高中数学知识点总结导数的定义及几何意义
高中数学导数知识点归纳总结
导 数 知识要点1. 导数（导函数的简称）的定义：即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000. 注：①x ∆是增量，我们也称为“改变量”，因为x ∆可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ⊇. Ps ：二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。
一般的，函数y=f（x ）的导数y ＇=f ＇（x ）仍然是x 的函数，则y ＇=f ＇（x ）的导数叫做函数y=f （x ）的二阶导数。
2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. ⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 3. 导数的几何意义：就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=- 4. 求导数的四则运算法则：''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）)0(2'''≠-=⎪⎭⎫⎝⎛v v u v vu v u 注：①v u ,必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如：设x x x f 2sin 2)(+=，xx x g 2cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x f x x cos sin +在0=x 处均可导.5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或x u x u y y '''⋅= 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数. ⑵常数的判定方法；如果函数)(x f y =在区间I 恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.注：①0)( x f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)( x f ，有一个点例外即x =0时f （x ） = 0，同样0)( x f 是f （x ）递减的充分非必要条件.②一般地，如果f （x ）在某区间有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.7. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理） 当函数)(x f 在点0x 处连续时，①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①： 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数：I.0'=C （C 为常数） x x cos )(sin '= 2'11)(arcsin x x -=1')(-=n n nx xx x sin )(cos '-= 2'11)(arccos xx --=II. x x 1)(ln '=e x x a a log 1)(log '= 11)(arctan 2'+=x x x x e e =')(a a a x x ln )('= 11)cot (2'+-=x x arcIII. 求导的常见方法： ①常用结论：xx 1|)|(ln '=.②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或))...()(())...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两边同取自然对数，可转化求代数和形式.③x x y =这类函数，如x x y =取自然对数之后可变形为x x y ln ln =，对两边求导可得x x x x x y y x y y xx x y y +=⇒+=⇒⋅+=ln ln 1ln '''.单调性及最值 1答案 A解析 满足f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0其实就是f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选A.2答案 B 解析 对称轴x ＝1－a ≥4.∴a ≤－3. 3答案 D 4答案 A解析 当x ＝2时，y ＝log a (22＋2·2－3) ∴y ＝log a 5>0，∴a >1 由复合函数单调性知单减区间须满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3>0x <－1，解之得x <－3.5答案 C 解析 由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0对任意两个不相等的正实数x 1、x 2都成立，可知，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，又f (x )为奇函数，故f (x )在(－∞，0)上也为增函数，故选C.6答案 C 解析 y ＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4在[0，＋∞)上单调递增；y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4在(－∞，0)上单调递增．又x 2＋4x －(4x －x 2)＝2x 2≥0，∴f (2－a 2)＞f (a )⇒2－a 2＞a ⇒a 2＋a －2＜0⇒－2＜a ＜1，故选C.7答案 B 解析 ①是幂函数，其在(0，＋∞)上为增函数，故此项不符合题意；②中的函数是由函数y ＝log 12x 向左平移1个单位而得到的，因原函数在(0，＋∞)上为减函数，故此项符合题意；③中的函数图象是函数y ＝x －1的图象保留x 轴上方的部分，下方的图象翻折到x 轴上方而得到的，由其图象可知函数符合题意；④中的函数为指数函数，其底数大于1，故其在R 上单调递增，不符合题意，综上可知选择B.8答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0与⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 数形结合9答案 ①④ 10答案 (0，110)解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，又因为f (x )在(－∞，0]上单调递减，所以f (x )在[0，＋∞)上也为单调递减函数，所以函数f (x )在R 上为单调递减函数．