝0，实数c ，d 满足2d ﹣c −√5=0，则（a ﹣c ）2+（b ﹣d ）2的最小值为 1 ．【分析】问题转化为曲线ln （x +1）+y ﹣3x ＝0与直线2x ﹣y −√5上的两点之间距离的最小值．利用导数的意义可得：与曲线ln （x +1）+y ﹣3x ＝0相切，而与直线2x ﹣y −√5平行的直线方程，即可得出．【解答】解：问题转化为曲线ln （x +1）+y ﹣3x ＝0与直线2x ﹣y −√5上的两点之间距离的最小值．y ＝f （x ）＝3x ﹣ln （x +1），f ′（x ）＝3−1x+1，令3−1x+1=2，解得x ＝0，可得切点P （0，0）．点P 到直线2x ﹣y −√5的距离l =√5|√5=1．∴（a ﹣c ）2+（b ﹣d ）2的最小值为1．故答案为：1．【点评】本题考查了导数的应用、直线方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．函数f （x ）＝x 3﹣（a ﹣1）x 2+（a ﹣3）x 的导函数f '（x ）是偶函数，则实数a ＝ 1 ． 【分析】先求出函数的导数，再利用偶函数的性质f （﹣x ）＝f （x ）建立等式关系，解之即可．【解答】解：对f （x ）＝x 3﹣（a ﹣1）x 2+（a ﹣3）x 求导，得 f '（x ）＝3x 2﹣2（a ﹣1）x +（a ﹣3），又f ′（x ）是偶函数，即f ′（x ）＝f ′（﹣x ）， 代入，可得： 3x 2﹣2（a ﹣1）x +（a ﹣3）＝3x 2+2（a ﹣1）x +（a ﹣3）， 化简得a ＝1， 故答案为：1．【点评】考查了偶函数的概念，以及将偶函数与函数的求导结合在一起． 8．若函数f （x ）满足f ′(x)−f(x)e x=2x ，f （0）＝1，则当x ＞0时，f ′(x)f(x)的取值范围是 （1，2] ．【分析】构造函数，结合条件求出函数f （x ）的解析式，结合分式函数的性质利用基本不等式法进行求解即可．【解答】解：设h（x）=f(x)e x，则h′（x）=f′(x)−f(x)e x=2x，即h（x）＝x2+c，即f（0）＝1，∴h（0）=f(0)e0=1＝0+c，则c＝1，则h（x）=f(x)e x=x2+1，则f（x）＝e x（x2+1），则f′（x）＝e x（x2+1）+e x（2x）＝e x（x2+2x+1），则f′(x)f(x)=e x(x2+2x+1)e x(x2+1)=x2+2x+1x2+1=1+2xx2+1=1+2x+1x当x＞0时，x+1x ≥2√x⋅1x=2，则0＜1x+1x ≤12，则0＜2x+1x≤1，则1＜1+2x+1x≤2，即f′(x)f(x)的取值范围是（1，2]，故答案为：（1，2]．【点评】本题主要考查函数值域的求解，根据条件利用构造法求出函数的解析式，结合分式函数的性质是解决本题的关键．。
人教版高中数学高考一轮复习--导数的概念、意义及运算
高中总复习优化设计
GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI
第三章
3.1 导数的概念、意义及运算
课标要求
1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概
念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与
思想.
2.体会极限思想.
3.通过函数的图象直观理解导数的几何意义.
1
,y=
x
4.能根据导数的定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3, y=
x 的导数.
5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单
函数的导数;能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数.
6.会使用导数公式表.
备考指导
导数是高中数学的重点,而求给定函数的导数则是解决导数问题的基本.复
2
9
9
即 2f'(2)=- ,得 f'(2)=- .故选 D.
2
4
9
D.4
(2)求下列函数的导数:
1
①y=x sin x;②y=ln x+;
cos
③y= ;④y=ln(2x-5).
e
2
解 ①y'=(x2)'sin x+x2(sin x)'=2xsin x+x2cos x.
②y'=
③y'=
1
度为零的时刻是( D )
A.0 s
B.1 s末
C.2 s末
D.1 s末和2 s末
13 32
∵s=3t -2t +2t,∴v=s'=t2-3t+2.令 v=0,
高考数学一轮复习考点知识专题讲解14---导数的概念及其意义、导数的运算
高考数学一轮复习考点知识专题讲解 导数的概念及其意义、导数的运算考点要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数．知识梳理 1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数记作f ′(x 0)或y ′|0x x ＝. f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(2)函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx.2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0)f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln a f (x )＝ln xf ′(x )＝1x4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； [f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)； [cf (x )]′＝cf ′(x )． 常用结论1．区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条． (2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(×)(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.(×)教材改编题1．若f(x)＝1x，则f′(x)＝________.答案－x 2x2解析f(x)＝1x＝12x-，∴f′(x)＝3212x--＝－x2x2.2．函数f(x)＝e x＋1x在x＝1处的切线方程为．答案y＝(e－1)x＋2解析f′(x)＝e x－1x2，∴f′(1)＝e－1，又f(1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.3．已知函数f(x)＝x ln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝.答案－1e解析f ′(x )＝1＋ln x ＋2ax ， ∴f ′(e)＝2a e ＋2＝0，∴a ＝－1e.题型一 导数的运算例1(1)(2022·济南质检)下列求导运算正确的是________．(填序号) ①⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝－1x (ln x )2；②(x 2e x )′＝2x ＋e x ； ③(tan x )′＝1cos 2x； ④⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ′＝1＋1x 2.答案①③④解析⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝－1(ln x )2·(ln x )′＝－1x (ln x )2，故①正确；(x 2e x )′＝(x 2＋2x )e x ，故②错误；(tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x ，故③正确；⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ′＝1＋1x 2，故④正确．(2)函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝x 2＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝.答案π236＋2π3解析f ′(x )＝2x ＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2π3＋12f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝4π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π236＋2π3.