不等式f (lg x )＋f (1)>0可化为f (lg x )>－f (1)＝f (－1)，所以lg x <－1，解得0<x <110. 11答案 [－2，＋∞) 解析 由h ′(x )＝2＋kx 2≥0，得k ≥－2x 2，由于－2x 2在[1，＋∞)的最大值为－2，于是，实数k 的取值围是[－2，＋∞)．12解析 (1)证明 任设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在(－∞，－2)单调递增． (2)解 任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知0<a ≤1.13答案 (1)略 (2){m |－1<m <43}解 (1)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)>1. f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0. ∴f (x 2)>f (x 1)．即f (x )是R 上的增函数．(2)∵f (4)＝f (2＋2)＝f (2)＋f (2)－1＝5， ∴f (2)＝3，∴原不等式可化为f (3m 2－m －2)<f (2)， ∵f (x )是R 上的增函数，∴3m 2－m －2<2，解得－1<m <43，故m 的解集为{m |－1<m <43}． 14答案 A解析 由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －3>0，即x >3，又0<0.5<1，∴f (x )在(3，＋∞)上单调递减．15答案 C 解析 由已知得：|1x |>1⇒－1<x <0或0<x <1，故选C. 16答案 (－∞，－ 2 ]∪(1， 2 ]几何意义1.解析s′＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→018(t＋Δt)2－18t2Δt＝limΔt→014tΔt＋18(Δt)2Δt＝limΔt→0(14t＋18Δt)＝14t.∴当t＝2时，s′＝12. 答案 C2.解析由2x＋y＋1＝0，得h′(a)＝－2<0.∴h′(a)<0.3.解析limΔx→0f(x0－Δx)－f(x0)Δx＝－limΔx→0f(x0－Δx)－f(x0)－Δx＝－k. 答案－k4.解∵f′(1)＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝4，∴过点(1,2)的切线的斜率为4.设过点(1,2)且与过该点的切线垂直的直线的斜率为k，则4k＝－1，k＝－14.∴所求的直线方程为y－2＝－14(x－1)，即x＋4y－9＝0.6.解析f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0a(1＋Δx)2－aΔx＝limΔx→0(2a＋aΔx)＝2a.令2a＝2，∴a＝1. A。
导数知识点总结大全高中
导数知识点总结大全高中一、导数的基本概念1. 函数的变化率函数在定义域内的某一点上的变化率就是导数。
函数在某一点的导数描述了函数在这一点附近的变化趋势，是函数曲线的切线斜率。
当函数在某一点的导数为正时，表示函数在这一点附近是增加的；当函数在某一点的导数为负时，表示函数在这一点附近是减小的；当函数在某一点的导数为零时，表示函数在这一点附近有极值。
2. 导数的几何意义函数在某一点的导数是该函数曲线在这一点的切线斜率，即切线的倾斜程度。
当导数为正时，表示切线斜率为正，曲线是逐渐上升的；当导数为负时，表示切线斜率为负，曲线是逐渐下降的；当导数为零时，表示切线水平，曲线在该点可能有极值。
3. 导函数如果函数f(x)在x处可导，则在这一点导函数f'(x)给出了函数在这一点的变化率。
导函数是原函数f(x)关于自变量x的导数函数，通常使用f'(x)来表示。
4. 导数的符号函数f(x)在某一点的导数为正时，表示函数在这一点附近是增加的；函数f(x)在某一点的导数为负时，表示函数在这一点附近是减小的；函数f(x)在某一点的导数为零时，表示函数在这一点附近有极值。
二、导数的定义1. 函数可导如果函数f(x)在某一点x处的导数存在，那么称函数f(x)在这一点可导。
函数在某一点可导的条件是函数在这一点存在切线。
2. 函数导数的极限定义函数f(x)在x处的导数被定义为：f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x))/h其中，lim表示极限，h→0表示当h趋近于0时的极限，f(x+h) - f(x)表示函数在x+h处和x处的高度差，h为x的增量。
3. 导数的等价形式导数的等价形式有有限增量与自变量增量之比求极限、差商公式等形式。
三、导数的性质1. 可导函数的和、差的导数如果函数f(x)和g(x)在x处可导，则它们的和f(x)+g(x)和差f(x)-g(x)在x处也可导，且导数为f'(x)+g'(x)和f'(x)-g'(x)。
高中数学导数知识点总结
高中数学导数知识点总结一、导数的定义1. 导数的几何意义在直角坐标系中，函数的导数表示了函数曲线在某一点的切线的斜率。
也就是说，导数描述了函数在某一点处的变化率。
如果函数在某一点的导数为正，那么函数在这一点的曲线是朝上凸的；如果函数在某一点的导数为负，那么函数在这一点的曲线是朝下凸的；如果函数在某一点的导数为零，那么函数在这一点的曲线可能是一个最大值、最小值或者拐点。
2. 导数的代数定义设函数y=f(x)，在点x0处可导。
如果当自变量x的增量为Δx时，函数值的增量Δy与自变量的增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限存在，那么就称函数y=f(x)在点x0处可导。
这个极限就是函数在点x0处的导数，通常用f'(x0)或者df(x0)/dx来表示。
二、导数的性质1. 可导性与连续性在区间上连续的函数必定在该区间上有定义且连续的导数。
不过反之不成立。