教师备选在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)等于()A ．26B ．29C ．212D ．215 答案C解析因为在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4， 所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝2×4＝8. 因为函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，所以f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′， 所以f ′(0)＝a 1a 2…a 8＝(a 1a 8)4＝84＝212.思维升华 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．跟踪训练1(1)函数y ＝sin2x 的导数y ′等于()A ．2B ．cos2C ．2cos2xD ．2sin2x 答案C解析y ＝sin2x ＝2sin x ·cos x ，y ′＝2cos x ·cos x ＋2sin x ·(－sin x ) ＝2cos 2x －2sin 2x ＝2cos2x .(2)若函数f (x )，g (x )满足f (x )＋xg (x )＝x 2－1，且f (1)＝1，则f ′(1)＋g ′(1)等于() A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案C解析当x ＝1时，f (1)＋g (1)＝0， ∵f (1)＝1，得g (1)＝－1，原式两边求导，得f ′(x )＋g (x )＋xg ′(x )＝2x ， 当x ＝1时，f ′(1)＋g (1)＋g ′(1)＝2， 得f ′(1)＋g ′(1)＝2－g (1)＝2－(－1)＝3. 题型二 导数的几何意义 命题点1求切线方程例2(1)(2021·全国甲卷)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为． 答案5x －y ＋2＝0解析y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x ＋2′＝2(x ＋2)－(2x －1)(x ＋2)2＝5(x ＋2)2，所以y ′|x ＝－1＝5(－1＋2)2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l的方程为． 答案x －y －1＝0解析∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)． 又f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x . ∴由⎩⎨⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 命题点2求参数的值(范围)例3(1)(2022·西安模拟)直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)，则2a ＋b 等于()A ．4B ．3C ．2D ．1 答案A解析∵直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)， 将P (1,2)代入y ＝kx ＋1， 可得k ＋1＝2，解得k ＝1， ∵f (x )＝a ln x ＋b ，∴f ′(x )＝a x，由f ′(1)＝a1＝1，解得a ＝1，可得f (x )＝ln x ＋b ， ∵P (1,2)在曲线f (x )＝ln x ＋b 上， ∴f (1)＝ln1＋b ＝2，解得b＝2，故2a＋b＝2＋2＝4.(2)已知曲线f(x)＝13x3－x2－ax＋1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是________．答案(－4，＋∞)解析f′(x)＝x2－2x－a，依题意知x2－2x－a＝3有两个实数解，即a＝x2－2x－3＝(x－1)2－4有两个实数解，∴y＝a与y＝(x－1)2－4的图象有两个交点，∴a>－4.教师备选1．已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则P点的坐标为()A．(1,3) B．(－1,3)C．(1,3)或(－1,3) D．(1，－3)答案C解析设切点P(x0，y0)，f′(x)＝3x2－1，又直线x＋2y－1＝0的斜率为－1 2，∴f′(x0)＝3x20－1＝2，∴x20＝1，∴x0＝±1，又切点P(x0，y0)在y＝f(x)上，∴y0＝x30－x0＋3，∴当x0＝1时，y0＝3；当x0＝－1时，y0＝3.∴切点P为(1,3)或(－1,3)．2．(2022·哈尔滨模拟)已知M是曲线y＝ln x＋12x2＋(1－a)x上的任一点，若曲线在M点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，则实数a的取值范围是()A．[2，＋∞) B．[4，＋∞) C．(－∞，2] D．(－∞，4] 答案C解析因为y＝ln x＋12x2＋(1－a)x，所以y′＝1x＋x＋1－a，因为曲线在M点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，所以y′≥tan π4＝1对于任意的x>0恒成立，即1x＋x＋1－a≥1对任意x>0恒成立，所以x＋1x≥a，又x＋1x≥2，当且仅当x＝1 x ，即x＝1时，等号成立，故a≤2，所以a的取值范围是(－∞，2]．思维升华(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (2)注意区分“在点P 处的切线”与“过点P 处的切线”．跟踪训练2(1)(2022·南平模拟)若直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e xe 2n 相切，则()A ．m ＋n 为定值B.12m ＋n 为定值C ．m ＋12n 为定值D ．m ＋13n 为定值答案B解析设直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e x e 2n 切于点002e (,)e x n x ，因为y ′＝e x e 2n ，所以02e e x n ＝1，所以x 0＝2n ，所以切点为(2n ,1)，代入直线方程得1＝2n ＋m ，即12m ＋n ＝12.(2)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是． 答案[2，＋∞)解析直线2x －y ＝0的斜率k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线， ∴f ′(x )＝1x＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x－2，x >0.又4x ＋1x≥24x ·1x＝4，当且仅当x ＝12时取“＝”．∴a ≥4－2＝2.∴a 的取值范围是[2，＋∞)． 题型三 两曲线的公切线例4(1)(2022·驻马店模拟)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，直线l 与f (x )的图象相切于点A (1,0)，若直线l 与g (x )的图象也相切，则a 等于() A ．0B ．－1C ．3D ．－1或3 答案D解析由f (x )＝x ln x 求导得f ′(x )＝1＋ln x ，则f ′(1)＝1＋ln1＝1，于是得函数f (x )在点A (1,0)处的切线l 的方程为y ＝x －1， 因为直线l 与g (x )的图象也相切，则方程组⎩⎨⎧y ＝x －1，g (x )＝x 2＋ax ，有唯一解，即关于x 的一元二次方程x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个相等的实数根， 因此Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3， 所以a ＝－1或a ＝3.(2)若函数f (x )＝x 2－1与函数g (x )＝a ln x －1的图象存在公切线，则正实数a 的取值范围是()A ．(0，e)B ．(0，e]C ．(0,2e)D ．(0,2e] 答案D解析f (x )＝x 2－1的导函数f ′(x )＝2x ，g (x )＝a ln x －1的导函数为g ′(x )＝a x. 设切线与f (x )相切的切点为(n ，n 2－1)，与g (x )相切的切点为(m ，a ln m －1)， 所以切线方程为y －(n 2－1)＝2n (x －n )，y －(a ln m －1)＝am(x －m )，即y ＝2nx －n 2－1，y ＝a mx －a ＋a ln m －1.所以⎩⎨⎧2n ＝a m ，n 2＋1＝a ＋1－a ln m ，所以a 24m 2＝a －a ln m ，由于a >0，所以a4m 2＝1－ln m ， 即a4＝m 2(1－ln m )有解即可． 令h (x )＝x 2(1－ln x )(x >0)，h ′(x )＝x (1－2ln x )，所以h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，最大值为h (e)＝e2，当0<x <e 时，h (x )>0， 当x >e 时，h (x )<0， 所以0<a 4≤e2，所以0<a ≤2e.所以正实数a 的取值范围是(0,2e]．教师备选1．若f (x )＝ln x 与g (x )＝x 2＋ax 两个函数的图象有一条与直线y ＝x 平行的公共切线，则a 等于()A ．1B ．2C ．3D ．3或－1 答案D解析设在函数f (x )＝ln x 处的切点为(x ，y )，根据导数的几何意义得到k ＝1x＝1，解得x ＝1，故切点为(1,0)，可求出切线方程为y ＝x －1，此切线和g (x )＝x 2＋ax 也相切， 故x 2＋ax ＝x －1，化简得到x 2＋(a －1)x ＋1＝0，只需要满足Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3. 2．已知曲线y ＝e x 在点(x 1，1e x )处的切线与曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线相同，则(x 1＋1)(x 2－1)等于()A ．－1B ．－2C ．1D ．2 答案B解析已知曲线y ＝e x 在点(x 1，1e x )处的切线方程为y －1e x ＝1e x (x －x 1)， 即y ＝1e x x －1e x x 1＋1e x ，曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2x －1＋ln x 2，由题意得⎩⎨⎧1ex ＝1x 2，1ex －1e x x 1＝－1＋ln x 2，得x 2＝11ex ， 1e x －1e x x 1＝－1＋ln x 2＝－1＋ln11e x ＝－1－x 1，则1e x ＝x 1＋1x 1－1.又x 2＝11ex ， 所以x 2＝x 1－1x 1＋1， 所以x 2－1＝x 1－1x 1＋1－1＝－2x 1＋1， 所以(x 1＋1)(x 2－1)＝－2.思维升华 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．跟踪训练3(1)(2022·雅安模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )＝－2x 2＋m ，g (x )＝－3ln x －x ，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m 的值为() A ．2 B ．5 C ．1 D ．0 答案C解析根据题意，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的公共点为(a ，b )，其中a >0， 由f (x )＝－2x 2＋m ，可得f ′(x )＝－4x ，则切线的斜率为k ＝f ′(a )＝－4a ， 由g (x )＝－3ln x －x ，可得g ′(x )＝－3x －1，则切线的斜率为k ＝g ′(a )＝－3a－1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a ＝－3a－1，解得a ＝1或a ＝－34(舍去)，又由g (1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)， 将点(1，－1)代入f (x )＝－2x 2＋m ， 可得m ＝1.(2)不与x 轴重合的直线l 与曲线f (x )＝x 3和y ＝x 2均相切，则l 的斜率为________． 答案6427解析设直线l 与曲线f (x )＝x 3相切的切点坐标为(x 0，x 30)，f ′(x )＝3x 2，则f ′(x 0)＝3x 20，则切线方程为y ＝3x 20x －2x 30，因为不与x 轴重合的直线l 与曲线y ＝x 3和y ＝x 2均相切， 则⎩⎨⎧y ＝3x 20x －2x 30，y ＝x 2，得x 2－3x 20x ＋2x 30＝0，Δ＝9x 40－8x 30＝0，得x 0＝0(舍去)或x 0＝89，所以l 的斜率为3x 20＝6427. 课时精练1．(2022·阳江模拟)下列函数的求导正确的是()A ．(x －2)′＝－2xB ．(x cos x )′＝cos x －x sin xC ．(ln10)′＝110D ．(3x )′＝3x 答案B解析(x －2)′＝－2x －3，∴A 错； (x cos x )′＝cos x －x sin x ，∴B 对；(ln10)′＝0，∴C错；(3x)′＝3x·ln3，∴D错．2.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()答案B解析由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率先增大后减小．3．(2022·黑龙江哈师大附中月考)曲线y＝2cos x＋sin x在(π，－2)处的切线方程为() A．x－y＋π－2＝0 B．x－y－π＋2＝0C．x＋y＋π－2＝0 D．x＋y－π＋2＝0答案D解析y′＝－2sin x＋cos x，当x＝π时，k＝－2sinπ＋cosπ＝－1，所以在点(π，－2)处的切线方程，由点斜式可得y＋2＝－1×(x－π)，化简可得x＋y－π＋2＝0.4．(2022·兴义模拟)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)等于()A ．－1B ．0C ．2D ．4 答案B解析由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.5．设曲线f (x )＝a e x ＋b 和曲线g (x )＝cos x ＋c 在它们的公共点M (0,2)处有相同的切线，则b ＋c －a 的值为() A ．0B ．πC．－2D ．3 答案D解析∵f ′(x )＝a e x ，g ′(x )＝－sin x ， ∴f ′(0)＝a ，g ′(0)＝0，∴a ＝0， 又M (0,2)为f (x )与g (x )的公共点， ∴f (0)＝b ＝2，g (0)＝1＋c ＝2，解得c ＝1， ∴b ＋c －a ＝2＋1－0＝3.6．已知点A是函数f(x)＝x2－ln x＋2图象上的点，点B是直线y＝x上的点，则|AB|的最小值为()A. 2 B．2 C.433D.163答案A解析当与直线y＝x平行的直线与f(x)的图象相切时，切点到直线y＝x的距离为|AB|的最小值．f′(x)＝2x－1x＝1，解得x＝1或x＝－12(舍去)，又f(1)＝3，所以切点C(1,3)到直线y＝x的距离即为|AB|的最小值，即|AB|min＝|1－3|12＋12＝ 2.7.已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，设a＝f(3)－f(2)，则下列结论正确的是()A．f′(2)<f′(3)<aB．f′(2)<a<f′(3)C．f′(3)<a<f′(2)D．a<f′(3)<f′(2)答案C解析a＝f(3)－f(2)＝f(3)－f(2)3－2，∴a 表示曲线上两点A (2，f (2))，B (3，f (3))连线的斜率， 由图知，曲线切线的斜率越来越小， ∴f ′(3)<a <f ′(2)．8．(2022·固原模拟)设点P 是函数f (x )＝2e x －f ′(0)x ＋f ′(1)图象上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是() A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，3π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 答案B解析∵f (x )＝2e x －f ′(0)x ＋f ′(1)， ∴f ′(x )＝2e x －f ′(0)，∴f ′(0)＝2－f ′(0)，f ′(0)＝1， ∴f (x )＝2e x －x ＋f ′(1)， ∴f ′(x )＝2e x －1>－1.