2. 导数的四则运算法则设函数y=f(x)和y=g(x)都在x处可导，则：（1）常数函数的导数\[ (k)' = 0 \]（2）乘积的导数\[ (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \]（3）商的导数\[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} \]（4）复合函数的导数\[ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]3. 链式法则设函数y=f(u)和u=g(x)都在某点可导，则复合函数y=f(g(x))在该点可导，且有\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]4. 高阶导数如果函数f的导数也可导，则函数f有二阶导数，记作f''；同理，f(n)表示函数f的n阶导数。
高中导数知识点总结大全
高中导数知识点总结大全追逐高考，我们向往成功，我们希望激发潜能，我们就需要在心中铸造一座高高矗立的、坚固无比的灯塔，它的名字叫信念。
那么接下来给大家分享一些关于高中导数知识点总结大全，希望对大家有所帮助。
高中导数知识点总结1、导数的定义：在点处的导数记作.2.导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①k=f/(x0)表示过曲线y=f(x)上P(x0,f(x0))切线斜率。
V=s/(t)表示即时速度。
a=v/(t)表示加速度。
3.常见函数的导数公式:①;②;③;⑤;⑥;⑦;⑧。
4.导数的四则运算法则：5.导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果,那么为减函数;注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。
(2)求极值的步骤：①求导数;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值;(3)求可导函数值与最小值的步骤：ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较,的为值,最小的是最小值。
导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。
学好导数至关重要，一起来学习高二数学导数的定义知识点归纳吧!导数是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx 的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
(完整版)高中数学导数知识点归纳总结
高中导数知识点归纳一、基本概念1. 导数的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。
()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim )(00000 2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-3．基本常见函数的导数:①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=;⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=. 二、导数的运算1.导数的四则运算：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： ).())((''x Cf x Cf =(C 为常数)法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦。
高中数学导数知识点归纳总结
高中数学导数知识点归纳总结在高中数学的学习过程中，导数是一个非常重要的概念和工具。
掌握导数的基本概念和运算方法，对于后续学习和应用都有着至关重要的作用。
本文将对高中数学中的导数知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握。
一、导数的定义导数是函数在某一点处的变化率，表示了函数在该点附近的变化趋势。
给定一个函数f(x)，在点x=a处的导数表示为f'(a)，可以通过求极限的方式进行定义，即：f'(a) = lim┬(x→a)(f(x)-f(a))/(x-a)二、导数的几何意义1. 斜率：导数可以表示函数图像在某一点处的切线的斜率。
对于一元函数来说，导数就是切线的斜率。
2. 切线和法线：导数为0的点对应函数图像上的极值点（极大值或极小值），而导数不存在的点对应函数图像上的拐点。
3. 减函数和增函数：如果导数大于0，则函数在该点处是增函数；如果导数小于0，则函数在该点处是减函数。
三、导数的基本运算法则1. 常数法则：f(x) = C，则f'(x) = 0，其中C为常数。
2. 基本导数公式：- f(x) = x^n，则f'(x) = nx^(n-1)，其中n为实数。
- f(x) = e^x，则f'(x) = e^x- f(x) = a^x，则f'(x) = ln(a)·a^x，其中a>0且a≠1。
- f(x) = log(a)(x)，则f'(x) = 1/(x·ln(a))，其中a>0且a≠1。
3. 乘法法则：(f(x)·g(x))' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)4. 除法法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x))/[g(x)]^2，其中g(x)≠0。
高中数学导数知识点归纳总结
高中数学导数知识点归纳总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高中导数复习资料一、基本概念1. 导数的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。
()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim )(00000 2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-3．基本常见函数的导数:①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx -'=③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=;⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=. 二、导数的运算1.导数的四则运算：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： ).())((''x Cf x Cf =(C 为常数) 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦。