∵点P 是曲线上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α， ∴tan α>－1. ∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π. 9．已知函数y ＝f (x )的图象在x ＝2处的切线方程是y ＝3x ＋1，则f (2)＋f ′(2)＝________. 答案10解析切点坐标为(2，f (2))，∵切点在切线上，∴f (2)＝3×2＋1＝7， 又k ＝f ′(2)＝3，∴f (2)＋f ′(2)＝10.10．(2022·四川天府名校联考)若曲线f (x )＝x cos x 在x ＝π处的切线与直线ax －y ＋1＝0平行，则实数a ＝. 答案－1解析因为f (x )＝x cos x ， 所以f ′(x )＝cos x －x sin x ，f ′(π)＝cosπ－π·sinπ＝－1，因为函数在x ＝π处的切线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以a ＝f ′(π)＝－1. 11．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝. 答案2解析f ′(x )＝－(ax －1)′(ax －1)2＋e x cos x －e x sin x ＝－a (ax －1)2＋e x cos x －e xsin x ，∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1，则a ＝2.12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋1x (a ∈R )，若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，则a 的取值范围为． 答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析因为f (x )＝x 3－ax 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋1x (a ∈R )，所以f ′(x )＝3x 2－2ax ＋23a ＋1，因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线， 所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2－2ax ＋23a ＋1＝0有两个不等的实根， 则Δ＝4a 2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋1>0，即a 2－2a －3>0，解得a >3或a <－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．13．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2023(x )等于()A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x答案A解析∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2023＝4×505＋3，∴f 2023(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x .14．(2021·新高考全国Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则()A ．e b <aB ．e a <bC ．0<a <e bD ．0<b <e a答案D解析方法一设切点(x 0，y 0)，y 0>0，则切线方程为y －b ＝0e x (x －a )，由⎩⎨⎧ y 0－b ＝0e x (x 0－a )，y 0＝0e x ，得0e x (1－x 0＋a )＝b ，则由题意知关于x 0的方程0e x (1－x 0＋a )＝b 有两个不同的解．设f (x )＝e x (1－x ＋a )，则f ′(x )＝e x (1－x ＋a )－e x ＝－e x (x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝a ，所以当x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以f (x )max ＝f (a )＝e a (1－a ＋a )＝e a ，当x <a 时，a －x >0，所以f (x )>0，当x →－∞时，f (x )→0，当x →＋∞时，f (x )→－∞，函数f (x )＝e x (1－x ＋a )的大致图象如图所示，因为f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，所以0<b <e a .方法二(用图估算法)过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则点(a ，b )在曲线y ＝e x 的下方且在x 轴的上方，得0<b <e a .15．(2022·重庆沙坪坝区模拟)若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝[f ′(x )]′.若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4上是凸函数的是________．(填序号)①f (x )＝－x 3＋3x ＋4；②f (x )＝ln x ＋2x ；③f (x )＝sin x ＋cos x ；④f (x )＝x e x .答案①②③解析对①，f (x )＝－x 3＋3x ＋4， f ′(x )＝－3x 2＋3，f ″(x )＝－6x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故①为凸函数； 对②，f (x )＝ln x ＋2x ，f ′(x )＝1x＋2， f ″(x )＝－1x 2， 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故②为凸函数； 对③，f (x )＝sin x ＋cos x ， f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故③为凸函数； 对④，f (x )＝x e x ，f ′(x )＝(x ＋1)e x ， f ″(x )＝(x ＋2)e x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4时，f ″(x )>0，故④不是凸函数． 16．已知f (x )＝e x (e 为自然对数的底数)，g (x )＝ln x ＋2，直线l 是f (x )与g (x )的公切线，则直线l 的方程为____________________．答案y ＝e x 或y ＝x ＋1解析设直线l 与f (x )＝e x 的切点为(x 1，y 1)，则y 1＝1e x ，f ′(x )＝e x ，∴f ′(x 1)＝1e x ，∴切点为(x 1，1e x )，切线斜率k ＝1e x ，∴切线方程为y －1e x ＝1e x (x －x 1)，即y ＝1e x ·x －x 11e x ＋1e x ， ①同理设直线l 与g (x )＝ln x ＋2的切点为(x 2，y 2)，∴y 2＝ln x 2＋2，g ′(x )＝1x， ∴g ′(x 2)＝1x 2， 切点为(x 2，ln x 2＋2)，切线斜率k ＝1x 2， ∴切线方程为y －(ln x 2＋2)＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2＋1， ②由题意知，①与②相同，∴⎩⎨⎧ 1e x ＝1x 2⇒x 2＝1e x -，③－x 11e x ＋1e x ＝ln x 2＋1，④把③代入④有－x 11e x ＋1e x ＝－x 1＋1， 即(1－x 1)(1e x －1)＝0，解得x 1＝1或x 1＝0，当x 1＝1时，切线方程为y ＝e x ；当x 1＝0时，切线方程为y ＝x ＋1，综上，直线l 的方程为y ＝e x 或y ＝x ＋1.。
高考数学一轮复习导数的概念及其意义、导数的运算
)
A．y＝3x＋1
B．y＝2x＋1
5
C．y＝ x＋1
D．y＝x＋1
4
答案：A
2 x+1 −2x
x＝ 2 ＋ex，则f′(0)＝3，
＋e
x+1 2
x+1 2
解析：由题设，f′(x)＝
而f(0)＝1，故在(0，f(0))处的切线方程为y－1＝3x，则y＝3x＋1.