重点高中数学导数知识点归纳总结
重点高中数学导数知识点归纳总结高中数学中的导数是一个重要的知识点，它是微积分的基础，也是日后学习数学和理工科学科的必备知识。
下面将对高中数学中的导数相关知识进行归纳总结。
一、导数的定义与基本性质1. 导数的定义：设函数y=f(x)，在x=a处可导，那么函数f(x)在x=a处的导数定义为：f'(a)=lim┬(△x→0)(f(a+△x)-f(a))/(△x)。
2.函数连续与可导的关系：如果函数f(x)在x=a处可导，则函数f(x)在x=a处连续。
3.导数的几何意义：函数y=f(x)在x=a处的导数f'(a)表示了函数在该点处切线的斜率。
4.导数的性质：(1)常数函数的导数为0，即(f(x)=c，c为常数时，f'(x)=0)。
(2) 任意一次幂函数的导数为对应的幂次函数的导函数，即(f(x)=x^n，n为常数时，f'(x)=nx^(n-1))。
(3)任意两个函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数之和(差)。
(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
(4)任意两个函数的积的导数等于这两个函数的导数之积加上这两个函数之积的导数。
(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
(5) 任意一个函数的常数倍的导数等于它的导数的常数倍，即(cf(x))' = cf'(x)，c为常数。
二、常见函数的导数1.常数函数f(x)=c的导数为f'(x)=0。
2. 幂函数f(x)=x^n，n为常数时，导数为f'(x)=nx^(n-1)。
3. 指数函数f(x)=a^x，a>0且a≠1时，导数为f'(x)=a^xlna。
4. 对数函数f(x)=logₐx，a>0且a≠1时，导数为f'(x)=1/(xlna)。
5. 正弦函数f(x)=sinx的导数为f'(x)=cosx。
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导数的定义及几何意义1．xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/叫函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0|/x x y = 。
注：①函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。
②在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可能为0。
③xy ∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（0x ，)(0x f ）及点（0x +x ∆，)(00x x f ∆+）的割线斜率。
④导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在0x 点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(x f y =上点（0x ，)(0x f ）处的切线的斜率。
⑤若极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。
⑥如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导；此时对于每一个x ∈),(b a ，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f ，称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间),(b a 内的导函数，简称导数；导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。
[举例1]若2)(0/=x f ，则kx f k x f k 2)()(lim 000--→等于： (A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 1/2解析：∵2)(0/=x f ，即k x f k x f k ---+→-)()]([lim 000=2⇒kx f k x f k 2)()(lim 000--→=-1。
[举例2] 已知0,a n >为正整数设()n y x a =-，证明1'()n y n x a -=- 解析：本题可以对()n y x a =-展开后“逐项”求导证明；这里用导数的定义证明：x a x a x x y nn x ∆---∆+=→∆)()(lim 0/=xa x x C x a x C x a x C a x nn n n n n n n n x ∆--∆++∆-+∆-+---→∆)()()()()()(lim 222110 = xx C x a x C x a x n nn n n n n x ∆∆++∆-+∆---→∆)()()()(lim 22210 = ])()()()()([lim 12332210----→∆∆++∆-+∆-+-n n n n n n n n x x C x a x C x a x C a x n =1)(--n a x n 。
[巩固1]一质点作曲线运动，它的位移S 与时间t 的关系为：2221t tt S +-=，试用导数的定义求t =3时的速度。
[巩固2]设C 是成本，q 是产量，成本与产量的函数关系式为C ＝C （q ），当产量为0q 时，产量变化q ∆对成本的影响可用增量比qq C q q C q C ∆-∆+=∆∆)()(00刻划. 如果q ∆无限趋近于0时，qC ∆∆无限趋近于常数A ，经济学上称A 为边际成本. 它表明当产量为0q 时，增加单位产量需付出成本A （这是实际付出成本的一个近似值）。
设生产x 个单位产品的总成本函数是C(x)＝8＋82x ，则生产8个单位产品时，边际成本是： （ ） A ．2 B ．8 C ．10 D ．162．常用导数公式：0'=c ,1)'(-=n n nx x ,x x e e =/)(，xx 1)(ln /=； 导数的运算法则：若函数)(x f 与)(x g 的导数存在，则)(')(')]'()([x g x f x g x f ±=±,)(')]'([x f c x cf ⋅=，)()()()()]()([///x g x f x g x f x g x f +=；)()()()()())()((2///x g x g x f x g x f x g x f -=（这个公式很容易记错，注意和“积的导数”对比）； 复合函数的导数：由)(u f y =与u =ϕ)(x 得到复合函数f y =][)(x ϕ，则'x y ='u y .'x u 。