故选A.
(2)已知函数f(x)＝x ln x．若直线l过点(0，－1)，且与曲线y＝f(x)相切，
(2)[f(x)g(x)]′＝________________．
f ′ x g x − f x g′ x
′
g x 2
(3)
＝________________(g(x)≠0).
cf′(x)
(4)[cf(x)]′＝________(c为常数).
f（x）
g（x）
5．复合函数的导数
设 u ＝ g(x) 在 x 处 可 导 ， 则 复 合 函 数 y ＝ f(g(x)) 在 x 处 可 导 ， 且 y′ ＝
x－y－1＝0
则直线l的方程为________________.
解析：点(0，－1)不在曲线f(x)＝x ln x上，设切点坐标为(x0，y0)．
因为f′(x)＝1＋ln x，所以直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.
y0 = x0 ln x0
由ቊ
，
y0 + 1 = 1 + ln x0 x0
x0 = 1，
e
x
与曲线y＝ln (－x)相切于点(x2，ln (－x2))(x2<0)，则此时切线方程为y－ln (－x2)＝
2013年高考数学一轮复习3.1导数的概念及运算精品教学案(教师版)新人教版
2013年高考数学一轮复习精品教学案3.1 导数的概念及运算（新课标人教版，教师版）【考纲解读】1．导数概念及其几何意义 （1）了解导数概念的实际背景． （2）理解导数的几何意义． 2．导数的运算（1）能根据导数定义，求函数x y xy x y x y x y c y ======,1,,,,32的导数． （2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． （3）基本初等函数的导数公式和常用的导数计算公式：()0C '=（C 为常数）， 1()();(sin )cos ;(cos )sin ;1();()ln (0,1);(ln );1(log )log (0,1)n n x x x x a a x nx n x x x x e e a a a a a x xx e a a x-+'''=∈N ==-'''==>≠='=>≠且且·法则1：[])()()()(x v x u x v x u '±'='±·法则2：[])()()()()()(x v x u x v x u x v x u '+'='·法则3：)0)(()()()()()()()(2≠'-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x v x v x v x u x v x u x v x u【要点梳理】 1.导数的概念(1)f(x)在x=x 0处的导数就是f(x)在x=x 0处的瞬时变化率，记作:0/|x x y =或f /(x 0),即f /(x 0)=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆.(2)当把上式中的x 0看作变量x 时, f /(x)即为f(x)的导函数,简称导数,即''()y f x ==0()()limx f x x f x x∆→+∆-∆.2.导数的几何意义:函数f(x)在x=x 0处的导数就是曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率k= f /(x 0),切线方程为'000()()y y f x x x -=-.3.基本初等函数的导数公式1()();(sin )cos ;(cos )sin ;1();()ln (0,1);(ln );1(log )log (0,1)n n x x x x a a x nx n x x x x e e a a a a a x xx e a a x-+'''=∈N ==-'''==>≠='=>≠且且4.两个函数的四则运算法则 若u(x),v(x)的导数都存在,则 法则1：[])()()()(x v x u x v x u '±'='±法则2：[])()()()()()(x v x u x v x u x v x u '+'='法则3：)0)(()()()()()()()(2≠'-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x v x v x v x u x v x u x v x u .【例题精析】考点一 导数的概念及几何意义例1.（2012年高考新课标全国卷文科13）曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________1.（2011年高考江西卷文科4)曲线xy e =在点A （0,1）处的切线斜率为（ ） A.1 B.2 C.e D.1e例2. (2010年高考全国2卷理数10）若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =（ ）（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）82.(2010年高考江西卷文科4)若函数42()f x ax bx c =++满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ） A ．1- B ．2- C ．2 D ．0【课时作业】1.（山东省济南一中2012届高三上学期期末）设曲线11x y x +=-在点（3，2）处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = ( )A ．2B ． 2-C ． 12-D.122. (2010年高考宁夏卷文科4)曲线2y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为( ) （A ）1y x =- （B ）1y x =-+ （C ）22y x =- （D ）22y x =-+ 【答案】A【解析】232y x '=-，所以11x k y ='==，所以选A ．3．（2010年高考全国卷Ⅱ文科7）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则( )（A ）1,1a b == (B) 1,1a b =-= (C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=- 【答案】A 【解析】∵2x y x aa='=+=，∴ 1a =，(0,)b 在切线10x y -+=，∴ 1b =.4. (2010年全国高考宁夏卷3）曲线2xy x =+在点（-1，-1）处的切线方程为( ) （A ）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-25．（2010年高考辽宁卷文科12）已知点P 在曲线41x y e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) (A)[0,4π) (B)[,)42ππ（C ） 3(,]24ππ (D) 3[,)4ππ 【答案】D【解析】2441212x x x x x e y e e e e'=-=-++++，12,10x xe y e '+≥∴-≤<，即1tan 0α-≤<，3[,)4παπ∴∈.6. (福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查理科)函数)()(3R x ax x x f ∈+=在1=x 处有极值，则曲线)(x f y =在原点处的切线方程是___ __.1.（2011年高考重庆卷文科3)曲线323y x x =-+在点（1，2）处的切线方程为 ( ) A ．31y x =- B ．35y x =-+C ．35y x =+D ．2y x =【答案】A【解析】由导数的几何意义知：切线的斜率为3，所以切线方程为31y x =-，选A. 2. （2011年高考山东卷文科4)曲线211y x =+在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)153． (2011年高考全国卷理科8)曲线y=2x e -+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为( ) (A)13 (B)12 (C)23 (D)1 【答案】A 【解析】：2'2x y e -=- ，2k =-，切线方程为22y x -=-由232223x y xy x y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=-+⎩⎪=⎪⎩得 则1211.233S =⨯⨯= 故选A.4．（2011年高考湖南卷文科7)曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12-B ．12C ．5. (2012年高考广东卷理科12)曲线y=x 3-x+3在点（1，3）处的切线方程为 . 【答案】210x y -+=【解析】因为'231y x =-,所以切线的斜率为2，故所求的切线方程为210x y -+=. 6.(2012年高考山东卷文科22第1问)已知函数ln ()(e xx kf x k +=为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.求k 的值.。
高三一轮复习导数的概念、几何意义及导数的计算 (1)
第十四课时 导数的概念、几何意义及导数的计算考纲要求：1.导数的概念(A) 2.导数的几何意义(B) 3.导数的运算(B)知识梳理：1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x＝x 0，即f ′(x 0)＝(2)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数． 2．导数公式及运算法则(1)(2)①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；③⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 基础训练：1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( )(2)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( )(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( )(4)⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3.( ) (5)(3x )′＝3x ln 3.( )(6)⎝⎛⎭⎫e x ＋cos π4′＝e x .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ (6)√2．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是________．解析：∵y ＝sin x ＋e x ，∴y ′＝cos x ＋e x ，∴y ′x ＝0＝cos 0＋e 0＝2，∴曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝03．求下列函数的导数：(1)y ＝x n e x ；(2)y ＝x 3－1sin x. 答案：(1)y ′＝e x (nx n －1＋x n )．(2)y ′＝3x 2sin x －(x 3－1)cos x sin 2x.[典题1] 求下列函数的导数：(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝ln x x； (3)y ＝tan x ；(4)y ＝3x e x －2x ＋e ；解析： (1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x －x ＝x －12－x 12， ∴y ′＝(x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x. (4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2x ln 2＝ (ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.小结：导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．[典题2](1)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．(2)已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 016)＋2 016ln x ，则f ′(2 016)＝________. 解析：(1)f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.(2)由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 016)＋2 016x， 所以f ′(2 016)＝2 016＋2f ′(2 016)＋2 0162 016， 即f ′(2 016)＝－(2 016＋1)＝－2 017.答案：(1)3 (2)－2 017注意：在求导过程中，要仔细分析函数解析式的特点，紧扣法则，记准公式，预防运算错误．练习：1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________.解析：∵f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，∴f ′(x )＝4ax 3＋2bx .又f ′(1)＝2，∴4a ＋2b ＝2，∴f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2.答案：－22．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)的值为________．解析：因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.答案：212导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题，且主要有以下几个命题角度：角度一：求切线方程[典题3](1)曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为________．(2)设曲线y ＝e x ＋12ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则实数a ＝________. (3)已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.①求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；②求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解析：(1)由于y ′＝e －1x，所以y ′x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.(2)∵与直线x ＋2y －1＝0垂直的直线斜率为2，∴f ′(0)＝e 0＋12a ＝2，解得a ＝2. (3)①∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.②设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.答案：(1)(e －1)x －y ＋1＝0 (2)2注意：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．角度二：求切点坐标[典题4] 设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析： y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x(x ＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m ＞0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．答案：(1,1)小结：已知斜率k ，求切点A (x 0，f (x 0))，即解方程f ′(x 0)＝k .角度三：求参数的值[典题5](1)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝________.(2)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.(3)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析：(1)∵两曲线的交点为(0，m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝a ，m ＝1，即a ＝1， ∴f (x )＝cos x ，∴f ′(x )＝－sin x ，则f ′(0)＝0，f (0)＝1.又g ′(x )＝2x ＋b ，∴g ′(0)＝b ，∴b ＝0，∴a ＋b ＝1.(2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1.又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.(3)法一：∵y ＝x ＋ln x ，∴y ′＝1＋1x，y ′x ＝1＝2. ∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)．∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2ax 0＋(a ＋2)＝2，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－12，a ＝8.答案：(1)1 (2)1 (3)8小结：(1)根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．(2)当切线方程中x (或y )的系数含有字母参数时，则切线恒过定点．总结：1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．注意：1．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．2．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．3．直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．4．曲线未必在其切线的同侧，如曲线y ＝x 3在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧.课后作业：1．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为________．解析：由题意知y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x x ＝0＝e 0＝1.答案：12．已知函数f (x )＝1xcos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：∵f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，∴f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 答案：－3π3．