[举例1]已知x f x x x f -+=)1()(/23，则)2(/f = 。
解析：)1(/f 是常数，∴1)1(23)(/2/-+=xf x x f ⇒)1(/f =3+2)1(/f -1⇒)1(/f = -2∴143)(2/--=x x x f ，故)2(/f =3。
[举例2]+∈N n ，n n n n n nC C C C ++++ 32132= 。
解析：本题可以用“倒序相加”法，也可以用“通项变化”法（k k n C = n 11--k n C ）；这里，我们观察n n n n n n n n x C x C x C x C C x +++++=+ 332210)1( ①，不难发现其通项k k n x C 求导后的系数正是所求“项”；故考虑对①式两边同求导数，得：1232132)1(-++++=+n n n n n n n x nC x C x C C x n ，令x =1得：n n n n n nC C C C ++++ 32132=n n 2⋅[巩固1] 已知2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．令()()F x xf x '=，则)(/x F = 。
[巩固2]已知函数)1()13)(12)(1()(++++=nx x x x x f ，则)0(/f 的值为：A ．2n CB ．21+nC C ．2n AD ．21+n A3．函数)(x f 在0x x =处的导数)('0x f 的几何意义：曲线)(:x f y C =在其上点0(x P ，)0y 处的切线的斜率。
用导数研究切线问题，切点是关键（切点在切线上、切点在曲线上、切点横坐标的导函数值为切线斜率）。
[举例1]曲线12ex y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．29e 2Ｂ．24e Ｃ．22e Ｄ．2e （07高考海南理10） 解析：12e x y =⇒x e y 21/21=，则]曲线在点2(4e )，处的切线斜率为：221e ， ∴切线方程为：)4(2122-=-x e e y ，它与坐标轴的交点分别为：（2，0），（0，-2e ）； ∴切线与坐标轴所围三角形的面积为：2e ，选D 。
[举例2]函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是：8+-=x y ，若点P 的横坐标为5， 则)5()5(/f f += 。
解析：本题没有函数表达式，但有切线方程8+-=x y ，注意到“切点在切线上”，∴P （5，3）；又“切点在曲线上”，∴3)5(=f ；而曲线)(x f y =在点P 处的切线斜率为)5(/f ，即)5(/f =-1，故)5()5(/f f +=2。
[举例3]已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则______.a =解析：本题固然可以将直线方程带入抛物线方程中，使得到的一元二次方程的判别式∆=0， 从而求出a 的值；但这种做法只限于二次曲线，若将抛物线换成其它的非二次曲线，则此路不通。
以下用“导数”求解：“切点”是关键，记切点P （0x ，0y ），ax y 2/=，则有：0100=--y x （切点在切线上）①；200ax y = （切点在曲线上）② 02ax =1 （切点横坐标的导函数值为切线斜率）③；由①②③解得：41=a 。
[巩固1]已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+=＿＿＿＿．（07高考湖北文13）[巩固2]点P 是曲线323+-=x x y 上的动点，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π B 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡πππ,432,0 C 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43 D 、⎥⎦⎤ ⎝⎛43,2ππ [巩固3]若直线y=x 是曲线y=x 3-3x 2+ax 的切线，则a=___________4、注意区分“求曲线)(x f y =上过点M 的切线”与“求曲线)(x f y =上在点M 处的切线”；前者只要求切线过M 点，M 点未必是切点；而后者则很明确，切点就是M 点。
[举例]求函数y=x 3-3x 2+x 的图象上过原点的切线方程解析：易见O （0，0）在函数y=x 3-3x 2+x 的图象上，y ’=3x 2－6x+1,但O 点未必是切点。
设切点A （x 0,y 0）∵y ’=3x 2－6x+1, ∴切线斜率为3x 02－6x 0+1,又切线过原点，∴00x y k AO ==3x 02－6x 0+1即：y 0=3x 03－6x 02+x 0 ① 又∵切点A （x 0,y 0）y=x 3-3x 2+x 的图象上∴y 0=x 03－3x 02+x 0 ②由①②得：x 0 =0或x 0 =23，∴切线方程为：y=x 或5x+4y=0 点评：一般地,过三次曲线的对称中心（不难证明三次曲线一定是中心对称图形，且对称中心在曲线上）的切线有且仅有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点的切线有二条。
以下给出简单证明（不要求学生掌握）：由于三次曲线都是中心对称曲线，因此，将其对称中心移至坐标原点便可将三次函数的解析式简化为bx ax x f +=3)(。
若M （x 1，y 1）是三次曲线bx ax x f +=3)(上的任一点，设过M 的切线与曲线y=f （x ）相切于（x 0，y 0），则切线方程为))((000x x x f y y -'=-，因点M 上此切线上，故))((01001x x x f y y -'=-，又13110300,bx ax y bx ax y +=+=，所以))(3()(0120030131x x b ax bx ax bx ax -+=+-+，整理得：0)2()(10210=+-x x x x ，解得，10x x =或210x x -=。
当点M 是对称中心即1x = -21x =0时，过点M 作曲线的切线切点是惟一的，且为M ，故只有一条切线；当点M 不是对称中心即01≠x 时，过点M 作曲线的切线可产生两个不同的切点，故必有两条切线，其中一条就是以M 为切点（亦即曲线在点M 处）的切线。