设曲线y ＝1＋cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于________．解析：∵y ′＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′x ＝π2＝－1，由条件知1a＝－1，∴a ＝－1. 答案：－14．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为________． 解析：设切点坐标为(x 0，ln x 0)，则1x 0＝12，即x 0＝2，∴切点坐标为(2，ln 2)，又切点在直线y ＝12x ＋b 上，∴ln 2＝1＋b ，即b ＝ln 2－1. 答案：ln 2－15．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小值为________．解析：因为定义域为(0，＋∞)，所以y ′＝2x －1x＝1，解得x ＝1，则在P (1,1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2. 答案：26．已知函数f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________.解析：f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e.答案：e7．若直线l 与幂函数y ＝x n 的图象相切于点A (2,8)，则直线l 的方程为________． 解析：由题意知，A (2,8)在y ＝x n 上，∴2n ＝8，∴n ＝3，∴y ′＝3x 2，直线l 的斜率k ＝3×22＝12，又直线l 过点(2,8)．∴y －8＝12(x －2)，即直线l 的方程为12x －y －16＝0.答案：12x －y －16＝08．在平面直角坐标系xOy 中，点M 在曲线C ：y ＝x 3－x 上，且在第二象限内，已知曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，则点M 的坐标为________．解析：∵y ′＝3x 2－1，曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，∴3x 2－1＝2，x ＝±1，又∵点M 在第二象限，∴x ＝－1，∴y ＝(－1)3－(－1)＝0，∴M 点的坐标为(－1,0)．答案：(－1,0)9．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x＝0，即a ＝－13x3(x >0)，故a ∈(－∞，0)． 答案：(－∞，0)10．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________．解析：设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率k ＝3t 2－a ①，所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t ) ②.将点A (1，0)代入②式得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数，故a ＝278. 答案：27811．函数f (x )＝e x ＋x 2＋x ＋1与g (x )的图象关于直线2x －y －3＝0对称，P ，Q 分别是函数f (x )，g (x )图象上的动点，则|PQ |的最小值为________．解析：因为f (x )与g (x )的图象关于直线2x －y －3＝0对称，所以当f (x )与g (x )在P ，Q 处的切线与2x －y －3＝0平行时，|PQ |的长度最小．f ′(x )＝e x ＋2x ＋1，令e x ＋2x ＋1＝2，得x ＝0，此时P (0,2)，且P 到2x －y －3＝0的距离为5，所以|PQ |min ＝2 5.答案：2512．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，则a ＝________，切线方程为________．解析：f ′(x )＝12x，g ′(x )＝a x (x >0)， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ln x ，12x＝a x ，解得a ＝e 2，x ＝e 2， ∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e)，切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e， ∴切线的方程为y －e ＝12e (x －e 2)，即x －2e y ＋e 2＝0.答案：e 2x －2e y ＋e 2＝013．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为y ＋6＝13(x －2)，即y ＝13x －32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，y 0＝x 30＋x 0－16，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又∵直线l 过原点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8， ∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标(－2，－26)，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．14．设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直，求a ＋b 的值．解：对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两条切线互相垂直．∴(2x 0－2)·(－2x 0＋a )＝－1，即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0，①又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2，y 0＝－x 20＋ax 0＋b ，⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0.②由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52. 15．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ， 则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥－1，－1k≥－1， 解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．。
高三第一轮复习 导数的概念及几何意义
高三一轮导学案学科数学编号11 编写人黄伟燕审核人文备组使用时间班级小组姓名代号评价文科数学专题复习11——导数的概念及运算【高考要求】1234. .123121．认真阅读考试大纲和教材相关内容，自主完成知识梳理和基础自测题；2．熟记变化率、割线斜率等基础知识，弄清切线斜率、求导公式等重要考点，理会解决求切线方程问题的思路与方法。
预习案一、考点知识梳理（一）变化率问题1、设()y f x =，1x 是数轴x 上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，2x 与1x 的差记为x ∆，即x ∆= 或者2x = ，x ∆就表示从1x 到2x 的“增量”，相应地，函数值的“增量”记为y ∆，即y ∆= ；如果它们的比值y x∆∆，则上式就表示为 ，此比值就称为平均变化率．即所谓平均变化率也就是 的“增量”与 的“增量”的比值． （二）导数的概念1数y f =2函数y 3S1S2S34、这样当1、基本初等函数的导数公式2、导数的四则运算法则：（1）=±')]()([x g x f ； （2）=⋅')]()([x g x f ；（3）=')()([x g x f ； （4）[()]c f x '⋅= ． （四）导数的几何意义函数()y f x =在0x x =处的导数'0()f x 的几何意义是曲线()y f x =在点 处的切线斜率，即k= ，所以曲线()y f x =在此点处的切线方程是 ． 二、基础知识自测1234探究2．求下列函数的导数： （1）2()xf x e =； （2）()xe f x x=； （3）ln y x x =；（4）()()11y x x x =-+； （5）()x t f x te +=．探究3．已知函数d cx bx x x f +++=23)(的图象过点)2,0(P ，且在点M 处))1(,1(--f 处的切线方程为076=+-y x ，求函数)(x f 的解析式。
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导数的计算及其几何意义1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念;3.熟记基本导数公式；4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则;5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数近年来,导数及其应用几乎成了数学高考舞台上必唱“主角”之一,在高考卷中所占比重也有上升趋势。
考查学生的运算能力、逻辑推理能力以及分析问题和解决问题的能力，本节主要考察导数的几何意义，与函数及图象、直线方程等几何考查。
同时会以求基本函数的导数为基础，本节内容在高考中以简单题和中档题为主。
考点1 导数的概念1.平均变化率)(x f 在其定义域内从点1x 到2x 的平均变化率为xx f x x f x x x f x f x y ∆-∆+=--=∆∆)()()()(111212. 2.瞬时变化率)(x f 在其定义域内的点x x =处的瞬时变化率为x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000.3.导数的定义函数)(x f y =,在0x x =处的瞬时变化率为xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000，我们称它为函数)(x f y =在0x x =处导数，记作)(0x f '，或0|x x y ='，即)(0x f '=0lim→∆x x y∆∆=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00. 考点2 导数的几何意义、物理意义1.几何意义（1）函数)(x f y =在点),(00y x 处的导数)(0x f '就是在点),(00y x 处的切线的斜率，即切k =)(0x f '.（2）点),(00y x 处的切线方程为))((000x x x f y y -'=-. 2.物理意义如果物体按规律)(t S S =运动，那么)(0t S '表示物体在0t t =时刻的瞬时速度， 即)(0t S v '=瞬.考点3 求基本函数的导数及导数的运算法则 1. 基本函数的导数(1).若c x f =)(，则0)(='x f (2).若)()(Q n x x f n ∈=，则1)(-='n nx x f (3).若x x f sin )(=，则x x f cos )(=' (4).若x x f cos )(=，则x x f sin )(-=' (5).若x a x f =)(，则a a x f x ln )(=' (6).若x e x f =)(，则x e x f =')( (7).若x x f a log )(=，则xe a x xf a log ln 1)(==' (8).若x x f ln )(=，则x x f 1)(=' 2.导数的运算法则(1) .()g f g f '±'='± (2) .()g f g f g f '⋅+⋅'='⋅(3). ''[()]()cf x cf x = (4).2g g f g f g f '⋅-⋅'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ )0(≠g (5).若函数))((x g f y =是由)(u f y =与)(x g u =复合而成的函数，则()x u u y x g f '⋅'=')((考点1 导数的几何意义、物理意义典例1 曲线y =－x 2+4x 上有两点A （4，0）、B （2，4）. 求：（1）割线AB 的斜率k AB ，及AB 所在直线的方程；（2）在曲线AB 上是否存在点C ，使过C 点的切线与AB 所在直线平行?若存在，求切线方程；若不存在，请说明理由.解题思路 本题主要考查导数的几何意义.假设存在符合条件的点C ，则切线的斜率与直线AB 的斜率相等，即点C 处的导数与直线AB 的斜率相等，从而求出切点C 的坐标，进而求得切线方程.解题过程 （1）k AB =4204--=－2，∴y =－2（x －4）.∴所求割线AB 所在直线方程为2x +y －8=0.（2）y '=－2x +4，由－2x +4=－2，得x =3，y =－32+3×4=3. ∴C 点坐标为（3，3），所求切线方程为2x +y －9=0. 即存在这样的点C ，点C 处的切线方程为2x +y －9=0.易错点拨 （1）已知两点求直线的斜率与切线的斜率要分清； （2）对于存在性问题的步骤与解题思路。
变式1 （2012年广东理）曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为 ． 点拨 求出已知函数的导数，判断点是否在曲线上，利用切线的斜率公式求解即可。
答案 012=+-y x变式2 已知函数32()()2f x x ax g x x b =+=+与的图象在1x =处有相同的切线，则a b +=（ ）A ．—1B ．0C ．1D ．2点拨 分别求得两函数的导数，利用两曲线在公共切点处的斜率相等，列等式即可求解。
答案 C变式2 已知直线20ax by --=与曲线3y x =在点P （1，1）处的切线互相垂直，则a b=（ ）A ．13B ．23C ．23-D ．13-点拨 求出曲线在切点处切线的斜率，用两直线的垂直关系找到等式便可求得结果。
答案 D考点2 求基本函数的导数及导数的运算法则 典例1 求下列函数的导数．（1）．2211x y -=； （2）．21x x y +=解题思路 选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数． 解题过程 （1）．解法一：设22121,x u uy -=='-，则()()()().21)21(2 212 42121 4212223223223xx x x x x xx u u y y x u x ---=---=-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⋅'='---＝解法二：()'⎥⎦⎤⎢⎣⎡-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='-212221211x xy().21)21(2)21(2)4()21(2121)21(21222322322232xx xx x x x x x --=-=-⋅--='-⋅--=---（2）．解法一：.1422x x x x y +=+=设4221,x x u u y +==，则.1211)21(2 )42()(21 )42(21222242332142321xx x x x x x x x x x x x x x x u u y y x u x ++=++=++=+⋅+=+⋅='⋅'='-- 解法二：)1(1)1(222'+++⋅'='+='x x x x x x y .12111 22222xx xx x ++=+++=易错点拨 对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量，不可机械照搬某种固定的模式，否则会使确定的复合关系不准确，不能有效地进行求导运算．学生易犯错误是混淆变量或忘记中间变量对自变量求导。
变式1 函数)10()2)(1()(-⋅⋅⋅--=x x x x x f 在0=x 处的导数值为( ) A. 0 B. 210 C. 20 D. 10!点拨 看成x 与)10()2)(1(-⋅⋅⋅--x x x 的乘积，利用导数的运算易求解。
答案 D突破1 导数的意义与函数图象结合考查理解曲线（函数图象）的切线与导数的关系，是关键；还要理解原函数和导函数的关系。
典例1 如图)(/x f 是)(x f 的导函数，)(/x f 的图象如下图所示，则)(x f 的图象只可能是（ ）解题思路 首先观察函数的图象，y=)(/x f 与x 轴的交点即为)(x f 的极值点，然后根据函数与其导数的关系进行判断。
解题过程 由图可以看出函数y=)(/x f 的图象是一个二次函数的图象，在a 与b 之间，导函数的值是先增大后减小故在a 与b 之间，原函数图象切线的斜率是先增大后减小 因此故排除答案（A ），（B ），（C ）． 故答案为：（D ）。
易错点拨 会观察函数的图象并从中提取相关信息，并熟练掌握函数与其导数的关系 典例 2 如右图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是8+-=x y ，则)5()5(f f '+= .解题思路 考查在某点处的切线方程，切点既在曲线上又在切线上解题过程 观察图形,设(5,(5))P f ,过P 点的切线方程为(5)'(5)(5)y f f x -=-，即'(5)(5)5'(5)y f x f f =+-它与8+-=x y 重合,比较系数知:'(5)1,(5)3f f =-= 故)5()5(f f '+=2.突破2 导数的意义与直线的斜率结合考查导数)(0x f '的几何意义是曲线)(x f y =在某点0x 处切线的斜率，因此切线方程可通过求导数先得斜率，再由切点利用点斜式方程求得。
求过点),(00y x P 的切线方程时，一要注意),(00y x P 是否在曲线上；二要注意该点可能是切点，也可能不是切点，因而所求的切线可能不只一条。
典例2 已知曲线31433y x =+，（1）求曲线在点(2,4)P 处的切线方程； （2）求曲线过点(2,4)P 的切线方程； （3）求斜率为4的曲线的切线方程.解题思路 在点时：切点坐标→切线斜率→点斜式求切线方程；过点时，先把切点设出来，然后解方程。
解题过程 （1）(2,4)P 在曲线31433y x =+上，且2y x '= ∴在点(2,4)P 处的切线的斜率k=2|x y ='=4;∴曲线在点(2,4)P 处的切线方程为44(2)y x -=-,即440x y --=.（2）设曲线31433y x =+与过点(2,4)P 的切线相切于点30014(,)33A x x +， 则切线的斜率020|x x k y x ='==，∴切线方程为3200014()()33y x x x x -+=-，即23002433y x x x =-+ ∵点(2,4)P 在切线上，∴2300244233x x =-+，即3200340x x -+=， ∴322000440x x x +-+=， ∴200(1)(2)0x x +-=，解得01x =-或02x = 故所求的切线方程为440x y --=或20x y -+=. （3）设切点为00(,)x y则切线的斜率为204k x ==, 02x =±. ∴切点为()42，，⎪⎭⎫ ⎝⎛--342，∴切线方程为()244+=-x y 和()2434+=+x y 即440x y --=和123200x y -+=易错点拨 注意所求切线与已知点的关系，求过点),(00y x P 的切线方程时，一要注意),(00y x P 是否在曲线上；二要注意该点可能是切点，也可能不是切点，因而所求的切线可能不只一条。